Lösen Sie die Gleichung x 1 x 3 0. Verschiedene Methoden zum Lösen von Gleichungen

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

  1. Keine Wurzeln haben;
  2. Sie haben genau eine Wurzel;
  3. Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

  1. Wenn d< 0, корней нет;
  2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
  3. Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Eine Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

  1. x2 - 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo damit an, nachdem 50-70 Gleichungen gelöst wurden - im Allgemeinen nicht so viele.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 - 2x - 3 = 0;
  2. 15 - 2x - x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, macht die letzte Gleichheit nur Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:

  1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
  2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:

Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus der Klammer

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Eine Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Ziele:

  1. Systematisieren und Verallgemeinern von Kenntnissen und Fähigkeiten zum Thema: Lösungen von Gleichungen dritten und vierten Grades.
  2. Wissensvertiefung durch Bewältigung einer Reihe von Aufgaben, von denen einige weder in ihrer Art noch in der Lösungsmethode vertraut sind.
  3. Bildung des Interesses an Mathematik durch das Studium neuer Kapitel der Mathematik, Bildung der grafischen Kultur durch die Konstruktion von Graphen von Gleichungen.

Unterrichtsart: kombiniert.

Ausrüstung: Grafikprojektor.

Sichtweite: Tabelle "Satz von Vieta".

Während des Unterrichts

1. Mentales Konto

a) Was ist der Rest der Division des Polynoms p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 durch das Binomial x-a?

b) Wie viele Wurzeln kann eine kubische Gleichung haben?

c) Mit welcher Hilfe lösen wir die Gleichung dritten und vierten Grades?

d) Wenn b eine gerade Zahl in der quadratischen Gleichung ist, was ist dann D und x 1; x 2

2. Eigenständiges Arbeiten (in Gruppen)

Stellen Sie eine Gleichung auf, wenn die Wurzeln bekannt sind (Antworten auf Aufgaben sind codiert) Verwenden Sie das "Vieta-Theorem"

1 Gruppe

Wurzeln: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6

Schreibe eine Gleichung:

B=1-2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d=-12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 2 an der Tafel gelöst)

Lösung . Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 36.

p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Die Zahl 1 erfüllt die Gleichung, also ist =1 die Wurzel der Gleichung. Horners Schema

p 3 (x) = x 3 – x 2 –24 × –36

p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2

p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6

Antwort: 1; -2; -3; 6 die Summe der Wurzeln 2 (P)

2 Gruppe

Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 \u003d 5

Schreibe eine Gleichung:

B=-1+2+2+5-8; b=-8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10=-4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (Gruppe 3 löst diese Gleichung an der Tafel)

p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.

S. 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

S. 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20

S. 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5

Antwort: -1;2;2;5 Wurzelsumme 8(P)

3 Gruppe

Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 = 1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3

Schreibe eine Gleichung:

B=-1+1-2+3=1;b=-1

s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(Diese Gleichung wird später an der Tafel von Gruppe 4 gelöst)

Lösung. Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 6.

p = ±1, ±2, ±3, ±6

S. 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0

p 2 (x) = x 2 – x –6 = 0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3

Antwort: -1; 1; -2; 3 Die Summe der Wurzeln 1 (O)

4 Gruppe

Wurzeln: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3

Schreibe eine Gleichung:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 5 an der Tafel gelöst)

Lösung. Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl -36

p = ±1; ±2; ±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0

p 2 (x) = x 2 – 9 = 0; x=±3

Antwort: -2; -2; -3; 3 Wurzelsumme-4 (F)

5 Gruppe

Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4

Schreibe eine Gleichung

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(Diese Gleichung wird dann von der 6. Gruppe an der Tafel gelöst)

Lösung . Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 24.

p = ±1, ±2, ±3

p4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O

p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0

Antwort: -1; -2; -3; -4 Summe-10 (I)

6 Gruppe

Wurzeln: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8

Schreibe eine Gleichung

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

x 4 - 7 x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (Diese Gleichung wird dann von 1 Gruppe an der Tafel gelöst)

Lösung . Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl -24.

S. 4 (1)=1-7-13+43-24=0

S. 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8

Antwort: 1; 1; -3; 8 Summe 7 (L)

3. Lösung von Gleichungen mit einem Parameter

1. Lösen Sie die Gleichung x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; wenn eine der Wurzeln (-1) ist

Antworten Sie in aufsteigender Reihenfolge

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3 x 2 -13 x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Durch Bedingung x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0

x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;

x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;

Antwort: - 1; -5; 3

In aufsteigender Reihenfolge: -5;-1;3. (b n s)

2. Finden Sie alle Wurzeln des Polynoms x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, wenn die Reste seiner Teilung in die Binome x-1 und x + 2 gleich sind.

Lösung: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)

P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a

P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a

x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x2-6) = 0

Das Produkt zweier Faktoren ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer dieser Faktoren gleich Null ist, während der andere sinnvoll ist.

2 Gruppe. Wurzeln: -3; -2; eines; 2;

3 Gruppe. Wurzeln: -1; 2; 6; zehn;

4 Gruppe. Wurzeln: -3; 2; 2; 5;

5 Gruppe. Wurzeln: -5; -2; 2; vier;

6 Gruppe. Wurzeln: -8; -2; 6; 7.

Anwendung

Die Lösung jeder Art von Gleichungen online auf der Website, um das von Studenten und Schülern gelernte Material zu konsolidieren. Gleichungen im Internet. Es gibt algebraische, parametrische, transzendente, funktionale, Differentialgleichungen und andere Arten von Gleichungen Einige Klassen von Gleichungen haben analytische Lösungen, die praktisch sind, da sie nicht nur den genauen Wert der Wurzel angeben, sondern es Ihnen auch ermöglichen, die Lösung in die zu schreiben Form einer Formel, die Parameter enthalten kann. Analytische Ausdrücke erlauben es nicht nur, die Wurzeln zu berechnen, sondern auch ihre Existenz und ihre Anzahl in Abhängigkeit von den Werten der Parameter zu analysieren, was für den praktischen Gebrauch oft noch wichtiger ist als die spezifischen Werte der Wurzeln. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Die Lösung der Gleichung ist die Aufgabe, solche Werte der Argumente zu finden, für die diese Gleichheit erreicht wird. Den möglichen Werten der Argumente können zusätzliche Bedingungen (Integer, Real usw.) auferlegt werden. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Sie können die Gleichung online sofort und mit hoher Genauigkeit des Ergebnisses lösen. Die Argumente der gegebenen Funktionen (manchmal auch "Variablen" genannt) im Fall einer Gleichung werden als "Unbekannte" bezeichnet. Die Werte der Unbekannten, für die diese Gleichheit erreicht wird, heißen Lösungen oder Wurzeln der gegebenen Gleichung. Wurzeln sollen eine gegebene Gleichung erfüllen. Das Online-Lösen einer Gleichung bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen (Wurzeln) zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Äquivalent oder Äquivalent werden Gleichungen genannt, deren Wurzelsätze zusammenfallen. Äquivalent werden auch Gleichungen betrachtet, die keine Wurzeln haben. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Symmetrie: Wenn eine Gleichung mit einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Gleichung mit der ersten äquivalent. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Transitivität: Wenn eine Gleichung mit einer anderen äquivalent ist und die zweite mit der dritten, dann ist die erste Gleichung mit der dritten äquivalent. Die Äquivalenzeigenschaft von Gleichungen ermöglicht es, mit ihnen Transformationen durchzuführen, auf denen die Methoden zu ihrer Lösung beruhen. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Auf der Website können Sie die Gleichung online lösen. Gleichungen, für die analytische Lösungen bekannt sind, umfassen algebraische Gleichungen nicht höher als vierten Grad: eine lineare Gleichung, eine quadratische Gleichung, eine kubische Gleichung und eine Gleichung vierten Grades. Algebraische Gleichungen höheren Grades haben im Allgemeinen keine analytische Lösung, obwohl einige von ihnen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden können. Gleichungen, die transzendente Funktionen enthalten, werden transzendental genannt. Darunter sind für einige trigonometrische Gleichungen analytische Lösungen bekannt, da die Nullstellen trigonometrischer Funktionen bekannt sind. Im allgemeinen Fall, wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann, werden numerische Methoden verwendet. Numerische Verfahren liefern keine exakte Lösung, sondern erlauben nur das Eingrenzen des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, auf einen bestimmten vorgegebenen Wert. Gleichungen online lösen.. Online-Gleichungen.. Anstelle einer Online-Gleichung zeigen wir, wie derselbe Ausdruck eine lineare Abhängigkeit bildet, und zwar nicht nur entlang einer geraden Tangente, sondern auch genau am Wendepunkt des Graphen. Diese Methode ist beim Studium des Faches jederzeit unentbehrlich. Es kommt oft vor, dass sich die Lösung von Gleichungen durch unendliche Zahlen und Schreibvektoren dem Endwert nähert. Es ist notwendig, die Ausgangsdaten zu überprüfen, und dies ist der Kern der Aufgabe. Andernfalls wird die lokale Bedingung in eine Formel umgewandelt. Die geradlinige Umkehrung einer bestimmten Funktion, die der Gleichungsrechner ohne große Verzögerung in der Ausführung berechnet, wird durch das Privileg des Raums ausgeglichen. Es geht um studentische Leistungen in einem wissenschaftlichen Umfeld. Wie alle oben genannten Punkte hilft es uns jedoch beim Finden, und wenn Sie die Gleichung vollständig gelöst haben, speichern Sie die Antwort an den Enden des geraden Liniensegments. Linien im Raum schneiden sich an einem Punkt, und dieser Punkt wird von Linien geschnitten genannt. Das Intervall auf der Linie ist wie zuvor angegeben markiert. Der höchste Posten zum Studium der Mathematik wird veröffentlicht. Das Zuweisen eines Argumentwerts von einer parametrisch definierten Oberfläche und das Online-Lösen einer Gleichung können die Prinzipien eines produktiven Aufrufs einer Funktion anzeigen. Das Möbiusband, oder wie es Unendlichkeit genannt wird, sieht aus wie eine Acht. Dies ist eine einseitige Oberfläche, keine zweiseitige. Nach dem allseits bekannten Prinzip werden wir lineare Gleichungen als Grundbezeichnung objektiv so akzeptieren, wie sie im Fachgebiet sind. Nur zwei Werte von nacheinander gegebenen Argumenten können die Richtung des Vektors offenbaren. Anzunehmen, dass eine andere Lösung der Online-Gleichungen viel mehr ist, als nur sie zu lösen, bedeutet, eine vollwertige Version der Invariante am Ausgang zu erhalten. Ohne einen integrierten Ansatz ist es für die Schüler schwierig, dieses Material zu lernen. Nach wie vor hilft unser praktischer und intelligenter Online-Gleichungsrechner für jeden Spezialfall in einem schwierigen Moment, da Sie nur die Eingabeparameter angeben müssen und das System die Antwort selbst berechnet. Bevor wir mit der Dateneingabe beginnen, benötigen wir ein Eingabetool, was ohne große Schwierigkeiten möglich ist. Die Zahl jeder Antwortpunktzahl wird eine quadratische Gleichung sein, die zu unseren Schlussfolgerungen führt, aber das ist nicht so einfach, weil es leicht ist, das Gegenteil zu beweisen. Die Theorie wird aufgrund ihrer Besonderheiten nicht durch praktisches Wissen gestützt. Einen Bruchrechner in der Phase der Veröffentlichung einer Antwort zu sehen, ist in der Mathematik keine leichte Aufgabe, da die Alternative, eine Zahl in eine Menge zu schreiben, das Wachstum der Funktion erhöht. Es wäre jedoch falsch, nichts über die Studentenausbildung zu sagen, also werden wir so viel sagen, wie wir tun müssen. Die zuvor gefundene kubische Gleichung gehört zu Recht in den Definitionsbereich und enthält den Raum numerischer Werte sowie symbolischer Variablen. Nachdem sie den Satz gelernt oder auswendig gelernt haben, werden sich unsere Schüler nur von der besten Seite zeigen, und wir werden uns für sie freuen. Im Gegensatz zu den Schnittmengen von Feldern werden unsere Online-Gleichungen durch eine Bewegungsebene entlang der Multiplikation von zwei und drei numerischen kombinierten Linien beschrieben. Eine Menge in der Mathematik ist nicht eindeutig definiert. Die beste Lösung, so die Studierenden, ist der zu Ende geführte schriftliche Ausdruck. Wie es in der Wissenschaftssprache hieß, gehört die Abstraktion symbolischer Ausdrücke nicht zum Stand der Dinge, aber die Lösung von Gleichungen liefert in allen bekannten Fällen ein eindeutiges Ergebnis. Die Dauer der Lehrersitzung richtet sich nach den Bedürfnissen in diesem Angebot. Die Analyse zeigte die Notwendigkeit aller Rechentechniken in vielen Bereichen, und es ist absolut klar, dass der Gleichungsrechner ein unverzichtbares Werkzeug in den begabten Händen eines Studenten ist. Eine loyale Herangehensweise an das Studium der Mathematik bestimmt die Bedeutung von Ansichten unterschiedlicher Richtungen. Sie wollen einen der Schlüsselsätze benennen und die Gleichung so lösen, je nach deren Antwort ein weiterer Anwendungsbedarf besteht. Analytik in diesem Bereich gewinnt an Bedeutung. Beginnen wir von vorne und leiten die Formel ab. Nach dem Durchbrechen des Anstiegsniveaus der Funktion führt die Tangentenlinie am Wendepunkt zwangsläufig dazu, dass das Online-Lösen der Gleichung einer der Hauptaspekte beim Erstellen desselben Graphen aus dem Funktionsargument sein wird. Der Amateuransatz hat das Recht, angewendet zu werden, wenn diese Bedingung den Schlussfolgerungen der Schüler nicht widerspricht. Es ist die Teilaufgabe, die die Analyse mathematischer Bedingungen als lineare Gleichungen im bestehenden Bereich der Objektdefinition in den Hintergrund rückt. Eine Verschiebung in Richtung der Orthogonalität hebt den Vorteil eines einsamen Absolutwerts auf. Modulo, Online-Gleichungen lösen, ergibt die gleiche Anzahl von Lösungen, wenn Sie die Klammern zuerst mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen öffnen. In diesem Fall gibt es doppelt so viele Lösungen und das Ergebnis wird genauer. Ein stabiler und korrekter Online-Rechner von Gleichungen ist ein Erfolg, um das beabsichtigte Ziel in der vom Lehrer gestellten Aufgabe zu erreichen. Aufgrund der erheblichen Unterschiede in den Ansichten großer Wissenschaftler scheint es möglich, die richtige Methode zu wählen. Die resultierende quadratische Gleichung beschreibt den Kurvenverlauf, die sogenannte Parabel, und das Vorzeichen bestimmt ihre Konvexität im quadratischen Koordinatensystem. Aus der Gleichung erhalten wir sowohl die Diskriminante als auch die Wurzeln selbst gemäß dem Satz von Vieta. Es ist notwendig, den Ausdruck als echten oder unechten Bruch darzustellen und in der ersten Stufe den Bruchrechner zu verwenden. Abhängig davon wird ein Plan für unsere weiteren Berechnungen erstellt. Mathematik mit einem theoretischen Ansatz ist in jeder Phase nützlich. Wir werden das Ergebnis auf jeden Fall als kubische Gleichung darstellen, weil wir seine Wurzeln in diesem Ausdruck verstecken werden, um die Aufgabe für einen Studenten an einer Universität zu vereinfachen. Alle Methoden sind gut, wenn sie für eine oberflächliche Analyse geeignet sind. Zusätzliche Rechenoperationen führen nicht zu Rechenfehlern. Bestimmen Sie die Antwort mit einer bestimmten Genauigkeit. Wenn wir die Lösung von Gleichungen verwenden, seien wir ehrlich - das Finden einer unabhängigen Variablen einer gegebenen Funktion ist nicht so einfach, besonders wenn man parallele Linien im Unendlichen untersucht. Angesichts der Ausnahme ist die Notwendigkeit sehr offensichtlich. Der Polaritätsunterschied ist eindeutig. Aus der Erfahrung des Unterrichtens in Instituten lernte unser Lehrer die Hauptstunde, in der Gleichungen im vollen mathematischen Sinne online studiert wurden. Hier ging es um höhere Anstrengungen und besondere Fähigkeiten in der Anwendung der Theorie. Für unsere Schlussfolgerungen sollte man nicht durch ein Prisma schauen. Bis vor kurzem glaubte man, dass eine geschlossene Menge schnell über das Gebiet wächst, so wie es ist, und die Lösung von Gleichungen einfach untersucht werden muss. In der ersten Phase haben wir nicht alle möglichen Optionen berücksichtigt, aber dieser Ansatz ist mehr denn je gerechtfertigt. Zusätzliche Aktionen mit Klammern rechtfertigen einige Fortschritte entlang der Ordinaten- und Abszissenachse, die mit bloßem Auge nicht zu übersehen sind. Es liegt ein Wendepunkt im Sinne eines breiten proportionalen Anstiegs einer Funktion vor. Wir werden noch einmal beweisen, wie die notwendige Bedingung auf das gesamte Intervall angewendet wird, in dem die eine oder andere absteigende Position des Vektors verringert wird. Auf engstem Raum wählen wir eine Variable aus dem Anfangsblock unseres Skripts aus. Das auf drei Vektoren basierende System ist für das Fehlen des Hauptkraftmoments verantwortlich. Der Gleichungsrechner leitete jedoch alle Terme der konstruierten Gleichung ab und half beim Auffinden, sowohl über der Oberfläche als auch entlang paralleler Linien. Lassen Sie uns einen Kreis um den Startpunkt beschreiben. Wir beginnen also, uns entlang der Schnittlinien nach oben zu bewegen, und die Tangente beschreibt den Kreis über seine gesamte Länge. Als Ergebnis erhalten wir eine Kurve, die als Evolvente bezeichnet wird. Übrigens, lassen Sie uns über diese Kurve ein wenig Geschichte sprechen. Tatsache ist, dass es in der Mathematik historisch gesehen keinen Begriff von Mathematik selbst im reinen Sinne gab, wie er es heute ist. Früher beschäftigten sich alle Wissenschaftler mit einer gemeinsamen Sache, nämlich der Wissenschaft. Später, einige Jahrhunderte später, als die wissenschaftliche Welt mit einer kolossalen Menge an Informationen gefüllt war, hat die Menschheit dennoch viele Disziplinen herausgegriffen. Sie bleiben unverändert. Und doch versuchen Wissenschaftler auf der ganzen Welt jedes Jahr zu beweisen, dass die Wissenschaft grenzenlos ist und dass man eine Gleichung nicht lösen kann, wenn man nicht über naturwissenschaftliche Kenntnisse verfügt. Es kann nicht möglich sein, dem endgültig ein Ende zu bereiten. Daran zu denken ist so sinnlos wie die Luft draußen zu erwärmen. Lassen Sie uns das Intervall finden, in dem das Argument mit seinem positiven Wert den Modulus des Werts in einer stark ansteigenden Richtung bestimmt. Die Reaktion hilft, mindestens drei Lösungen zu finden, aber es ist notwendig, sie zu überprüfen. Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir die Gleichung online lösen müssen, indem wir den einzigartigen Service unserer Website nutzen. Lassen Sie uns beide Teile der gegebenen Gleichung eingeben, die Schaltfläche "LÖSEN" drücken und innerhalb weniger Sekunden die genaue Antwort erhalten. In besonderen Fällen nehmen wir ein Buch über Mathematik und überprüfen unsere Antwort noch einmal, nämlich wir schauen uns nur die Antwort an und alles wird klar. Das gleiche Projekt wird auf einem künstlichen redundanten Parallelepiped ausfliegen. Es gibt ein Parallelogramm mit seinen parallelen Seiten, und es erklärt viele Prinzipien und Ansätze zum Studium der räumlichen Beziehung des aufsteigenden Prozesses der Akkumulation von Hohlräumen in natürlichen Formformeln. Mehrdeutige lineare Gleichungen zeigen die Abhängigkeit der gewünschten Variablen von unserer aktuellen allgemeinen Lösung, und es ist notwendig, den unechten Bruch irgendwie abzuleiten und auf einen nicht trivialen Fall zu reduzieren. Wir markieren zehn Punkte auf der Geraden und zeichnen durch jeden Punkt eine Kurve in einer bestimmten Richtung und mit einer Konvexität nach oben. Ohne große Schwierigkeiten stellt unser Gleichungsrechner einen Ausdruck in einer solchen Form dar, dass seine Überprüfung auf die Gültigkeit der Regeln bereits zu Beginn der Aufzeichnung offensichtlich ist. Das System der speziellen Stabilitätsdarstellungen steht für Mathematiker an erster Stelle, sofern die Formel nichts anderes vorsieht. Wir werden dies mit einer ausführlichen Präsentation eines Berichts über den isomorphen Zustand eines plastischen Systems von Körpern beantworten, und die Online-Lösung von Gleichungen wird die Bewegung jedes materiellen Punktes in diesem System beschreiben. Auf der Ebene einer eingehenden Untersuchung wird es notwendig sein, die Frage der Inversionen zumindest der unteren Raumschicht im Detail zu klären. In aufsteigender Reihenfolge auf dem Abschnitt der Diskontinuität der Funktion wenden wir die allgemeine Methode eines hervorragenden Forschers an, übrigens unseres Landsmanns, und wir werden unten über das Verhalten des Flugzeugs berichten. Aufgrund der starken Eigenschaften der analytisch gegebenen Funktion verwenden wir den Online-Gleichungsrechner nur für den vorgesehenen Zweck innerhalb der abgeleiteten Kompetenzgrenzen. Wenn wir weiter argumentieren, beenden wir unsere Überprüfung der Homogenität der Gleichung selbst, das heißt, ihre rechte Seite ist gleich Null. Noch einmal werden wir die Richtigkeit unserer Entscheidung in Mathematik überprüfen. Um eine triviale Lösung zu vermeiden, werden wir einige Anpassungen an den Anfangsbedingungen für das Problem der bedingten Stabilität des Systems vornehmen. Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung aufstellen, für die wir zwei Einträge mit der bekannten Formel schreiben und negative Wurzeln finden. Wenn eine Wurzel die zweite und dritte Wurzel um fünf Einheiten übersteigt, dann verzerren wir durch Änderungen am Hauptargument die Anfangsbedingungen des Teilproblems. Im Kern kann etwas Ungewöhnliches in der Mathematik immer auf das nächste Hundertstel einer positiven Zahl beschrieben werden. Der Bruchrechner ist seinen Gegenstücken auf ähnlichen Ressourcen im besten Moment der Serverlast um ein Vielfaches überlegen. Auf der Oberfläche des entlang der y-Achse wachsenden Geschwindigkeitsvektors zeichnen wir sieben gegeneinander gebogene Linien. Die Verhältnismäßigkeit des zugewiesenen Funktionsarguments führt den Wiederherstellungssaldozähler. In der Mathematik lässt sich dieses Phänomen sowohl durch eine kubische Gleichung mit imaginären Koeffizienten als auch durch einen bipolaren Verlauf abnehmender Geraden darstellen. Die kritischen Punkte der Temperaturdifferenz in vielen ihrer Bedeutung und Verlauf beschreiben den Prozess der Faktorisierung einer komplexen Bruchfunktion. Wenn Sie aufgefordert werden, die Gleichung zu lösen, beeilen Sie sich nicht, dies jetzt zu tun, bewerten Sie auf jeden Fall zuerst den gesamten Aktionsplan und wählen Sie erst dann den richtigen Ansatz. Es wird sicherlich Vorteile geben. Leichtigkeit in der Arbeit ist offensichtlich, und in der Mathematik ist es dasselbe. Lösen Sie die Gleichung online. Alle Online-Gleichungen sind eine bestimmte Art von Aufzeichnungen von Zahlen oder Parametern und eine Variable, die definiert werden muss. Berechnen Sie diese sehr variabel, dh finden Sie bestimmte Werte oder Intervalle einer Reihe von Werten, für die die Identität erfüllt ist. Die Anfangs- und Endbedingungen hängen direkt ab. Die allgemeine Lösung von Gleichungen enthält in der Regel einige Variablen und Konstanten, durch deren Festlegung wir ganze Familien von Lösungen für eine bestimmte Problemstellung erhalten. Im Allgemeinen rechtfertigt dies die Anstrengungen, die in die Richtung der Erhöhung der Funktionalität eines räumlichen Würfels mit einer Seitenlänge von 100 Zentimetern investiert wurden. Sie können ein Theorem oder Lemma in jeder Phase der Konstruktion einer Antwort anwenden. Die Website gibt nach und nach einen Gleichungsrechner aus, der bei Bedarf den kleinsten Wert in einem beliebigen Intervall der Summierung von Produkten anzeigt. In der Hälfte der Fälle erfüllt eine solche Kugel als Hohlkugel nicht mehr die Voraussetzungen für das Setzen einer Zwischenantwort. Zumindest auf der y-Achse in Richtung abnehmender Vektordarstellung wird dieser Anteil zweifellos optimaler sein als der vorherige Ausdruck. In der Stunde, in der eine vollständige Punktanalyse an linearen Funktionen durchgeführt wird, werden wir tatsächlich alle unsere komplexen Zahlen und bipolaren Ebenenräume zusammentragen. Indem Sie eine Variable in den resultierenden Ausdruck einsetzen, lösen Sie die Gleichung schrittweise und geben die detaillierteste Antwort mit hoher Genauigkeit. Auch hier ist es eine gute Form eines Schülers, seine Handlungen in Mathematik zu überprüfen. Der Anteil im Verhältnis der Fraktionen fixiert die Integrität des Ergebnisses in allen wichtigen Wirkungsbereichen des Nullvektors. Trivialität wird am Ende der durchgeführten Aktionen bestätigt. Mit einer einfachen Aufgabenstellung können die Schüler keine Schwierigkeiten haben, wenn sie die Gleichung in kürzester Zeit online lösen, aber vergessen Sie nicht alle Arten von Regeln. Die Menge der Teilmengen schneidet sich im Bereich der konvergierenden Notation. In verschiedenen Fällen wird das Produkt nicht fälschlicherweise faktorisiert. In unserem ersten Abschnitt über die Grundlagen mathematischer Techniken für wichtige Abschnitte für Studenten an Universitäten und Fachschulen wird Ihnen geholfen, die Gleichung online zu lösen. Die Beantwortung von Beispielen lässt uns nicht mehrere Tage warten, da das Verfahren des besten Zusammenspiels von Vektoranalyse mit sequentieller Lösungsfindung zu Beginn des letzten Jahrhunderts patentiert wurde. Es stellt sich heraus, dass die Bemühungen, sich mit dem umliegenden Team zu verbinden, nicht umsonst waren, etwas anderes war offensichtlich überhaupt erst überfällig. Einige Generationen später ließen Wissenschaftler auf der ganzen Welt glauben, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften ist. Ob es nun die linke Antwort oder die richtige Antwort ist, die erschöpfenden Begriffe müssen ohnehin in drei Zeilen geschrieben werden, da wir in unserem Fall eindeutig nur über die Vektoranalyse der Eigenschaften der Matrix sprechen werden. Nichtlineare und lineare Gleichungen haben zusammen mit biquadratischen Gleichungen einen besonderen Platz in unserem Buch über die besten Methoden zur Berechnung der Bewegungsbahn im Raum aller materiellen Punkte eines geschlossenen Systems eingenommen. Eine lineare Analyse des Skalarprodukts von drei aufeinanderfolgenden Vektoren wird uns helfen, die Idee zum Leben zu erwecken. Am Ende jeder Einstellung wird die Aufgabe erleichtert, indem optimierte numerische Ausnahmen im Kontext der durchgeführten numerischen Raumüberlagerungen eingeführt werden. Ein weiteres Urteil wird der gefundenen Antwort in einer willkürlichen Form eines Dreiecks im Kreis nicht entgegenstehen. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält den erforderlichen Randprozentsatz, und das Online-Lösen von Gleichungen zeigt oft eine gemeinsame Wurzel der Gleichung im Gegensatz zu den Anfangsbedingungen. Die Ausnahme spielt die Rolle eines Katalysators im gesamten unvermeidlichen Prozess der Suche nach einer positiven Lösung auf dem Gebiet der Funktionsdefinition. Wenn nicht gesagt wird, dass Sie keinen Computer bedienen können, dann ist der Online-Gleichungsrechner genau das Richtige für Ihre schwierigen Aufgaben. Es reicht aus, nur Ihre bedingten Daten im richtigen Format einzugeben, und unser Server wird in kürzester Zeit eine vollwertige Ergebnisantwort ausgeben. Eine Exponentialfunktion wächst viel schneller als eine lineare. Dies wird durch die Talmuds der klugen Bibliotheksliteratur belegt. Führt die Berechnung im allgemeinen Sinne durch, wie es die gegebene quadratische Gleichung mit drei komplexen Koeffizienten tun würde. Die Parabel im oberen Teil der Halbebene kennzeichnet eine geradlinige parallele Bewegung entlang der Achsen des Punktes. Hier ist der Potentialunterschied im Arbeitsraum des Körpers zu erwähnen. Als Gegenleistung für ein suboptimales Ergebnis belegt unser Bruchrechner zu Recht den ersten Platz in der mathematischen Wertung der Überprüfung von Funktionsprogrammen im Backend. Die Benutzerfreundlichkeit dieses Dienstes wird von Millionen von Internetnutzern geschätzt. Wenn Sie nicht wissen, wie man es benutzt, helfen wir Ihnen gerne weiter. Wir möchten auch die kubische Gleichung aus einer Reihe von Aufgaben von Grundschülern hervorheben und hervorheben, wenn Sie schnell ihre Wurzeln finden und einen Funktionsgraphen auf einer Ebene zeichnen müssen. Die höchsten Reproduktionsgrade sind eines der schwierigsten mathematischen Probleme am Institut, für dessen Studium eine ausreichende Anzahl von Stunden vorgesehen ist. Wie alle linearen Gleichungen ist auch unsere keine Ausnahme von vielen objektiven Regeln. Betrachten Sie sie aus verschiedenen Blickwinkeln, und es wird sich als einfach und ausreichend herausstellen, die Anfangsbedingungen festzulegen. Das Anstiegsintervall fällt mit dem Konvexitätsintervall der Funktion zusammen. Gleichungen online lösen. Das Studium der Theorie basiert auf Online-Gleichungen aus zahlreichen Abschnitten zum Studium der Hauptdisziplin. Bei einem solchen Ansatz bei unsicheren Problemen ist es sehr einfach, die Lösung von Gleichungen in einer vorgegebenen Form darzustellen und nicht nur Schlussfolgerungen zu ziehen, sondern auch das Ergebnis einer solchen positiven Lösung vorherzusagen. Der Dienst wird uns helfen, das Fachgebiet in den besten Traditionen der Mathematik zu lernen, so wie es im Osten üblich ist. In den besten Momenten des Zeitintervalls wurden ähnliche Aufgaben mit einem gemeinsamen Multiplikator zehnmal multipliziert. Mit einer Fülle von Multiplikationen mehrerer Variablen im Gleichungsrechner begann es, nach Qualität und nicht nach quantitativen Variablen wie Werten wie Masse oder Körpergewicht zu multiplizieren. Um Ungleichgewichtsfälle des materiellen Systems zu vermeiden, liegt uns die Ableitung eines dreidimensionalen Konverters auf der trivialen Konvergenz nicht entarteter mathematischer Matrizen nahe. Vervollständigen Sie die Aufgabe und lösen Sie die Gleichung in den angegebenen Koordinaten, da die Ausgabe im Voraus unbekannt ist, sowie alle Variablen, die in der Zeit nach dem Weltraum enthalten sind, unbekannt sind. Schieben Sie kurzzeitig den gemeinsamen Teiler aus den Klammern und dividieren Sie vorher durch den größten gemeinsamen Teiler beider Teile. Extrahieren Sie aus der resultierenden abgedeckten Teilmenge von Zahlen auf detaillierte Weise dreiunddreißig Punkte hintereinander in kurzer Zeit. Soweit es jedem Schüler möglich ist, die Gleichung online bestmöglich zu lösen, sagen wir mit Blick in die Zukunft eine wichtige, aber entscheidende Sache, ohne die wir in Zukunft nicht einfach zu leben sein werden. Im letzten Jahrhundert bemerkte der große Wissenschaftler eine Reihe von Regelmäßigkeiten in der Theorie der Mathematik. In der Praxis stellte sich nicht ganz der erwartete Eindruck der Ereignisse heraus. Grundsätzlich hilft jedoch gerade diese Online-Lösung von Gleichungen, das Verständnis und die Wahrnehmung eines ganzheitlichen Ansatzes für das Studium und die praktische Vertiefung des von den Studenten behandelten theoretischen Stoffs zu verbessern. Während der Studienzeit geht das viel einfacher.

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Erinnern Sie sich an die grundlegenden Eigenschaften eines Abschlusses. Seien a > 0, b > 0, n, m beliebige reelle Zahlen. Dann
1) ein n ein m = ein n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (ein n) m = ein nm

4) (ab) n = ein n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1 wenn a > 1, n > 0

8) ein n 1, n
9) a n > am , falls 0

In der Praxis werden häufig Funktionen der Form y = a x verwendet, wobei a eine gegebene positive Zahl und x eine Variable ist. Solche Funktionen werden aufgerufen demonstrativ. Dieser Name erklärt sich aus der Tatsache, dass das Argument der Exponentialfunktion der Exponent ist und die Basis des Grads eine bestimmte Zahl ist.

Definition. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form y = a x , wobei a eine gegebene Zahl ist, a > 0, \(a \neq 1\)

Eine Exponentialfunktion hat die folgenden Eigenschaften

1) Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen.
Diese Eigenschaft folgt daraus, dass der Grad a x mit a > 0 für alle reellen Zahlen x definiert ist.

2) Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist die Menge aller positiven Zahlen.
Um dies zu verifizieren, müssen wir zeigen, dass die Gleichung a x = b, wobei a > 0, \(a \neq 1\), keine Wurzeln hat, wenn \(b \leq 0\), und eine Wurzel für jedes b > hat 0 .

3) Die Exponentialfunktion y \u003d a x nimmt auf der Menge aller reellen Zahlen zu, wenn a > 1, und ab, wenn 0. Dies folgt aus den Eigenschaften des Grades (8) und (9)

Wir konstruieren Graphen von Exponentialfunktionen y \u003d a x für a > 0 und für 0 Unter Verwendung der betrachteten Eigenschaften stellen wir fest, dass der Graph der Funktion y \u003d a x für a > 0 durch den Punkt (0; 1) verläuft und lokalisiert wird über der Ochsenachse.
Wenn x 0 ist.
Wenn x > 0 und |x| steigt, steigt der Graph schnell an.

Diagramm der Funktion y \u003d a x bei 0 Wenn x\u003e 0 ist und zunimmt, nähert sich das Diagramm schnell der Ox-Achse (ohne sie zu kreuzen). Somit ist die x-Achse die horizontale Asymptote des Diagramms.
Wenn x

Exponentialgleichungen

Betrachten Sie einige Beispiele für Exponentialgleichungen, d.h. Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist. Das Lösen von Exponentialgleichungen läuft oft darauf hinaus, die Gleichung a x = a b zu lösen, wobei a > 0, \(a\neq 1\), x die Unbekannte ist. Diese Gleichung wird mit Hilfe der Potenzeigenschaft gelöst: Potenzen mit derselben Basis a > 0, \(a \neq 1\) sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.

Lösen Sie Gleichung 2 3x 3 x = 576
Da 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, kann die Gleichung in der Form 8 x 3 x \u003d 24 2 oder in der Form 24 x \u003d 24 2 geschrieben werden wo x \u003d 2.
Antwort x = 2

Lösen Sie die Gleichung 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Wenn wir den gemeinsamen Faktor 3 x - 2 auf der linken Seite einklammern, erhalten wir 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25, 3 x - 2 25 \u003d 25,
woher 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Antwort x = 2

Lösen Sie die Gleichung 3 x = 7 x
Da \(7^x \neq 0 \) , kann die Gleichung geschrieben werden als \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), woraus \(\left(\frac(3)( 7 ) \right) ^x = 1 \), x = 0
Antwort x = 0

Lösen Sie die Gleichung 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Durch Ersetzen von 3 x \u003d t wird diese Gleichung auf eine quadratische Gleichung t 2 - 4t - 45 \u003d 0 reduziert. Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir ihre Wurzeln: t 1 \u003d 9, t 2 \u003d -5, von denen 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5 .
Die Gleichung 3 x = 9 hat eine Wurzel x = 2, und die Gleichung 3 x = -5 hat keine Wurzel, da die Exponentialfunktion keine negativen Werte annehmen kann.
Antwort x = 2

Lösen Sie Gleichung 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Wir schreiben die Gleichung in die Form
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, woher
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Antwort x = 2

Lösen Sie Gleichung 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Da 3 > 0, \(3 \neq 1\), ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zur Gleichung |x-1| = |x+3|
Durch Quadrieren dieser Gleichung erhalten wir ihre Folgerung (x - 1) 2 = (x + 3) 2, woher
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Die Prüfung zeigt, dass x = -1 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.
Antwort x = -1

Wir bieten Ihnen eine bequeme kostenlose Online-Rechner zum Lösen quadratischer Gleichungen. Sie können anhand verständlicher Beispiele schnell verstehen und verstehen, wie sie gelöst werden.
Produzieren quadratische gleichung online lösen, zunächst die Gleichung auf eine allgemeine Form bringen:
ax2 + bx + c = 0
Füllen Sie die Formularfelder entsprechend aus:

Wie löst man eine quadratische gleichung

So lösen Sie eine quadratische Gleichung: Wurzeltypen:
1. Bringen Sie die quadratische Gleichung auf eine allgemeine Form:
Gesamtansicht von Ax 2 +Bx+C=0
Beispiel: 3x - 2x 2 +1=-1 Reduzieren auf -2x 2 +3x+2=0

2. Wir finden die Diskriminante D.
D=B2-4*A*C.
Für unser Beispiel ist D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25.

3. Wir finden die Wurzeln der Gleichung.
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A.
Für unseren Fall x1=(-3+5)/(-4)=-0,5
x2=(-B-D 1/2)/2A.
Für unser Beispiel x2=(-3-5)/(-4)=2
Wenn B eine gerade Zahl ist, ist es bequemer, die Diskriminante und Wurzeln mit den folgenden Formeln zu berechnen:
D \u003d K 2 -ac
x1=(-K+D 1/2)/A
x2 \u003d (-K-D 1/2) / A,
Wobei K=B/2

1. Echte Wurzeln. Und. x1 ist nicht gleich x2
Die Situation entsteht, wenn D > 0 und A ungleich 0 ist.

2. Die wahren Wurzeln sind die gleichen. x1 ist gleich x2
Die Situation entsteht, wenn D = 0 ist. Allerdings dürfen weder A noch B noch C gleich 0 sein.

3. Zwei komplexe Wurzeln. x1=d+ei, x2=d-ei, wobei i=-(1) 1/2
Die Situation entsteht, wenn D
4. Die Gleichung hat eine Lösung.
A=0, B und C sind ungleich Null. Die Gleichung wird linear.

5. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
A=0, B=0, C=0.

6. Die Gleichung hat keine Lösungen.
A=0, B=0, C ist ungleich 0.


Um den Algorithmus zu konsolidieren, hier noch ein paar mehr anschauliche Beispiele für Lösungen quadratischer Gleichungen.

Beispiel 1. Lösung einer gewöhnlichen quadratischen Gleichung mit verschiedenen reellen Wurzeln.
x 2 + 3 x -10 = 0
In dieser Gleichung
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
die Quadratwurzel wird als Zahl 1/2 bezeichnet!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5

Um dies zu überprüfen, ersetzen wir:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10

Beispiel 2. Lösen einer quadratischen Gleichung mit denselben reellen Wurzeln.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4

Ersatz
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16

Beispiel 3. Lösung einer quadratischen Gleichung mit komplexen Wurzeln.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Die Diskriminante ist negativ - die Wurzeln sind komplex.

X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, wobei I die Quadratwurzel von -1 ist

Hier sind eigentlich alle möglichen Fälle zum Lösen quadratischer Gleichungen.
Wir hoffen, dass unsere Online-Rechner wird Ihnen sehr nützlich sein.
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