Tältä sivulta löydät:

1. Itse asiassa antijohdannaisten taulukko - se voidaan ladata PDF-muodossa ja tulostaa;

2. Video tämän taulukon käytöstä;

3. Joukko esimerkkejä antiderivaatin laskemisesta eri oppikirjoista ja testeistä.

Itse videossa analysoimme monia ongelmia, joissa sinun on laskettava funktioiden antijohdannaiset, usein melko monimutkaisia, mutta mikä tärkeintä, ne eivät ole tehofunktioita. Kaikki yllä ehdotetussa taulukossa tiivistetyt funktiot on tunnettava ulkoa, kuten johdannaiset. Ilman niitä integraalien jatkotutkimus ja niiden soveltaminen käytännön ongelmien ratkaisemiseen on mahdotonta.

Tänään jatkamme primitiivien tutkimista ja siirrymme hieman monimutkaisempaan aiheeseen. Jos viime kerralla tarkastelimme vain tehofunktioiden ja hieman monimutkaisempien rakenteiden antiderivaatteja, niin tänään tarkastellaan trigonometriaa ja paljon muuta.

Kuten sanoin viime oppitunnilla, antiderivaatteja, toisin kuin johdannaisia, ei koskaan ratkaista "heti" käyttämällä mitään vakiosääntöjä. Lisäksi huono uutinen on, että toisin kuin johdannainen, antiderivaasta ei ehkä oteta huomioon ollenkaan. Jos kirjoitamme täysin satunnaisen funktion ja yritämme löytää sen derivaatan, onnistumme erittäin suurella todennäköisyydellä, mutta antiderivaavaa ei tässä tapauksessa lasketa melkein koskaan. Mutta on hyviä uutisia: on olemassa melko suuri joukko funktioita, joita kutsutaan alkeisfunktioiksi, joiden antiderivataatit on erittäin helppo laskea. Ja kaikki muut monimutkaisemmat rakenteet, jotka annetaan kaikenlaisissa testeissä, itsenäisissä testeissä ja kokeissa, itse asiassa koostuvat näistä perusfunktioista yhteen-, vähennys- ja muiden yksinkertaisten toimien avulla. Tällaisten toimintojen prototyypit on laskettu pitkään ja koottu erityisiin taulukoihin. Juuri näiden funktioiden ja taulukoiden kanssa työskentelemme tänään.

Mutta aloitamme, kuten aina, toistolla: muistetaan, mitä antiderivaatit ovat, miksi niitä on äärettömän paljon ja kuinka määrittää niiden yleinen ulkonäkö. Tätä varten pohdin kaksi yksinkertaista ongelmaa.

Helppojen esimerkkien ratkaiseminen

Esimerkki #1

Huomaa heti, että $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja yleensä $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ vihjaa meille heti, että funktion vaadittu antiderivaata liittyy trigonometriaan. Ja todellakin, jos katsomme taulukkoa, huomaamme, että $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ei ole muuta kuin $\text(arctg)x$. Joten kirjoitetaan se ylös:

Löytääksesi sinun on kirjoitettava muistiin seuraavat asiat:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Esimerkki nro 2

Puhumme myös trigonometrisista funktioista. Jos katsomme taulukkoa, tapahtuu todellakin näin:

Meidän on löydettävä koko antijohdannaisten joukosta se, joka kulkee ilmoitetun pisteen läpi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Kirjoitetaan lopuksi ylös:

Se on niin yksinkertaista. Ainoa ongelma on, että yksinkertaisten funktioiden antiderivaattien laskemiseksi sinun on opittava antiderivaattien taulukko. Kuitenkin, kun olen tutkinut johdannaistaulukon puolestasi, uskon, että tämä ei ole ongelma.

Eksponentiaalisen funktion sisältävien ongelmien ratkaiseminen

Aluksi kirjoitetaan seuraavat kaavat:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\\frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Katsotaan kuinka tämä kaikki toimii käytännössä.

Esimerkki #1

Jos katsomme hakasulkeiden sisältöä, huomaamme, että antiderivaatataulukossa ei ole sellaista lauseketta, jossa $((e)^(x))$ olisi neliössä, joten tämä neliö on laajennettava. Tätä varten käytämme lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

Etsitään jokaiselle termille antijohdannainen:

\[((e)^(2x))=((\vasen(((e)^(2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(((e)^(-2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Kootaan nyt kaikki termit yhdeksi lausekkeeksi ja hankitaan yleinen antijohdannainen:

Esimerkki nro 2

Tällä kertaa aste on suurempi, joten lyhennetty kertolasku on melko monimutkainen. Avataan siis sulut:

Yritetään nyt ottaa kaavamme antijohdannainen tästä konstruktiosta:

Kuten näette, eksponentiaalisen funktion antiderivaatteissa ei ole mitään monimutkaista tai yliluonnollista. Ne kaikki lasketaan taulukoiden avulla, mutta tarkkaavaiset opiskelijat huomaavat luultavasti, että antiderivaata $((e)^(2x))$ on paljon lähempänä yksinkertaisesti $((e)^(x))$ kuin $((a). )^(x ))$. Joten, ehkä on jokin erikoisempi sääntö, joka sallii antiderivaatin $((e)^(x))$ löytää $((e)^(2x))$? Kyllä, tällainen sääntö on olemassa. Ja lisäksi se on olennainen osa antideriivatiivitaulukon kanssa työskentelyä. Analysoimme sitä nyt käyttämällä samoja lausekkeita, joita olemme juuri työstäneet esimerkkinä.

Säännöt antijohdannaisten taulukon kanssa työskentelylle

Kirjoita funktiomme uudelleen:

Edellisessä tapauksessa käytimme seuraavaa kaavaa ratkaisemaan:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaattorinimi(lna))\]

Mutta nyt tehdään se vähän toisin: muistetaan millä perusteella $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kuten jo sanoin, koska johdannainen $((e)^(x))$ ei ole muuta kuin $((e)^(x))$, sen antiderivaata on siis sama $((e) ^ (x))$. Mutta ongelma on, että meillä on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Yritetään nyt löytää johdannainen $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(2x))\cdot ((\vasen(2x \oikea))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Kirjoitetaan rakentaminen uudelleen:

\[((\vasen(((e)^(2x)) \oikea))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\vasen(\frac(((e)^(2x)))(2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Tämä tarkoittaa, että kun löydämme antijohdannaisen $((e)^(2x))$, saamme seuraavan:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kuten näet, saimme saman tuloksen kuin aiemmin, mutta emme käyttäneet kaavaa löytääksemme $((a)^(x))$. Nyt tämä voi tuntua tyhmältä: miksi monimutkaistaa laskelmia, kun on vakiokaava? Hieman monimutkaisemmissa ilmaisuissa huomaat kuitenkin, että tämä tekniikka on erittäin tehokas, ts. käyttämällä johdannaisia ​​antijohdannaisten löytämiseen.

Lämmittelynä etsitään $((e)^(2x))$ antiderivaata samalla tavalla:

\[((\vasen(((e)^(-2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Laskettaessa rakenteemme kirjoitetaan seuraavasti:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta valitsimme eri polun. Juuri tämä polku, joka nyt näyttää meille hieman monimutkaisemmalta, osoittautuu tulevaisuudessa tehokkaammaksi monimutkaisempien antiderivaalien laskemiseen ja taulukoiden käyttöön.

Huomautus! Tämä on erittäin tärkeä seikka: antiderivaatteja, kuten johdannaisia, voidaan laskea monella eri tavalla. Kuitenkin, jos kaikki laskelmat ja laskelmat ovat yhtä suuret, vastaus on sama. Olemme juuri nähneet tämän esimerkillä $((e)^(-2x))$ - toisaalta laskemme tämän antiderivaatin "läpi" käyttämällä määritelmää ja toisaalta laskemalla sen muunnoksilla, muistimme, että $ ((e)^(-2x))$ voidaan esittää muodossa $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ ja vasta sitten käytimme funktion $( (a)^(x))$ antiderivaata. Kaikkien muutosten jälkeen tulos oli kuitenkin odotetusti sama.

Ja nyt kun ymmärrämme tämän kaiken, on aika siirtyä johonkin merkittävämpään. Nyt analysoimme kahta yksinkertaista rakennetta, mutta niiden ratkaisemisessa käytettävä tekniikka on tehokkaampi ja hyödyllisempi työkalu kuin pelkkä "juokseminen" vierekkäisten antiderivaalien välillä taulukosta.

Ongelmanratkaisu: funktion antiderivaatan löytäminen

Esimerkki #1

Jaetaan osoittajissa oleva määrä kolmeen erilliseen murto-osaan:

Tämä on melko luonnollinen ja ymmärrettävä siirtymä - useimmilla opiskelijoilla ei ole ongelmia sen kanssa. Kirjoitetaan lauseemme uudelleen seuraavasti:

Muistetaan nyt tämä kaava:

Meidän tapauksessamme saamme seuraavat:

Päästäksesi eroon kaikista näistä kolmikerroksisista jakeista, ehdotan seuraavaa:

Esimerkki nro 2

Toisin kuin edellinen murto-osa, nimittäjä ei ole tulo, vaan summa. Tässä tapauksessa emme voi enää jakaa murtolukuamme useiden yksinkertaisten murtolukujen summaan, vaan meidän on jotenkin yritettävä varmistaa, että osoittaja sisältää suunnilleen saman lausekkeen kuin nimittäjä. Tässä tapauksessa se on melko yksinkertaista:

Tämä merkintä, jota matemaattisessa kielessä kutsutaan "nollan lisäämiseksi", antaa meille mahdollisuuden jakaa murto-osa jälleen kahteen osaan:

Nyt etsitään mitä etsimme:

Siinä kaikki laskelmat. Huolimatta näennäisesti suuremmasta monimutkaisuudesta kuin edellisessä tehtävässä, laskelmien määrä osoittautui vielä pienemmäksi.

Ratkaisun vivahteet

Ja tässä piilee taulukkomuotoisten antijohdannaisten kanssa työskentelyn päävaikeus, tämä on erityisen havaittavissa toisessa tehtävässä. Tosiasia on, että voidaksemme valita joitain elementtejä, jotka on helppo laskea taulukon kautta, meidän on tiedettävä, mitä tarkalleen etsimme, ja juuri näiden elementtien etsinnästä koostuu koko antijohdannaisten laskenta.

Toisin sanoen ei riitä, että opetella ulkoa antijohdannaisten taulukko - sinun on pystyttävä näkemään jotain, mitä ei vielä ole olemassa, mutta mitä tämän ongelman kirjoittaja ja kääntäjä tarkoitti. Siksi monet matemaatikot, opettajat ja professorit väittävät jatkuvasti: "Mitä on antiderivaalien ottaminen tai integrointi - onko se vain työkalu vai onko se todellinen taide?" Itse asiassa, henkilökohtaisesti, integraatio ei ole taidetta ollenkaan - siinä ei ole mitään ylevää, se on vain harjoittelua ja enemmän harjoittelua. Ja harjoitellaksemme ratkaistaan ​​kolme vakavampaa esimerkkiä.

Koulutamme integraatiota käytännössä

Tehtävä nro 1

Kirjoitetaan seuraavat kaavat:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Kirjoitetaan seuraavaa:

Ongelma nro 2

Kirjoitetaan se uudelleen seuraavasti:

Antijohdannaisen kokonaismäärä on yhtä suuri kuin:

Ongelma nro 3

Tämän tehtävän vaikeus on, että toisin kuin edellisissä funktioissa, muuttujaa $x$ ei ole ollenkaan, ts. meille ei ole selvää, mitä lisätä tai vähentää saadaksemme vähintään jotain samanlaista kuin alla. Itse asiassa tätä lauseketta pidetään kuitenkin jopa yksinkertaisempana kuin mitä tahansa edellistä lauseketta, koska tämä funktio voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Saatat nyt kysyä: miksi nämä funktiot ovat samanarvoisia? Tarkistetaan:

Kirjoitetaan se uudestaan:

Muutetaanpa ilmaisuamme hieman:

Ja kun selitän kaiken tämän opiskelijoilleni, syntyy melkein aina sama ongelma: ensimmäisellä funktiolla kaikki on enemmän tai vähemmän selvää, toisella voit myös selvittää sen onnella tai harjoituksella, mutta millaista vaihtoehtoista tietoisuutta sinulla on tarvitaan kolmannen esimerkin ratkaisemiseksi? Itse asiassa, älä pelkää. Tekniikkaa, jota käytimme laskettaessa viimeistä antiderivaavaa, kutsutaan "funktion hajottamiseksi yksinkertaisimmiksi", ja tämä on erittäin vakava tekniikka, ja sille omistetaan erillinen videotunti.

Sillä välin ehdotan palaamista siihen, mitä juuri tutkimme, nimittäin eksponentiaalisiin funktioihin ja monimutkaistaan ​​jonkin verran ongelmia niiden sisällön kanssa.

Monimutkaisempia ongelmia antiderivatiivisten eksponentiaalisten funktioiden ratkaisemiseksi

Tehtävä nro 1

Huomioikaa seuraava:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Löytääksesi tämän lausekkeen antijohdannaisen, käytä standardikaavaa - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Meidän tapauksessamme antijohdannainen on seuraava:

Tietysti tämä näyttää yksinkertaisemmalta verrattuna juuri ratkaisemamme suunnitteluun.

Ongelma nro 2

Jälleen on helppo nähdä, että tämä funktio voidaan helposti jakaa kahteen erilliseen termiin - kahteen erilliseen murto-osaan. Kirjoitetaan uudelleen:

On vielä löydettävä kunkin näistä termeistä antijohdannainen käyttämällä yllä kuvattua kaavaa:

Huolimatta siitä, että eksponentiaaliset funktiot olivat monimutkaisempia verrattuna tehofunktioihin, laskelmien ja laskelmien kokonaismäärä osoittautui paljon yksinkertaisemmiksi.

Tietenkin asiantunteville opiskelijoille se, mitä olemme juuri keskustelleet (etenkin sitä taustaa vasten, mitä olemme aiemmin keskustelleet), voivat tuntua alkeisilmaisuilta. Kun valitsin nämä kaksi tehtävää tämän päivän videotunnille, en kuitenkaan asettanut tavoitteeksi kertoa teille toisesta monimutkaisesta ja hienostuneesta tekniikasta - halusin vain näyttää, että sinun ei pitäisi pelätä käyttää tavallisia algebratekniikoita alkuperäisten funktioiden muuntamiseen. .

Käyttämällä "salaista" tekniikkaa

Lopuksi haluaisin tarkastella toista mielenkiintoista tekniikkaa, joka toisaalta ylittää sen, mitä tänään pääasiassa keskustelimme, mutta toisaalta se ei ole ensinnäkään ollenkaan monimutkaista, ts. Jo aloittelevat opiskelijat voivat hallita sen, ja toiseksi se löytyy melko usein kaikenlaisista testeistä ja itsenäisistä töistä, ts. sen tuntemus on erittäin hyödyllistä antijohdannaisten taulukon tuntemisen lisäksi.

Tehtävä nro 1

Ilmeisesti meillä on jotain hyvin samanlaista kuin tehofunktio. Mitä meidän pitäisi tehdä tässä tapauksessa? Ajatellaanpa sitä: $x-5$ ei eroa paljoa $x$:sta – he lisäsivät juuri $-5$. Kirjoitetaan se näin:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \oikea))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Yritetään löytää johdannainen $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\vasen(((\vasen(x-5 \oikea))^(5)) \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(4))\]

Tämä tarkoittaa:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ oikea))^(\prime ))\]

Taulukossa ei ole tällaista arvoa, joten olemme nyt johtaneet tämän kaavan itse käyttämällä potenssifunktion standardia antiderivatiivista kaavaa. Kirjoitetaan vastaus näin:

Ongelma nro 2

Monet opiskelijat, jotka katsovat ensimmäistä ratkaisua, saattavat ajatella, että kaikki on hyvin yksinkertaista: korvaa vain $x$ potenssifunktiossa lineaarisella lausekkeella, niin kaikki loksahtaa paikoilleen. Valitettavasti kaikki ei ole niin yksinkertaista, ja nyt näemme tämän.

Analogisesti ensimmäisen lausekkeen kanssa kirjoitamme seuraavaa:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(\alkuluku ))=\]

\[=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\]

Palataksemme johdannaiseen, voimme kirjoittaa:

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) )^(9))\]

\[((\vasen(4-3x \oikea))^(9))=((\vasen(\frac(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)))(-30) \oikea))^(\prime ))\]

Tästä seuraa heti:

Ratkaisun vivahteet

Huomaa: jos mikään ei olennaisesti muuttunut viime kerralla, niin toisessa tapauksessa $ -10 $ sijasta ilmestyi -30 $. Mitä eroa on -10 dollarin ja -30 dollarin välillä? Ilmeisesti kertoimella -3 $. Kysymys: mistä se tuli? Jos katsot tarkasti, voit nähdä, että se on otettu kompleksisen funktion derivaatan laskemisen tuloksena - kerroin, joka oli $x$, näkyy alla olevassa antiderivaatassa. Tämä on erittäin tärkeä sääntö, jota en alun perin aikonut käsitellä ollenkaan tämän päivän videotunnilla, mutta ilman sitä taulukkomuotoisten antiderivaalien esittäminen olisi epätäydellistä.

Joten tehdään se uudelleen. Olkoon päätehotoimintomme:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Korvataan nyt lausekkeen $x$ sijaan lauseke $kx+b$. Mitä sitten tapahtuu? Meidän on löydettävä seuraavat:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \oikea)\cdot k)\]

Millä perusteella väitämme tämän? Erittäin yksinkertainen. Etsitään edellä kirjoitetun konstruktion johdannainen:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \oikea))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\vasen(kx+b \oikea))^(n))\]

Tämä on sama ilmaisu, joka alun perin oli olemassa. Siten tämä kaava on myös oikea, ja sitä voidaan käyttää täydentämään antijohdannaisten taulukkoa tai on parempi yksinkertaisesti muistaa koko taulukko.

Päätelmät "salaisuudesta: tekniikka:

• Molemmat juuri tarkastelemamme funktiot voidaan itse asiassa pelkistää taulukossa esitettyihin antiderivaatteihin laajentamalla asteita, mutta jos pystymme enemmän tai vähemmän jotenkin selviytymään neljännestä astetta, en tekisi yhdeksättä astetta kaikki uskalsivat paljastaa.
• Jos laajennamme astetta, päätyisimme niin suureen laskelmaan, että yksinkertainen tehtävä veisi meiltä tarpeettoman paljon aikaa.
• Siksi sellaisia ​​lineaarisia lausekkeita sisältäviä ongelmia ei tarvitse ratkaista "päänpäähän". Heti kun törmäät antiderivaattiin, joka eroaa taulukossa olevasta vain lausekkeen $kx+b$ sisällä, muista heti yllä kirjoitettu kaava, korvaa se taulukon antiderivaatteillasi, niin kaikki osoittautuu paljon. nopeammin ja helpommin.

Luonnollisesti tämän tekniikan monimutkaisuuden ja vakavuuden vuoksi palaamme sen tarkasteluun useaan otteeseen tulevilla videotunteilla, mutta siinä kaikki tältä päivältä. Toivon, että tämä oppitunti todella auttaa niitä opiskelijoita, jotka haluavat ymmärtää antiderivaatteja ja integraatiota.

Integrointi on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä toiminnoista. Tunnettujen antiderivaalien taulukot voivat olla hyödyllisiä, mutta nyt, tietokonealgebrajärjestelmien syntymisen jälkeen, ne ovat menettämässä merkityksensä. Alla on luettelo yleisimmistä primitiiveistä.

Taulukko perusintegraalista

Toinen, kompakti vaihtoehto

Taulukko trigonometristen funktioiden integraaleista

Rationaalisista funktioista

Irrationaalisista funktioista

Transsendenttisten toimintojen integraalit

"C" on mielivaltainen integrointivakio, joka määritetään, jos integraalin arvo missä tahansa pisteessä tunnetaan. Jokaisella funktiolla on ääretön määrä antiderivaatteja.

Useimmilla koululaisilla ja opiskelijoilla on ongelmia integraalien laskemisessa. Tämä sivu sisältää kiinteät taulukot trigonometrisista, rationaalisista, irrationaalisista ja transsendenttisista funktioista, jotka auttavat ratkaisussa. Myös johdannaisten taulukko auttaa sinua.

Video - kuinka löytää integraalit

Jos et täysin ymmärrä tätä aihetta, katso video, joka selittää kaiken yksityiskohtaisesti.

Taulukko antijohdannaisista ("integraalit"). Integraalien taulukko. Taulukkomaiset epämääräiset integraalit. (Yksinkertaisimmat integraalit ja integraalit parametrin kanssa). Kaavat integrointiin osien mukaan. Newton-Leibnizin kaava.

Taulukko antijohdannaisista ("integraalit"). Taulukkomaiset epämääräiset integraalit. (Yksinkertaisimmat integraalit ja integraalit parametrin kanssa).
Integroitu tehotoiminto.	Integroitu tehotoiminto.
Integraali, joka pelkistyy tehofunktion integraaliksi, jos x ajetaan differentiaalimerkin alla.
	Eksponentiaalin integraali, jossa a on vakioluku.
Monimutkaisen eksponentiaalisen funktion integraali.	Eksponentiaalisen funktion integraali.
Integraali, joka on yhtä suuri kuin luonnollinen logaritmi.	Integraali: "Pitkä logaritmi".
	Integraali: "Pitkä logaritmi".
Integraali: "Suuri logaritmi".	Integraali, jossa x osoittajassa sijoitetaan differentiaalimerkin alle (merkin alla oleva vakio voidaan joko lisätä tai vähentää), on lopulta samanlainen integraalin kanssa, joka on yhtä suuri kuin luonnollinen logaritmi.
Integraali: "Suuri logaritmi".
Kosiniintegraali.	Sini-integraali.
Integraali yhtä suuri kuin tangentti.	Integraali on yhtä suuri kuin kotangentti.
Integraali on yhtä suuri kuin arcsini ja arkosiini
Integraali, joka on yhtä suuri kuin arcsini ja arkosiini.	Integraali, joka on yhtä suuri sekä arctangentin että arkotangentin kanssa.
Integraali on yhtä suuri kuin kosekantti.	Integraali on yhtä suuri kuin sekantti.
Integraali on yhtä suuri kuin kaarinen.	Integraali yhtä suuri kuin arccosecant.
Integraali on yhtä suuri kuin kaarinen.	Integraali on yhtä suuri kuin kaarinen.
Integraali on yhtä suuri kuin hyperbolinen sini.	Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen kosini.
Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen sini, jossa sinhx on hyperbolinen sini englanninkielisessä versiossa.	Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen kosini, jossa sinhx on hyperbolinen sini englanninkielisessä versiossa.
Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen tangentti.	Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen kotangentti.
Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen sekantti.	Integraali, joka on yhtä suuri kuin hyperbolinen kosekantti.

Kaavat integrointiin osien mukaan. Integrointisäännöt.

Kaavat integrointiin osien mukaan. Newton-Leibnizin kaava Integrointisäännöt.
Tuotteen (funktion) integrointi vakiolla:
Toimintojen summan integrointi:
epämääräiset integraalit:
Osien integroinnin kaava määrätyt integraalit:
Newton-Leibnizin kaava määrätyt integraalit:	Missä F(a), F(b) ovat antijohdannaisten arvot pisteissä b ja a, vastaavasti.

Johdannaisten taulukko. Taulukkojohdannaiset. Tuotteen johdannainen. Osamäärän johdannainen. Monimutkaisen funktion johdannainen.

Jos x on riippumaton muuttuja, niin:

Johdannaisten taulukko. Taulukkojohdannaiset."taulukkojohdannaiset" - kyllä, valitettavasti, juuri näin niitä etsitään Internetistä
	Tehofunktion johdannainen
	Eksponentin johdannainen
Johdannainen kompleksisesta eksponentiaalisesta funktiosta	Eksponentiaalifunktion johdannainen
Logaritmisen funktion derivaatta	Luonnollisen logaritmin derivaatta
	Funktion luonnollisen logaritmin derivaatta
Johdannainen sinistä	Kosinin johdannainen
Kosekantin johdannainen	Sekantin johdannainen
Arsiinin johdannainen	Arkkikosinin johdannainen
Arsiinin johdannainen	Arkkikosinin johdannainen
Tangenttijohdannainen	Kotangentin johdannainen
Arktangentin johdannainen	Arkkikotangentin johdannainen
Arktangentin johdannainen	Arkkikotangentin johdannainen
Arcsekantin johdannainen	Arccosecantin johdannainen
Arcsekantin johdannainen	Arccosecantin johdannainen
Hyperbolisen sinin johdannainen Hyperbolisen sinin johdannainen englanninkielisessä versiossa	Hyperbolisen kosinin johdannainen Hyperbolisen kosinin johdannainen englanninkielisessä versiossa
Hyperbolisen tangentin johdannainen	Hyperbolisen kotangentin johdannainen
Johdannainen hyperbolisesta sekantista	Hyperbolisen kosekantin johdannainen

Erottamisen säännöt. Tuotteen johdannainen. Osamäärän johdannainen. Monimutkaisen funktion johdannainen.
Tuotteen (funktion) johdannainen vakiolla:
Summan johdannainen (funktiot):
Tuotteen johdannainen (funktiot):
Osamäärän (funktioiden) derivaatta:
Monimutkaisen funktion johdannainen:

Logaritmien ominaisuudet. Logaritmien peruskaavat. Desimaali (lg) ja luonnollinen logaritmi (ln).

Peruslogaritminen identiteetti
Osoitetaan kuinka mistä tahansa muodon a b funktiosta voidaan tehdä eksponentiaalinen. Koska muotoa e x olevaa funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi, niin
Mikä tahansa muotoa a b oleva funktio voidaan esittää kymmenen potenssina

Luonnollinen logaritmi ln (logaritmi kantaan e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor-sarja. Taylor-sarjan funktion laajennus.

Osoittautuu, että suurin osa käytännössä kohdattu matemaattiset funktiot voidaan esittää millä tahansa tarkkuudella tietyn pisteen läheisyydessä potenssisarjoina, jotka sisältävät muuttujan potenssit kasvavassa järjestyksessä. Esimerkiksi pisteen x=1 läheisyydessä:

Käytettäessä sarjaa ns Taylorin rivit sekafunktiot, jotka sisältävät esimerkiksi algebrallisia, trigonometrisiä ja eksponentiaalisia funktioita, voidaan ilmaista puhtaasti algebrallisina funktioina. Sarjojen avulla voit usein tehdä eriyttämisen ja integroinnin nopeasti.

Taylor-sarja pisteen a läheisyydessä on muotoa:

1) , jossa f(x) on funktio, jolla on kaikkien asteiden derivaatat kohdassa x = a. R n - Taylor-sarjan lopputermin määrää lauseke

2)

Sarjan k:s kerroin (pisteessä x k) määritetään kaavalla

3) Taylor-sarjan erikoistapaus on Maclaurin (=McLaren) -sarja (laajeneminen tapahtuu pisteen a=0 ympärillä)

kohdassa a = 0

sarjan jäsenet määritetään kaavalla

Taylor-sarjan käyttöehdot.

1. Jotta funktio f(x) laajenee Taylor-sarjaksi välillä (-R;R), on välttämätöntä ja riittävää, että Taylorin (Maclaurin (=McLaren)) kaavan jäännöstermi tälle funktio pyrkii nollaan k →∞ määritetyllä aikavälillä (-R;R).

2. On välttämätöntä, että tietylle funktiolle on derivaattoja kohdassa, jonka läheisyyteen aiomme rakentaa Taylor-sarjan.

Taylor-sarjan ominaisuudet.

Jos f on analyyttinen funktio, niin sen Taylor-sarja missä tahansa pisteessä a f:n määritelmäalueella suppenee f:ään jossain a:n ympäristössä.

On olemassa äärettömästi differentioituvia funktioita, joiden Taylor-sarja konvergoi, mutta samalla eroaa a:n minkä tahansa ympäristön funktiosta. Esimerkiksi:

Taylor-sarjoja käytetään funktion approksimaatiossa (approksimaatio on tieteellinen menetelmä, joka koostuu joidenkin objektien korvaamisesta toisilla, tavalla tai toisella, jotka ovat lähellä alkuperäisiä, mutta yksinkertaisempia) funktiossa polynomeilla. Erityisesti linearisointi ((linearis - lineaarinen), yksi suljettujen epälineaaristen järjestelmien likimääräisistä esittämismenetelmistä, jossa epälineaarisen järjestelmän tutkiminen korvataan lineaarisen järjestelmän analyysillä, jossain mielessä alkuperäistä vastaava. .) yhtälöt tapahtuu laajentamalla Taylor-sarjaksi ja leikkaamalla pois kaikki ensimmäisen kertaluvun yläpuolella olevat termit.

Näin ollen lähes mikä tahansa funktio voidaan esittää polynomina tietyllä tarkkuudella.

Esimerkkejä joistakin yleisistä tehofunktioiden laajennuksista Maclaurin-sarjoissa (=McLaren, Taylor pisteen 0 läheisyydessä) ja Taylor pisteen 1 läheisyydessä. Taylor- ja McLaren-sarjojen pääfunktioiden laajennusten ensimmäiset termit.

Esimerkkejä yleisistä tehofunktioiden laajennuksista Maclaurin-sarjassa (=McLaren, Taylor pisteen 0 läheisyydessä)

Esimerkkejä tavallisista Taylor-sarjan laajennuksista pisteen 1 läheisyydessä

Listataan alkeisfunktioiden integraalit, joita joskus kutsutaan taulukkomuodoiksi:

Mikä tahansa yllä olevista kaavoista voidaan todistaa ottamalla oikean puolen derivaatta (tuloksena on integrandi).

Integrointimenetelmät

Katsotaanpa joitain perusintegrointimenetelmiä. Nämä sisältävät:

1. Hajotusmenetelmä(suora integraatio).

Tämä menetelmä perustuu taulukkointegraalien suoraan käyttöön sekä epämääräisen integraalin ominaisuuksien 4 ja 5 käyttöön (eli vakiotekijän ottaminen pois suluista ja/tai integrandin esittäminen funktioiden summana - hajottelu integrandin termeiksi).

Esimerkki 1. Esimerkiksi löytääksesi(dx/x 4), voit käyttää suoraan taulukkointegraalia forx n dx. Itse asiassa(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Esimerkki 2. Sen löytämiseksi käytämme samaa integraalia:

Esimerkki 3. Löytääksesi sen sinun on otettava

Esimerkki 4. Löytääksemme edustamme integrandifunktiota muodossa ja käytä taulukkointegraalia eksponenttifunktiolle:

Tarkastellaan hakasulkujen käyttöä vakiotekijänä.

Esimerkki 5.Etsitään esim . Tämän huomioon ottaen saamme

Esimerkki 6. Löydämme sen. Koska , käytetään taulukkointegraalia Saamme

Seuraavissa kahdessa esimerkissä voit käyttää myös hakasulkuja ja taulukkointegraaleja:

Esimerkki 7.

(käytämme ja );

Esimerkki 8.

(käytämme Ja ).

Katsotaanpa monimutkaisempia esimerkkejä, joissa käytetään summaintegraalia.

Esimerkki 9. Etsitään esimerkiksi
. Laajennusmenetelmän käyttämiseksi osoittajassa käytämme summakuution kaavaa  ja jaamme tuloksena olevan polynomin termi kerrallaan nimittäjällä.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

On huomattava, että ratkaisun loppuun kirjoitetaan yksi yhteinen vakio C (eikä erillisiä kutakin termiä integroitaessa). Jatkossa ehdotetaan myös vakioiden jättämistä pois yksittäisten termien integroinnista ratkaisuprosessissa niin kauan kuin lauseke sisältää vähintään yhden epämääräisen integraalin (kirjoitamme yhden vakion ratkaisun loppuun).

Esimerkki 10. Me löydämme . Tämän ongelman ratkaisemiseksi kerrotaan osoittaja (tämän jälkeen voimme pienentää nimittäjää).

Esimerkki 11. Löydämme sen. Tässä voidaan käyttää trigonometrisiä identiteettejä.

Joskus lausekkeen hajottamiseksi termeiksi on käytettävä monimutkaisempia tekniikoita.

Esimerkki 12. Me löydämme . Integrandissa valitsemme murtoluvun koko osan . Sitten

Esimerkki 13. Me löydämme

2. Muuttuva korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)

Menetelmä perustuu seuraavaan kaavaan: f(x)dx=f((t))`(t)dt, missä x =(t) on funktio, joka on differentioituva tarkasteluvälillä.

Todiste. Etsitään derivaatat muuttujan t suhteen kaavan vasemmalta ja oikealta puolelta.

Huomaa, että vasemmalla puolella on kompleksifunktio, jonka väliargumentti on x = (t). Siksi erottaaksemme sen t:n suhteen differentioidaan ensin integraali x:n suhteen ja sitten otetaan väliargumentin derivaatta suhteessa t:ään.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Johdannainen oikealta puolelta:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Koska nämä derivaatat ovat yhtä suuret, Lagrangen lauseen seurauksena todistettavan kaavan vasen ja oikea puoli eroavat tietyn vakion verran. Koska itse määrittelemättömät integraalit on määritelty määrittelemättömään vakiotermiin asti, tämä vakio voidaan jättää pois lopullisesta merkinnästä. Todistettu.

Onnistuneen muuttujan muutoksen avulla voit yksinkertaistaa alkuperäistä integraalia ja yksinkertaisimmissa tapauksissa pienentää sen taulukkomuotoiseksi. Tätä menetelmää sovellettaessa erotetaan lineaariset ja epälineaariset korvausmenetelmät.

a) Lineaarinen korvausmenetelmä Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1.
. Olkoon sitten t= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

On huomattava, että uutta muuttujaa ei tarvitse kirjoittaa erikseen. Tällaisissa tapauksissa puhutaan funktion muuntamisesta differentiaalimerkin alle tai vakioiden ja muuttujien tuomisesta differentiaalimerkin alle, ts. O implisiittisen muuttujan korvaaminen.

Esimerkki 2. Etsitään esimerkiksicos(3x + 2)dx. Differentiaalin ominaisuuksien perusteella dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), sittencos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Molemmissa tarkasteluissa esimerkeissä integraalien löytämiseen käytettiin lineaarista substituutiota t=kx+b(k0).

Yleisessä tapauksessa seuraava lause pätee.

Lineaarinen korvauslause. Olkoon F(x) jokin funktion f(x) antiderivaata. Sittenf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, missä k ja b ovat joitain vakioita,k0.

Todiste.

Integraalin f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C määritelmän mukaan. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Otetaan vakiotekijä k integraalimerkistä: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nyt voidaan jakaa yhtälön vasen ja oikea puoli kahdeksi ja saada väite todistettavaksi vakiotermin nimeämiseen asti.

Tämä lause sanoo, että jos integraalin määritelmässä f(x)dx= F(x) + C argumentin x sijasta korvaamme lausekkeen (kx+b), tämä johtaa ylimääräisen tekijä 1/k antiderivaatin edessä.

Käytämme todistettua lausetta, ratkaisemme seuraavat esimerkit.

Esimerkki 3.

Me löydämme . Tässä kx+b= 3 –x, eli k= -1,b= 3. Sitten

Esimerkki 4.

Löydämme sen. Herekx+b= 4x+ 3, eli k= 4,b= 3. Sitten

Esimerkki 5.

Me löydämme . Tässä kx+b= -2x+ 7, eli k= -2,b= 7. Sitten

.

Esimerkki 6. Me löydämme
. Tässä kx+b= 2x+ 0, eli k=2,b=0.

.

Verrataan saatua tulosta esimerkkiin 8, joka ratkaistiin hajotusmenetelmällä. Ratkaisimme saman ongelman eri menetelmällä, saimme vastauksen
. Verrataanpa tuloksia: Näin ollen nämä lausekkeet eroavat toisistaan ​​vakiotermillä , eli Saadut vastaukset eivät ole ristiriidassa keskenään.

Esimerkki 7. Me löydämme
. Valitaan nimittäjästä täydellinen neliö.

Joissakin tapauksissa muuttujan muuttaminen ei pelkistä integraalia suoraan taulukkomuotoiseksi, vaan voi yksinkertaistaa ratkaisua, jolloin laajennusmenetelmää voidaan käyttää seuraavassa vaiheessa.

Esimerkki 8. Etsitään esimerkiksi . Korvaa t=x+ 2, sitten dt=d(x+ 2) =dx. Sitten

,

jossa C = C 1 – 6 (korvattaessa lauseke (x+ 2) kahden ensimmäisen termin sijaan saadaan ½x 2 -2x– 6).

Esimerkki 9. Me löydämme
. Olkoon t= 2x+ 1, sitten dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Korvataan lauseke (2x+ 1) t:lle, avataan sulut ja annetaan samanlaiset.

Huomaa, että muutosprosessissa siirryimme toiseen vakiotermiin, koska vakiotermien ryhmä voidaan jättää pois muunnosprosessin aikana.

b) Epälineaarinen substituutiomenetelmä Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1.
. Lett = -x 2. Seuraavaksi voidaan ilmaista x t:llä, sitten löytää lauseke dx:lle ja toteuttaa muuttujan muutos haluttuun integraaliin. Mutta tässä tapauksessa on helpompi tehdä asiat toisin. Tehdään finddt=d(-x 2) = -2xdx. Huomaa, että lauseke xdx on halutun integraalin integrandin tekijä. Esitetään se tuloksesta yhtälöxdx= - ½dt. Sitten

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Katsotaanpa vielä muutama esimerkki.

Esimerkki 2. Me löydämme . Olkoon t = 1 -x 2 . Sitten

Esimerkki 3. Me löydämme . Lett=. Sitten

;

Esimerkki 4. Epälineaarisen substituution tapauksessa on myös kätevää käyttää implisiittistä muuttujan substituutiota.

Etsitään esimerkiksi
. Kirjoitetaan xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (korvataan implisiittisesti muuttujalla t= 3 - 2x 2). Sitten

Esimerkki 5. Me löydämme . Tässä esittelemme myös muuttujan erotusmerkin alla: (implisiittinen korvaus = 3 + 5x 3). Sitten

Esimerkki 6. Me löydämme . Koska ,

Esimerkki 7. Löydämme sen. Siitä lähtien

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä, joissa on välttämätöntä yhdistää erilaisia ​​​​korvauksia.

Esimerkki 8. Me löydämme
. Olkoon t= 2x+ 1, sitten x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Esimerkki 9. Me löydämme
. Lett=x-2, sittenx=t+ 2;dx=dt.

Suora integrointi käyttämällä antiderivaatataulukkoa (määrittämättömien integraalien taulukko)

Taulukko antijohdannaisista

Voimme löytää antiderivaatan funktion tunnetusta differentiaalista, jos käytämme määrittelemättömän integraalin ominaisuuksia. Perusfunktioiden taulukosta yhtälöillä ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C ja ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x voimme tehdä taulukon antiderivaatteista.

Kirjoitetaan derivaattataulukko differentiaalien muodossa.

Vakio y = C C" = 0 Tehofunktio y = x p. (x p) " = p x p - 1	Vakio y = C d (C) = 0 d x Tehofunktio y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Eksponentiaalinen funktio y = a x. d (a x) = a x ln α d x Erityisesti kun a = e, meillä on y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logaritmiset funktiot y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Erityisesti arvolle a = e meillä on y = ln x d (ln x) = d x x
Trigonometriset funktiot. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Trigonometriset funktiot. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Käänteiset trigonometriset funktiot. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Havainnollistetaan yllä olevaa esimerkillä. Etsitään potenssifunktion f (x) = x p epämääräinen integraali.

Differentiaalitaulukon mukaan d (x p) = p · x p - 1 · d x. Epämääräisen integraalin ominaisuuksilla saamme ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Siksi ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Merkinnän toinen versio on seuraava: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Otetaan se yhtä suureksi kuin -1 ja etsitään potenssifunktion antiderivaatat f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Nyt tarvitaan differentiaalitaulukko luonnolliselle logaritmille d (ln x) = d x x, x > 0, joten ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Siksi ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Taulukko antiderivaatteista (epämääräiset integraalit)

Taulukon vasen sarake sisältää kaavat, joita kutsutaan perusantiderivaatteiksi. Oikean sarakkeen kaavat eivät ole peruskaavoja, mutta niitä voidaan käyttää määrittelemättömien integraalien etsimiseen. Ne voidaan tarkistaa erottamalla.

Suora integrointi

Suoran integroinnin suorittamiseksi käytämme antiderivaatataulukoita, integrointisääntöjä ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C sekä epämääräisten integraalien ominaisuuksia ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Perusintegraalien ja integraalien ominaisuuksien taulukkoa voidaan käyttää vain integrandin helpon muuntamisen jälkeen.

Esimerkki 1

Etsitään integraali ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Ratkaisu

Poistamme kertoimen 3 integraalimerkin alta:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Muutamme integrandifunktion trigonometriakaavojen avulla:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Koska summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa, niin
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Käytämme antiderivaatataulukon tietoja: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = tyhjä 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Vastaus:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Esimerkki 2

On tarpeen löytää funktion f (x) = 2 3 4 x - 7 antiderivaatojen joukko.

Ratkaisu

Käytämme eksponentiaaliselle funktiolle antiderivaatataulukkoa: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Tämä tarkoittaa, että ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Käytämme integrointisääntöä ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Saamme ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Vastaus: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Antiderivaattien, ominaisuuksien ja integrointisäännön taulukkoa käyttämällä voimme löytää paljon epämääräisiä integraaleja. Tämä on mahdollista tapauksissa, joissa integrandin muuntaminen on mahdollista.

Logaritmifunktion, tangentin ja kotangentin funktioiden ja useiden muiden integraalin löytämiseksi käytetään erikoismenetelmiä, joita tarkastelemme osiossa "Integroinnin perusmenetelmät".

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter