Die Diskriminante sowie quadratische Gleichungen beginnen im Algebrakurs in der 8. Klasse zu lernen. Sie können eine quadratische Gleichung durch die Diskriminante und mithilfe des Vieta-Theorems lösen. Die Methodik zum Studium quadratischer Gleichungen sowie die Diskriminanzformel werden Schulkindern eher erfolglos beigebracht, wie vieles in der echten Bildung. Daher vergehen die Schuljahre, die Bildung in den Klassen 9-11 ersetzt die "Hochschulbildung" und alle suchen wieder - "Wie löst man eine quadratische Gleichung?", "Wie findet man die Wurzeln einer Gleichung?", "Wie findet man die Diskriminante?" und...

Diskriminante Formel

Die Diskriminante D der quadratischen Gleichung a*x^2+bx+c=0 ist D=b^2–4*a*c.
Die Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung hängen vom Vorzeichen der Diskriminante (D) ab:
D>0 - die Gleichung hat 2 verschiedene reelle Wurzeln;
D=0 - die Gleichung hat 1 Wurzel (2 übereinstimmende Wurzeln):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Die Formel zur Berechnung der Diskriminante ist recht einfach, daher bieten viele Websites einen Online-Diskriminanzrechner an. Wir haben diese Art von Skripten noch nicht herausgefunden, also wer weiß, wie man das umsetzt, bitte an die Mail schreiben Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt. Zur Anzeige muss JavaScript aktiviert sein. .

Allgemeine Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung:

Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formel gefunden
Wenn der Koeffizient der Variablen im Quadrat gepaart ist, ist es ratsam, nicht die Diskriminante, sondern ihren vierten Teil zu berechnen
In solchen Fällen werden die Wurzeln der Gleichung durch die Formel gefunden

Der zweite Weg, Wurzeln zu finden, ist der Satz von Vieta.

Der Satz ist nicht nur für quadratische Gleichungen, sondern auch für Polynome formuliert. Sie können dies auf Wikipedia oder anderen elektronischen Ressourcen nachlesen. Betrachten Sie jedoch zur Vereinfachung den Teil davon, der die reduzierten quadratischen Gleichungen betrifft, dh Gleichungen der Form (a = 1)
Die Essenz der Vieta-Formeln besteht darin, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich dem Koeffizienten der Variablen ist, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term. Die Formeln des Satzes von Vieta haben eine Notation.
Die Herleitung der Vieta-Formel ist recht einfach. Lassen Sie uns die quadratische Gleichung in Form von Primfaktoren schreiben
Wie Sie sehen, ist alles Geniale gleichzeitig einfach. Es ist effektiv, die Vieta-Formel zu verwenden, wenn die Differenz im Modul der Wurzeln oder die Differenz im Modul der Wurzeln 1, 2 ist. Beispielsweise haben die folgenden Gleichungen gemäß dem Vieta-Theorem Wurzeln




Bis zu 4 Gleichungsanalysen sollten so aussehen. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist 6, also können die Wurzeln die Werte (1, 6) und (2, 3) oder Paare mit entgegengesetztem Vorzeichen sein. Die Summe der Wurzeln ist 7 (der Koeffizient der Variablen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen). Daraus schließen wir, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung gleich x=2 sind; x=3.
Es ist einfacher, die Wurzeln der Gleichung unter den Teilern des freien Terms auszuwählen und ihr Vorzeichen zu korrigieren, um die Vieta-Formeln zu erfüllen. Am Anfang erscheint dies schwierig, aber mit Übung an einer Reihe quadratischer Gleichungen wird diese Technik effizienter sein, als die Diskriminante zu berechnen und die Wurzeln der quadratischen Gleichung auf klassische Weise zu finden.
Wie Sie sehen können, ist die Schultheorie des Studiums der Diskriminanten und Wege, Lösungen für die Gleichung zu finden, ohne praktische Bedeutung - "Warum brauchen Schulkinder eine quadratische Gleichung?", "Was ist die physikalische Bedeutung der Diskriminante?".

Versuchen wir es herauszufinden Was beschreibt die Diskriminante?

Im Kurs Algebra studieren sie Funktionen, Schemata zum Studieren von Funktionen und Plotten von Funktionen. Von allen Funktionen nimmt die Parabel einen wichtigen Platz ein, deren Gleichung in Form geschrieben werden kann
Die physikalische Bedeutung der quadratischen Gleichung sind also die Nullstellen der Parabel, also die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Abszissenachse Ox
Ich bitte Sie, sich die Eigenschaften von Parabeln zu merken, die unten beschrieben werden. Es wird Zeit, Prüfungen, Tests oder Aufnahmeprüfungen zu absolvieren, und Sie werden für das Referenzmaterial dankbar sein. Das Vorzeichen der Variablen im Quadrat entspricht, ob die Zweige der Parabel im Diagramm nach oben gehen (a > 0),

oder eine Parabel mit Ästen nach unten (a<0) .

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt in der Mitte zwischen den Wurzeln

Die physikalische Bedeutung der Diskriminante:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist (D>0), hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Ist die Diskriminante gleich Null (D=0), dann berührt die Parabel oben die x-Achse.
Und der letzte Fall, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Unvollständige quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Lösung, Beispiele.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Arten quadratischer Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In der Bezeichnung quadratische Gleichung Stichwort ist "Quadrat". Es bedeutet das in der Gleichung Notwendig Es muss ein x zum Quadrat geben. Darüber hinaus kann es in der Gleichung nur x (bis zum ersten Grad) und nur eine Zahl geben (oder auch nicht!). (Freies Mitglied). Und es sollte kein x in einem Grad größer als zwei geben.

Mathematisch gesehen ist eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:

Hier a, b und c- einige Zahlen. b und c- absolut jeder, aber a- alles andere als null. Zum Beispiel:

Hier a =1; b = 3; c = -4

Hier a =2; b = -0,5; c = 2,2

Hier a =-3; b = 6; c = -18

Nun, Sie haben die Idee ...

In diesen quadratischen Gleichungen auf der linken Seite gibt es vollständiger Satz Mitglieder. x quadriert mit Koeffizient a, x hoch 1 mit Koeffizient b und freies Mitglied bei

Solche quadratischen Gleichungen werden aufgerufen Komplett.

Und wenn b= 0, was bekommen wir? Wir haben X wird im ersten Grad verschwinden. Dies geschieht durch Multiplizieren mit Null.) Es stellt sich heraus, zum Beispiel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Usw. Und wenn beide Koeffizienten b und c gleich Null sind, dann ist es noch einfacher:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Solche Gleichungen, wo etwas fehlt, nennt man Unvollständige quadratische Gleichungen. Was ziemlich logisch ist.) Bitte beachten Sie, dass x zum Quadrat in allen Gleichungen vorhanden ist.

Übrigens warum a kann nicht null sein? Und Sie ersetzen stattdessen a Null.) Das X im Quadrat verschwindet! Die Gleichung wird linear. Und es geht anders...

Das sind alle Haupttypen quadratischer Gleichungen. Vollständig und unvollständig.

Lösung quadratischer Gleichungen.

Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen.

Quadratische Gleichungen sind einfach zu lösen. Nach Formeln und klaren einfachen Regeln. In der ersten Phase ist es notwendig, die gegebene Gleichung in die Standardform zu bringen, d.h. zur Ansicht:

Wenn Ihnen die Gleichung in dieser Form bereits gegeben ist, müssen Sie die erste Stufe nicht ausführen.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten korrekt zu bestimmen. a, b und c.

Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird aufgerufen diskriminierend. Aber mehr über ihn weiter unten. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um x zu finden nur a, b und c. Jene. Koeffizienten aus der quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c in diese Formel und zähle. Ersatz mit deinen Zeichen! Zum Beispiel in der Gleichung:

a =1; b = 3; c= -4. Hier schreiben wir:

Beispiel fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Alles ist sehr einfach. Und was denkst du, du kannst nichts falsch machen? Nun ja, wie...

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit den Vorzeichen von Werten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo soll man da verwechseln?), Sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier wird eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Nummern gespeichert. Bei Rechenproblemen also mach es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie beim ersten Mal selten Antworten erhalten.

Nun, sei nicht faul. Es dauert 30 Sekunden, um eine zusätzliche Zeile zu schreiben, und die Anzahl der Fehler wird stark abfallen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig zu malen. Aber es scheint nur. Versuch es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile müssen Sie nicht mehr alles so sorgfältig streichen. Es wird sich einfach als richtig herausstellen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten wird einfach und fehlerfrei gelöst!

Aber oft sehen quadratische Gleichungen etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Wussten Sie schon?) Ja! Das Unvollständige quadratische Gleichungen.

Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Sie können auch durch die allgemeine Formel gelöst werden. Sie müssen nur richtig herausfinden, was hier gleich ist a, b und c.

Erkannte? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; a c? Es existiert überhaupt nicht! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet dies das c = 0 ! Das ist alles. Setzen Sie stattdessen Null in die Formel ein c, und alles wird für uns klappen. Ähnlich beim zweiten Beispiel. Nur Null haben wir hier nicht mit, a b !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne irgendwelche Formeln. Betrachten Sie die erste unvollständige Gleichung. Was kann man auf der linken Seite tun? Du kannst das X aus Klammern nehmen! Nehmen wir es heraus.

Und was daraus? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist! Glauben Sie nicht? Nun, dann denken Sie sich zwei Zahlen ungleich Null aus, die, wenn sie multipliziert werden, Null ergeben!
Klappt nicht? Etwas...
Daher können wir getrost schreiben: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alles. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide passen. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen können, ist die Lösung viel einfacher als die allgemeine Formel. Ich stelle übrigens fest, welches X das erste und welches das zweite sein wird - es ist absolut gleichgültig. Einfach in Ordnung zu schreiben x 1- was auch immer weniger ist x 2- das was mehr ist.

Auch die zweite Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir verschieben 9 auf die rechte Seite. Wir bekommen:

Es bleibt, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Werden:

auch zwei Wurzeln . x 1 = -3, x 2 = 3.

So werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder durch Entfernen von X aus Klammern oder durch einfaches Übertragen der Zahl nach rechts und anschließendem Wurzelziehen.
Es ist äußerst schwierig, diese Methoden zu verwechseln. Einfach, weil Sie im ersten Fall die Wurzel aus X ziehen müssen, was irgendwie unverständlich ist, und im zweiten Fall gibt es nichts aus Klammern zu nehmen ...

Diskriminant. Diskriminante Formel.

magisches Wort diskriminierend ! Ein seltener Gymnasiast hat dieses Wort noch nicht gehört! Der Satz „durch die Diskriminante entscheiden“ ist beruhigend und beruhigend. Denn auf Tricks der Diskriminanten muss nicht gewartet werden! Es ist einfach und problemlos zu verwenden.) Ich erinnere Sie an die allgemeinste Lösungsformel irgendein quadratische Gleichungen:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt Diskriminante. Die Diskriminante wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D. Diskriminanzformel:

D = b2 - 4ac

Und was ist so besonders an diesem Ausdruck? Warum verdient es einen besonderen Namen? Worin Bedeutung der Diskriminante? Letztendlich -b, oder 2a In dieser Formel nennen sie nicht speziell ... Buchstaben und Buchstaben.

Der Punkt ist folgender. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel ist es möglich nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Dies bedeutet, dass Sie die Wurzel daraus extrahieren können. Ob die Wurzel gut oder schlecht gezogen wird, ist eine andere Frage. Es ist wichtig, was im Prinzip extrahiert wird. Dann hat deine quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Da das Addieren oder Subtrahieren von Null im Zähler nichts ändert. Genau genommen ist dies keine einzelne Wurzel, sondern zwei identisch. Aber in einer vereinfachten Version ist es üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.

3. Die Diskriminante ist negativ. Eine negative Zahl zieht nicht die Quadratwurzel. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Um ehrlich zu sein, ist bei einer einfachen Lösung quadratischer Gleichungen das Konzept einer Diskriminante nicht wirklich erforderlich. Wir ersetzen die Werte der Koeffizienten in der Formel und betrachten. Da stellt sich alles von selbst heraus und zwei Wurzeln und eine und keine einzige. Allerdings beim Lösen komplexerer Aufgaben, ohne Wissen Bedeutung und Diskriminanzformel nicht genug. Besonders - in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind Kunstflug für das GIA und die Einheitliche Staatsprüfung!)

So, wie man quadratische gleichungen löst durch die Diskriminante, an die Sie sich erinnerten. Oder gelernt, was auch nicht schlimm ist.) Du weißt, wie man richtig erkennt a, b und c. Weißt du wie aufmerksam Ersetzen Sie sie in die Wurzelformel und aufmerksam zählen das Ergebnis. Hast du verstanden, dass das Schlüsselwort hier ist - aufmerksam?

Beachten Sie nun die praktischen Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Gerade die, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind ... Für die es dann schmerzhaft und beleidigend ist ...

Erster Empfang . Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen, um sie in eine Standardform zu bringen. Was bedeutet das?
Angenommen, Sie erhalten nach allen Transformationen die folgende Gleichung:

Beeilen Sie sich nicht, die Formel der Wurzeln zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Baue das Beispiel richtig auf. Zuerst x im Quadrat, dann ohne Quadrat, dann ein freies Mitglied. So:

Und noch einmal: keine Eile! Das Minus vor dem x zum Quadrat kann Sie sehr verärgern. Es zu vergessen ist leicht ... Werde das Minus los. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Und jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel vervollständigen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten mit den Wurzeln 2 und -1 enden.

Zweiter Empfang. Überprüfen Sie Ihre Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Keine Sorge, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Jene. diejenige, mit der wir die Formel der Wurzeln niedergeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, überprüfen Sie die Wurzeln leicht. Es reicht aus, sie zu multiplizieren. Sie sollten eine freie Amtszeit bekommen, d.h. in unserem Fall -2. Achtung, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit deinem Zeichen . Wenn es nicht geklappt hat, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo Mist gebaut haben. Suchen Sie nach einem Fehler.

Wenn es geklappt hat, müssen Sie die Wurzeln falten. Letzte und letzte Kontrolle. Sollte ein Verhältnis sein b mit Gegenteil Schild. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient b, das vor dem x steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass es nur für Beispiele so einfach ist, wo x zum Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie wenigstens solche Gleichungen! Es werden weniger Fehler passieren.

Rezeption dritte . Wenn Ihre Gleichung Bruchkoeffizienten hat, werden Sie die Brüche los! Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, wie in der Lektion "Gleichungen lösen? Identitätstransformationen" beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen steigen Fehler aus irgendeinem Grund ...

Übrigens habe ich zur Vereinfachung ein böses Beispiel mit ein paar Minuspunkten versprochen. Gern geschehen! Da ist er.

Um bei den Minuszeichen nicht durcheinander zu kommen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Entscheiden macht Spaß!

Fassen wir das Thema also nochmal zusammen.

Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem x im Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x zum Quadrat rein ist, der Koeffizient dafür gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta überprüft werden. Tu es!

Jetzt können Sie entscheiden.)

Gleichungen lösen:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Antworten (durcheinander):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - eine beliebige Zahl

x 1 = -3
x 2 = 3

keine Lösungen

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Passt alles? Bußgeld! Quadratische Gleichungen sind nicht Ihre Kopfschmerzen. Die ersten drei fielen aus, aber der Rest nicht? Dann liegt das Problem nicht in quadratischen Gleichungen. Das Problem liegt in identischen Transformationen von Gleichungen. Schau dir mal den Link an, ist hilfreich.

Funktioniert nicht ganz? Oder geht das gar nicht? Dann hilft Ihnen Abschnitt 555. Dort sind alle diese Beispiele nach Knochen sortiert. Anzeigen hauptsächlich Fehler in der Lösung. Natürlich wird auch die Anwendung identischer Transformationen beim Lösen verschiedener Gleichungen beschrieben. Hilft sehr!

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Zum Beispiel ist für das Trinom \(3x^2+2x-7\) die Diskriminante \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Und für das Trinom \(x^2-5x+11\) ist es gleich \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Die Diskriminante wird mit dem Buchstaben \(D\) bezeichnet und oft beim Lösen verwendet. Außerdem können Sie am Wert der Diskriminante erkennen, wie der Graph aussieht (siehe unten).

Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung

Der Wert der Diskriminante zeigt den Betrag der quadratischen Gleichung:
- wenn \(D\) positiv ist, hat die Gleichung zwei Wurzeln;
- wenn \(D\) gleich Null ist - nur eine Wurzel;
- wenn \(D\) negativ ist, gibt es keine Wurzeln.

Dies muss nicht gelehrt werden, es ist leicht, zu einer solchen Schlussfolgerung zu kommen, einfach zu wissen, dass die Diskriminante (dh \(\sqrt(D)\) in der Formel zur Berechnung der Wurzeln der quadratischen Gleichung enthalten ist : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) und \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Schauen wir uns jeden Fall genauer an.

Wenn die Diskriminante positiv ist

In diesem Fall ist die Wurzel davon eine positive Zahl, was bedeutet, dass \(x_(1)\) und \(x_(2)\) unterschiedliche Werte haben, weil in der ersten Formel \(\sqrt(D) \) wird addiert und im zweiten wird - subtrahiert. Und wir haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(x^2+2x-3=0\)
Entscheidung :

Antworten : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Wenn die Diskriminante Null ist

Und wie viele Wurzeln gibt es, wenn die Diskriminante Null ist? Lassen Sie uns argumentieren.

Die Wurzelformeln sehen so aus: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) und \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Und wenn die Diskriminante Null ist, dann ist auch die Wurzel davon Null. Dann stellt sich heraus:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Das heißt, die Werte der Wurzeln der Gleichung sind gleich, da das Addieren oder Subtrahieren von Null nichts ändert.

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(x^2-4x+4=0\)
Entscheidung :

\(x^2-4x+4=0\)		Wir schreiben die Koeffizienten aus:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Berechnen Sie die Diskriminante mit der Formel \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Suche nach den Wurzeln der Gleichung
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Wir haben zwei identische Wurzeln, daher macht es keinen Sinn, sie getrennt zu schreiben - wir schreiben sie als eine auf.

Antworten : \(x=2\)

Betrachten wir das Problem. Die Grundfläche des Rechtecks ​​ist 10 cm länger als die Höhe und seine Fläche beträgt 24 cm². Finden Sie die Höhe des Rechtecks. Lassen X Zentimeter ist die Höhe des Rechtecks, dann ist seine Grundfläche ( X+10) cm Die Fläche dieses Rechtecks ​​​​ist X(X+ 10)cm². Je nach Aufgabe X(X+ 10) = 24. Erweitern der Klammern und Übertragen der Zahl 24 mit umgekehrtem Vorzeichen auf die linke Seite der Gleichung erhalten wir: X² + 10 X-24 = 0. Bei der Lösung dieses Problems wurde eine Gleichung erhalten, die als quadratische Gleichung bezeichnet wird.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

Axt ²+ bx+c= 0

wo a, b, c werden Zahlen gegeben, und a≠ 0, und X- Unbekannt.

Chancen a, b, c Die quadratische Gleichung wird normalerweise so genannt: a- der erste oder höchste Koeffizient, b- der zweite Koeffizient, c- Freies Mitglied. Zum Beispiel ist in unserem Problem der Senior-Koeffizient 1, der zweite Koeffizient 10, der freie Term ist -24. Die Lösung vieler mathematischer und physikalischer Probleme wird auf die Lösung quadratischer Gleichungen reduziert.

Lösen quadratischer Gleichungen

Vervollständige quadratische Gleichungen. Der erste Schritt besteht darin, die gegebene Gleichung in die Standardform zu bringen Axt²+ bx+ c= 0. Kehren wir zu unserem Problem zurück, in dem die Gleichung geschrieben werden kann als X(X+ 10) = 24 Bringen wir es zur Standardform, öffnen Sie die Klammern X² + 10 X- 24 = 0, lösen wir diese Gleichung mit der Formel der Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung.

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen in dieser Formel heißt Diskriminante D = b² - 4 ac

Wenn D > 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene Wurzeln, die durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung gefunden werden können.

Wenn D = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel.

Wenn d<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Ersetzen Sie die Werte in unserer Formel a= 1, b= 10, c= -24.

wir bekommen D>0, also bekommen wir zwei Nullstellen.

Betrachten Sie ein Beispiel, bei dem D = 0 ist, unter dieser Bedingung sollte eine Wurzel erhalten werden.

25x² - 30 x+ 9 = 0

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen (Diskriminante) ist negativ, wir schreiben die Antwort wie folgt: Die Gleichung hat keine echten Wurzeln.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichung Axt² + bx+ c= 0 heißt unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist. Eine unvollständige quadratische Gleichung ist eine Gleichung eines der folgenden Typen:

Axt² = 0,

Axt² + c= 0, c≠ 0,

Axt² + bx= 0, b≠ 0.

Betrachten Sie einige Beispiele, lösen Sie die Gleichung

Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch 5 teilen, erhalten wir die Gleichung X² = 0, die Antwort hat eine Wurzel X= 0.

Betrachten Sie eine Gleichung der Form

3X² - 27 = 0

Wenn wir beide Seiten durch 3 teilen, erhalten wir die Gleichung X² - 9 = 0, oder es kann geschrieben werden X² = 9, die Antwort hat zwei Wurzeln X= 3 und X= -3.

Betrachten Sie eine Gleichung der Form

2X² + 7 = 0

Wenn wir beide Seiten durch 2 teilen, erhalten wir die Gleichung X² = -7/2. Diese Gleichung hat keine wirklichen Wurzeln, weil X² ≥ 0 für jede reelle Zahl X.

Betrachten Sie eine Gleichung der Form

3X² + 5 X= 0

Wenn wir die linke Seite der Gleichung faktorisieren, erhalten wir X(3X+ 5) = 0, die Antwort hat zwei Wurzeln X= 0, X=-5/3.

Das Wichtigste beim Lösen quadratischer Gleichungen ist, die quadratische Gleichung auf eine Standardform zu bringen, sich die Formel für die Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung zu merken und sich nicht in den Vorzeichen zu verwirren.

In Fortsetzung des Themas „Gleichungen lösen“ führt Sie das Material in diesem Artikel in quadratische Gleichungen ein.

Betrachten wir alles im Detail: das Wesen und die Notation einer quadratischen Gleichung, legen Sie die zugehörigen Terme fest, analysieren Sie das Schema zur Lösung unvollständiger und vollständiger Gleichungen, machen Sie sich mit der Formel der Wurzeln und der Diskriminante vertraut, stellen Sie Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten her und von Natürlich werden wir eine visuelle Lösung von praktischen Beispielen geben.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Quadratische Gleichung, ihre Typen

Bestimmung 1

Quadratische Gleichung ist die Gleichung geschrieben als a x 2 + b x + c = 0, wo x– variabel, a , b und c sind einige Zahlen, während a ist nicht null.

Häufig werden quadratische Gleichungen auch als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet, da eine quadratische Gleichung eigentlich eine algebraische Gleichung zweiten Grades ist.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die gegebene Definition zu veranschaulichen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 usw. sind quadratische Gleichungen.

Bestimmung 2

Zahlen a , b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, während der Koeffizient a heißt der erste oder Senior oder Koeffizient bei x 2, b - der zweite Koeffizient oder Koeffizient bei x, a c freies Mitglied genannt.

Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 der höchste Koeffizient ist 6, der zweite Koeffizient ist − 2 , und der freie Begriff ist gleich − 11 . Achten wir darauf, dass bei den Koeffizienten b und/oder c negativ sind, dann wird die Kurzform verwendet 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, und nicht 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Lassen Sie uns auch diesen Aspekt verdeutlichen: Wenn die Koeffizienten a und/oder b gleich 1 oder − 1 , dann dürfen sie sich nicht explizit an der Erstellung der quadratischen Gleichung beteiligen, was sich durch die Besonderheiten beim Schreiben der angegebenen numerischen Koeffizienten erklärt. Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung y 2 − y + 7 = 0 der Senior-Koeffizient ist 1 und der zweite Koeffizient ist − 1 .

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Entsprechend dem Wert des ersten Koeffizienten werden quadratische Gleichungen in reduzierte und nicht reduzierte unterteilt.

Bestimmung 3

Reduzierte quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, bei der der führende Koeffizient 1 ist. Für andere Werte des führenden Koeffizienten ist die quadratische Gleichung nicht reduziert.

Hier einige Beispiele: Es werden quadratische Gleichungen x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 reduziert, bei denen der führende Koeffizient jeweils 1 ist.

9 x 2 - x - 2 = 0- nicht reduzierte quadratische Gleichung, bei der der erste Koeffizient unterschiedlich ist 1 .

Jede nicht reduzierte quadratische Gleichung kann in eine reduzierte Gleichung umgewandelt werden, indem beide Teile durch den ersten Koeffizienten dividiert werden (äquivalente Transformation). Die transformierte Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die gegebene nicht reduzierte Gleichung oder hat auch überhaupt keine Wurzeln.

Die Betrachtung eines konkreten Beispiels wird es uns ermöglichen, den Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten klar zu demonstrieren.

Beispiel 1

Gegeben sei die Gleichung 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Es ist notwendig, die ursprüngliche Gleichung in die reduzierte Form umzuwandeln.

Entscheidung

Nach obigem Schema dividieren wir beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 6 . Dann bekommen wir: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, und das ist dasselbe wie: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 und weiter: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Von hier: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Somit wird eine der gegebenen äquivalente Gleichung erhalten.

Antworten: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Wenden wir uns der Definition einer quadratischen Gleichung zu. Darin haben wir das festgelegt a ≠ 0. Eine ähnliche Bedingung ist für die Gleichung notwendig a x 2 + b x + c = 0 war genau quadratisch, da a = 0 es wandelt sich im Wesentlichen in eine lineare Gleichung um b x + c = 0.

In dem Fall, wo die Koeffizienten b und c gleich Null sind (was sowohl einzeln als auch gemeinsam möglich ist), heißt die quadratische Gleichung unvollständig.

Bestimmung 4

Unvollständige quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung a x 2 + b x + c \u003d 0, wobei mindestens einer der Koeffizienten b und c(oder beides) ist null.

Vervollständige die quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, bei der alle numerischen Koeffizienten ungleich Null sind.

Lassen Sie uns diskutieren, warum die Typen quadratischer Gleichungen genau solche Namen erhalten.

Für b = 0 nimmt die quadratische Gleichung die Form an a x 2 + 0 x + c = 0, was dasselbe ist wie a x 2 + c = 0. Beim c = 0 Die quadratische Gleichung wird geschrieben als a x 2 + b x + 0 = 0, was äquivalent ist a x 2 + b x = 0. Beim b = 0 und c = 0 Die Gleichung nimmt die Form an a x 2 = 0. Die erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich von der vollen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides gleichzeitig enthalten. Tatsächlich gab diese Tatsache dieser Art von Gleichungen den Namen - unvollständig.

Beispielsweise sind x 2 + 3 x + 4 = 0 und − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 vollständige quadratische Gleichungen; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Die oben gegebene Definition ermöglicht es, die folgenden Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen zu unterscheiden:

• a x 2 = 0 entsprechen Koeffizienten einer solchen Gleichung b = 0 und c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 für b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 für c = 0 .

Betrachten Sie nacheinander die Lösung jeder Art von unvollständigen quadratischen Gleichungen.

Lösung der Gleichung a x 2 \u003d 0

Wie bereits oben erwähnt, entspricht eine solche Gleichung den Koeffizienten b und c, gleich Null. Die gleichung a x 2 = 0 kann in eine äquivalente Gleichung umgewandelt werden x2 = 0, die wir erhalten, indem wir beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch die Zahl dividieren a, ungleich Null. Die offensichtliche Tatsache ist, dass die Wurzel der Gleichung x2 = 0 ist null, weil 0 2 = 0 . Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was durch die Eigenschaften des Grades erklärt wird: für jede Zahl p , ungleich Null, die Ungleichung ist wahr p2 > 0, woraus folgt, dass wann p ≠ 0 Gleichberechtigung p2 = 0 wird nie erreicht.

Bestimmung 5

Somit gibt es für die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 = 0 eine eindeutige Wurzel x=0.

Beispiel 2

Lassen Sie uns zum Beispiel eine unvollständige quadratische Gleichung lösen − 3 x 2 = 0. Es ist äquivalent zur Gleichung x2 = 0, seine einzige Wurzel ist x=0, dann hat die ursprüngliche Gleichung eine einzelne Wurzel - Null.

Die Lösung ist wie folgt zusammengefasst:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Lösung der Gleichung a x 2 + c \u003d 0

Als nächstes folgt die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, wobei b \u003d 0, c ≠ 0 ist, dh Gleichungen der Form a x 2 + c = 0. Transformieren wir diese Gleichung, indem wir den Term von einer Seite der Gleichung auf die andere übertragen, das Vorzeichen auf das andere ändern und beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null dividieren:

• ertragen c auf die rechte Seite, was die Gleichung ergibt a x 2 = − c;
• Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch a, erhalten wir als Ergebnis x = - c a .

Unsere Transformationen sind äquivalent bzw. die resultierende Gleichung ist auch äquivalent zur ursprünglichen, und diese Tatsache erlaubt einen Rückschluss auf die Wurzeln der Gleichung. Von was sind die Werte a und c hängt vom Wert des Ausdrucks ab - c a: Es kann ein Minuszeichen haben (z. B. wenn a = 1 und c = 2, dann - c a = - 2 1 = - 2) oder ein Pluszeichen (zum Beispiel, wenn a = -2 und c=6, dann - c a = - 6 - 2 = 3); es ist nicht gleich Null, weil c ≠ 0. Lassen Sie uns näher auf Situationen eingehen, in denen - c a< 0 и - c a > 0 .

In dem Fall, wenn - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p Gleichheit p 2 = - c a kann nicht wahr sein.

Alles ist anders, wenn - c a > 0: Denken Sie an die Quadratwurzel, und es wird offensichtlich, dass die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d - c a die Zahl - c a sein wird, da - c a 2 \u003d - c a. Es ist leicht zu verstehen, dass die Zahl - - c a - auch die Wurzel der Gleichung x 2 = - c a ist: in der Tat - - c a 2 = - c a .

Die Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Wir können dies mit der umgekehrten Methode demonstrieren. Lassen Sie uns zunächst die Notation der oben gefundenen Wurzeln als festlegen x 1 und − x 1. Nehmen wir an, dass die Gleichung x 2 = - c a auch eine Wurzel hat x2, die sich von den Wurzeln unterscheidet x 1 und − x 1. Wir wissen das, indem wir statt in die Gleichung einsetzen x ihre Wurzeln, wandeln wir die Gleichung in eine faire numerische Gleichheit um.

Für x 1 und − x 1 schreiben: x 1 2 = - c a , und für x2- x 2 2 \u003d - c ein. Basierend auf den Eigenschaften numerischer Gleichheiten subtrahieren wir eine wahre Gleichheit von einer anderen Term für Term, was uns ergibt: x 1 2 − x 2 2 = 0. Verwenden Sie die Eigenschaften von Zahlenoperationen, um die letzte Gleichheit neu zu schreiben als (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Es ist bekannt, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann Null ist, wenn mindestens eine der Zahlen Null ist. Aus dem Gesagten folgt x1 − x2 = 0 und/oder x1 + x2 = 0, was das gleiche ist x2 = x1 und/oder x2 = − x1. Ein offensichtlicher Widerspruch entstand, weil zunächst vereinbart wurde, dass die Wurzel der Gleichung x2 unterscheidet sich von x 1 und − x 1. Wir haben also bewiesen, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln hat als x = - c a und x = - - c a .

Wir fassen alle obigen Argumente zusammen.

Bestimmung 6

Unvollständige quadratische Gleichung a x 2 + c = 0 entspricht der Gleichung x 2 = - c a , die:

• hat keine Wurzeln bei - c a< 0 ;
• hat zwei Nullstellen x = - c a und x = - - c a , wenn - c a > 0 .

Lassen Sie uns Beispiele für das Lösen von Gleichungen geben a x 2 + c = 0.

Beispiel 3

Gegeben sei eine quadratische Gleichung 9 x 2 + 7 = 0 . Es ist notwendig, seine Lösung zu finden.

Entscheidung

Wir übertragen den freien Term auf die rechte Seite der Gleichung, dann nimmt die Gleichung die Form an 9 x 2 \u003d - 7.
Wir dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 , kommen wir zu x 2 = - 7 9 . Auf der rechten Seite sehen wir eine Zahl mit Minuszeichen, was bedeutet: Die gegebene Gleichung hat keine Wurzeln. Dann die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 + 7 = 0 wird keine Wurzeln haben.

Antworten: Die gleichung 9 x 2 + 7 = 0 hat keine Wurzeln.

Beispiel 4

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen − x2 + 36 = 0.

Entscheidung

Lassen Sie uns 36 auf die rechte Seite verschieben: − x 2 = − 36.
Teilen wir beide Teile in − 1 , wir bekommen x2 = 36. Auf der rechten Seite steht eine positive Zahl, woraus wir darauf schließen können x = 36 bzw x = - 36 .
Wir ziehen die Wurzel und schreiben das Endergebnis: eine unvollständige quadratische Gleichung − x2 + 36 = 0 hat zwei Wurzeln x=6 oder x = -6.

Antworten: x=6 oder x = -6.

Lösung der Gleichung a x 2 + b x=0

Lassen Sie uns die dritte Art unvollständiger quadratischer Gleichungen analysieren c = 0. Eine Lösung für eine unvollständige quadratische Gleichung finden a x 2 + b x = 0 verwenden wir die Faktorisierungsmethode. Lassen Sie uns das Polynom faktorisieren, das sich auf der linken Seite der Gleichung befindet, indem wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen x. Dieser Schritt wird es ermöglichen, die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung in ihr Äquivalent umzuwandeln x (a x + b) = 0. Und diese Gleichung wiederum ist äquivalent zum Gleichungssystem x=0 und a x + b = 0. Die gleichung a x + b = 0 linear, und seine Wurzel: x = − b ein.

Bestimmung 7

Also die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 + b x = 0 wird zwei Wurzeln haben x=0 und x = − b ein.

Konsolidieren wir das Material mit einem Beispiel.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Lösung der Gleichung 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 zu finden.

Entscheidung

Nehmen wir heraus x außerhalb der Klammern und erhalten die Gleichung x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Diese Gleichung ist äquivalent zu den Gleichungen x=0 und 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Jetzt sollten Sie die resultierende lineare Gleichung lösen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Wir schreiben die Lösung der Gleichung kurz wie folgt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oder 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oder x = 3 3 7

Antworten: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminante, Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um eine Lösung für quadratische Gleichungen zu finden, gibt es eine Wurzelformel:

Bestimmung 8

x = - b ± D 2 a, wobei D = b 2 − 4 ein c ist die sogenannte Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Das Schreiben von x \u003d - b ± D 2 a bedeutet im Wesentlichen, dass x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Es ist hilfreich zu verstehen, wie die angegebene Formel abgeleitet wurde und wie sie anzuwenden ist.

Herleitung der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Angenommen, wir stehen vor der Aufgabe, eine quadratische Gleichung zu lösen a x 2 + b x + c = 0. Führen wir einige äquivalente Transformationen durch:

• Teile beide Seiten der Gleichung durch die Zahl a, anders als Null, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• Wählen Sie das vollständige Quadrat auf der linken Seite der resultierenden Gleichung aus:
  x 2 + b ein x + c ein = x 2 + 2 b 2 ein x + b 2 ein 2 - b 2 ein 2 + c ein = = x + b 2 ein 2 - b 2 ein 2 + c ein
  Danach nimmt die Gleichung die Form an: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• jetzt ist es möglich, die letzten beiden Terme auf die rechte Seite zu übertragen und das Vorzeichen auf das Gegenteil zu ändern, wonach wir erhalten: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Schließlich transformieren wir den Ausdruck, der auf der rechten Seite der letzten Gleichheit steht:
  b 2 ein 2 - c ein \u003d b 2 4 ein 2 - c ein \u003d b 2 4 ein 2 - 4 ein c 4 ein 2 \u003d b 2 - 4 ein c 4 ein 2.

Somit sind wir zu der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 gekommen, die der ursprünglichen Gleichung entspricht a x 2 + b x + c = 0.

Wir haben die Lösung solcher Gleichungen in den vorherigen Abschnitten besprochen (die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen). Die bereits gesammelten Erfahrungen erlauben einen Rückschluss auf die Wurzeln der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• für b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• für b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 hat die Gleichung die Form x + b 2 · a 2 = 0, dann ist x + b 2 · a = 0.

Von hier aus ist die einzige Wurzel x = - b 2 · a offensichtlich;

• für b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 ist die richtige: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oder x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , was die ist wie x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oder x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , d.h. Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Daraus kann geschlossen werden, dass das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (und damit der ursprünglichen Gleichung) vom Vorzeichen des Ausdrucks b 2 - 4 a c abhängt 4 · eine 2 auf der rechten Seite geschrieben. Und das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird durch das Vorzeichen des Zählers (der Nenner) gegeben 4 ein 2 immer positiv sein), also das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 − 4 ein c. Dieser Ausdruck b 2 − 4 ein c ein Name wird gegeben - die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und der Buchstabe D wird als ihre Bezeichnung definiert. Hier können Sie die Essenz der Diskriminante aufschreiben - anhand ihres Werts und Vorzeichens schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat und wenn ja, wie viele Wurzeln - eine oder zwei.

Kehren wir zur Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 zurück. Schreiben wir es mit der Diskriminanznotation um: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Fassen wir die Schlussfolgerungen zusammen:

Bestimmung 9

• beim D< 0 die Gleichung hat keine wirklichen Wurzeln;
• beim D=0 die Gleichung hat eine einzige Wurzel x = -b 2 · a ;
• beim D > 0 Die Gleichung hat zwei Wurzeln: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 oder x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Basierend auf den Eigenschaften von Radikalen können diese Wurzeln geschrieben werden als: x \u003d - b 2 a + D 2 a oder - b 2 a - D 2 a. Und wenn wir die Module öffnen und die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Das Ergebnis unserer Überlegungen war also die Herleitung der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x = –b + D 2 a, x = – b – D 2 a, Diskriminante D nach der Formel berechnet D = b 2 − 4 ein c.

Diese Formeln ermöglichen es, wenn die Diskriminante größer als Null ist, beide reellen Wurzeln zu bestimmen. Wenn die Diskriminante Null ist, ergibt die Anwendung beider Formeln dieselbe Wurzel wie die einzige Lösung der quadratischen Gleichung. Wenn die Diskriminante negativ ist und wir versuchen, die Quadratwurzelformel zu verwenden, werden wir mit der Notwendigkeit konfrontiert, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ziehen, was uns über reelle Zahlen hinausführt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln, aber ein Paar komplexer konjugierter Wurzeln ist möglich, bestimmt durch dieselben Wurzelformeln, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Wurzelformeln

Es ist möglich, eine quadratische Gleichung zu lösen, indem man sofort die Wurzelformel verwendet, aber im Grunde wird dies getan, wenn es notwendig ist, komplexe Wurzeln zu finden.

In den meisten Fällen ist die Suche normalerweise nicht für komplexe, sondern für reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung gedacht. Dann ist es optimal, bevor Sie die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, zuerst die Diskriminante zu bestimmen und sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (sonst schließen wir daraus, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat), und dann mit der Berechnung fortzufahren Wert der Wurzeln.

Die obige Überlegung ermöglicht es, einen Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung zu formulieren.

Bestimmung 10

Eine quadratische Gleichung lösen a x 2 + b x + c = 0, notwendig:

• laut Formel D = b 2 − 4 ein c finde den Wert der Diskriminante;
• bei D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• für D = 0 finde die einzige Wurzel der Gleichung durch die Formel x = - b 2 · a ;
• für D > 0 bestimme zwei reelle Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Formel x = - b ± D 2 · a.

Beachten Sie, dass Sie, wenn die Diskriminante Null ist, die Formel x = - b ± D 2 · a verwenden können, sie ergibt das gleiche Ergebnis wie die Formel x = - b 2 · a .

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Wir präsentieren die Lösung von Beispielen für verschiedene Werte der Diskriminante.

Beispiel 6

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung zu finden x 2 + 2 x - 6 = 0.

Entscheidung

Wir schreiben die numerischen Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a \u003d 1, b \u003d 2 und c = − 6. Als nächstes handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Beginnen wir mit der Berechnung der Diskriminante, für die wir die Koeffizienten a , b einsetzen und c in die Diskriminanzformel: D = b 2 − 4 ein c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Wir haben also D > 0, was bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung zwei reelle Wurzeln haben wird.
Um sie zu finden, verwenden wir die Wurzelformel x \u003d - b ± D 2 · a und setzen die entsprechenden Werte ein und erhalten: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Wir vereinfachen den resultierenden Ausdruck, indem wir den Faktor aus dem Vorzeichen der Wurzel entfernen, gefolgt von einer Kürzung des Bruchs:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oder x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oder x = - 1 - 7

Antworten: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Beispiel 7

Es ist notwendig, eine quadratische Gleichung zu lösen − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Entscheidung

Lassen Sie uns die Diskriminante definieren: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Bei diesem Wert der Diskriminante hat die ursprüngliche Gleichung nur eine Wurzel, bestimmt durch die Formel x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Antworten: x = 3, 5.

Beispiel 8

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Entscheidung

Die numerischen Koeffizienten dieser Gleichung sind: a = 5 , b = 6 und c = 2 . Wir verwenden diese Werte, um die Diskriminante zu finden: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Die berechnete Diskriminante ist negativ, sodass die ursprüngliche quadratische Gleichung keine echten Wurzeln hat.

Wenn die Aufgabe darin besteht, komplexe Wurzeln anzuzeigen, wenden wir die Wurzelformel an, indem wir Operationen mit komplexen Zahlen ausführen:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ich 10 oder x \u003d - 6 - 2 ich 10,

x = - 3 5 + 1 5 ich oder x = - 3 5 - 1 5 ich .

Antworten: es gibt keine wirklichen Wurzeln; die komplexen Wurzeln sind: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Im Schullehrplan gibt es standardmäßig keine Anforderung, nach komplexen Wurzeln zu suchen, daher wird, wenn die Diskriminante während der Lösung als negativ definiert wird, sofort die Antwort aufgezeichnet, dass es keine echten Wurzeln gibt.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Die Wurzelformel x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ermöglicht es, eine andere, kompaktere Formel zu erhalten, mit der Sie Lösungen für quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten bei x (oder mit einem Koeffizienten der Form 2 a n, zum Beispiel 2 3 oder 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Lassen Sie uns zeigen, wie diese Formel hergeleitet wird.

Angenommen, wir stehen vor der Aufgabe, eine Lösung für die quadratische Gleichung a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 zu finden. Wir gehen nach dem Algorithmus vor: Wir bestimmen die Diskriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , und verwenden dann die Wurzelformel:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c ein .

Lassen Sie den Ausdruck n 2 − a c als D 1 bezeichnet werden (manchmal wird er als D " bezeichnet). Dann hat die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form:

x \u003d - n ± D 1 a, wobei D 1 \u003d n 2 - a c.

Es ist leicht zu sehen, dass D = 4 · D 1 oder D 1 = D 4 . Mit anderen Worten, D 1 ist ein Viertel der Diskriminante. Offensichtlich ist das Vorzeichen von D 1 dasselbe wie das Vorzeichen von D, was bedeutet, dass das Vorzeichen von D 1 auch als Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung dienen kann.

Bestimmung 11

Um also eine Lösung für eine quadratische Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten von 2 n zu finden, ist es notwendig:

• finde D 1 = n 2 − ein c ;
• bei D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• für D 1 = 0 bestimme die einzige Wurzel der Gleichung durch die Formel x = - n a ;
• für D 1 > 0 bestimme zwei reelle Nullstellen mit der Formel x = - n ± D 1 a.

Beispiel 9

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 zu lösen.

Entscheidung

Der zweite Koeffizient der gegebenen Gleichung kann als 2 · (− 3) dargestellt werden. Dann schreiben wir die gegebene quadratische Gleichung um als 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , wobei a = 5 , n = − 3 und c = − 32 .

Berechnen wir den vierten Teil der Diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Der resultierende Wert ist positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat. Wir definieren sie durch die entsprechende Wurzelformel:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 oder x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oder x = - 2

Es wäre möglich, Berechnungen mit der üblichen Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durchzuführen, aber in diesem Fall wäre die Lösung umständlicher.

Antworten: x = 3 1 5 oder x = - 2 .

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Manchmal ist es möglich, die Form der ursprünglichen Gleichung zu optimieren, was die Berechnung der Wurzeln vereinfacht.

Beispielsweise ist die quadratische Gleichung 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 zum Lösen deutlich bequemer als 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Häufiger erfolgt die Vereinfachung der Form einer quadratischen Gleichung durch Multiplikation oder Division ihrer beiden Teile mit einer bestimmten Zahl. Zum Beispiel haben wir oben eine vereinfachte Darstellung der Gleichung 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 gezeigt, die man erhält, indem man beide Teile durch 100 dividiert.

Eine solche Transformation ist möglich, wenn die Koeffizienten der quadratischen Gleichung keine relativen Primzahlen sind. Dann werden normalerweise beide Teile der Gleichung durch den größten gemeinsamen Teiler der Absolutwerte ihrer Koeffizienten geteilt.

Als Beispiel verwenden wir die quadratische Gleichung 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definieren wir den ggT der Absolutwerte seiner Koeffizienten: ggT (12 , 42 , 48) = ggT(ggT (12 , 42) , 48) = ggT (6 , 48) = 6 . Teilen wir beide Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 und erhalten die äquivalente quadratische Gleichung 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Durch Multiplizieren beider Seiten der quadratischen Gleichung werden Bruchkoeffizienten normalerweise eliminiert. Multiplizieren Sie in diesem Fall mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten. Wenn beispielsweise jeder Teil der quadratischen Gleichung 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 mit LCM (6, 3, 1) \u003d 6 multipliziert wird, wird er in einer einfacheren Form x 2 + geschrieben 4 x - 18 = 0 .

Schließlich stellen wir fest, dass fast immer das Minus beim ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung entfernt wird, indem die Vorzeichen jedes Terms der Gleichung geändert werden, was durch Multiplizieren (oder Dividieren) beider Teile mit − 1 erreicht wird. Beispielsweise können Sie von der quadratischen Gleichung - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 zu ihrer vereinfachten Version 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 wechseln.

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten

Die bereits bekannte Formel für die Wurzeln quadratischer Gleichungen x = - b ± D 2 · a drückt die Wurzeln der Gleichung durch ihre numerischen Koeffizienten aus. Basierend auf dieser Formel haben wir die Möglichkeit, andere Abhängigkeiten zwischen Wurzeln und Koeffizienten einzustellen.

Die bekanntesten und anwendbarsten sind die Formeln des Vieta-Theorems:

x 1 + x 2 \u003d - b a und x 2 \u003d c a.

Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln der zweite Koeffizient mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Beispielsweise kann durch die Form der quadratischen Gleichung 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 sofort bestimmt werden, dass die Summe ihrer Wurzeln 7 3 und das Produkt der Wurzeln 22 3 beträgt.

Sie können auch eine Reihe anderer Beziehungen zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung finden. Beispielsweise kann die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung in Form von Koeffizienten ausgedrückt werden:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter