Tästä artikkelista löydämme vastauksia kysymyksiin, kuinka luodaan pisteen projektio tasoon ja kuinka tämän projektion koordinaatit määritetään. Teoreettisessa osassa nojaudumme projektion käsitteeseen. Määrittelemme ehdot ja toimitamme tietoja kuvin. Kiinnitetään hankittua tietoa ratkaisemalla esimerkkejä.

Projektio, projektiotyypit

Tilakuvien tarkastelun helpottamiseksi käytetään näitä hahmoja kuvaavia piirustuksia.

Määritelmä 1

Kuvan projektio tasoon– tilahahmon piirustus.

On selvää, että projektion rakentamiseen käytetään useita sääntöjä.

Määritelmä 2

Projektio– prosessi tilahahmon piirustuksen rakentamiseksi tasolle rakennussääntöjä käyttäen.

Projektiotaso- tämä on taso, johon kuva on rakennettu.

Tiettyjen sääntöjen käyttö määrittää projektion tyypin: keskeinen tai rinnakkain.

Yhdensuuntaisen projektion erikoistapaus on kohtisuora projektio tai ortogonaalinen: geometriassa sitä käytetään pääasiassa. Tästä syystä itse adjektiivi "pystysuora" jätetään usein pois puheesta: geometriassa sanotaan yksinkertaisesti "kuvan projektio" ja tällä tarkoitetaan projektion rakentamista kohtisuoran projektion menetelmällä. Erityistapauksissa voidaan tietysti sopia muustakin.

Huomattakoon, että kuvion projektio tasolle on olennaisesti tämän kuvion kaikkien pisteiden projektio. Jotta tilahahmoa voidaan tutkia piirustuksessa, on siksi hankittava perustaidot pisteen projisoimiseksi tasoon. Mistä puhumme alla.

Muistetaan, että useimmiten geometriassa, kun puhutaan projektiosta tasoon, ne tarkoittavat kohtisuoran projektion käyttöä.

Tehdään konstruktioita, jotka antavat meille mahdollisuuden saada määritelmä pisteen projektiosta tasolle.

Oletetaan, että on annettu kolmiulotteinen avaruus ja siinä on taso α ja piste M 1, joka ei kuulu tasoon α. Piirrä suora viiva annetun pisteen M läpi A kohtisuorassa annettuun tasoon α nähden. Merkitään suoran a ja tason α leikkauspistettä H 1:llä, se toimii rakenteella pisteestä M 1 tasoon α pudotetun kohtisuoran kantana.

Jos annetaan piste M 2, joka kuuluu tiettyyn tasoon α, niin M 2 toimii itsensä projektiona tasolle α.

Määritelmä 3

- tämä on joko itse piste (jos se kuuluu tiettyyn tasoon) tai tietystä pisteestä tiettyyn tasoon pudotetun kohtisuoran kanta.

Pisteen projektion koordinaattien löytäminen tasoon, esimerkkejä

Olkoon kolmiulotteisessa avaruudessa seuraavat: suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, taso α, piste M 1 (x 1, y 1, z 1). On tarpeen löytää pisteen M 1 projektion koordinaatit tietylle tasolle.

Ratkaisu seuraa ilmeisesti edellä annetusta pisteen tasoon projektion määritelmästä.

Merkitään pisteen M 1 projektio tasolle α muodossa H 1 . Määritelmän mukaan H 1 on tietyn tason α ja pisteen M 1 kautta vedetyn suoran a leikkauspiste (tasoa vastaan ​​kohtisuorassa). Nuo. Tarvitsemme pisteen M1 projektion koordinaatit ovat suoran a ja tason α leikkauspisteen koordinaatit.

Siten pisteen tasoon projektion koordinaattien löytämiseksi on välttämätöntä:

Hanki tason α yhtälö (jos sitä ei ole määritetty). Artikkeli tasoyhtälöiden tyypeistä auttaa sinua tässä;

Määritä pisteen M 1 kautta kulkevan suoran a yhtälö, joka on kohtisuorassa tasoon α nähden (tutkimaan aihetta tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tasoon nähden kulkevan suoran yhtälöstä);

Etsi suoran a ja tason α leikkauspisteen koordinaatit (artikkeli - tason ja suoran leikkauspisteen koordinaatit). Saadut tiedot ovat koordinaatit, joita tarvitsemme pisteen M 1 projektioon tasolle α.

Katsotaanpa teoriaa käytännön esimerkein.

Esimerkki 1

Määritä pisteen M 1 (- 2, 4, 4) projektion koordinaatit tasolle 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Ratkaisu

Kuten näemme, tason yhtälö on meille annettu, ts. sitä ei tarvitse koota.

Kirjataan muistiin pisteen M 1 kautta kulkevan suoran a kanoniset yhtälöt, jotka ovat kohtisuorassa annettuun tasoon nähden. Tätä varten määritämme suoran a suuntavektorin koordinaatit. Koska suora a on kohtisuorassa annettua tasoa vastaan, suoran a suuntavektori on tason 2 x - 3 y + z - 2 = 0 normaalivektori. Täten, a → = (2, - 3, 1) – suoran a suuntavektori.

Laaditaan nyt kanoniset yhtälöt pisteen M 1 (- 2, 4, 4) kautta kulkevalle avaruudessa olevalle suoralle, jolla on suuntavektori a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Tarvittavien koordinaattien löytämiseksi seuraava vaihe on määrittää suoran x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ja tason leikkauspisteen koordinaatit. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Näitä tarkoituksia varten siirrymme kanonisista yhtälöistä kahden leikkaavan tason yhtälöihin:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Luodaan yhtälöjärjestelmä:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Ja ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 32 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = ∆ 140 - 28 = 5

Siten tietyn pisteen M 1 vaaditut koordinaatit tietyllä tasolla α ovat: (0, 1, 5).

Vastaus: (0 , 1 , 5) .

Esimerkki 2

Kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y z pisteet A (0, 0, 2) on annettu; B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) ja M1 (-1, -2, 5). On tarpeen löytää projektion M 1 koordinaatit tasolle A B C

Ratkaisu

Ensinnäkin kirjoitetaan kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Kirjoitetaan parametriyhtälöt suoralle a, joka kulkee pisteen M 1 kautta kohtisuorassa tasoon A B C nähden. Tasolla x – 2 y + 2 z – 4 = 0 on normaalivektori koordinaatteineen (1, - 2, 2), so. vektori a → = (1, - 2, 2) – suoran a suuntavektori.

Nyt, kun on saatu suoran M 1 pisteen koordinaatit ja tämän suoran suuntavektorin koordinaatit, kirjoitamme suoran parametriset yhtälöt avaruuteen:

Sitten määritetään tason x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ja suoran leikkauspisteen koordinaatit

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Tätä varten korvaamme tason yhtälön:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Nyt käyttämällä parametriyhtälöitä x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, löydämme muuttujien x, y ja z arvot λ = - 1:lle: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Siten pisteen M 1 projektiolla tasolle A B C on koordinaatit (- 2, 0, 3).

Vastaus: (- 2 , 0 , 3) .

Tarkastellaan erikseen kysymystä pisteen projektion koordinaattien löytämisestä koordinaattitasoille ja tasoille, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattitasojen kanssa.

Olkoon pisteet M 1 (x 1, y 1, z 1) ja koordinaattitasot O x y, O x z ja O y z. Tämän pisteen projektion koordinaatit näille tasoille ovat vastaavasti: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) ja (0, y 1, z 1). Tarkastellaan myös tasoja, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​annettujen koordinaattitasojen kanssa:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Ja tietyn pisteen M 1 projektiot näille tasoille ovat pisteitä, joiden koordinaatit ovat x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 ja - D A, y 1, z 1.

Osoittakaamme, kuinka tämä tulos saatiin.

Esimerkkinä määritellään pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektio tasolle A x + D = 0. Loput tapaukset ovat samanlaisia.

Annettu taso on yhdensuuntainen koordinaattitason O y z kanssa ja i → = (1, 0, 0) on sen normaalivektori. Sama vektori toimii O y z -tasoon nähden kohtisuoran suoran suuntavektorina. Tällöin pisteen M 1 läpi vedetyn ja tiettyä tasoa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran parametriset yhtälöt ovat muotoa:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Etsitään tämän suoran ja annetun tason leikkauspisteen koordinaatit. Korvataan ensin yhtälöt yhtälöön A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 ja saadaan: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Sitten lasketaan tarvittavat koordinaatit suoran λ = - D A - x 1 parametriyhtälöiden avulla:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Eli pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektio tasolle on piste, jonka koordinaatit - D A, y 1, z 1.

Esimerkki 2

On tarpeen määrittää pisteen M 1 (- 6, 0, 1 2) projektion koordinaatit koordinaattitasolle O x y ja tasolle 2 y - 3 = 0.

Ratkaisu

Koordinaattitaso O x y vastaa tason z = 0 epätäydellistä yleisyhtälöä. Pisteen M 1 projektiolla tasolle z = 0 on koordinaatit (- 6, 0, 0).

Tasoyhtälö 2 y - 3 = 0 voidaan kirjoittaa muodossa y = 3 2 2. Kirjoita nyt vain pisteen M 1 (- 6, 0, 1 2) projektion koordinaatit tasolle y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Vastaus:(- 6 , 0 , 0) ja - 6 , 3 2 2 , 1 2

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Etsi terävä kulma vektoreilla muodostetun suunnikkaan lävistäjien välillä

5) Määritä vektorin c koordinaatit, joka on suunnattu vektorien a ja b välisen kulman puolittajaa pitkin, jos vektori c = 42:n 3 juuria. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Etsitään yksikkövektori e_a, joka on samansuuntainen a:n kanssa:

samoin e_b = b/|b|,

silloin haluttu vektori suunnataan samalla tavalla kuin vektorin summa e_a+e_b, koska (e_a+e_b) on rombin diagonaali, joka on sen kulman puolittaja.

Merkitään (e_a+e_b)=d,

Etsitään puolittajaa pitkin suunnattu yksikkövektori: e_c = d/|d|

Jos |c| = 3*sqrt(42), sitten c = |c|*e_c. Siinä kaikki.

Etsi lineaarinen suhde näiden neljän ei-koplanaarisen vektorin välillä: p=a+b; q = b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Yritä ilmaista kolmesta ensimmäisestä yhtälöstä "a,b,c" p,q,r-muodossa (aloita lisäämällä toinen ja kolmas yhtälö). Korvaa sitten "b" ja "c" viimeisessä yhtälössä lausekkeilla, jotka löysit termeillä "p,q,r".

13) Etsi tasoon x + y + 2z – 3 = 0 nähden kohtisuorassa olevien pisteiden A(2, -1, 4) ja B(3, 2, -1) kautta kulkevan tason yhtälö. Tason vaadittava yhtälö on muotoa: Ax + By + Cz + D = 0, tämän tason normaalivektori (A, B, C). Vektori (1, 3, -5) kuuluu tasoon. Meille annetulla tasolla, joka on kohtisuorassa haluttuun nähden, on normaalivektori (1, 1, 2). Koska pisteet A ja B kuuluvat molempiin tasoihin ja tasot ovat keskenään kohtisuorassa, jolloin normaalivektori on (11, -7, -2). Koska piste A kuuluu haluttuun tasoon, silloin sen koordinaattien on täytettävä tämän tason yhtälö, ts. 11 × 2 + 7 × 1 - 2 × 4 + D = 0; D = -21. Yhteensä saamme tason yhtälön: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

14) Yhtälö tasosta, joka kulkee vektorin kanssa yhdensuuntaisen suoran läpi.

Anna halutun tason kulkea suoran (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 läpi yhdensuuntaisen suoran (x-x2)/a2 = (y-y2) kanssa /b2 = (z-z2)/c2.

Tällöin tason normaalivektori on näiden suorien suuntavektorien vektoritulo:

Olkoon vektoritulon koordinaatit (A;B;C). Haluttu taso kulkee pisteen (x1;y1;z1) läpi. Normaalivektori ja piste, jonka kautta taso kulkee, määrittävät yksiselitteisesti halutun tason yhtälön:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Etsi pisteen A(5, -1) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa 3x - 7y + 14 = 0 vastaan.

18) Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, joka kulkee pisteen M kautta kohtisuorassa annettua tasoa vastaan ​​M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - pisteesi M(4,3,1)

(n, m, p) - suoran suuntavektori, joka tunnetaan myös tietyn pinnan normaalivektorina (1, 3, 5) (tasoyhtälön muuttujien x, y, z kertoimet)

Etsi pisteen projektio tasolle

Piste M(1,-3,2), taso 2x+5y-3z-19=0

Kuvien ominaisuuksien tutkiminen avaruudessa ja tasossa on mahdotonta tietämättä pisteen ja geometristen esineiden, kuten suoran ja tason, välisiä etäisyyksiä. Tässä artikkelissa näytämme kuinka löytää nämä etäisyydet ottamalla huomioon pisteen projektio tasolle ja suoralle viivalle.

Suoran yhtälö kaksiulotteisille ja kolmiulotteisille avaruuksille

Pisteen etäisyydet suoraan ja tasoon lasketaan käyttämällä sen projektiota näihin esineisiin. Näiden projektioiden löytämiseksi sinun tulee tietää, missä muodossa suorien ja tasojen yhtälöt on annettu. Aloitetaan ensimmäisistä.

Suora on joukko pisteitä, joista jokainen voidaan saada edellisestä siirtämällä se toistensa suuntaisiin vektoreihin. Esimerkiksi on olemassa piste M ja N. Ne yhdistävä vektori MN¯ vie M pisteeseen N. On myös kolmas piste P. Jos vektori MP¯ tai NP¯ on yhdensuuntainen MN¯:n kanssa, niin kaikki kolme pistettä ovat samalla rivillä ja muodosta se.

Avaruuden ulottuvuudesta riippuen suoraa määrittävä yhtälö voi muuttaa muotoaan. Siten koordinaatin y tunnettu lineaarinen riippuvuus x:stä avaruudessa kuvaa tasoa, joka on yhdensuuntainen kolmannen akselin z kanssa. Tältä osin tässä artikkelissa tarkastelemme vain viivan vektoriyhtälöä. Sillä on sama ulkonäkö tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa.

Avaruudessa suora voidaan määritellä seuraavalla lausekkeella:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Tässä koordinaattiarvot nolla-indekseillä vastaavat tiettyä suoralle kuuluvaa pistettä, u¯(a; b; c) ovat tällä suoralla olevan suuntavektorin koordinaatit, α on mielivaltainen reaaliluku, jota muuttamalla saat kaikki viivan pisteet. Tätä yhtälöä kutsutaan vektoriyhtälöksi.

Yllä oleva yhtälö kirjoitetaan usein laajennetussa muodossa:

Samalla tavalla voit kirjoittaa yhtälön tasolle, eli kaksiulotteisessa avaruudessa sijaitsevalle suoralle:

(x; y) = (x0; y0) + a*(a; b);

Tasoyhtälö

Jotta voit löytää etäisyyden pisteestä projektiotasoihin, sinun on tiedettävä, kuinka taso määritellään. Aivan kuten suora viiva, se voidaan esittää useilla tavoilla. Tässä tarkastelemme vain yhtä: yleistä yhtälöä.

Oletetaan, että piste M(x 0 ; y 0 ; z 0) kuuluu tasoon ja vektori n¯(A; B; C) on kohtisuorassa sitä vastaan, niin kaikki pisteet (x; y; z) tasossa yhtäläisyys on voimassa:

A*x + B*y + C*z + D = 0, missä D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

On syytä muistaa, että tässä yleisessä tasoyhtälössä kertoimet A, B ja C ovat tasoon nähden normaalin vektorin koordinaatteja.

Etäisyyksien laskenta koordinaattien mukaan

Ennen kuin siirrytään tarkastelemaan projektioita pisteen tasolle ja suoralle, on syytä muistaa, kuinka lasketaan kahden tunnetun pisteen välinen etäisyys.

Olkoon kaksi tilapistettä:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ja A 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

Sitten niiden välinen etäisyys lasketaan kaavalla:

A 1 A 2 = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)

Tätä lauseketta käyttämällä määritetään myös vektorin A1A2¯ pituus.

Tapauksessa tasossa, kun kaksi pistettä määritellään vain koordinaattiparilla, voimme kirjoittaa samanlaisen yhtälön ilman termiä, jossa on z:

A 1 A 2 = √((x 2 - x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Tarkastellaan nyt erilaisia ​​tapauksia pisteen projektiosta suoralle ja avaruuden tasolle.

Piste, viiva ja niiden välinen etäisyys

Oletetaan, että on piste ja viiva:

P2 (x 1; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Näiden geometristen objektien välinen etäisyys vastaa vektorin pituutta, jonka alku on pisteessä P 2 ja loppu on pisteessä P määritellyllä viivalla, jolla vektori P 2 P ¯ on kohtisuorassa tähän nähden. linja. Pistettä P kutsutaan pisteen P 2 projektioksi tarkasteltavalle suoralle.

Alla on kuva, joka esittää pisteen P 2, sen etäisyyden d suorasta sekä suuntavektorin v 1 ¯. Lisäksi suoralle valitaan mielivaltainen piste P 1 ja siitä piirretään vektori P 2:een. Piste P osuu tässä paikan kanssa, jossa kohtisuora leikkaa suoran.

Voidaan nähdä, että oranssit ja punaiset nuolet muodostavat suunnikkaan, jonka sivut ovat vektorit P 1 P 2 ¯ ja v 1 ¯ ja korkeus on d. Geometriasta tiedetään, että suunnikkaan korkeuden löytämiseksi sen pinta-ala tulisi jakaa sen kannan pituudella, jolle kohtisuora lasketaan. Koska suunnikkaan pinta-ala lasketaan sen sivujen vektoritulona, ​​saamme kaavan d:n laskemiseksi:

d = ||/|v 1 ¯|

Kaikki tämän lausekkeen vektorit ja pisteiden koordinaatit tunnetaan, joten voit käyttää sitä ilman muunnoksia.

Tämä ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Tee tämä kirjoittamalla kaksi yhtälöä:

• P 2 P ¯:n skalaaritulon v 1 ¯:lla on oltava nolla, koska nämä vektorit ovat keskenään kohtisuorassa;
• pisteen P koordinaattien on täytettävä suoran yhtälö.

Nämä yhtälöt riittävät löytämään koordinaatit P ja sitten pituuden d edellisessä kappaleessa esitetyn kaavan avulla.

Tehtävä löytää suoran ja pisteen välinen etäisyys

Näytämme, kuinka tätä teoreettista tietoa käytetään tietyn ongelman ratkaisemiseen. Oletetaan, että seuraavat pisteet ja suorat tunnetaan:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

On tarpeen löytää projektiopisteet tason suoralle viivalle sekä etäisyys M:stä suoraan.

Merkitään pisteen M 1 (x 1 ; y 1) avulla löydettävä projektio. Ratkaistaan ​​tämä ongelma kahdella tavalla, jotka on kuvattu edellisessä kappaleessa.

Menetelmä 1. Suuntavektorilla v 1 ¯ on koordinaatit (0; 2). Suunnikkaan muodostamiseksi valitsemme jonkin suoraan kuuluvan pisteen. Esimerkiksi piste, jolla on koordinaatit (3; 1). Sitten suunnikkaan toisen puolen vektorilla on koordinaatit:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Nyt sinun on laskettava suuntaviivan sivut määrittävien vektorien tulo:

Korvaamme tämän arvon kaavaan ja saamme etäisyyden d M:stä suoraan:

Menetelmä 2. Etsitään nyt toisella tavalla ei vain etäisyys, vaan myös projektion M koordinaatit suoralle, kuten tehtävän ehto vaatii. Kuten edellä mainittiin, ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen luoda yhtälöjärjestelmä. Se näyttää tältä:

(x1-5)*0+(y1+3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1) -α*(0; 2)

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä:

Alkuperäisen koordinaattipisteen projektiossa on M 1 (3; -3). Sitten vaadittu etäisyys on:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Kuten näet, molemmat ratkaisutavat antoivat saman tuloksen, mikä osoittaa suoritettujen matemaattisten operaatioiden oikeellisuuden.

Pisteen projektio tasoon

Tarkastellaan nyt mikä on avaruudessa annetun pisteen projektio tietylle tasolle. On helppo arvata, että tämä projektio on myös piste, joka yhdessä alkuperäisen kanssa muodostaa vektorin, joka on kohtisuorassa tasoon nähden.

Oletetaan, että projektiolla pisteen M tasolle on seuraavat koordinaatit:

Itse tasoa kuvaa yhtälö:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Näiden tietojen perusteella voimme luoda yhtälön suoralle, joka leikkaa tason suorassa kulmassa ja kulkee M:n ja M 1:n kautta:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Tässä muuttujat, joiden indeksit ovat nolla, ovat pisteen M koordinaatteja. Pisteen M 1 sijainti tasossa voidaan laskea sillä perusteella, että sen koordinaattien on täytettävä molemmat kirjoitetut yhtälöt. Jos nämä yhtälöt eivät riitä ratkaisemaan ongelmaa, voit käyttää MM 1 ¯:n ja tietyn tason ohjausvektorin välistä yhdensuuntaisuuden ehtoa.

On selvää, että tasoon kuuluvan pisteen projektio osuu yhteen itsensä kanssa ja vastaava etäisyys on nolla.

Ongelma pisteen ja tason kanssa

Olkoon piste M(1; -1; 3) ja taso, jota kuvaa seuraava yleinen yhtälö:

On tarpeen laskea projektion koordinaatit pisteen tasolle ja laskea näiden geometristen kohteiden välinen etäisyys.

Muodostetaan ensin M:n kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa esitettyyn tasoon nähden. Se näyttää:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Merkitään pisteeksi M 1 piste, jossa tämä suora leikkaa tason. Tason ja suoran yhtälöiden tulee täyttyä, jos koordinaatit M 1 korvataan niihin. Kirjoittamalla suoran yhtälön eksplisiittisesti saamme seuraavat neljä yhtälöä:

X1 + 3*y1-2*z1 + 4 = 0;

y1 = -1 + 3*a;

Viimeisestä yhtälöstä saamme parametrin α, sitten korvaamme sen toiseksi viimeisellä ja toisella lausekkeella, saamme:

y1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Korvaamme lausekkeen y 1 ja x 1 tason yhtälöön, meillä on:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Mistä saamme sen:

y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Olemme määrittäneet, että pisteen M projektio tietylle tasolle vastaa koordinaatteja (4/7; 2/7; 15/7).

Lasketaan nyt etäisyys |MM 1 ¯|. Vastaavan vektorin koordinaatit ovat:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Tarvittava etäisyys on:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Kolmen pisteen projektio

Piirustusten valmistuksen aikana on usein tarpeen saada poikkileikkausten projektiot keskenään kohtisuoraan kolmeen tasoon. Siksi on hyödyllistä pohtia, mitä tietyn koordinaatin (x 0 ; y 0 ; z 0) pisteen M projektiot kolmelle koordinaattitasolle ovat yhtä suuria.

Ei ole vaikeaa osoittaa, että xy-tasoa kuvaa yhtälö z = 0, xz-taso vastaa lauseketta y = 0 ja jäljellä oleva yz-taso on merkitty x = 0:lla. Ei ole vaikea arvata, että pisteen projektiot 3 tasossa ovat yhtä suuret:

kun x = 0: (0; y 0; z 0);

jos y = 0: (x0; 0; z0);

z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Missä on tärkeää tietää pisteen projektio ja sen etäisyys tasoihin?

Pisteiden projektion sijainnin määrittäminen tietylle tasolle on tärkeää, kun löydetään suureita, kuten pinta-ala ja tilavuus vinoille prismille ja pyramideille. Esimerkiksi etäisyys pyramidin huipulta perustasoon on korkeus. Jälkimmäinen sisältyy tämän luvun tilavuuden kaavaan.

Tarkasteltavat kaavat ja menetelmät projektioiden ja etäisyyksien määrittämiseksi pisteestä suoraan ja tasoon ovat melko yksinkertaisia. On vain tärkeää muistaa tason ja suoran yhtälöiden vastaavat muodot sekä omaa hyvä tilallinen mielikuvitus, jotta niitä voidaan soveltaa onnistuneesti.

Kun ratkaistaan ​​geometrisia ongelmia avaruudessa, syntyy usein ongelma tason ja pisteen välisen etäisyyden määrittämisestä. Joissakin tapauksissa tämä on välttämätöntä kokonaisvaltaisen ratkaisun saavuttamiseksi. Tämä arvo voidaan laskea etsimällä projektio pisteen tasoon. Katsotaanpa tätä kysymystä yksityiskohtaisemmin artikkelissa.

Yhtälö kuvaamaan tasoa

Ennen kuin siirryt pohtimaan kysymystä siitä, kuinka löytää pisteen projektio tasolle, sinun tulee tutustua yhtälötyyppeihin, jotka määrittelevät jälkimmäisen kolmiulotteisessa avaruudessa. Tarkemmat tiedot alla.

Yleinen yhtälö, joka määrittää kaikki pisteet, jotka kuuluvat tiettyyn tasoon, on seuraava:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Kolme ensimmäistä kerrointa ovat vektorin koordinaatit, jota kutsutaan tason ohjeeksi. Se on sama kuin sen normaali, eli se on kohtisuorassa. Tätä vektoria merkitään n¯(A; B; C). Vapaa kerroin D määritetään yksiselitteisesti minkä tahansa tasoon kuuluvan pisteen koordinaattien tiedosta.

Pisteprojektion käsite ja sen laskenta

Oletetaan, että jokin piste P(x 1 ; y 1 ; z 1) ja taso on annettu. Se määritellään yhtälöllä yleisessä muodossa. Jos vedetään kohtisuora viiva P:stä tiettyyn tasoon, niin on selvää, että se leikkaa jälkimmäisen tietyssä pisteessä Q (x 2 ; y 2 ​​; z 2). Q:ta kutsutaan P:n projektioksi tarkasteltavalle tasolle. Janan PQ pituutta kutsutaan etäisyydeksi pisteestä P tasoon. Siten PQ itse on kohtisuorassa tasoon nähden.

Kuinka voit löytää pisteen projektion koordinaatit tasoon? Tämän tekeminen ei ole vaikeaa. Ensin sinun on luotava yhtälö suoralle viivalle, joka on kohtisuorassa tasoon nähden. Siihen kuuluu piste P. Koska tämän suoran normaalivektorin n¯(A; B; C) on oltava yhdensuuntainen, kirjoitetaan sen yhtälö sopivassa muodossa seuraavasti:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Missä λ on reaaliluku, jota yleensä kutsutaan yhtälön parametriksi. Muuttamalla sitä saat minkä tahansa pisteen viivalla.

Kun vektoriyhtälö tasoon nähden kohtisuoralle suoralle on kirjoitettu, on tarpeen löytää yhteinen leikkauspiste tarkasteltaville geometrisille kohteille. Sen koordinaatit ovat projektio P. Koska niiden on täytettävä molemmat yhtälöt (suoralle ja tasolle), ongelma rajoittuu vastaavan lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.

Projektion käsitettä käytetään usein piirustusten tutkimisessa. Ne kuvaavat osan lateraalisia ja vaakasuoria projektioita zy-, zx- ja xy-tasoilla.

Tasosta pisteen etäisyyden laskeminen

Kuten edellä todettiin, pisteen tasoon kohdistuvan projektion koordinaattien tietäminen mahdollistaa niiden välisen etäisyyden määrittämisen. Käyttämällä edellisessä kappaleessa esiteltyä merkintää havaitsemme, että vaadittu etäisyys on yhtä suuri kuin janan PQ pituus. Sen laskemiseksi riittää löytää vektorin PQ¯ koordinaatit ja laskea sitten sen moduuli tunnetulla kaavalla. Lopullinen lauseke d-etäisyydelle P-pisteen ja tason välillä on muotoa:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Tuloksena oleva d:n arvo esitetään yksiköissä, joissa nykyinen karteesinen xyz-koordinaatisto on määritelty.

Esimerkkitehtävä

Oletetaan, että on piste N(0; -2; 3) ja taso, jota kuvataan seuraavalla yhtälöllä:

Sinun on löydettävä projektiopisteet tasolle ja laskettava niiden välinen etäisyys.

Ensinnäkin luodaan yhtälö suoralle, joka leikkaa tason 90 o kulmassa. Meillä on:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Kirjoittamalla tämä yhtälö eksplisiittisesti pääsemme seuraavaan yhtälöjärjestelmään:

Korvaamalla koordinaattiarvot kolmesta ensimmäisestä yhtälöstä neljänteen, saadaan arvo λ, joka määrittää suoran ja tason yhteisen pisteen koordinaatit:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Korvataan löydetty parametri ja etsitään koordinaatit lähtöpisteen projektiosta tasolle:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Laskemme tehtävänlauseessa määritettyjen geometristen kohteiden välisen etäisyyden käyttämällä kaavaa d:lle:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

Tässä tehtävässä näytimme kuinka löytää pisteen projektio mielivaltaiselle tasolle ja kuinka laskea niiden välinen etäisyys.