Finden Sie Zähler und Nenner. Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen: Die Zahl über dem Strich heißt Zähler, die Zahl unter dem Strich Nenner. Der Nenner gibt die Gesamtzahl der Teile an, in die ein Ganzes zerlegt wird, und der Zähler ist die betrachtete Anzahl solcher Teile.

• Beispiel: Beim Bruch ½ ist der Zähler 1 und der Nenner 2.

Bestimme den Nenner. Wenn zwei oder mehr Brüche einen gemeinsamen Nenner haben, haben diese Brüche die gleiche Zahl unter dem Strich, das heißt, in diesem Fall wird ein Ganzes in die gleiche Anzahl von Teilen geteilt. Das Addieren von Brüchen mit einem gemeinsamen Nenner ist sehr einfach, da der Nenner des Gesamtbruchs derselbe ist wie der der zu addierenden Brüche. Zum Beispiel:

• Die Brüche 3/5 und 2/5 haben einen gemeinsamen Nenner 5.
• Die Brüche 3/8, 5/8, 17/8 haben einen gemeinsamen Nenner 8.

Bestimmen Sie die Zähler. Um Brüche mit einem gemeinsamen Nenner zu addieren, addiere ihre Zähler und schreibe das Ergebnis über den Nenner der addierten Brüche.

• Die Brüche 3/5 und 2/5 haben die Zähler 3 und 2.
• Die Brüche 3/8, 5/8, 17/8 haben die Zähler 3, 5, 17.

Addiere die Zähler. In Aufgabe 3/5 + 2/5 addiere die Zähler 3 + 2 = 5. In Aufgabe 3/8 + 5/8 + 17/8 addiere die Zähler 3 + 5 + 17 = 25.

Schreibe die Summe auf. Denken Sie daran, dass beim Addieren von Brüchen mit einem gemeinsamen Nenner dieser unverändert bleibt - nur die Zähler werden addiert.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Wandle den Bruch um, falls nötig. Manchmal kann ein Bruch als ganze Zahl und nicht als gewöhnlicher oder Dezimalbruch geschrieben werden. Zum Beispiel lässt sich der Bruch 5/5 leicht in 1 umwandeln, da jeder Bruch, dessen Zähler gleich dem Nenner ist, 1 ist. Stellen Sie sich einen Kuchen vor, der in drei Teile geteilt wird. Wenn Sie alle drei Teile essen, dann essen Sie den ganzen (einen) Kuchen.

• Jeder gewöhnliche Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden; Teilen Sie dazu den Zähler durch den Nenner. Der Bruch 5/8 kann beispielsweise so geschrieben werden: 5 ÷ 8 = 0,625.

Vereinfache den Bruch wenn möglich. Ein vereinfachter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben.

• Betrachten Sie zum Beispiel den Bruch 3/6. Hier haben sowohl Zähler als auch Nenner einen gemeinsamen Teiler gleich 3, d. h. Zähler und Nenner sind vollständig durch 3 teilbar. Daher kann der Bruch 3/6 wie folgt geschrieben werden: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Wandle den unechten Bruch gegebenenfalls in einen gemischten Bruch (gemischte Zahl) um. Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner, z. B. 25/8 (bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner). Ein unechter Bruch kann in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, der aus einem ganzzahligen Teil (also einer ganzen Zahl) und einem Bruchteil (also einem echten Bruch) besteht. Gehen Sie folgendermaßen vor, um einen unechten Bruch wie 25/8 in eine gemischte Zahl umzuwandeln:

• Teilen Sie den Zähler des unechten Bruchs durch seinen Nenner; notieren Sie den unvollständigen Quotienten (die ganze Antwort). In unserem Beispiel: 25 ÷ 8 = 3 plus etwas Rest. BEI dieser Fall die ganze Antwort ist der ganzzahlige Teil der gemischten Zahl.
• Finden Sie den Rest. In unserem Beispiel: 8 x 3 = 24; subtrahieren Sie das Ergebnis vom ursprünglichen Zähler: 25 - 24 \u003d 1, dh der Rest ist 1. In diesem Fall ist der Rest der Zähler des Bruchteils der gemischten Zahl.
• Schreibe einen gemischten Bruch. Der Nenner ändert sich nicht (d. h. er ist gleich dem Nenner des unechten Bruchs), also 25/8 = 3 1/8.

Unterrichtsinhalt

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Beginnen wir mit der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Lassen Sie uns zum Beispiel die Brüche und addieren. Wir addieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Wenn Sie Pizza zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizza:

Beispiel 2 Addiere Brüche und .

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Wenn das Ende der Aufgabe kommt, ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen. In unserem Fall ist der ganzzahlige Teil einfach zuzuordnen - zwei geteilt durch zwei ist gleich eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine zweigeteilte Pizza denken. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Addieren Sie wieder die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Wenn Sie mehr Pizzen zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizzen:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und mehr Pizzen.

Wie du siehst, ist das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner nicht schwierig. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner dieser Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Zum Beispiel können Brüche addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Brüche können jedoch nicht auf einmal addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu bringen. Heute werden wir nur eine davon betrachten, da die restlichen Methoden für einen Anfänger kompliziert erscheinen mögen.

Das Wesen dieser Methode liegt darin, dass zuerst (LCM) der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs geteilt und der erste zusätzliche Faktor wird erhalten. Das gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – das LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs geteilt und der zweite zusätzliche Faktor wird erhalten.

Dann werden die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Brüche addieren und

Zunächst finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Nun zurück zu den Brüchen und . Zuerst dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Faktor. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Dazu ziehen wir einen kleinen Schrägstrich über den Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Faktor. Wir schreiben es in den zweiten Bruch. Auch hier machen wir einen kleinen Schrägstrich über dem zweiten Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Jetzt können wir alles hinzufügen. Es bleibt, die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, was wir erreicht haben. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Damit endet das Beispiel. Um es hinzuzufügen, stellt sich heraus.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Das Kürzen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Fraktionen werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile geteilt (auf denselben Nenner gebracht) werden.

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (vier Teile von sechs) und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei Teile von sechs). Wenn wir diese Teile zusammenfügen, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist falsch, deshalb haben wir den ganzzahligen Teil darin hervorgehoben. Das Ergebnis war (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu detailliert gemalt haben. In Bildungseinrichtungen ist es nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, das LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren schnell zu finden und die zusätzlichen Faktoren, die von Ihren Zählern und Nennern gefunden wurden, schnell zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch die andere Seite der Medaille. Wenn in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen gemacht werden, dann solche Fragen „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden aus Brüchen plötzlich ganz andere Brüche? «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu vereinfachen, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen;
2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch;
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Brüche mit gleichem Nenner addieren;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus;

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Lassen Sie uns die Anweisungen oben verwenden.

Schritt 1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen

Finde das LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch

Teilen Sie das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, erhalten wir 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit Ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit unseren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit gleichem Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Es bleibt, diese Brüche zu addieren. Addieren:

Die Addition passte nicht in eine Zeile, also haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. In Mathematik ist dies erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile übernommen, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang einer neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) gesetzt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass dies eine Fortsetzung des Ausdrucks in der ersten Zeile ist.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil darin aus

Unsere Antwort ist ein unechter Bruch. Wir müssen den ganzen Teil davon herausgreifen. Wir heben hervor:

Habe eine Antwort bekommen

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Es gibt zwei Arten der Bruchsubtraktion:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Lass uns zuerst lernen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, musst du den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks finden. Um dieses Beispiel zu lösen, ist es notwendig, den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner unverändert zu lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der restlichen Brüche subtrahieren:

Wie du siehst, ist es nicht kompliziert, Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil darin auswählen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispielsweise kann ein Bruch von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche denselben Nenner haben. Aber ein Bruch kann nicht von einem Bruch subtrahiert werden, weil diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip gefunden, das wir beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Bestimmen Sie zunächst das kgV der Nenner beider Brüche. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über den ersten Bruch geschrieben wird. In ähnlicher Weise wird das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über den zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner bringen.

Zuerst finden wir das LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Nun zurück zu Brüchen und

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, erhalten wir 4. Wir schreiben die Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie ein Tripel über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Habe eine Antwort bekommen

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie Pizzen aus einer Pizza schneiden, erhalten Sie Pizzen.

Dies ist die ausführliche Version der Lösung. In der Schule müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde wie folgt aussehen:

Das Kürzen von Brüchen und auf einen gemeinsamen Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch dieselben Pizzastücke dargestellt, aber dieses Mal werden sie in dieselben Brüche geteilt (auf denselben Nenner gekürzt):

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruchteil (acht Teile von zwölf), und das zweite Bild zeigt einen Bruchteil (drei Teile von zwölf). Indem wir drei von acht Stücken abschneiden, erhalten wir fünf von zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Stücke.

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie zuerst auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Finden Sie das LCM der Nenner dieser Brüche.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir zusätzliche Faktoren für jeden Bruch. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, erhalten wir den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, also verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Anteil reduzieren.

Um einen Bruch zu kürzen, musst du seinen Zähler und Nenner durch (gcd) die Zahlen 20 und 30 dividieren.

Wir finden also den ggT der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen ggT, ​​also durch 10

Habe eine Antwort bekommen

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multipliziere den Bruch mit der Zahl 1.

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Der Eintrag kann so verstanden werden, dass er die Hälfte der 1-Zeit in Anspruch nimmt. Wenn Sie zum Beispiel 1 Mal Pizza nehmen, erhalten Sie Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Multiplikator vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich . Auch hier funktioniert die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Dieser Eintrag kann als Übernahme der Hälfte der Einheit verstanden werden. Wenn es zum Beispiel 1 ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man 4 mal zwei Viertel nimmt. Wenn Sie beispielsweise viermal Pizza nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen.

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator stellenweise vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es ist auch gleich 2. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass zwei Pizzen von vier ganzen Pizzen genommen werden:

Multiplikation von Brüchen

Um Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Beispiel 1 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Habe eine Antwort bekommen. Es ist wünschenswert, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 gekürzt werden. Dann hat die endgültige Lösung folgende Form:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man eine Pizza von einer halben Pizza nimmt. Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nehme ich zwei Drittel von dieser Hälfte? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Stücken:

Wir holen Pizza. Denken Sie daran, wie eine Pizza aussieht, die in drei Teile geteilt ist:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, haben die gleichen Abmessungen:

Mit anderen Worten, wir sprechen von der gleichen Pizzagröße. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, aber es wird gut sein, wenn es reduziert wird. Um diesen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Finden wir also den ggT der Zahlen 105 und 450:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort auf den nun gefundenen ggT, ​​also durch 15

Eine ganze Zahl als Bruch darstellen

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Daher ändert die Fünf ihre Bedeutung nicht, da der Ausdruck „die Zahl Fünf geteilt durch Eins“ bedeutet und dies, wie Sie wissen, gleich Fünf ist:

Zahlen umkehren

Jetzt werden wir uns mit einem sehr interessanten Thema in der Mathematik vertraut machen. Es heißt "umgekehrte Zahlen".

Definition. Umgekehrt zur Zahla ist die Zahl, die, wenn multipliziert mita gibt eine Einheit.

Lassen Sie uns in dieser Definition eine Variable ersetzen a Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Zahl 5 ist die Zahl, die, wenn multipliziert mit 5 gibt eine Einheit.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 5 multipliziert wird, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Stellen wir fünf als Bruch dar:

Dann multipliziere diesen Bruch mit sich selbst, vertausche einfach Zähler und Nenner. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur umgekehrt:

Was wird daraus resultieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eins:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn 5 mit eins multipliziert wird, erhält man eins.

Der Kehrwert kann auch für jede andere ganze Zahl gefunden werden.

Du kannst auch den Kehrwert für jeden anderen Bruch finden. Dazu reicht es aus, es umzudrehen.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viele Pizzen bekommt jeder?

Es ist ersichtlich, dass nach dem Teilen der Hälfte der Pizza zwei gleiche Stücke erhalten wurden, die jeweils eine Pizza bilden. Also bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt mit Kehrwerten. Mit Kehrwerten können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Teilung unserer Hälfte der Pizza in zwei Teile auf.

Also musst du den Bruch durch die Zahl 2 teilen. Hier ist der Dividende ein Bruch und der Divisor 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist ein Bruch. Also musst du mit multiplizieren

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So addieren Sie Dezimalstellen

Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen. Um Dezimalstellen hinzuzufügen, müssen Sie eine einfache Regel befolgen:

• Die Ziffer muss unter der Ziffer stehen, Komma unter dem Komma.

Wie Sie im Beispiel sehen, stehen ganze Einheiten untereinander, Zehntel und Hundertstel untereinander. Jetzt fügen wir die Zahlen hinzu und ignorieren das Komma. Was tun mit einem Komma? Das Komma wird an die Stelle übertragen, an der es bei der Entladung von ganzen Zahlen stand.

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Um eine Addition mit einem gemeinsamen Nenner durchzuführen, müssen Sie den Nenner unverändert lassen, die Summe der Zähler finden und einen Bruch erhalten, der der Gesamtbetrag ist.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, indem man ein gemeinsames Vielfaches findet

Das erste, worauf Sie achten sollten, sind die Nenner. Die Nenner sind verschieden, ob einer durch den anderen teilbar ist, ob es Primzahlen sind. Zuerst müssen Sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dazu gibt es mehrere Möglichkeiten:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, um dieses Beispiel zu lösen, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) finden, das durch 2 Nenner teilbar ist. Um das kleinste Vielfache von a und b zu bezeichnen - LCM (a; b). In diesem Beispiel LCM (3;4)=12. Prüfen: 12:3=4; 12:4=3.
• Wir multiplizieren die Faktoren und führen die Addition der resultierenden Zahlen durch, wir erhalten 13/12 - einen unechten Bruch.

• Um einen unechten Bruch in einen echten Bruch umzuwandeln, teilen wir den Zähler durch den Nenner, wir erhalten die ganze Zahl 1, der Rest 1 ist der Zähler und 12 der Nenner.

Brüche addieren mit Kreuzmultiplikation

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, gibt es einen anderen Weg nach der „Kreuz für Kreuz“-Formel. Dies ist ein garantierter Weg, um die Nenner auszugleichen, dazu müssen Sie die Zähler mit dem Nenner eines Bruchs multiplizieren und umgekehrt. Wenn Sie gerade erst in der Anfangsphase des Lernens von Brüchen sind, dann ist diese Methode der einfachste und genaueste Weg, um das richtige Ergebnis zu erhalten, wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren.

Brüche sind gewöhnliche Zahlen, sie können auch addiert und subtrahiert werden. Da sie aber einen Nenner haben, sind hier komplexere Regeln erforderlich als bei ganzen Zahlen.

Betrachten Sie den einfachsten Fall, wenn es zwei Brüche mit demselben Nenner gibt. Dann:

Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addieren Sie ihre Zähler und lassen den Nenner unverändert.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner wieder unverändert zu lassen.

Innerhalb jedes Ausdrucks sind die Nenner der Brüche gleich. Durch die Definition von Addition und Subtraktion von Brüchen erhalten wir:

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes: Addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler - und das war's.

Aber selbst bei solch einfachen Handlungen schaffen es Menschen, Fehler zu machen. Meistens vergessen sie, dass sich der Nenner nicht ändert. Wenn sie beispielsweise addiert werden, beginnen sie sich auch zu summieren, und das ist grundlegend falsch.

Die schlechte Angewohnheit, Nenner zu addieren, loszuwerden, ist ganz einfach. Versuchen Sie dasselbe beim Subtrahieren. Dadurch wird der Nenner Null und der Bruch verliert (plötzlich!) seine Bedeutung.

Denken Sie deshalb ein für alle Mal daran: Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich der Nenner nicht!

Außerdem machen viele Leute Fehler, wenn sie mehrere negative Brüche addieren. Es gibt Verwirrung mit den Zeichen: wo ein Minus und wo - ein Plus.

Auch dieses Problem ist sehr einfach zu lösen. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass das Minus vor dem Bruchzeichen immer auf den Zähler übertragen werden kann – und umgekehrt. Und natürlich zwei einfache Regeln nicht vergessen:

1. Plus mal Minus ergibt Minus;
2. Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Analysieren wir das alles anhand konkreter Beispiele:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall ist alles einfach, und im zweiten Fall fügen wir den Zählern der Brüche Minuspunkte hinzu:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind?

Sie können Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht direkt addieren. Diese Methode ist mir zumindest unbekannt. Die ursprünglichen Brüche können jedoch immer so umgeschrieben werden, dass die Nenner gleich werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Brüche umzuwandeln. Drei davon werden in der Lektion "Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen" besprochen, daher werden wir uns hier nicht mit ihnen beschäftigen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall bringen wir die Brüche mit der „Kreuzweise“-Methode auf einen gemeinsamen Nenner. Im zweiten suchen wir nach dem LCM. Beachten Sie, dass 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Die letzten Teiler in diesen Erweiterungen sind gleich, und die ersten sind teilerfremd. Daher ist LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Was ist, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat?

Ich kann Sie erfreuen: Unterschiedliche Nenner von Brüchen sind nicht das größte Übel. Viel mehr Fehler treten auf, wenn der ganze Teil in den Bruchzahlen hervorgehoben wird.

Natürlich gibt es für solche Brüche eigene Additions- und Subtraktionsalgorithmen, aber sie sind ziemlich kompliziert und erfordern ein langes Studium. Verwenden Sie besser das einfache Diagramm unten:

1. Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte um. Wir erhalten normale Terme (wenn auch mit unterschiedlichen Nennern), die nach den oben diskutierten Regeln berechnet werden;
2. Berechnen Sie tatsächlich die Summe oder Differenz der resultierenden Brüche. Als Ergebnis werden wir praktisch die Antwort finden;
3. Wenn dies in der Aufgabe nicht erforderlich war, führen wir die Rücktransformation durch, d.h. Wir entfernen den unechten Bruch und markieren den ganzzahligen Teil darin.

Die Regeln zum Wechseln zu unechten Brüchen und zum Hervorheben des ganzzahligen Teils werden ausführlich in der Lektion "Was ist ein numerischer Bruch" beschrieben. Wenn Sie sich nicht erinnern, wiederholen Sie es unbedingt. Beispiele:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Hier ist alles einfach. Die Nenner in jedem Ausdruck sind gleich, also müssen alle Brüche in unechte umgewandelt und gezählt werden. Wir haben:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, habe ich in den letzten Beispielen einige offensichtliche Schritte übersprungen.

Eine kleine Anmerkung zu den letzten beiden Beispielen, wo Brüche mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil subtrahiert werden. Das Minus vor dem zweiten Bruch bedeutet, dass der ganze Bruch subtrahiert wird und nicht nur sein ganzer Teil.

Lesen Sie diesen Satz noch einmal, sehen Sie sich die Beispiele an und denken Sie darüber nach. Dies ist, wo Anfänger erlauben große Menge Fehler. Solche Aufgaben geben sie gerne bei Kontrollarbeiten ab. Auch in den Tests zu dieser Lektion, die in Kürze veröffentlicht wird, werden Sie ihnen immer wieder begegnen.

Zusammenfassung: Allgemeines Rechenschema

Abschließend gebe ich einen allgemeinen Algorithmus an, der Ihnen hilft, die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen zu finden:

1. Wenn ein ganzzahliger Teil in einem oder mehreren Brüchen hervorgehoben ist, wandeln Sie diese Brüche in unechte um;
2. Bringen Sie alle Brüche auf eine für Sie bequeme Weise auf einen gemeinsamen Nenner (außer natürlich, die Compiler der Aufgaben haben dies getan);
3. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Zahlen gemäß den Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner.
4. Reduzieren Sie das Ergebnis, wenn möglich. Wenn sich herausstellt, dass der Bruch falsch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Denken Sie daran, dass es besser ist, den ganzen Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, kurz bevor Sie die Antwort schreiben.

Betrachten Sie den Bruch $\frac63$. Sein Wert ist 2, da $\frac63 =6:3 = 2$. Was passiert, wenn Zähler und Nenner mit 2 multipliziert werden? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Offensichtlich hat sich der Wert des Bruchs nicht geändert, also ist $\frac(12)(6)$ auch gleich 2 als y. Zähler und Nenner multiplizieren um 3 und erhalte $\frac(18)(9)$ oder um 27 und erhalte $\frac(162)(81)$ oder um 101 und erhalte $\frac(606)(303)$. In jedem dieser Fälle ist der Wert des Bruchs, den wir durch Teilen des Zählers durch den Nenner erhalten, 2. Das bedeutet, dass er sich nicht geändert hat.

Dasselbe Muster wird im Fall anderer Fraktionen beobachtet. Wenn Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(120)(60)$ (gleich 2) durch 2 (Ergebnis von $\frac(60)(30)$) oder durch 3 (Ergebnis von $\ frac(40)(20) $), oder durch 4 (das Ergebnis von $\frac(30)(15)$) und so weiter, dann bleibt der Wert des Bruchs jeweils unverändert und gleich 2.

Diese Regel gilt auch für Brüche, die nicht gleich sind. ganze Zahl.

Wenn Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(3)$ mit 2 multipliziert werden, erhalten wir $\frac(2)(6)$, das heißt, der Wert des Bruchs hat sich nicht geändert. Und tatsächlich, wenn Sie den Kuchen in 3 Teile teilen und einen davon nehmen, oder ihn in 6 Teile teilen und 2 Teile nehmen, erhalten Sie in beiden Fällen die gleiche Menge Kuchen. Daher sind die Zahlen $\frac(1)(3)$ und $\frac(2)(6)$ identisch. Formulieren wir eine allgemeine Regel.

Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs können mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, und der Wert des Bruchs ändert sich nicht.

Diese Regel ist sehr nützlich. Beispielsweise erlaubt es in einigen Fällen, aber nicht immer, Operationen mit großen Zahlen zu vermeiden.

Zum Beispiel können wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(126)(189)$ durch 63 dividieren und erhalten den viel einfacher zu berechnenden Bruch $\frac(2)(3)$. Noch ein Beispiel. Wir können Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(155)(31)$ durch 31 teilen und erhalten den Bruch $\frac(5)(1)$ oder 5, da 5:1=5.

In diesem Beispiel begegneten wir zuerst ein Bruch, dessen Nenner 1 ist. Solche Brüche spielen bei Berechnungen eine wichtige Rolle. Es sollte daran erinnert werden, dass jede Zahl durch 1 geteilt werden kann und ihr Wert sich nicht ändert. Das heißt, $\frac(273)(1)$ ist gleich 273; $\frac(509993)(1)$ entspricht 509993 und so weiter. Daher müssen wir Zahlen nicht durch dividieren, da jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann.

Mit solchen Brüchen, deren Nenner gleich 1 ist, können Sie die gleichen Rechenoperationen durchführen wie mit allen anderen Brüchen: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Sie fragen sich vielleicht, was es nützt, eine ganze Zahl als Bruch darzustellen, der eine Einheit unter dem Strich hat, weil es bequemer ist, mit einer ganzen Zahl zu arbeiten. Tatsache ist jedoch, dass uns die Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch die Möglichkeit gibt, verschiedene Aktionen effizienter auszuführen, wenn wir es gleichzeitig mit ganzen Zahlen und Bruchzahlen zu tun haben. Zum Beispiel zum Lernen Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren. Angenommen, wir müssen $\frac(1)(3)$ und $\frac(1)(5)$ hinzufügen.

Wir wissen, dass man nur Brüche addieren kann, deren Nenner gleich sind. Wir müssen also lernen, Brüche in eine solche Form zu bringen, wenn ihre Nenner gleich sind. Auch in diesem Fall benötigen wir wieder die Tatsache, dass man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multiplizieren kann, ohne deren Wert zu verändern.

Zuerst multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(3)$ mit 5. Wir erhalten $\frac(5)(15)$, der Wert des Bruchs hat sich nicht geändert. Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs $\frac(1)(5)$ mit 3. Wir erhalten $\frac(3)(15)$, auch hier hat sich der Wert des Bruchs nicht geändert. Daher ist $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Versuchen wir nun, dieses System auf die Addition von Zahlen anzuwenden, die sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Teile enthalten.

Wir müssen $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ hinzufügen. Zuerst wandeln wir alle Terme in Brüche um und erhalten: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Jetzt müssen wir alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 12, des zweiten mit 4 und des dritten mit 3. Als Ergebnis erhalten wir $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, was gleich $\frac(55)(12)$ ist. Wenn Sie loswerden wollen unechter Bruch, kann sie in eine Zahl umgewandelt werden, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil besteht: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ oder $4\frac( 7)(12)$.

Alle Regeln, die es erlauben Operationen mit Brüchen, die wir gerade untersucht haben, gelten auch für negative Zahlen. Also kann -1: 3 als $\frac(-1)(3)$ und 1: (-3) als $\frac(1)(-3)$ geschrieben werden.

Da sowohl die Division einer negativen Zahl durch eine positive Zahl als auch die Division einer positiven Zahl durch eine negative negative Zahlen ergeben, erhalten wir in beiden Fällen die Antwort in Form einer negativen Zahl. Also

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ oder $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Das so geschriebene Minuszeichen bezieht sich auf den ganzen Bruch als Ganzes und nicht einzeln auf den Zähler oder Nenner.

Andererseits kann (-1) : (-3) als $\frac(-1)(-3)$ geschrieben werden, und da die Division einer negativen Zahl durch eine negative Zahl eine positive Zahl ergibt, dann $\frac (-1 )(-3)$ kann als $+\frac(1)(3)$ geschrieben werden.

Die Addition und Subtraktion negativer Brüche erfolgt auf die gleiche Weise wie die Addition und Subtraktion positiver Brüche. Was ist zum Beispiel $1- 1\frac13$? Stellen wir beide Zahlen als Brüche dar und erhalten $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und erhalten $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, also $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, oder $-\frac(1)(3)$.