Pisteen ja ympyrän keskinäinen järjestely. Geometrian opetuslehti "Suoran ja ympyrän keskinäinen järjestely

Ympyrä- geometrinen kuvio, joka koostuu kaikista tason pisteistä, jotka sijaitsevat tietyllä etäisyydellä tietystä pisteestä.

Tätä pistettä (O) kutsutaan ympyrän keskusta.
Ympyrän säde on jana, joka yhdistää keskustan ympyrän pisteeseen. Kaikilla säteillä on sama pituus (määritelmän mukaan).
Sointu Jana, joka yhdistää kaksi pistettä ympyrässä. Ympyrän keskipisteen läpi kulkevaa jännettä kutsutaan halkaisija. Ympyrän keskipiste on minkä tahansa halkaisijan keskipiste.
Mikä tahansa kaksi pistettä ympyrässä jakaa sen kahteen osaan. Jokainen näistä osista on ns pyöreä kaari. Kaaria kutsutaan puoliympyrä jos sen päät yhdistävä segmentti on halkaisijaltaan.
Yksikköpuoliympyrän pituus on merkitty π .
Kahden ympyränkaaren, joilla on yhteiset päät, astemittojen summa on 360º.
Ympyrän rajaamaa osaa tasosta kutsutaan noin.
pyöreä sektori- ympyrän osa, jota rajoittaa kaari ja kaksi sädettä, jotka yhdistävät kaaren päät ympyrän keskipisteeseen. Sektoria rajoittavaa kaaria kutsutaan sektorin kaari.
Kutsutaan kahta ympyrää, joilla on yhteinen keskus samankeskinen.
Kutsutaan kahta ympyrää, jotka leikkaavat suorassa kulmassa ortogonaalinen.

Suoran ja ympyrän keskinäinen järjestely

  1. Jos etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on pienempi kuin ympyrän säde ( d), niin suoralla ja ympyrällä on kaksi yhteistä pistettä. Tässä tapauksessa linjaa kutsutaan sekantti ympyrän suhteen.
  2. Jos etäisyys ympyrän keskustasta viivaan on yhtä suuri kuin ympyrän säde, niin suoralla ja ympyrällä on vain yksi yhteinen piste. Tällaista linjaa kutsutaan tangentti ympyrää, ja niiden yhteistä kohtaa kutsutaan suoran ja ympyrän välinen kosketuspiste.
  3. Jos etäisyys ympyrän keskipisteestä viivaan on suurempi kuin ympyrän säde, niin viiva ja ympyrä niillä ei ole yhteisiä kohtia
    4. .

Keski- ja sisäänkirjoitetut kulmat

Keskikulma on kulma ympyrän keskellä olevan kärjen kanssa.
Kirjattu kulma Kulma, jonka kärki on ympyrässä ja jonka sivut leikkaavat ympyrän.

Sisäänkirjoitetun kulman lause

Sisäänkirjoitettu kulma mitataan puolella kaaresta, jonka se katkaisee.

  • Seuraus 1.
    Saman kaaren sisäänkirjoitetut kulmat ovat yhtä suuret.

  • Seuraus 2.
    Puoliympyrän leikkaava sisäänkirjoitettu kulma on suora kulma.

Lause risteävien sointujen segmenttien tulosta.

Jos ympyrän kaksi jännettä leikkaa toisensa, niin yhden jänteen segmenttien tulo on yhtä suuri kuin toisen jänteen osien tulo.

Peruskaavat

  • Ympärysmitta:
C = 2∙π∙R
  • Kaaren pituus:
R \u003d C / (2 ∙ π) \u003d D / 2
  • Halkaisija:
D = C/π = 2∙R
  • Kaaren pituus:
l = (π∙R) / 180∙α,
missä α - ympyrän kaaren pituuden astemitta)
  • Ympyrän pinta-ala:
S = π∙R2
  • Pyöreän sektorin alue:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Ympyräyhtälö

  • Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä yhtälö sädeympyrälle r keskitetty johonkin pisteeseen C(x o; y o) on muotoa:
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 \u003d r 2
  • Origoon keskitetyn säteen r ympyrän yhtälö on:
x 2 + y 2 = r 2

opintolevy

aiheesta "Suoran ja ympyrän keskinäinen järjestely. Kahden ympyrän keskinäinen järjestely"

(3 tuntia)

SAA:

Suoran ja ympyrän suhteellisen sijainnin ehdot;

Ympyrän sekantin ja tangentin määritelmä;

Ympyrän tangentin ominaisuudet;

Lause halkaisijan ja jänteen kohtisuorasta ja sen käänteisarvosta;

Kahden ympyrän suhteellisen sijainnin ehdot;

Määritelmä samankeskiset ympyrät.

Piirrä ympyrän tangentti;

Käytä tangentin ominaisuuksia tehtävien ratkaisemisessa;

Ratkaise tehtäviä halkaisijan ja jänteen kohtisuoraa koskevan lauseen soveltamisesta;

Ratkaise tehtäviä suoran ja ympyrän ja kahden ympyrän suhteellisesta sijainnista.

Aiheen opiskelun tuloksena tarvitset:

Kirjallisuus:

1. Geometria. 7. luokka. Zh. Kaidasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty "Mektep". 2012

2. Geometria. 7. luokka. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012

3. Geometria. 7. luokka. Metodologinen opas. K.O. Bukubaeva. AlmatyAtamura". 2012

4. Geometria. 7. luokka. didaktista materiaalia. A.N.Shynybekov. AlmatyAtamura". 2012

5. Geometria. 7. luokka. Kokoelma tehtäviä ja harjoituksia. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012

Tiedon hankkiminen on rohkeutta,

Niiden moninkertaistaminen on viisautta,

Ja niiden taitava soveltaminen on hienoa taidetta.

Muista, että sinun on työskenneltävä algoritmin mukaan.

Älä unohda läpäistä koetta, tee muistiinpanoja marginaaleihin, täytä aiheen arviointilomake.

Älä jätä kysymyksiä, joihin sinulla on vastausta.

Ole objektiivinen vertaisarvioinnin aikana, se auttaa sekä sinua että tarkistamaasi henkilöä.

Toivon sinulle menestystä!

HARJOITUS 1

1) Harkitse suoran ja ympyrän keskinäinen järjestely ja täytä taulukko (3b):

Tapaus 1: Suoralla ei ole yhteistä pistettä ympyrän kanssa.(älä leikkaa)

a d

ron ympyrän säde

d > r ,

Tapaus 2 : Suoralla ja ympyrällä on vain yksi yhteinen piste (koskea)

d- etäisyys pisteestä (ympyrän keskipisteestä) suoraan viivaan

ron ympyrän säde

a - tangentti

d = r ,

Tapaus 3: Suoralla on kaksi yhteistä pistettä ympyrän kanssa.(risteä)

d- etäisyys pisteestä (ympyrän keskipisteestä) suoraan viivaan

ron ympyrän säde

AB - sointu sekantti

d < r ,

Vuorovaikutusehdot (etäisyys suorasta ja säde (d jar))

Yhteisten pisteiden määrä

2) Lue määritelmät, lauseet, seuraukset ja opi ne (5b):

Määritelmä: Suoraa, jolla on kaksi yhteistä pistettä ympyrän kanssa, kutsutaan sekantti.

Määritelmä : Suoraa, jolla on vain yksi yhteinen piste ympyrän kanssa ja joka on kohtisuorassa säteeseen nähden, kutsutaan tangentti ympyrää.

Lause 1:

Ympyrän halkaisija, joka jakaa jänteen kahtia, on kohtisuorassa jänteeseen nähden.

Lause 2 (lauseen 1 vastakohta):

Jos ympyrän halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden, se jakaa jänteen kahteen yhtä suureen osaan.

Seuraus 1 : Jos etäisyys ympyrän keskustasta sekanttiviivaan on pienempi kuin ympyrän säteen pituus, suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä.

Seuraus 2: Ympyrän jänteet, jotka ovat samalla etäisyydellä keskustasta, ovat yhtä suuret.

Lause 3: Tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteeseen vedettyyn säteeseen nähden.

Seuraus 3 : Jos etäisyys ympyrän keskustasta linjaan on yhtä suuri kuin ympyrän säde, viiva on tangentti.

Kanssa seuraus 4 : Jos etäisyys ympyrän keskustasta linjaan on suurempi kuin ympyrän säde, suora ei leikkaa ympyrää.

Lause 4:

Ympyrän tangenttien segmentit, jotka on vedetty yhdestä pisteestä, ovat yhtä suuret ja muodostavat yhtä suuret kulmat tämän pisteen ja ympyrän keskipisteen kautta kulkevan suoran kanssa.

3) Vastaa kysymyksiin (3b):

1) Kuinka suora ja ympyrä voivat sijaita tasossa?

2) Voiko suoralla olla kolme yhteistä pistettä ympyrän kanssa?

3) Miten ympyrän tangentti piirretään ympyrän päällä olevan pisteen läpi?

4) Kuinka monta tangenttia voidaan piirtää ympyrään pisteen kautta:

a) makaa ympyrässä;

b) makaa ympyrän sisällä;

c) makaa ympyrän ulkopuolella?

5) Annettu ympyrä ω (O; r) ja ympyrän sisällä oleva piste A. Kuinka monessa leikkauspisteessä on: a) suora OA; b) palkki OA; c) segmentti OA?

6) Kuinka jakaa ympyrän sointu puoliksi?

LÄPISTÄÄ TESTIN #1

TEHTÄVÄ 2

1) Lue teksti ja katso kuvat. Piirrä muistikirjaasi, kirjoita johtopäätökset ja opi ne (3b):

Harkitse mahdollisia tapauksia kahden ympyrän keskinäisestä järjestelystä. Kahden ympyrän suhteellinen sijainti liittyy niiden keskipisteiden väliseen etäisyyteen.

P
leikkaavat ympyrät: kaksi ympyrääleikata, jos heillä onkaksi yhteistä kohtaa. Anna ollaR 1 jaR 2 - ympyrän säteetω 1 jaω 2 , d on niiden keskipisteiden välinen etäisyys. ympyrätω 1 jaω 2 leikkaavat jos ja vain jos numerotR 1 , R 2 , d ovat jonkin kolmion sivujen pituudet, eli ne täyttävät kaikki kolmion epäyhtälöt:

R 1 + R 2 > d , R 1 + d > R 2 , R 2 + d > R 1 .

Johtopäätös: Jos R 1 + R 2 > d tai | R 1 − R 2 | < d, sitten ympyrät leikkaavat kaksi pistettä.

Koskettava ympyrä: kaksi ympyrääkoskea, jos heillä onyksi yhteinen kohta. On yhteinen tangenttia . Anna ollaR 1 jaR 2 - ympyrän säteetω 1 jaω 2 , d

Ympyrät koskettavatulospäin jos ne sijaitsevat

sisään
eivät toisiaan. Ulkoisella tangentilla ympyröiden keskipisteet sijaitsevat niiden yhteisen tangentin vastakkaisilla puolilla. ympyrätω 1 jaω 2 kosketa ulkoisesti jos ja vain josR 1 + R 2 = d .

O ympyrät koskettavatsisäisesti jos toinen niistä on toisen sisällä. Ulkopuolelta kosketettaessa ympyröiden keskipisteet sijaitsevat niiden yhteisen tangentin samalla puolella. ympyrätω 1 jaω 2 kosketa sisäisesti jos ja vain jos| R 1 − R 2 |= d .

Johtopäätös: Jos R 1 + R 2 = d tai | R 1 − R 2 |= d , sitten ympyrät koskettavat yhtä yhteistä pistettä, joka sijaitsee ympyröiden keskipisteiden läpi kulkevalla suoralla.

H leikkaavat ympyrät: kaksi ympyrääälä leikkaa , jos heniillä ei ole yhteisiä kohtia . Tässä tapauksessa toinen niistä makaa toisen sisällä tai ne sijaitsevat toistensa ulkopuolella.

P suuhunR 1 jaR 2 - ympyrän säteetω 1 jaω 2 , d on niiden keskipisteiden välinen etäisyys.

Ympyrä ω 1 ja ω 2 sijaitsevat toistensa ulkopuolella jos ja vain jos R 1 + R 2 < d . Ympyrä ω 1 sijaitsee sisällä ω 2 jos ja vain jos | R 1 − R 2 | > d .

Johtopäätös:JosR 1 + R 2 < d tai | R 1 − R 2 | > d, silloin ympyrät eivät leikkaa.

2) Kirjoita määritelmä muistiin ja opi se (1b):

Määritelmä: Ympyröitä, joilla on yhteinen keskus, kutsutaan samankeskisiksi ( d = 0).

3) Vastaa kysymyksiin (3 b):

1) Kuinka kaksi ympyrää voidaan sijoittaa tasoon?

2) Mikä määrittää ympyröiden sijainnin?

3) Onko totta, että kaksi ympyrää voivat leikata kolmessa pisteessä?

4) Miten ympyrät on järjestetty, jos:

a) ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden säteiden summa;

b) ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on pienempi kuin niiden säteiden summa;

c) keskipisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin kahden säteen summa;

d) ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys on nolla.

5) Mihin seuraavista kolmesta kahden ympyrän keskinäisen järjestelyn tapauksesta samankeskiset ympyrät kuuluvat?

6) Mikä on ympyröiden kosketuspisteen kautta kulkevan suoran nimi?

LÄPISTÄÄ TESTIN #2

TEHTÄVÄ 3

Hyvin tehty! Voit aloittaavarmistustyö numero 1.

TEHTÄVÄ 4

1) Ratkaise parillisten tai parittomien tehtävien valinta (2b.):

1. Määritä suoran ja ympyrän yhteisten pisteiden lukumäärä, jos:

a) etäisyys suorasta viivasta ympyrän keskipisteeseen on 6 cm ja ympyrän säde on 7 cm;

b) etäisyys suorasta viivasta ympyrän keskipisteeseen on 7 cm ja ympyrän säde on 6 cm;

c) etäisyys suorasta linjasta ympyrän keskipisteeseen on 8 cm ja ympyrän säde on 8 cm.

2. Määritä suoran ja ympyrän suhteellinen sijainti, jos:

1. R = 16 cm, d = 12 cm; 2. R = 8 cm, d = 1,2 dm; 3. R ​​= 5 cm, d = 50 mm

3. Mikä on ympyröiden suhteellinen sijainti, jos:

d= 1 dm, R 1 = 0,8 dm, R 2 = 0,2 dm

d = 4 0 cm, R 1 = 110 cm, R 2 = 70 cm

d= 12 cm, R 1 = 5 cm, R 2 = 3 cm

d= 15dm, R 1 = 10dm, R 2 = 22 cm

4. Määritä kahden ympyrän vuorovaikutuspisteiden lukumäärä säteitä pitkin ja keskipisteiden välinen etäisyys:

a)R= 4 cm,r= 3 cm, OO 1 = 9 cm; b)R= 10 cm,r= 5 cm, OO 1 = 4 cm

sisään)R= 4 cm,r= 3 cm, OO 1 = 6 cm; G)R= 9 cm,r= 7 cm, OO 1 = 4 cm.

2) Ratkaise yksi valitsemasi tehtävä (2b.):

1. Selvitä jänteen kahden segmentin pituudet, joihin ympyrän halkaisija jakaa sen, jos jänteen pituus on 16 cm ja halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden.

2. Selvitä jänteen pituus, jos sen halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden ja yksi halkaisijan leikkaamista segmenteistä on 2 cm.

3) Valitse parilliset tai parittomat rakennustehtävät (2b):

1. Muodosta kaksi ympyrää, joiden säteet ovat 2 cm ja 4 cm ja joiden keskipisteiden välinen etäisyys on nolla.

2. Piirrä kaksi erisäteistä ympyrää (3 cm ja 2 cm) niin, että ne koskettavat. Merkitse niiden keskipisteiden välinen etäisyys viivalla. Harkitse vaihtoehtojasi.

3. Muodosta ympyrä, jonka säde on 3 cm ja suora viiva, joka sijaitsee 4 cm:n etäisyydellä ympyrän keskustasta.

4. Muodosta ympyrä, jonka säde on 4 cm ja suora viiva, joka sijaitsee 2 cm:n etäisyydellä ympyrän keskustasta.

LÄPISTÄÄ TESTIN #4

TEHTÄVÄ 5

Hyvin tehty! Voit aloittaavarmistustyö numero 2.

TEHTÄVÄ 6

1) Etsi väitteestä virhe ja korjaa se perustelemalla mielipiteesi. Valitse mitkä tahansa kaksi lausetta (4b.):
A) Kaksi ympyrää koskettaa ulkoisesti. Niiden säteet ovat R = 8 cm ja r = 2 cm, keskipisteiden välinen etäisyys on d = 6.
B) Kahdella ympyrällä on vähintään kolme yhteistä pistettä.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Ympyröillä ei ole yhteisiä pisteitä.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Pienempi ympyrä sijaitsee suuremman sisällä.
E) Kaksi ympyrää ei voi sijaita niin, että toinen on toisen sisällä.

2) Ratkaise parillisten tai parittomien tehtävien valinta (66.):

1. Kaksi ympyrää koskettavat toisiaan. Suuremman ympyrän säde on 19 cm ja pienen ympyrän 4 cm pienempi. Selvitä ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys.

2. Kaksi ympyrää koskettavat toisiaan. Suuremman ympyrän säde on 26 cm ja pienen ympyrän säde on 2 kertaa pienempi. Etsi ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys.

3. Ota kaksi pistettäD jaF jottaDF = 6 cm . Piirrä kaksi ympyrää(D, 2 cm) ja(F, 3 cm). Miten nämä kaksi piiriä sijaitsevat? Tee johtopäätös.

4. Pisteiden välinen etäisyysMUTTA jaAT on yhtä suuri7 cm Piirrä ympyröitä, jotka on keskitetty pisteisiinMUTTA jaAT , joiden säteet ovat yhtä suuria kuin3 cm ja4 cm . Miten piirit järjestetään? Tee johtopäätös.

5. Kahden samankeskisen ympyrän väliin, joiden säteet ovat 4 cm ja 8 cm, kolmas ympyrä sijaitsee siten, että se koskettaa kahta ensimmäistä ympyrää. Mikä on tämän ympyrän säde?

6. Ympyrät, joiden säteet ovat 6 cm ja 2 cm leikkaavat. Lisäksi suurempi ympyrä kulkee pienemmän ympyrän keskustan läpi. Etsi ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys.

LÄPISTÄÄ TESTIN #6

Varmistustyö nro 1

Valitse yksi testivaihtoehdoista ja ratkaise (10 kysymystä, 1 piste jokaisesta):

1. Suoraa, jolla on kaksi yhteistä pistettä ympyrän kanssa, kutsutaan...

A) sointu B) halkaisija

C) sekantti; D) tangentti.

2. Ympyrän päällä olevan pisteen kautta voit piirtää ...... .. tangentteja

Yksi; B) kaksi

3. Jos etäisyys ympyrän keskustasta suoraan on pienempi kuin ympyrän säteen pituus, suora viiva ...

D) oikeaa vastausta ei ole.

4. Jos etäisyys ympyrän keskustasta suoraan on suurempi kuin ympyrän säde, suora viiva ...

A) koskettaa ympyrää yhdessä pisteessä; C) leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä;

C) ei leikkaa ympyrän kanssa;

D) oikeaa vastausta ei ole.

5. Ympyrät eivät leikkaa eivätkä kosketa, jos ...

MUTTA)R 1 + R 2 = d ; AT)R 1 + R 2 < d ;

KANSSA)R 1 + R 2 > d ; D)d = 0 .

6. Tangentti ja säde piirretty kosketuspisteeseen...

A) ovat yhdensuuntaiset B) ovat kohtisuorassa

C) ottelu D) oikeaa vastausta ei ole.

7. Ympyrät koskettavat ulkoisesti. Pienemmän ympyrän säde on 3 cm, suuremman 5 cm Mikä on keskipisteiden välinen etäisyys?

8. Mikä on kahden ympyrän suhteellinen sijainti, jos keskipisteiden välinen etäisyys on 4 ja säteet ovat 11 ja 7:

9. Mitä voidaan sanoa suoran ja ympyrän suhteellisesta sijainnista, jos ympyrän halkaisija on 7,2 cm ja etäisyys ympyrän keskustasta linjaan on 0,4 dm:

10. Annettu ympyrä, jonka keskipiste on O ja piste A. Missä piste A sijaitsee, jos ympyrän säde on 7 cm ja janan OA pituus on 70 mm?

A) ympyrän sisällä B) ympyrässä.

C) ympyrän ulkopuolella; D) oikeaa vastausta ei ole.

Vaihtoehto 2

1. Suoraa viivaa, jolla on vain yksi yhteinen piste ympyrän kanssa ja joka on kohtisuorassa säteeseen nähden, kutsutaan ...

A) sointu B) halkaisija

C) sekantti; D) tangentti.

2. Pisteestä, joka ei ole ympyrän päällä, voit piirtää ympyrään …….. tangentteja

Yksi; B) kaksi

C) ei yhtään D) oikeaa vastausta ei ole.

3. Jos etäisyys ympyrän keskustasta viivaan on yhtä suuri kuin ympyrän säde, niin viiva

A) koskettaa ympyrää yhdessä pisteessä; C) leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä;

C) ei leikkaa ympyrän kanssa;

D) oikeaa vastausta ei ole.

4. Ympyrät leikkaavat kaksi pistettä, jos...

MUTTA)R 1 + R 2 = d ; AT)R 1 + R 2 < d ;

KANSSA)R 1 + R 2 > d ; D)d = 0 .

5. Ympyrät koskettavat yhdessä pisteessä, jos...

MUTTA)R 1 + R 2 = d ; AT)R 1 + R 2 < d ;

KANSSA)R 1 + R 2 > d ; D)d = 0 .

6. Ympyröitä kutsutaan samankeskisiksi, jos ...

MUTTA)R 1 + R 2 = d ; AT)R 1 + R 2 < d ;

KANSSA)R 1 + R 2 > d ; D)d = 0 .

7. Ympyrät koskettavat sisäisesti. Pienemmän ympyrän säde on 3 cm. Suuremman ympyrän säde on 5 cm Mikä on ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys?

A) 8 cm; C) 2 s m; C) 15 cm; D) 3 cm.

8. Mikä on kahden ympyrän suhteellinen sijainti, jos keskipisteiden välinen etäisyys on 10 ja säteet ovat 8 ja 2:

A) ulkoinen kosketus; B) sisäinen kosketus;

C) leikkaavat D) Älä leikkaa.

9. Mitä voidaan sanoa suoran ja ympyrän suhteellisesta sijainnista, jos ympyrän halkaisija on 7,2 cm ja etäisyys ympyrän keskustasta viivaan on 3,25 cm:

A) kosketus B) älä leikkaa.

C) leikkaavat D) oikeaa vastausta ei ole.

10. Annettu ympyrä, jonka keskipiste on O ja piste A. Missä on piste A, jos ympyrän säde on 7 cm ja janan OA pituus on 4 cm?

A) ympyrän sisällä

B) ympyrässä.

C) ympyrän ulkopuolella;

D) oikeaa vastausta ei ole.

Arvosana: 10 b. - "5", 9 - 8 b. - "4", 7 - 6 b. - "3", 5 b. ja alla - "2"

Varmistustyö nro 2

1) Täytä taulukko. Valitse yksi vaihtoehdoista (6b):

a)kahden ympyrän keskinäinen järjestely:

1. Määritä kahden jänteen segmentin pituudet, joihin ympyrän halkaisija sen jakaa, jos jänteen pituus on 0,8 dm ja halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden.

2. Laske jänteen pituus, jos sen halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden ja yksi siitä halkaisijan leikkaamasta segmentistä on 0,4 dm.

3) Ratkaise yksi tehtävä, josta voit valita (2b):

1. Muodosta ympyröitä, joiden keskipisteet ovat pienempiä kuin niiden säteiden välinen ero. Merkitse ympyrän keskipisteiden välinen etäisyys. Tee johtopäätös.

2. Muodosta ympyröitä, joiden keskipisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden säteiden välinen ero. Merkitse ympyrän keskipisteiden välinen etäisyys. Tee johtopäätös.

Arvio: 10 - 9 b. - "5", 8 - 7 b. - "4", 6 - 5 b. - "3", 4 b. ja alla - "2"

LUOKITUSLUETTELO

Didaktinen tavoite: uuden tiedon muodostumista.

Oppitunnin tavoitteet.

Opetusohjelmat:

  • muodostaa matemaattisia käsitteitä: ympyrän tangenttia, suoran ja ympyrän suhteellista sijaintia, saavuttaa opiskelijoiden ymmärtäminen ja toistaminen näistä käsitteistä käytännön tutkimustyön avulla.

Terveydensäästö:

  • suotuisan psykologisen ilmapiirin luominen luokkahuoneessa;

Kehitetään:

  • kehittää opiskelijoiden kognitiivista kiinnostusta, kykyä selittää, yleistää tuloksia, vertailla, verrata, tehdä johtopäätöksiä.

Koulutuksellinen:

  • koulutus persoonallisuuskulttuurin matematiikan avulla.

Opiskelumuodot:

  • sisältö - keskustelu, käytännön työ;
  • toiminnan organisoinnista - yksilöllinen, etumainen.

Tuntisuunnitelma

Lohkot Oppitunnin vaiheet
1 lohko Ajan järjestäminen.
Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun toiston ja perustietojen päivittämisen kautta.
2 lohko Tavoitteiden asettaminen.
3 lohko Johdatus uuteen materiaaliin.
Käytännön tutkimustyötä.
4 lohko Uuden materiaalin yhdistäminen ongelmanratkaisun kautta
5 lohko Heijastus. Työn suoritus valmiin piirustuksen mukaan.
6 lohko Yhteenveto oppitunnista. Kotitehtävien asettaminen.

Laitteet:

  • tietokone, näyttö, projektori;
  • Moniste.

Koulutusresurssit:

1. Matematiikka. Oppikirja luokan 6 oppilaitoksille; / G.V. Dorofejev, M., Enlightenment, 2009

2. Markova V.I. Geometrian opettamisen piirteet valtion koulutusstandardin täytäntöönpanon yhteydessä: ohjeet, Kirov, 2010

3. Atanasyan L.S. Oppikirja "Geometria 7-9".

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun toiston ja perustietojen päivittämisen kautta.

 Tervehdys opiskelijat.

Osoittaa oppitunnin aiheen.

Selvittää, mitä assosiaatioita sana "ympyrä" herättää

 Kirjoita oppitunnin päivämäärä ja aihe vihkoon.

Vastaa opettajan kysymykseen.
2. Oppitunnin tavoitteen asettaminen Tiivistää opiskelijoiden määrittelemät tavoitteet, asettaa oppitunnin tavoitteet Muotoile oppitunnin tavoitteet.
3. Tutustuminen uuteen materiaaliin. Järjestää keskustelun, pyytää malleja näyttämään kuinka ympyrä ja suora viiva voidaan paikantaa.

Järjestä käytännön työ.

Järjestää työn oppikirjan kanssa.

 Vastaa opettajan kysymyksiin.

Suorita käytännön työ, tee johtopäätös.

He työskentelevät oppikirjan parissa, löytävät johtopäätöksen ja vertaavat sitä omaansa.
4. Ensisijainen ymmärtäminen, lujittaminen ongelmanratkaisun kautta. Järjestää työn valmiiden piirustusten mukaan.

Työskentely oppikirjan kanssa: s. 103 nro 498, nro 499.

Ongelmanratkaisu

 Ratkaise ongelmat suullisesti ja kommentoi ratkaisua.

Suorita ongelmanratkaisu ja kommentoi.
5. Heijastus. Työn suoritus valmiin piirustuksen mukaan Neuvoo tekemään töitä. Suorita tehtävä itse. Itsetestaus. Yhteenvetona.
6. Yhteenveto. Kotitehtävien asettaminen Opiskelijoita pyydetään analysoimaan oppitunnin alussa koottu klusteri, jalostamaan sitä saadun tiedon perusteella. Yhteenvetona.

Oppilaat kääntyvät asetettujen tavoitteiden puoleen, analysoivat tuloksia: mitä uutta oppivat, mitä oppitunnilla oppivat

1. Organisatorinen hetki. Tiedon päivitys.

Opettaja kertoo oppitunnin aiheen. Selvittää, mitä assosiaatioita sana "ympyrä" herättää.

Mikä on ympyrän halkaisija, jos sen säde on 2,4 cm?

Mikä on säde, jos halkaisija on 6,8 cm?

2. Tavoitteen asettaminen.

Oppilaat asettavat tavoitteensa oppitunnille, opettaja tekee niistä yhteenvedon ja asettaa oppitunnin tavoitteet.

Oppitunnin toimintaohjelma laaditaan.

3. Tutustuminen uuteen materiaaliin.

1) Työskentely mallien kanssa: "Näytä malleissa, kuinka suora ja ympyrä voidaan sijoittaa tasoon."

Kuinka monta yhteistä kohtaa niillä on?

2) Käytännön tutkimustyön toteuttaminen.

Kohde. Aseta suoran ja ympyrän suhteellisen sijainnin ominaisuus.

Varusteet: paperille piirretty ympyrä ja tikku suorana viivana, viivain.

  1. Aseta kuvassa (paperiarkille) ympyrän ja suoran suhteellinen sijainti.
  2. Mittaa ympyrän R säde ja etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan d.
  3. Kirjaa tutkimuksen tulokset taulukkoon.
Kuva Keskinäinen järjestely Yhteisten pisteiden määrä Ympyrän säde R Etäisyys ympyrän keskustasta linjaan d Vertaa R ja d

4. Tee johtopäätös suoran ja ympyrän suhteellisesta sijainnista riippuen R:n ja d:n suhteesta.

Johtopäätös: Jos etäisyys ympyrän keskustasta linjaan on yhtä suuri kuin säde, suora koskettaa ympyrää ja sillä on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa. Jos etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on suurempi kuin säde, niin ympyrällä ja suoralla ei ole yhteisiä pisteitä. Jos etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on pienempi kuin säde, suora leikkaa ympyrän ja sillä on kaksi yhteistä pistettä sen kanssa.

5. Ensisijainen ymmärtäminen, lujittaminen ongelmanratkaisun kautta.

1) Oppikirjatehtävät: nro 498, nro 499.

2) Määritä suoran ja ympyrän suhteellinen sijainti, jos:

  • 1. R = 16 cm, d = 12 cm
  • 2. R = 5 cm, d = 4,2 cm
  • 3. R ​​= 7,2 dm, d = 3,7 dm
  • 4. R = 8 cm, d = 1,2 dm
  • 5. R = 5 cm, d = 50 mm

a) suoralla ja ympyrällä ei ole yhteisiä pisteitä;

b) suora on ympyrän tangentti;

c) suora leikkaa ympyrän.

  • d on etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan, R on ympyrän säde.

3) Mitä voidaan sanoa suoran ja ympyrän suhteellisesta sijainnista, jos ympyrän halkaisija on 10,3 cm ja etäisyys ympyrän keskustasta linjaan on 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Annettu ympyrä, jonka keskipiste on O ja piste A. Missä on piste A, jos ympyrän säde on 7 cm ja janan OA pituus on: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

6. Heijastus

Mitä opit tunnilla?

Mikä sääntö on vahvistettu?

Suorita seuraavat tehtävät korteilla:

Piirrä viiva jokaisen kahden pisteen läpi. Kuinka monta yhteistä pistettä jokaisella suoralla on ympyrän kanssa.

Suoralla ______ ja ympyrällä ei ole yhteisiä pisteitä.

Suoralla ______ ja ympyrällä on vain yksi ___________ piste.

Viivoilla ______, _______, ________, _______ ja ympyrällä on kaksi yhteistä pistettä.

7. Yhteenveto. Kotitehtävien asettaminen:

1) analysoida oppitunnin alussa koottu klusteri, tarkentaa sitä saatujen tietojen perusteella;

2) oppikirja: nro 500;

3) täytä taulukko (korteilla).

Ympyrän säde 4 cm 6,2 cm 3,5 cm 1,8 cm
Etäisyys ympyrän keskustasta linjaan 7 cm 5,12 cm 3,5 cm 9,3 cm 8,25 m
Johtopäätös ympyrän ja suoran suhteellisesta sijainnista Suoraan
ylittää ympyrän		 Suoraan
koskettaa ympyrää		 Suoraan
ei ylitä ympyrää

Muista tärkeä määritelmä - ympyrän määritelmä]

Määritelmä:

Ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O ja säde R, on joukko kaikkia tason pisteitä, jotka ovat etäisyydellä R pisteestä O.

Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että joukkoa kutsutaan ympyräksi. kaikki pisteitä, jotka täyttävät kuvatun ehdon. Harkitse esimerkkiä:

Neliön pisteet A, B, C, D ovat yhtä kaukana pisteestä E, mutta ne eivät ole ympyrä (kuva 1).

Riisi. 1. Esimerkki esimerkiksi

Tässä tapauksessa kuva on ympyrä, koska se kaikki on joukko pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana keskustasta.

Jos yhdistämme kaksi ympyrän pistettä, saamme sointuman. Keskustan läpi kulkevaa jännettä kutsutaan halkaisijaksi.

MB - sointu; AB - halkaisija; MnB - kaari, sen supistaa jänne MB;

Kulmaa kutsutaan keskeiseksi.

Piste O on ympyrän keskipiste.

Riisi. 2. Esimerkki esimerkiksi

Näin ollen muistimme, mikä ympyrä on ja sen pääelementit. Siirrytään nyt tarkastelemaan ympyrän ja suoran suhteellista sijaintia.

Annettu ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde r. Suora P, etäisyys keskipisteestä suoraan, eli kohtisuoraan OM, on yhtä suuri kuin d.

Oletetaan, että piste O ei ole suoralla P.

Ympyrän ja suoran perusteella meidän on löydettävä yhteisten pisteiden lukumäärä.

Tapaus 1 - etäisyys ympyrän keskustasta suoraan on pienempi kuin ympyrän säde:

Ensimmäisessä tapauksessa, kun etäisyys d on pienempi kuin ympyrän r säde, piste M on ympyrän sisällä. Tästä pisteestä syrjään kaksi segmenttiä - MA ja MB, joiden pituus on. Tiedämme r:n ja d:n arvot, d on pienempi kuin r, mikä tarkoittaa, että lauseke on olemassa ja pisteet A ja B ovat olemassa. Nämä kaksi pistettä ovat rakenteeltaan suoralla viivalla. Tarkastetaan, makaavatko ne ympyrän päällä. Laske OA:n ja OB:n välinen etäisyys Pythagoraan lauseella:

Riisi. 3. Tapauksen 1 kuva

Etäisyys keskustasta kahteen pisteeseen on yhtä suuri kuin ympyrän säde, joten olemme osoittaneet, että pisteet A ja B kuuluvat ympyrään.

Pisteet A ja B kuuluvat siis rakenteeltaan suoralle, ne kuuluvat ympyrään todistetusti - ympyrällä ja suoralla on kaksi yhteistä pistettä. Osoittakaamme, että muita pisteitä ei ole (kuva 4).

Riisi. 4. Todistuksen kuva

Tätä varten otetaan mielivaltainen piste C suoralla ja oletetaan, että se on ympyrällä - etäisyys OS = r. Tässä tapauksessa kolmio on tasakylkinen ja sen mediaani ON, joka ei ole sama kuin janan OM, on korkeus. Olemme saaneet ristiriidan: kaksi kohtisuoraa pudotetaan pisteestä O suoralle.

Siten suoralla P ei ole muita yhteisiä pisteitä ympyrän kanssa. Olemme osoittaneet, että siinä tapauksessa, että etäisyys d on pienempi kuin ympyrän säde r, suoralla ja ympyrällä on vain kaksi yhteistä pistettä.

Tapaus kaksi - etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on yhtä suuri kuin ympyrän säde (kuva 5):

Riisi. 5. Tapauksen 2 kuva

Muista, että etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran pituus, tässä tapauksessa OH on kohtisuora. Koska ehdon mukaan pituus OH on yhtä suuri kuin ympyrän säde, niin piste H kuuluu ympyrään, joten piste H on yhteinen suoralle ja ympyrälle.

Osoittakaamme, että muita yhteisiä kohtia ei ole. Päinvastoin: oletetaan, että suoran piste C kuuluu ympyrään. Tässä tapauksessa etäisyys OC on r ja sitten OC on OH. Mutta suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa OS on suurempi kuin jalka OH. Meillä on ristiriita. Näin ollen oletus on väärä, eikä ole olemassa muuta pistettä kuin H, yhteinen suoralle ja ympyrälle. Olemme osoittaneet, että tässä tapauksessa yhteinen kohta on ainutlaatuinen.

Tapaus 3 - etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on suurempi kuin ympyrän säde:

Etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran pituus. Piirretään pisteestä O kohtisuorassa suoraa P vastaan, saadaan piste H, joka ei ole ympyrällä, koska OH on ehdon mukaan suurempi kuin ympyrän säde. Osoittakaamme, että mikään muu suoran piste ei ole ympyrällä. Tämä näkyy selvästi suorakulmaisesta kolmiosta, jonka hypotenuusa OM on suurempi kuin jalka OH ja siten suurempi kuin ympyrän säde, joten piste M ei kuulu ympyrään, kuten mikään muu piste suoralla. Olemme osoittaneet, että tässä tapauksessa ympyrällä ja suoralla ei ole yhteisiä pisteitä (kuva 6).

Riisi. 6. Tapauksen 3 kuva

Harkitse lause . Oletetaan, että suoralla AB on kaksi yhteistä pistettä ympyrän kanssa (kuva 7).

Riisi. 7. Lauseen kuva

Meillä on sointu AB. Piste H on ehdon mukaan jänteen AB keskipiste ja on halkaisijalla CD.

On todistettava, että tässä tapauksessa halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden.

Todiste:

Harkitse tasakylkinen kolmio OAB, se on tasakylkinen, koska .

Piste H on ehdon mukaan jänteen keskikohta, mikä tarkoittaa tasakylkisen kolmion mediaanin AB keskikohtaa. Tiedämme, että tasakylkisen kolmion mediaani on kohtisuorassa kantaansa nähden, mikä tarkoittaa, että se on korkeus: näin ollen on todistettu, että jänteen keskikohdan läpi kulkeva halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden.

reilu ja käänteinen lause : jos halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden, se kulkee sen keskipisteen läpi.

Annettu ympyrä, jonka keskipiste on O, sen halkaisija CD ja jänne AB. Tiedetään, että halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden, on tarpeen todistaa, että se kulkee sen keskikohdan läpi (kuva 8).

Riisi. 8. Lauseen kuva

Todiste:

Harkitse tasakylkinen kolmio OAB, se on tasakylkinen, koska . OH on ehdon mukaan kolmion korkeus, koska halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden. Tasakylkisen kolmion korkeus on myös mediaani, joten AH = HB, mikä tarkoittaa, että piste H on jänteen AB keskipiste, mikä tarkoittaa, että on todistettu, että jänteen kohtisuora halkaisija kulkee sen keskipisteen kautta.

Suora ja käänteinen lause voidaan yleistää seuraavasti.

Lause:

Halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden silloin ja vain, jos se kulkee sen keskipisteen läpi.

Joten olemme tarkastelleet kaikkia suoran ja ympyrän keskinäisen järjestelyn tapauksia. Seuraavalla oppitunnilla tarkastelemme ympyrän tangenttia.

Bibliografia

  1. Aleksandrov A.D. jne. Geometria luokka 8. - M.: Koulutus, 2006.
  2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Enlightenment, 2011.
  3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria luokka 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
  1. edu.glavsprav.ru ().
  2. Webmath.expponenta.ru().
  3. Fmclass.ru ().

Kotitehtävät

Tehtävä 1. Etsi kahden jänteen segmentin pituudet, joihin ympyrän halkaisija sen jakaa, jos jänteen pituus on 16 cm ja halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden.

Tehtävä 2. Ilmoita suoran ja ympyrän yhteisten pisteiden lukumäärä, jos:

a) etäisyys suorasta linjasta ympyrän keskipisteeseen on 6 cm ja ympyrän säde on 6,05 cm;

b) etäisyys suorasta viivasta ympyrän keskipisteeseen on 6,05 cm ja ympyrän säde on 6 cm;

c) etäisyys suorasta linjasta ympyrän keskipisteeseen on 8 cm ja ympyrän säde on 16 cm.

Tehtävä 3. Etsi jänteen pituus, jos sen halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden ja yksi halkaisijan leikkaamista segmenteistä on 2 cm.

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT