Gleichungen mit Parametern: Grafische Lösungsmethode

8-9 Klassen

Der Artikel beschreibt eine grafische Methode zum Lösen einiger Gleichungen mit Parametern, die sehr effektiv ist, wenn Sie ermitteln müssen, wie viele Wurzeln eine Gleichung abhängig vom Parameter hat A.

Aufgabe 1. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung? | | x | – 2 | = A je nach Parameter A?

Lösung. Im Koordinatensystem (x; y) werden wir Graphen der Funktionen y = | konstruieren | x | – 2 | und y = A. Graph der Funktion y = | | x | – 2 | in der Abbildung dargestellt.

Der Graph der Funktion y = a ist eine Gerade parallel zur Ox-Achse oder mit ihr zusammenfallend (falls A = 0).

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass:

Wenn A= 0, dann Gerade y = A fällt mit der Ox-Achse zusammen und hat den Graphen der Funktion y = | | x | – 2 | zwei gemeinsame Punkte; das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung zwei Wurzeln hat (in diesem Fall können die Wurzeln gefunden werden: x 1,2 = d 2).
Wenn 0< A < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Wenn A= 2, dann hat die Gerade y = 2 drei gemeinsame Punkte mit dem Graphen der Funktion. Dann hat die ursprüngliche Gleichung drei Wurzeln.
Wenn A> 2, dann Gerade y = A wird zwei Punkte mit dem Graphen der ursprünglichen Funktion haben, das heißt, diese Gleichung wird zwei Wurzeln haben.

Wenn A < 0, то корней нет;
Wenn A = 0, A> 2, dann gibt es zwei Wurzeln;
Wenn A= 2, dann drei Wurzeln;
wenn 0< A < 2, то четыре корня.

Aufgabe 2. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung? | x 2 – 2| x | – 3 | = A je nach Parameter A?

Lösung. Im Koordinatensystem (x; y) werden wir Graphen der Funktionen y = | konstruieren x 2 – 2| x | – 3 | und y = A.

Graph der Funktion y = | x 2 – 2| x | – 3 | in der Abbildung dargestellt. Der Graph der Funktion y = a ist eine gerade Linie parallel zu Ox oder mit ihr zusammenfallend (wenn A = 0).

Aus der Zeichnung können Sie erkennen:

Wenn A= 0, dann Gerade y = A fällt mit der Ox-Achse zusammen und hat den Graphen der Funktion y = | x2 – 2| x | – 3 | zwei gemeinsame Punkte, sowie die Gerade y = A wird mit dem Graphen der Funktion y = | haben x 2 – 2| x | – 3 | zwei gemeinsame Punkte bei A> 4. Also, wann A= 0 und A> 4 hat die ursprüngliche Gleichung zwei Wurzeln.
Wenn 0< A < 3, то прямая y = A hat mit dem Graphen der Funktion y = | x 2 – 2| x | – 3 | vier gemeinsame Punkte, sowie die Gerade y= A hat vier gemeinsame Punkte mit dem Graphen der konstruierten Funktion bei A= 4. Also bei 0< A < 3, A= 4 hat die ursprüngliche Gleichung vier Wurzeln.
Wenn A= 3, dann Gerade y = A schneidet den Graphen einer Funktion an fünf Punkten; daher hat die Gleichung fünf Wurzeln.
Wenn 3< A < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Wenn A < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

Wenn A < 0, то корней нет;
Wenn A = 0, A> 4, dann zwei Wurzeln;
wenn 0< A < 3, A= 4, dann vier Wurzeln;
Wenn A= 3, dann fünf Wurzeln;
wenn 3< A < 4, то шесть корней.

Aufgabe 3. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?

je nach Parameter A?

Lösung. Konstruieren wir einen Graphen der Funktion im Koordinatensystem (x; y) Aber zunächst präsentieren wir es in der Form:

Die Geraden x = 1, y = 1 sind Asymptoten des Funktionsgraphen. Graph der Funktion y = | x | + A erhalten aus dem Graphen der Funktion y = | x | Verschiebung um a-Einheiten entlang der Oy-Achse.

Funktionsgraphen sich in einem Punkt schneiden A> – 1; Das bedeutet, dass Gleichung (1) für diese Parameterwerte eine Lösung hat.

Bei A = – 1, A= – 2 Graphen schneiden sich in zwei Punkten; Das bedeutet, dass Gleichung (1) für diese Parameterwerte zwei Wurzeln hat.
Um 2< A < – 1, A < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Wenn A> – 1, dann eine Lösung;
Wenn A = – 1, A= – 2, dann gibt es zwei Lösungen;
wenn – 2< A < – 1, A < – 1, то три решения.

Kommentar. Bei der Lösung von Gleichung (1) von Problem 3 sollte besonderes Augenmerk auf den Fall gelegt werden, wenn A= – 2, da der Punkt (– 1; – 1) nicht zum Graphen der Funktion gehört gehört aber zum Graphen der Funktion y = | x | + A.

Fahren wir mit der Lösung eines anderen Problems fort.

Aufgabe 4. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?

x + 2 = A| x – 1 | (2)

je nach Parameter A?

Lösung. Beachten Sie, dass x = 1 keine Wurzel dieser Gleichung ist, da die Gleichheit 3 ​​= ist A· 0 kann für keinen Parameterwert wahr sein A. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch | x – 1 |(| x – 1 | Nr. 0), dann nimmt Gleichung (2) die Form an Im Koordinatensystem xOy werden wir die Funktion darstellen

Der Graph dieser Funktion ist in der Abbildung dargestellt. Graph der Funktion y = A ist eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse oder mit ihr zusammenfallend (wenn A = 0).

Wenn AЈ – 1, dann gibt es keine Wurzeln;
wenn – 1< AЈ 1, dann eine Wurzel;
Wenn A> 1, dann gibt es zwei Wurzeln.

Betrachten wir die komplexeste Gleichung.

Aufgabe 5. Bei welchen Werten des Parameters A Die gleichung

A x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

hat drei Lösungen?

Lösung. 1. Der Kontrollwert des Parameters für diese Gleichung ist die Zahl A= 0, wobei Gleichung (3) die Form 0 + | annimmt x – 1 | = 0, daher x = 1. Daher wann A= 0, Gleichung (3) hat eine Wurzel, die die Bedingungen des Problems nicht erfüllt.

2. Betrachten Sie den Fall, wenn A № 0.

Schreiben wir Gleichung (3) in die folgende Form um: A x 2 = – | x – 1 |. Beachten Sie, dass die Gleichung nur dann Lösungen hat, wenn A < 0.

Im Koordinatensystem xOy werden wir Graphen der Funktionen y = | konstruieren x – 1 | und y = A x 2 . Graph der Funktion y = | x – 1 | in der Abbildung dargestellt. Graph der Funktion y = A x 2 ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind, da A < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Gleichung (3) hat nur dann drei Lösungen, wenn die Gerade y = – x + 1 den Graphen der Funktion y= tangiert A x 2 .

Sei x 0 die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = – x + 1 mit der Parabel y = A x 2 . Die Tangentengleichung hat die Form

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Schreiben wir die Tangentenbedingungen auf:

Diese Gleichung kann ohne Verwendung des Konzepts der Ableitung gelöst werden.

Betrachten wir eine andere Methode. Nutzen wir die Tatsache, dass die Gerade y = kx + b einen einzigen gemeinsamen Punkt mit der Parabel y = hat A x 2 + px + q, dann die Gleichung A x 2 + px + q = kx + b muss eine eindeutige Lösung haben, das heißt, seine Diskriminante ist Null. In unserem Fall haben wir die Gleichung A x 2 = – x + 1 ( A Nr. 0). Diskriminanzgleichung

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

6. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung abhängig vom Parameter? A?

1)| | x | – 3 | = A;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = A;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = A;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = A.

1) wenn A<0, то корней нет; если A=0, A>3, dann zwei Wurzeln; Wenn A=3, dann drei Wurzeln; wenn 0<A<3, то четыре корня;
2) wenn A<1, то корней нет; если A=1, dann gibt es eine unendliche Menge von Lösungen aus dem Intervall [– 2; - 1]; Wenn A> 1, dann gibt es zwei Lösungen;
3) wenn A<0, то корней нет; если A=0, A<3, то четыре корня; если 0<A<1, то восемь корней; если A=1, dann sechs Wurzeln; Wenn A=3, dann gibt es drei Lösungen; Wenn A>3, dann gibt es zwei Lösungen;
4) wenn A<0, то корней нет; если A=0, 4<A<5, то четыре корня; если 0<A< 4, то восемь корней; если A=4, dann sechs Wurzeln; Wenn A=5, dann drei Wurzeln; Wenn A>5, dann gibt es zwei Wurzeln.

7. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung | x + 1 | = A(x – 1) je nach Parameter A?

Notiz. Da x = 1 keine Wurzel der Gleichung ist, kann diese Gleichung auf die Form reduziert werden .

Antwort: wenn A J –1, A > 1, A=0, dann eine Wurzel; wenn – 1<A<0, то два корня; если 0<AЈ 1, dann gibt es keine Wurzeln.

8. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung x + 1 = A| x – 1 |je nach Parameter A?

Zeichnen Sie ein Diagramm (siehe Abbildung).

Antwort: wenn AЈ –1, dann gibt es keine Wurzeln; wenn – 1<AЈ 1, dann eine Wurzel; Wenn A>1, dann gibt es zwei Wurzeln.

9. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?

2| x | – 1 = a(x – 1)

je nach Parameter A?

Notiz. Reduzieren Sie die Gleichung auf die Form

Antwort: wenn A J –2, A>2, A=1, dann eine Wurzel; wenn –2<A<1, то два корня; если 1<AЈ 2, dann gibt es keine Wurzeln.

10. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?

je nach Parameter A?

Antwort: wenn AЈ 0, A i 2, dann eine Wurzel; wenn 0<A<2, то два корня.

11. Bei welchen Werten des Parameters A Die gleichung

x 2 + A| x – 2 | = 0

hat drei Lösungen?

Notiz. Reduzieren Sie die Gleichung auf die Form x 2 = – A| x – 2 |.

Antwort: Wann A J –8.

12. Bei welchen Werten des Parameters A Die gleichung

A x 2 + | x + 1 | = 0

hat drei Lösungen?

Notiz. Verwenden Sie Aufgabe 5. Diese Gleichung hat nur dann drei Lösungen, wenn die Gleichung A x 2 + x + 1 = 0 hat eine Lösung und den Fall A= 0 erfüllt die Bedingungen des Problems nicht, das heißt, der Fall bleibt bestehen, wenn

13. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?

x | x – 2 | = 1 – A

je nach Parameter A?

Notiz. Reduzieren Sie die Gleichung auf die Form –x |x – 2| + 1 = A

je nach Parameter A?

Notiz. Konstruieren Sie Diagramme der linken und rechten Seite dieser Gleichung.

Antwort: wenn A<0, A>2, dann gibt es zwei Wurzeln; wenn 0Ј AЈ 2, dann eine Wurzel.

16. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?

je nach Parameter A?

Notiz. Konstruieren Sie Diagramme der linken und rechten Seite dieser Gleichung. Eine Funktion grafisch darstellen Finden wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ausdrücke x + 2 und x:

Antwort: wenn A>– 1, dann eine Lösung; Wenn A= – 1, dann gibt es zwei Lösungen; wenn – 3<A<–1, то четыре решения; если AЈ –3, dann gibt es drei Lösungen.

ZU Aufgaben mit Parameter Dies kann beispielsweise die Suche nach Lösungen für lineare und quadratische Gleichungen in allgemeiner Form sowie die Untersuchung der Gleichung auf die Anzahl der verfügbaren Wurzeln in Abhängigkeit vom Wert des Parameters umfassen.

Ohne detaillierte Definitionen zu geben, betrachten wir die folgenden Gleichungen als Beispiele:

y = kx, wobei x, y Variablen sind, k ein Parameter ist;

y = kx + b, wobei x, y Variablen sind, k und b Parameter sind;

ax 2 + bx + c = 0, wobei x Variablen sind, a, b und c ein Parameter sind.

Das Lösen einer Gleichung (Ungleichung, System) mit einem Parameter bedeutet in der Regel das Lösen einer unendlichen Menge von Gleichungen (Ungleichungen, Systemen).

Aufgaben mit einem Parameter können in zwei Typen unterteilt werden:

A) Die Bedingung besagt: Lösen Sie die Gleichung (Ungleichung, System) – das bedeutet, für alle Werte des Parameters alle Lösungen zu finden. Bleibt mindestens ein Fall ungeklärt, kann eine solche Lösung nicht als zufriedenstellend angesehen werden.

B) Es ist erforderlich, die möglichen Werte des Parameters anzugeben, bei denen die Gleichung (Ungleichung, System) bestimmte Eigenschaften aufweist. Es gibt beispielsweise eine Lösung, es gibt keine Lösungen, es gibt Lösungen, die zum Intervall gehören usw. Bei solchen Aufgaben muss klar angegeben werden, bei welchem ​​Parameterwert die erforderliche Bedingung erfüllt ist.

Da der Parameter eine unbekannte feste Zahl ist, weist er eine Art besondere Dualität auf. Zunächst muss berücksichtigt werden, dass die angenommene Popularität darauf hindeutet, dass der Parameter als Zahl wahrgenommen werden muss. Zweitens wird die Freiheit, den Parameter zu manipulieren, durch seine Unklarheit eingeschränkt. Beispielsweise erfordern Vorgänge zur Division durch einen Ausdruck, der einen Parameter enthält, oder zum Extrahieren der Wurzel eines geraden Grades aus einem solchen Ausdruck eine Voruntersuchung. Daher ist beim Umgang mit dem Parameter Vorsicht geboten.

Um beispielsweise zwei Zahlen -6a und 3a zu vergleichen, müssen Sie drei Fälle berücksichtigen:

1) -6a ist größer als 3a, wenn a eine negative Zahl ist;

2) -6a = 3a für den Fall, dass a = 0;

3) -6a ist kleiner als 3a, wenn a eine positive Zahl 0 ist.

Die Lösung wird die Antwort sein.

Gegeben sei die Gleichung kx = b. Diese Gleichung ist eine Kurzform für unendlich viele Gleichungen mit einer Variablen.

Bei der Lösung solcher Gleichungen kann es folgende Fälle geben:

1. Sei k eine beliebige reelle Zahl ungleich Null und b eine beliebige Zahl aus R, dann ist x = b/k.

2. Sei k = 0 und b ≠ 0, die ursprüngliche Gleichung hat die Form 0 x = b. Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen.

3. Seien k und b Zahlen gleich Null, dann gilt die Gleichheit 0 x = 0. Ihre Lösung ist eine beliebige reelle Zahl.

Ein Algorithmus zur Lösung dieser Art von Gleichung:

1. Bestimmen Sie die „Kontrollwerte“ des Parameters.

2. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung nach x für die Parameterwerte auf, die im ersten Absatz ermittelt wurden.

3. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung nach x für Parameterwerte auf, die sich von den im ersten Absatz gewählten unterscheiden.

4. Sie können die Antwort in folgender Form schreiben:

1) für ... (Parameterwerte) hat die Gleichung Wurzeln ...;

2) Für ... (Parameterwerte) gibt es keine Wurzeln in der Gleichung.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung mit dem Parameter |6 – x| = a.

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass hier a ≥ 0 ist.

Gemäß der Regel von Modul 6 – x = ±a drücken wir x aus:

Antwort: x = 6 ± a, wobei a ≥ 0.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 bezüglich der Variablen x.

Lösung.

Öffnen wir die Klammern: aх – a + 2х – 2 = 0

Schreiben wir die Gleichung in Standardform: x(a + 2) = a + 2.

Wenn der Ausdruck a + 2 nicht Null ist, das heißt, wenn a ≠ -2, haben wir die Lösung x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), d. h. x = 1.

Wenn a + 2 gleich Null ist, d.h. a = -2, dann haben wir die korrekte Gleichung 0 x = 0, also ist x eine beliebige reelle Zahl.

Antwort: x = 1 für a ≠ -2 und x € R für a = -2.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung x/a + 1 = a + x bezüglich der Variablen x.

Lösung.

Wenn a = 0, dann transformieren wir die Gleichung in die Form a + x = a 2 + ax oder (a – 1)x = -a(a – 1). Die letzte Gleichung für a = 1 hat die Form 0 x = 0, daher ist x eine beliebige Zahl.

Wenn a ≠ 1, dann hat die letzte Gleichung die Form x = -a.

Diese Lösung lässt sich an der Koordinatenlinie veranschaulichen (Abb. 1)

Antwort: Es gibt keine Lösungen für a = 0; x – jede Zahl mit a = 1; x = -a für a ≠ 0 und a ≠ 1.

Grafische Methode

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, Gleichungen mit einem Parameter zu lösen – grafisch. Diese Methode wird häufig verwendet.

Beispiel 4.

Abhängig vom Parameter a, wie viele Wurzeln hat die Gleichung ||x| – 2| = ein?

Lösung.

Zur Lösung mit der grafischen Methode erstellen wir Graphen der Funktionen y = ||x| – 2| und y = a (Abb. 2).

Die Zeichnung zeigt deutlich mögliche Fälle der Lage der Geraden y = a und die Anzahl der Wurzeln in jedem von ihnen.

Antwort: Die Gleichung hat keine Wurzeln, wenn a< 0; два корня будет в случае, если a >2 und a = 0; im Fall a = 2 hat die Gleichung drei Wurzeln; vier Wurzeln – bei 0< a < 2.

Beispiel 5.

Bei welcher Gleichung gilt 2|x| + |x – 1| = a hat eine einzelne Wurzel?

Lösung.

Lassen Sie uns die Graphen der Funktionen y = 2|x| darstellen + |x – 1| und y = a. Für y = 2|x| + |x – 1|, wenn wir die Module mit der Intervallmethode erweitern, erhalten wir:

(-3x + 1, bei x< 0,

y = (x + 1, für 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, für x > 1.

An Figur 3 Es ist deutlich zu erkennen, dass die Gleichung nur dann eine einzige Wurzel hat, wenn a = 1.

Antwort: a = 1.

Beispiel 6.

Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung |x + 1| + |x + 2| = a abhängig vom Parameter a?

Lösung.

Graph der Funktion y = |x + 1| + |x + 2| wird eine unterbrochene Linie sein. Seine Eckpunkte liegen an den Punkten (-2; 1) und (-1; 1) (Figur 4).

Antwort: Wenn der Parameter a kleiner als eins ist, hat die Gleichung keine Wurzeln; wenn a = 1, dann ist die Lösung der Gleichung eine unendliche Menge von Zahlen aus dem Segment [-2; -1]; Wenn die Werte des Parameters a größer als eins sind, hat die Gleichung zwei Wurzeln.

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Gleichungen mit Parametern gelten zu Recht als eines der schwierigsten Probleme der Schulmathematik. Genau diese Aufgaben landen Jahr für Jahr auf der Liste der Aufgaben vom Typ B und C im Einheitlichen Staatsexamen. Allerdings gibt es unter der Vielzahl von Gleichungen mit Parametern auch solche, die sich leicht grafisch lösen lassen. Betrachten wir diese Methode am Beispiel der Lösung mehrerer Probleme.

Finden Sie die Summe der ganzzahligen Werte der Zahl a, für die die Gleichung |x 2 – 2x – 3| gilt = a hat vier Wurzeln.

Lösung.

Um die Frage des Problems zu beantworten, konstruieren wir Funktionsgraphen auf einer Koordinatenebene

y = |x 2 – 2x – 3| und y = a.

Graph der ersten Funktion y = |x 2 – 2x – 3| wird aus dem Diagramm der Parabel y = x 2 – 2x – 3 erhalten, indem der Teil des Diagramms, der unterhalb der Ox-Achse liegt, symmetrisch zur x-Achse dargestellt wird. Der über der x-Achse liegende Teil des Diagramms bleibt unverändert.

Lassen Sie uns dies Schritt für Schritt tun. Der Graph der Funktion y = x 2 – 2x – 3 ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind. Um seinen Graphen zu erstellen, ermitteln wir die Koordinaten des Scheitelpunkts. Dies kann mit der Formel x 0 = -b/2a erfolgen. Somit ist x 0 = 2/2 = 1. Um die Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel entlang der Ordinatenachse zu ermitteln, setzen wir den resultierenden Wert für x 0 in die Gleichung der betreffenden Funktion ein. Wir erhalten, dass y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel die Koordinaten (1; -4) hat.

Als nächstes müssen Sie die Schnittpunkte der Parabelzweige mit den Koordinatenachsen finden. An den Schnittpunkten der Parabeläste mit der Abszissenachse ist der Wert der Funktion Null. Daher lösen wir die quadratische Gleichung x 2 – 2x – 3 = 0. Ihre Wurzeln werden die erforderlichen Punkte sein. Nach dem Satz von Vieta gilt x 1 = -1, x 2 = 3.

An den Schnittpunkten der Parabelzweige mit der Ordinatenachse ist der Wert des Arguments Null. Somit ist der Punkt y = -3 der Schnittpunkt der Parabelzweige mit der y-Achse. Das resultierende Diagramm ist in Abbildung 1 dargestellt.

Um einen Graphen der Funktion y = |x 2 – 2x – 3| zu erhalten, lassen Sie uns den Teil des Graphen, der sich unterhalb der x-Achse befindet, symmetrisch relativ zur x-Achse darstellen. Das resultierende Diagramm ist in Abbildung 2 dargestellt.

Der Graph der Funktion y = a ist eine Gerade parallel zur Abszissenachse. Es ist in Abbildung 3 dargestellt. Anhand der Abbildung stellen wir fest, dass die Graphen vier gemeinsame Punkte haben (und die Gleichung vier Wurzeln hat), wenn a zum Intervall (0; 4) gehört.

Ganzzahlige Werte der Zahl a aus dem resultierenden Intervall: 1; 2; 3. Um die Frage des Problems zu beantworten, ermitteln wir die Summe dieser Zahlen: 1 + 2 + 3 = 6.

Antwort: 6.

Finden Sie das arithmetische Mittel ganzzahliger Werte der Zahl a, für die die Gleichung |x 2 – 4|x| – 1| = a hat sechs Wurzeln.

Beginnen wir mit der Darstellung der Funktion y = |x 2 – 4|x| – 1|. Dazu verwenden wir die Gleichung a 2 = |a| 2 und wählen Sie das vollständige Quadrat im submodularen Ausdruck aus, der auf der rechten Seite der Funktion steht:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Dann hat die ursprüngliche Funktion die Form y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Um einen Graphen dieser Funktion zu erstellen, erstellen wir sequentielle Funktionsgraphen:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt mit den Koordinaten (2; -5); (Abb. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – ein Teil der in Schritt 1 konstruierten Parabel, der sich rechts von der Ordinatenachse befindet, wird symmetrisch links von der Oy-Achse angezeigt; (Abb. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – Der Teil des in Punkt 2 konstruierten Diagramms, der sich unterhalb der x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zur x-Achse nach oben dargestellt. (Abb. 3).

Schauen wir uns die resultierenden Zeichnungen an:

Der Graph der Funktion y = a ist eine Gerade parallel zur Abszissenachse.

Anhand der Abbildung schließen wir, dass die Funktionsgraphen sechs gemeinsame Punkte haben (die Gleichung hat sechs Wurzeln), wenn a zum Intervall (1; 5) gehört.

Dies ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Lassen Sie uns das arithmetische Mittel der ganzzahligen Werte des Parameters a ermitteln:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Antwort: 3.

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§ 8. ANWENDUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE AUF DIE STATISTIK.

2. Bestimmung unbekannter Verteilungsparameter.

Mithilfe eines Histogramms können wir die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen näherungsweise darstellen. Das Aussehen dieses Diagramms ermöglicht es uns oft, eine Annahme über die Waheiner Zufallsvariablen zu treffen. Der Ausdruck dieser Verteilungsdichte umfasst normalerweise einige Parameter, die aus experimentellen Daten bestimmt werden müssen.
Bleiben wir bei dem besonderen Fall, bei dem die Verteilungsdichte von zwei Parametern abhängt.
Also lass x 1 , x 2 , ..., x n- beobachtete Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen und ließ ihre Wahrvon zwei unbekannten Parametern abhängen A Und B, d.h. sieht aus wie . Eine der Methoden zum Auffinden unbekannter Parameter A Und B besteht darin, dass sie so gewählt werden, dass der mathematische Erwartungswert und die Varianz der theoretischen Verteilung mit den Stichprobenmittelwerten und der Varianz übereinstimmen:

(66)

Wo

(67)

Aus den beiden erhaltenen Gleichungen () werden die unbekannten Parameter ermittelt A Und B. Wenn also beispielsweise eine Zufallsvariable dem normalen Wahrfolgt, dann ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte

hängt von zwei Parametern ab A Und . Diese Parameter sind, wie wir wissen, der mathematische Erwartungswert bzw. die Standardabweichung einer Zufallsvariablen; daher wird equalities() wie folgt geschrieben:

(68)

Daher hat die Wahrdie Form

Anmerkung 1. Wir haben dieses Problem bereits gelöst. Das Messergebnis ist eine Zufallsvariable, die mit Parametern dem Normalverteilungsgesetz gehorcht A Und . Für ungefähre Werte A Wir haben den Wert gewählt und für den ungefähren Wert den Wert.

Anmerkung 2. Bei einer großen Anzahl von Experimenten ist das Finden von Mengen und die Verwendung von Formeln () mit umständlichen Berechnungen verbunden. Daher tun sie Folgendes: Jeder der beobachteten Werte der Menge fällt in ich Intervall ] X i-1 , X i [ statistische Reihe, wird als ungefähr gleich der Mitte angesehen c ich dieses Intervall, d.h. c i =(X i-1 +X i)/2. Betrachten Sie das erste Intervall ] X 0 , X 1 [. Es hat ihn getroffen m 1 beobachtete Werte der Zufallsvariablen, die wir jeweils durch eine Zahl ersetzen ab 1. Daher ist die Summe dieser Werte ungefähr gleich m 1 s 1. Ebenso ist die Summe der Werte, die in das zweite Intervall fallen, ungefähr gleich m 2 mit 2 usw. Deshalb

Auf ähnliche Weise erhalten wir die ungefähre Gleichheit

Also, lasst uns das zeigen

(71)

Wirklich,