Murtolukujen pienentäminen on tarpeen murtoluvun pelkistämiseksi yksinkertaisempaan muotoon esimerkiksi lausekkeen ratkaisemisen tuloksena saadussa vastauksessa.

Murtolukujen pienentäminen, määritelmä ja kaava.

Mitä fraktioiden vähentäminen tarkoittaa? Mitä murto-osan pienentäminen tarkoittaa?

Määritelmä:
Murtolukujen vähentäminen- tämä on murtoluvun osoittajan ja nimittäjän jako samalla positiivisella luvulla, joka ei ole nolla ja yksi. Pelkistyksen tuloksena saadaan murto, jolla on pienempi osoittaja ja nimittäjä, joka on yhtä suuri kuin edellinen murto-osion mukaan.

Kaava fraktioiden vähentämiseksi rationaalilukujen perusominaisuudet.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Katsotaanpa esimerkkiä:
Pienennä murtolukua \(\frac(9)(15)\)

Ratkaisu:
Voimme laskea murto-osan alkutekijöiksi ja kumota yhteiset tekijät.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(punainen) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Vastaus: vähentämisen jälkeen saimme murto-osan \(\frac(3)(5)\). Rationaalilukujen perusominaisuuden mukaan alkuperäinen ja tuloksena oleva murtoluku ovat yhtä suuret.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kuinka vähentää fraktioita? Murto-osan pelkistäminen redusoitumattomaan muotoonsa.

Jotta tuloksena saadaan pelkistymätön murto-osa, tarvitsemme löytää suurin yhteinen jakaja (GCD) murtoluvun osoittajalle ja nimittäjälle.

GCD:n löytämiseen on useita tapoja; esimerkissä käytämme lukujen hajottamista alkutekijöiksi.

Hanki redusoitumaton murtoluku \(\frac(48)(136)\).

Ratkaisu:
Etsitään GCD(48, 136). Kirjoitetaan luvut 48 ja 136 alkutekijöiksi.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136) = 2⋅2⋅2 = 6

' ? frac(6)(17)\)

Sääntö murto-osan pelkistämiseksi pelkistymättömään muotoon.

1. Sinun on löydettävä osoittajalle ja nimittäjälle suurin yhteinen jakaja.
2. Sinun on jaettava osoittaja ja nimittäjä suurimmalla yhteisellä jakajalla saadaksesi jaon tuloksena redusoitumattoman murtoluvun.

Esimerkki:
Pienennä murtolukua \(\frac(152)(168)\).

Ratkaisu:
Etsitään GCD(152, 168). Kirjoitetaan luvut 152 ja 168 alkutekijöiksi.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168) = 2⋅2⋅2 = 6

\(\frac(152)(168)=\frac(\väri(punainen) (6) \kertaa 19)(\väri(punainen) (6) \kertaa 21)=\frac(19)(21)\)

Vastaus: \(\frac(19)(21)\) on redusoitumaton murtoluku.

Väärien murtolukujen vähentäminen.

Kuinka vähentää väärää murtolukua?
Murto-osien pienentämissäännöt ovat samat oikeille ja väärille jakeille.

Katsotaanpa esimerkkiä:
Pienennä väärää murtolukua \(\frac(44)(32)\).

Ratkaisu:
Kirjoitetaan osoittaja ja nimittäjä yksinkertaisiksi tekijöiksi. Ja sitten vähennämme yhteisiä tekijöitä.

' )=\frac(11)(2 \kertaa 2 \kertaa 2)=\frac(11)(8)\)

Sekafraktioiden vähentäminen.

Sekajakeet noudattavat samoja sääntöjä kuin tavalliset jakeet. Ainoa ero on, että voimme älä kosketa koko osaa, vaan pienennä murto-osaa tai Muunna sekafraktio vääräksi jakeeksi, vähennä sitä ja muunna se takaisin oikeaksi jakeeksi.

Katsotaanpa esimerkkiä:
Peruuta sekamurto \(2\frac(30)(45)\).

Ratkaisu:
Ratkaistaan ​​se kahdella tavalla:
Ensimmäinen tapa:
Kirjoitetaan murto-osa yksinkertaisiksi tekijöiksi, mutta emme kosketa koko osaa.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \kertaa \väri(punainen) (5 \kertaa 3))(3 \kertaa \väri(punainen) (5 \kertaa 3))=2\ frac(2)(3)\)

Toinen tapa:
Muunnetaan se ensin vääräksi murtoluvuksi ja kirjoitetaan sitten alkutekijöiksi ja vähennetään. Muunnetaan tuloksena oleva virheellinen murto oikeaksi murtoluvuksi.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(punainen) (5 \kertaa) 3) \ kertaa 2 \ kertaa 2) (3 \ kertaa \väri(punainen) (3 \ kertaa 5))=\frac(2 \times 2 \times 2) (3)=\frac(8) (3)= 2\frac(2)(3)\)

Aiheeseen liittyviä kysymyksiä:
Voitko pienentää murtolukuja, kun lisäät tai vähennät?
Vastaus: ei, sinun on ensin lisättävä tai vähennettävä murtolukuja sääntöjen mukaisesti ja vasta sitten vähennettävä niitä. Katsotaanpa esimerkkiä:

Arvioi lauseke \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Ratkaisu:
He tekevät usein sen virheen, että vähentävät samoja numeroita osoittajassa ja nimittäjässä, meidän tapauksessamme lukua 20, mutta niitä ei voida pienentää ennen kuin olet suorittanut yhteen- ja vähennyslaskun.

\(\frac(50+\väri(punainen) (20)-10)(\väri(punainen) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Millä luvuilla voit pienentää murto-osan?
Vastaus: Voit pienentää murto-osaa suurimmalla yhteisellä kertoimella tai osoittajan ja nimittäjän yhteisellä jakajalla. Esimerkiksi murto-osa \(\frac(100)(150)\).

Kirjoitetaan luvut 100 ja 150 alkutekijöiksi.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Suurin yhteinen jakaja on luku gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Saimme redusoitumattoman murtoluvun \(\frac(2)(3)\).

Mutta aina ei tarvitse jakaa gcd:llä; pelkistämätöntä murtolukua ei aina tarvita; murto-osaa voi pienentää osoittajan ja nimittäjän yksinkertaisella jakajalla. Esimerkiksi luvuilla 100 ja 150 on yhteinen jakaja 2. Pienennetään murtolukua \(\frac(100)(150)\) kahdella.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Saimme pienennettävän murto-osan \(\frac(50)(75)\).

Mitä fraktioita voidaan vähentää?
Vastaus: Voit pienentää murtolukuja, joissa osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen jakaja. Esimerkiksi murto-osa \(\frac(4)(8)\). Lukuilla 4 ja 8 on luku, jolla ne molemmat ovat jaollisia - luku 2. Siksi tällainen murto-osa voidaan vähentää luvulla 2.

Esimerkki:
Vertaa kahta murtolukua \(\frac(2)(3)\) ja \(\frac(8)(12)\).

Nämä kaksi murto-osaa ovat yhtä suuret. Katsotaanpa tarkemmin murto-osaa \(\frac(8)(12)\:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\kertaa 1=\frac(2)(3)\)

Tästä saamme \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Kaksi murto-osaa ovat yhtä suuret, jos ja vain, jos toinen niistä saadaan vähentämällä toinen murto-osa osoittajan ja nimittäjän yhteisellä kertoimella.

Esimerkki:
Jos mahdollista, pienennä seuraavia murtolukuja: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Ratkaisu:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \kertaa \väri(punainen) (5) \kertaa 3 \kertaa 3)(\väri(punainen) (5) \kertaa 13)=\frac (2 \kertaa 3 \kertaa 3) (13)=\frac(18) (13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\väri(punainen) (3 \kertaa 3) \kertaa 3)(\väri(punainen) (3 \kertaa 3) \kertaa 7)=\frac (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) redusoitumaton murtoluku
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\väri(punainen) (2 \kertaa 5 \kertaa 5) \kertaa 2)(\väri(punainen) (2 \kertaa 5 \ kertaa 5) \ kertaa 5)=\frac(2)(5)\)

Tässä artikkelissa tarkastelemme perusoperaatioita algebrallisilla murtoluvuilla:

• vähentäviä fraktioita
• kertomalla murtoluvut
• jakamalla murtolukuja

Aloitetaan algebrallisten murtolukujen vähentäminen.

Näyttäisi siltä, algoritmi ilmeinen.

Vastaanottaja pienentää algebrallisia murtolukuja, tarvitsee

1. Kerroin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä.

2. Vähennä yhtäläisiä kertoimia.

Koululaiset tekevät kuitenkin usein sen virheen, että he eivät "vähennä" tekijöitä vaan termejä. Esimerkiksi on amatöörejä, jotka "vähentävät" murtolukuja ja saavat sen tuloksena , mikä ei tietenkään pidä paikkaansa.

Katsotaanpa esimerkkejä:

1. Pienennä murto-osaa:

1. Kerrotaan osoittaja käyttämällä summan neliön kaavaa ja nimittäjä neliöiden erotuksen kaavalla

2. Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

2. Pienennä murto-osaa:

1. Kerrotaan osoittaja. Koska osoittaja sisältää neljä termiä, käytämme ryhmittelyä.

2. Otetaan nimittäjä kertoimella. Voimme myös käyttää ryhmittelyä.

3. Kirjataan muistiin saamamme murto-osa ja vähennetään samat tekijät:

Algebrallisten murtolukujen kertominen.

Kun kerrotaan algebrallisia murtolukuja, kerrotaan osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä.

Tärkeä! Murtoluvun osoittajaa ja nimittäjää ei tarvitse kiirehtiä kertomaan. Kun olemme kirjoittaneet osoittajaan murto-osien osoittajien tulon ja nimittäjässä olevien nimittäjien tulon, meidän on otettava jokainen tekijä ja vähennettävä murtoluku.

Katsotaanpa esimerkkejä:

3. Yksinkertaista lauseke:

1. Kirjoita murtolukujen tulo: osoittajaan osoittajien tulo ja nimittäjään nimittäjien tulo:

2. Kerrotaan jokainen hakasulke:

Nyt meidän on vähennettävä samoja tekijöitä. Huomaa, että lausekkeet ja eroavat vain merkistä: ja jakamalla ensimmäinen lauseke toisella saadaan -1.

Niin,

Jaamme algebralliset murtoluvut seuraavan säännön mukaan:

Tuo on Jos haluat jakaa murtoluvulla, sinun on kerrottava "käänteisellä".

Näemme, että murtolukujen jakaminen tarkoittaa kertomista ja kertolasku päättyy lopulta murtolukujen pienentämiseen.

Katsotaanpa esimerkkiä:

4. Yksinkertaista lauseke:

Se perustuu niiden perusominaisuuteen: jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla ei-nollapolynomilla, saadaan yhtä suuri murto-osa.

Voit vain vähentää kertoimia!

Polynomien jäseniä ei voi lyhentää!

Algebrallisen murtoluvun pienentämiseksi osoittajan ja nimittäjän polynomit on ensin otettava kertoimella.

Katsotaanpa esimerkkejä murtolukujen pienentämisestä.

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät monomialeja. He edustavat tehdä työtä(luvut, muuttujat ja niiden potenssit), kertoimet voimme vähentää.

Vähennämme luvut niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla, eli suurimmalla luvulla, jolla kukin näistä luvuista on jaettu. 24:lle ja 36:lle tämä on 12. Vähennyksen jälkeen 2 jää 24:stä ja 3 36:sta.

Vähennämme asteita sillä asteella, jolla on pienin indeksi. Murtoluvun pienentäminen tarkoittaa osoittajan ja nimittäjän jakamista samalla jakajalla ja eksponentien vähentämistä.

a² ja a⁷ pienennetään arvoiksi a². Tässä tapauksessa a²:n osoittajaan jää yksi (kirjoitamme 1 vain siinä tapauksessa, että pelkistyksen jälkeen ei ole jäljellä muita tekijöitä. 24:stä jää 2, joten emme kirjoita 1:tä jäljellä a²:stä). A7:sta jää jäljelle pelkistyksen jälkeen a5.

b ja b pienennetään b:llä; tuloksena olevia yksiköitä ei kirjoiteta.

c3º ja c5 lyhennetään c5:ksi. C³º:sta jäljellä oleva on c²⁵, c⁵:stä yksi (emme kirjoita sitä). Täten,

Tämän algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja. Et voi peruuttaa polynomien termejä! (et voi pienentää esim. 8x² ja 2x!). Tämän osuuden pienentämiseksi tarvitset . Osoittajalla on yhteinen kerroin 4x. Otetaan se pois suluista:

Sekä osoittajalla että nimittäjällä on sama kerroin (2x-3). Vähennämme murto-osaa tällä kertoimella. Osoittajassa saimme 4x, nimittäjässä - 1. Algebrallisten murtolukujen 1 ominaisuuden mukaan murtoluku on 4x.

Voit vain vähentää tekijöitä (et voi pienentää tätä murto-osaa 25x²!). Siksi murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä olevat polynomit on kerrottava.

Osoittaja on summan täydellinen neliö, nimittäjä on neliöiden erotus. Lyhennetyillä kertolaskukaavoilla tehdyn hajottamisen jälkeen saamme:

Pienennämme murtolukua (5x+1) (tätä varten yliviivaa osoittajasta kaksi eksponenttia, jolloin jää (5x+1)² (5x+1)):

Osoittajalla on yhteinen kerroin 2, otetaan se pois suluista. Nimittäjä on kuutioiden eron kaava:

Laajennuksen seurauksena osoittaja ja nimittäjä saivat saman kertoimen (9+3a+a²). Vähennämme murto-osaa sillä:

Osoittimen polynomi koostuu 4 termistä. ensimmäinen termi toisella, kolmas neljännellä ja poista yhteinen tekijä x² ensimmäisistä suluista. Jaamme nimittäjän käyttämällä kuutioiden summakaavaa:

Otetaan osoittajassa yhteinen kerroin (x+2) suluista:

Pienennä murtolukua (x+2):

Murtoluvut ja niiden vähentäminen on toinen aihe, joka alkaa 5. luokalla. Täällä muodostuu tämän toiminnan perusta, ja sitten nämä taidot vedetään langalla korkeampaan matematiikkaan. Jos opiskelija ei ymmärrä, hänellä voi olla ongelmia algebrassa. Siksi on parempi ymmärtää muutama sääntö lopullisesti. Muista myös yksi kielto äläkä koskaan riko sitä.

Murtoluku ja sen pelkistys

Jokainen opiskelija tietää, mikä se on. Kaikki kaksi vaakasuuntaisen viivan välissä olevaa numeroa katsotaan välittömästi murto-osaksi. Kaikki eivät kuitenkaan ymmärrä, että mistä tahansa numerosta voi tulla se. Jos se on kokonaisluku, se voidaan aina jakaa yhdellä, jolloin saat väärän murtoluvun. Mutta siitä lisää myöhemmin.

Alku on aina yksinkertainen. Ensin sinun on selvitettävä, kuinka pienentää oikea murto-osa. Eli sellainen, jossa osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Tätä varten sinun on muistettava murto-osan perusominaisuus. Siinä todetaan, että kun sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan (ja jaetaan) samanaikaisesti samalla luvulla, saadaan vastaava murto-osa.

Jakotoiminnot, jotka suoritetaan tälle omaisuudelle ja johtavat vähennykseen. Eli yksinkertaistaa sitä mahdollisimman paljon. Murto-osaa voidaan pienentää, kunhan viivan ylä- ja alapuolella on yhteisiä tekijöitä. Kun niitä ei enää ole, vähentäminen on mahdotonta. Ja he sanovat, että tämä murto-osa on redusoitumaton.

Kaksi tapaa

1.Vähentäminen askel askeleelta. Se käyttää estimointimenetelmää, jossa molemmat luvut jaetaan yhteisellä vähimmäiskertoimella, jonka opiskelija huomaa. Jos ensimmäisen supistumisen jälkeen on selvää, että tämä ei ole loppu, jako jatkuu. Kunnes murto-osa muuttuu pelkistymättömäksi.

2. Osoittajan ja nimittäjän suurimman yhteisen jakajan löytäminen. Tämä on eniten järkevä tapa miten murtolukuja vähennetään. Se sisältää osoittajan ja nimittäjän laskemisen alkutekijöiksi. Niiden joukosta sinun on sitten valittava kaikki samat. Niiden tuote antaa suurimman yhteisen tekijän, jolla fraktio pienenee.

Molemmat menetelmät ovat samanarvoisia. Opiskelijaa rohkaistaan ​​hallitsemaan ne ja käyttämään sitä, mistä hän eniten pitää.

Entä jos on kirjaimia ja yhteen- ja vähennyslaskuoperaatioita?

Kysymyksen ensimmäinen osa on enemmän tai vähemmän selkeä. Kirjaimia voidaan lyhentää kuten numeroita. Pääasia on, että ne toimivat kertojina. Mutta monilla ihmisillä on ongelmia toisen kanssa.

Tärkeää muistaa! Voit vähentää vain tekijöitä. Jos ne ovat yhteenvetoja, se on mahdotonta.

Ymmärtääksesi kuinka pienentää murtolukuja, joilla on algebrallinen lauseke, sinun on ymmärrettävä sääntö. Ilmaise ensin osoittaja ja nimittäjä tulona. Sitten voit vähentää, jos yleisiä tekijöitä ilmenee. Seuraavat tekniikat ovat hyödyllisiä sen esittämiseksi kertoimien muodossa:

• ryhmittely;
• kiinnitys;
• lyhennettyjen kertolaskuiden soveltaminen.

Lisäksi jälkimmäinen menetelmä mahdollistaa termien saamisen välittömästi kertoimien muodossa. Siksi sitä tulee aina käyttää, jos tunnettu kuvio on näkyvissä.

Mutta tämä ei ole vielä pelottavaa, sitten ilmestyy tehtäviä, joilla on tutkinnot ja juuret. Silloin sinun täytyy saada rohkeutta ja oppia pari uutta sääntöä.

Ilmaisu asteella

Murto-osa. Osoittaja ja nimittäjä ovat tulo. On kirjaimia ja numeroita. Ja ne myös nostetaan valtaan, joka myös koostuu termeistä tai tekijöistä. On jotain pelättävää.

Ymmärtääksesi kuinka pienentää murtolukuja potenssien avulla, sinun on opittava kaksi asiaa:

• jos eksponentti sisältää summan, se voidaan jakaa tekijöiksi, joiden potenssit ovat alkuperäiset termit;
• jos ero, niin osinko ja jakaja, ensimmäisellä on minuutti potenssiin, toisella on alaosa.

Kun olet suorittanut nämä vaiheet, kokonaiskertoimet tulevat näkyviin. Tällaisissa esimerkeissä ei tarvitse laskea kaikkia tehoja. Riittää yksinkertaisesti pienentää asteita samoilla eksponenteilla ja kantaluvuilla.

Tarvitset paljon harjoittelua, jotta voit vihdoin hallita murtolukujen pienentämisen tehoilla. Useiden vastaavien esimerkkien jälkeen toiminnot suoritetaan automaattisesti.

Entä jos lauseke sisältää juuren?

Sitä voidaan myös lyhentää. Jälleen vain sääntöjä noudattaen. Lisäksi kaikki edellä kuvatut ovat totta. Yleensä, jos kysymys on, kuinka pienentää murto-osa juurilla, sinun on jaettava.

Se voidaan myös jakaa irrationaalisiin ilmaisuihin. Eli jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät identtiset tekijät juuren merkin alla, niitä voidaan turvallisesti pienentää. Tämä yksinkertaistaa ilmaisua ja suorittaa tehtävän.

Jos irrationaalisuus jää pelkistyksen jälkeen murtoviivan alle, sinun on päästävä siitä eroon. Toisin sanoen, kerro osoittaja ja nimittäjä sillä. Jos yleisiä tekijöitä ilmenee tämän toimenpiteen jälkeen, niitä on vähennettävä uudelleen.

Siinä on luultavasti kyse murto-osien vähentämisestä. Sääntöjä on vähän, mutta vain yksi kielto. Älä koskaan lyhennä termejä!

Tämä artikkeli jatkaa algebrallisten murtolukujen muuntamisen aihetta: harkitse sellaista toimintaa algebrallisten murtolukujen vähentämiseksi. Määritellään itse termi, muotoillaan pelkistyssääntö ja analysoidaan käytännön esimerkkejä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebrallisen murtoluvun pienentämisen merkitys

Yleisiä jakeita koskevissa materiaaleissa tarkastelimme sen vähentämistä. Määritimme murtoluvun vähentämisen jakamalla sen osoittaja ja nimittäjä yhteisellä kertoimella.

Algebrallisen murtoluvun pienentäminen on samanlainen operaatio.

Määritelmä 1

Algebrallisen murtoluvun pienentäminen on sen osoittajan ja nimittäjän jako yhteisellä kertoimella. Tässä tapauksessa, toisin kuin tavallisen murto-osan pelkistäminen (yhteinen nimittäjä voi olla vain luku), algebrallisen murtoluvun osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä voi olla polynomi, erityisesti monomi tai luku.

Esimerkiksi algebrallinen murtoluku 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 voidaan vähentää numerolla 3, jolloin tuloksena on: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Voimme pienentää saman murto-osan muuttujalla x, jolloin saadaan lauseke 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. On myös mahdollista pienentää annettua murto-osaa monomilla 3 x tai jokin polynomeista x + 2 v, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y tai 3 x 2 + 6 x v.

Algebrallisen murtoluvun pienentämisen perimmäinen tavoite on yksinkertaisemman muodon murto-osa, parhaimmillaan pelkistymätön murto-osa.

Ovatko kaikki algebralliset murtoluvut pelkistyksen kohteena?

Jälleen, tavallisissa jakeissa olevista materiaaleista tiedämme, että on olemassa pelkistyviä ja pelkistymättömiä jakeita. Pelkistymättömät murtoluvut ovat murtolukuja, joiden osoittajassa ja nimittäjässä ei ole muita yhteisiä kertoimia kuin 1.

Sama koskee algebrallisia murtolukuja: niillä voi olla yhteisiä kertoimia osoittajassa ja nimittäjässä tai ei. Yhteisten tekijöiden läsnäolon avulla voit yksinkertaistaa alkuperäistä murto-osaa vähentämällä. Kun yhteisiä tekijöitä ei ole, on mahdotonta optimoida tiettyä murto-osaa pelkistysmenetelmällä.

Yleisissä tapauksissa murto-osan tyyppi huomioon ottaen on melko vaikea ymmärtää, voidaanko sitä pienentää. Tietysti joissakin tapauksissa osoittajan ja nimittäjän välinen yhteinen tekijä on ilmeinen. Esimerkiksi algebrallisessa murtoluvussa 3 x 2 3 y on aivan selvää, että yhteinen tekijä on luku 3.

Murtoluvussa - x · y 5 · x · y · z 3 ymmärrämme myös heti, että sitä voidaan pienentää x:llä, y:llä tai x · y:lla. Ja silti, paljon useammin on esimerkkejä algebrallisista murtoluvuista, kun osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä ei ole niin helppo nähdä, ja vielä useammin se yksinkertaisesti puuttuu.

Voimme esimerkiksi pienentää murtolukua x 3 - 1 x 2 - 1 x - 1:llä, kun määritettyä yhteistä tekijää ei ole merkinnässä. Mutta murto-osaa x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ei voi pienentää, koska osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteistä tekijää.

Näin ollen kysymys algebrallisen murtoluvun pelkistävyyden määrittämisestä ei ole niin yksinkertainen, ja usein on helpompi työskennellä tietyn muodon murto-osan kanssa kuin yrittää selvittää, onko se pelkistävissä. Tällöin tapahtuu sellaisia ​​muunnoksia, jotka tietyissä tapauksissa mahdollistavat osoittajan ja nimittäjän yhteisen tekijän määrittämisen tai johtopäätöksen murto-osan redusoitumattomuudesta. Tutkimme tätä asiaa yksityiskohtaisesti artikkelin seuraavassa kappaleessa.

Algebrallisten murtolukujen pienentämissääntö

Algebrallisten murtolukujen pienentämissääntö koostuu kahdesta peräkkäisestä toimenpiteestä:

• osoittajan ja nimittäjän yhteisten tekijöiden löytäminen;
• jos niitä löytyy, fraktion vähentämistoimenpide suoritetaan suoraan.

Kätevin tapa löytää yhteisiä nimittäjiä on kertoa tietyn algebrallisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä olevat polynomit. Tämän avulla voit välittömästi nähdä selkeästi yleisten tekijöiden olemassaolon tai puuttumisen.

Itse algebrallisen murtoluvun pelkistystoiminto perustuu algebrallisen murtoluvun pääominaisuuteen, joka ilmaistaan ​​yhtälöllä määrittelemätön, jossa a, b, c ovat joitakin polynomeja ja b ja c ovat nollia poikkeavia. Ensimmäinen askel on pelkistää murto muotoon a · c b · c, jossa huomaamme välittömästi yhteisen tekijän c. Toinen vaihe on tehdä vähennys, ts. siirtyminen muodon a b murto-osaan.

Tyypillisiä esimerkkejä

Ilmeisyydestä huolimatta selvitetään se erikoistapaus, jossa algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret. Samanlaiset murtoluvut ovat identtisesti yhtä suuria kuin 1 tämän murtoluvun muuttujien koko ODZ:ssä:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Koska tavalliset murtoluvut ovat algebrallisten murtolukujen erikoistapaus, muistetaan kuinka ne pelkistetään. Osoittajaan ja nimittäjään kirjoitetut luonnolliset luvut lasketaan alkutekijöiksi, jolloin yhteiset tekijät kumotaan (jos niitä on).

Esimerkiksi 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Yksinkertaisten identtisten kertoimien tulo voidaan kirjoittaa potenssiksi, ja murto-osan pienentämisessä käyttää ominaisuutta jakaa potenssit identtisillä emäksillä. Sitten yllä oleva ratkaisu olisi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(osoittaja ja nimittäjä jaettuna yhteisellä kertoimella 2 2 3). Tai selvyyden vuoksi, kerto- ja jakolaskuominaisuuksien perusteella, annamme ratkaisulle seuraavan muodon:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogisesti suoritetaan algebrallisten murtolukujen pelkistys, jossa osoittajalla ja nimittäjällä on monomiaalit kokonaislukukertoimilla.

Esimerkki 1

Algebrallinen murtoluku on annettu - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Sitä on vähennettävä.

Ratkaisu

On mahdollista kirjoittaa tietyn murtoluvun osoittaja ja nimittäjä yksinkertaisten tekijöiden ja muuttujien tulona ja sitten suorittaa pelkistys:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = -3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Kuitenkin järkevämpi tapa olisi kirjoittaa ratkaisu lausekkeeksi, jolla on potenssit:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Vastaus:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kun algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät murto-lukukertoimia, on kaksi mahdollista jatkotoimia: joko jakaa nämä murtokertoimet erikseen tai ensin päästään eroon murto-osista kertomalla osoittaja ja nimittäjä jollain luonnollisella luvulla. Viimeinen muunnos suoritetaan algebrallisen murto-osan perusominaisuuden vuoksi (voit lukea siitä artikkelista "Algebrallisen murtoluvun pienentäminen uuteen nimittäjään").

Esimerkki 2

Annettu murtoluku on 2 5 x 0, 3 x 3. Sitä on vähennettävä.

Ratkaisu

On mahdollista pienentää murto-osaa seuraavasti:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Yritetään ratkaista ongelma eri tavalla, päästyämme ensin eroon murtokertoimista - kerrotaan osoittaja ja nimittäjä näiden kertoimien nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisuudella, ts. LCM:ssä (5, 10) = 10. Sitten saamme:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Vastaus: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kun vähennetään yleisiä algebrallisia murtolukuja, joissa osoittajat ja nimittäjät voivat olla joko monomeja tai polynomeja, voi syntyä ongelma, jossa yhteinen tekijä ei aina ole heti näkyvissä. Tai sitä paitsi sitä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Sitten yhteisen tekijän määrittämiseksi tai sen puuttumisen kirjaamiseksi otetaan huomioon algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä.

Esimerkki 3

Rationaalinen murtoluku 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 on annettu. Sitä on vähennettävä.

Ratkaisu

Otetaan huomioon polynomit osoittajassa ja nimittäjässä. Laitetaan se pois suluista:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Näemme, että suluissa oleva lauseke voidaan muuntaa käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

On selvästi nähtävissä, että murto-osaa on mahdollista pienentää yhteisellä kertoimella b 2 (a + 7). Tehdään vähennys:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Kirjoitetaan lyhyt ratkaisu ilman selitystä yhtäläisyyksien ketjuna:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Vastaus: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Tapahtuu, että yhteiset tekijät piilotetaan numeeristen kertoimien avulla. Sitten murtolukuja pienennettäessä on optimaalista laittaa numeeriset tekijät osoittajan ja nimittäjän korkeammilla potenssilla suluista pois.

Esimerkki 4

Algebrallinen murtoluku 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Sitä on tarpeen vähentää, jos mahdollista.

Ratkaisu

Ensi silmäyksellä osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteistä nimittäjää. Yritetään kuitenkin muuntaa annettu murto-osa. Otetaan kertoimesta x pois:

1 5 x - 2 7 x 3 v 5 x 2 v - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 v 5 x 2 v - 3 1 2

Nyt voit nähdä jonkin verran samankaltaisuutta suluissa olevan lausekkeen ja nimittäjässä olevan lausekkeen välillä x 2 y:n takia . Otetaan näiden polynomien suurempien potenssien numeeriset kertoimet:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 v - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 v 5 x 2 v - 7 10

Nyt yhteinen tekijä tulee näkyviin, suoritamme vähennyksen:

2 7 x - 7 10 + x 2 v 5 x 2 v - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Vastaus: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Korostettakoon, että rationaalisten murtolukujen pelkistämisen taito riippuu kyvystä tekijöitä polynomit.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter