Aufgabe 1 #6329

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils das System \[\begin(cases) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(cases)\]

hat genau vier Lösungen.

(USE 2018, Hauptwelle)

Die zweite Gleichung des Systems kann umgeschrieben werden als \(y=\pm x\) . Betrachten Sie daher zwei Fälle: wenn \(y=x\) und wenn \(y=-x\) . Dann ist die Anzahl der Lösungen des Systems gleich der Summe der Anzahl der Lösungen im ersten und zweiten Fall.

1) \(y=x\) . Setze die erste Gleichung ein und erhalte: \ (Beachten Sie, dass wir im Fall von \(y=-x\) dasselbe tun und auch eine quadratische Gleichung erhalten)
Damit das ursprüngliche System 4 hat verschiedene Lösungen, müssen Sie in jedem der beiden Fälle 2 Lösungen erhalten.
Eine quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln, wenn sie \(D>0\) ist. Lassen Sie uns die Diskriminante von Gleichung (1) finden:
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Diskriminante größer Null: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . Wir erhalten eine quadratische Gleichung: \ Die Diskriminante ist größer als Null: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , woher \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).

Es ist zu prüfen, ob die Lösungen im ersten Fall die gleichen sind wie die Lösungen im zweiten Fall.

Es sei \(x_0\). gemeinsame Entscheidung Gleichungen (1) und (2), dann \ Von hier erhalten wir entweder \(x_0=0\) oder \(a=0\) .
Wenn \(a=0\) , dann erweisen sich die Gleichungen (1) und (2) als gleich, also haben sie es identische Wurzeln. Dieser Fall passt nicht zu uns.
Wenn \(x_0=0\) - ihre gemeinsame Wurzel, also dann \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), woher \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , woher \(a=-1\) oder \(a=-0,6\) . Dann wird das gesamte ursprüngliche System 3 verschiedene Lösungen haben, was uns nicht passt.

Angesichts all dessen lautet die Antwort:

Antworten:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \Rechts)\)

Aufgabe 2 #4032

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte \(a\) , für die jeweils das System \[\begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

Es hat einzige Entscheidung.

Schreiben wir das System um als: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\] Betrachten Sie drei Funktionen: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Aus dem System folgt, dass \(y\leqslant g\) , aber \(y\geqslant h\) . Damit das System Lösungen hat, muss also der Graph \(y\) in dem Bereich liegen, der durch die Bedingungen gegeben ist: „oberhalb“ des Graphen \(h\) , aber „unterhalb“ des Graphen \(g\ ) :

(Wir nennen die „linke“ Region Region I, die „rechte“ Region - Region II)
Beachten Sie, dass es für jeden festen \(a\ne 0\) Graphen \(y\) eine Parabel gibt, deren Scheitelpunkt am Punkt \((-1;0)\) liegt und deren Äste entweder nach oben oder nach unten verlaufen. Wenn \(a=0\) , dann sieht die Gleichung wie \(y=0\) aus und der Graph ist eine gerade Linie, die mit der x-Achse zusammenfällt.
Beachten Sie, dass es notwendig ist, dass der Graph \(y\) genau einen gemeinsamen Punkt mit Region I oder Region II hat, damit das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung hat (das bedeutet, dass der Graph \(y\) a haben muss einziger gemeinsamer Punkt mit der Grenze einer dieser Regionen).

Betrachten wir mehrere Fälle separat.

1) \(a>0\) . Dann werden die Äste der Parabel \(y\) nach oben gedreht. Haben ursprüngliches System Es gab nur eine Lösung, es ist notwendig, dass die Parabel \(y\) die Grenze der Region I oder die Grenze der Region II berührt, dh sie berührt die Parabel \(g\) und die Abszisse des Punktes von Der Kontakt sollte \(\leqslant -3\) oder \(\ geqslant 2\) sein (d. h. die Parabel \(y\) muss den Rand einer der Regionen berühren, die über der Abszissenachse liegt, da die Parabel \ (y\) liegt oberhalb der Abszissenachse).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Bedingungen für die Berührung der Graphen \(y\) und \(g\) im Abszissenpunkt \(x_0\leqslant -3\) oder \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin(cases) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered)\right. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(cases)\] Aus dem gegebenen System \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Wir haben den ersten Wert des Parameters \(a\) erhalten.

2) \(a=0\) . Dann \(y=0\) und es ist klar, dass die Linie hat unendlicher Satz Gemeinsame Punkte mit Bereich II. Daher passt dieser Parameterwert nicht zu uns.

3) \(ein<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Finde \(a\), für die die Parabel \(y\) durch den Punkt \(B\) geht: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rechtspfeil\quad a=-\dfrac34\] Wir stellen sicher, dass bei diesem Wert des Parameters der zweite Schnittpunkt der Parabel \(y=-\frac34(x+1)^2\) mit der Geraden \(h=-2x-1\) a ist Punkt mit Koordinaten \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
Somit haben wir einen weiteren Parameterwert erhalten.

Da wir alle möglichen Fälle für \(a\) berücksichtigt haben, lautet die endgültige Antwort: \

Antworten:

\(\links\(-\frac34; \frac43\rechts\)\)

Aufgabe 3 #4013

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils das Gleichungssystem \[\begin(cases) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(cases)\]

hat genau zwei Lösungen.

1) Betrachten Sie die erste Gleichung des Systems als quadratisch bezüglich \(x\) : \ Die Diskriminante ist gleich \(D=9y^2\) , also \ Dann kann die Gleichung umgeschrieben werden als \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Daher kann das ganze System umgeschrieben werden als \[\begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &y=2x\\ &y=0.5x\end(aligned)\end(gathered)\right.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\end(cases)\] Die Menge definiert zwei Geraden, die zweite Gleichung des Systems definiert einen Kreis mit Mittelpunkt \((a;a)\) und Radius \(R=\sqrt5a^2\) . Damit die ursprüngliche Gleichung zwei Lösungen hat, muss der Kreis den Bevölkerungsgraphen an genau zwei Punkten schneiden. Hier ist die Zeichnung, wenn zum Beispiel \(a=1\) :


Beachten Sie, dass, da die Koordinaten des Kreismittelpunkts gleich sind, der Kreismittelpunkt entlang der Geraden \(y=x\) „läuft“.

2) Da die Linie \(y \u003d kx\) die Tangente des Neigungswinkels dieser Linie zur positiven Richtung der Achse \(Ox\) hat, ist \(k\), dann ist die Tangente der Steigung von die Gerade \(y=0.5x\) ist gleich \(0,5\) (nennen wir sie \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), die Gerade \(y=2x\) ist es gleich \(2\) (nennen wir es \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). beachte das \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), Folglich, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Also \(\alpha=90^\circ-\beta\) , also \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Das bedeutet, dass der Winkel zwischen \(y=2x\) und der positiven Richtung \(Oy\) gleich dem Winkel zwischen \(y=0.5x\) und der positiven Richtung \(Ox\) ist:


Und da die Linie \(y=x\) die Winkelhalbierende des I-Koordinatenwinkels ist (d.h. die Winkel zwischen ihr und den positiven Richtungen \(Ox\) und \(Oy\) sind gleich in \(45^\ circ\) ), dann sind die Winkel zwischen \(y=x\) und den Linien \(y=2x\) und \(y=0.5x\) gleich.
Das alles brauchten wir, um zu sagen, dass die Geraden \(y=2x\) und \(y=0.5x\) zueinander symmetrisch bezüglich \(y=x\) sind, also wenn der Kreis eine berührt von ihnen , dann berührt es notwendigerweise die zweite Zeile.
Beachte, dass wenn \(a=0\) der Kreis in den Punkt \((0;0)\) degeneriert und nur einen Schnittpunkt mit beiden Geraden hat. Das heißt, dieser Fall passt nicht zu uns.
Damit der Kreis also 2 Schnittpunkte mit den Linien hat, muss er diese Linien tangieren:


Wir sehen, dass der Fall, wenn sich der Kreis im dritten Viertel befindet, symmetrisch (in Bezug auf den Koordinatenursprung) zu dem Fall ist, wenn er sich im ersten Viertel befindet. Das heißt, im ersten Viertel \(a>0\) und im dritten \(a<0\) (но такие же по модулю).
Daher betrachten wir nur das erste Quartal.


beachte das \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Dann dann \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\] Aber auf der anderen Seite, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\] Folglich, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm \ dfrac15\] Somit haben wir für \(a\) bereits sofort sowohl einen positiven als auch einen negativen Wert erhalten. Daher lautet die Antwort: \

Antworten:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Aufgabe 4 #3278

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte \(a\) , für die jeweils die Gleichung \

hat eine einzigartige Lösung.

(USE 2017, offizielle Testversion 21.04.2017)

Lassen Sie uns die Ersetzung \(t=5^x, t>0\) vornehmen und alle Terme in einen Teil verschieben: \ Wir haben eine quadratische Gleichung erhalten, deren Wurzeln nach dem Satz von Vieta \(t_1=a+6\) und \(t_2=5+3|a|\) sind. Damit die ursprüngliche Gleichung eine Wurzel hat, reicht es aus, dass die resultierende Gleichung mit \(t\) auch eine (positive!) Wurzel hat.
Wir bemerken sofort, dass \(t_2\) für alle \(a\) positiv sein wird. Somit erhalten wir zwei Fälle:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]

2) Da \(t_2\) immer positiv ist, muss \(t_1\) \(\leqslant 0\) sein: \

Antworten:

\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

Aufgabe 5 #3252

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

hat genau eine Wurzel auf dem Intervall \(\) .

(Einheitliches Staatsexamen 2017, Reservetag)

Die Gleichung kann umgeschrieben werden als: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\] Beachte also, dass \(x=a\) die Wurzel der Gleichung für jedes \(a\) ist, da die Gleichung zu \(0=0\) wird. Damit diese Wurzel zum Segment \(\) gehört, brauchen Sie \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
Die zweite Wurzel der Gleichung ergibt sich aus \(x+a=3x-1\) , also \(x=\frac(a+1)2\) . Damit diese Zahl die Wurzel der Gleichung sein kann, muss sie die ODZ der Gleichung erfüllen, das heißt: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Damit diese Wurzel zum Segment \(\) gehört, ist es notwendig, dass \ Damit also die Wurzel \(x=\frac(a+1)2\) existiert und zum Segment \(\) gehört, ist es notwendig, dass \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Beachten Sie, dass dann für \(0\leqslant a\leqslant 1\) beide Wurzeln \(x=a\) und \(x=\frac(a+1)2\) zur Strecke \(\) gehören (also , die Gleichung hat zwei Wurzeln auf diesem Segment), außer für den Fall, dass sie zusammenfallen: \ Also passen wir \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) und \(a=1\) .

Antworten:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)

Aufgabe 6 #3238

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung \

hat eine einzelne Wurzel auf dem Segment \(.\)

(Einheitliches Staatsexamen 2017, Reservetag)

Die Gleichung ist äquivalent: \ odz-Gleichung: \[\begin(cases) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(cases)\] Auf der ODZ wird die Gleichung in der Form umgeschrieben: \

1) Sei \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Stimmt nicht überein \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Sei \(a=0\) . Dann lautet die ODZ-Gleichung: \(x\geqslant 0\) . Die Gleichung wird umgeschrieben als: \ Die resultierende Wurzel passt unter die ODZ und ist im Segment \(\) enthalten. Daher ist \(a=0\) geeignet.

3) Sei \(a>0\) . Dann ODZ: \(x\geqslant a\) und \(x\leqslant 1\) . Wenn also \(a>1\) , dann ist die ODZ eine leere Menge. Also \(0 Betrachten Sie die Funktion \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Lass es uns erkunden.
Die Ableitung ist \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Lassen Sie uns bestimmen, welches Vorzeichen die Ableitung haben kann. Dazu finden Sie die Diskriminante der Gleichung \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a( a-9)\) Daher ist für \(a\in (0;1]\) die Diskriminante \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\) . Daher nimmt \(y\) zu. Aufgrund der Eigenschaft einer steigenden Funktion kann die Gleichung \(y(x)=0\) also höchstens eine Wurzel haben.

Damit also die Wurzel der Gleichung (der Schnittpunkt des Graphen \(y\) mit der x-Achse) auf dem Segment \(\) liegt, ist es notwendig, dass \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \] Bedenkt man, dass zunächst im betrachteten Fall \(a\in (0;1]\) die Antwort \(a\in (0;1]\) ist, dann ist die Antwort \(a\in (0;1]\) . Beachten Sie, dass die Wurzel \(x_1\) \( (1) \) , die Wurzeln \(x_2\) und \(x_3\) erfüllen \((2)\) Beachten Sie auch, dass die Wurzel \(x_1\) zum Segment \(\) gehört.
Betrachten Sie drei Fälle:

1) \(a>0\) . Dann \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) erfüllt \((2)\) , \(x_3\) erfüllt nicht \((1)\) , oder stimmt mit \(x_1\) überein, oder erfüllt \((1)\) , aber nicht im Segment \(\) enthalten (also kleiner als \(0\) );
- \(x_1\) erfüllt nicht \((2)\) , \(x_3\) erfüllt \((1)\) und ist nicht gleich \(x_1\) .
Beachten Sie, dass \(x_3\) nicht sowohl kleiner als Null sein als auch \((1)\) erfüllen kann (d. h. größer als \(\frac35\) ). Angesichts dieser Bemerkung werden die Fälle in der folgenden Gruppe aufgezeichnet: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Wenn wir diese Sammlung lösen und berücksichtigen, dass \(a>0\) , erhalten wir: \

2) \(a=0\) . Dann \(x_2=x_3=3\in .\) Beachten Sie, dass in diesem Fall \(x_1\) \((2)\) erfüllt und \(x_2=3\) \((1)\) erfüllt, dann dort ist eine Gleichung, die zwei Wurzeln bei \(\) hat. Dieser Wert \(a\) passt nicht zu uns.

3) \(ein<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) und \(x_3\notin \) . Wenn Sie ähnlich wie in Absatz 1 argumentieren, müssen Sie die Menge lösen: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(gesammelt)\right.\] Lösen Sie diese Sammlung und berücksichtigen Sie, dass \(a<0\) , получим: \\]

Antworten:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

Die Videovorlesung „Lösen von Problemen mit Parametern beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik“ enthält Schritt-für-Schritt-Lösungen zu Problemen mit Parametern, die sowohl bei diagnostischen und didaktischen Arbeiten in Mathematik, als auch beim realen Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik angeboten wurden 2017.

Die Videovorlesung „Aufgaben lösen mit Parametern zur Prüfung in Mathematik“ besteht aus fünf Teilen, ihre Gesamtdauer beträgt ca. 120 Minuten.

Die Kosten für den Videovortrag "Probleme mit Parametern bei der Prüfung in Mathematik lösen" 510 Rubel.

Machen Sie sich mit dem Inhalt des Videovortrags vertraut und sehen Sie sich dessen Fragment an.

1. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das Ungleichungssystem

hat mindestens eine Lösung für das Segment (frühe VERWENDUNG, 2017)

2. Finden Sie alle diese Werte des Parameters a, für die jeweils die Gleichung

hat Lösungen auf dem Segment (St. Petersburg, Probeprüfung, 2017)

3. Finden Sie alle diese Werte des Parameters a, für die jeweils die Gleichung

hat eine einzigartige Lösung. (Mio, 2017)

4. Finden Sie alle solchen Werte des Parameters a, für die die Gleichung gilt

hat eine einzelne Wurzel auf dem Segment . (Mio, 2017)

5. Finden Sie alle solchen Werte des Parameters a, für die die Gleichung gilt

(Mio, 2017)

6. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils die Gleichung

hat genau drei Lösungen. (Mio, 2017)

7. Finden Sie alle nicht negativen Werte des Parameters a, für die jeweils die Menge der Lösungen der Ungleichung

besteht aus einem Punkt, und finden Sie diese Lösung. (Mio, 2017)

8. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das System

hat keine Lösungen. (Mio, 2017)

9. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das System

hat keine Lösungen. (MIO, 2017)

10. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das System

hat eine einzigartige Lösung. (Mio, 2017)

11. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils die Menge der Funktionswerte

enthält ein Segment. (Mio, 2017)

12. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils die Gleichung

hat eine einzelne Wurzel auf dem Segment . (NUTZUNG, 2017)

13. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils die Gleichung

hat eine einzelne Wurzel auf dem Segment . (NUTZUNG, 2017)

14. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils die Gleichung

hat eine einzelne Wurzel auf dem Segment

VERWENDUNG 2017. Mathematik. Aufgabe 18. Aufgaben mit einem Parameter. Sadovnichij Yu.V.

M.: 2017. - 128 S.

Dieses Buch widmet sich ähnlichen Aufgaben wie Aufgabe 18 der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik (Aufgabe mit Parameter). Es werden verschiedene Methoden zur Lösung solcher Probleme betrachtet, und grafischen Illustrationen wird viel Aufmerksamkeit geschenkt. Das Buch wird für Gymnasiasten, Mathematiklehrer und Tutoren nützlich sein.

Format: pdf

Die Größe: 1,6 MB

Ansehen, herunterladen:drive.google

INHALT
Einführung 4
§eines. Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme 5
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 11
§2. Untersuchung des quadratischen Trinoms mit der Diskriminante 12
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 19
§3. Satz von Vieta 20
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 26
§vier. Lage der Wurzeln des quadratischen Trinoms 28
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 43
§5. Anwendung grafischer Illustrationen
zum Studium des quadratischen Trinoms 45
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 55
§6. Funktionseinschränkung. Reichweite finden 56
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 67
§7. Andere Eigenschaften von Funktionen 69
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 80
§acht. Logikaufgaben mit Parameter 82
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 93
Abbildungen auf der Koordinatenebene 95
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 108
Okha-Methode 110
Aufgaben zur selbstständigen Lösung 119
Antworten 120

Dieses Buch widmet sich ähnlichen Aufgaben wie Aufgabe 18 der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik (Aufgabe mit Parameter). Zusammen mit Aufgabe 19 (eine Aufgabe, die die Eigenschaften ganzer Zahlen verwendet) ist Aufgabe 18 die schwierigste in der Variante. Dennoch versucht das Buch, Probleme dieser Art nach verschiedenen Lösungsmethoden zu systematisieren.
Einige Absätze sind einem scheinbar so beliebten Thema wie dem Studium des quadratischen Trinoms gewidmet. Manchmal erfordern solche Aufgaben jedoch andere, manchmal unerwartete Lösungsansätze. Ein solcher nicht standardmäßiger Ansatz wird in Beispiel 7 von Absatz 2 demonstriert.
Bei der Lösung eines Problems mit einem Parameter ist es oft notwendig, die in der Bedingung angegebene Funktion zu untersuchen. Das Buch formuliert einige Aussagen über Eigenschaften von Funktionen wie Beschränktheit, Parität, Stetigkeit; Danach demonstrieren Beispiele die Anwendung dieser Eigenschaften zur Lösung von Problemen.

Die Mathematik-Handbücher der Reihe „USE 2017. Mathematik“ zielen darauf ab, Gymnasiasten auf das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik vorzubereiten. Dieses Tutorial bietet Material zur Vorbereitung auf Problem 18.
In verschiedenen Lernphasen hilft das Handbuch dabei, einen ebenen Ansatz für die Organisation der Wiederholung, die Kontrolle und Selbstkontrolle von Wissen zu den Themen „Gleichungen und Gleichungssysteme“, „Ungleichungen und Ungleichungssysteme“, „Probleme mit ein Parameter".
Im Vergleich zum Vorjahr wurde das Buch deutlich überarbeitet und ergänzt.
Das Handbuch ist für Gymnasiasten, Mathematiklehrer, Eltern bestimmt.

Nichtlineare Gleichungen und Ungleichungen mit einem Parameter.
Die Palette der Probleme, deren Lösung auf Standardtransformationen und logischer Aufzählung basiert, ist ziemlich breit, und ihre Formulierungen sind sehr unterschiedlich. Das Hauptmerkmal einer solchen Aufgabe ist, dass ihre Lösung, wie oben erwähnt, keine Vertrautheit mit einigen neuen Ideen und Methoden erfordert, die nicht in Schulbüchern enthalten sind, sondern nur die Fähigkeit erfordert, Transformationen durchzuführen und Fragen zur Existenz von Wurzeln zu beantworten eine Gleichung oder Lösungen von Ungleichungen, die bestimmte Bedingungen erfüllen, diese Lösungen gegebenenfalls selbst finden, die notwendige logische Aufzählung durchführen.

Beispiel 1. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die die Gleichung x3 - (a + 4)x2 + 4ax \u003d 0 genau zwei verschiedene Wurzeln hat.
Lösung. Lassen Sie uns den gemeinsamen Faktor der linken Seite der Gleichung einklammern: x (x2 - (a + 4) x + 4a) \u003d 0, woher x \u003d 0 oder x2 - (a 4 - 4) x + 4a \u003d 0 Die Wurzeln der letzten Gleichung sind x \u003d 4 und x \u003d a (diese Wurzeln können mit den Vieta-Formeln oder der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung gefunden werden). Diese Gleichung hat nur dann genau zwei verschiedene Nullstellen, wenn a = 0 oder a = 4 ist.
Antwort: a = 0, a = 4.

Inhalt
Vorwort
Kapitel 1
§1.1. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einem Parameter
§1.2. Nichtlineare Gleichungen und Ungleichungen mit einem Parameter
§1.3. Probleme mit ganzzahligen Unbekannten
Kapitel 2
§2.1. Studium der Diskriminante und der Vieta-Formel
§2.2. Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms
§2.3. Auf das Studium eines quadratischen Trinoms reduzierbare Probleme
Kapitel 3
§3.1. Monoton
§3.2. Einschränkung
§3.3. Invarianz
Kapitel 4 Grafische Interpretationen
§4.1. Flächenmethode
§4.2. Diagrammtransformationen
§4.3. geometrische Ideen
Kapitel 5 Andere Methoden
§5.1. Vereinfachung der Wertmethode
§5.2. Parameter als Variable
§5.3. Trigonometrische Substitutionen
§5.4. Vektorinterpretationen in der Algebra
Diagnosearbeit 1
Diagnosearbeit 2
Diagnosearbeit 3
Diagnosearbeit 4
Diagnosearbeit 5
Antworten.

Kostenloser E-Book-Download in einem praktischen Format, ansehen und lesen:
Laden Sie das Buch USE 2017, Mathematik, Aufgaben mit einem Parameter, Aufgabe 18, Profilebene, Shestakov S.A., Yashchenko I.V. - fileskachat.com, schneller und kostenloser Download.

• USE 2019, Mathematik, Ausdruckswerte, Aufgabe 9, Profilebene, Aufgabe 2 und 5, Grundstufe, Arbeitsbuch, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
• USE 2019, Mathematik, Aufgaben zur Volumengeometrie, Aufgabe 8, Profilebene, Aufgabe 13 und 16, Grundebene, Arbeitsbuch, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
• USE 2019, Mathematik, Einfache Gleichungen, Aufgabe 5, Profilstufe, Aufgabe 4 und 7, Grundstufe, Arbeitsbuch, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.
• USE 2019, Mathematik, Aufgaben mit einem Parameter, Aufgabe 18, Profilebene, Shestakov S.A., Yashchenko I.V.

Die folgenden Tutorials und Bücher:

• USE 2017, Mathematik, Grafiken und Diagramme, Aufgabe 2, Profilebene, Aufgabe 11, Grundstufe, Arbeitsbuch, Trepalin A.S., Yashchenko I.V.
• USE 2017, Mathematik, Rechenaufgaben, Aufgabe 1, Profilstufe, Aufgaben 3 und 6, Grundstufe, Arbeitsbuch, Shnol D.E., Yashchenko I.V.