Aslamazov L.G. Pyöreä liike // Kvant. - 1972. - nro 9. - S. 51-57.

Erikoissopimuksella Kvant-lehden toimituskunnan ja toimittajien kanssa

Ympyrässä tapahtuvan liikkeen kuvaamiseksi lineaarisen nopeuden ohella otetaan käyttöön kulmanopeuden käsite. Jos piste liikkuu ympyrää pitkin ajassa Δ t kuvaa kaaria, jonka kulmamitta on Δφ, sitten kulmanopeus.

Kulmanopeus ω liittyy lineaarinopeuteen υ suhteella υ = ω r, missä r- ympyrän säde, jota pitkin piste liikkuu (kuva 1). Kulmanopeuden käsite on erityisen kätevä kuvaamaan jäykän kappaleen pyörimistä akselin ympäri. Vaikka eri etäisyyksillä akselista sijaitsevien pisteiden lineaariset nopeudet eivät ole samat, niiden kulmanopeudet ovat yhtä suuret, ja voimme puhua kappaleen kokonaiskierron kulmanopeudesta.

Tehtävä 1. Levyn säde r rullaa liukumatta vaakatasossa. Levyn keskipisteen nopeus on vakio ja yhtä suuri kuin υ p. Millä kulmanopeudella kiekko pyörii tässä tapauksessa?

Kukin kiekon piste osallistuu kahteen liikkeeseen - translaatioliikkeeseen nopeudella υ n yhdessä levyn keskustan kanssa ja pyörivässä liikkeessä keskustan ympäri tietyllä kulmanopeudella ω.

ω:n löytämiseksi käytämme liukumisen puuttumista eli sitä tosiasiaa, että kullakin ajanhetkellä tason kanssa kosketuksissa olevan kiekon pisteen nopeus on nolla. Tämä tarkoittaa, että asia MUTTA(Kuva 2) Translaatioliikkeen nopeus υ p on suuruudeltaan yhtä suuri ja suunnaltaan vastakkainen pyörimisliikkeen lineaariseen nopeuteen υ vr = ω· r. Täältä saamme heti .

Tehtävä 2. Etsi nopeuspisteitä AT, Kanssa ja D sama levy (kuva 3).

Mieti ensin pointtia AT. Sen pyörimisliikkeen lineaarinen nopeus on suunnattu pystysuunnassa ylöspäin ja on yhtä suuri kuin , eli suuruudeltaan yhtä suuri kuin translaatioliikkeen nopeus, joka kuitenkin on suunnattu vaakasuoraan. Kun nämä kaksi nopeutta lisätään vektoriaalisesti, saadaan tulokseksi nopeus υ B on kooltaan yhtä suuri ja muodostaa 45º kulman horisontin kanssa. Pisteessä Kanssa pyörimis- ja translaationopeudet suunnataan samaan suuntaan. Tuloksena oleva nopeus υ C yhtä suuri kuin 2υ n ja suunnattu vaakasuoraan. Vastaavasti löydetään pisteen nopeus D(Katso kuva 3).

Jopa siinä tapauksessa, että ympyrää pitkin liikkuvan pisteen nopeus ei muutu suuruudessa, pisteellä on jonkin verran kiihtyvyyttä, koska nopeusvektorin suunta muuttuu. Tätä kiihtyvyyttä kutsutaan keskipitkän. Se on suunnattu kohti ympyrän keskustaa ja on yhtä suuri kuin ( R on ympyrän säde, ω ja υ ovat pisteen kulma- ja lineaarinopeudet).

Jos ympyrää pitkin liikkuvan pisteen nopeus ei muutu vain suunnassa, vaan myös suuruudessa, niin keskikiihtyvyyden mukana syntyy myös ns. tangentiaalinen kiihtyvyys. Se on suunnattu tangentiaalisesti ympyrään ja on yhtä suuri kuin suhde (Δυ on nopeuden muutos ajan kuluessa Δ t).

Tehtävä 3. Etsi pisteiden kiihtyvyys MUTTA, AT, Kanssa ja D levyn säde r rullaa liukumatta vaakatasossa. Levyn keskikohdan nopeus on vakio ja yhtä suuri kuin υ p (kuva 3).

Levyn keskipisteeseen liittyvässä koordinaattijärjestelmässä kiekko pyörii kulmanopeudella ω ja taso liikkuu eteenpäin nopeudella υ p. Kiekon ja tason välillä ei ole luistoa, joten . Translaatioliikkeen nopeus υ p ei muutu, joten kiekon pyörimiskulmanopeus on vakio ja kiekon pisteissä on vain keskikiihtyvyys, joka on suunnattu kohti kiekon keskustaa. Koska koordinaattijärjestelmä liikkuu ilman kiihtyvyyttä (vakionopeudella υ n), niin kiinteässä koordinaattijärjestelmässä levypisteiden kiihtyvyydet ovat samat.

Siirrytään nyt pyörimisliikkeen dynamiikkaan liittyviin ongelmiin. Tarkastellaan ensin yksinkertaisinta tapausta, jolloin liike ympyrää pitkin tapahtuu vakionopeudella. Koska kappaleen kiihtyvyys on suunnattu keskustaan, niin kaikkien kehoon kohdistuvien voimien vektorisumma on myös suunnattava keskustaan ​​ja Newtonin toisen lain mukaan.

On muistettava, että tämän yhtälön oikea puoli sisältää vain todelliset voimat, jotka vaikuttavat tiettyyn kehoon muista kappaleista. Ei keskihakuvoima ei tapahdu ympyrässä liikkuessa. Tätä termiä käytetään yksinkertaisesti kuvaamaan ympyrässä liikkuvaan kappaleeseen kohdistettujen voimien resultanttia. Mitä tulee keskipakoisvoima, niin se syntyy vain, kun kuvataan liikettä ympyrää pitkin ei-inertiaalisessa (pyörivässä) koordinaattijärjestelmässä. Emme käytä tässä keskipakovoiman ja keskipakovoiman käsitettä ollenkaan.

Tehtävä 4. Määritä tien pienin kaarevuussäde, jonka auto voi ohittaa nopeudella υ = 70 km/h ja renkaan kitkakerroin tiellä k =0,3.

R = m g, tien vastavoima N ja kitkavoimaa F tr auton renkaiden ja tien välissä. Voimat R ja N suunnattu pystysuunnassa ja samansuuruinen: P = N. Kitkavoima, joka estää autoa luistamasta ("luistosta") on suunnattu kohti käännöksen keskustaa ja antaa keskikiihtyvyyden: . Kitkavoiman maksimiarvo F tr max = k· N = k· m g, siksi yhtälöstä määritetään ympyrän säteen minimiarvo, jota pitkin on vielä mahdollista liikkua nopeudella υ. Täältä (m).

Tiereaktiovoimat N kun auto liikkuu ympyrässä, se ei kulje auton painopisteen läpi. Tämä johtuu siitä, että sen painopisteen suhteen olevan momentin on kompensoitava kitkamomentti, joka pyrkii kaatamaan auton. Kitkavoiman suuruus on sitä suurempi, mitä suurempi auton nopeus. Tietyllä nopeudella kitkavoiman momentti ylittää reaktiovoiman hetken ja auto kaatuu.

Tehtävä 5. Millä nopeudella auto liikkuu säteisen ympyrän kaarta pitkin R= 130 m, voiko kaatua? Ajoneuvon painopiste on korkealla h= 1 m tien yläpuolella, ajoneuvon raideleveys l= 1,5 m (kuvio 4).

Auton kaatumishetkellä tien reaktiovoimana N, ja kitkavoima F mp on kiinnitetty "ulompaan" pyörään. Kun auto liikkuu ympyrää nopeudella υ, siihen vaikuttaa kitkavoima. Tämä voima luo hetken ajoneuvon painopisteen ympärille. Tien reaktiovoiman suurin momentti N = m g suhteessa painopisteeseen on (kaatumishetkellä reaktiovoima kulkee ulkopyörän läpi). Yhdistämällä nämä hetket, löydämme yhtälön enimmäisnopeudelle, jolla auto ei vielä kaadu:

Mistä ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Jotta auto voisi liikkua sellaisella nopeudella, tarvitaan kitkakerroin (katso edellinen ongelma).

Samanlainen tilanne tapahtuu käännettäessä moottoripyörää tai polkupyörää. Keskikiihtyvyyden synnyttävällä kitkavoimalla on painopisteen ympärillä momentti, joka pyrkii kaatamaan moottoripyörän. Siksi moottoripyöräilijä nojaa kohti käännettä tämän hetken kompensoimiseksi tien reaktiovoiman momentilla (kuva 5).

Tehtävä 6. Moottoripyöräilijä ajaa vaakasuoraa tietä nopeudella υ = 70 km/h ja tekee käännöksen säteellä R\u003d 100 m. Missä kulmassa α horisonttiin nähden hänen tulee kallistua, jotta se ei putoa?

Moottoripyörän ja tien välinen kitkavoima, koska se antaa moottoripyöräilijälle keskikiihtyvyyden. Tiereaktiovoimat N = m g. Kitkavoiman ja reaktiovoiman momenttien yhtäläisyyden ehto suhteessa painopisteeseen antaa yhtälön: F tp l sinα = N· l cos α, missä l- etäisyys OA painopisteestä moottoripyörän jälkiin (katso kuva 5).

Korvaa tässä arvot F tp ja N, löytää jotain tai . Huomaa, että voimien resultantti N ja F tp tässä kaltevuuskulmassa moottoripyörän kulkee painopisteen läpi, mikä varmistaa, että voimien kokonaismomentti on nolla N ja F tp .

Liikenteen nopeuden lisäämiseksi tien pyöristystä pitkin käännöksen tienosuus tehdään kaltevaksi. Samalla tien reaktiovoima osallistuu kitkavoiman lisäksi keskikiihtyvyyden syntymiseen.

Tehtävä 7. Millä maksiminopeudella υ auto voi liikkua kaltevalla radalla, jonka kaltevuuskulma on α ja jonka kaarevuussäde R ja renkaiden kitkakerroin tiellä k?

Painovoima vaikuttaa autoon m g, reaktiovoima N, suunnattu kohtisuoraan radan tasoon nähden, ja kitkavoima F tp suunnattu radalle (kuva 6).

Koska meitä ei kiinnosta tämä tapaus, autoon vaikuttavien voimien momentit, olemme vetäneet kaikki voimat, jotka kohdistuvat auton painopisteeseen. Kaikkien voimien vektorisumma on suunnattava kohti sen ympyrän keskustaa, jota pitkin auto liikkuu, ja annettava sille keskikiihtyvyys. Siksi voimien projektioiden summa keskustaan ​​(vaakasuuntaan) on , eli

Kaikkien pystysuuntaisten voimien projektioiden summa on nolla:

N cos α - m g – F t p sinα = 0.

Korvaamalla näihin yhtälöihin kitkavoiman suurin mahdollinen arvo F tp = k N ja ilman voimaa N, etsi suurin nopeus , jolla tällaista rataa pitkin on edelleen mahdollista liikkua. Tämä lauseke on aina suurempi kuin vaakasuuntaista tietä vastaava arvo.

Kun on käsitelty pyörimisen dynamiikkaa, siirrytään pystytasossa pyörivän liikkeen ongelmiin.

Tehtävä 8. massaauto m= 1,5 t liikkuu nopeudella υ = 70 km/h kuvan 7 tiellä. Tieosuudet AB ja Aurinko voidaan pitää säteisten ympyröiden kaareina R= 200 m koskettavat toisiaan jossakin pisteessä AT. Määritä auton painevoima tiellä pisteinä MUTTA ja Kanssa. Kuinka painevoima muuttuu, kun auto ohittaa pisteen AT?

Pisteessä MUTTA painovoima vaikuttaa autoon R = m g ja tien vastavoimat N A. Näiden voimien vektorisumma on suunnattava ympyrän keskipisteeseen eli pystysuoraan alaspäin ja saatava aikaan keskikiihtyvyys: , mistä (H). Auton painevoima tiellä on suuruudeltaan yhtä suuri ja suunnaltaan päinvastainen kuin reaktiovoima. Pisteessä Kanssa voimien vektorisumma on suunnattu pystysuunnassa ylöspäin: ja (H). Kohdassa siis MUTTA painevoima on pienempi kuin painovoima, ja pisteessä Kanssa- enemmän.

Pisteessä AT auto siirtyy tien kuperalta osalta koveralle (tai päinvastoin). Kuperalla osuudella ajettaessa painovoiman projektion keskustaan ​​päin tulee ylittää tien reaktiovoima HUOM 1 ja . Ajettaessa koveralla tienosuudella, päinvastoin, tien reaktiovoima N B 2 toimii paremmin kuin painovoiman projektio: .

Näistä yhtälöistä saamme sen, kun kuljemme pisteen läpi AT auton painevoima tiellä muuttuu äkillisesti arvolla ≈ 6·10 3 N. Tietenkin tällaiset iskukuormat vaikuttavat tuhoisasti sekä autoon että tielle. Siksi tiet ja sillat pyrkivät aina saamaan kaarevuuden muuttumaan sujuvasti.

Kun auto liikkuu ympyrää pitkin vakionopeudella, kaikkien voimien projektioiden summan ympyrän tangentin suunnassa on oltava nolla. Meidän tapauksessamme painovoiman tangentiaalinen komponentti tasapainotetaan auton pyörien ja tien välisellä kitkavoimalla.

Kitkavoiman suuruutta säätelee moottorin pyöriin kohdistama vääntömomentti. Tämä hetki saa pyörät luisumaan suhteessa tiehen. Tästä syystä syntyy kitkavoima, joka estää liukumisen ja on verrannollinen kohdistettuun momenttiin. Kitkavoiman suurin arvo on k N, missä k on auton renkaiden ja tien välinen kitkakerroin, N- tielle kohdistuva painevoima. Kun auto liikkuu alaspäin, kitkavoimalla on jarrutusvoiman rooli, ja ylöspäin liikkuessa vetovoiman roolia.

Tehtävä 9. Ajoneuvon massa m= 0,5 t, liikkuu nopeudella υ = 200 km/h, muodostaa säteen "kuolleen silmukan" R= 100 m (kuva 8). Määritä auton painevoima tiellä silmukan yläosassa MUTTA; pisteessä AT, jonka sädevektori muodostaa kulman α = 30º pystysuoran kanssa; pisteessä Kanssa jossa auton nopeus on suunnattu pystysuoraan. Onko mahdollista, että auto liikkuu silmukkaa pitkin niin vakionopeudella renkaiden kitkakertoimella tiellä k = 0,5?

Silmukan yläosassa painovoima ja tien reaktiovoima N A suunnattu pystysuoraan alaspäin. Näiden voimien summa luo keskikiihtyvyyden: . Niin N.

Auton painevoima tiellä on suuruudeltaan yhtä suuri ja vastakkainen voiman kanssa N A.

Pisteessä AT keskikiihtyvyys syntyy reaktiovoiman ja painovoiman projektion summasta suuntaan kohti keskustaa: . Täältä N.

Se on helppo nähdä NB > N A; kulman α kasvaessa tien reaktiovoima kasvaa.

Pisteessä Kanssa reaktiovoima H; keskikiihtyvyys syntyy tässä kohdassa vain reaktiovoiman vaikutuksesta ja painovoima on suunnattu tangentiaalisesti. Liikuttaessa silmukan alaosaa pitkin reaktiovoima ylittää myös maksimiarvon H-reaktiovoimalla on pisteessä D. Merkitys , on siis reaktiovoiman minimiarvo.

Auton nopeus on vakio, jos painovoiman tangentiaalinen komponentti ei ylitä suurinta kitkavoimaa k N kaikissa silmukan kohdissa. Tämä ehto täyttyy varmasti, jos vähimmäisarvo ylittää painovoiman tangentiaalisen komponentin maksimiarvon. Meidän tapauksessamme tämä maksimiarvo on yhtä suuri kuin m g(se saavutetaan pisteessä Kanssa), ja ehto täyttyy k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

Näin ollen meidän tapauksessamme auton liikkuminen "kuollutta silmukkaa" pitkin vakionopeudella on mahdollista.

Harkitse nyt auton liikettä "kuollutta silmukkaa" pitkin moottorin ollessa sammutettuna. Kuten jo todettiin, yleensä kitkavoiman momentti vastustaa moottorin pyöriin kohdistamaa momenttia. Kun auto liikkuu moottorin ollessa sammutettuna, tämä momentti puuttuu ja auton pyörien ja tien välinen kitkavoima voidaan jättää huomiotta.

Auton nopeus ei ole enää vakio - painovoiman tangentiaalinen komponentti hidastaa tai nopeuttaa auton liikettä "kuollutta silmukkaa" pitkin. Keskipetaalinen kiihtyvyys myös muuttuu. Se syntyy, kuten tavallista, tien tuloksena oleva reaktiovoima ja painovoiman projektio suuntaan kohti silmukan keskustaa.

Tehtävä 10. Mikä on auton vähimmäisnopeus silmukan alareunassa D(katso kuva 8) moottorin ollessa sammutettuna? Mikä on auton painevoima tiellä pisteessä AT? Silmukan säde R= 100 m, ajoneuvon paino m= 0,5 t.

Katsotaanpa, mikä on pienin nopeus, joka autolla voi olla silmukan huipulla MUTTA jatkaaksesi liikkumista ympyrän ympäri?

Keskipetaalinen kiihtyvyys tien kyseisessä kohdassa syntyy painovoiman ja tien reaktiovoiman summasta . Mitä pienempi auton nopeus, sitä pienempi reaktiovoima. N A. Arvolla tämä voima katoaa. Hitaammalla nopeudella painovoima ylittää keskikiihtyvyyden luomiseen tarvittavan arvon ja auto nousee tieltä. Nopeudessa tien reaktiovoima katoaa vain silmukan huipulla. Itse asiassa auton nopeus muissa silmukan osissa on suurempi, ja kuten edellisen ongelman ratkaisusta on helppo nähdä, myös tien reaktiovoima on suurempi kuin pisteessä MUTTA. Siksi, jos silmukan yläosassa olevalla autolla on nopeus, se ei poistu silmukasta minnekään.

Nyt määritetään, mikä nopeus autolla pitäisi olla silmukan alaosassa D silmukan yläosaan MUTTA hänen nopeuttaan. Nopeuden υ löytämiseksi D voit käyttää energian säilymisen lakia, ikään kuin auto liikkuisi vain painovoiman vaikutuksesta. Tosiasia on, että tien reaktiovoima kulloinkin on suunnattu kohtisuoraan auton liikettä vastaan, ja siksi sen työ on nolla (muista, että työ Δ A = F·Δ s cos α, missä α on voiman välinen kulma F ja liikesuunta Δ s). Auton pyörien ja tien välinen kitkavoima moottorin ollessa sammutettuna voidaan jättää huomiotta. Siksi auton potentiaalin ja kineettisen energian summa ajettaessa moottorin ollessa sammutettuna ei muutu.

Yhdistäkäämme auton energian arvot pisteisiin MUTTA ja D. Tässä tapauksessa laskemme korkeuden pisteen tasolta D, eli auton potentiaalienergia tässä vaiheessa katsotaan nollaksi. Sitten saamme

Korvaa tässä halutun nopeuden υ arvo D, löydämme: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Jos auto ajaa silmukkaan tällä nopeudella, se pystyy suorittamaan sen loppuun moottorin ollessa sammutettuna.

Määritetään nyt, millä voimalla auto painaa tiellä pisteessä AT. Ajoneuvon nopeus pisteessä AT taas on helppo löytää energian säilymisen laista:

Korvaamalla arvon tässä huomaamme, että nopeus .

Edellisen tehtävän ratkaisua käyttämällä löydämme tietylle nopeudelle painevoiman pisteessä B:

Vastaavasti voit löytää painevoiman mistä tahansa muusta "kuolleen silmukan" kohdasta.

Harjoitukset

1. Etsi keinotekoisen maapallon satelliitin kulmanopeus, joka pyörii ympyräradalla kierrosjakson aikana T= 88 min. Etsi tämän satelliitin lineaarinen nopeus, jos tiedetään, että sen kiertorata sijaitsee etäisyyden päässä R= 200 km maanpinnasta.

2. Levyn säde R sijoitettu kahden yhdensuuntaisen tangon väliin. Kiskot liikkuvat nopeuksilla υ 1 ja υ 2. Määritä kiekon kulmanopeus ja sen keskipisteen nopeus. Liukastumista ei ole.

3. Levy rullaa vaakasuoralla pinnalla luistamatta. Osoita, että pystyhalkaisijapisteiden nopeusvektorien päät ovat samalla suoralla.

4. Taso liikkuu ympyrässä tasaisella vaakanopeudella υ = 700 km/h. Määritä säde R tämä ympyrä, jos ilma-aluksen runko on kalteva kulmassa α = 5°.

5. Massakuorma m\u003d 100 g, ripustettuna pituuteen l= 1 m, pyörii tasaisesti ympyrässä vaakatasossa. Laske kuorman pyörimisjakso, jos kierre poikkeaa sen pyöriessä pystysuunnassa kulman α = 30° verran. Määritä myös langan kireys.

6. Auto liikkuu nopeudella υ = 80 km/h säteisen pystysylinterin sisäpintaa pitkin R= 10 m vaakasuuntaisessa ympyrässä. Millä minimikitkakertoimella auton renkaiden ja sylinterin pinnan välillä tämä on mahdollista?

7. Massakuorma m ripustettu venymättömään kierteeseen, jonka suurin mahdollinen jännitys on 1,5 m g. Missä suurimmassa kulmassa α kierre voi poiketa pystysuorasta, jotta lanka ei katkea kuorman jatkoliikkeen aikana? Mikä on langan kireys hetkellä, kun lanka muodostaa kulman α/2 pystysuoran kanssa?

Vastaukset

I. Keinotekoisen maasatelliitin kulmanopeus ≈ 0,071 rad/s. Satelliitin lineaarinen nopeus υ = ω· R. missä R on kiertoradan säde. Korvaa täällä R = R 3 + h, missä R 3 ≈ 6400 km, löydämme υ ≈ 467 km/s.

2. Tässä on kaksi tapausta mahdollista (kuva 1). Jos kiekon kulmanopeus on ω ja sen keskipisteen nopeus on υ, kiskojen kanssa kosketuksissa olevien pisteiden nopeudet ovat vastaavasti yhtä suuret kuin

tapauksessa a) υ 1 = υ + ω R, υ2 = υ - ω R;

tapauksessa b) υ 1 = υ + ω R, υ2 = ω R – υ.

(Olemme varmuuden vuoksi, että υ 1 > υ 2). Ratkaisemalla nämä järjestelmät löydämme:

a)

b)

3. Minkä tahansa pisteen nopeus M makaa segmentillä OV(katso kuva 2) saadaan kaavalla υ M = υ + ω· rM, missä rM-etäisyys pisteestä M levyn keskelle O. Mihin tahansa kohtaan N segmenttiin kuuluvaa OA, meillä on: υ N = υ – ω· rN, missä r N-etäisyys pisteestä N keskustaan. Merkitään ρ:llä etäisyys mistä tahansa halkaisijan pisteestä VA asiaan MUTTA levyn kosketus tasoon. Sitten se on selvää rM = ρ – R ja r N = R – ρ = –(ρ – R). missä R on levyn säde. Siksi halkaisijan minkä tahansa pisteen nopeus VA löytyy kaavasta: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Koska kiekko rullaa luistamatta, niin nopeudelle υ ρ saadaan υ ρ = ω · ρ. Tästä seuraa, että nopeusvektorien päät ovat pisteestä lähtevällä suoralla MUTTA ja kalteva halkaisijaan nähden VA kulmassa, joka on verrannollinen kiekon pyörimiskulmanopeuteen ω.

Todistettu lausunto antaa meille mahdollisuuden päätellä, että halkaisijalla sijaitsevien pisteiden monimutkainen liike VA, voidaan katsoa milloin tahansa yksinkertaisena kiertona kiinteän pisteen ympäri MUTTA kulmanopeudella ω, joka on yhtä suuri kuin pyörimisen kulmanopeus kiekon keskustan ympärillä. Todellakin, kullakin hetkellä näiden pisteiden nopeudet suunnataan kohtisuoraan halkaisijaan nähden VA, ja ovat suuruudeltaan yhtä suuria kuin ω:n ja pisteen etäisyyden tulo MUTTA.

Osoittautuu, että tämä väite pitää paikkansa missä tahansa levyn kohdassa. Lisäksi se on yleinen sääntö. Jokaisella jäykän kappaleen liikkeellä on joka hetki akseli, jonka ympäri keho yksinkertaisesti pyörii - hetkellinen pyörimisakseli.

4. Tasoon vaikuttaa painovoima (katso kuva 3). R = m g ja nostovoima N, suunnattu kohtisuoraan siipien tasoon nähden (koska lentokone liikkuu vakionopeudella, työntövoima ja ilman vastusvoima tasapainottavat toisiaan). Tuloksena oleva voima R

6. Painovoima vaikuttaa autoon (kuva 5). R = m g, reaktiovoima sylinterin sivulta N ja kitkavoimaa F tp . Koska auto liikkuu vaakasuuntaisessa ympyrässä, voimat R ja F tp tasapainottavat toisiaan ja voimaa N luo keskipitkän kiihtyvyyden. Kitkavoiman maksimiarvo on suhteessa reaktiovoimaan N suhde: F tp = k N. Tuloksena saamme yhtälöjärjestelmän: , josta saadaan kitkakertoimen minimiarvo

7. Kuorma liikkuu sädettä pitkin l(Kuva 6). Kuorman keskikiihtyvyys (υ - kuorman nopeus) syntyy langan jännitysvoiman arvojen erosta T ja painovoimaprojektiot m g langan suunta: . Niin , jossa β on kierteen muodostama kulma pystysuoran kanssa. Kun kuorma laskee, sen nopeus kasvaa ja kulma β pienenee. Langan kireys tulee suurimmaksi kulmassa β = 0 (hetkellä, kun lanka on pystysuorassa): . Kuorman maksiminopeus υ 0 saadaan kulmasta α, jolla kierre taipuu, energian säilymisen laista:

Käyttämällä tätä suhdetta langan kireyden enimmäisarvolle saamme kaavan: T max = m g(3 – 2 cos α). Tehtävän mukaan T m ax = 2m g. Yhtälöimällä nämä lausekkeet saadaan cos α = 0,5 ja siten α = 60°.

Määritetään nyt langan kireys kohdassa . Kuorman nopeus tällä hetkellä löytyy myös energian säilymisen laista:

Korvaamalla arvon υ 1 jännitysvoiman kaavaan saadaan:

Ongelmia ratkaisuissa ja vastauksissa harjoituksiin

Pyörä, jonka massa on M ja säde r, rullaa liukumatta pitkin suoraa vaakasuoraa kiskoa. Määritä pyörän massakeskipisteen kautta kohtisuorassa liiketasoon nähden kulkevan akselin ympärillä olevien hitausvoimien päävektori ja päämomentti. Harkitse pyörää kiinteänä homogeenisena levynä. Massakeskipiste liikkuu lain xC=at2/2 mukaan, jossa a on vakio positiivinen arvo Määritä planeettamekanismin liikkuvan pyörän 2 päävektori ja hitausvoimien päämomentti suhteessa sen läpi kulkevaan akseliin massakeskipiste kohtisuorassa liiketasoon nähden. OC-kampi pyörii tasaisella kulmanopeudella. Pyörän 2 massa on yhtä suuri kuin M. Pyörien säteet ovat r. Homogeenisen ohuen tangon AB, jonka pituus on 2l ja massa M, pää A liikkuu vaakasuoraa ohjainta pitkin pysäyttimen E avulla vakionopeudella v , ja sauva lepää aina kulmassa D. Määritä päävektori ja voimien sauvan hitausmomentti suhteessa akseliin, joka kulkee tangon massakeskipisteen C kautta kohtisuorassa liiketasoon nähden kulmasta φ riippuen. edelliseen tehtävään, määritä tangon dynaaminen paine ND kulmassa D. Johdinauton hidastuvuuden kokeelliseen määrittämiseen käytetään nestemäistä kiihtyvyysmittaria, joka koostuu kaarevasta putkesta, joka on täytetty öljyllä ja sijaitsee pystytasossa. Määritä johdinauton hidastuvuus jarrutuksen aikana, jos samalla nestepinta putken liikkeen suuntaisessa päässä nousee arvoon h2 ja vastakkaisessa päässä laskee h1:een. α1=α2=45°, h1=25 mm, h2=75 mm Millä kiihtyvyydellä prisman tulee liikkua vaakatasossa, jonka sivupinta muodostaa horisontin kanssa kulman α niin, että sivussa oleva kuorma pinta ei liiku suhteessa prismaan? tutkii nopeasti vaihtelevien veto- ja puristusvoimien vaikutusta metallitankoon (väsymistesti), testitanko A on kiinnitetty yläpäästä kampimekanismin BCO liukusäätimeen B, ja alapäähän on ripustettu paino M. Laske tangon vetovoima siinä tapauksessa, että kampi OC pyörii akselin O ympäri vakiokulmanopeudella. Määritä painelaakerin A ja laakerin B tukireaktiot kiertonosturista nostettaessa kuormaa E, jonka massa on 3 tonnia (1/3)g:n kiihtyvyydellä. Nosturin massa on 2 tonnia ja sen massakeskipiste on pisteessä C. Vaunun D massa on 0,5 t. Nosturi ja vaunu ovat paikallaan. Selvitä painelaakerin A ja laakerin B tukireaktiot edellisessä tehtävässä tarkasteltu pyörivä nosturi, kun vaunu liikkuu vasemmalle 0,5g kiihtyvyydellä ilman kuormaa E. Vaunun massakeskipiste on tukitasolla B. Lautalle ajaa 7 tonnin rekka, joka on sidottu rantaan kahdella rinnakkaisella köydellä nopeudella 12 km/h; jarrut pysäyttävät trukin 3 m. Olettaen, että pyörien kitkavoima lauttakannella on vakio, määritä köysien kireys. Jätä huomioimatta lautan massa ja kiihtyvyys Auto, jonka massa on M, liikkuu suorassa linjassa kiihtyvyydellä w. Määritä auton etu- ja takapyörien pystypaine, jos sen massakeskipiste C on korkeudella h maanpinnasta. Auton etu- ja taka-akselin etäisyydet massakeskipisteen kautta kulkevasta pystysuorasta ovat a ja b vastaavasti. Ohita pyörien massat. Miten auton tulisi liikkua niin, että etu- ja takapyörien paineet ovat samat? Millä kiihtyvyydellä w M1-massainen kuorma putoaa nostamalla M2-massaista kuormaa kuvassa näkyvällä ketjunostimella? Mikä on kuorman M1 tasaisen liikkeen ehto? Jätä huomioimatta lohkojen ja kaapelin massat Sileä kiila, jonka massa on M ja jonka kulma on 2α huipussa, työntää kahta levyä, joiden massa on M1, tasaisella vaakasuoralla pöydällä. Kirjoita kiilan ja levyjen liikeyhtälöt ja määritä kiilan puristusvoima kumpaankin levyyn. M1-massainen paino A putoaa alaspäin liikkeelle painon B, jonka massa on M2 heitetyn venymättömän kierteen avulla. kiinteän lohkon C yli. Määritä pöydän D painevoima lattiaan, jos sen massa on M3. Jätä langan massa huomioimatta. Kaltevaa tasoa D alaspäin laskeva kuorma A, joka laskee alaspäin kaltevaa tasoa D ja muodostaa horisontin kanssa kulman α, saa aikaan M2-massaisen kuorman B kiinteän kappaleen C yli heitetyn venymättömän kierteen avulla. . Määritä kaltevan tason D paineen vaakakomponentti lattiaulokkeessa E. Jätä kierteen massa huomioimatta Homogeeninen tanko, jonka massa on M ja pituus l, pyörii vakiokulmanopeudella ω kiinteän pystyakselin ympäri, joka on kohtisuorassa tankoon nähden ja kulkee sen pään läpi. Määritä vetovoima tangon poikkileikkauksessa etäisyydellä a pyörimisakselista Homogeeninen suorakaiteen muotoinen levy, jonka massa on M, pyörii tasaisesti pystyakselin ympäri kulmanopeudella ω. Määritä levyä repäistävä voima pyörimisakselin kanssa kohtisuorassa suunnassa pyörimisakselin läpi kulkevassa osassa Tasainen pyöreä kiekko, jonka säde on R ja massa M, pyörii vakiokulmanopeudella ω pystyhalkaisijansa ympäri. Määritä kiekon halkaisijaa pitkin repeytyvä voima. Ohut suoraviivainen homogeeninen sauva, jonka pituus on l ja massa M, pyörii vakiokulmanopeudella ω kiinteän pisteen O ympäri (palloliitos), mikä kuvaa kartiomaista pintaa, jonka akseli on OA ja kärkipiste pisteessä O . Laske tangon poikkeamakulma pystysuunnasta sekä tangon saranaan O kohdistuvan paineen arvo N. Keskipakotakometrissä kaksi ohutta tasaista suoraa tankoa, joiden pituus on a ja b, on liitetty jäykästi yhteen suora kulma, jonka yläosa O on kääntyvästi yhdistetty pystysuoraan akseliin; akseli pyörii vakiokulmanopeudella ω. Selvitä ω:n ja a pituisen tangon suunnan ja pystysuoran taipumakulman välinen suhde Ohut tasainen suora tanko AB on kääntyvästi yhdistetty pystyakseliin pisteessä O. Akseli pyörii vakionopeudella ω. Määritä tangon poikkeamakulma φ pystysuorasta, jos OA=a ja OB=b. laakerien etäisyydet pyörästä ovat keskenään yhtä suuret. Selvitä laakereihin kohdistuvat painevoimat, kun akseli tekee 1200 rpm. Vauhtipyörän symmetriataso on kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden. Homogeeninen pyöreä kiekko, jonka massa on M, pyörii tasaisesti kulmanopeudella ω kiinteän akselin ympäri, joka sijaitsee kiekon tasossa ja on etäisyyden päässä sen massakeskipisteestä C. OC=a. Määritä dynaamisen akselipaineen voimat painelaakeriin A ja laakeriin B, jos OB=OA. X- ja y-akselit ovat poikkeuksetta yhteydessä levyyn Ratkaise edellinen tehtävä olettaen, että vastusvoimien läsnä ollessa kiekon kulmanopeus pienenee lain ω=ω0-ε0t mukaan, missä ω0 ja ε0 ovat positiivisia vakioi kaksi kuormaa C ja D kahden tangon OC=OD=r avulla, jotka ovat kohtisuorassa akseliin AB nähden ja lisäksi keskenään kohtisuorassa. Määritä akselin AB dynaamisen paineen voimat painelaakeriin A ja laakeriin B. Tarkastellaan painoja C ja D massan M materiaalipisteinä. Ohita sauvojen massat. Alkuhetkellä järjestelmä oli levossa. X- ja y-akselit on liitetty jäykästi tankoihin. Tanko AB, jonka pituus on 2l ja jonka päissä on yhtä suuret painot M, pyörii tasaisesti kulmanopeudella ω pystyakselin Oz ympäri kulkevan keskikohdan O läpi. tangon pituus. Pisteen O etäisyys laakerista C on a, painelaakerista D on b. Tangon AB ja akselin Oz välinen kulma pysyy vakiona α. Jättäen huomioimatta tangon massaa ja painojen mitat, määritä laakeriin C ja painelaakeriin D kohdistuvien painevoimien projektiot sillä hetkellä, kun tanko on Oyz-tasossa. Ha akselin AB päät laitetaan kahdelle identtiselle kammelle AC ja BD, joiden pituus on l ja massa M1, kiilattu 180° kulmaan toisiinsa nähden. Akseli AB, jonka pituus on 2a ja massa M2, pyörii vakiokulmanopeudella ω laakereissa E ja F, jotka sijaitsevat symmetrisesti 2b etäisyydellä toisistaan. Määritä laakereiden painevoimat NE ja NF, kun AC-kammi osoittaa pystysuoraan ylöspäin. Kunkin kammen massan katsotaan jakautuneen tasaisesti sen akselilla.Vakiokulmanopeudella ω pyörivään vaaka-akseliin AB on kiinnitetty kaksi samanpituista l-pituista sauvaa, jotka ovat kohtisuorassa keskenään kohtisuorassa tasossa. Tankojen päissä on pallot D ja E, joiden massa on m. Määritä akselin dynaamisen paineen voimat tukiin A ja B. Tarkastellaan palloja materiaalipisteinä; Jätä sauvojen massat huomioimatta Kaksi tankoa on jäykästi kiinnitetty pystysuoraan akseliin AB, joka pyörii vakiokulmanopeudella ω. Tanko OE muodostaa kulman φ akselin kanssa, tangon OD on kohtisuorassa akselin AB ja tangon OE sisältävään tasoon nähden. Annetut mitat: OE=OD=l, AB=2a. Tankojen päihin on kiinnitetty kaksi palloa E ja D, joiden massa on m. Määritä akselin dynaamiset painevoimat tukiin A ja B. Tarkastellaan palloja D ja E pistemassoina; jätä tankojen massat huomioimatta Määritä tehtävän 34.1 ehdon avulla kampiakselin dynaamiset painevoimat laakereihin K ja L. Akseli pyörii tasaisesti kulmanopeudella ω Homogeeninen tanko KL, kiinnitetty keskelle kulmassa α pystyakseliin AB, pyörii tasaisesti kiihdytettynä tämän akselin ympäri kulmakiihtyvyydellä ε. Määritä akselin AB dynaamisen paineen voimat painelaakeriin A ja laakeriin B, jos: M on tangon massa, 2l on sen pituus, OA=OB=h/2; OK=OL=l. Alkuhetkellä järjestelmä oli levossa Homogeeninen suorakaiteen muotoinen levy OABD, jonka massa on M sivuilla a ja b, joka on kiinnitetty sivulla OA akseliin OE, pyörii vakiokulmanopeudella ω. Tukien välinen etäisyys OE=2a. Laske akselin dynaamisen paineen sivuvoimat tukiin O ja E. Suora homogeeninen pyöreä sylinteri, jonka massa on M, pituus 2l ja säde r pyörii vakiokulmanopeudella massakeskipisteen O läpi kulkevan pystyakselin Oz ympäri sylinterin; sylinterin akselin Oζ ja akselin Oz välinen kulma säilyttää vakioarvon α. Painelaakerin ja laakerin välinen etäisyys H1H2 on yhtä suuri kuin h. Määritä niihin kohdistuvat sivuttaispainevoimat. Laske painevoimat laakereissa A ja B höyryturbiinin homogeenisen ohuen pyöreän kiekon CD pyöriessä akselin AB ympäri olettaen, että akseli AB kulkee kiekon keskipisteen O läpi, mutta holkin väärään kalvaukseen se tekee kulman AOE kohtisuoran levytason kanssa =α=0,02 rad. Annettu: kiekon massa on 3,27 kg, sen säde on 20 cm, kulmanopeus vastaa 30 000 rpm, etäisyys AO=50 cm, OB=30 cm; akselin AB katsotaan olevan ehdottoman jäykkä ja sin 2α=2α. Höyryturbiinin pyöreän kiekon epätarkan asennuksen seurauksena kiekon taso muodostaa kulman α akselin AB kanssa, eikä kiekon massakeskipiste C ole tällä akselilla. Epäkeskisyys OC=a. Laske laakereihin A ja B kohdistuvat dynaamisen paineen sivuvoimat, jos kiekon massa on M, sen säde on R ja AO=OB=h; kiekon kulmanopeus on vakio

Etsi Maan lineaarinen nopeus v sen kiertoradalla. Maan kiertoradan keskimääräinen säde R\u003d 1,5 10 8 km.

Vastaus ja ratkaisu

v≈ 30 km/s.

v = 2πR/(365 24 60 60).

Lentokoneen potkuri, jonka säde on 1,5 m, pyörii laskeutumisen aikana taajuudella 2000 min -1, lentokoneen laskeutumisnopeus suhteessa maahan on 162 km/h. Määritä potkurin päässä olevan pisteen nopeus. Mikä on tämän pisteen liikerata?

Vastaus ja ratkaisu

v≈ 317 m/s. Piste potkurin päässä kuvaa heliksiä, jossa on nousu h≈ 1,35 m.

Lentokoneen potkuri pyörii taajuudella:

λ = 2000/60 s -1 = 33,33 s -1.

Potkurin päässä olevan pisteen lineaarinen nopeus:

v lin = 2 πRλ≈ 314 m/s.

Lentokoneen laskeutumisnopeus v= 45 m/s.

Tuloksena oleva pisteen nopeus potkurin päässä on yhtä suuri kuin potkurin pyörimisen aikana vallitsevan lineaarisen nopeuden ja ilma-aluksen nopeuden laskun aikana vektorien summa:

v leikkaus = ≈ 317 m/s.

Kierteisen liikeradan askel on yhtä suuri kuin:

h = v/λ ≈ 1,35 m.

Levyn säde R rullaa luistamatta tasaisella nopeudella v. Etsi levyltä niiden pisteiden sijainti, joilla on tällä hetkellä nopeus v.

Vastaus

Niiden pisteiden sijainti levyllä, joilla on nopeus v tällä hetkellä on kaaren säde R, jonka keskipiste on levyn kosketuspisteessä tason kanssa, ts. hetkellisen pyörimiskeskuksen kohdalla.

Sylinterimäisen rullan säde R sijoitettu kahden yhdensuuntaisen tangon väliin. Reiki liikkuu yhteen suuntaan nopeuksilla v 1 ja v 2 .

Määritä rullan pyörimiskulmanopeus ja sen keskipisteen nopeus, jos luistoa ei ole. Ratkaise ongelma tapaukselle, jossa kiskojen nopeudet suuntautuvat eri suuntiin.

Vastaus

; .

Rullaa vaakatasossa liukumatta tasaisella nopeudella v vanteen säteellä R. Mitkä ovat vanteen eri pisteiden nopeudet ja kiihtyvyydet suhteessa maahan? Ilmaise nopeus pystysuoran ja kehän kosketuspisteen tason ja kehän tietyn pisteen välisen suoran kulman funktiona.

Vastaus

v A=2 v C cos α . Vanteen pisteiden kiihtyvyys sisältää vain keskipitkän komponentin, joka on yhtä suuri kuin a c = v 2 /R.

Auto liikkuu vauhdilla v= 60 km/h. Millä taajuudella n sen pyörät pyörivät, jos ne vierivät valtatietä pitkin luistamatta, ja pyörien renkaiden ulkohalkaisija on d= 60 cm? Etsi keskipetaalinen kiihtyvyys a tss-ulompi kumikerros sen pyörien renkaissa.

Vastaus

n≈ 8,84 s-1; a c ≈ 926 m/s 2.

Ohutseinämäinen sylinteri asetetaan vaakasuoralle tasolle, joka pyörii nopeudella v 0 akselinsa ympäri. Mikä on sylinterin akselin liikenopeus, kun sylinterin liukuminen tasoon nähden pysähtyy?

Vastaus

v = v 0 /2.

Toimiiko kaikkien voimien resultantti, joka kohdistuu tasaisesti ympyrässä liikkuvaan kappaleeseen?

Vastaus

Massan kuormitus m voi liukua ilman kitkaa vaakatasossa, joka pyörii pystyakselin ympäri, joka kulkee sen yhden pään läpi. Kuorma on yhdistetty tangon tähän päähän jousella, jonka kimmokerroin on k. Millä kulmanopeudella ω Venytyykö jousi 50 prosenttiin alkuperäisestä pituudestaan?

Vastaus

Kahden pisteen massat m 1 ja m 2 on kiinnitetty lankaan ja ovat täysin tasaisella pöydällä. Etäisyydet niistä langan kiinteään päähän ovat l 1 ja l 2 vastaavasti.

Järjestelmä pyörii vaakatasossa kiinteän pään läpi kulkevan akselin ympäri kulmanopeudella ω . Selvitä langan osien jännitysvoimat T 1 ja T 2 .

Vastaus

T 1 = (m 1 l 1 +m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Mies istuu pyöreän vaakatason reunalla, jonka säde on R\u003d 4 m. Millä taajuudella n lavan tulee pyöriä pystyakselin ympäri, jotta henkilö ei voi pysyä sillä kitkakertoimella k=0,27?

Vastaus

n= 6,75 min-1.

kehomassa m sijaitsee vaakasuuntaisella levyllä etäisyyden päässä r akselilta. Levy alkaa pyöriä hitaasti. Muodosta kuvaaja säteittäisen kitkavoiman runkoon vaikuttavan komponentin riippuvuudesta kiekon pyörimiskulman kulmanopeudesta. Millä levyn kulmanopeuden arvolla kappale alkaa liukua?

Vastaus

Massa kivi m=0,5 kg, sidottu köyden pituuteen l=50 cm, pyörii pystytasossa. Köyden jännitys, kun kivi ohittaa ympyrän alimman pisteen T\u003d 44 N. Mihin korkeuteen h Nouseeko kivi ympyrän alimman pisteen yläpuolelle, jos köyttä katkaistaan ​​sen nopeuden ollessa suunnattu pystysuoraan ylöspäin?

Vastaus

h≈ 2 m.

Urheilija lähettää vasaran (kaapelin ytimen) kauas l\u003d 70 m lentorataa pitkin, joka tarjoaa suurimman heittoalueen. Mikä vahvuus T vaikuttaa urheilijan käsiin heittohetkellä? Vasaran paino m= 5 kg. Oletetaan, että urheilija kiihdyttää vasaraa pyörittämällä sitä pystytasossa säteisen ympyrän ympäri R\u003d 1,5 m. Ilmanvastusta ei oteta huomioon.

Vastaus

T≈ 2205 N.

Ajoneuvon massa M\u003d 3 * 10 3 kg liikkuu tasaisella nopeudella v\u003d 36 km / h: a) vaakasuoraa siltaa pitkin; b) kuperaa siltaa pitkin; c) koveraa siltaa pitkin. Sillan kaarevuussäde kahdessa viimeisessä tapauksessa R\u003d 60 m. Millä voimalla auto painaa siltaa (kahdessa viimeisessä tapauksessa) sillä hetkellä, kun sillan kaarevuuskeskuksen autoon yhdistävä viiva muodostaa kulman α = 10° pystysuoralla?

Vastaus

a) F 1 ≈ 29400 N; b) F 2 ≈ 24 000 N; sisään) F 3 ≈ 34 000 N.

Kuperalla sillalla, jonka kaarevuussäde R= 90 m, nopeudella v= 54 km/h massaauto m\u003d 2 t. Sillan kohdassa suunta, johon sillan kaarevuuskeskipisteestä muodostaa kulman sillan huipulle suuntautuvan suunnan kanssa α , auto painaa voimalla F= 14 400 N. Määritä kulma α .

Vastaus

α ≈ 8,5º.

Pallon massa m= 100 g ripustettuna pituuteen l\u003d 1 m. Palloa pyöritettiin niin, että se alkoi liikkua ympyrässä vaakatasossa. Tässä tapauksessa langan muodostama kulma pystysuoran kanssa, α = 60°. Määritä pallon pyörityksessä tehty kokonaistyö.

Vastaus

A≈ 1,23 J.

Mikä on suurin nopeus, jonka auto voi ajaa kaarteessa, jolla on kaarevuussäde? R\u003d 150 m, jotta se ei "luisu", jos liukurenkaiden kitkakerroin tiellä k = 0,42?

Vastaus

v≈ 89 km/h.

1. Mikä pitäisi olla suurin liukukitkakerroin k auton renkaiden ja asfaltin väliin, jotta auto pääsee ohittamaan pyöristyssäteen R= 200 m nopeudella v= 100 km/h?

2. Nelivetoinen auto, joka lähtee liikkeelle, kiihtyy tasaisesti vauhtiin liikkuen pitkin vaakasuuntaista tieosuutta, joka on ympyrän kaari α = 30° säde R= 100 m. Millä maksiminopeudella auto voi ajaa suoralle radalle? Pyörän kitkakerroin maassa k = 0,3.

Vastaus

1. k ≈ 0,4.

2. v≈ 14,5 m/s.

Juna liikkuu kaarretta pitkin säteellä R= 800 m nopeudella v= 12 km/h. Määritä kuinka paljon ulkokiskon on oltava korkeampi kuin sisäkisko, jotta pyöriin ei kohdistu sivuttaisvoimaa. Kiskojen välinen vaakasuora etäisyys on yhtä suuri kuin d= 1,5 m.

Vastaus

∆h≈ 7,65 cm.

Moottoripyöräilijä ajaa vaakasuuntaista tietä nopeudella 72 km/h ja tekee käännöksen, jonka kaarevuussäde on 100 m.

Vastaus

1. Mikä on suurin nopeus v moottoripyöräilijä voi ajaa vaakatasossa kuvaamalla kaaria, jolla on säde R= 90 m, jos liukukitkakerroin k = 0,4?

2. Missä kulmassa φ pitäisikö sen poiketa pystysuunnasta?

3. Mikä on moottoripyöräilijän suurin nopeus, jos hän ajaa kaltevalla radalla, jossa on kallistuskulma α = 30° samalla kaarevuussäteellä ja kitkakertoimella?

4. Mikä tulee olla radan kaltevuuskulma α 0, jotta moottoripyöräilijän nopeus voi olla mielivaltaisen suuri?

Vastaus

1. v≈ 18,8 m/s. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v max ≈ 33,5 m/s. 4. α 0 = arctg(1/ k).

Lentokone tekee käännöksen liikkuen ympyrän kaarta pitkin vakionopeudella v= 360 km/h. Määritä säde R tämä ympyrä, jos ilma-aluksen runkoa kierretään lentosuunnan ympäri kulmassa α = 10°.

Vastaus

R≈ 5780 m.

Tien käännöksessä säteellä R= 100 m auto liikkuu tasaisesti. Ajoneuvon painopiste on korkealla h= 1 m, ajoneuvon raideleveys a= 1,5 m. Määritä nopeus v jolloin ajoneuvo voi kaatua. Poikittaissuunnassa auto ei luista.

Vastaus

v≈ 26,1 m/s.

Autoa ajanut kuljettaja huomasi yllättäen edessään aidan, joka oli kohtisuorassa hänen liikesuuntaansa nähden. Mikä on kannattavampaa tehdä onnettomuuden ehkäisemiseksi: hidastaa vauhtia vai kääntää sivulle?

Vastaus

Hidasta.

Junan kuljetuksessa, joka liikkuu tasaisesti kaarevaa rataa pitkin nopeudella v= 12 km/h, kuorma punnitaan jousivaaoilla. Kuorman paino m= 5 kg, ja polun kaarevuuden säde R\u003d 200 m. Määritä jousen tasapainon lukema (jousen jännitysvoima T).

Vastaus

T≈ 51 N.

Löydä voimaa F yksikkö erotteleva kerma (tiheys ρ c \u003d 0,93 g / cm 3) rasvattomasta maidosta ( ρ m \u003d 1,03 g / cm 3) tilavuusyksikköä kohti, jos erottuminen tapahtuu: a) paikallaan olevassa astiassa; b) keskipakoerottimessa, joka pyörii taajuudella 6000 min -1, jos neste on etäisyyden päässä r= 10 cm pyörimisakselista.

Vastaus

a) F yksikkö ≈ 980 N/m3;

b) F yksikkö ≈ 3,94 105 N/m3;

Lentokone tekee "kuolleen silmukan" säteellä R= 100 m ja liikkuu sitä pitkin nopeudella v= 280 km/h. Millä voimalla F lentäjän kehon massa M= 80 kg painaa lentokoneen istuinta silmukan ylä- ja alaosassa?

Vastaus

F≈ 4030 N, F n ≈ 5630 N.

Määritä vetovoima T köysi jättiläisaskelia, jos ihmisen massa M\u003d 70 kg ja köysi muodostaa pyörimisen aikana kulman α \u003d 45 ° pilarin kanssa. Millä kulmanopeudella jättiläisaskelmat pyörivät, jos jousituksen pituus l= 5 m?

Vastaus

T≈ 990 N; ω ≈ 1,68 rad/s.

Etsi kausi T heilurin pyöriminen, joka tekee ympyräliikkeitä vaakatasossa. Langan pituus l. Kierteen muodostama kulma pystysuoran kanssa, α .

Vastaus

.

Kierteeseen ripustettu paino pyörii vaakatasossa siten, että etäisyys ripustuspisteestä tasoon, jossa pyöriminen tapahtuu, on h. Selvitä kuorman taajuus ja pyörimisnopeus olettaen, että se on vakio.

Vastaus

Tulos ei riipu jousituksen pituudesta.

Kattokruunu massa m= 100 kg ripustettuna kattoon metalliketjuun, jonka pituus l= 5 m. Määritä korkeus h, jolla kattokruunu voidaan kääntää niin, että ketju ei katkea myöhempien heilahtelujen aikana? Tiedetään, että ketju katkeaa, kun jännitysvoima T> 1960 N.

Vastaus

h≈ 2,5 m.

Pallon massa m ripustettu venymättömään kierteeseen. Mikä on pienin kulma α min, pallo on taivutettava niin, että jatkoliikkeen aikana lanka katkeaa, jos langan suurin mahdollinen jännitysvoima on 1,5 mg?

Vastaus

α min ≈ 41,4°.

Heiluri taivutetaan vaaka-asentoon ja vapautetaan. Missä kulmassa α pystysuoran kanssa langan vetovoima on suuruudeltaan yhtä suuri kuin heiluriin vaikuttava painovoima? Heiluria pidetään matemaattisena.

Vastaus

α = arccos(⅓).

Massan kuormitus m sidottu venymättömään kierteeseen, pyörii pystytasossa. Selvitä langan jännitysvoimien suurin ero.

Vastaus

Voimistelija "pyörittää aurinkoa" poikittaispalkissa. Voimistelijan paino m. Olettaen, että kaikki hänen massansa on keskittynyt painopisteeseen ja nopeus yläpisteessä on nolla, määritä voimistelijan käsiin vaikuttava voima alapisteessä.

Vastaus

Yksi paino on ripustettu venymättömään pituuteen l, ja toinen - samanpituisella jäykällä painottomalla sauvalla. Mitkä vähimmäisnopeudet näille painoille on annettava, jotta ne pyörivät pystytasossa?

Vastaus

Lankaa varten v min = ; tangolle v min = .

Pallon massa M ripustettu lankaan. Kireässä tilassa lanka asetettiin vaakasuoraan ja pallo vapautettiin. Johda langan kireyden riippuvuus T kulmasta α , joka tällä hetkellä muodostaa vaakasuuntaisen kierteen. Tarkista johdettu kaava ratkaisemalla tehtävä tilanteessa, jossa pallo kulkee tasapainoasennon läpi α = 90°.

Vastaus

T = 3mg synti α ; T = 3mg.

Matemaattinen heilurin pituus l ja paino M vietiin nurkkaan φ 0 tasapainoasennosta ja kertoi hänelle alkunopeuden v 0 suunnattu kohtisuoraan lankaa vastaan ​​ylöspäin. Etsi heilurin langan jännitys T kulmasta riippuen φ pystysuorat kierteet.

Vastaus

.

Kierteeseen ripustettu paino otetaan sivuun niin, että lanka on vaaka-asennossa, ja vapautetaan. Minkä kulman pystysuoran α kanssa juoma muodostaa hetkellä, jolloin painon nopeuden pystykomponentti on suurin?

Vastaus

Identtiset elastiset pallot massalla m, ripustetaan yhtä pitkiin lankoihin yhteen koukkuun, taivutetaan eri suuntiin pystysuorasta kulmalla α ja anna mennä. Pallot iskevät ja pomppivat toisistaan. Mikä on vahvuus F, vaikuttaa koukkuun: a) kierteiden ääriasennoissa; b) pallojen ensimmäisellä ja viimeisellä törmäyshetkellä; c) pallojen suurimman muodonmuutoksen hetkellä?

Vastaus

a) F = 2mg cos 2 α ;

b) F = 2mg(3-2cos α );

sisään) F = 2mg.

Matemaattiseen heiluriin, jossa on joustava venymätön kierre l antaa vaakasuuntaisen nopeuden tasapainoasennosta v 0 . Määritä suurin nostokorkeus h kun liikkuu ympyrässä, jos v 0 2 = 3gl. Mitä rataa heiluripallo seuraa saavutettuaan suurimman nostokorkeutensa? h ympyrässä? Määritä enimmäiskorkeus H saavutetaan tällä heilurin liikkeellä.

Vastaus

; paraabelia pitkin; .

Pieni pallo on ripustettu johonkin pisteeseen MUTTA pituisella langalla l. Pisteessä O etäisyydellä l/2 pisteen alapuolella MUTTA naula lyötiin seinään. Pallo vedetään ulos niin, että lanka on vaakasuorassa asennossa, ja vapautetaan. Missä lentoradan kohdassa langan kireys katoaa? Kuinka pitkälle pallo liikkuu? Mikä on korkein kohta, johon pallo nousee?

Vastaus

Käytössä l/6 ripustuspisteen alapuolella; paraabelia pitkin; 2. päivänä l/27 ripustuspisteen alapuolella.

Astia, joka on muodoltaan laajeneva katkaistu kartio ja jonka pohjan halkaisija D= 20 cm ja seinien kaltevuuskulma α = 60°, pyörii pystyakselin ympäri 00 yksi . Millä aluksen pyörimiskulmanopeudella ω heitetäänkö sen pohjassa oleva pieni pallo ulos aluksesta? Kitka jätetään huomiotta.

Vastaus

ω > ≈13 rad/s.

Säteinen pallo R= 2 m pyörii tasaisesti symmetria-akselin ympäri taajuudella 30 min -1. Pallon sisällä on massapallo m= 0,2 kg. Etsi korkeus h, joka vastaa pallon tasapainoasemaa suhteessa palloon ja pallon reaktiota N.

Vastaus

h≈ 1 m; N≈ 0,4 N.

Sisällä kartiomainen pinta, joka liikkuu kiihtyvyydellä a, pallo pyörii ympyrässä, jonka säde on R. Määritä ajanjakso T pallon pyörivä liike. Kartion kärjen kulma 2 α .

Vastaus

.

Pieni massarunko m liukuu alas kaltevaa rinnettä, muuttuen kuolleeksi silmukaksi, jolla on säde R.

Kitka on mitätön. Määritä: a) mikä on pienin korkeus h kaltevuus niin, että runko tekee täyden silmukan putoamatta ulos; b) mikä paine F samalla se tuottaa alustalle kappaleen kohtaan, jonka sädevektori muodostaa kulman α pystysuoran kanssa.

Vastaus

a) h = 2,5R; b) F = 3mg(1 - cos α ).

Kuljetinhihna on vinossa horisonttiin nähden α . Määritä nauhan vähimmäisnopeus v min, jossa sen päällä oleva malmihiukkanen erotetaan hihnan pinnasta kohdasta, jossa se juoksee rummun päälle, jos rummun säde on R.

Vastaus

v min = .

Pieni ruumis liukuu alas pallon yläosasta. Millä korkeudella h kärjestä kappale irtoaa pallon pinnasta säteellä R? Ohita kitka.

Vastaus

h = R/3.

Selvitä vanteen massan liike-energia m rullaa vauhdilla v. Liukastumista ei ole.

Vastaus

K = mv 2 .

Ohut vanne liukumatta rullautuu puolipallon muotoiseen kuoppaan. Millä syvyydellä h onko renkaan normaalipaineen voima kuopan seinämään yhtä suuri kuin sen painovoima? Kuopan säde R, renkaan säde r.

Vastaus

h = (R - r)/2.

Pieni vanne rullaa liukumatta suuren pallonpuoliskon sisäpinnalla. Alkuhetkellä vanne lepäsi yläreunassaan. Määritä: a) renkaan liike-energia pallonpuoliskon alimmassa pisteessä; b) kuinka suuri osa kineettisestä energiasta osuu vanteen pyörimisliikkeeseen sen akselin ympäri; c) normaalivoima, joka puristaa vanteen pallonpuoliskon alakohtaan. Vanteen massa on m, puolipallon säde R.

Vastaus

a) K = mgR; b) 50 %; vuonna 2 mg.

Vesi virtaa putken läpi, joka sijaitsee vaakatasossa ja jolla on pyöristyssäde R= 2 m. Etsi sivuttainen vedenpaine. Putken halkaisija d= 20 cm. M= 300 tonnia vettä.

Vastaus

p\u003d 1,2 10 5 Pa.

Keho luisuu pisteestä MUTTA tarkalleen AT kahta kaarevaa kaltevaa pintaa pitkin, jotka kulkevat pisteiden läpi A ja AT kerran kuperaa kaaria pitkin, toinen - koveraa pitkin. Molemmilla kaarilla on sama kaarevuus ja kitkakerroin on sama molemmissa tapauksissa.

Missä tapauksessa on kehon nopeus pisteessä B lisää?

Vastaus

Jos liike tapahtuu kuperaa kaaria pitkin.

Sauva, jonka massa, pituus on mitätön l kahdella pienellä pallolla m 1 ja m 2 (m 1 > m 2) se voi pyöriä päistään sauvan keskeltä kohtisuorassa kulkevan akselin ympäri. Tanko asetetaan vaakasuoraan asentoon ja vapautetaan. Määritä kulmanopeus ω ja paineen voima F akselilla sillä hetkellä, kun sauva palloineen ohittaa tasapainoasennon.

Vastaus

; .

Pieni massarengas m. Rengas ilman kitkaa alkaa liukua spiraalimaisesti. Millä voimalla F rengas painaa spiraalia sen ohituksen jälkeen n täydet kierrokset? Kääntösäde R, vierekkäisten kierrosten välinen etäisyys h(käännä nousu). Ajatella h ≪ R.

Vastaus

.

Suljettu metalliketju on tasaisella vaakasuoralla kiekolla, joka on löysästi asetettu keskitysrenkaaseen koaksiaalisesti kiekon kanssa. Levy on asetettu pyörimään. Ottamalla ketjun muotoa vaakasuuntaisena ympyränä, määritä jännitysvoima T ketjua pitkin, jos sen massa on m= 150 g, pituus l= 20 cm ja ketju pyörii taajuudella n= 20 s -1.

Vastaus

T≈ 12 N.

Reaktiivinen taso m= 30 tonnia lentää päiväntasaajaa pitkin lännestä itään vauhdilla v= 1800 km/h. Kuinka paljon koneeseen vaikuttava nostovoima muuttuu, jos se lentää samalla nopeudella idästä länteen?

Vastaus

ΔF alle ≈ 1,74 10 3 N.