Graph eines quadratischen Trinoms
2019-04-19
Quadratisches Trinom
Wir haben ein quadratisches Trinom eine ganze rationale Funktion zweiten Grades genannt:
$y = ax^2 + bx + c$, (1)
wobei $a \neq 0$. Lassen Sie uns beweisen, dass der Graph eines quadratischen Trinoms eine Parabel ist, die durch parallele Verschiebungen (in den Richtungen der Koordinatenachsen) aus der Parabel $y = ax^2$ erhalten wird. Dazu reduzieren wir Ausdruck (1) durch einfache identische Transformationen auf die Form
$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)
Die entsprechenden, unten beschriebenen Transformationen werden als „exakte Quadratextraktion“ bezeichnet:
$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x \right) + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")
Wir haben das quadratische Trinom auf die Form (2) reduziert; dabei
$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$
(Diese Ausdrücke sollten nicht auswendig gelernt werden; es ist bequemer, das Trinom (1) jedes Mal direkt in die Form (2) umzuwandeln.)
Nun ist klar, dass der Graph des Trinoms (1) eine Parabel ist, die gleich der Parabel $y = ax^2$ ist und durch Verschieben der Parabel $y = ax^2$ in den Richtungen der Koordinatenachsen um $\ erhalten wird. alpha$ und $\beta$ (unter Berücksichtigung des Vorzeichens $\alpha$ bzw. $\beta$). Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt im Punkt $(- \alpha, \beta)$, ihre Achse ist die Gerade $x = - \alpha$. Für $a > 0$ ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel, für $a
Lassen Sie uns nun eine Untersuchung des quadratischen Trinoms durchführen, d. h. wir werden seine Eigenschaften in Abhängigkeit von den numerischen Werten der Koeffizienten $a, b, c$ in seinem Ausdruck (1) herausfinden.
In Gleichung (2") bezeichnen wir den Wert $b^2- 4ac$ mit $d$:
$y = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ wird als Diskriminante eines quadratischen Trinoms bezeichnet. Die Eigenschaften des Trinoms (1) (und die Lage seines Graphen) werden durch die Vorzeichen der Diskriminante $d$ und des führenden Koeffizienten $a$ bestimmt.
1) $a > 0, d 0$; da $a > 0$, dann befindet sich der Graph über dem Scheitelpunkt $O^( \prime)$; es liegt in der oberen Halbebene ($y > 0$ - Abb. a.).
2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Der Scheitelpunkt $O^( \prime)$ liegt unterhalb der $Ox$-Achse, die Parabel schneidet die $Ox$-Achse in zwei Punkten $x_1, x_2$ (Abb. c.).
4) $a 0$. Der Scheitelpunkt $O^( \prime)$ liegt über der $Ox$-Achse, die Parabel schneidet die $Ox$-Achse wiederum in zwei Punkten $x_1, x_2$ (Abb. d).
5) $a > 0, d = 0$. Der Scheitelpunkt liegt auf der $Ox$-Achse selbst, die Parabel liegt in der oberen Halbebene (Abb. e).
6) $a
Schlussfolgerungen. Wenn $d 0$) oder niedriger (wenn $a
Wenn $d > 0$, dann ist die Funktion alternierend (der Graph liegt teilweise unterhalb und teilweise oberhalb der $Ox$-Achse). Ein quadratisches Trinom mit $d > 0$ hat zwei Wurzeln (Nullen) $x_1, x_2$. Für $a > 0$ ist es im Intervall zwischen den Wurzeln negativ (Abb. c) und außerhalb dieses Intervalls positiv. Bei $a
Definiert durch die Formel $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Die Zahlen $a, b$ und $c$ sind die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms normalerweise genannt: a – der führende, b – zweiter oder mittlerer Koeffizient, c – freier Term. Eine Funktion der Form y = ax 2 + bx + c heißt quadratische Funktion.
Alle diese Parabeln haben ihren Scheitelpunkt im Ursprung; für a > 0 ist dies der tiefste Punkt des Graphen (der kleinste Wert der Funktion) und für a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.
Wie man sieht, ist die Parabel für a > 0 nach oben gerichtet, für a< 0 - вниз.
Es gibt eine einfache und praktische grafische Methode, mit der Sie beliebig viele Punkte der Parabel y = ax 2 ohne Berechnungen konstruieren können, wenn ein anderer Punkt der Parabel als der Scheitelpunkt bekannt ist. Der Punkt M(x 0 , y 0) liege auf der Parabel y = ax 2 (Abb. 2). Wenn wir zusätzlich n Punkte zwischen den Punkten O und M konstruieren wollen, dann teilen wir das Segment ON der Abszissenachse in n + 1 gleiche Teile und zeichnen an den Teilungspunkten Senkrechte zur Ox-Achse. Wir teilen die Strecke NM in ebenso viele gleiche Teile und verbinden die Teilungspunkte durch Strahlen mit dem Koordinatenursprung. Die erforderlichen Punkte der Parabel liegen im Schnittpunkt von Senkrechten und Strahlen mit den gleichen Nummern (in Abb. 2 beträgt die Anzahl der Teilungspunkte 9).
Der Graph der Funktion y = ax 2 + bx + c unterscheidet sich vom Graphen y = ax 2 nur in seiner Position und kann durch einfaches Verschieben der Kurve auf der Zeichnung erhalten werden. Dies folgt aus der Darstellung des quadratischen Trinoms in der Form
Daraus lässt sich leicht schließen, dass der Graph der Funktion y = ax 2 + bx + c eine Parabel y = ax 2 ist, deren Scheitelpunkt auf den Punkt verschoben wird
und seine Symmetrieachse blieb parallel zur Oy-Achse (Abb. 3). Aus dem resultierenden Ausdruck für ein quadratisches Trinom lassen sich alle seine Grundeigenschaften leicht ableiten. Der Ausdruck D = b 2 − 4ac heißt Diskriminante des quadratischen Trinoms ax 2 + bx + c und Diskriminante der zugehörigen quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt, ob der Graph der Das quadratische Trinom schneidet die x-Achse oder liegt auf derselben Seite von ihr. Nämlich, wenn D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, dann liegt die Parabel über der Ox-Achse, und wenn a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 Der Graph eines quadratischen Trinoms schneidet die x-Achse in zwei Punkten x 1 und x 2, die die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 sind und jeweils gleich sind
Bei D = 0 berührt die Parabel die Ox-Achse im Punkt
Die Eigenschaften des quadratischen Trinoms bilden die Grundlage für die Lösung quadratischer Ungleichungen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erklären. Angenommen, wir müssen alle Lösungen für die Ungleichung 3x 2 - 2x - 1 finden< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, dann hat die entsprechende quadratische Gleichung 3x 2 − 2x − 1 = 0 zwei verschiedene Wurzeln, sie werden durch die zuvor angegebenen Formeln bestimmt:
x 1 = −1/3 und x 2 = 1.
Im betrachteten quadratischen Trinom ist a = 3 > 0, was bedeutet, dass die Äste seines Graphen nach oben gerichtet sind und die Werte des quadratischen Trinoms nur im Intervall zwischen den Wurzeln negativ sind. Alle Lösungen der Ungleichung erfüllen also die Bedingung
−1/3 < x < 1.
Verschiedene Ungleichungen können durch dieselben Substitutionen, mit denen verschiedene Gleichungen auf quadratische reduziert werden, auf quadratische Ungleichungen reduziert werden.
