Kysymys 1. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu, ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.
Kuvassa 31 kulmat (a 1 b) ja (a 2 b) ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen sivu b, ja sivut a 1 ja a 2 ovat lisäpuoliviivoja.

Kysymys 2. Osoita, että vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Vastaus. Lause 2.1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoon kulman (a 1 b) ja kulman (a 2 b) vierekkäiset kulmat (katso kuva 31). Säde b kulkee suoran kulman sivujen a 1 ja a 2 välistä. Siksi kulmien (a 1 b) ja (a 2 b) summa on yhtä suuri kuin taittamaton kulma, eli 180°. Q.E.D.

Kysymys 3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus.

Lauseen perusteella 2.1 Tästä seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Oletetaan, että kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret. Meidän on todistettava, että myös kulmat (a 2 b) ja (c 2 d) ovat yhtä suuret.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°. Tästä seuraa, että a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Siten a 2b = 180° - a 1 b ja c 2 d = 180° - c 1 d. Koska kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret, saadaan, että a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Yhtävyysmerkin transitiivisuuden ominaisuudesta seuraa, että a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Kysymys 4. Mitä kulmaa kutsutaan oikeaksi (teräväksi, tylpäksi)?
Vastaus. Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi.
Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.
Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi.

Kysymys 5. Todista, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.
Vastaus. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Kysymys 6. Mitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

Kysymys 7. Todista, että pystykulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus. Lause 2.2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoot (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) annetut pystykulmat (kuva 34). Kulma (a 1 b 2) on kulman (a 1 b 1) ja kulman (a 2 b 2) vieressä. Tästä vierekkäisten kulmien summaa koskevaa lausetta käyttämällä päätämme, että kukin kulmista (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täydentää kulmaa (a 1 b 2) 180°:ksi, ts. kulmat (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 8. Todista, että jos kaksi suoraa leikkaavat toisensa kulmista, niin myös muut kolme kulmaa ovat oikeat.
Vastaus. Oletetaan, että suorat AB ja CD leikkaavat toisensa pisteessä O. Oletetaan, että kulma AOD on 90°. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, saadaan, että AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kulma COB on pystysuora suhteessa kulmaan AOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma COB = 90°. Kulma COA on pystysuora suhteessa kulmaan BOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma BOD = 90°. Siten kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin 90°, eli ne ovat kaikki suoria kulmia. Q.E.D.

Kysymys 9. Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi? Mitä merkkiä käytetään osoittamaan viivojen kohtisuoraa?
Vastaus. Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa.
Viivojen kohtisuoritus ilmaistaan ​​merkillä \(\perp\). Merkintä \(a\perp b\) kuuluu seuraavasti: "Line a on kohtisuorassa linjaa b vastaan."

Kysymys 10. Todista, että minkä tahansa suoran pisteen kautta voit piirtää siihen nähden kohtisuoran suoran, ja vain yhden.
Vastaus. Lause 2.3. Jokaisen viivan läpi voit piirtää siihen nähden kohtisuoran viivan, ja vain yhden.
Todiste. Olkoon a annettu suora ja A tietty piste sillä. Merkitään a 1:llä yhtä aloituspisteen A olevan suoran a puolisuorasta (kuva 38). Vähennetään puoliviivasta a 1 kulma (a 1 b 1), joka on yhtä suuri kuin 90°. Tällöin säteen b 1 sisältävä suora on kohtisuorassa suoraa a vastaan.

Oletetaan, että on olemassa toinen suora, joka myös kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Merkitään c 1:llä tämän suoran puoliviivaa, joka on samassa puolitasossa säteen b 1 kanssa.
Kulmat (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumpikin yhtä suuri kuin 90°, on asetettu yhteen puolitasoon puoliviivasta a 1. Mutta puoliviivasta 1 voidaan asettaa vain yksi 90° kulma tiettyyn puolitasoon. Siksi ei voi olla toista suoraa, joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Lause on todistettu.

Kysymys 11. Mikä on kohtisuorassa suoraa vastaan?
Vastaus. Tiettyyn suoraan nähden kohtisuora on tiettyä suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran jana, jonka toinen pää on niiden leikkauspisteessä. Tätä segmentin päätä kutsutaan perusta kohtisuorassa.

Kysymys 12. Selitä, mistä ristiriitainen todistus koostuu.
Vastaus. Lauseessa 2.3 käyttämäämme todistusmenetelmää kutsutaan ristiriitatodistukseksi. Tämä todistusmenetelmä koostuu siitä, että ensin tehdään päinvastainen oletus kuin lauseessa. Sitten päättelemällä, tukeutuen aksioomeihin ja todistettuihin lauseisiin, tulemme johtopäätökseen, joka on ristiriidassa joko lauseen ehtojen tai jonkin aksiooman tai aiemmin todistetun lauseen kanssa. Tämän perusteella päättelemme, että olettamuksemme oli väärä, ja siksi lauseen väite on totta.

Kysymys 13. Mikä on kulman puolittaja?
Vastaus. Kulman puolittaja on säde, joka lähtee kulman kärjestä, kulkee sen sivujen välillä ja jakaa kulman kahtia.

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka tarvitaan matematiikan yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Unified State Exam -kokeen nopeat ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Selkeät selitykset monimutkaisille käsitteille. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Jokaisella kulmalla on koostaan ​​riippuen oma nimi:

Kulman tyyppi	Koko asteina	Esimerkki
Mausteinen	Alle 90°
Suoraan	Vastaa 90°. Piirustuksessa suora kulma on yleensä merkitty symbolilla, joka on piirretty kulman toiselta puolelta toiselle.
Tylsä	Yli 90° mutta alle 180°
Laajennettu	Vastaa 180° Suora kulma on yhtä suuri kuin kahden suoran kulman summa ja suora kulma on puolet suorasta kulmasta.
Kupera	Yli 180° mutta alle 360°
Koko	Vastaa 360°

Näitä kahta kulmaa kutsutaan vieressä, jos niillä on toinen puoli yhteinen ja kaksi muuta sivua muodostavat suoran:

Kulmat MOPPI Ja PON vierekkäin, koska palkki OP- yhteinen puoli ja kaksi muuta puolta - OM Ja PÄÄLLÄ muodostaa suora viiva.

Vierekkäisten kulmien yhteistä puolta kutsutaan vinosti suoraksi, jolla kaksi muuta sivua sijaitsevat, vain siinä tapauksessa, että vierekkäiset kulmat eivät ole yhtä suuria keskenään. Jos vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret, niiden yhteinen puoli on kohtisuorassa.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Näitä kahta kulmaa kutsutaan pystysuora, jos yhden kulman sivut täydentävät toisen kulman sivuja suoriksi viivoiksi:

Kulmat 1 ja 3 sekä kulmat 2 ja 4 ovat pystysuoria.

Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Osoitetaan, että pystykulmat ovat yhtä suuret:

∠1:n ja ∠2:n summa on suora kulma. Ja ∠3:n ja ∠2:n summa on suora kulma. Nämä kaksi summaa ovat siis yhtä suuret:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Tässä yhtälössä vasemmalla ja oikealla on identtinen termi - ∠2. Tasa-arvoa ei rikota, jos tämä vasemmalla ja oikealla oleva termi jätetään pois. Sitten saamme sen.

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit

Lause 1. Jos, kun kaksi suoraa leikkaavat sekantin:

ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret tai

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai

yksipuolisten kulmien summa on 180°

viivat ovat yhdensuuntaisia(Kuva 1).

Todiste. Rajoitamme tapauksen 1 todistamiseen.

Olkoot leikkaavat suorat a ja b ristikkäin ja kulmat AB yhtä suuret. Esimerkiksi ∠ 4 = ∠ 6. Osoitetaan, että a || b.

Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä M ja siksi yksi kulmista 4 tai 6 on kolmion ABM ulkokulma. Tarkkuuden vuoksi olkoon ∠ 4 kolmion ABM ulkokulma ja ∠ 6 sisäkulma. Kolmion ulkokulman lauseesta seuraa, että ∠ 4 on suurempi kuin ∠ 6, ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että suorat a ja 6 eivät voi leikkiä, joten ne ovat yhdensuuntaisia.

Seuraus 1. Kaksi eri suoraa samaan viivaan nähden kohtisuorassa tasossa ovat yhdensuuntaisia(Kuva 2).

Kommentti. Tapaa, jolla juuri todistimme Lauseen 1 tapauksen 1, kutsutaan todistusmenetelmäksi ristiriidalla tai pelkistetyksi absurdiksi. Tämä menetelmä sai etunimensä, koska väitteen alussa tehdään oletus, joka on päinvastainen (vastakohta) sille, mikä on todistettava. Sitä kutsutaan järjettömyyteen johtamiseksi sen vuoksi, että tehdyn oletuksen perusteella päätellen päädymme absurdiin johtopäätökseen (absurdiin). Tällaisen johtopäätöksen saaminen pakottaa meidät hylkäämään alussa tehdyn oletuksen ja hyväksymään sen, joka oli todistettava.

Tehtävä 1. Muodosta suora, joka kulkee tietyn pisteen M kautta ja yhdensuuntainen tietyn suoran a kanssa, joka ei kulje pisteen M läpi.

Ratkaisu. Piirretään suora p pisteen M läpi, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan ​​(kuva 3).

Sitten vedetään suora b pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa p vastaan. Suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa Lauseen 1 seurauksen mukaan.

Käsitellystä ongelmasta seuraa tärkeä johtopäätös:
pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, on aina mahdollista piirtää viiva yhdensuuntainen annetun kanssa.

Yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuus on seuraava.

Yhdensuuntaisten viivojen aksiooma. Tietyn pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee vain yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa.

Tarkastellaan joitain rinnakkaisten suorien ominaisuuksia, jotka seuraavat tästä aksioomasta.

1) Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se leikkaa myös toisen (kuva 4).

2) Jos kaksi eri suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia ​​(kuva 5).

Myös seuraava lause pitää paikkansa.

Lause 2. Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittaisen, niin:

poikittaiskulmat ovat yhtä suuret;

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret;

yksipuolisten kulmien summa on 180°.

Seuraus 2. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen(katso kuva 2).

Kommentti. Lausea 2 kutsutaan Lauseen 1 käänteiseksi. Lauseen 1 johtopäätös on Lauseen 2 ehto. Ja Lauseen 1 ehto on Lauseen 2 johtopäätös. Jokaisella lauseella ei ole käänteislukua, eli jos annettu lause on tosi, silloin käänteislause voi olla epätosi.

Selvitetään tämä pystykulmien lauseen esimerkillä. Tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret. Käänteinen lause olisi: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, ne ovat pystysuorat. Ja tämä ei tietenkään pidä paikkaansa. Kahden samanlaisen kulman ei tarvitse olla pystysuoraa.

Esimerkki 1. Kaksi yhdensuuntaista viivaa ylittää kolmas. Tiedetään, että kahden sisäisen yksipuolisen kulman välinen ero on 30°. Etsi nämä kulmat.

Ratkaisu. Olkoon kuvan 6 ehdon mukainen.

Toimittaja Ivanitskaya V.P. - M.: RSFSR:n opetusministeriön valtion koulutus- ja pedagoginen kustantamo, 1959. - 272 s.
ladata(suora linkki) : egnnsholaster1959.djvu Edellinen 1 .. 11 > .. >> Seuraava

Jos vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret, kutakin niistä kutsutaan suorakulmaksi. Niiden yhteistä puolta kutsutaan kohtisuoraksi kahden muun sivun muodostamaan viivaan nähden. Voidaan myös sanoa, että käänteisen kulman puolittaja on kohtisuorassa sen sivujen muodostamaa suoraa vastaan.

Lause. Jos kulmat ovat yhtä suuret, viereiset kulmat ovat yhtä suuret.

Olkoon (h, k) = ^. (I, m) ja olkoon ^ (h!, k) ja ^ (/, t) vastaavat vierekkäiset kulmat (kuva 20). Olkoon lisäksi / liike, jossa ^ (h, k) on näytetään muodossa (I, tri). Tällä liikkeellä laajennettu ^ (h, K) yhdistetään laajennettuun (I, /"). Tästä seuraa, että ^(h", k) kartoitetaan ^(V, m), eli ^(h!, k) = ^(V, m).

Lause. On olemassa minkä tahansa kulman puolittaja ja lisäksi ainutlaatuinen.

Olkoon ^(A, k) erilainen kuin laajennettu ja sen sisäalue on kupera. Piirretään sen sivuille tasaiset janat OA ja OB kärjestä O (piirros 21, a) ja yhdistetään pisteet A ja B. Tasakylkisessä kolmiossa AOB A = ^B (§ 8). Yhdistämällä janan AB keskimmäinen C pisteeseen O saadaan kolmiot L OS ja BOC, jotka ovat yhtä suuret ensimmäisessä attribuutissa, joten AOC = BOC, joten säde OS on puolittaja (h, k).

Jos (h, k) ei ole kupera (piirustuksessa sen sisäaluetta ei ole varjostettu), niin edellisen mukaan

6}
t^

Lauseen mukaan sen puolittaja on säteen / komplementaarinen säde m.

Kolmioiden ACO ja BCO yhtälöstä seuraa myös, että ^ ACO = BCO1 eli säde CO on käänteisen kulman puolittaja, jonka sivut ovat CA ja CB.

Annetaan nyt laajennettu ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB näkyy näytössä

(p, q). CO-säde on kartoitettu t-säteeseen. Koska ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO ja ^ACO= = (q, t), niin (p, t) = = ^(q, t), eli t -puolittaja (p, q) ).

Olkoon / on puolittaja

(A, A) ja Г on mielivaltainen säde, joka lähtee kulman kärjestä ja sijaitsee sen sisäalueella. Jos Γ on sisäalueella ^(A, /), niin ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Siksi ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Johtopäätös 1. Tiettyä suoraa vastaan ​​on yksi ja vain yksi kohtisuora, joka lähtee tietystä pisteestä sillä ja sijaitsee annetussa puolitasossa, jota tämä suora rajoittaa.

Seuraus 2. Saman kulman puolikkaat ovat keskenään yhtä suuret.

Todellakin, jos ^(A, A) = ^(A, A"), silloin on liike / jossa yksi niistä on kuvattu toiseen. Todistetun lauseen mukaan myös niiden puolittajat / ja Γ tietylle liikkeelle tulisi kuvata toisiinsa. Siksi ^(A, /) = ^(A, Г).

Koska kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria, Eräs Corollary 2 -tapaus on väite: kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Suoria a ja A, jotka muodostavat suoran kulman leikkaaessaan, kutsutaan kohtisuoraksi (a ± b).

Heijastus suoralta linjalta. Olkoon suora viiva makaa tasossa a. Tässä tapauksessa muodostetut puolitasot merkitään X:llä ja p:llä. (Kuva 22). Otetaan säde A suoralle viivalle

nousemassa pisteestä O. 6 liikkeen ominaisuudella (§ 7) on ainutlaatuinen liike, joka kuvaa säteen h itseensä ja puolitason X puolitasoon jx. Kaikki tämän säteen pisteet 5 liikkeen ominaisuuden mukaan kartoitetaan itseensä. Kaikki säteen k pisteet, jotka täydentävät suoraa sädettä h, kartoitetaan myös itseensä.

Joten tarkasteltavan liikkeen aikana kaikki suoran a pisteet kartoitetaan itseensä. Se on helppo nähdä pidemmälle

Otetaan nyt piste suoran a ulkopuolelta.

Lause. Minkä tahansa pisteen kautta, joka ei ole suoralla, kulkee yksi viiva, joka on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Todiste. Olkoon M suoran a ulkopuolella oleva piste (kuva 23). Suora a jakaa tämän suoran määrittämän tason ja

piste M kahdeksi puolitasoksi: puolitasoon X, joka sisältää pisteen M, ja puolitasoon jx. Kun piste M kuvataan suoralta a, se kartoitetaan puolitason jx pisteeseen M". Koska pisteet M ja M" sijaitsevat eri puolitasoissa,

ah, sitten suoraan MM" ja Damn 23

leikkaavat jossain

piste M0, joka heijastettuaan kartoitetaan itseensä. Tästä seuraa, että suora MM" on kartoitettu itseensä, ja siksi sen muodostamat kulmat / ja 2 suoran a kanssa (katso kuva 23) kartoitetaan toisiinsa.

Puolitaso jx kartoitetaan puolitasoon X.

Tarkasteltavaa liikettä kutsutaan heijastukseksi suoralta a.

Käänteisen kulman puolittajan olemassaolosta seuraa, että minkä tahansa suoralla a olevan pisteen kautta on aina mahdollista piirtää suora b kohtisuoraan suoraa a vastaan.

Tämä tarkoittaa, että nämä kulmat ovat yhtä suuret, ja koska ne ovat lisäksi vierekkäisiä, niin MM" ± a. Piirretään nyt toinen suora M:n läpi, joka leikkaa suoran a jossain pisteessä Af0. Se kartoitetaan suoralle M "N0, a ^ MN0M0 kartoitetaan muotoon M"N0M0. Joten, ^ 3 = ^i4. Mutta Aksiooman 1 (§ 2) perusteella pisteet M1 N0 ja M" eivät ole samalla suoralla, ja siksi kulmien 3 ja 4 summa, eli ^ MN0M", ei ole käänteinen kulma. Tästä seuraa, että kulmat 3 ja 4 eroavat oikeasta kulmasta ja suora MN0 ei ole kohtisuorassa suoraa a vastaan. suora MM" on siis ainoa suora, joka on kohtisuorassa a:ta vastaan ​​ja kulkee pisteen M kautta.