Parillinen pariton funktio y 2x. Parilliset ja parittomat funktiot

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Tavoitteet:

muodostaa käsite parilliset ja parittomat funktiot, opettaa kyky määrittää ja käyttää näitä ominaisuuksia funktioiden tutkimuksessa, piirtämisessä;
kehittää opiskelijoiden luovaa toimintaa, loogista ajattelua, kykyä vertailla, yleistää;
viljellä ahkeruutta, matemaattista kulttuuria; kehittää viestintätaitoja .

Laitteet: multimedia-asennus, interaktiivinen taulu, monisteet.

Työmuodot: eturintamassa ja ryhmässä haku- ja tutkimustoiminnan elementeillä.

Tietolähteet:

1. Algebraluokka 9 A.G. Mordkovich. Oppikirja.
2. Algebra luokka 9 A.G. Mordkovich. Tehtäväkirja.
3. Algebra luokka 9. Tehtävät opiskelijoiden oppimiseen ja kehittymiseen. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

TUTKIEN AIKANA

1. Organisatorinen hetki

Oppitunnin tavoitteiden ja tavoitteiden asettaminen.

2. Kotitehtävien tarkistaminen

Nro 10.17 (Ongelmakirja 9. luokka A.G. Mordkovich).

mutta) klo = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 varten X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Toiminto kasvaa kanssa X € [– 2; + ∞)
6. Toiminto on rajoitettu alhaalta.
7. klo vuokra = - 3, klo naibia ei ole olemassa
8. Toiminto on jatkuva.

(Käytitkö ominaisuuksien tutkimisalgoritmia?) Liuku.

2. Tarkastetaan taulukko, jota sinulta kysyttiin diassa.

Täytä taulukko
	Verkkotunnus	Toimintojen nollia	Vakiovälit		Kuvaajan ja Oy:n leikkauspisteiden koordinaatit
	Verkkotunnus	Toimintojen nollia			Kuvaajan ja Oy:n leikkauspisteiden koordinaatit
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Tiedon päivitys

– Toiminnot annetaan.
– Määritä kunkin funktion määritelmäalue.
– Vertaa jokaisen funktion arvoa jokaiselle argumenttiarvoparille: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Minkä määrittelyalueen annetuista funktioista ovat yhtäläisyydet f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (laita tiedot taulukkoon) Liuku

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	kaavioita	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		eikä määritelty.

4. Uusi materiaali

- Tätä työtä tehdessämme, kaverit, olemme paljastaneet vielä yhden funktion ominaisuuden, joka on teille tuntematon, mutta ei vähemmän tärkeä kuin muut - tämä on funktion tasaisuus ja omituisuus. Kirjoita oppitunnin aihe: "Parilliset ja parittomat funktiot", tehtävämme on oppia määrittämään parilliset ja parittomat funktiot, selvittää tämän ominaisuuden merkitys funktioiden tutkimuksessa ja piirtämisessä.
Etsitään siis määritelmät oppikirjasta ja luetaan (s. 110) . Liuku

Def. yksi Toiminto klo = f (X) kutsutaan joukolle X jopa, jos millä tahansa arvolla XЄ X käynnissä yhtälö f (–x) = f (x). Antaa esimerkkejä.

Def. 2 Toiminto y = f(x), joka on määritelty joukossa X, kutsutaan outo, jos millä tahansa arvolla XЄ X yhtälö f(–х)= –f(х) täyttyy. Antaa esimerkkejä.

Missä kohtasimme termit "parillinen" ja "pariton"?
Mikä näistä toiminnoista on mielestäsi parillinen? Miksi? Mitkä ovat outoja? Miksi?
Kaikille lomakkeen toiminnoille klo= x n, missä n on kokonaisluku, voidaan väittää, että funktio on pariton n on pariton ja funktio on parillinen n- jopa.
– Näytä toiminnot klo= ja klo = 2X– 3 ei ole parillinen eikä pariton, koska tasa-arvo ei täyty f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Tutkimusta siitä, onko funktio parillinen vai pariton, kutsutaan pariteetin funktion tutkimukseksi. Liuku

Määritelmät 1 ja 2 käsittelivät funktion arvoja kohdissa x ja - x, joten oletetaan, että funktio on myös määritelty arvossa X, ja klo - X.

ODA 3. Jos lukujoukko yhdessä jokaisen alkionsa kanssa x sisältää vastakkaisen alkion x, niin joukko X kutsutaan symmetriseksi joukoksi.

Esimerkkejä:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ovat symmetrisiä joukkoja ja , [–5;4] ovat epäsymmetrisiä.

- Onko parilla funktioilla määritelmäalue - symmetrinen joukko? Oudot?
- Jos D( f) on epäsymmetrinen joukko, mikä sitten on funktio?
– Jos siis funktio klo = f(X) on parillinen tai pariton, niin sen määritelmäalue on D( f) on symmetrinen joukko. Mutta onko käänteinen väite totta, jos funktion alue on symmetrinen joukko, niin se on parillinen vai pariton?
- Määritelmäalueen symmetrisen joukon läsnäolo on siis välttämätön, mutta ei riittävä ehto.
– Miten voimme siis tutkia pariteetin funktiota? Yritetään kirjoittaa algoritmi.

Liuku

Algoritmi pariteetin funktion tutkimiseen

1. Selvitä, onko funktion alue symmetrinen. Jos ei, funktio ei ole parillinen eikä pariton. Jos kyllä, siirry algoritmin vaiheeseen 2.

2. Kirjoita lauseke kohteelle f(–X).

3. Vertaa f(–X).Ja f(X):

jos f(–X).= f(X), silloin funktio on parillinen;
jos f(–X).= – f(X), silloin funktio on pariton;
jos f(–X) ≠ f(X) Ja f(–X) ≠ –f(X), silloin funktio ei ole parillinen eikä pariton.

Esimerkkejä:

Tutki pariteetin a) funktiota klo= x 5 +; b) klo= ; sisään) klo= .

Ratkaisu.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrinen joukko.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktio h(x)= x 5 + pariton.

b) y =,

klo = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), epäsymmetrinen joukko, joten funktio ei ole parillinen eikä pariton.

sisään) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Vaihtoehto 2

1. Onko annettu joukko symmetrinen: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

mutta); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Tutki pariteetin funktiota:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Kuvassa piirretty klo = f(X), kaikille X, ehtoa tyydyttävä X? 0.
Piirrä funktio klo = f(X), jos klo = f(X) on parillinen funktio.

3. Kuvassa piirretty klo = f(X), kaikille x, jotka täyttävät x? 0.
Piirrä funktio klo = f(X), jos klo = f(X) on pariton funktio.

Keskinäinen tarkistus liukumäki.

6. Kotitehtävät: №11.11, 11.21,11.22;

Todiste pariteettiominaisuuden geometrisestä merkityksestä.

*** (KÄYTTÖ-vaihtoehdon määritys).

1. Pariton funktio y \u003d f (x) on määritelty koko reaaliviivalle. Minkä tahansa muuttujan x ei-negatiivisen arvon kohdalla tämän funktion arvo on sama kuin funktion g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Etsi funktion h( X) = klo X = 3.

7. Yhteenveto

. Käytä tätä varten graafista paperia tai graafista laskinta. Valitse riippumattomalle muuttujalle mikä tahansa määrä numeerisia arvoja x (\displaystyle x) ja liitä ne funktioon laskeaksesi riippuvan muuttujan arvot y (\displaystyle y). Aseta löydetyt pisteiden koordinaatit koordinaattitasolle ja yhdistä sitten nämä pisteet funktion kuvaajaksi.

Korvaa funktioon positiiviset numeeriset arvot x (\displaystyle x) ja vastaavat negatiiviset numeeriset arvot. Esimerkiksi annettuna funktion f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Korvaa seuraavat arvot siihen x (\displaystyle x):

Tarkista, onko funktion kuvaaja symmetrinen y-akselin suhteen. Symmetrialla tarkoitetaan y-akselin ympärillä olevan kaavion peilikuvaa. Jos y-akselin oikealla puolella oleva kaavion osa (riippumattoman muuttujan positiiviset arvot) vastaa y-akselin vasemmalla puolella olevaa kaavion osaa (riippumattoman muuttujan negatiiviset arvot), kaavio on symmetrinen y-akselin suhteen.Jos funktio on symmetrinen y-akselin suhteen, funktio on parillinen.

Tarkista, onko funktion kuvaaja symmetrinen origon suhteen. Origo on piste, jonka koordinaatit (0,0). Symmetria alkuperästä tarkoittaa positiivista arvoa y (\displaystyle y)(positiivisella arvolla x (\displaystyle x)) vastaa negatiivista arvoa y (\displaystyle y)(negatiivinen arvo x (\displaystyle x)), ja päinvastoin. Parittomilla funktioilla on symmetria origon suhteen.

Tarkista, onko funktion kuvaajalla symmetriaa. Viimeinen funktiotyyppi on funktio, jonka kuvaajalla ei ole symmetriaa, eli peilikuvaa ei ole sekä suhteessa y-akseliin että suhteessa origoon. Esimerkiksi annettuna funktion.

Korvaa funktioon useita positiivisia ja vastaavia negatiivisia arvoja x (\displaystyle x):
Saatujen tulosten mukaan symmetriaa ei ole. Arvot y (\displaystyle y) vastakkaisille arvoille x (\displaystyle x) eivät täsmää eivätkä ole vastakkaisia. Siten funktio ei ole parillinen eikä pariton.
Huomaa, että toiminto f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) voidaan kirjoittaa näin: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Tässä muodossa kirjoitettuna funktio näyttää parilliselta, koska siinä on parillinen eksponentti. Mutta tämä esimerkki todistaa, että funktion muotoa ei voida määrittää nopeasti, jos riippumaton muuttuja on suluissa. Tässä tapauksessa sinun on avattava sulut ja analysoitava tuloksena saadut eksponentit.

Piilota esitys

Tapoja asettaa toiminto

Esitetään funktio kaavalla: y=2x^(2)-3 . Kun annat riippumattomalle muuttujalle x minkä tahansa arvon, voit käyttää tätä kaavaa laskeaksesi riippuvan muuttujan y vastaavat arvot. Esimerkiksi jos x=-0.5 , niin kaavalla saadaan, että y:n vastaava arvo on y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Kun otetaan huomioon mikä tahansa x-argumentin arvo kaavassa y=2x^(2)-3 , voidaan laskea vain yksi sitä vastaava funktion arvo. Funktio voidaan esittää taulukkona:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Tämän taulukon avulla voit selvittää, että argumentin -1 arvoa varten funktion -3 arvo vastaa; ja arvo x=2 vastaa arvoa y=0 ja niin edelleen. On myös tärkeää tietää, että jokainen taulukon argumenttiarvo vastaa vain yhtä funktion arvoa.

Lisää toimintoja voidaan asettaa kaavioiden avulla. Kaavion avulla selvitetään mikä funktion arvo korreloi tietyn x:n arvon kanssa. Useimmiten tämä on funktion likimääräinen arvo.

Parillinen ja pariton funktio

Toiminto on tasainen toiminto, kun f(-x)=f(x) mille tahansa toimialueen x:lle. Tällainen funktio tulee olemaan symmetrinen Oy-akselin suhteen.

Toiminto on outo toiminto kun f(-x)=-f(x) mille tahansa toimialueen x:lle. Tällainen funktio on symmetrinen origon O (0;0) suhteen.

Toiminto on ei edes, eikä outoa ja soitti yleinen toiminto kun sillä ei ole symmetriaa akselin tai origon suhteen.

Tarkastellaan seuraavaa pariteettifunktiota:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty), jolla on symmetrinen määritelmän alue alkuperästä. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Näin ollen funktio f(x)=3x^(3)-7x^(7) on pariton.

Jaksollinen toiminto

Funktiota y=f(x) , jonka alueella f(x+T)=f(x-T)=f(x) on tosi mille tahansa x:lle, kutsutaan jaksollinen toiminto jaksolla T \neq 0 .

Funktion kaavion toisto millä tahansa abskissa-akselin segmentillä, jonka pituus on T .

Intervallit, joissa funktio on positiivinen, eli f (x) > 0 - abskissa-akselin segmentit, jotka vastaavat funktion kaavion pisteitä, jotka ovat abskissa-akselin yläpuolella.

f(x) > 0 päällä (x_(1); x_(2)) \kuppi (x_(3); +\infty)

Raot, joissa funktio on negatiivinen, eli f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \kuppi (x_(2); x_(3))

Toiminnan rajoitus

rajattu alhaalta on tapana kutsua funktiota y=f(x), x \in X, kun on olemassa luku A, jolle epäyhtälö f(x) \geq A pätee mille tahansa x \in X:lle.

Esimerkki funktiosta, joka on rajoitettu alla: y=\sqrt(1+x^(2)), koska y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 mille tahansa x:lle.

rajattu ylhäältä funktio y=f(x), x \in X kutsutaan, jos on olemassa luku B, jolle epäyhtälö f(x) \neq B pätee mille tahansa x \in X:lle.

Esimerkki alla rajatusta funktiosta: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] koska y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 mille tahansa x:lle \in [-1;1] .

Rajoitettu on tapana kutsua funktiota y=f(x), x \in X, kun on olemassa luku K > 0, jolle epäyhtälö \vasen | f(x) \oikea | \neq K mille tahansa x:lle \in X .

Esimerkki rajoitetusta funktiosta: y=\sin x on rajoitettu kokonaislukurivillä, koska \vasen | \sin x \right | \neq 1.

Lisääntyvä ja heikentävä toiminta

On tapana puhua funktiosta, joka kasvaa tarkasteltavalla aikavälillä as lisää toimintoa kun suurempi x:n arvo vastaa funktion y=f(x) suurempaa arvoa. Tästä käy ilmi, että kun tarkastelusta väliltä otetaan kaksi mielivaltaista argumentin arvoa x_(1) ja x_(2) ja x_(1) > x_(2) , se on y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Kutsutaan funktiota, joka pienenee tarkasteluvälillä vähenevä toiminto kun suurempi x:n arvo vastaa funktion y(x) pienempää arvoa. Tästä käy ilmi, että kun tarkastelusta väliltä otetaan kaksi mielivaltaista argumentin arvoa x_(1) ja x_(2) ja x_(1) > x_(2) , se on y(x_(1))< y(x_{2}) .

Toiminnan juuret on tapana nimetä pisteet, joissa funktio F=y(x) leikkaa abskissa-akselin (ne saadaan yhtälön y(x)=0 ratkaisemisen tuloksena.

a) Jos parillinen funktio kasvaa arvolla x > 0, niin se pienenee x:llä< 0

b) Kun parillinen funktio pienenee, kun x > 0, niin se kasvaa x:llä< 0

c) Kun pariton funktio kasvaa arvolla x > 0, niin se kasvaa myös x:llä< 0

d) Kun pariton funktio pienenee, kun x > 0, niin se pienenee myös x:n kohdalla< 0

Toiminnan ääripäät

Toiminnan minimipiste y=f(x) on tapana kutsua sellaista pistettä x=x_(0) , jossa sen lähistöllä on muita pisteitä (paitsi piste x=x_(0) ), ja niille sitten epäyhtälö f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - funktion nimitys pisteessä min.

Toiminnan maksimipiste y=f(x) on tapana kutsua sellaista pistettä x=x_(0) , jossa sen lähistöllä on muita pisteitä (paitsi piste x=x_(0) ), ja sitten epäyhtälö f(x) ollaan tyytyväisiä heidän puolestaan< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Tarpeellinen kunto

Fermatin lauseen mukaan: f"(x)=0, silloin kun funktio f(x) , joka on differentioituva pisteessä x_(0) , syntyy tässä kohdassa ääriarvo.

Riittävä kunto

Kun derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinukseen, niin x_(0) on minimipiste;
x_(0) - on maksimipiste vain, kun derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussiksi kulkiessaan stationaarisen pisteen x_(0) läpi.

Intervallin funktion suurin ja pienin arvo

Laskentavaiheet:

Etsitään derivaatta f"(x) ;
Haetaan funktion kiinteät ja kriittiset pisteet ja valitaan väliin kuuluvat;
Funktion f(x) arvot löytyvät janan kiinteästä ja kriittisestä pisteestä ja päistä. Pienin tuloksista on funktion pienin arvo, ja enemmän - suurin.

Muuttujan y riippuvuutta muuttujasta x, jossa jokainen x:n arvo vastaa yhtä y:n arvoa, kutsutaan funktioksi. Merkintä on y=f(x). Jokaisella funktiolla on useita perusominaisuuksia, kuten monotonisuus, pariteetti, jaksollisuus ja muut.

Harkitse pariteettiominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

Funktiota y=f(x) kutsutaan, vaikka se täyttäisi seuraavat kaksi ehtoa:

2. Funktion arvon funktion laajuuteen kuuluvassa pisteessä x tulee olla yhtä suuri kuin funktion arvo pisteessä -x. Toisin sanoen mille tahansa pisteelle x funktion alueelta seuraavan yhtälön f (x) \u003d f (-x) on oltava tosi.

Parillisen funktion kuvaaja

Jos rakennat kaavion parillisesta funktiosta, se on symmetrinen y-akselin suhteen.

Esimerkiksi funktio y=x^2 on parillinen. Katsotaanpa se. Määritelmäalue on koko numeerinen akseli, mikä tarkoittaa, että se on symmetrinen pisteen O suhteen.

Otetaan mielivaltainen x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Siksi f(x) = f(-x). Siten molemmat ehdot täyttyvät meille, mikä tarkoittaa, että funktio on parillinen. Alla on funktion y=x^2 kaavio.

Kuvasta näkyy, että kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.

Parittoman funktion kuvaaja

Funktiota y=f(x) kutsutaan parittomaksi, jos se täyttää seuraavat kaksi ehtoa:

1. Annetun funktion alueen tulee olla symmetrinen pisteen O suhteen. Eli jos jokin piste a kuuluu funktion alueeseen, niin myös vastaavan pisteen -a tulee kuulua annetun funktion alueeseen.

2. Minkä tahansa pisteen x osalta funktion alueelta seuraavan yhtälön f (x) \u003d -f (x) on täytettävä.

Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen pisteen O - origon - suhteen. Esimerkiksi funktio y=x^3 on pariton. Katsotaanpa se. Määritelmäalue on koko numeerinen akseli, mikä tarkoittaa, että se on symmetrinen pisteen O suhteen.

Otetaan mielivaltainen x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Siksi f(x) = -f(x). Siten molemmat ehdot täyttyvät meille, mikä tarkoittaa, että funktio on pariton. Alla on funktion y=x^3 kaavio.

Kuvasta näkyy selvästi, että pariton funktio y=x^3 on symmetrinen origon suhteen.

- (Math.) Funktiota y \u003d f (x) kutsutaan, vaikka se ei muutu, kun riippumaton muuttuja muuttaa vain etumerkkiä, eli jos f (x) \u003d f (x). Jos f (x) = f (x), niin funktiota f (x) kutsutaan parittomaksi. Esimerkiksi y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x on esimerkki parittomasta funktiosta. f(x) = x2 on esimerkki parillisesta funktiosta. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funktio, joka toteuttaa yhtälön f (x) = f (x). Katso parilliset ja parittomat funktiot... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja