Die Quadratwurzel einer Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Beispielsweise sind die Zahlen -5 und 5 Quadratwurzeln der Zahl 25. Das heißt, die Wurzeln der Gleichung x^2=25 sind die Quadratwurzeln der Zahl 25. Jetzt müssen Sie lernen, wie man mit dem Quadrat arbeitet Root-Operation: Studieren Sie ihre grundlegenden Eigenschaften.

Quadratwurzel des Produkts

√(a*b) =√a*√b

Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen. Zum Beispiel: √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft auch für den Fall gilt, dass der Wurzelausdruck das Produkt von drei, vier usw. ist. nicht negative Faktoren.

Manchmal gibt es eine andere Formulierung dieser Eigenschaft. Wenn a und b nicht negative Zahlen sind, dann gilt die folgende Gleichheit: √(a*b) =√a*√b. Es gibt absolut keinen Unterschied zwischen ihnen; Sie können entweder die eine oder andere Formulierung verwenden (die für Sie bequemer ist, sich daran zu erinnern).

Quadratwurzel eines Bruchs

Wenn a>=0 und b>0, dann gilt die folgende Gleichung:

√(a/b) =√a/√b.

Zum Beispiel: √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Diese Eigenschaft hat auch eine andere Formulierung, die meiner Meinung nach bequemer zum Erinnern ist.
Die Quadratwurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Es ist erwähnenswert, dass diese Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Das heißt, wir können das Produkt von Wurzeln bei Bedarf als Wurzel eines Produkts darstellen. Gleiches gilt für die zweite Immobilie.

Wie Sie vielleicht bemerkt haben, sind diese Eigenschaften sehr praktisch, und ich hätte gerne dieselben Eigenschaften für Addition und Subtraktion:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Aber leider sind solche Eigenschaften quadratisch keine Wurzeln haben, und deshalb ist es so ist in Berechnungen nicht möglich.

ABSCHLUSS MIT RATIONALEM INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 79. Ziehen von Wurzeln aus einem Produkt und einem Quotienten

Satz 1. Wurzel P Die te Potenz des Produkts positiver Zahlen ist gleich dem Produkt der Wurzeln P Grad der Faktoren, also wann A > 0, B > 0 und natürlich P

N √ab = N √A N √B . (1)

Nachweisen. Denken Sie daran, dass die Wurzel P -te Potenz einer positiven Zahl ab es gibt eine positive Zahl P -ter Grad davon ist gleich ab . Daher ist der Beweis der Gleichheit (1) dasselbe wie der Beweis der Gleichheit

(N √A N √B ) N = ab .

Durch die Produktleistungseigenschaft

(N √A N √B ) N = (N √A ) N (N √B ) N =.

Aber per Definition einer Wurzel P Abschluss ( N √A ) N = A , (N √B ) N = B .

Deshalb ( N √A N √B ) N = ab . Der Satz ist bewiesen.

Erfordernis A > 0, B > 0 ist nur für gerade von Bedeutung P , weil für negativ A Und B und selbst P Wurzeln N √A Und N √B nicht definiert. Wenn P ungerade ist, dann gilt Formel (1) für jeden A Und B (sowohl positiv als auch negativ).

Beispiele: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formel (1) ist nützlich bei der Berechnung von Wurzeln, wenn der Wurzelausdruck als Produkt exakter Quadrate dargestellt wird. Zum Beispiel,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Wir haben Satz 1 für den Fall bewiesen, dass das Wurzelzeichen auf der linken Seite der Formel (1) das Produkt zweier positiver Zahlen ist. Tatsächlich gilt dieser Satz für eine beliebige Anzahl positiver Faktoren, also für jeden natürlichen k > 2:

Folge. Wenn wir diese Identität von rechts nach links lesen, erhalten wir die folgende Regel für die Multiplikation von Wurzeln mit denselben Exponenten;

Um Wurzeln mit denselben Indikatoren zu multiplizieren, reicht es aus, die Wurzelausdrücke zu multiplizieren, wobei der Wurzelindikator gleich bleibt.

Zum Beispiel: √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Satz 2. Wurzel P Die te Potenz eines Bruchs, dessen Zähler und Nenner positive Zahlen sind, ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel derselben Potenz des Zählers dividiert durch die Wurzel derselben Potenz des Nenners, das ist wenn A > 0 und B > 0

(2)

Gleichheit (2) zu beweisen bedeutet, das zu zeigen

Nach der Regel zum Potenzieren eines Bruchs und Bestimmen der Wurzel N -ten Grades haben wir:

Damit ist der Satz bewiesen.

Erfordernis A > 0 und B > 0 ist nur für gerade von Bedeutung P . Wenn P ungerade ist, gilt Formel (2) auch für negative Werte A Und B .

Folge. Identität lesen Von rechts nach links erhalten wir die folgende Regel für die Division von Wurzeln mit gleichen Exponenten:

Um Wurzeln mit denselben Indikatoren zu trennen, reicht es aus, die Wurzelausdrücke zu trennen und den Wurzelindikator gleich zu lassen.

Zum Beispiel,

Übungen

554. An welcher Stelle im Beweis von Satz 1 haben wir die Tatsache genutzt, dass A Und B sind sie positiv?

Warum seltsam P Formel (1) gilt auch für negative Zahlen A Und B ?

Bei welchen Werten X Die Gleichheitsdaten sind korrekt (Nr. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (X - 2) (8 - X ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - X

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Berechnen Sie:

A) √ 173 2 - 52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;

B) √ 373 2 - 252 2; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Hypotenuse 205 cm und eines der Beine 84 cm. Finden Sie das andere Bein.

563. Wie oft:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - irgendeine Nummer. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - irgendeine Nummer. 563. a) Dreimal.

Grüße, Katzen! Letztes Mal haben wir ausführlich besprochen, was Wurzeln sind (wenn Sie sich nicht erinnern, empfehle ich Ihnen, es zu lesen). Die wichtigste Erkenntnis aus dieser Lektion: Es gibt nur eine universelle Definition von Wurzeln, die Sie kennen müssen. Der Rest ist Unsinn und Zeitverschwendung.

Heute gehen wir weiter. Wir werden lernen, Wurzeln zu multiplizieren, wir werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Multiplikation untersuchen (wenn diese Probleme nicht gelöst werden, können sie in der Prüfung tödlich sein) und wir werden richtig üben. Also Popcorn auffüllen, es sich bequem machen und los geht’s :)

Du hast es auch noch nicht geraucht, oder?

Die Lektion erwies sich als ziemlich lang, deshalb habe ich sie in zwei Teile unterteilt:

1. Zuerst schauen wir uns die Regeln der Multiplikation an. Cap scheint anzudeuten: Dann gibt es zwei Wurzeln, zwischen ihnen steht ein „Multiplikations“-Zeichen – und wir wollen etwas damit machen.
2. Schauen wir uns dann die umgekehrte Situation an: Es gibt eine große Wurzel, aber wir wollten sie gerne als Produkt zweier einfacherer Wurzeln darstellen. Warum das notwendig ist, ist eine andere Frage. Wir werden nur den Algorithmus analysieren.

Wer es kaum erwarten kann, sofort mit dem zweiten Teil fortzufahren, ist herzlich willkommen. Beginnen wir mit dem Rest der Reihe nach.

Grundregel der Multiplikation

Beginnen wir mit dem Einfachsten – den klassischen Quadratwurzeln. Dieselben, die mit $\sqrt(a)$ und $\sqrt(b)$ bezeichnet werden. Für sie ist alles klar:

Multiplikationsregel. Um eine Quadratwurzel mit einer anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie einfach ihre Wurzelausdrücke und schreiben das Ergebnis unter die gemeinsame Wurzel:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Für die Zahlen rechts und links gibt es keine weiteren Einschränkungen: Wenn die Wurzelfaktoren existieren, dann existiert auch das Produkt.

Beispiele. Schauen wir uns gleich vier Beispiele mit Zahlen an:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen, besteht die Hauptbedeutung dieser Regel darin, irrationale Ausdrücke zu vereinfachen. Und wenn wir im ersten Beispiel selbst ohne neue Regeln die Wurzeln aus 25 und 4 gezogen hätten, dann wird es schwierig: $\sqrt(32)$ und $\sqrt(2)$ werden nicht für sich betrachtet, sondern Ihr Produkt stellt sich als perfektes Quadrat heraus, daher ist seine Wurzel gleich einer rationalen Zahl.

Besonders hervorheben möchte ich die letzte Zeile. Dort sind beide Wurzelausdrücke Brüche. Dank des Produkts werden viele Faktoren aufgehoben und der gesamte Ausdruck wird zu einer angemessenen Zahl.

Natürlich wird es nicht immer so schön sein. Manchmal herrscht unter den Wurzeln ein völliges Durcheinander – es ist nicht klar, was man damit machen soll und wie man es nach der Multiplikation umwandelt. Etwas später, wenn Sie mit dem Studium irrationaler Gleichungen und Ungleichungen beginnen, wird es alle möglichen Variablen und Funktionen geben. Und sehr oft rechnen Problemschreiber damit, dass Sie einige aufhebende Begriffe oder Faktoren entdecken, nach denen das Problem um ein Vielfaches vereinfacht wird.

Außerdem ist es überhaupt nicht notwendig, genau zwei Wurzeln zu multiplizieren. Sie können drei, vier oder sogar zehn auf einmal multiplizieren! An der Regel ändert sich dadurch nichts. Schau mal:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Und noch einmal eine kleine Anmerkung zum zweiten Beispiel. Wie Sie sehen, befindet sich im dritten Faktor unter der Wurzel ein Dezimalbruch – im Berechnungsprozess ersetzen wir ihn durch einen regulären Bruch, woraufhin alles leicht reduziert wird. Deshalb: Ich empfehle dringend, Dezimalbrüche in allen irrationalen Ausdrücken (d. h. solchen, die mindestens ein Wurzelzeichen enthalten) zu entfernen. Das erspart Ihnen in Zukunft viel Zeit und Nerven.

Aber das war ein lyrischer Exkurs. Betrachten wir nun einen allgemeineren Fall – wenn der Wurzelexponent eine beliebige Zahl $n$ enthält und nicht nur die „klassischen“ zwei.

Der Fall eines willkürlichen Indikators

Also haben wir die Quadratwurzeln herausgefunden. Was tun mit kubischen? Oder sogar mit Wurzeln beliebigen Grades $n$? Ja, alles ist gleich. Die Regel bleibt dieselbe:

Um zwei Wurzeln vom Grad $n$ zu multiplizieren, reicht es aus, ihre Wurzelausdrücke zu multiplizieren und das Ergebnis dann unter eine Wurzel zu schreiben.

Im Allgemeinen nichts Kompliziertes. Allerdings kann der Rechenaufwand größer sein. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiele. Produkte berechnen:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Und noch einmal Aufmerksamkeit auf den zweiten Ausdruck. Wir multiplizieren die Kubikwurzeln, entfernen den Dezimalbruch und erhalten am Ende den Nenner, der das Produkt der Zahlen 625 und 25 ist. Das ist eine ziemlich große Zahl – ich persönlich kann nicht auf Anhieb herausfinden, was sie ergibt meines Kopfes.

Deshalb haben wir einfach den exakten Würfel im Zähler und Nenner isoliert und dann eine der Schlüsseleigenschaften (oder, wenn Sie es vorziehen, die Definition) der $n$-ten Wurzel verwendet:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\richtig|. \\ \end(align)\]

Solche „Machenschaften“ können Ihnen bei einer Prüfung oder einem Test viel Zeit sparen. Denken Sie also daran:

Beeilen Sie sich nicht, Zahlen mit radikalen Ausdrücken zu multiplizieren. Überprüfen Sie zunächst: Was ist, wenn der genaue Grad eines Ausdrucks dort „verschlüsselt“ ist?

Trotz der Offensichtlichkeit dieser Bemerkung muss ich zugeben, dass die meisten unvorbereiteten Studenten die genauen Abschlüsse nicht aus nächster Nähe erkennen. Stattdessen multiplizieren sie einfach alles und fragen sich dann: Warum sind sie auf so brutale Zahlen gekommen? :)

Im Vergleich zu dem, was wir jetzt studieren werden, ist dies jedoch alles nur Babysprache.

Wurzeln mit verschiedenen Exponenten multiplizieren

Okay, jetzt können wir Wurzeln mit denselben Indikatoren multiplizieren. Was ist, wenn die Indikatoren unterschiedlich sind? Nehmen wir an, wie multipliziert man ein gewöhnliches $\sqrt(2)$ mit so einem Mist wie $\sqrt(23)$? Ist das überhaupt möglich?

Natürlich kannst du. Alles läuft nach dieser Formel ab:

Regel zum Multiplizieren von Wurzeln. Um $\sqrt[n](a)$ mit $\sqrt[p](b)$ zu multiplizieren, reicht es aus, die folgende Transformation durchzuführen:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Diese Formel funktioniert jedoch nur, wenn Radikale Ausdrücke sind nicht negativ. Dies ist ein sehr wichtiger Hinweis, auf den wir etwas später zurückkommen werden.

Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes. Lassen Sie uns nun herausfinden, woher die Nicht-Negativitätsanforderung kommt und was passiert, wenn wir dagegen verstoßen :).

Wurzeln zu vermehren ist einfach

Warum dürfen radikale Ausdrücke nicht negativ sein?

Natürlich können Sie wie Schullehrer das Lehrbuch mit einem klugen Blick zitieren:

Das Erfordernis der Nichtnegativität ist mit unterschiedlichen Definitionen von Wurzeln geraden und ungeraden Grades verbunden (entsprechend sind auch ihre Definitionsbereiche unterschiedlich).

Nun, ist es klarer geworden? Persönlich habe ich, als ich diesen Unsinn in der 8. Klasse las, ungefähr Folgendes verstanden: „Die Anforderung der Nicht-Negativität ist mit *#&^@(*#@^#)~% verbunden“ – kurz gesagt, ich habe es verstanden Ich habe damals überhaupt nichts verstanden :)

Jetzt erkläre ich alles ganz normal.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, woher die obige Multiplikationsformel kommt. Dazu möchte ich Sie an eine wichtige Eigenschaft der Wurzel erinnern:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Mit anderen Worten, wir können den Wurzelausdruck leicht auf jede natürliche Potenz $k$ erhöhen – in diesem Fall muss der Exponent der Wurzel mit derselben Potenz multipliziert werden. Daher können wir alle Wurzeln leicht auf einen gemeinsamen Exponenten reduzieren und sie dann multiplizieren. Daher stammt die Multiplikationsformel:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Es gibt jedoch ein Problem, das die Verwendung all dieser Formeln stark einschränkt. Betrachten Sie diese Zahl:

Nach der eben gegebenen Formel können wir jeden Grad addieren. Versuchen wir, $k=2$ hinzuzufügen:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Wir haben das Minus genau deshalb entfernt, weil das Quadrat das Minus verbrennt (wie jeder andere gerade Grad auch). Führen wir nun die umgekehrte Transformation durch: „Reduzieren“ Sie die beiden im Exponenten und in der Potenz. Schließlich kann jede Gleichheit sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gelesen werden:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Aber dann stellt sich heraus, dass es eine Art Mist ist:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Dies kann nicht passieren, da $\sqrt(-5) \lt 0$ und $\sqrt(5) \gt 0$. Das bedeutet, dass unsere Formel für gerade Potenzen und negative Zahlen nicht mehr funktioniert. Danach haben wir zwei Möglichkeiten:

1. An die Wand stoßen und sagen, dass Mathematik eine dumme Wissenschaft ist, in der es „einige Regeln gibt, aber diese sind ungenau“;
2. Führen Sie zusätzliche Einschränkungen ein, unter denen die Formel zu 100 % funktioniert.

Bei der ersten Option müssen wir ständig „nicht funktionierende“ Fälle aufspüren – das ist schwierig, zeitaufwändig und im Allgemeinen pfui. Daher bevorzugten Mathematiker die zweite Option :).

Aber keine Sorge! In der Praxis hat diese Einschränkung keinerlei Auswirkungen auf die Berechnungen, da alle beschriebenen Probleme nur Wurzeln ungeraden Grades betreffen und daraus Minuspunkte gezogen werden können.

Formulieren wir daher noch eine Regel, die grundsätzlich für alle Handlungen mit Wurzeln gilt:

Stellen Sie vor der Wurzelmultiplikation sicher, dass die Wurzelausdrücke nicht negativ sind.

Beispiel. In der Zahl $\sqrt(-5)$ können Sie das Minus unter dem Wurzelzeichen entfernen – dann ist alles normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Spüren Sie den Unterschied? Wenn Sie ein Minus unter der Wurzel belassen, verschwindet es beim Quadrieren des Wurzelausdrucks und der Mist beginnt. Und wenn Sie zuerst das Minus herausnehmen, können Sie es quadrieren/entfernen, bis Sie blau im Gesicht sind – die Zahl bleibt negativ :).

Daher ist die korrekteste und zuverlässigste Methode zur Wurzelmultiplikation wie folgt:

1. Entfernen Sie alle Negative von den Radikalen. Minuspunkte gibt es nur in Wurzeln ungerader Multiplizität – sie können vor die Wurzel gestellt und bei Bedarf gekürzt werden (z. B. wenn es zwei dieser Minuspunkte gibt).
2. Führen Sie die Multiplikation gemäß den oben in der heutigen Lektion besprochenen Regeln durch. Wenn die Indikatoren der Wurzeln gleich sind, multiplizieren wir einfach die Wurzelausdrücke. Und wenn sie unterschiedlich sind, verwenden wir die böse Formel \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Genieße das Ergebnis und gute Noten.:)

Und was? Sollen wir üben?

Beispiel 1: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Dies ist die einfachste Option: Die Wurzeln sind gleich und ungerade, das einzige Problem besteht darin, dass der zweite Faktor negativ ist. Wir nehmen dieses Minus aus dem Bild, danach lässt sich alles leicht berechnen.

Beispiel 2: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ausrichten)\]

Hier würden viele durch die Tatsache verwirrt sein, dass sich herausstellte, dass die Ausgabe eine irrationale Zahl war. Ja, es kommt vor: Wir konnten den Stamm nicht ganz loswerden, aber zumindest haben wir den Ausdruck deutlich vereinfacht.

Beispiel 3: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Auf diese Aufgabe möchte ich Sie aufmerksam machen. Hier gibt es zwei Punkte:

1. Die Wurzel ist keine bestimmte Zahl oder Potenz, sondern die Variable $a$. Auf den ersten Blick ist das etwas ungewöhnlich, aber in Wirklichkeit hat man es bei der Lösung mathematischer Probleme am häufigsten mit Variablen zu tun.
2. Am Ende ist es uns gelungen, den Radikalindikator und den Grad des radikalen Ausdrucks zu „reduzieren“. Das passiert ziemlich oft. Und das bedeutet, dass die Berechnungen deutlich vereinfacht werden konnten, wenn man nicht die Grundformel verwendet hat.

Sie könnten beispielsweise Folgendes tun:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Tatsächlich wurden alle Transformationen nur mit dem zweiten Radikal durchgeführt. Und wenn man nicht alle Zwischenschritte detailliert beschreibt, reduziert sich am Ende der Rechenaufwand deutlich.

Tatsächlich sind wir oben bereits auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, als wir das Beispiel $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ gelöst haben. Nun lässt es sich viel einfacher schreiben:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Nun, wir haben die Wurzelmultiplikation geklärt. Betrachten wir nun den umgekehrten Vorgang: Was ist zu tun, wenn sich im Stammverzeichnis ein Produkt befindet?

In diesem Abschnitt betrachten wir arithmetische Quadratwurzeln.

Im Falle eines wörtlichen radikalen Ausdrucks gehen wir davon aus, dass die unter dem Wurzelzeichen enthaltenen Buchstaben nichtnegative Zahlen bezeichnen.

1. Die Wurzel der Arbeit.

Betrachten wir dieses Beispiel.

Beachten Sie andererseits, dass die Zahl 2601 das Produkt zweier Faktoren ist, aus denen die Wurzel leicht gezogen werden kann:

Ziehen wir die Quadratwurzel jedes Faktors und multiplizieren wir diese Wurzeln:

Wir haben die gleichen Ergebnisse erhalten, als wir die Wurzel aus dem Produkt unter der Wurzel gezogen haben und als wir die Wurzel aus jedem Faktor separat gezogen und die Ergebnisse multipliziert haben.

In vielen Fällen ist die zweite Methode einfacher, das Ergebnis zu ermitteln, da man aus kleineren Zahlen die Wurzel ziehen muss.

Satz 1. Um die Quadratwurzel eines Produkts zu extrahieren, können Sie sie aus jedem Faktor separat extrahieren und die Ergebnisse multiplizieren.

Beweisen wir den Satz für drei Faktoren, d. h. wir beweisen die Gleichheit:

Den Beweis führen wir durch direkte Verifikation basierend auf der Definition einer arithmetischen Wurzel durch. Nehmen wir an, wir müssen die Gleichheit beweisen:

(A und B sind nicht negative Zahlen). Nach der Definition einer Quadratwurzel bedeutet dies Folgendes

Daher reicht es aus, die rechte Seite der zu beweisenden Gleichheit zu quadrieren und sicherzustellen, dass der Wurzelausdruck der linken Seite erhalten wird.

Wenden wir diese Argumentation auf den Beweis der Gleichheit (1) an. Lassen Sie uns die rechte Seite quadrieren. aber auf der rechten Seite steht das Produkt, und um das Produkt zu quadrieren, genügt es, jeden Faktor zu quadrieren und die Ergebnisse zu multiplizieren (siehe § 40);

Das Ergebnis ist ein radikaler Ausdruck auf der linken Seite. Dies bedeutet, dass Gleichheit (1) wahr ist.

Wir haben den Satz für drei Faktoren bewiesen. Die Argumentation bleibt jedoch dieselbe, wenn unter der Wurzel 4 usw. Faktoren liegen. Der Satz gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren.

Das Ergebnis ist mündlich leicht zu finden.

2. Wurzel eines Bruchs.

Rechnen wir

Untersuchung.

Andererseits,

Beweisen wir den Satz.

Satz 2. Um die Wurzel eines Bruchs zu extrahieren, können Sie die Wurzel getrennt vom Zähler und Nenner extrahieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

Zum Nachweis der Gültigkeit der Gleichheit ist erforderlich:

Um dies zu beweisen, verwenden wir die Methode, mit der der vorherige Satz bewiesen wurde.

Lassen Sie uns die rechte Seite quadrieren. Werde haben:

Wir haben einen radikalen Ausdruck auf der linken Seite. Dies bedeutet, dass Gleichheit (2) wahr ist.

Wir haben also die folgenden Identitäten bewiesen:

und formulierte die entsprechenden Regeln zum Ziehen der Quadratwurzel aus dem Produkt und dem Quotienten. Manchmal müssen Sie bei der Durchführung von Transformationen diese Identitäten anwenden und sie von rechts nach links lesen.

Indem wir die linke und rechte Seite neu anordnen, schreiben wir die nachgewiesenen Identitäten wie folgt um:

Um Wurzeln zu multiplizieren, können Sie Wurzelausdrücke multiplizieren und die Wurzel aus dem Produkt ziehen.

Um Wurzeln zu trennen, können Sie Wurzelausdrücke trennen und die Wurzel aus dem Quotienten ziehen.

3. Wurzel des Abschlusses.

Rechnen wir

Es ist Zeit, das zu klären Wurzelextraktionsmethoden. Sie basieren auf den Eigenschaften von Wurzeln, insbesondere auf der Gleichheit, die für jede nichtnegative Zahl b gilt.

Im Folgenden werden wir uns die wichtigsten Methoden zum Extrahieren von Wurzeln einzeln ansehen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – dem Ziehen von Wurzeln aus natürlichen Zahlen mithilfe einer Quadrattabelle, einer Kubiktabelle usw.

Wenn Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. Wenn Sie es nicht zur Hand haben, ist es logisch, die Methode des Wurzelziehens zu verwenden, bei der die Wurzelzahl in Primfaktoren zerlegt wird.

Besonders hervorzuheben ist, was für Wurzeln mit ungeraden Exponenten möglich ist.

Betrachten wir abschließend eine Methode, mit der wir nacheinander die Ziffern des Wurzelwerts ermitteln können.

Lass uns anfangen.

Verwendung einer Quadrattabelle, einer Würfeltabelle usw.

Im einfachsten Fall ermöglichen Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. das Ziehen von Wurzeln. Was sind das für Tabellen?

Die Tabelle der Quadrate ganzer Zahlen von 0 bis einschließlich 99 (siehe unten) besteht aus zwei Zonen. Der erste Bereich der Tabelle befindet sich auf einem grauen Hintergrund; durch Auswahl einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte können Sie eine Zahl von 0 bis 99 zusammenstellen. Wählen wir zum Beispiel eine Reihe mit 8 Zehnern und eine Spalte mit 3 Einern aus. Damit haben wir die Zahl 83 festgelegt. Die zweite Zone belegt den Rest der Tabelle. Jede Zelle befindet sich am Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte und enthält das Quadrat der entsprechenden Zahl von 0 bis 99. Am Schnittpunkt unserer gewählten Zehnerreihe und der Einer-Spalte 3 befindet sich eine Zelle mit der Zahl 6.889, die das Quadrat der Zahl 83 ist.

Würfeltabellen, Tabellen der vierten Potenzen von Zahlen von 0 bis 99 usw. ähneln der Quadrattabelle, nur dass sie in der zweiten Zone Würfel, vierte Potenzen usw. enthalten. entsprechende Nummern.

Tabellen mit Quadraten, Würfeln, vierten Potenzen usw. Ermöglicht das Extrahieren von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, vierten Wurzeln usw. entsprechend aus den Zahlen in diesen Tabellen. Lassen Sie uns das Prinzip ihrer Verwendung bei der Wurzelextraktion erklären.

Nehmen wir an, wir müssen die n-te Wurzel der Zahl a ziehen, während die Zahl a in der Tabelle der n-ten Potenzen enthalten ist. Mithilfe dieser Tabelle finden wir die Zahl b mit a=b n. Dann , daher ist die Zahl b die gesuchte Wurzel n-ten Grades.

Lassen Sie uns als Beispiel zeigen, wie Sie mithilfe einer Würfeltabelle die Kubikwurzel von 19.683 extrahieren. Wir finden die Zahl 19.683 in der Würfeltabelle, daraus finden wir, dass diese Zahl die Kubikzahl der Zahl 27 ist, also .

Es ist klar, dass Tabellen mit n-ten Potenzen sehr praktisch sind, um Wurzeln zu ziehen. Allerdings sind sie oft nicht zur Hand und ihre Zusammenstellung nimmt einige Zeit in Anspruch. Darüber hinaus ist es oft notwendig, Wurzeln aus Zahlen zu ziehen, die nicht in den entsprechenden Tabellen enthalten sind. In diesen Fällen müssen Sie auf andere Methoden der Wurzelextraktion zurückgreifen.

Zerlegen einer Wurzelzahl in Primfaktoren

Eine ziemlich bequeme Möglichkeit, die Wurzel einer natürlichen Zahl zu ziehen (sofern die Wurzel natürlich gezogen wird), besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Sein Der Punkt ist dieser: Danach ist es ganz einfach, sie als Potenz mit dem gewünschten Exponenten darzustellen, wodurch Sie den Wert der Wurzel erhalten können. Lassen Sie uns diesen Punkt klären.

Nehmen wir die n-te Wurzel einer natürlichen Zahl a und ihr Wert ist gleich b. In diesem Fall gilt die Gleichung a=b n. Die Zahl b kann wie jede natürliche Zahl als Produkt aller ihrer Primfaktoren p 1 , p 2 , …, p m in der Form p 1 ·p 2 ·…·p m dargestellt werden, und in diesem Fall als Wurzelzahl a wird dargestellt als (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Da die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren eindeutig ist, hat die Zerlegung der Grundzahl a in Primfaktoren die Form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, was die Berechnung des Wertes der Wurzel ermöglicht als.

Beachten Sie, dass, wenn die Zerlegung einer Wurzelzahl a in Primfaktoren nicht in der Form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n dargestellt werden kann, die n-te Wurzel einer solchen Zahl a nicht vollständig extrahiert wird.

Lassen Sie uns dies beim Lösen von Beispielen herausfinden.

Beispiel.

Ziehe die Quadratwurzel aus 144.

Lösung.

Wenn Sie sich die im vorherigen Absatz angegebene Quadrattabelle ansehen, können Sie deutlich erkennen, dass 144 = 12 · 2, woraus klar hervorgeht, dass die Quadratwurzel von 144 gleich 12 ist.

Vor diesem Hintergrund interessiert uns jedoch, wie die Wurzel gezogen wird, indem die Grundzahl 144 in Primfaktoren zerlegt wird. Schauen wir uns diese Lösung an.

Lasst uns zerlegen 144 zu Primfaktoren:

Das heißt, 144=2·2·2·2·3·3. Basierend auf der resultierenden Zerlegung können folgende Transformationen durchgeführt werden: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Somit, .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades und der Eigenschaften der Wurzeln könnte die Lösung etwas anders formuliert werden: .

Antwort:

Um das Material zu festigen, betrachten Sie die Lösungen zu zwei weiteren Beispielen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert der Wurzel.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung der Grundzahl 243 hat die Form 243=3 5 . Auf diese Weise, .

Antwort:

Beispiel.

Ist der Wurzelwert eine ganze Zahl?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren und prüfen, ob sie als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden kann.

Wir haben 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Die resultierende Entwicklung kann nicht als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden, da die Potenz des Primfaktors 7 kein Vielfaches von drei ist. Daher kann die Kubikwurzel von 285.768 nicht vollständig gezogen werden.

Antwort:

Nein.

Wurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Es ist Zeit herauszufinden, wie man die Wurzel einer Bruchzahl zieht. Die gebrochene Wurzelzahl sei als p/q geschrieben. Gemäß der Eigenschaft der Wurzel eines Quotienten gilt die folgende Gleichheit. Aus dieser Gleichheit folgt Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Ziehen einer Wurzel aus einem Bruch an.

Beispiel.

Was ist die Quadratwurzel des gemeinsamen Bruchs 25/169?

Lösung.

Mithilfe der Quadrattabelle finden wir, dass die Quadratwurzel des Zählers des ursprünglichen Bruchs gleich 5 und die Quadratwurzel des Nenners gleich 13 ist. Dann . Damit ist die Extraktion der Wurzel des gemeinsamen Bruchs 25/169 abgeschlossen.

Antwort:

Die Wurzel eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl wird extrahiert, nachdem die Grundzahlen durch gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Beispiel.

Ziehen Sie die Kubikwurzel aus dem Dezimalbruch 474,552.

Lösung.

Stellen wir uns den ursprünglichen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch vor: 474,552=474552/1000. Dann . Es müssen noch die Kubikwurzeln gezogen werden, die im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs stehen. Als 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 und 1 000 = 10 3, dann Und . Jetzt müssen nur noch die Berechnungen abgeschlossen werden .

Antwort:

.

Ziehen Sie die Wurzel einer negativen Zahl

Es lohnt sich, näher auf das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen einzugehen. Bei der Untersuchung von Wurzeln haben wir gesagt, dass, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist, unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl stehen kann. Wir haben diesen Einträgen folgende Bedeutung gegeben: Für eine negative Zahl −a und einen ungeraden Exponenten der Wurzel 2 n−1, . Diese Gleichheit gibt Regel zum Ziehen ungerader Wurzeln aus negativen Zahlen: Um die Wurzel einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie die Wurzel der entgegengesetzten positiven Zahl ziehen und dem Ergebnis ein Minuszeichen voranstellen.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Finden Sie den Wert der Wurzel.

Lösung.

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck so umwandeln, dass unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl steht: . Ersetzen Sie nun die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: . Wir wenden die Regel zum Ziehen der Wurzel eines gewöhnlichen Bruchs an: . Es müssen noch die Wurzeln im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs berechnet werden: .

Hier eine kurze Zusammenfassung der Lösung: .

Antwort:

.

Bitweise Bestimmung des Wurzelwerts

Im allgemeinen Fall steht unter der Wurzel eine Zahl, die mit den oben besprochenen Techniken nicht als n-te Potenz einer Zahl dargestellt werden kann. In diesem Fall besteht jedoch die Notwendigkeit, die Bedeutung einer bestimmten Wurzel zumindest bis zu einem bestimmten Zeichen zu kennen. In diesem Fall können Sie zum Extrahieren der Wurzel einen Algorithmus verwenden, der es Ihnen ermöglicht, nacheinander eine ausreichende Anzahl von Ziffernwerten der gewünschten Zahl zu erhalten.

Der erste Schritt dieses Algorithmus besteht darin, herauszufinden, welches das höchstwertige Bit des Wurzelwerts ist. Dazu werden die Zahlen 0, 10, 100, ... nacheinander so lange mit n potenziert, bis der Zeitpunkt erreicht ist, an dem eine Zahl die Wurzelzahl überschreitet. Dann gibt die Zahl, die wir im vorherigen Schritt zur Potenz n erhoben haben, die entsprechende höchstwertige Ziffer an.

Betrachten Sie diesen Schritt des Algorithmus beispielsweise beim Extrahieren der Quadratwurzel aus fünf. Nehmen Sie die Zahlen 0, 10, 100, ... und quadrieren Sie sie, bis wir eine Zahl größer als 5 erhalten. Wir haben 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, was bedeutet, dass die Einerstelle die höchstwertige Ziffer ist. Der Wert dieses Bits sowie der niedrigeren Werte wird in den nächsten Schritten des Root-Extraktionsalgorithmus ermittelt.

Alle nachfolgenden Schritte des Algorithmus zielen darauf ab, den Wert der Wurzel nacheinander zu klären, indem die Werte der nächsten Bits des gewünschten Wertes der Wurzel ermittelt werden, beginnend mit dem höchsten bis hin zu den niedrigsten. Beispielsweise stellt sich heraus, dass der Wert der Wurzel beim ersten Schritt 2 ist, beim zweiten – 2,2, beim dritten – 2,23 und so weiter 2,236067977…. Lassen Sie uns beschreiben, wie die Werte der Bits ermittelt werden.

Die Ziffern werden durch Durchsuchen ihrer möglichen Werte 0, 1, 2, ..., 9 gefunden. Dabei werden parallel die n-ten Potenzen der entsprechenden Zahlen berechnet und mit der Wurzelzahl verglichen. Wenn der Wert des Grades irgendwann die Wurzelzahl überschreitet, gilt der Wert der Ziffer, die dem vorherigen Wert entspricht, und der Übergang zum nächsten Schritt des Wurzelextraktionsalgorithmus erfolgt; dann ist der Wert dieser Ziffer 9.

Lassen Sie uns diese Punkte anhand des gleichen Beispiels des Ziehens der Quadratwurzel aus fünf erläutern.

Zuerst ermitteln wir den Wert der Einerstelle. Wir gehen die Werte 0, 1, 2, ..., 9 durch und berechnen jeweils 0 2, 1 2, ..., 9 2, bis wir einen Wert erhalten, der größer als die Grundzahl 5 ist. Es ist zweckmäßig, alle diese Berechnungen in Form einer Tabelle darzustellen:

Der Wert der Einerstelle ist also 2 (da 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Kommen wir nun dazu, den Wert des zehnten Platzes zu ermitteln. In diesem Fall quadrieren wir die Zahlen 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 und vergleichen die resultierenden Werte mit der Grundzahl 5:

Seit 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, dann ist der Wert der Zehntelstelle 2. Sie können mit der Ermittlung des Werts der Hundertstelstelle fortfahren:

So wurde der nächste Wert der Wurzel aus fünf gefunden, er beträgt 2,23. Und so finden Sie weiterhin Werte: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Um das Material zu konsolidieren, analysieren wir die Extraktion der Wurzel mit einer Genauigkeit von Hundertstel mit dem betrachteten Algorithmus.

Zuerst ermitteln wir die höchstwertige Ziffer. Dazu würfeln wir die Zahlen 0, 10, 100 usw. bis wir eine Zahl größer als 2.151.186 erhalten. Wir haben 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, die höchstwertige Ziffer ist also die Zehnerstelle.

Lassen Sie uns seinen Wert bestimmen.

Seit 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, dann ist der Wert der Zehnerstelle 1. Kommen wir zu den Einheiten.

Somit ist der Wert der Einerstelle 2. Kommen wir zu den Zehnteln.

Da sogar 12,9 3 kleiner als die Grundzahl 2 · 151,186 ist, beträgt der Wert der Zehntelstelle 9. Es bleibt noch der letzte Schritt des Algorithmus auszuführen; er wird uns den Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit liefern.

In diesem Stadium wird der Wert der Wurzel auf Hundertstel genau ermittelt: .

Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich sagen, dass es viele andere Möglichkeiten gibt, Wurzeln zu ziehen. Aber für die meisten Aufgaben reichen die oben untersuchten aus.

Referenzliste.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).