При изучении курса математики на базовом уровне обучения продолжается и получает развитие содержательная линия «математика». Курс математики 5 классов – важное звено математического образования и развития школьников на второй ступени обучения.
В детстве ребенок открыт и восприимчив к чудесам познания, к богатству и красоте окружающего мира. У каждого способности и таланты, которые необходимо развивать на всех этапах жизни ребенка. Применительно к ситуации школьного обучения творческие способности проявляются при решении задач не эпизодически, а планомерно и систематически.
Процесс обучения в школе предполагает, в частности, решение таких важных задач как обучение детей способам усвоения системы знаний, с одной стороны, а с другой – активизацию их интеллектуальной деятельности. Это обуславливает выделение проблемы управления интеллектуальной деятельностью школьников в число наиболее важных задач педагогики. Создание условий для максимальной реализации познавательных возможностей ребенка способствует тому, что обучение ведет за собой развитие.
Структура программы концентрическая, т.е. одна и та же тема может изучаться как в 5, так и в 6, 7 классах. Это связано с тем, что на разных ступенях обучения дети могут усваивать один и тот же материал, но уже разной степени сложности с учетом приобретенных ранее знаний.
Включенные в программу вопросы дают возможность учащимся готовиться к олимпиадам и различным математическим конкурсам. Занятия могут проходить в форме бесед, лекций, экскурсий, игр. Особое внимание уделяется решению задач повышенной сложности
Задания
На заводе ювелирных изделий сплавили 2 слитка платину и золото. Масса первого ювелирного изделия 4 кг, количество платины и золота в нем находится в отношении 3:5. Масса второго изделия 6 кг, в нем отношение платины к золоту равно 1:3. Найдите процентное содержание платины в новом ювелирном изделии.
Коле и Мише вместе 86 лет, Свете и Мише вместе - 92 года, а всем вместе 120 лет. На сколько Миша старше Коли?
3. Сумма корней уравнения равна
4. У Пети прохожий спросил который час, Петя ответил, что прошло от суток. Который сейчас час?
а) 6 часов 30 минут
б) 6 часов 20 минут
в) 6 часов
г) 5 часов 55 минут
5. Два менеджера в банке выполнили работу за 12 дней. Первому менеджеру для выполнения этого же плана работы потребеуется на 10 дней больше, чем другому. Определите за сколько дней выполнит эту работу каждый менеджер.
а) 10 и 20 дней
б) 5 и 15 дней
в) 25 и 35 дней
г) 20 и 30 дней
6. Найдите разность между десятым и восьмым членом последовательности, если последовательность задается следующей формулой:
7. В треугольник со стороной а вписан новый треугольник. В этот треугольник вписан другой новый треугольник и так далее до бесконечности. Найдите сумму периметров этих треугольников, если начальный треугольник является равносторонним.
8. Дана прогрессия: 3; 2,9; 2,8; 2,7.... Найдите номер первого отрицательного члена этой прогрессии.
9. Найдите корень уравнения
Найдите площадь фигуры, которая изображена на рисунке
Уважаемые девятиклассники, настоящие или будущие!
Часто от вас приходится слышать следующие вопросы. Легко ли подготовиться к заданиям второй части ОГЭ по математике? Сколько для этого понадобится времени? Всем ли учащимся эти задачи по силам? Как эффективно распределить время и силы на подготовку?
Прежде всего замечу, что разделение заданий на задания первой и второй части носит порой условный характер. Некоторые задания из второй части могут показаться учащимся более лёгкими, чем из первой. Поэтому не стоит зацикливаться на мыслях типа "задания второй части не для меня, так как они должны быть сложными".
Однако принципиальная разница между задачами второй и первой части состоит в том, что к заданиям первой части решение давать необязательно, а к заданиям второй части — обязательно.
Из сказанного ранее также следует, что для успешного решения заданий второй части (во всяком случае некоторых) необязательно быть сильным в математике (например, получать высокие оценки по этому предмету). Но, разумеется, необходимо обладать знаниями и умениями по школьной программе в пределах того минимума, который необходим для решения определённой задачи.
Например, если для решения определённой задачи необходимо знать какие-то теоремы по геометрии, то понятно, что без знания этих теорем задачу решить не получится.
Теперь о том, как эффективно распределить время и силы на подготовку к заданиям второй части. Сразу замечу, что нет необходимости сначала долгое время заниматься решением заданий первой части и лишь только после этого переходить к задачам второй части. Это нерационально.
Давайте прежде всего определимся со сборником экзаменационных вариантов, по которому будем готовиться. Например, возьмём стандартный сборник "ОГЭ 2016. Математика. 50 типовых вариантов" ():
Кстати, электронную версию этого сборника вы можете скачать . Вышедший в 2017 году аналогичный сборник несущественно отличается от данного сборника.
Предположим, вы хотите освоить методы решения заданий 22 (алгебра) и 24 (геометрия). Конечно, это можно делать хаотично (как получится), то есть просто решать задания с этими номерами из разных вариантов. Но есть более рациональный способ: сначала сделать разбивку каждого из этих заданий на типы , то есть выявить, в каких вариантах задачи, имеющие один и тот же номер (22 или 24), решаются одинаковым способом, и всё это расписать.
Для заданий 22 и 24 разбивка по типам приведена на следующих фотографиях (чтобы просматривать фотографию в полном размере, кликните на неё мышкой):
 |
 |
 |
Как видите, для задания каждого типа я использовал какое-то характерное для этого типа краткое описание, а для заданий по геометрии ещё и сделал чертёж. Это позволяет составить о задаче некоторое общее представление.
Когда сделана разбивка на типы, вы можете без труда определить, какие задачи решать в первую очередь, а какие оставить на потом, какие задачи для вас простые, а какие не очень.
Но вот вы начали решать задачи. Какие-то из них вы решите сами, а какие-то вам поможет решить учитель или репетитор. Не важно. После решения задания из очередного варианта, аккуратно зачёркиваем на листе номер этого варианта, а в экзаменационном сборнике делаем пометку (например, ставим "плюсик" около решённого задания и пишем ответ). Это позволит зафиксировать тот факт, что данное задание уже решено и к нему не нужно в будущем возвращаться. При необходимости решаем задачу этого же типа из другого варианта.
Необязательно решать сразу все задания одного типа из разных вариантов. Можно некоторые задания оставить на потом, для повторения материала.
Ниже я привожу фотографии с решениями некоторых типов задач с номером 22:
 |
 |
 |
А вот — решения некоторых типов задач с номером 24:
 |
 |
 |
Ещё хочу особо отметить, что не стоит увлекаться заучиванием алгоритмов решения задач. Старайтесь понять некоторую общую логику, из которой следует уже решение не только какой-то отдельной задачи, но и множества других задач.
И, конечно, очень важно знать школьную программу. В особенности по геометрии. Именно по этому предмету больше всего пробелов у школьников.
Как показывает практика, методы решения задач ОГЭ по математике из второй части наиболее хорошо усваиваются именно тогда, когда школьник хорошо усвоил основные сведения по школьной программе и закрепил их при решении ряда несложных задач из обычного учебника.
Вообще стоит особо отметить, что почти все задания ОГЭ по математике из первой части и примерно половина из второй на самом деле являются задачами из школьных учебников. Так что качественно проходя школьную программу с 5-го класса, вы фактически уже как бы готовитесь к сдаче экзамена по окончании 9-го класса.
Примечания к решению заданий.
Задание № 22 из варианта 44. Принцип относительности движения заключается в следующем. Предположим навстречу друг другу идут два пешехода, их скорости соответственно равны 5 км/ч и 3 км/ч , а расстояние между ними составляет 32 км . Тогда, чтобы узнать, через какое время пешеходы встретятся, можно считать, что один из них стоит на месте, а другой идёт к нему со скоростью, равной сумме скоростей, то есть со скоростью
5 км/ч + 3 км/ч = 8 км/ч
и таким образом достигает его через время, равное
32: 8 = 4 часа .
Принцип относительности движения бывает очень удобен при решении задач на движение, в которых трудно вообразить, что происходит при стандартном подходе, то есть, считая, что оба человека движутся.
Задание № 24 из варианта 40. Теорему о касательной и секущей , а также другие, связанные с касательной к окружности сведения, можно посмотреть на этой фотографии:
 |
При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 2» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.
Часть 1
Модуль «Алгебра»
Показать решение
Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае - это число 20 :
Ответ:
5,45
- В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.
| Команда | I эстафета, баллы | II эстафета, баллы | III эстафета, баллы | IV эстафета, баллы |
| «Удар» | 3 | 3 | 2 | 1 |
| «Рывок» | 4 | 1 | 4 | 2 |
| «Взлёт» | 1 | 2 | 1 | 4 |
| «Спурт» | 2 | 4 | 3 | 3 |
При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла первое место?
- «Удар»
- «Рывок»
- «Взлёт»
- «Спурт»
Показать решение
В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой
«Удар» = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
«Рывок» = 4 + 1 + 4 + 2 = 11
«Взлёт» = 1 + 2 + 1 + 4 = 8
«Спурт
» = 2 + 4 + 3 + 3 = 12
Судя по результату: первое место у команды «Спрут».
Ответ:
Первое место заняла команда «Спрут», номер 4.
- На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: 0,098; -0,02; 0,09; 0,11.
Какой точке соответствует число 0,09 ?
Показать решение
На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные - слева. Значит единственное отрицательное число -0,02 соответсвует точке A. Самое большое положительное число - это 0,11, а значит оно соответсвует точке D (крайней справа). Учитывая, что оставшееся число 0,098 больше числа 0,09, то и принадлежат они точкам C и B соотвественно. Отобразим это на чертеже:
Ответ:
Число 0,09 соответсвует точке B, номер 2.
- Найдите значение выражения
Показать решение
В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 36 равен 6, поскольку 6 2 = 36, то корень из 3,6 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 3,6 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:
Ответ:
2,4
- На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.
Показать решение
Найдем на графике линию соответствующую 360 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 5,5 километров.
Ответ:
Атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба на высоте 5,5 километров.
- Решите уравнение x 2 - 6x = 16
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.
Показать решение
x 2 - 6x = 16
Перед нами обычное квадратное уравнение:
x 2 + 6x - 16 = 0
Для его решения необходимо найти дискриминант:
D = (-6) 2 - 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100
Так как D > 0, то уравнение иеет два корня
х1 = (-(-6) + √100) / 2 * 1 = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8
х2 = (-(-6) - √100) / 2 * 1 = (6 - 10) / 2 = -4 / 2 = -2
Выполним проверку:
8 2 - 6 * 8 - 16 =0
64 - 48 - 16 = 0
(-2) 2 - 6 * (-2) - 16 =0
Следовательно, х1 = 8 и х2 = -2 - корни заданного квадратного уравнения.
х1 = -2 - меньший корень уравнения.
Ответ:
Наименьший корень данного уравнения: -2
- Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 1600 рублей. В мае он стал стоить 1440 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по май?
Показать решение
Итак, 1600 рублей - 100%
1600 - 1440 = 160 (р) - сумма на которую подешевел телефон
160 / 1600 * 100 = 10 (%)
Ответ:
Цена на мобильный телефон в период с января по май снизилась на 10%
- На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км 2) стран мира.
Какие из следующих утверждений верны ?
1) Афганистан входит в семёрку крупнейших по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Бразилии составляет 8,5 млн км 2 .
3) Площадь территории Индии больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории России больше площади территории США на 7,6 млн км 2 .
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Показать решение
Исходя из графика, Афганистан отсутсвует в списке представленных стран, а значит первое утверждение неверное .
Над гистограммой Бразилии указана площадь 8,5 млн км 2 , что соответсвует второму утверждению, верное .
Площадь территории Индии согласно графика равна 3,3 млн км 2 , а площадь Австралии - 7,7 млн км 2 , что не соответсвует утверждению в третьем пункте, неверное .
Площадь территории России равна 17,1 млн км 2 , а площадь США - 9,5 млн км 2 , получаем 17,1 - 9,5 = 7,6 млн км 2 . А значить утверждение 4 верное
.
Ответ:
24
- В каждой восьмой бутылке газировки согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вася покупает бутылку газировки. Найдите вероятность того, что Вася не найдет приз.
Показать решение
Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:
где, m - число благоприятных исходов события, а n - общее количество исходов
Получаем
Таким образом, вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 7/8 или
Ответ:
Вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 0,875
- Установите соответствие между функциями и их графиками.
В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.
Показать решение
- Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(1/-6*3) = 0,05; б) при х = -2, y = -(1/-2*3) = 0,17; в) при х = 2, y = -(1/2*3) = -0,17; г) при х = 6, y = -(1/6*3) = -0,05. Что и требовалось доказать.
- Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может соответсnвовать функция А. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
- Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена во второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция Б. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(3/-6) = 0,5; б) при х = -2, y = -(3/-2) = 1,5; в) при х = 2, y = -(3/2) = -1,5; г) при х = 6, y = -(3/6) = -0,5. Что и требовалось доказать.
Ответ:
А - 2 ; Б - 3 ; В - 1
- Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями:
a 1 = 48, a n+1 = a n - 17.
Найдите сумму первых семи её членов.
Показать решение
a 1 = 48, a n+1 = a n - 17
a n + 1 =a n - 17 ⇒ d = -17
a n = a 1 + d(n-1)
a 7 = a 1 + d(n-1) = 48 - 17 (7 - 1) = 48 - 102 = -54
S 7 = (a 1 + a 7)∙7 / 2
S 7 = (a 1 + a 7)∙3.5
S 7 = (48 - 54)∙3.5 = -21
Ответ:
-21
- Найдите значение выражения
Показать решение
Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка - это квадрат разницы.
Ответ:
50
- Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле
где d 1 и d 2 - длины диагоналей четырёхугольника, a - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 2 , если
Показать решение
Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх
Ответ:
17
- Укажите решение неравенства
3 - x > 4x + 7
|
|
|
|
|
Показать решение
Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:
а) перенесём член 4х в левую часть неравенства, а -3 - в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:
б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.
в) найдём значение х
г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от -∞ до -2, что соответсвует ответу 2
Ответ:
2
Модуль «Геометрия»
- Две сосны растут на расстоянии 30 м одна от другой. Высота одной сосны 26 м, а другой - 10м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
Показать решение
Решение
На рисунке мы изобразили две сосны. Расстояние между ними - а = 30 м; разницу в высоте мы обозначили, как b; ну и расстояние между верхушками - это c.
Как видите, у нас получился обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (c) и двух катетов (a и b). Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2
b = 26 - 10 = 16 (м)
Итак, расстояние между верхушками сосен 34 метра
Ответ:
34
- В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 4. Найдите cos∠ABC
Показать решение
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a
2
=
b
2
+
c
2
– 2
bc
cosα
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos∠ABC
4² = 5² + 6² - 2·5·6·cos∠ABC
16 = 25 + 36 - 60·cos∠ABC
60·cos∠ABC = 25 + 36 - 16
60·cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75
Ответ:
cos∠ABC = 0,75
- На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 18 о. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB .
Показать решение
Известно, что круг составляет 360 о. Исходя из этого, 18 о составляет:
360 о / 18 о = 20 - кол-во сегментов в круге по 18 о
Итак, 18 о составляют 1/20 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:
т.е. оставшиеся 342 о (360 о - 18 о = 342 о) составляют 19-ю часть всей окружности
Если длина меньшей дуги AB равна 5, то длина большей дуги AB составит:
5 * 19 = 95
Ответ:
95
- В трапеции ABCD известно, что AB = CD , ∠BDA = 18 о и ∠BDC = 97 о. Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.
Показать решение
По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.
∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°
Теперь рассмотрим треугольник ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:
∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.
Ответ:
47°
- На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Показать решение
Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):
a - длина основания треугольника
h - высота треугольника.
Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота - 5 (клеткам). Исходя из чего получаем:
Ответ:
15
- Какое из следующих утверждений верно?
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
- Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Часть 2
Модуль «Алгебра»
- Решите уравнение
Показать решение
Перенесем выражение √5-x с правой стороны в левую
Сократим оба выражения √5-x
Перенесём 18 в левую часть уравнения
Перед нами обычное квадратное уравнение.
Область допустимых значений в данном случае составляет: 5 - х ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:
D = 9 + 72 = 81 = 9 2
х 1 = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 - не является решением
х 2 = (3 - 9)/2 = -6/2 = -3
х = -3
Ответ:
-3
- Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.
Показать решение
х - это собственная скорость теплохода, тогда
х + 5 - скорость теплохода по течению
х - 5 - скорость теплохода против течения
35 - 23 = 12 (ч) - время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки
80 * 2 = 160 (км) - общее расстояние, пройденное теплоходом
Исходя из выше сказанного получим уравнение:
приводим к общему знаменателю и решаем:
Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:
Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч
Ответ:
y = x 2 + 2x + 1 (график, изображенный красной линией)
y = -36/x (график, изображенный синий линией)
Рассмотрим обе функции:
- y=x 2 +2x+1 на промежутке [–4;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+1) 2 – сдвиг графика влево на 1 единицу, что и видно из графика.
- у=–36/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.
На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x 2 + 2x + 1
x 0 = -b/2a = -2/2 = -1
y 0 = -1 2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ⇒ с = 0
Две общие точки при х = – 4 ; у = 9 ⇒ с = 9
Ответ:
0; }
