Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 USE matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Ehdotan tällä kertaa järjestämään jotain "todisteisiin perustuvan maratonin" ongelmien ratkaisemiseksi, joita tarjotaan yhdeksäsluokkalaisille matematiikan GIA:n muunnelmissa. Ne liittyvät yksinkertaisten, mutta samalla erittäin hyödyllisten geometristen tosiasioiden todistamiseen. Artikkeli ei tarkoituksella tarjoa yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja ongelmiin, vain joitakin pääpiirteitä ja vinkkejä. Yritä voittaa tämä maratonmatka yksin, ilman virheitä ja yhdessä sarjassa.

Tehtävä 1. Todista, että vierekkäisten kulmien puolittajat ovat kohtisuorassa.

Kulma α on merkitty yhdellä kaarella, β kahdella

Todiste: kuvasta käy selvästi ilmi α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (litoitettu kulma), siksi α + β = 90 0 . Q.E.D.

Tehtävä 2. Kaksi segmenttiä AC Ja BD leikkaavat pisteessä O, joka on kunkin niistä keskipiste. Todista, että kolmiot ovat yhtä suuret ACD Ja OHJAAMO.

ABCD on tietysti suunnikas, mutta sitä ei anneta ehdossa

Todiste: sivukolmiot ovat yhtä suuret kahdella sivulla ja niiden välinen kulma ( BO = OD- ehdon mukaan, AO = OC— ehdon mukaan, ∠ DOC = ∠AOB- pystysuora), eli ∠ ACD = ∠OHJAAMO, ja koska ne ovat ristikkäin viivojen alla AB, CD ja sekantti AC, Tuo AB rinnakkain DC. Samalla tavalla todistamme suorien yhdensuuntaisuuden eKr Ja ILMOITUS. Niin, ABCD on määritelmänsä suuntaviiva. eKr = ILMOITUS, AB = CD(Suunkikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret) AC- yhteinen kolmiolle ACD Ja OHJAAMO, joten ne ovat yhtä suuret kolmelta puolelta. Q.E.D.

Tehtävä 3. Osoita, että tasakylkisen kolmion kantaan piirretty mediaani on kantaa vastapäätä olevan kulman puolittaja ja on myös kohtisuorassa kantaan nähden.

Mediaanin ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan "alemmiksi", mediaaniksi ja sivuiksi "yläksi"

Todiste: kuvan sivukolmiot ovat yhtä suuret kolmelta sivulta, mikä tarkoittaa ensinnäkin "ylempien" kulmien yhtäläisyyttä (osoitti, että puolittaja) ja toiseksi "alempien" kulmien yhtäläisyyttä, yhteensä vierekkäisinä antaen 180 0 , ja siksi kukin yhtä suuri kuin 90 0 (todistettu kohtisuora). Q.E.D.

Tehtävä 4. Osoita, että tasakylkisen kolmion sivuille vedetyt mediaanit ovat yhtä suuret.

Kolmioita, jotka muodostavat alkuperäisen kolmion sivujen mediaanit, kanta ja alapuoliskot, kutsutaan "alemmiksi"

Todiste: tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat yhtä suuret, joten "alemmat" kolmiot ovat yhtä suuret kahdella sivulla ja niiden välinen kulma, mikä tarkoittaa piirrettyjen mediaanien yhtäläisyyttä. Q.E.D.

Tehtävä 5. Osoita, että tasakylkisen kolmion kantapisteestä vedetyt puolittajat ovat yhtä suuret.

Kaikki kuvassa merkityt kulmat ovat tietysti yhtä suuret, vaikka ne on merkitty eri kaarilla.

Todiste:"Alempi" kolmio on tasakylkinen, mikä seuraa kulmien yhtäläisyydestä sen pohjassa, "sivukolmiot" ovat sivultaan yhtä suuret (yhtä kuin edellä todistettujen puolittajien hiukkasista) ja kaksi kulmaa (ensimmäiset ovat ehdon mukaan yhtä suuret , toinen pystysuoraksi), joten puolittajien loput hiukkaset ovat myös keskenään yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että puolittajat ovat yhtä suuret kokonaisuutena. Q.E.D.

Tehtävä 6. Osoita, että kolmion kahden sivun keskipisteitä yhdistävän janan pituus on yhtä suuri kuin puolet kolmannesta sivusta.

Puhtaita puolia kutsumme "pohjiksi", yliviivattuja sivuja "sivuiksi"

Todiste: kuvan pienen ja suuren kolmion sivut liittyvät toisiinsa suhteessa 1:2, lisäksi niillä on yksi yhteinen kulma, mikä tarkoittaa, että ne ovat samankaltaisia ​​toisessa piirteessä samankaltaisuuskertoimella 1:2, joten kantat liittyvät toisiinsa kuten 1: 2. Joka oli todistettava .

Tehtävä 7. Osoita, että suunnikkaan lävistäjä jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon.

Suunnikkapiirros, jossa on diagonaali, ehkä ei ole enää mitään lisättävää

Todiste: suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, diagonaali on näiden kolmioiden yhteinen sivu, joten ne ovat yhtä suuret kolmella sivulla. Q.E.D.

Tehtävä 8. Osoita, että hypotenuusaan piirretyn suorakulmaisen kolmion mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Toisin sanoen mediaani piirretään oikean kulman kärjestä

Todiste: jos ympyrä on kuvattu tietyn suorakulmaisen kolmion ympärillä, niin tähän ympyrään piirretyn kolmion oikea kulma kuvataan puoliympyrällä, joten hypotenuusa on tämän ympyrän halkaisija ja hypotenuusan puolikkaat ja meille ongelmassa annettu mediaani on säteet, joten ne ovat kaikki yhtä suuret. Q.E.D.

Tehtävä 9. Todista, että ympyrän yhdestä pisteestä piirretyt tangentit ovat yhtä suuret.

Lisärakenne: yhdistä piste C pisteeseen O (henkisesti)

Todiste: kulmat B Ja A suorat viivat (kääntöpisteeseen piirretyn ympyrän säteet ovat kohtisuorassa tangentteja vastaan), sitten suorakulmaiset kolmiot AOC Ja BOC ovat samat hypotenuusassa (niille yhteinen kuvitteellinen puoli). OC) ja jalka (ympyrän säteet OB = OA), joka tarkoittaa AC = CB. Q.E.D.

Tehtävä 10. Todista, että ympyrän jänteen keskipisteen läpi kulkeva halkaisija on kohtisuorassa siihen nähden.

Kuvan kahta pistettä yhdistävä viiva on tarkasteltavan kolmion mediaani.

Todiste: tasakylkisessä kolmiossa, jonka muodostavat jänteen ja ympyrän keskipisteen leikkauspisteet, kuvattu mediaani on korkeus, mikä tarkoittaa, että tämän korkeuden sisältävä halkaisija on kohtisuorassa jänteeseen nähden. Q.E.D.

Tehtävä 11. Todista, että jos kahdella ympyrällä on yhteinen jänne, niin näiden ympyröiden keskustan kautta kulkeva viiva on kohtisuorassa annettua jännettä vastaan.

Yhdistämme henkisesti yhteen kaikki kuvassa merkityt pisteet, kutsumme vaaka- ja pystysuoran H leikkauspisteeksi

Todiste: kolmiot O 1 AO 2 ja O 1 BO 2 ovat yhtä suuret kolmella sivulla, joten ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, sitten kolmiot HAO 2 ja HBO 2 ovat yhtä suuret kahdella sivulla ja niiden välinen kulma, joten ∠ AHO 2 = ∠BHO 2, ja kahden yhtä suuren kulman summa voi antaa 180 0 vain, jos kukin niistä on yhtä suuri kuin 90 0 . Q.E.D.

Tehtävä 12. Todista, että jos ympyrä voidaan kirjoittaa nelikulmioon, niin sen vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat yhtä suuret.

Kuvattu nelikulmio. Kutsutaan sitä ABCD:ksi. Olkoot M, E, X ja L kosketuspisteitä

Todiste: käytämme tangenttisegmenttilausetta (tehtävä 9). VC = BP, SR = CH, DX = DL Ja AT = AK. Summaa sivut AB Ja CD: AB + CD= (OLEN+ MB) + (DX+ XC) = AL+ OLLA+ DL+ CE= (AL+ LD) + (OLLA+ EU) = ILMOITUS+ eKr. Q.E.D.

Tehtävä 13. Osoita, että jos ympyrä voidaan rajata nelikulmion ympärille, niin sen vastakkaisten kulmien summat ovat yhtä suuret.

Rajoitettu ympyrä

Todiste: sisäänkirjoitetun kulmalauseen mukaan tämän nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 0 , koska yhdessä ne perustuvat täysympyrään, jonka astemitta on 360 0 . Q.E.D.

Tehtävä 14. Todista, että jos ympyrä voidaan rajata lähellä puolisuunnikasta, niin puolisuunnikkaan on tasakylkinen.

Todiste: ympyrään piirretyn nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on α + β = 180 0 (katso Tehtävä 13), myös puolisuunnikkaan sivupuolen kulmien summa on α + γ \u003d 180 0 (nämä kulmat ovat yksipuolisia yhdensuuntaisilla kantajilla ja sekanttisivuilla), näiden kaavojen vertailusta saadaan, että β = γ , eli tällaisen puolisuunnikkaan pohjan kulmat ovat yhtä suuret, ja se on todellakin tasakylkinen. Q.E.D.

Tehtävä 15. neliöity ABCD pisteitä TO Ja E- sivujen keskipisteet AB Ja ILMOITUS vastaavasti. Todista se KD kohtisuorassa CE.

Lause 1 . Sisäänkirjoitetun kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet samaan kaareen perustuvan keskikulman arvosta.

Todiste . Harkitse ensin sisäänkirjoitettua kulmaa ABC, puoli eKr joka on ympyrän halkaisija ja keskikulma AOC(Kuva 5).

Segmenteistä lähtien AO Ja BO ovat ympyrän säteet, sitten kolmion AOB tasakylkinen ja kulma ABO yhtä suuri kuin kulma OAB. Koska kulma AOC on kolmion ulkokulma AOB, sitten tasa-arvot

Näin ollen siinä tapauksessa, että yksi sisäänkirjoitetun kulman sivuista kulkee ympyrän keskipisteen läpi, Lause 1 on todistettu.

Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa ympyrän keskipiste on sisäänkirjoitetun kulman sisällä (kuva 6).

ja Lause 1 on todistettu tässä tapauksessa.

On vielä harkittava tapausta, jossa ympyrän keskipiste on piirretyn kulman ulkopuolella (kuva 7).

Tässä tapauksessa tasa-arvo

joka täydentää lauseen 1 todistuksen.

Lause 2 . Leikkaavien jänteiden muodostaman kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet sen sivujen väliin suljettujen kaarien arvojen summasta.

Todiste . Harkitse kuvaa 8.

Olemme kiinnostuneita kulmasta AED E sointuja AB Ja CD. Koska kulma AED- kolmion ulkokulma SÄNKY ja kulmat CDB Ja ABD

Q.E.D.

Lause 3 . Ympyrän ulkopuolella leikkaavien sekanttien muodostaman kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet tämän kulman sivujen välissä olevien kaarien arvojen erosta.

Todiste . Harkitse kuvaa 9.

Olemme kiinnostuneita kulmasta SÄNKY, muodostettu leikkaamalla pisteessä E sekantti AB Ja CD. Koska kulma ADC- kolmion ulkokulma ADE ja kulmat ADC , DCB Ja HIETAKAMPELA ovat sisäänkirjoitetut kulmat, sitten yhtälöt

Q.E.D.

Lause 4 . Tangentin ja kosketuspisteen läpi kulkevan jänteen muodostaman kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet sen sivujen väliin suljetun kaaren arvosta.

Todiste . Harkitse kuvaa 10.

Olemme kiinnostuneita kulmasta BAC tangentin muodostama AB ja sointu AC. Koska ILMOITUS on halkaisija, joka kulkee kosketuspisteen läpi, ja kulma ACD on sisäänkirjoitettu kulma, joka perustuu halkaisijaan, sitten kulmiin HIETAKAMPELA Ja DCA- suora. Siksi tasa-arvo

Q.E.D.

Lause 5 . Tangentin ja sekantin muodostaman kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet tämän kulman sivujen välissä olevien kaarien arvojen erosta.

Todiste . Harkitse kuvaa 11.

Olemme kiinnostuneita kulmasta SÄNKY tangentin muodostama AB ja sekantti CD. Huomaa, että kulma bdc- kolmion ulkokulma DBE ja kulmat bdc Ja BCD ovat piirrettyjä kulmia. Lisäksi kulmat DBE Ja DCB, ovat Lauseen 4 nojalla yhtä suuret. Siksi tasa-arvo

Ohje

Jos kolmioiden ABC ja DEF sivu AB on yhtä suuri kuin sivu DE ja sivun AB viereiset kulmat ovat yhtä suuret kuin sivun DE viereiset kulmat, näitä kolmioita pidetään samanlaisina.

Jos kolmioiden ABC sivut AB, BC ja CD ovat yhtä suuret kuin niitä vastaavat kolmion DEF sivut, niin nämä kolmiot ovat yhteneväisiä.

Huomautus

Jos haluat todistaa kahden suorakulmaisen kolmion välisen tasa-arvon, se voidaan tehdä käyttämällä seuraavia suorakulmion yhtäläisyyden merkkejä:

Yksi jaloista ja hypotenuusa;
- kahdella tunnetulla jalalla;
- yksi jaloista ja sen vieressä oleva terävä kulma;
- hypotenuusaa ja yhtä terävistä kulmista pitkin.

Kolmiot ovat teräväkulmaisia ​​(jos sen kaikki kulmat ovat alle 90 astetta), tylppäkulmaisia ​​(jos yksi sen kulmista on yli 90 astetta), tasasivuisia ja tasakylkisiä (jos sen kaksi sivua ovat yhtä suuret).

Hyödyllinen neuvo

Sen lisäksi, että kolmiot ovat keskenään yhtäläisiä, nämä samat kolmiot ovat samanlaisia. Samankaltaisia ​​kolmioita ovat ne, joissa kulmat ovat samat keskenään ja yhden kolmion sivut ovat verrannollisia toisen sivuihin. On syytä huomata, että jos kaksi kolmiota ovat samanlaisia ​​​​toistensa kanssa, tämä ei takaa niiden tasa-arvoa. Kun kolmioiden samanlaiset sivut jaetaan toisiinsa, lasketaan ns. samankaltaisuuskerroin. Tämä kerroin voidaan myös saada jakamalla samanlaisten kolmioiden pinta-alat.

Lähteet:

• Todista, että kolmioiden pinta-ala on yhtä suuri

Kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä, jos yhden kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin toisen alkiot. Mutta ei ole välttämätöntä tietää kaikkia kolmioiden kokoja, jotta voidaan päätellä, että ne ovat yhtä suuret. Riittää, että annetuille luvuille on tiettyjä parametrijoukkoja.

Ohje

Jos tiedetään, että yhden kolmion kaksi sivua ovat yhtä suuret kuin toinen ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, niin tarkasteltavat kolmiot ovat yhteneväisiä. Todista se yhdistämällä kahden hahmon yhtäläisten kulmien kärjet. Jatka päällekkäisyyksiä. Suuntaa kahdelle kolmiolle saadusta pisteestä päällekkäisen kolmion kulman toinen sivu alemman kuvan vastaavaa sivua pitkin. Ehdolla nämä kaksi puolta ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että segmenttien päät kohtaavat. Tämän seurauksena annetuissa kolmioissa yhdistettiin vielä yksi kärkipari. Kulman, josta se alkoi, toisten sivujen suunnat ovat samat näiden kulmien yhtäläisyyden vuoksi. Ja koska nämä sivut ovat yhtä suuret, viimeinen kärkipää menee päällekkäin. Kahden pisteen väliin voidaan vetää yksi suora viiva. Siksi kahden kolmion kolmannet sivut osuvat yhteen. Olet saanut kaksi täysin yhteensopivaa lukua ja todistetun ensimmäisen kolmioiden yhtäläisyyden merkin.

Jos sivu ja kaksi sen viereistä kulmaa yhdessä kolmiossa ovat yhtä suuria kuin vastaavat toisessa kolmiossa, niin nämä kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä. Todistaaksesi tämän väitteen oikeellisuuden asettamalla kaksi kuviota päällekkäin kohdistamalla yhtäläisten kulmien kärjet yhtäläisten sivujen kanssa. Kulmien yhtäläisyydestä johtuen toisen ja kolmannen sivun suunta osuu yhteen ja niiden leikkauspaikka määräytyy yksiselitteisesti, eli ensimmäisen kolmion kolmas kärki on välttämättä sama kuin toisen samanlainen piste. Kolmioiden yhtäläisyyden toinen kriteeri on todistettu.