Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.
Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:
- Keine Wurzeln haben;
- Sie haben genau eine Wurzel;
- Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.
Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.
Diskriminant
Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .
Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:
- Wenn d< 0, корней нет;
- Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
- Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.
Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:
Eine Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:
- x2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.
Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.
Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo damit an, nachdem 50-70 Gleichungen gelöst wurden - im Allgemeinen nicht so viele.
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:
Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:
Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:
Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.
Unvollständige quadratische Gleichungen
Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:
Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.
Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.
Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:
Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, macht die letzte Gleichheit nur Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:
- Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
- Wenn (−c / a )< 0, корней нет.
Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.
Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:
Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus der KlammerDas Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:
Eine Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Ziele:
- Systematisieren und Verallgemeinern von Kenntnissen und Fähigkeiten zum Thema: Lösungen von Gleichungen dritten und vierten Grades.
- Wissensvertiefung durch Bewältigung einer Reihe von Aufgaben, von denen einige weder in ihrer Art noch in der Lösungsmethode vertraut sind.
- Bildung des Interesses an Mathematik durch das Studium neuer Kapitel der Mathematik, Bildung der grafischen Kultur durch die Konstruktion von Graphen von Gleichungen.
Unterrichtsart: kombiniert.
Ausrüstung: Grafikprojektor.
Sichtweite: Tabelle "Satz von Vieta".
Während des Unterrichts
1. Mentales Konto
a) Was ist der Rest der Division des Polynoms p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 durch das Binomial x-a?
b) Wie viele Wurzeln kann eine kubische Gleichung haben?
c) Mit welcher Hilfe lösen wir die Gleichung dritten und vierten Grades?
d) Wenn b eine gerade Zahl in der quadratischen Gleichung ist, was ist dann D und x 1; x 2
2. Eigenständiges Arbeiten (in Gruppen)
Stellen Sie eine Gleichung auf, wenn die Wurzeln bekannt sind (Antworten auf Aufgaben sind codiert) Verwenden Sie das "Vieta-Theorem"
1 Gruppe
Wurzeln: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6
Schreibe eine Gleichung:
B=1-2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 2 an der Tafel gelöst)
Lösung . Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 36.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Die Zahl 1 erfüllt die Gleichung, also ist =1 die Wurzel der Gleichung. Horners Schema
p 3 (x) = x 3 – x 2 –24 × –36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
Antwort: 1; -2; -3; 6 die Summe der Wurzeln 2 (P)
2 Gruppe
Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 \u003d 5
Schreibe eine Gleichung:
B=-1+2+2+5-8; b=-8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (Gruppe 3 löst diese Gleichung an der Tafel)
p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.
S. 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
S. 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
S. 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5
Antwort: -1;2;2;5 Wurzelsumme 8(P)
3 Gruppe
Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 = 1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
Schreibe eine Gleichung:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(Diese Gleichung wird später an der Tafel von Gruppe 4 gelöst)
Lösung. Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 6.
p = ±1, ±2, ±3, ±6
S. 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 – x –6 = 0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
Antwort: -1; 1; -2; 3 Die Summe der Wurzeln 1 (O)
4 Gruppe
Wurzeln: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3
Schreibe eine Gleichung:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 5 an der Tafel gelöst)
Lösung. Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl -36
p = ±1; ±2; ±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 – 9 = 0; x=±3
Antwort: -2; -2; -3; 3 Wurzelsumme-4 (F)
5 Gruppe
Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4
Schreibe eine Gleichung
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(Diese Gleichung wird dann von der 6. Gruppe an der Tafel gelöst)
Lösung . Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 24.
p = ±1, ±2, ±3
p4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
Antwort: -1; -2; -3; -4 Summe-10 (I)
6 Gruppe
Wurzeln: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8
Schreibe eine Gleichung
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
x 4 - 7 x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (Diese Gleichung wird dann von 1 Gruppe an der Tafel gelöst)
Lösung . Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern der Zahl -24.
S. 4 (1)=1-7-13+43-24=0
S. 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
Antwort: 1; 1; -3; 8 Summe 7 (L)
3. Lösung von Gleichungen mit einem Parameter
1. Lösen Sie die Gleichung x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; wenn eine der Wurzeln (-1) ist
Antworten Sie in aufsteigender Reihenfolge
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3 x 2 -13 x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Durch Bedingung x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
Antwort: - 1; -5; 3
In aufsteigender Reihenfolge: -5;-1;3. (b n s)
2. Finden Sie alle Wurzeln des Polynoms x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, wenn die Reste seiner Teilung in die Binome x-1 und x + 2 gleich sind.
Lösung: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x2-6) = 0
Das Produkt zweier Faktoren ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer dieser Faktoren gleich Null ist, während der andere sinnvoll ist.
2 Gruppe. Wurzeln: -3; -2; eines; 2;3 Gruppe. Wurzeln: -1; 2; 6; zehn;
4 Gruppe. Wurzeln: -3; 2; 2; 5;
5 Gruppe. Wurzeln: -5; -2; 2; vier;
6 Gruppe. Wurzeln: -8; -2; 6; 7.
Erinnern Sie sich an die grundlegenden Eigenschaften eines Abschlusses. Seien a > 0, b > 0, n, m beliebige reelle Zahlen. Dann
1) ein n ein m = ein n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (ein n) m = ein nm
4) (ab) n = ein n b n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1 wenn a > 1, n > 0
8) ein n 1, n
9) a n > am , falls 0
In der Praxis werden häufig Funktionen der Form y = a x verwendet, wobei a eine gegebene positive Zahl und x eine Variable ist. Solche Funktionen werden aufgerufen demonstrativ. Dieser Name erklärt sich aus der Tatsache, dass das Argument der Exponentialfunktion der Exponent ist und die Basis des Grads eine bestimmte Zahl ist.
Definition. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form y = a x , wobei a eine gegebene Zahl ist, a > 0, \(a \neq 1\)
Eine Exponentialfunktion hat die folgenden Eigenschaften
1) Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen.
Diese Eigenschaft folgt daraus, dass der Grad a x mit a > 0 für alle reellen Zahlen x definiert ist.
2) Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist die Menge aller positiven Zahlen.
Um dies zu verifizieren, müssen wir zeigen, dass die Gleichung a x = b, wobei a > 0, \(a \neq 1\), keine Wurzeln hat, wenn \(b \leq 0\), und eine Wurzel für jedes b > hat 0 .
3) Die Exponentialfunktion y \u003d a x nimmt auf der Menge aller reellen Zahlen zu, wenn a > 1, und ab, wenn 0. Dies folgt aus den Eigenschaften des Grades (8) und (9)
Wir konstruieren Graphen von Exponentialfunktionen y \u003d a x für a > 0 und für 0 Unter Verwendung der betrachteten Eigenschaften stellen wir fest, dass der Graph der Funktion y \u003d a x für a > 0 durch den Punkt (0; 1) verläuft und lokalisiert wird über der Ochsenachse.
Wenn x 0 ist.
Wenn x > 0 und |x| steigt, steigt der Graph schnell an.
Diagramm der Funktion y \u003d a x bei 0 Wenn x\u003e 0 ist und zunimmt, nähert sich das Diagramm schnell der Ox-Achse (ohne sie zu kreuzen). Somit ist die x-Achse die horizontale Asymptote des Diagramms.
Wenn x
Exponentialgleichungen
Betrachten Sie einige Beispiele für Exponentialgleichungen, d.h. Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist. Das Lösen von Exponentialgleichungen läuft oft darauf hinaus, die Gleichung a x = a b zu lösen, wobei a > 0, \(a\neq 1\), x die Unbekannte ist. Diese Gleichung wird mit Hilfe der Potenzeigenschaft gelöst: Potenzen mit derselben Basis a > 0, \(a \neq 1\) sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.
Lösen Sie Gleichung 2 3x 3 x = 576
Da 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, kann die Gleichung in der Form 8 x 3 x \u003d 24 2 oder in der Form 24 x \u003d 24 2 geschrieben werden wo x \u003d 2.
Antwort x = 2
Lösen Sie die Gleichung 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Wenn wir den gemeinsamen Faktor 3 x - 2 auf der linken Seite einklammern, erhalten wir 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25, 3 x - 2 25 \u003d 25,
woher 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Antwort x = 2
Lösen Sie die Gleichung 3 x = 7 x
Da \(7^x \neq 0 \) , kann die Gleichung geschrieben werden als \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), woraus \(\left(\frac(3)( 7 ) \right) ^x = 1 \), x = 0
Antwort x = 0
Lösen Sie die Gleichung 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Durch Ersetzen von 3 x \u003d t wird diese Gleichung auf eine quadratische Gleichung t 2 - 4t - 45 \u003d 0 reduziert. Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir ihre Wurzeln: t 1 \u003d 9, t 2 \u003d -5, von denen 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5 .
Die Gleichung 3 x = 9 hat eine Wurzel x = 2, und die Gleichung 3 x = -5 hat keine Wurzel, da die Exponentialfunktion keine negativen Werte annehmen kann.
Antwort x = 2
Lösen Sie Gleichung 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Wir schreiben die Gleichung in die Form
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, woher
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Antwort x = 2
Lösen Sie Gleichung 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Da 3 > 0, \(3 \neq 1\), ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zur Gleichung |x-1| = |x+3|
Durch Quadrieren dieser Gleichung erhalten wir ihre Folgerung (x - 1) 2 = (x + 3) 2, woher
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Die Prüfung zeigt, dass x = -1 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.
Antwort x = -1
Wir bieten Ihnen eine bequeme kostenlose Online-Rechner zum Lösen quadratischer Gleichungen. Sie können anhand verständlicher Beispiele schnell verstehen und verstehen, wie sie gelöst werden.
Produzieren quadratische gleichung online lösen, zunächst die Gleichung auf eine allgemeine Form bringen:
ax2 + bx + c = 0
Füllen Sie die Formularfelder entsprechend aus:
Wie löst man eine quadratische gleichung
So lösen Sie eine quadratische Gleichung: | Wurzeltypen: |
1.
Bringen Sie die quadratische Gleichung auf eine allgemeine Form: Gesamtansicht von Ax 2 +Bx+C=0 Beispiel: 3x - 2x 2 +1=-1 Reduzieren auf -2x 2 +3x+2=0 2.
Wir finden die Diskriminante D. 3.
Wir finden die Wurzeln der Gleichung. |
1.
Echte Wurzeln. Und. x1 ist nicht gleich x2 Die Situation entsteht, wenn D > 0 und A ungleich 0 ist. 2.
Die wahren Wurzeln sind die gleichen. x1 ist gleich x2 3.
Zwei komplexe Wurzeln. x1=d+ei, x2=d-ei, wobei i=-(1) 1/2 5.
Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. 6.
Die Gleichung hat keine Lösungen. |
Um den Algorithmus zu konsolidieren, hier noch ein paar mehr anschauliche Beispiele für Lösungen quadratischer Gleichungen.
Beispiel 1. Lösung einer gewöhnlichen quadratischen Gleichung mit verschiedenen reellen Wurzeln.
x 2 + 3 x -10 = 0
In dieser Gleichung
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
die Quadratwurzel wird als Zahl 1/2 bezeichnet!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
Um dies zu überprüfen, ersetzen wir:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
Beispiel 2. Lösen einer quadratischen Gleichung mit denselben reellen Wurzeln.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4
Ersatz
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
Beispiel 3. Lösung einer quadratischen Gleichung mit komplexen Wurzeln.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Die Diskriminante ist negativ - die Wurzeln sind komplex.
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, wobei I die Quadratwurzel von -1 ist
Hier sind eigentlich alle möglichen Fälle zum Lösen quadratischer Gleichungen.
Wir hoffen, dass unsere Online-Rechner wird Ihnen sehr nützlich sein.
Wenn das Material hilfreich war, können Sie es tun