Matemaattinen analyysi on matematiikan ala, joka käsittelee funktioiden tutkimusta äärettömän pienestä funktiosta.

Matemaattisen analyysin peruskäsitteet ovat määrä, joukko, funktio, äärettömän pieni funktio, raja, derivaatta, integraali.

Arvo Kaikkea mitä voidaan mitata ja ilmaista luvulla kutsutaan.

monet on kokoelma joitakin elementtejä, joita yhdistää jokin yhteinen piirre. Joukon elementit voivat olla numeroita, kuvioita, esineitä, käsitteitä jne.

Sarjat on merkitty isoilla kirjaimilla ja joukon osat pienillä kirjaimilla. Sarjaelementit on suljettu kihariin aaltosulkeisiin.

Jos elementti x kuuluu sarjaan X, sitten Kirjoita x∈X (∈ - kuuluu).
Jos joukko A on osa joukkoa B, kirjoita A ⊂ B (⊂ - sisältyy).

Joukko voidaan määrittää kahdella tavalla: luetteloimalla ja määrittävällä ominaisuudella.

Esimerkiksi luettelo määrittelee seuraavat joukot:

• A=(1,2,3,5,7) - joukko numeroita
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) on joukko alkioita x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) on luonnollisten lukujen joukko
• Z=(0,±1,±2,...,±n) on kokonaislukujen joukko

Joukko (-∞;+∞) kutsutaan numeroviiva, ja mikä tahansa luku on tämän suoran piste. Olkoon a mielivaltainen piste reaaliviivalla ja δ positiivinen luku. Väliä (a-δ; a+δ) kutsutaan δ-pisteen a.

Joukko X on rajattu ylhäältä (alhaalta), jos on sellainen luku c, että mille tahansa x ∈ X:lle epäyhtälö x≤с (x≥c) täyttyy. Numeroa c tässä tapauksessa kutsutaan ylä (ala) reuna joukot X. Kutsutaan joukkoa, joka on rajoitettu sekä ylä- että alapuolelta rajoitettu. Pienintä (suurinta) joukon ylemmästä (alapinnasta) kutsutaan tarkat ylä- (ala-) kasvot tämä setti.

Perusnumerosarjat

N	(1,2,3,...,n) Kaikkien joukko
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Aseta kokonaislukuja. Kokonaislukujen joukko sisältää luonnollisten lukujen joukon.
K	Joukko rationaalisia lukuja. Kokonaislukujen lisäksi on myös murtolukuja. Murtoluku on muodon , jossa ilmaisu p on kokonaisluku, q- luonnollinen. Desimaalit voidaan kirjoittaa myös muodossa . Esimerkki: 0,25 = 25/100 = 1/4. Kokonaisluvut voidaan kirjoittaa myös muodossa . Esimerkiksi murto-osan muodossa, jonka nimittäjä on "yksi": 2 = 2/1. Siten mikä tahansa rationaalinen luku voidaan kirjoittaa desimaalilukuna - äärettömän tai äärettömän jaksollisena.
R	Monet kaikista todellisia lukuja. Irrationaaliset luvut ovat äärettömiä ei-jaksollisia murtolukuja. Nämä sisältävät: Yhdessä kaksi joukkoa (rationaaliset ja irrationaaliset luvut) muodostavat todellisten (tai reaalilukujen) joukon.

Jos joukko ei sisällä elementtejä, sitä kutsutaan tyhjä setti ja tallennettu Ø .

Loogisen symbolismin elementtejä

Merkintä ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kvantori

Matemaattisia lausekkeita kirjoitettaessa käytetään usein kvantisoijia.

kvantori kutsutaan loogiseksi symboliksi, joka luonnehtii sitä seuraavia elementtejä kvantitatiivisesti.

• ∀- yleinen kvantori, käytetään sanojen "kaikille", "kenelle tahansa" sijasta.
• ∃- eksistentiaalinen kvantori, käytetään sanojen "olemassa", "on" sijasta. Käytetään myös symboliyhdistelmää ∃!, joka luetaan, koska niitä on vain yksi.

Toiminnot sarjoissa

Kaksi joukot A ja B ovat yhtä suuret(A=B), jos ne koostuvat samoista elementeistä.
Jos esimerkiksi A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) niin A=B.

Unioni (summa) joukkoja A ja B kutsutaan joukoksi A ∪ B, jonka alkiot kuuluvat ainakin yhteen näistä joukoista.
Jos esimerkiksi A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), niin A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Risteys (tuote) joukkoja A ja B kutsutaan joukoksi A ∩ B, jonka alkiot kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B.
Jos esimerkiksi A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), niin A ∩ B = (2,4)

ero joukkoja A ja B kutsutaan joukoksi AB, jonka alkiot kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B.
Jos esimerkiksi A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), niin AB = (1,2)

Symmetrinen ero joukkoja A ja B kutsutaan joukoksi A Δ B, joka on joukkojen AB ja BA erojen liitto, eli A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Jos esimerkiksi A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), niin A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5.6)

Joukkooperaatioiden ominaisuudet

Muuttuvuuden ominaisuudet

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

assosiatiivista omaisuutta

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Laskettavat ja lukemattomat joukot

Kahden joukon A ja B vertaamiseksi niiden elementtien välille muodostetaan vastaavuus.

Jos tämä vastaavuus on yksi yhteen, joukkoja kutsutaan vastaaviksi tai vastaaviksi, A B tai B A.

Esimerkki 1

Kolmion ABC haaran BC ja hypotenuusan AC pisteet ovat yhtä voimakkaita.

Matemaattinen sarja

Joukko- yksi matematiikan, erityisesti joukkoteorian, avainkohteista. "Joukon alla tarkoitamme tiettyjen, täysin erotettavissa olevien intuitiomme tai ajatuksemme kohteiden yhdistämistä yhdeksi kokonaisuudeksi" (G. Kantor). Tämä ei ole varsinaisesti joukon käsitteen looginen määritelmä, vaan vain selitys (koska käsitteen määritteleminen tarkoittaa sellaisen yleiskäsityksen löytämistä, jossa tämä käsite sisältyy lajina, mutta joukko on ehkä laajin käsite matematiikasta ja logiikasta).

teorioita

On olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa sarjan käsitteeseen - naiivi ja aksiomaattinen joukko teoria.

Aksiomaattinen joukkoteoria

Nykyään joukko määritellään malliksi, joka täyttää ZFC-aksioomit (Zermelo-Fraenkel-aksioomit valitun aksiooman kanssa). Tämän lähestymistavan avulla joissakin matemaattisissa teorioissa syntyy esinekokoelmia, jotka eivät ole joukkoja. Tällaisia ​​kokoelmia kutsutaan luokiksi (eri luokilta).

Aseta elementti

Objekteja, jotka muodostavat joukon, kutsutaan asettaa elementtejä tai aseta pisteitä. Sarjat merkitään useimmiten latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla, sen elementit - pienillä. Jos a on joukon A alkio, kirjoita a ∈ A (a kuuluu A:een). Jos a ei ole joukon A alkio, kirjoita a ∉ A (a ei kuulu A:seen).

Jonkinlaisia ​​settejä

• Tilattu joukko on joukko, jolle järjestyssuhde annetaan.
• Sarja (erityisesti tilattu pari). Toisin kuin pelkkä joukko, se kirjoitetaan sulkeisiin: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), ja elementit voidaan toistaa.

Hierarkian mukaan:

Sarjojen joukko Subset Superset

Rajoituksella:

Toiminnot sarjoissa

Kirjallisuus

• Stoll R.R. Sarjat. Logiikka. aksiomaattisia teorioita. - M .: Koulutus, 1968. - 232 s.

Katso myös

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "matemaattinen joukko" on muissa sanakirjoissa:

Vitali-joukko on ensimmäinen esimerkki reaalilukujoukosta, jolla ei ole Lebesguen mittaa. Tämän klassikoksi muodostuneen esimerkin julkaisi vuonna 1905 italialainen matemaatikko J. Vitali artikkelissaan “Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... Wikipedia

- Satunnaismuuttujan (keskiarvo) on satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus. Jos todennäköisyysavaruudessa annettu satunnaismuuttuja (katso Todennäköisyysteoria), niin sen M. o. MX (tai EX) määritellään Lebesguen integraaliksi: missä... Fyysinen tietosanakirja

Satunnaismuuttuja on sen numeerinen ominaisuus. Jos satunnaismuuttujalla X on jakaumafunktio F(x), niin sen M. o. tulee: . Jos X:n jakauma on diskreetti, niin М.о.: , missä x1, x2, ... ovat diskreetin satunnaismuuttujan X mahdollisia arvoja; p1... Geologinen tietosanakirja

ACS:n matemaattinen tuki- , sama kuin ohjelmistot, ohjelmistot, joukko matemaattisia ohjelmia ja algoritmeja, yksi tukialijärjestelmistä. Yleensä sisältää monia ohjelmia tiettyjen ongelmien ratkaisemiseksi tietokoneella, yhdistettynä pääohjelmaan ... ... Talous- ja matemaattinen sanakirja

ACS ohjelmisto- sama kuin ohjelmisto, ohjelmisto, joukko matemaattisia ohjelmia ja algoritmeja, yksi tukialijärjestelmistä. Sisältää yleensä monia ohjelmia tiettyjen ongelmien ratkaisemiseksi tietokoneella, jotka lähettäjä yhdistää pääohjelman. ... ... Teknisen kääntäjän käsikirja

- (matemaattinen) katso joukkoteoria...

Matemaattinen malli on matemaattinen esitys todellisuudesta. Matemaattinen mallintaminen on prosessi, jossa rakennetaan ja tutkitaan matemaattisia malleja. Kaikki luonnon- ja yhteiskuntatieteet, jotka käyttävät matemaattista laitteistoa, itse asiassa ... ... Wikipedia

Matemaattinen tieteenala, joka on omistettu teorialle ja menetelmille ratkaista ongelmat funktioiden äärimmäisyyksien löytämisessä lineaaristen ja epälineaaristen rajoitusten (yhtälöiden ja epäyhtälöiden) määrittämissä äärellisulotteisen vektoriavaruuden joukoissa. M. p. ....... Matemaattinen tietosanakirja

Matemaattinen tieteenala, joka on omistettu teorialle ja menetelmille funktioiden äärimmäisyyksien löytämiseen liittyvien ongelmien ratkaisemiseksi lineaaristen ja epälineaaristen rajoitusten (yhtälöiden ja epäyhtälöiden) määrittämissä joukoissa. M. p. tieteen osa ...... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Todistus. Matematiikassa todiste on loogisten päätelmien ketju, joka osoittaa, että jollekin aksioomijoukolle ja päättelysääntöjoukolle tietty väite on tosi. Riippuen... Wikipediasta

Kirjat

• Talouden matemaattinen mallintaminen, Malykhin V.I. Kirja käsittelee talouden tärkeimpiä matemaattisia malleja: yksittäisen kuluttajan mallia (hyötyfunktion perusteella), valmistavan yrityksen mallia (tuotantofunktion perusteella),…

Lyhyt synopsis

Olen koulutukseltani teoreettinen fyysikko, mutta minulla on hyvä matemaattinen tausta. Tuomaristossa yksi oppiaineista oli filosofia, piti valita aihe ja lähettää siitä referaatti. Koska useimmat vaihtoehdot olivat useammin kuin kerran obmusoleny, päätin valita jotain eksoottisempaa. En teeskentele uutuutta, onnistuin vain keräämään kaiken / melkein kaiken saatavilla olevan kirjallisuuden tästä aiheesta. Filosofit ja matemaatikot voivat heitellä minua kivillä, olen vain kiitollinen rakentavasta kritiikistä.

P.S. Erittäin "kuiva kieli", mutta melko luettavaa yliopisto-ohjelman jälkeen. Suurin osa paradoksien määritelmät on otettu Wikipediasta (yksinkertaistettu sanamuoto ja valmiit TeX-merkinnät).

Johdanto

Sekä joukkoteoria itse että siihen liittyvät paradoksit ilmestyivät ei niin kauan sitten, hieman yli sata vuotta sitten. Tänä aikana on kuitenkin kuljettu pitkä matka, ja joukkoteoriasta tuli tavalla tai toisella itse asiassa useimpien matematiikan osien perusta. Sen paradoksit, jotka liittyvät Cantorin äärettömyyteen, selitettiin onnistuneesti kirjaimellisesti puolessa vuosisadassa.

Sinun pitäisi aloittaa määritelmästä.

Mikä on joukko? Kysymys on melko yksinkertainen, vastaus siihen on melko intuitiivinen. Joukko on joukko elementtejä, joita edustaa yksittäinen objekti. Kantor työssään Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre antaa määritelmän: "joukolla" tarkoitamme kontemplaatiomme tai ajattelumme tiettyjen hyvin määriteltyjen objektien (joita kutsutaan joukon "elementeiksi") yhdistämistä tietyksi kokonaisuudeksi. Kuten näette, olemus ei ole muuttunut, ero on vain siinä osassa, joka riippuu determinantin maailmankuvasta. Joukkoteorian historia, sekä logiikan että matematiikan osalta, on erittäin kiistanalainen. Itse asiassa Kantor loi sille perustan 1800-luvulla, sitten Russell ja muut jatkoivat työtä.

Paradokseja (logiikka ja joukkoteoria) - (toisesta kreikasta παράδοξος - odottamaton, outo toisesta kreikasta παρα-δοκέω - näytän) - muodolliset loogiset ristiriidat, jotka syntyvät merkityksellisessä joukkoteoriassa ja muodollisessa logiikassa järkeilyn virheettömyyttä säilyttäen. Paradokseja syntyy, kun kaksi toisensa poissulkevaa (ristiriitaista) väitettä ovat yhtä hyvin todistettavissa. Paradokseja voi esiintyä sekä tieteellisessä teoriassa että tavallisessa päättelyssä (esim. Russellin paradoksi kaikkien normaalijoukkojen joukosta on Russellin esittämä: "Kylän parturi ajelee kaikki ne ja vain ne kylänsä asukkaat, jotka eivät ajele. Pitäisiköhän hän ajelee itsesi?"). Koska muodollis-looginen ristiriita tuhoaa päättelyn keinona löytää ja todistaa totuus (teoriassa, jossa paradoksi ilmenee, mikä tahansa lause, sekä oikea että epätosi, on todistettavissa), syntyy ongelma tällaisten ristiriitojen lähteiden tunnistamisessa ja löytää keinoja niiden poistamiseksi. Paradoksien erityisratkaisujen filosofisen ymmärtämisen ongelma on yksi formaalilogiikan ja matematiikan loogisten perusteiden tärkeimmistä metodologisista ongelmista.

Tämän työn tarkoituksena on tutkia joukkoteorian paradokseja muinaisten antinomioiden perillisinä ja aivan loogisia seurauksia siirtymisestä abstraktion uudelle tasolle - äärettömyyteen. Tehtävänä on pohtia tärkeimpiä paradokseja, niiden filosofista tulkintaa.

Joukkoteorian perusparadokseja

Parturi ajelee vain ihmisiä, jotka eivät ajele itseään. Ajeleeko hän itsensä?

Jatketaan lyhyellä retkellä historiaan.

Jotkut loogisista paradokseista on tunnettu muinaisista ajoista lähtien, mutta koska matemaattinen teoria rajoittui vain aritmetiikkaan ja geometriaan, niitä oli mahdotonta korreloida joukkoteorian kanssa. 1800-luvulla tilanne muuttui radikaalisti: Kantor saavutti teoksissaan uuden abstraktion tason. Hän esitteli äärettömyyden käsitteen ja loi siten uuden matematiikan haaran ja mahdollistaa siten eri äärettömyyden vertaamisen "joukon voiman" käsitteen avulla. Näin tehdessään hän kuitenkin loi monia paradokseja. Ensimmäinen on ns Burali-Forti paradoksi. Matemaattisessa kirjallisuudessa on erilaisia ​​formulaatioita, jotka perustuvat eri terminologiaan ja oletettuun joukkoon hyvin tunnettuja lauseita. Tässä on yksi muodollisista määritelmistä.

Voidaan todistaa, että jos on mielivaltainen järjestyslukujen joukko, niin summa-joukko on järjestysluku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin kunkin elementin . Oletetaan nyt, että se on kaikkien järjestyslukujen joukko. Sitten on järjestysluku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin mikä tahansa in . Mutta sitten ja on järjestysluku, ja lisäksi se on jo tiukasti suurempi, eikä siksi ole yhtä suuri kuin mikään luvun luvuista. Mutta tämä on ristiriidassa sen ehdon kanssa, joka on kaikkien järjestyslukujen joukko.

Paradoksin ydin on, että kun kaikkien järjestyslukujen joukko muodostetaan, muodostuu uusi järjestystyyppi, jota ei vielä ollut ”kaikkien” transfiniittisten järjestyslukujen joukossa, jotka olivat olemassa ennen kaikkien järjestyslukujen joukon muodostumista. Tämän paradoksin löysi Cantor itse, italialainen matemaatikko Burali-Forti löysi ja julkaisi itsenäisesti, Russell korjasi jälkimmäisen virheet, minkä jälkeen muotoilu sai lopullisen muotonsa.

Kaikista yrityksistä välttää tällaisia ​​paradokseja ja yrittää jossain määrin selittää niitä, jo mainitun Russellin idea ansaitsee eniten huomiota. Hän ehdotti, että matematiikasta ja logiikasta jätetään pois impredikatiiviset lauseet, joissa joukon elementin määritelmä riippuu jälkimmäisestä, mikä aiheuttaa paradokseja. Sääntö kuulostaa tältä: "mikään joukko ei voi sisältää elementtejä, jotka on määritelty vain joukoksi, samoin kuin elementtejä, jotka olettavat tämän joukon määritelmässään" . Tällainen joukon määritelmän rajoitus antaa meille mahdollisuuden välttää paradokseja, mutta samalla kaventaa merkittävästi sen soveltamisaluetta matematiikassa. Tämä ei myöskään riitä selittämään niiden luonnetta ja syitä niiden ilmestymiseen, jotka juurtuvat ajatuksen ja kielen kaksijakoisuuteen, muodollisen logiikan piirteisiin. Jossain määrin tämä rajoitus voidaan jäljittää analogiaksi sen kanssa, mitä myöhemmällä kaudella kognitiiviset psykologit ja lingvistit alkoivat kutsua "perustason luokitteluksi": määritelmä on pelkistetty helpoimmin ymmärrettäväksi ja tutkittavammaksi käsitteeksi.

Kantorin paradoksi. Oletetaan, että kaikkien joukkojen joukko on olemassa. Tässä tapauksessa on totta, että jokainen joukko on osajoukko . Mutta tästä seuraa, että minkään joukon kardinaliteetti ei ylitä . Mutta kaikkien osajoukkojen joukon aksiooman perusteella, sillä , samoin kuin minkä tahansa joukon, on joukko kaikista osajoukkoista , ja Cantorin lauseen mukaan, joka on ristiriidassa edellisen väitteen kanssa. Siksi sitä ei voi olla olemassa, mikä on ristiriidassa sen "naiivin" hypoteesin kanssa, että mikä tahansa syntaktisesti oikea looginen ehto määrittelee joukon, eli sen mille tahansa kaavalle, joka ei sisällä vapaata. Potter antaa merkittävän todisteen tällaisten ristiriitojen puuttumisesta aksiomatisoidun Zermelo-Fraenkelin joukkoteorian perusteella.

Loogisesta näkökulmasta katsottuna molemmat edellä mainitut paradoksit ovat identtisiä "valehtelijan" tai "parturin" kanssa: ilmaistu tuomio ei kohdistu vain johonkin objektiiviseen suhteessa häneen, vaan myös häneen itseensä. On kuitenkin kiinnitettävä huomiota paitsi loogiseen puoleen, myös äärettömyyden käsitteeseen, joka on läsnä tässä. Kirjallisuudessa viitataan Poincarén työhön, jossa hän kirjoittaa: "usko todellisen äärettömyyden olemassaoloon... tekee näistä ei-predikatiivisista määritelmistä tarpeellisia".

Yleisesti ottaen pääkohdat ovat:

1. näissä paradokseissa rikotaan sääntöä erottaa selvästi predikaatin ja subjektin "sfäärit"; sekaannusaste on lähellä yhden käsitteen korvaamista toisella;
2. yleensä logiikassa oletetaan, että päättelyprosessissa subjekti ja predikaatti säilyttävät tilavuutensa ja sisältönsä, tässä tapauksessa tapahtuu siirtymä kategoriasta toiseen, mikä johtaa ristiriitaan;
3. sanan "kaikki" läsnäolo on järkevää äärelliselle määrälle elementtejä, mutta niiden äärettömän määrän tapauksessa on mahdollista saada sellainen, joka määrittää itsensä, vaatii joukon määrittelyn;
4. loogisia peruslakeja rikotaan:
   1. identiteetin lakia rikotaan, kun subjektin ja predikaatin ei-identtisyys paljastetaan;
   2. ristiriitalaki - kun kaksi ristiriitaista tuomiota johdetaan samalla oikeudella;
   3. poissuljetun kolmannen laki - kun tämä kolmas on tunnistettava eikä poissuljettava, koska ensimmäistä tai toista ei voida tunnistaa ilman toista, koska ne ovat yhtä päteviä.

Russellin paradoksi. Tässä on yksi hänen vaihtoehdoistaan. Antaa olla joukko kaikista joukoista, jotka eivät sisällä itseään elementtinä. Sisältääkö se itsensä elementtinä? Jos näin on, sen ei määritelmän mukaan pitäisi olla elementti - ristiriita. Jos ei - niin sen on määritelmän mukaan oltava elementti - taas ristiriita. Tämä väite on johdettu loogisesti Cantorin paradoksista, joka osoittaa heidän suhteensa. Filosofinen olemus ilmenee kuitenkin selvemmin, koska käsitteiden ”itseliike” tapahtuu ”silmiemme edessä”.

Tristram Shandyn paradoksi. Sternin kirjassa The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, sankari huomaa, että häneltä kesti koko vuoden kertoa elämänsä ensimmäisen päivän tapahtumat ja toinen vuosi kuvailla toista päivää. Tältä osin sankari valittaa, että hänen elämäkertansa materiaali kertyy nopeammin kuin hän pystyy käsittelemään sitä, eikä hän koskaan pysty viimeistelemään sitä. "Nyt väitän", Russell vastustaa tätä, "että jos hän eläisi ikuisesti eikä hänen työstään tulisi taakkaa hänelle, vaikka hänen elämänsä jatkuisi yhtä tapahtumarikkaana kuin alussa, niin yksikään osa hänen elämäkertaansa ei olisi ei jää kirjoittamatta.

Todellakin, Shandy pystyi kuvailemaan -. päivän tapahtumia -:nnelle vuodelle, ja siten hänen omaelämäkerrassaan jokainen päivä vangittiin. Toisin sanoen, jos elämä kestäisi loputtomasti, sillä olisi yhtä monta vuotta kuin päiviä.

Russell vetää analogian tämän romaanin ja Zenon ja kilpikonnansa välillä. Hänen mielestään ratkaisu on siinä, että kokonaisuus vastaa osaa äärettömyyteen. Nuo. vain "terveen järjen aksiooma" johtaa ristiriitaan. Ongelman ratkaisu on kuitenkin puhtaan matematiikan alueella. Ilmeisesti on kaksi joukkoa - vuodet ja päivät, joiden elementtien välillä on yksi-yhteen vastaavuus - bijektio. Sitten päähenkilön äärettömän elämän ehdolla on kaksi yhtä voimakasta ääretöntä joukkoa, jotka, jos tarkastelemme tehoa yleistyksenä joukon elementtien lukumäärästä, ratkaisee paradoksin.

Banach-Tarskin paradoksi (lause) tai pallon tuplaamisen paradoksi- Joukkoteorian lause, jonka mukaan kolmiulotteinen pallo koostuu kahdesta sen kopiosta.

Euklidisen avaruuden kahden osajoukon sanotaan koostuvan yhtä paljon, jos yksi voidaan jakaa äärelliseen määrään osia, siirtää ja muodostaa toisesta. Tarkemmin sanottuna kaksi joukkoa ja koostuvat yhtäläisesti, jos ne voidaan esittää hajautettujen osajoukkojen äärellisenä liittona ja siten, että jokaiselle osajoukko on kongruentti.

Jos käytämme valintalausetta, määritelmä kuulostaa tältä:

Valinnan aksiooma tarkoittaa, että yksikköpallon pinta on jaettu äärelliseen määrään osia, jotka kolmiulotteisen euklidisen avaruuden muunnoksilla, jotka eivät muuta näiden komponenttien muotoa, voidaan koota kahdeksi osaksi. yksikkösäteen pallot.

Tämä väite ei tietenkään ole toteuttamiskelpoinen, koska näiden osien on oltava mitattavissa. Kuuluisa fyysikko Richard Feynman kertoi elämäkerrassaan, kuinka hän onnistui voittamaan kiistan appelsiinin jakamisesta rajalliseen määrään osia ja sen uudelleen kokoamisesta.

Tietyissä kohdissa tätä paradoksia käytetään valinnan aksiooman kumoamiseen, mutta ongelmana on, että se, mitä pidämme alkeellisena geometriana, ei ole olennaista. Ne käsitteet, joita pidämme intuitiivisina, tulisi laajentaa transsendenttisten toimintojen ominaisuuksien tasolle.

Valinnan aksiooman vääräksi uskovien luottamuksen heikentämiseksi on syytä mainita Mazurkiewiczin ja Sierpinskin lause, jonka mukaan euklidisen tason ei-tyhjä osajoukko sisältää kaksi epäyhtenäistä osajoukkoa, joista kumpikin voidaan jakaa äärelliseen määrään osia, jotta ne voidaan muuntaa isometrioiden avulla joukon peitteeksi. Todistus ei vaadi valinnan aksiooman käyttöä. Varmuuden aksioomaan perustuvat lisäkonstruktiot antavat ratkaisun Banach-Tarskin paradoksiin, mutta eivät ole niin kiinnostavia.

1. Richardin paradoksi: Vaaditaan "pienin numero, jota ei ole nimetty tässä kirjassa". Ristiriita on, että toisaalta tämä voidaan tehdä, koska tässä kirjassa on nimetty pienin numero. Siitä eteenpäin voidaan nimetä myös pienin nimeämätön. Mutta tässä syntyy ongelma: jatkumo on laskematon, minkä tahansa kahden luvun väliin voit lisätä äärettömän määrän välilukuja. Toisaalta, jos voisimme nimetä tämän numeron, se siirtyisi automaattisesti luokasta, jota ei mainita kirjassa, mainittuun luokkaan.
2. Grelling-Nilson paradoksi: sanat tai merkit voivat merkitä jotakin ominaisuutta ja samalla olla sitä tai ei. Triviaalisin sanamuoto kuulostaa tältä: onko sana "heterologinen" (joka tarkoittaa "ei sovellu itsessään") heterologinen?.. Se on hyvin samanlainen kuin Russellin paradoksi, koska siinä on dialektinen ristiriita: muodon ja sisällön kaksinaisuus. on rikottu. Kun on kyse sanoista, joilla on korkea abstraktioaste, on mahdotonta päättää, ovatko nämä sanat heterologisia.
3. Skolem paradoksi: Godelin täydellisyyslausetta ja Löwenheim-Skolem-lausetta käyttämällä saadaan, että aksiomaattinen joukkoteoria pysyy totta, vaikka sen tulkintaa varten oletetaan (käytettävissä) vain laskettava joukko joukkoja. Samalla aksiomaattiseen teoriaan sisältyy jo mainittu Cantorin lause, joka johtaa meidät lukemattomiin äärettömiin joukkoihin.

Paradoksien ratkaisu

Joukkoteorian luominen synnytti matematiikan kolmanneksi pidetyn kriisin, jota ei ole vielä ratkaistu kaikkia tyydyttävästi. Historiallisesti ensimmäinen lähestymistapa oli joukkoteoreettinen. Se perustui todellisen äärettömyyden käyttöön, kun katsottiin, että mikä tahansa ääretön sarja valmistuu äärettömässä. Ajatuksena oli, että joukkoteoriassa jouduttiin usein operoimaan joukkoja, jotka saattoivat olla osia muihin, suurempiin joukkoihin. Onnistuneet toimet olivat tässä tapauksessa mahdollisia vain yhdessä tapauksessa: annetut joukot (äärelliset ja äärettömät) ovat valmiit. Tietty menestys oli ilmeinen: Zermelo-Fraenkelin aksiomaattinen joukkoteoria, Nicolas Bourbakin kokonainen matematiikan koulukunta, joka on ollut olemassa yli puoli vuosisataa ja aiheuttaa edelleen paljon kritiikkiä.

Logismi oli yritys pelkistää kaikki tunnettu matematiikka aritmeettisiksi termeiksi ja sitten pelkistää aritmeettiset termit matemaattisen logiikan käsitteiksi. Frege käsitteli tätä tiiviisti, mutta valmistuttuaan työn parissa hänen oli pakko osoittaa epäjohdonmukaisuutensa sen jälkeen, kun Russell huomautti teorian ristiriidat. Sama Russell, kuten aiemmin mainittiin, yritti eliminoida impredikatiivisten määritelmien käytön "tyyppiteorian" avulla. Hänen käsityksensä joukosta ja äärettömyydestä sekä pelkistettävyyden aksiooma osoittautuivat kuitenkin epäloogisiksi. Suurin ongelma oli se, että muodollisen ja matemaattisen logiikan laadullisia eroja ei otettu huomioon, samoin kuin tarpeettomia käsitteitä, mukaan lukien intuitiiviset käsitteet.
Tämän seurauksena logismin teoria ei kyennyt poistamaan äärettömyyteen liittyvien paradoksien dialektisia ristiriitoja. Oli vain periaatteet ja menetelmät, joiden avulla oli mahdollista päästä eroon ainakin ei-predikatiivisista määritelmistä. Oman päättelynsä mukaan Russell oli Cantorin perillinen.

XIX lopussa - XX vuosisadan alussa. formalistisen matematiikan näkemyksen leviäminen liittyi D. Hilbertin esittämään aksiomaattisen menetelmän ja matematiikan perusteluohjelman kehittämiseen. Tämän tosiasian tärkeyden osoittaa se tosiasia, että ensimmäinen hänen matemaattiselle yhteisölle esittämänsä 23 ongelmasta oli äärettömyyden ongelma. Formalisointi oli tarpeen todistaakseen klassisen matematiikan johdonmukaisuuden, "samalla kun jätettiin siitä pois kaikki metafysiikka". Ottaen huomioon Hilbertin käyttämät keinot ja menetelmät, hänen tavoitteensa osoittautui pohjimmiltaan mahdottomaksi, mutta hänen ohjelmallaan oli valtava vaikutus koko myöhempään matematiikan perusteiden kehitykseen. Hilbert työskenteli tämän ongelman parissa pitkään, kun hän ensin rakensi geometrian aksiomaatiikan. Koska ongelman ratkaisu osoittautui varsin onnistuneeksi, hän päätti soveltaa aksiomaattista menetelmää luonnollisten lukujen teoriaan. Tässä on, mitä hän kirjoitti tähän liittyen: "Tavoittelen tärkeää päämäärää: juuri minä haluaisin käsitellä matematiikan perustan kysymyksiä sinänsä ja muuttaa jokaisen matemaattisen väitteen tiukasti johdettavaksi kaavaksi." Samalla suunniteltiin päästä eroon äärettömyydestä vähentämällä se tiettyyn rajalliseen määrään operaatioita. Tätä varten hän kääntyi fysiikan puoleen atomismillaan osoittaakseen äärettömien määrien koko epäjohdonmukaisuuden. Itse asiassa Hilbert esitti kysymyksen teorian ja objektiivisen todellisuuden välisestä suhteesta.

Hilbertin opiskelija J. Herbran antaa enemmän tai vähemmän täydellisen käsityksen äärellisistä menetelmistä. Äärillisellä päättelyllä hän ymmärtää sellaisen päättelyn, joka täyttää seuraavat ehdot: loogiset paradoksit

Vain rajallinen ja määrätty määrä objekteja ja funktioita otetaan aina huomioon;

Funktioilla on tarkka määritelmä, ja tämän määritelmän avulla voimme laskea niiden arvon;

Se ei koskaan väitä "Tämä objekti on olemassa", ellei tapaa sen rakentamiseen tunneta;

Minkä tahansa äärettömän kokoelman kaikkien objektien joukkoa X ei koskaan oteta huomioon;

Jos tiedetään, että jokin päättely tai lause on totta kaikille näille X :lle, tämä tarkoittaa, että tämä yleinen päättely voidaan toistaa jokaiselle tietylle X:lle, ja tätä yleistä päättelyä tulee pitää vain mallina sellaiselle erityiselle päättelylle.

Kuitenkin viimeisen julkaisun aikana tällä alalla Gödel oli jo saanut tulokset, pohjimmiltaan hän taas löysi ja hyväksyi dialektiikan läsnäolon kognitioprosessissa. Pohjimmiltaan matematiikan jatkokehitys osoitti Hilbertin ohjelman epäonnistumisen.

Mitä Gödel oikein todisti? Päätuloksia on kolme:

1. Gödel osoitti matemaattisen todisteen mahdottomuuden minkä tahansa järjestelmän johdonmukaisuudesta, joka on riittävän suuri sisältämään kaiken aritmeettisen, todisteen, joka ei käyttäisi muita päättelysääntöjä kuin itse järjestelmässä olevia. Tällainen todiste, joka käyttää tehokkaampaa päättelysääntöä, voi olla hyödyllinen. Mutta jos nämä päättelysäännöt ovat vahvempia kuin aritmeettisen laskennan loogiset keinot, silloin ei ole luottamusta todistuksessa käytettyjen oletusten johdonmukaisuuteen. Joka tapauksessa, jos käytetyt menetelmät eivät ole finitistejä, niin Hilbertin ohjelma osoittautuu mahdottomaksi. Gödel osoittaa vain laskelmien epäjohdonmukaisuuden löytääkseen finistisen todisteen aritmeettisen johdonmukaisuudesta.

2. Godel osoitti aksiomaattisen menetelmän mahdollisuuksien perustavanlaatuiset rajoitukset: Principia Mathematica -järjestelmä, kuten kaikki muutkin järjestelmät, joiden avulla aritmetiikka rakennetaan, on olennaisesti epätäydellinen, ts. jokaiselle johdonmukaiselle aritmeettisten aksioomien järjestelmälle on olemassa todellisia aritmeettisia lauseita, jotka ovat ei johdu tämän järjestelmän aksioomista.

3. Gödelin lause osoittaa, että mikään aritmeettisen järjestelmän laajennus ei voi tehdä sitä täydelliseksi, ja vaikka täytämme sen äärettömällä aksioomijoukolla, niin uudessa järjestelmässä tulee aina olemaan totta, mutta ei tämän järjestelmän avulla pääteltävissä. asemat. Aksiomaattinen lähestymistapa luonnollisten lukujen aritmetiikkaan ei voi kattaa koko todellisten aritmeettisten lauseiden aluetta, eikä se, mitä tarkoitamme matemaattisella todistusprosessilla, rajoitu aksiomaattisen menetelmän käyttöön. Godelin lauseen jälkeen kävi merkityksettömäksi odottaa, että vakuuttavan matemaattisen todisteen käsite voitaisiin antaa kerta kaikkiaan rajatuille muodoille.

Viimeisin tässä sarjassa joukkoteoriaa selittää oli intuitionismi.

Hän kävi läpi useita vaiheita evoluutiossa - puoliintuitionismi, varsinainen intuitionismi, ultra-intuitionismi. Eri vaiheissa matemaatikot olivat huolissaan erilaisista ongelmista, mutta yksi matematiikan pääongelmista on äärettömyyden ongelma. Äärettömyyden ja jatkuvuuden matemaattiset käsitteet ovat olleet filosofisen analyysin kohteena niiden perustamisesta lähtien (atomistien ideat, Zenon Elean aporiat, antiikin infinitesimaalit menetelmät, infinitesimaalien laskenta nykyaikana jne.). Suurimman kiistan aiheutti erityyppisten äärettömyyden (potentiaalisten, todellisten) käyttö matemaattisina kohteina ja niiden tulkinta. Kaikki nämä ongelmat johtuivat mielestämme syvemmästä ongelmasta - subjektin roolista tieteellisessä tiedossa. Tosiasia on, että matematiikan kriisitilanteen synnyttää epistemologinen epävarmuus kohteen maailman (äärettömän) ja subjektin maailman vertailussa. Matemaatikko subjektina voi valita kognition keinot - joko potentiaalisen tai todellisen äärettömän. Potentiaalisen äärettömyyden käyttö yhdeksi tulemisena antaa hänelle mahdollisuuden toteuttaa, rakentaa ääretön joukko rakenteita, jotka voidaan rakentaa äärellisten päälle, ilman äärellistä askelta, ilman rakentamista loppuun, se on vain mahdollista. Todellisen äärettömyyden käyttö antaa hänelle mahdollisuuden työskennellä äärettömyyden kanssa jo toteutettavissa olevana, rakenteeltaan loppuunsaatettuna, todellisuudessa samalla annettuna.

Puoliintuitionismin vaiheessa äärettömyyden ongelma ei ollut vielä itsenäinen, vaan se oli kudottu matemaattisten objektien rakentamisen ja sen perustelemisen ongelmaan. A. Poincarén ja pariisilaisen funktioteoriakoulun edustajien Bairen, Lebesguen ja Borelin puoliintuitionismi suuntautui vapaan valinnan aksiooman hyväksymistä vastaan, jonka avulla todistetaan Zermelon lause, jonka mukaan mikä tahansa joukko voidaan tehdä täysin järjestetyksi, mutta ilman teoreettista tapaa määrittää haluttujen joukkojen minkä tahansa osajoukon elementit. Matemaattista objektia ei voi rakentaa, eikä itse matemaattista objektia ole olemassa. Matemaatikot uskoivat, että teoreettisen menetelmän olemassaolo tai puuttuminen tutkimusobjektien sarjan muodostamiseksi voi toimia perustana tämän aksiooman perustelemiseksi tai kumoamiseksi. Venäläisessä versiossa puoliintuitionistinen käsite matematiikan filosofisissa perusteissa kehitettiin sellaiseen suuntaan kuin N.N.:n kehittämä efektivismi. Luzin. Efektivismi vastustaa Cantorin äärettömyyden opin tärkeimpiä abstraktioita - todellisuutta, valintaa, transfiniittistä induktiota jne.

Efektivismille potentiaalisen toteutettavuuden abstraktio on epistemologisesti arvokkaampaa kuin todellisen äärettömyyden abstraktio. Tämän ansiosta on mahdollista ottaa käyttöön transfiniittisten järjestyslukujen käsite (äärettömät järjestysluvut) tehokkaan funktioiden kasvun käsitteen perusteella. Efektismin epistemologinen asetus jatkuvan (jatkuvuuden) esittämiseksi perustui diskreetteihin keskiarvoihin (aritmetiikka) ja N. N. Luzinin luomaan kuvaavaan joukkojen (funktioiden) teoriaan. Hollantilaisen L. E. Ya. Brouwerin, G. Weylin, A. Heitingin intuitionismi näkee vapaasti esiin tulevia erityyppisiä sekvenssejä perinteisenä tutkimuskohteena. Tässä vaiheessa varsinaisten matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, mukaan lukien kaiken matematiikan uudelleenjärjestely uudelle pohjalle, intuitionistit esittivät filosofisen kysymyksen matemaatikon roolista kognitiivisena subjektina. Mikä on hänen asemansa, missä hän on vapaampi ja aktiivisempi valitessaan kognition keinoja? Intuitionistit olivat ensimmäiset (ja puoliintuitionismin vaiheessa) kritisoivat todellisen äärettömyyden käsitettä, Cantorin joukkoteoriaa, näkivät siinä subjektin kyvyn vaikuttaa tieteelliseen etsintäprosessiin rakentavan ongelman ratkaisua vastaan. . Käytettäessä potentiaalista äärettömyyttä subjekti ei petä itseään, koska hänelle ajatus potentiaalisesta äärettömyydestä on intuitiivisesti paljon selkeämpi kuin ajatus todellisesta äärettömyydestä. Intuitionistille objektin katsotaan olevan olemassa, jos se annetaan suoraan matemaatikolle tai jos sen konstruointimenetelmä on tiedossa. Joka tapauksessa kohde voi aloittaa prosessin, jossa hän saatetaan päätökseen useiden sarjansa elementtien rakentaminen. Rakentamaton objekti ei ole olemassa intuitionisteille. Samanaikaisesti todellisen äärettömyyden kanssa työskentelevältä subjektilta riistetään tämä mahdollisuus ja hän tuntee omaksutun kannan kaksinkertaisen haavoittuvuuden:

1) tätä ääretöntä rakentamista ei ole koskaan mahdollista toteuttaa;

2) hän päättää toimia todellisen äärettömän kanssa kuten äärellisen objektin kanssa ja menettää tässä tapauksessa äärettömyyden käsitteen spesifisyytensä. Intuitionismi rajoittaa tietoisesti matemaatikon mahdollisuuksia sillä, että hän voi rakentaa matemaattisia objekteja yksinomaan keinoin, jotka, vaikka ne on saatu abstraktien käsitteiden avulla, ovat tehokkaita, vakuuttavia, todistettavia, toiminnallisesti rakentavia täsmälleen käytännössä ja ovat itse intuitiivisesti selkeitä konstruktioina. rakenteita, joiden luotettavuudesta käytännössä ei ole epäilystäkään. Intuitionismi, joka tukeutuu potentiaalisen äärettömyyden käsitteeseen ja rakentaviin tutkimusmenetelmiin, käsittelee tulemisen matematiikkaa, joukkoteoria viittaa olemisen matematiikkaan.

Intuitionisti Brouwerille matemaattisen empirismin edustajana logiikka on toissijaista, hän arvostelee sitä ja poissuljetun keskikohdan lakia.

Osittain mystisissa teoksissaan hän ei kiellä äärettömyyden olemassaoloa, mutta ei salli sen toteutumista, vain potentiaalisuutta. Hänelle tärkeintä on käytännössä käytettyjen loogisten keinojen ja matemaattisen päättelyn tulkinta ja perustelu. Intuitionistien hyväksymä rajoitus voittaa epävarmuuden äärettömyyden käsitteen käytöstä matematiikassa ja ilmaisee halun voittaa matematiikan perustan kriisi.

Ultra-intuitionismi (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov ja muut) on viimeinen vaihe intuitionismin kehityksessä, jossa sen pääideoita modernisoidaan, täydennetään ja muutetaan merkittävästi muuttamatta sen olemusta, mutta voittamalla puutteet ja vahvistamalla positiivisia puolia ohjaamana matemaattinen kurinalaisuus. Intuitionistisen lähestymistavan heikkous oli kapea ymmärrys intuition roolista ainoana oikeutuksen lähteenä matemaattisten menetelmien oikeellisuudelle ja tehokkuudelle. Ottaen "intuitiivisen selkeyden" matematiikan totuuden kriteeriksi, intuitionistit köyhdyttivät metodologisesti matemaatikon mahdollisuuksia tiedon subjektina, rajoittivat hänen toimintansa vain intuitioon perustuviin mentaalisiin operaatioihin eivätkä sisällyttäneet käytäntöä matemaattisen tiedon prosessiin. Äärimmäisen intuitionistinen matematiikan perusteluohjelma on Venäjän prioriteetti. Siksi kotimaiset matemaatikot, voitettuaan intuitionismin rajoitukset, omaksuivat materialistisen dialektiikan tehokkaan metodologian, tunnustaen ihmisen käytännön sekä matemaattisten käsitteiden että matemaattisten menetelmien (päätelmien, konstruktien) muodostumisen lähteeksi. Ultraintuitionistit ratkaisivat matemaattisten objektien olemassaolon ongelman luottaen ei määrittelemättömään subjektiiviseen intuition käsitteeseen, vaan matemaattiseen käytäntöön ja erityiseen mekanismiin matemaattisen objektin rakentamiseksi - algoritmiin, joka ilmaistaan ​​laskettavalla, rekursiivisella funktiolla.

Ultra-intuitionismi lisää intuitionismin etuja, jotka koostuvat mahdollisuudesta järjestellä ja yleistää minkä tahansa suunnan matemaatikoiden käyttämiä rakentavien ongelmien ratkaisumenetelmiä. Siksi viimeisen vaiheen intuitionismi (ultraintuitionismi) on lähellä matematiikan konstruktivismia. Epistemologisessa mielessä ultraintuitionismin pääajatukset ja periaatteet ovat seuraavat: logiikan klassisen aksiomatian kritiikki; identifioinnin abstraktion roolin (henkinen abstraktio objektien erilaisista ominaisuuksista ja samanaikainen esineiden yleisten ominaisuuksien eristäminen) käyttö ja merkittävä vahvistaminen (A.A. Markovin nimenomaisten ohjeiden mukaisesti) keinona abstraktin rakentamiseen ja rakentavaan ymmärtämiseen käsitteet, matemaattiset tuomiot; todiste johdonmukaisten teorioiden johdonmukaisuudesta. Muodollisesti identifioinnin abstraktion soveltaminen on perusteltua sen kolmella tasa-arvon ominaisuudella (aksioomalla) - refleksiivisyys, transitiivisuus ja symmetria.

Ratkaista matematiikan tärkein ristiriita äärettömyyden ongelmasta, joka aiheutti sen perustan kriisin, ultra-intuitionismin vaiheessa A.N.:n teoksissa. Kolmogorov ehdotti ulospääsyä kriisistä ratkaisemalla klassisen ja intuitionistisen logiikan, klassisen ja intuitionistisen matematiikan välisten suhteiden ongelman. Brouwerin intuitionismi kokonaisuutena kielsi logiikan, mutta koska kukaan matemaatikko ei tule toimeen ilman logiikkaa, loogisen päättelyn käytäntö säilyi edelleen intuitionismissa, sallittiin joitakin klassisen logiikan periaatteita, joiden perustana oli aksiomatiikka. S.K. Kleene, R. Wesley jopa huomauttavat, että intuitionistista matematiikkaa voidaan kuvata eräänlaisena laskentana, ja laskenta on tapa organisoida matemaattista tietoa logiikan, formalisoinnin ja sen muodon - algoritmisoinnin - perusteella. Uusi versio logiikan ja matematiikan välisestä suhteesta intuitiivisten vaatimusten puitteissa tuomioiden intuitiiviselle selkeydelle, erityisesti ne, jotka sisälsivät negatiivisen, A.N. Kolmogorov ehdotti seuraavaa: hän esitti intuitionistisen logiikan, joka liittyy läheisesti intuitionistiseen matematiikkaan, aksiomaattisen implikatiivisen väitteiden ja predikaattien minimilaskennan muodossa. Niinpä tiedemies esitteli uuden matemaattisen tiedon mallin, joka ylitti intuitionismin rajoitukset tunnistaessaan vain intuition kognition välineenä ja logiikan rajoitukset, mikä absolutisoi logiikan mahdollisuudet matematiikan alalla. Tämä kanta mahdollisti matemaattisessa muodossa intuitiivisen ja loogisen synteesin joustavan rationaalisuuden perustana ja sen rakentavan tehokkuuden.

Näin ollen matemaattisen tiedon epistemologinen puoli antaa meille mahdollisuuden arvioida vallankumouksellisia muutoksia matematiikan perusteiden kriisin vaiheessa 1800-1900-luvun vaihteessa. uusista asennoista ymmärtämään kognitioprosessia, subjektin luonnetta ja roolia siinä. Perinteisen tietoteorian epistemologinen subjekti, joka vastaa joukkoteoreettisen lähestymistavan valta-aikaa matematiikassa, on abstrakti, epätäydellinen, "osittainen" subjekti, joka on edustettuna subjekti-objekti -suhteissa, abstraktioiden, logiikan, formalismi todellisuudesta, rationaalisesti, teoreettisesti kohteensa tunteva ja peilinä ymmärrettävä, todellisuutta tarkasti heijastava ja kopioiva. Itse asiassa subjekti suljettiin pois kognitiosta todellisena prosessina ja tuloksena vuorovaikutuksesta kohteen kanssa. Intuitionismin tulo matematiikan filosofisten suuntausten taistelun areenalle johti uuteen ymmärrykseen matemaatikkosta tiedon subjektina - ihmisenä, joka tietää, jonka filosofinen abstraktio on rakennettava ikään kuin uudelleen. Matemaatikko esiintyi empiirisenä subjektina, joka on jo ymmärretty kiinteänä todellisena persoonana, mukaan lukien kaikki ne ominaisuudet, joista epistemologisessa subjektissa irrotettiin - empiirinen konkreettisuus, vaihtelevuus, historiallisuus; se on näyttelemistä ja kognitiivista todellista kognitiota, luova, intuitiivinen, kekseliäs aihe. Intuitionistisen matematiikan filosofiasta on tullut perusta, perusta nykyaikaiselle epistemologiselle paradigmalle, joka on rakennettu joustavan rationaalisuuden käsitteeseen, jossa henkilö on olennainen (holistinen) kognition subjekti, jolla on uusia kognitiivisia ominaisuuksia, menetelmiä, menettelytapoja; hän syntetisoi abstrakti-epistemologisen ja loogis-metodologisen luonteensa ja muotonsa ja saa samalla eksistentiaalis-antropologisen ja "historiallis-metafyysisen" ymmärryksen.

Tärkeä asia on myös intuitio kognitiossa ja erityisesti matemaattisten käsitteiden muodostumisessa. Taas käydään kamppailua filosofian kanssa, yrityksiä sulkea pois poissuljetun keskikohdan laki, jolla ei ole merkitystä matematiikassa ja joka tulee siihen filosofiasta. Intuition liiallinen korostaminen ja selkeiden matemaattisten perusteiden puute eivät kuitenkaan mahdollistaneet matematiikan siirtämistä vankalle perustalle.

Kuitenkin sen jälkeen, kun 1930-luvulla syntyi tiukka algoritmikäsite, intuitionismin viestikapula otti haltuunsa matemaattinen konstruktivismi, jonka edustajat antoivat merkittävän panoksen nykyaikaiseen laskettavuusteoriaan. Lisäksi 1970- ja 1980-luvuilla löydettiin merkittäviä yhteyksiä joidenkin intuitionistien (myös aiemmin absurdilta tuntuneiden) ideoiden ja topos-matemaattisen teorian välillä. Joistakin topoista löydetty matematiikka on hyvin samanlaista kuin se, jota intuitionistit yrittivät luoda.

Tämän seurauksena voidaan todeta: useimpia yllä olevista paradokseista ei yksinkertaisesti ole olemassa joukkoteoriassa, joilla on itseomistus. On kyseenalaista, onko tällainen lähestymistapa lopullinen, tämän alan jatkotyö näyttää.

Johtopäätös

Dialektis-materialistinen analyysi osoittaa, että paradoksit ovat seurausta kielen ja ajattelun kaksijakoisuudesta, syvän dialektiikan (Gödelin lause mahdollisti dialektiikan ilmentämisen kognitioprosessissa) ja epistemologisten objektin ja subjektin käsitteisiin liittyvien vaikeuksien ilmaisua. alue formaalilogiikassa, joukko (luokka) logiikassa ja joukkoteoriassa, jossa käytetään abstraktioperiaatetta, joka mahdollistaa uusien (abstraktien) objektien tuomisen (ääretön), menetelmillä abstraktien objektien määrittämiseksi tieteessä jne. Siksi universaalia tapaa poistaa kaikki paradoksit ei voida antaa.

Onko matematiikan kolmas kriisi ohi (koska se oli syy-suhteessa paradoksien kanssa; nyt paradoksit ovat olennainen osa) - mielipiteet eroavat tässä, vaikka muodollisesti tunnetut paradoksit eliminoitiin vuoteen 1907 mennessä. Nyt matematiikassa on kuitenkin muita olosuhteita, joita voidaan pitää joko kriisinä tai kriisiä ennakoivina (esimerkiksi polun integraalin tiukan perustelun puuttuminen).

Mitä tulee paradokseihin, hyvin tunnetulla valehtelijaparadoksilla oli erittäin tärkeä rooli matematiikassa, samoin kuin koko sarja paradokseja niin kutsutussa naiivissa (edellisessä aksiomaattisessa) joukkoteoriassa, joka aiheutti perustan kriisin (yksi näistä paradokseista esiintyi kohtalokas rooli G. Fregen elämässä). Mutta ehkä yksi aliarvioituimmista ilmiöistä modernissa matematiikan, jota voidaan kutsua sekä paradoksaaliseksi että kriisiksi, on Paul Cohenin vuonna 1963 tekemä ratkaisu Hilbertin ensimmäiseen ongelmaan. Tarkemmin sanottuna ei itse päätöksen tosiasia, vaan tämän päätöksen luonne.

Kirjallisuus

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. SISÄÄN. Burova. Joukkoteorian ja dialektiikan paradoksit. Tiede, 1976.
3. M.D. Potter. Joukkoteoria ja sen filosofia: kriittinen johdanto. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Zhukov N.I. Matematiikan filosofiset perusteet. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Tietenkin vitsailet, herra Feynman!: hämmästyttävän miehen seikkailut, jotka hän kertoi R. Laytonille. Hummingbird, 2008.
6. O. M. Miževitš. Kaksi tapaa voittaa paradokseja G. Kantorin joukkoteoriassa. Logical and Philosophical Studies, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. INTUITIONISTINEN MATEMATIKAN FILOSOFIA. DSTU:n tiedote, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Itseomisteisten joukkojen teoria (perustukset ja joitain sovelluksia). Permanentti. osavaltio un-t. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Lyhyt tiivistelmä tieteenalan "Matematiikan filosofia" luennoista. Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Joukkoteorian ja ei-klassisen logiikan opintoja. Tiede, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: tämä loputon seppele. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Johdatus matemaattiseen logiikkaan. Kustantaja "Nauka", 1976.
13. JOO. Bochvar. Kysymykseen matemaattisen logiikan ja joukkoteorian paradokseista. Mathematical Collection, 57(3):369-384, 1944.

Aihealueen kuvaus (sen ontologian luominen) alkaa objektien valinnalla ja luokittelulla, joka perinteisesti koostuu alaluokkaluokkien puun laatimisesta ja yksilöiden osoittamisesta niihin. Samanaikaisesti termiä "luokka" käytetään itse asiassa "joukon" merkityksessä: objektin viittaamisen luokkaan ajatellaan sisällyttävän se elementiksi vastaavaan joukkoon. Tämän tekstin tarkoituksena on osoittaa, että tällainen yhtenäinen lähestymistapa aihealueen rakenteen kuvaamiseen on voimakas yksinkertaistus, eikä se salli objektien semanttisten suhteiden moninaisuuden fiksaatiota.

Tarkastellaan kolmea vaihtoehtoa Bug-yksityisön luokittelemiseksi:

1. Eläin - koira - husky - Bug.
2. Palvelu - ratsastus - Bug.
3. Kennel - koiraryhmä - Zhuchka.

Ensimmäinen alikokonaisuuksien sarja kuvataan yksiselitteisesti määrittämällä luokkia ja alaluokkia: bugi on "like"-luokan yksilö, "like"-luokka on koirien alaluokka ja toinen on "eläin"-luokan alaluokka. . Tässä tapauksessa luokkaa "eläimet" käsitellään kaikkien eläinten joukkona ja luokkaa "tykkäät" joukon "koirat" osana. Sellainen kuvaus on kuitenkin, vaikka se on varsin selkeä, tarkoituksenmukaisesti tautologinen, itseään viittaava: kutsumme yksilöä Bugiksi huskyksi, jos se sisältyy huskyjen joukkoon, ja itse huskyjoukko määritellään huskyksi. kaikkien huskyjen yksilöiden kokonaisuus - eli sisällyttäminen merkityksellisen kaksoisnimen joukkoon. Lisäksi luokkajoukon kuvaus kuluu täysin luokkaa määrittävän käsitteen alle kuuluvan yksilön kuvaukseen. On myös huomattava, että tällaisten luokkajoukkojen toiminta ei riipu niissä olevien elementtien lukumäärästä: Bugin husky on husky, vaikka se jää ainoaksi, viimeiseksi huskyksi maan päällä. Lisäksi voimme toimia tällaisten luokkien kanssa, vaikka niissä ei ole yksilöitä: voimme rakentaa ontologian jo sukupuuttoon kuolleista dinosauruksista, ajatella luokkaa, joka vasta tulevaisuudessa sisältää ainutlaatuisen suunniteltavan laitteen tai rakentaa mallin. myyttisten eläinten, satujen sankarien aihealueesta, vaikka samaan aikaan kaikkien luokkasarjojen kardinaalisuus on yhtä suuri kuin nolla.

Jos siis puhutaan analysoitavan luokituksen sisältöpuolelta (eläin - koira - husky - Bug), niin sitä (sisältöpuolta) ei voi ilmaista millään tavalla joukkojen ja osajoukkojen suhteen. Tässä tapauksessa kyseessä on käsitteellistäminen - käsitteiden valinta ja suvun ja lajin välisten suhteiden luominen heidän välillään. Samaan aikaan käsitteellisen luokan elementtien todellinen lukumäärä, eli käsitteen laajuus, ei näy sen määritelmässä ja se mainitaan (eikä silloinkaan mielekkäästi) vain, kun yksi käsite ("kuten") putoaa. toisen ("koiran") alla, eli kun eräänlaisena suvuna. Kyllä, voimme todeta, että käsitteen "koira" laajuus on suurempi kuin käsitteen "kuten", mutta näiden joukkojen todellisella numeerisella suhteella ei ole ontologista merkitystä. Alaluokan volyymin luokan ylittäminen suvu-lajisuhteissa kuvastaa vain sitä tosiasiaa, että suvun määritelmän mukaan siihen tulisi kuulua useita lajeja - muuten tämä luokittelu tulee merkityksettömäksi. Toisin sanoen suku-laji-käsitteellisessä luokittelussa olemme kiinnostuneita käsitteiden sisällöstä - kuinka tyyppi "koira" eroaa tyypistä "kissa" (joka myös kuuluu niille yleisen "eläin"-käsitteen alle) ja ei sitä, miten suvun ja lajin joukkojen määrät liittyvät toisiinsa ja vielä enemmän tiettyjen käsitteiden ("koira" ja "kissa") määrät. Ja jotta käsitteelliset luokat voitaisiin erottaa todella laskettavista joukoista, olisi oikeampaa puhua niistä kuuluvat käsitteen alle eikä siitä sisällyttäminen se luokkaan/sarjaan. On selvää, että muodollisessa merkinnässä lauseet "kuuluu X:n käsitteeseen" ja "on luokan X elementti" voivat näyttää samalta, mutta näiden kahden kuvauksen olennaisen eron ymmärtämättä jättäminen voi johtaa vakaviin virheisiin ontologian rakentaminen.

Toisessa variantissa (palvelu - ajo - Bug) emme myöskään ole kiinnostuneita vertaamaan "ajo" -käsitettä mihinkään joukkoon: lauseen "Bug - ajaminen" semanttinen sisältö ei riipu siitä, onko se ainoa ajo. yksi tai niitä on useita. Vaikuttaa siltä, ​​että tässä on kyse suvun ja lajin välisistä suhteista: käsitettä "ajo" voidaan pitää lajina suhteessa yleiskäsitteeseen "palvelu". Mutta yksittäisen "Bugin" yhteys käsitteeseen "ajo" eroaa merkittävästi yhteydestä "kuten" käsitteeseen: toinen, käsitteellinen käsite on immanentti ja poikkeuksetta yksilölle ominaista, ja ensimmäinen heijastaa paikallista. ajallaan erikoistuminen. Vika ei syntynyt ratsastajaksi, ja ehkä iän myötä se voi lakata olemasta sitä ja siirtyä vartijoiden luokkaan ja vanhuudessa yleensä menettää "ammatin". Toisin sanoen erikoistumisesta puhuttaessa voimme aina erottaa tietyn käsitteen hankinnan ja yhteyden menettämisen tapahtumat. Esimerkiksi Bug voidaan tunnustaa rodun ehdottomaksi mestariksi ja menettää sitten tämän tittelin, mikä on pohjimmiltaan mahdotonta käsitteellisillä käsitteillä: Bug syntymästä kuolemaan, eli koko sen olemassaolon ajan. yksilö, on koira ja husky. Ihminen pysyy siis käsitteenä "mies" koko ikänsä, mutta tilannekohtaisesti (tapahtumasta tapahtumaan) voi kuulua "koululaisen", "opiskelijan", "lääkärin", "aviomiehen" jne. erikoiskäsitteiden alle. Ja kuten jo todettiin, että yhteys näihin käsitteisiin ei ainakaan tarkoita kuulumista tiettyyn joukkoon (vaikka se saattaa näyttää tältä) - erikoistuvan käsitteen antaminen on aina seurausta yksilön tietystä suhteesta muihin yksilöihin: koulu, yliopisto, tutkintotodistuksen saaminen, avioliiton rekisteröinti jne. Siksi erikoistumiskäsitteitä voidaan myös kutsua suhteellinen. Yllä olevista esimerkeistä seuraa toinen merkittävä ero käsitteellisen luokituksen ja erikoistumisen välillä: yksilöllä voi olla useita erikoisaloja (bugi voi olla rekikoira ja rodun mestari, henkilö on opiskelija ja aviomies), mutta ei samanaikaisesti. syötä useampi kuin yksi käsitteellinen hierarkia (vika ei voi olla koira ja kissa).

Ja vasta kolmannessa kuvauksen versiossa Zhuchkasta - kuuluneena tiettyyn kenneliin ja tietyn joukkueen jäsenenä, joka vetää kelkkoja tundran halki - on yksinkertaisesti välttämätöntä mainita sen moninaisuus. Vain tässä tapauksessa meillä on oikeus sanoa, että yksilö on konkreettisen joukon elementti, jossa on laskettava määrä elementtejä, eikä se kuulu käsitteen alle, joka voidaan esittää abstraktina joukkona, joka ehdollisesti määrää tämä käsite. Ja tässä on tärkeää, että yksilö on osa toista yksilöä, alun perin määritelty joukkona: kennel ja joukkue ovat välttämättä ei-tyhjä koirien joukko, ja tämän joukon elementtien lukumäärä sisältyy välttämättä niiden määritelmiin. yksilöinä. Eli tässä tapauksessa meidän pitäisi puhua suhteesta osa-kokonainen: Vika on osa kennelia ja osa tiimiä. Lisäksi Bugin tulo tai puuttuminen tiettyyn joukkueeseen muuttaa sen (tiimi) sisältöä: jos meillä oli joukkue-kakkonen, niin Bugin poistamisen jälkeen joukkue muuttuu yhdeksi joukkueeksi. Tällaisissa tapauksissa kyseessä ei ole vain laskettava joukko (koirat kennelissä), vaan yksilö, jonka olemus muuttuu, kun sen elementtien koostumus muuttuu, määräytyy tämän koostumuksen perusteella, eli järjestelmä. Jos kennel on vain yksilöryhmä, joka on kuvattu siihen sisältyvien elementtien avulla, niin joukkue on järjestelmä, jonka olemus riippuu sen osien lukumäärästä ja erityispiirteistä.

Näin ollen aihealueen ontologiaa rakennettaessa voidaan erottaa todellisia esineitä-joukkoja, jotka määritellään tarkasti tietyn määrän yksilöitä sisältäväksi kokoelmaksi. Näitä ovat: luokka koulussa, tavarat laatikossa varastossa, osat elektroniikkalaitelohkosta jne. Ja nämä sarjat voivat olla muiden todellisten laskettavien sarjojen osajoukkoja: kaikki oppilaat koulussa, kaikki tavarat varastossa, kaikki laitteen osia. Näitä joukkoja erotettaessa on olennaista, että ne (nämä joukot) toimivat itsenäisinä yksilöinä (ryhmä, tavaraerä, osien joukko), joiden pääominaisuus on juuri niihin sisältyvien elementtien lukumäärä. Lisäksi tämän attribuutin muutos voi johtaa kohteen tilan muutokseen, esimerkiksi elementtien lukumäärän lisääntyessä muuta kvartetti kvinteiksi tai rykmentistä prikaati. On myös tärkeää, että näiden joukko-objektien, monimutkaisten esineiden, kuvaus ei rajoitu niihin sisältyvien yksilöiden kuvaukseen, vaikka se voi sisältää viittauksen viimeksi mainittujen hyväksyttävään tyyppiin (jousikvartetto, hevosjoukkue). Ja sellaiset suhteet - eivät abstraktien joukkojen välillä, vaan joukkojen välillä, jotka ovat yksilöitä, monimutkaisia ​​objekteja - kuvataan tarkemmin osa-kokonaisuussuhteina, ei luokka-alaluokka.

Perinteistä yksilöiden luokittelua kohdistamalla ne tiettyihin luokkiin-joukkoihin ei siis voida pitää homogeenisena. On välttämätöntä erottaa (1) yksilöiden sisällyttäminen osiksi monimutkaiseen objektiin (kokonaisuuteen), jonka semanttinen spesifisyys ei rajoitu sen elementtien kuvaukseen. Samalla (1.1.) esinekokonaisuutta voidaan pitää vain nimettynä yksilöiden joukkona (osat paketissa, maalauskokoelma), jolle itse asiassa vain osien määrä on tärkeä. Tällaisia ​​objekteja voidaan kutsua ryhmät (tai kokoelmat)). Myös (1.2.) objektikokonaisuus voi olla merkityksellisesti (eikä vain kvantitatiivisesti) määrätty osiensa avulla ja sen seurauksena sillä voi olla attribuutteja, joita osilla ei ole. Tällaista eheyttä kutsutaan perinteisesti järjestelmät, ja järjestelmien osat - elementit. Toinen vaihtoehto objektien kuvaamiseksi aliluokkiin on (2) yksilöiden kuuluminen käsitteen alle, jota voidaan vain muodollisesti, tautologisesti kuvata yksilöiden sisällyttämiseksi joukkoon, jonka voima on yhtä suuri kuin käsitteen voima. Yksilöiden käsitteellinen kuvaus puolestaan ​​voidaan luokitella (2.1) käsitteellinen, joka määrittää yksilön tyypin maailmanlaajuisesti, ja (2.2) erikoistunut (suhteellinen), paikallisesti ajassa ja tilassa (tapahtumakohtaisesti) yhdistäen yksilön muihin esineisiin.

Edellä oleva päättely herättää ennen kaikkea kysymyksen perinteisen lähestymistavan riittävyydestä ja riittävyydestä kuvailla aihealuetta joukkoteoriaan perustuvalla luokittelulla. Ja johtopäätös ehdotetaan: kaikenlaisten oliosuhteiden korjaamiseksi ontologioissa tarvitaan eriytetympiä luokittelutyökaluja (ryhmiä, järjestelmiä, käsitteellisiä ja erikoistuvia käsitteitä). Joukkoteorian formalismia voidaan käyttää vain paikallisena yksinkertaistuksena päättelytarpeisiin, ei pääkuvausmenetelmänä.