Integraali (lopullinen) muoto. Lause materiaalin pisteen kineettisen energian muutoksesta: materiaalin pisteen liike-energian muutos jossain sen siirtymässä on yhtä suuri kuin kaikkien tähän pisteeseen samalla siirtymällä vaikuttavien voimien töiden algebrallinen summa.

Lause mekaanisen järjestelmän kineettisen energian muutoksesta muotoillaan: mekaanisen järjestelmän liike-energian muutos sen liikkuessa asennosta toiseen on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään tämän liikkeen aikana kohdistuvien ulkoisten ja sisäisten voimien työn summa:

Muuttumattoman järjestelmän tapauksessa minkä tahansa siirtymän sisäisten voimien tekemien töiden summa on yhtä suuri kuin nolla (),

Mekaanisen energian säilymislaki. Kun mekaaninen järjestelmä liikkuu potentiaalisten voimien vaikutuksesta, järjestelmän liike-energian muutokset määräytyvät riippuvuuksien mukaan:

Missä ,

Järjestelmän kineettisten ja potentiaalisten energioiden summaa kutsutaan mekaaninen kokonaisenergia järjestelmät.

Täten, Kun mekaaninen järjestelmä liikkuu paikallaan pysyvässä potentiaalikentässä, järjestelmän mekaaninen kokonaisenergia liikkeen aikana pysyy muuttumattomana.

Tehtävä. Mekaaninen järjestelmä lähtee liikkeelle painovoiman vaikutuksesta lepotilasta. Ottaen huomioon kappaleen 3 liukukitka, huomioimatta muut vastusvoimat ja venymättömiksi oletetut kierteiden massat, määritä kappaleen 1 nopeus ja kiihtyvyys sillä hetkellä, kun sen kulkema rata muuttuu tasaiseksi s(Kuva 3.70).

Hyväksy tehtävässä:

Ratkaisu. Mekaaniseen järjestelmään vaikuttavat aktiiviset voimat , , . Sovellettaessa periaatetta vapauttaa järjestelmä rajoituksista, näytämme saranoidun kiinteän tuen 2 ja karkean kaltevan pinnan reaktiot. Kuvaamme järjestelmän kappaleiden nopeuksien suunnat ottaen huomioon, että kappale 1 on laskeva.

Ratkaistaan ​​ongelma soveltamalla mekaanisen järjestelmän liike-energian muutosta koskevaa lausetta:

Missä T ja on järjestelmän kineettinen energia alku- ja loppuasennossa; - järjestelmään kohdistettujen ulkoisten voimien suorittaman työn algebrallinen summa järjestelmän siirtämiseksi alkuasennosta loppuasentoon; - järjestelmän sisäisten voimien suorittaman työn summa samalla siirtymällä.

Tarkasteltavalle järjestelmälle, joka koostuu ehdottoman jäykistä kappaleista, jotka on yhdistetty venymättömillä kierteillä:

Koska järjestelmä oli levossa alkuasennossa, niin . Siten:

Järjestelmän liike-energia on kappaleiden 1, 2, 3 kineettisten energioiden summa:

Eteenpäin liikkuvan kuorman 1 kineettinen energia on yhtä suuri kuin:

Akselin ympäri pyörivän lohkon 2 kineettinen energia Oz, kohtisuorassa piirustustasoon nähden:

Kehon 3 kineettinen energia sen eteenpäin liikkeessä:

Täten,

Kineettisen energian lauseke sisältää kaikkien järjestelmän kappaleiden tuntemattomat nopeudet. Määritelmän tulee alkaa . Päästään eroon tarpeettomista tuntemattomista luomalla yhteyksien yhtälöitä.

Rajoitusyhtälöt eivät ole mitään muuta kuin kinemaattisia suhteita järjestelmän pisteiden nopeuksien ja liikkeiden välillä. Rajoiteyhtälöitä laadittaessa ilmaistaan ​​kaikki järjestelmän kappaleiden tuntemattomat nopeudet ja liikkeet kuorman 1 nopeuden ja liikkeen kautta.

Minkä tahansa pienen säteen reunan pisteen nopeus on yhtä suuri kuin kappaleen 1 nopeus sekä kappaleen 2 kulmanopeuden ja pyörimissäteen tulo r:

Tästä ilmaistamme kappaleen 2 kulmanopeuden:

Suurisäteisen kappaleen reunan minkä tahansa pisteen pyörimisnopeus on yhtä suuri kuin kappaleen kulmanopeuden ja pyörimissäteen tulo ja toisaalta kappaleen nopeus 3 :

Korvaamalla kulmanopeuden arvon, saamme:

Kun lausekkeet (a) ja (b) on integroitu alkuolosuhteissa, kirjoitamme järjestelmän pisteiden siirtymien suhteen:

Tietäen järjestelmän pisteiden nopeuksien perusriippuvuudet, palataan kineettisen energian ilmaisuun ja korvataan siihen yhtälöt (a) ja (b):

Kappaleen 2 hitausmomentti on yhtä suuri kuin:

Korvaamalla kehon massojen arvot ja kappaleen 2 hitausmomentti, kirjoitamme:

Järjestelmän kaikkien ulkoisten voimien työn summan määrittäminen tietyllä siirtymällä.

Nyt mekaanisen järjestelmän liike-energian muutosta koskevan lauseen mukaan arvot rinnastetaan T Ja

Kappaleen 1 nopeus saadaan lausekkeesta (g)

Kappaleen 1 kiihtyvyys voidaan määrittää erottamalla yhtälö (g) ajan suhteen.

Otetaan käyttöön käsite toisesta liikkeen dynaamisesta perusominaisuudesta - liike-energiasta. Materiaalipisteen kineettinen energia on skalaarisuure, joka on puolet pisteen massan ja sen nopeuden neliön tulosta.

Kineettisen energian mittayksikkö on sama kuin työn (SI - 1 J). Etsitään suhde, joka yhdistää nämä kaksi määrää.

Tarkastellaan materiaalipistettä, jonka massa liikkuu paikasta, jossa sillä on nopeus, paikkaan, jossa sen nopeus

Halutun riippuvuuden saamiseksi siirrytään dynamiikan peruslakia ilmaisevaan yhtälöön, jonka molemmat osat projisoimalla pisteen M liikeradan tangenttia, joka on suunnattu liikkeen suuntaan, saadaan

Esitetään tässä muodossa olevan pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys

Tämän seurauksena löydämme sen

Kerrotaan tämän yhtälön molemmat puolet ja kirjoitetaan se differentiaalimerkin alle. Sitten huomioimalla, että missä on voiman alkeistyö, saadaan lauseke pisteen kineettisen energian muutoksesta differentiaalimuodossa:

Kun nyt integroimme tämän yhtälön molemmat puolet rajoissa, jotka vastaavat muuttujien arvoja pisteissä, löydämme vihdoin

Yhtälö (52) ilmaisee lauseen pisteen kineettisen energian muutoksesta lopullisessa muodossa: pisteen liike-energian muutos jonkin siirtymän aikana on yhtä suuri kuin kaikkien pisteeseen vaikuttavien voimien algebrallinen summa. sama siirtymä.

Vapaan liikkuvuuden tapaus. Kun piste liikkuu epävapaasti, tasa-arvon (52) oikea puoli sisältää annettujen (aktiivisten) voimien työn ja kytkentäreaktion työn. Rajoittukaamme tarkastelemaan pisteen liikettä liikkumatonta sileää (kitkatonta) pintaa tai käyrää pitkin. Tässä tapauksessa reaktio N (katso kuva 233) suunnataan normaalisti pisteen ja liikeradan suhteen. Sitten kaavan (44) mukaan kiinteän sileän pinnan (tai käyrän) reaktiotyö pisteen mille tahansa liikkeelle on yhtä suuri kuin nolla, ja yhtälöstä (52) saadaan

Näin ollen liikkuessa paikallaan pysyvää sileää pintaa (tai käyrää) pitkin pisteen kineettisen energian muutos on yhtä suuri kuin tähän pisteeseen kohdistuvien aktiivisten voimien liikkeelle tehdyn työn summa.

Jos pinta (käyrä) ei ole tasainen, kitkavoiman työ lisätään aktiivisten voimien työhön (katso § 88). Jos pinta (käyrä) liikkuu, niin pisteen M absoluuttinen siirtymä ei välttämättä ole kohtisuorassa N:n suhteen ja tällöin reaktiotyö N ei ole yhtä suuri kuin nolla (esimerkiksi hissin laiturin reaktiotyö).

Ongelmanratkaisu. Kineettisen energian muutosta koskeva lause [kaava (52)] mahdollistaa, kun tiedetään, kuinka pisteen nopeus muuttuu pisteen liikkuessa, määrittää vaikuttavien voimien työ (dynamiikan ensimmäinen ongelma) tai tietäen pisteen toiminnan vaikuttavat voimat, määrittää kuinka pisteen nopeus muuttuu liikkuessaan (toinen dynamiikan ongelma). Kun ratkaistaan ​​toista ongelmaa, kun voimat on annettu, on tarpeen laskea niiden työ. Kuten kaavoista (44), (44) voidaan nähdä, tämä voidaan tehdä vain, kun voimat ovat vakioita tai riippuvat vain liikkuvan pisteen sijainnista (koordinaateista), kuten kimmo- tai painovoimasta (ks. § 88). ).

Siten kaavaa (52) voidaan käyttää suoraan toisen dynamiikan ongelman ratkaisemiseen, kun ongelman data ja vaaditut suureet sisältävät: vaikuttavat voimat, pisteen siirtymän sekä sen alku- ja loppunopeudet (eli suureet ) ja Voimien tulee olla vakioita tai riippuvat vain pisteen sijainnista (koordinaateista).

Differentiaalimuodossa olevaa lausetta [kaava (51)] voidaan tietysti soveltaa mihin tahansa vaikuttaviin voimiin.

Tehtävä 98. Korkeudessa pisteestä A nopeudella heitetyn kg painavan kuorman (kuva 235) nopeus putoamispisteessä C. Selvitä, mikä on kuormaan vaikuttavan ilmanvastusvoiman työ. liikkeensä aikana

Ratkaisu. Kuorman liikkuessa kuormaan vaikuttavat painovoima P ja ilmanvastusvoima R. Kineettisen energian muutosta koskevan lauseen mukaan, kun kuormaa pidetään materiaalina pisteenä, meillä on

Tästä yhtäläisyydestä, koska kaavan mukaan löydämme

Tehtävä 99. Tehtävän 96 olosuhteissa (katso [§ 84) määritä, mitä reittiä kuorma kulkee ennen pysähtymistä (katso kuva 223, missä on kuorman alkuasento ja loppuasento).

Ratkaisu. Kuormaan, kuten tehtävässä 96, vaikuttavat voimat P, N, F. Jarrutusmatkan määrittämiseksi, ottaen huomioon, että tämän tehtävän ehtoihin sisältyy myös vakiovoima F, käytämme lauseen muutoksesta kineettinen energia

Tarkasteltavana olevassa tapauksessa - kuorman nopeus pysähtymishetkellä). Lisäksi, koska voimat P ja N ovat kohtisuorassa siirtymään nähden, tuloksena saamme mistä löydämme

Tehtävän 96 tulosten mukaan jarrutusaika kasvaa suhteessa alkunopeuteen ja jarrutusmatka, kuten havaitsimme, on verrannollinen alkunopeuden neliöön. Maaliikenteessä tämä osoittaa, kuinka vaara kasvaa nopeuden kasvaessa.

Tehtävä 100. P-painoinen kuorma ripustetaan pituudeltaan l olevaan kierteeseen. Kierre yhdessä kuorman kanssa poikkeutetaan pystysuorasta kulmassa (kuva 236, a) ja vapautetaan ilman alkunopeutta. Liikkeessä kuormaan vaikuttaa vastusvoima R, jonka likimäärin korvaamme sen keskiarvolla. Laske kuorman nopeus sillä hetkellä, kun kierre muodostaa kulman pystysuoran kanssa

Ratkaisu. Kun otetaan huomioon ongelman ehdot, käytämme jälleen lausetta (52):

Kuormaan vaikuttaa painovoima P, vastuslangan reaktio, jota edustaa sen keskiarvo R. Voimalle P kaavan (47) mukaisesti voimalle N, koska lopulta saamme voiman koska kaavan (45) mukaan se on (kaaren pituus s on yhtä suuri kuin tulosäde l keskikulmaa kohti). Lisäksi ongelman ehtojen mukaan Tasa-arvo (a) antaa:

Vastuksen puuttuessa tästä saadaan tunnettu Galileo-kaava, joka ilmeisesti pätee myös vapaasti putoavan kuorman nopeudelle (kuva 236, b).

Tarkasteltavassa ongelmassa Sitten ottamalla käyttöön toinen merkintä - keskimääräinen vastusvoima kuorman painoyksikköä kohti) saadaan lopulta

Tehtävä 101. Epämuodostuneena venttiilijousen pituus on cm. Kun venttiili on täysin auki, sen pituus on cm ja venttiilin nousun korkeus on cm (kuva 237). Jousen jäykkyysventtiili paino kg. Painovoiman ja vastusvoimien vaikutukset huomioimatta määritä venttiilin nopeus sen sulkemishetkellä.

Ratkaisu, käytetään yhtälöä

Ongelman olosuhteiden mukaan työtä tekee vain jousen elastinen voima. Sitten kaavan (48) mukaan se on

Tässä tapauksessa

Lisäksi korvaamalla kaikki nämä arvot yhtälöksi (a), saamme lopulta

Tehtävä 102. Joustavan palkin keskellä oleva kuorma (kuva 238) taivuttaa sitä tietyllä määrällä (palkin tilastollinen taipuma) Palkin paino huomioimatta, määritä mikä sen suurin taipuma on, jos kuorma putoaa palkkiin korkeudelta H.

Ratkaisu. Kuten edellisessä tehtävässä, käytämme yhtälöä (52) ratkaisemaan. Tässä tapauksessa kuorman alkunopeus ja sen loppunopeus (palkin suurimman taipuman hetkellä) ovat nolla ja yhtälö (52) saa muodon

Työn suorittavat tässä siirtymään kohdistuva gravitaatiovoima P ja siirtymään kohdistuva säteen kimmovoima F. Lisäksi, koska palkkille korvaamalla nämä suureet yhtälöllä (a), saadaan

Mutta kun kuorma on tasapainossa palkkiin, painovoima tasapainotetaan kimmovoimalla, joten edellinen yhtäläisyys voidaan esittää muodossa

Ratkaisemalla tämä toisen asteen yhtälö ja ottamalla huomioon, että tehtävän ehtojen mukaan meidän pitäisi löytää

On mielenkiintoista huomata, että kun käy ilmi. Siksi, jos kuorma asetetaan vaakasuuntaisen palkin keskelle, sen suurin taipuma kuormaa laskettaessa on kaksi kertaa staattinen. Tämän jälkeen kuorma alkaa värähdellä yhdessä palkin kanssa tasapainoasennon ympärillä. Vastuksen vaikutuksesta nämä värähtelyt vaimentuvat ja järjestelmä tasapainottuu asentoon, jossa säteen taipuma on yhtä suuri kuin

Tehtävä 103. Määritä pienin pystysuoraan suunnattu alkunopeus, joka tulee antaa keholle, jotta se nousisi maan pinnasta tiettyyn korkeuteen H (kuva 239). Vetovoiman katsotaan vaihtelevan käänteisesti kehon neliön kanssa. etäisyys Maan keskustasta. Jätä ilmanvastus huomioimatta.

Ratkaisu. Kun tarkastellaan kehoa materiaalina pisteenä, jolla on massa, käytämme yhtälöä

Työn tekee tässä gravitaatiovoima F. Sitten saadaan kaavalla (50) huomioiden, että tässä tapauksessa, jossa R on maan säde, saadaan

Koska korkeimmassa pisteessä, työn löydetyllä arvolla, yhtälö (a) antaa

Tarkastellaanpa erikoistapauksia:

a) olkoon H hyvin pieni verrattuna R:ään. Sitten - arvo lähellä nollaa. Jakamalla osoittajan ja nimittäjän saamme

Siten pienelle H:lle pääsemme Galileon kaavaan;

b) selvitetään millä alkunopeudella heitetty kappale menee äärettömyyteen. Jakamalla osoittaja ja nimittäjä A:lla saadaan

Näytä: Tämä artikkeli on luettu 49915 kertaa

Pdf Valitse kieli... Russian Ukrainian English

Lyhyt arvostelu

Koko materiaali ladataan yllä, kun olet valinnut kielen

Kaksi materiaalin pisteen tai pistejärjestelmän mekaanisen liikkeen muunnostapausta:

1. mekaaninen liike siirretään mekaanisesta järjestelmästä toiseen mekaanisena liikkeenä;
2. mekaaninen liike muuttuu toiseksi aineen liikkeeksi (potentiaalienergiaksi, lämmöksi, sähköksi jne.).

Kun tarkastellaan mekaanisen liikkeen muutosta ilman sen siirtymistä toiseen liikemuotoon, mekaanisen liikkeen mitta on materiaalipisteen tai mekaanisen järjestelmän liikemäärän vektori. Voiman mitta tässä tapauksessa on voimaimpulssin vektori.

Kun mekaaninen liike muuttuu toiseksi aineen liikkeeksi, materiaalipisteen tai mekaanisen järjestelmän kineettinen energia toimii mekaanisen liikkeen mittana. Voiman vaikutuksen mitta muuttaessaan mekaanista liikettä toiseksi liikemuodoksi on voiman työ

Kineettinen energia

Kineettinen energia on kehon kykyä voittaa este liikkeen aikana.

Aineellisen pisteen kineettinen energia

Aineellisen pisteen kineettinen energia on skalaarisuure, joka on yhtä suuri kuin puolet pisteen massan ja sen nopeuden neliön tulosta.

Kineettinen energia:

• luonnehtii sekä translaatio- että pyörimisliikkeitä;
• ei riipu järjestelmän pisteiden liikesuunnasta eikä luonnehdi muutoksia näissä suunnissa;
• luonnehtii sekä sisäisten että ulkoisten voimien toimintaa.

Mekaanisen järjestelmän kineettinen energia

Järjestelmän kineettinen energia on yhtä suuri kuin järjestelmän kappaleiden kineettisten energioiden summa. Kineettinen energia riippuu järjestelmän kappaleiden liiketyypistä.

Kiinteän kappaleen kineettisen energian määritys erityyppisille liikkeille.

Translaatioliikkeen kineettinen energia
Translaatioliikkeen aikana kehon kineettinen energia on yhtä suuri kuin T=m V 2 /2.

Kappaleen hitausmitta translaatioliikkeen aikana on massa.

Kehon pyörivän liikkeen kineettinen energia

Kappaleen pyörimisliikkeen aikana kineettinen energia on yhtä suuri kuin puolet kappaleen hitausmomentin tulosta suhteessa pyörimisakseliin ja sen kulmanopeuden neliöön.

Kappaleen hitausmitta pyörimisliikkeen aikana on hitausmomentti.

Kehon kineettinen energia ei riipu kehon pyörimissuunnasta.

Kehon tasosuuntaisen liikkeen kineettinen energia

Kehon tasossa yhdensuuntaisessa liikkeessä kineettinen energia on yhtä suuri kuin

Voiman työtä

Voiman työ kuvaa voiman vaikutusta kehoon jonkin liikkeen aikana ja määrittää liikkuvan pisteen nopeusmoduulin muutoksen.

Alkeista voimantyötä

Voiman perustyö määritellään skalaarisuureeksi, joka on yhtä suuri kuin voiman projektio pisteen liikesuuntaan suunnatun lentoradan tangentille ja tätä pitkin suunnatun pisteen äärettömän pienen siirtymän tulo. tangentti.

Työ tehdään väkisin lopullisen siirtymän yhteydessä

Voiman tekemä työ lopulliseen siirtymään on yhtä suuri kuin sen alkeisosille tekemän työn summa.

Lopulliseen siirtymään M 1 M 0 kohdistuvan voiman työ on yhtä suuri kuin perustyön integraali tätä siirtymää pitkin.

Voiman vaikutus siirtymään M 1 M 2 on kuvattu kuvion alueella, jota rajoittavat abskissa-akseli, käyrä ja pisteitä M 1 ja M 0 vastaavat ordinaatit.

Voiman ja liike-energian työn mittayksikkö SI-järjestelmässä on 1 (J).

Lauseet voiman toiminnasta

Lause 1. Työ, jonka resultanttivoima tekee tietylle siirtymälle, on yhtä suuri kuin komponenttivoimien samalla siirtymällä tekemien töiden algebrallinen summa.

Lause 2. Vakiovoiman tekemä työ tuloksena olevaan siirtymään on yhtä suuri kuin tämän voiman komponenttien siirtymille tekemän työn algebrallinen summa.

Tehoa

Teho on suure, joka määrittää voiman aikayksikköä kohden tekemän työn.

Tehon mittayksikkö on 1W = 1 J/s.

Tapauksia voimien työn määrittämiseksi

Sisäisten voimien työ

Jäykän kappaleen sisäisten voimien minkä tahansa liikkeen aikana tekemän työn summa on nolla.

Painovoiman työ

Joustovoiman työ

Kitkavoiman työ

Pyörivään kappaleeseen kohdistettujen voimien työ

Kiinteän akselin ympäri pyörivään jäykään kappaleeseen kohdistettujen voimien perustyö on yhtä suuri kuin ulkoisten voimien päämomentin tulo suhteessa pyörimisakseliin ja kiertokulman lisäys.

Vierintävastus

Kiinteän sylinterin ja tason kosketusvyöhykkeellä tapahtuu kosketuspuristuksen paikallista muodonmuutosta, jännitys jakautuu elliptisen lain mukaan ja näiden jännitysten tuloksena olevan N:n vaikutuslinja osuu yhteen kuorman vaikutuslinjan kanssa. voima sylinteriin Q. Kun sylinteri rullaa, kuorman jakautuminen muuttuu epäsymmetriseksi maksimin siirtyessä liikettä kohti. Tuloksena olevaa N siirtyy määrällä k - vierintäkitkavoiman varsi, jota kutsutaan myös vierintäkitkakertoimeksi ja jonka pituus on (cm)

Lause materiaalin pisteen kineettisen energian muutoksesta

Aineellisen pisteen liike-energian muutos tietyllä siirtymällä on yhtä suuri kuin kaikkien samassa siirtymässä olevaan pisteeseen vaikuttavien voimien algebrallinen summa.

Lause mekaanisen järjestelmän kineettisen energian muutoksesta

Mekaanisen järjestelmän liike-energian muutos tietyllä siirtymällä on yhtä suuri kuin järjestelmän materiaalipisteisiin samalla siirtymällä vaikuttavien sisäisten ja ulkoisten voimien algebrallinen summa.

Lause kiinteän kappaleen liike-energian muutoksesta

Jäykän kappaleen (muuttumattoman järjestelmän) liike-energian muutos tietyllä siirtymällä on yhtä suuri kuin niiden ulkoisten voimien summa, jotka vaikuttavat järjestelmän samassa siirtymässä oleviin pisteisiin.

Tehokkuus

Mekanismeissa vaikuttavat voimat

Voimat ja voimaparit (momentit), jotka kohdistuvat mekanismiin tai koneeseen, voidaan jakaa ryhmiin:

1. Käyttövoimat ja momentit, jotka tekevät positiivista työtä (koskee vetoniveliä, esim. polttomoottorin mäntään kohdistuva kaasupaine).

2. Negatiivista työtä suorittavat voimat ja vastusmomentit:

• hyödyllinen vastus (ne suorittavat koneelta vaaditun työn ja kohdistuvat vetolenkkeihin, esimerkiksi koneen nostaman kuorman vastus),
• vastusvoimat (esimerkiksi kitkavoimat, ilmanvastus jne.).

3. Painovoimat ja jousien kimmovoimat (sekä positiivinen että negatiivinen työ, kun koko syklin työ on nolla).

4. Kehoon tai seisomaan ulkopuolelta kohdistetut voimat ja momentit (perustuksen reaktio jne.), jotka eivät toimi.

5. Vuorovaikutusvoimat kinemaattisina pareina toimivien linkkien välillä.

6. Linkkien inertiavoimat, jotka aiheutuvat lenkkien massan ja liikkeen kiihtyvyydestä, voivat tehdä positiivista, negatiivista työtä eivätkä tee työtä.

Voimien työ mekanismeissa

Kun kone toimii vakaassa tilassa, sen liike-energia ei muutu ja siihen kohdistuvien käyttö- ja vastusvoimien työn summa on nolla.

Koneen liikkeelle panemiseen käytetty työ kuluu hyödyllisten ja haitallisten vastusten voittamiseen.

Mekanismin tehokkuus

Mekaaninen hyötysuhde tasaisen liikkeen aikana on yhtä suuri kuin koneen hyödyllisen työn suhde koneen liikkeelle panemiseen käytettyyn työhön:

Koneelementit voidaan kytkeä sarjaan, rinnan ja sekoitettuna.

Tehokkuus sarjakytkennässä

Kun mekanismit kytketään sarjaan, kokonaishyötysuhde on pienempi kuin yksittäisen mekanismin pienin hyötysuhde.

Tehokkuus rinnakkaisliitännässä

Kun mekanismit kytketään rinnan, kokonaishyötysuhde on suurempi kuin yksittäisen mekanismin pienin ja pienempi kuin korkein hyötysuhde.

Muoto: pdf

Kieli: venäjä, ukraina

Laskuesimerkki hammaspyörästä
Esimerkki hammaspyörän laskemisesta. Materiaalivalinta, sallittujen jännitysten laskeminen, kosketus- ja taivutuslujuuden laskenta on suoritettu.

Esimerkki säteen taivutusongelman ratkaisemisesta
Esimerkissä rakennettiin kaavioita poikittaisvoimista ja taivutusmomenteista, löydettiin vaarallinen osa ja valittiin I-palkki. Tehtävässä analysoitiin kaavioiden rakentaminen differentiaaliriippuvuuksilla ja suoritettiin vertaileva analyysi palkin eri poikkileikkauksista.

Esimerkki akselin vääntöongelman ratkaisemisesta
Tehtävänä on testata teräsakselin lujuus tietyllä halkaisijalla, materiaalilla ja sallitulla jännityksellä. Ratkaisun aikana rakennetaan kaavioita vääntömomenteista, leikkausjännityksistä ja vääntökulmista. Akselin omaa painoa ei oteta huomioon

Esimerkki tangon jännitys-puristusongelman ratkaisemisesta
Tehtävänä on testata terästangon lujuus tietyissä sallituissa jännityksissä. Ratkaisun aikana muodostetaan kaavioita pituussuuntaisista voimista, normaalijännityksistä ja siirtymistä. Vavan omaa painoa ei oteta huomioon

Kineettisen energian säilymisen lauseen soveltaminen
Esimerkki ongelman ratkaisusta mekaanisen järjestelmän kineettisen energian säilymisen lauseella

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta jäykkien kappaleiden, lohkojen, hihnapyörien ja jousen järjestelmän liike-energian muutosta koskevan lauseen avulla.

Sisältö

Tehtävä

Mekaaninen järjestelmä koostuu painoista 1 ja 2, porrastetusta hihnapyörästä 3 askelsäteillä R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m ja pyörimissäde suhteessa pyörimisakseliin ρ 3 = 0,2 m, lohko 4 säde R 4 = 0,2 m ja liikkuva lohko 5. Lohkoa 5 pidetään kiinteänä homogeenisena sylinterinä. Kuorman 2 kitkakerroin tasossa f = 0,1 . Järjestelmän rungot on liitetty toisiinsa lohkojen yli heitetyillä kierteillä, jotka on kierretty hihnapyörälle 3. Kierteiden osat ovat samansuuntaisia ​​vastaavien tasojen kanssa. Jousi, jonka jäykkyyskerroin c = on kiinnitetty liikkuvaan kappaleeseen 5 280 N/m.

Voiman F = f vaikutuksen alaisena (s) = 80 (6 + 7 s) N, riippuen sen sovelluspisteen siirtymästä s, järjestelmä alkaa liikkua lepotilasta. Jousen muodonmuutos liikkeen alkamishetkellä on nolla. Liikkeessä hihnapyörään 3 vaikuttaa vakiomomentti M = 1,6 Nm vastusvoimat (laakerien kitkasta). Kehon massat: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Määritä kappaleen massakeskipisteen arvo 5 V C 5 sillä hetkellä, jolloin kuorman 1 siirtymä s tulee yhtä suureksi kuin s 1 = 0,2 m.

Huomautus. Kun ratkaiset ongelman, käytä kineettisen energian muutoslause.

Ongelman ratkaisu

Annettu: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

Löytö: V C 5 .

Vaihtelevat nimitykset

R 3, r 3- hihnapyörän askelmien 3 säteet;
ρ 3 - hihnapyörän 3 hitaussäde suhteessa pyörimisakseliin;
R 5 - lohkon säde 5;
V 1 , V 2 - kappaleiden 1 ja 2 nopeudet;
ω 3 - hihnapyörän 3 pyörimiskulmanopeus;
V C 5 - massakeskuksen nopeus C 5 lohko 5;
ω 5 - lohkon 5 pyörimiskulmanopeus;
s 1 , s 2 - kappaleiden 1 ja 2 liike;
φ 3 - hihnapyörän kiertokulma 3;
s C 5 - massakeskuksen C liike 5 lohko 5;
s A, s B - liikkuvat pisteet A ja B.

Kinemaattisten suhteiden luominen

Perustetaan kinemaattiset suhteet. Koska kuormat 1 ja 2 on yhdistetty yhdellä kierteellä, niiden nopeudet ovat yhtä suuret:
V 2 = V 1.
Koska kierteet yhdistävät kuormia 1 ja 2 kierretään hihnapyörän 3 ulkoportaan, hihnapyörän 3 ulkoportaan pisteet liikkuvat nopeudella V 2 = V 1. Sitten hihnapyörän pyörimiskulmanopeus on:
.
Massakeskuksen nopeus V C 5 lohko 5 on yhtä suuri kuin hihnapyörän 3 sisäisen vaiheen pisteiden nopeus:
.
Pisteen K nopeus on nolla. Siksi se on lohkon 5 hetkellinen nopeuskeskus. Lohkon 5 pyörimiskulmanopeus:
.
Pisteen B - jousen vapaa pää - nopeus on yhtä suuri kuin pisteen A nopeus:
.

Ilmaistaan ​​nopeudet V C:llä 5 .
;
;
.

Nyt asennetaan kehon liikkeiden ja pyörimiskulmien väliset yhteydet hihnapyörä ja lohko. Koska nopeudet ja kulmanopeudet ovat siirtymien ja pyörimiskulmien aikajohdannaisia
,
silloin samat liitännät ovat siirtymien ja kiertokulmien välillä:
s 2 = s 1;
;
;
.

Järjestelmän kineettisen energian määrittäminen

Selvitetään järjestelmän liike-energia. Kuorma 2 tekee siirtoliikettä nopeudella V 2 . Hihnapyörä 3 suorittaa pyörimisliikettä kulmapyörimisnopeudella ω 3 . Lohko 5 suorittaa tasosuuntaisen liikkeen. Se pyörii kulmanopeudella ω 5 ja sen massakeskipiste liikkuu nopeudella V C 5 . Järjestelmän kineettinen energia:
.

Koska hihnapyörän hitaussäde suhteessa pyörimisakseliin on annettu, hihnapyörän hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin määritetään kaavalla:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Koska lohko 5 on kiinteä homogeeninen sylinteri, sen hitausmomentti suhteessa massakeskipisteeseen on yhtä suuri kuin
.

Kinemaattisia suhteita käyttämällä ilmaistamme kaikki nopeudet V C:n kautta 5 ja korvaa liikeenergian kaavassa hitausmomenttien lausekkeita.
,
johon syötimme vakion
kg.

Olemme siis löytäneet järjestelmän kineettisen energian riippuvuuden massakeskuksen nopeudesta V C 5 liikkuva lohko:
, missä m = 75 kg.

Ulkoisten voimien työn määrän määritys

Harkitse ulkoisia voimia, jotka vaikuttavat järjestelmään.
Samanaikaisesti emme huomioi lankojen jännitysvoimia, koska langat ovat venymättömiä ja siksi ne eivät tuota työtä. Tästä syystä emme ota huomioon kappaleissa vaikuttavia sisäisiä jännityksiä, koska ne ovat ehdottoman kiinteitä.
Kappale 1 (jossa massa on nolla) vaikuttaa määrätyllä voimalla F.
Kuormaan 2 vaikuttaa painovoima P 2 = m 2 g 2 ja kitkavoima F T .
Hihnapyörään 3 vaikuttaa painovoima P 3 = m 3 g, N-akselin painevoima 3 ja kitkavoimien momentti M.
N-akselin painevoima vaikuttaa hihnapyörään 4 (nollamassalla). 4 .
Liikkuvaan kappaleeseen 5 vaikuttaa painovoima P 5 = m 5 g, jousen kimmovoima F y ja kierteen vetovoima T K pisteessä K.

Työ, jonka voima tekee siirrettäessä sen sovelluskohtaa pienellä siirtymällä, on yhtä suuri kuin vektorien skalaaritulo, eli vektorien F ja ds itseisarvojen tulo kulman välisen kulman kosinilla. niitä. Tietty kappaleeseen 1 kohdistettu voima on samansuuntainen kappaleen 1 liikkeen kanssa. Siksi voiman tekemä työ, kun kappale 1 liikkuu etäisyyden s 1 on yhtä suuri kuin:


J.

Tarkastellaan kuormaa 2. Siihen vaikuttaa painovoima P 2 , pintapainevoima N 2 , kierteen kireysvoima T 23 , T 24 ja kitkavoima F T . Koska kuorma ei liiku pystysuunnassa, sen kiihtyvyyden projektio pystyakselille on nolla. Siksi pystyakselin voimien projektioiden summa on nolla:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Kitkavoima:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Voimia P 2 ja N 2 kohtisuorassa siirtymään s 2 , joten ne eivät tuota työtä.
Kitkavoiman työ:
J.

Jos tarkastellaan kuormaa 2 eristettynä järjestelmänä, meidän on otettava huomioon kierteiden T jännitysvoimien tuottama työ 23 ja T 24 . Olemme kuitenkin kiinnostuneita koko järjestelmästä, joka koostuu kappaleista 1, 2, 3, 4 ja 5. Tällaisessa järjestelmässä kierteiden jännitysvoimat ovat sisäisiä voimia. Ja koska säikeet ovat venymättömiä, niiden työn summa on nolla. Kuorman 2 tapauksessa on myös otettava huomioon hihnapyörään 3 ja lohkoon 4 vaikuttavien kierteiden jännitysvoimat. Ne ovat suuruudeltaan yhtä suuret ja vastakkaiset kuin voimat T. 23 ja T 24 . Siksi kierteiden 23 ja 24 jännitysvoimien kuorman 2 yli tekemä työ on suuruudeltaan yhtä suuri ja etumerkillisesti päinvastainen kuin näiden kierteiden jännitysvoimien hihnapyörän 3 ja lohkon 4 yli tekemä työ. kierteiden jännitysvoimien tuottama työ on nolla.

Tarkastellaan hihnapyörää 3. Koska sen massakeskipiste ei liiku, painovoiman P tekemä työ 3 yhtä suuri kuin nolla.
Koska C-akseli 3 on liikkumaton, silloin N-akselin painevoima 3 ei tuota työtä.
Vääntömomentin tekemä työ lasketaan samalla tavalla kuin voiman tekemä työ:
.
Meidän tapauksessamme kitkavoimien momentin ja hihnapyörän pyörimiskulman vektorit on suunnattu hihnapyörän pyörimisakselia pitkin, mutta vastakkaiseen suuntaan. Siksi kitkavoimien momentin työ:
J.

Katsotaanpa lohkoa 5.
Koska pisteen K nopeus on nolla, voima T K ei tuota työtä.
Lohkon C massakeskipiste 5 siirtynyt etäisyyden s C 5 ylös. Siksi lohkon painovoiman tekemä työ on:
J.
Jousen kimmovoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin jousen potentiaalienergian muutos miinusmerkillä. Koska jousi ei ole ensin vääntynyt, sitten
J.

Kaikkien voimien työn summa:

J.

Systeemin liike-energian muutosta koskevan lauseen soveltaminen

Sovelletaan lausetta järjestelmän kineettisen energian muutoksesta integraalimuodossa.
.
Koska järjestelmä oli alussa levossa, sen liike-energia liikkeen alussa on
T 0 = 0 .
Sitten
.
Täältä
neiti.

Mekaanisen järjestelmän liike-energia koostuu kaikkien sen pisteiden kineettisistä energioista:

Erottelemalla tämän tasa-arvon jokaisen osan ajan suhteen saamme

Käyttämällä dynamiikan peruslakia Vastaanottaja järjestelmän piste m k 2i k= Fj., saavumme tasa-arvoon

Voiman F ja nopeuden v skalaarituloa sen soveltamispisteessä kutsutaan pakottaa voimaa ja merkitsee R:

Käyttämällä tätä uutta merkintää edustamme (11.6) seuraavassa muodossa:

Tuloksena oleva yhtälö ilmaisee kineettisen energian muutosta koskevan lauseen differentiaalisen muodon: mekaanisen järjestelmän kineettisen energian muutosnopeus on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään vaikuttavien cm:n j-tehojen summa.

Esitetään johdannainen f kohdassa (8.5) murto-osan muodossa -- ja esiintyy

sitten erottamalla muuttujat, saamme:

Missä dT- kineettinen energiadifferentiaali, ts. sen muutos äärettömän lyhyen ajanjakson aikana tohtori, tohtori k = k dt - alkeellista liikettä To- järjestelmän pisteet, ts. liike ajassa dt.

Voiman F ja alkeissiirtymän skalaaritulo DR sen sovelluskohteita kutsutaan perustyötä voimat ja merkitsevät dA:

Skalaaritulon ominaisuuksia käyttämällä voidaan esittää voiman alkeistyö myös muodossa

Tässä ds = dr - voimankäyttöpisteen liikeradan kaaren pituus, joka vastaa sen perussiirtymää s/g; A - voimavektorin F suuntien ja alkeissiirtymävektorin c/r välinen kulma; F„ F y , F,- voimavektorin F projektiot suorakulmaisille akseleille; dx, dy, dz - alkeissiirtymän vektorin projektiot karteesisille akseleille s/g.

Ottaen huomioon merkintätapa (11.9), yhtäläisyys (11.8) voidaan esittää seuraavassa muodossa:

nuo. järjestelmän liike-energian differentiaali on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään vaikuttavien voimien alkuainetöiden summa. Tämä yhtälö ilmaisee kineettisen energian muutosta koskevan lauseen differentiaalisen muodon, kuten (11.7), mutta eroaa lauseesta (11.7) siinä, että se ei käytä derivaattoja, vaan äärettömän pieniä lisäyksiä - differentiaaleja.

Suorittamalla yhdenvertaisuuden termi kerrallaan (11.12) saamme

jossa integrointirajoina käytetään seuraavia: 7 0 - järjestelmän liike-energia ajanhetkellä? 0; 7) - järjestelmän kineettinen energia ajanhetkellä tx.

Tarkat integraalit ajan myötä tai A(F):

Huomautus 1. Työn laskemiseen on joskus kätevämpää käyttää liikeradan ei-kaariparametrisointia Neiti), ja koordinoida M(x(t), y(/), z(f)). Tässä tapauksessa alkeistyössä on luonnollista ottaa esitys (11.11) ja esittää kaareva integraali muodossa:

Kun otetaan huomioon äärellisen siirtymän työn merkintä (11.14), yhtälö (11.13) saa muotoa

ja edustaa mekaanisen järjestelmän kineettisen energian muutosta koskevan lauseen lopullista muotoa.

Lause 3. Mekaanisen järjestelmän liike-energian muutos sen siirtyessä alkuasennosta loppuasentoon on yhtä suuri kuin kaikkien tämän liikkeen aikana järjestelmän pisteisiin vaikuttavien voimien työn summa.

Kommentti 2. Tasa-arvon oikea puoli (11.16) ottaa huomioon työn kaikella voimallamme, jotka vaikuttavat järjestelmään, sekä ulkoiseen että sisäiseen. Siitä huolimatta on mekaanisia järjestelmiä, joissa kaikkien sisäisten voimien tekemä kokonaistyö on nolla. Egot ns muuttumattomat järjestelmät, jossa vuorovaikutuksessa olevien materiaalipisteiden väliset etäisyydet eivät muutu. Esimerkiksi järjestelmä kiinteistä kappaleista, jotka on yhdistetty kitkattomilla saranoilla tai joustavilla venymättömillä kierteillä. Tällaisille järjestelmille yhtälössä (11.16) riittää, että huomioidaan vain ulkoisten voimien työ, ts. lause (11.16) saa muodon: