Polyhedra

Stereometrian pääasiallinen tutkimuskohde ovat kolmiulotteiset kappaleet. Runko on osa avaruutta, jota rajoittaa jokin pinta.

monitahoinen Kehoa, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä tasopolygoneja kutsutaan. Monitahoista kutsutaan kuperaksi, jos se on jokaisen pinnallaan olevan tasaisen monikulmion tason toisella puolella. Tällaisen tason ja monitahoisen pinnan yhteistä osaa kutsutaan reuna. Kuperan polyhedronin pinnat ovat litteitä kuperaa monikulmiota. Kasvojen puolia kutsutaan monitahoisen reunat, ja kärjet monitahoisen kärjet.

Esimerkiksi kuutio koostuu kuudesta ruudusta, jotka ovat sen pinnat. Se sisältää 12 reunaa (neliöiden sivuja) ja 8 kärkeä (neliöiden kärkiä).

Yksinkertaisimmat polyhedrat ovat prismat ja pyramidit, joita tutkimme edelleen.

Prisma

Prisman määritelmä ja ominaisuudet

prisma kutsutaan monikulmioksi, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisissa tasoissa olevasta litteästä monikulmiosta, jotka on yhdistetty rinnakkaisella translaatiolla, ja kaikista näiden monikulmion vastaavia pisteitä yhdistävistä segmenteistä. Monikulmioita kutsutaan prismapohjat, ja polygonien vastaavat kärjet yhdistävät segmentit ovat prisman sivureunat.

Prisman korkeus kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen tasojen välillä (). Kutsutaan segmenttiä, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan prisman diagonaali(). Prismaa kutsutaan n-hiili jos sen kanta on n-kulmio.

Jokaisella prismalla on seuraavat ominaisuudet, jotka johtuvat siitä, että prisman kantat yhdistetään rinnakkaissiirrolla:

1. Prisman kantat ovat yhtä suuret.

2. Prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.

Prisman pinta koostuu kantajista ja sivupinta. Prisman sivupinta koostuu suunnikasista (tämä seuraa prisman ominaisuuksista). Prisman sivupinnan pinta-ala on sivupintojen pinta-alojen summa.

suora prisma

Prismaa kutsutaan suoraan jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Muuten prismaa kutsutaan vino.

Suoran prisman pinnat ovat suorakulmioita. Suoran prisman korkeus on yhtä suuri kuin sen sivupinnat.

täysi prisman pinta on sivupinta-alan ja kantapintojen summa.

Oikea prisma kutsutaan suoraksi prismaksi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio.

Lause 13.1. Suoran prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin prisman kehän ja korkeuden tulo (tai vastaavasti sivureuna).

Todiste. Suoran prisman sivupinnat ovat suorakulmioita, joiden kantat ovat prisman kantojen monikulmioiden sivut ja korkeudet ovat prisman sivureunat. Sitten määritelmän mukaan sivupinta-ala on:

,

missä on suoran prisman kannan ympärysmitta.

Suuntaissärmiö

Jos suunnikkaat sijaitsevat prisman kannassa, sitä kutsutaan suuntaissärmiö. Suuntasärmiön kaikki pinnat ovat suunnikkaita. Tässä tapauksessa suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.

Lause 13.2. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja leikkauspiste jaetaan puoliksi.

Todiste. Tarkastellaan esimerkiksi kahta mielivaltaista diagonaalia ja . Koska suuntaissärmiön pinnat ovat suunnikkaat, sitten ja , mikä tarkoittaa, että T:n mukaan noin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen kanssa. Lisäksi tämä tarkoittaa, että linjat ja ovat samassa tasossa (tasossa). Tämä taso intersects yhdensuuntaisia ​​tasoja ja pitkin yhdensuuntaisia ​​linjoja ja . Näin ollen nelikulmio on suuntaviiva, ja suunnikkaan ominaisuuden perusteella sen diagonaalit ja leikkaavat ja leikkauspiste jaetaan puoliksi, mikä oli todistettava.

Kutsutaan suoraa suuntaissärmiötä, jonka kanta on suorakulmio kuutiomainen. Kaikki kuution pinnat ovat suorakulmioita. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ei-samansuuntaisten reunojen pituuksia kutsutaan sen lineaarisiksi mitoiksi (mittauksiksi). Kokoja on kolme (leveys, korkeus, pituus).

Lause 13.3. Kuutiomuodossa minkä tahansa diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa (todistettu soveltamalla Pythagoraan T:tä kahdesti).

Kutsutaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuutio.

Tehtävät

13.1 Kuinka monta diagonaalia tekee n- hiiliprisma

13.2 Kaltevassa kolmiomaisessa prismassa sivureunojen väliset etäisyydet ovat 37, 13 ja 40. Laske etäisyys suuremman sivupinnan ja vastakkaisen sivureunan välillä.

13.3 Säännöllisen kolmion muotoisen prisman alemman kannan sivun läpi piirretään taso, joka leikkaa sivupinnat segmenttejä pitkin, joiden välinen kulma on . Etsi tämän tason kaltevuuskulma prisman kantaan nähden.

Määritelmä 1. Prismaattinen pinta
Lause 1. Prismapinnan yhdensuuntaisilla leikkauksilla
Määritelmä 2. Prismapinnan kohtisuora leikkaus
Määritelmä 3. Prisma
Määritelmä 4. Prisman korkeus
Määritelmä 5. Suora prisma
Lause 2. Prisman sivupinnan pinta-ala

Rinnakkaisputki:
Määritelmä 6. Rinnakkaisputki
Lause 3. Suuntasärmiön lävistäjien leikkauspisteestä
Määritelmä 7. Oikea suuntaissärmiö
Määritelmä 8. Suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö
Määritelmä 9. Suuntasärmiön mitat
Määritelmä 10. Kuutio
Määritelmä 11. Romboedri
Lause 4. Suorakaiteen suuntaissärmiön lävistäjät
Lause 5. Prisman tilavuus
Lause 6. Suoran prisman tilavuus
Lause 7. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tilavuus

prisma kutsutaan monitahoksi, jossa kaksi pintaa (kantaa) on yhdensuuntaisissa tasoissa ja reunat, jotka eivät ole näissä pinnoissa, ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
Muita kasvoja kuin pohjaa kutsutaan lateraalinen.
Sivupintojen ja alustojen sivuja kutsutaan prisman reunat, reunojen päitä kutsutaan prisman huiput. Lateraaliset kylkiluut kutsutaan reunoiksi, jotka eivät kuulu kantoihin. Sivupintojen liittoa kutsutaan prisman sivupinta, ja kaikkien kasvojen liitto on nimeltään prisman koko pinta. Prisman korkeus kutsutaan kohtisuoraksi, joka on pudonnut ylemmän kannan pisteestä alemman kannan tasoon tai tämän kohtisuoran pituuteen. suora prisma kutsutaan prismaksi, jossa sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden. Oikea kutsutaan suoraksi prismaksi (kuva 3), jonka pohjalla on säännöllinen monikulmio.

Nimitykset:
l - sivujousto;
P - pohjakehä;
S o - peruspinta-ala;
H - korkeus;
P ^ - kohtisuoran leikkauksen kehä;
S b - sivupinta-ala;
V - tilavuus;
S p - prisman kokonaispinnan pinta-ala.

V = SH S p \u003d S b + 2S o Sb = P^l

Määritelmä 1 . Prismaattinen pinta on kuvio, joka muodostuu useiden yhden suoran suuntaisten tasojen osista, joita rajoittavat ne suorat, joita pitkin nämä tasot peräkkäin leikkaavat toisensa *; nämä suorat ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa ja niitä kutsutaan prismaattisen pinnan reunat.
*Oletetaan, että jokainen kaksi peräkkäistä tasoa leikkaa ja että viimeinen taso leikkaa ensimmäisen.

Lause 1 . Prismaattisen pinnan poikkileikkaukset toistensa kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla (mutta eivät samansuuntaiset sen reunojen kanssa) ovat yhtä suuria polygoneja.
Olkoot ABCDE ja A"B"C"D"E" prismaattisen pinnan poikkileikkauksia kahdella yhdensuuntaisella tasolla. Näiden kahden monikulmion yhtäläisyyden varmistamiseksi riittää osoittaa, että kolmiot ABC ja A"B"C" ovat yhtä suuret. ja niillä on sama pyörimissuunta ja sama pätee kolmioihin ABD ja A"B"D", ABE ja A"B"E". Mutta näiden kolmioiden vastaavat sivut ovat yhdensuuntaiset (esimerkiksi AC on yhdensuuntainen A "C":n kanssa) tietyn tason ja kahden yhdensuuntaisen tason leikkausviivoina; tästä seuraa, että nämä sivut ovat yhtä suuret (esimerkiksi AC on A"C") suunnikkaan vastakkaisina puolina ja että näiden sivujen muodostamat kulmat ovat yhtä suuret ja niillä on sama suunta.

Määritelmä 2 . Prismaattisen pinnan kohtisuora leikkaus on tämän pinnan leikkaus sen reunoihin nähden kohtisuorassa olevalla tasolla. Edellisen lauseen perusteella kaikki saman prismapinnan kohtisuorat osat ovat yhtä suuria polygoneja.

Määritelmä 3 . Prisma on monitahoinen, jota rajoittaa prismaattinen pinta ja kaksi toistensa kanssa yhdensuuntaista tasoa (mutta ei yhdensuuntaisia ​​prismaattisen pinnan reunojen kanssa)
Näissä viimeisissä tasoissa makaavia kasvoja kutsutaan prismapohjat; prismaattiseen pintaan kuuluvat kasvot - sivupinnat; prismaattisen pinnan reunat - prisman sivureunat. Edellisen lauseen mukaan prisman kanta ovat yhtä suuret polygonit. Prisman kaikki sivupinnat suunnikkaat; kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret.
On selvää, että jos prisman ABCDE kanta ja yksi reunoista AA" on annettu suuruuden ja suunnan suhteen, on mahdollista rakentaa prisma piirtämällä reunat BB", CC", .., yhtä suuret ja yhdensuuntaiset kuin reuna AA".

Määritelmä 4 . Prisman korkeus on sen kantatasojen välinen etäisyys (HH").

Määritelmä 5 . Prismaa kutsutaan suoraksi, jos sen kantat ovat kohtisuorassa prismapinnassa. Tässä tapauksessa prisman korkeus on tietysti sen korkeus sivujousi; sivureunat tulevat suorakulmiot.
Prismat voidaan luokitella sivupintojen lukumäärän mukaan, joka on yhtä suuri kuin sen pohjana toimivan polygonin sivujen lukumäärä. Siten prismat voivat olla kolmion muotoisia, nelikulmaisia, viisikulmaisia ​​jne.

Lause 2 . Prisman sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sivureunan ja kohtisuoran leikkauksen kehän tulo.
Olkoon ABCDEA"B"C"D"E" annettu prisma ja abcde sen kohtisuora leikkaus, niin että janat ab, bc, .. ovat kohtisuorassa sen sivureunoihin nähden. Pinta ABA"B" on suuntaviiva, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin kantaluvun AA tulo korkeudelle, joka vastaa ab; pinnan BCV pinta-ala "C" on yhtä suuri kuin kannan BB" tulo korkeudella bc jne. Siksi sivupinta (eli sivupintojen pinta-alojen summa) on yhtä suuri kuin sivureunan tulo, toisin sanoen segmenttien AA", BB", .. kokonaispituus summalla ab+bc+cd+de+ea.

Kiinteän geometrian kurssin koulun opetussuunnitelmassa kolmiulotteisten kuvioiden opiskelu alkaa yleensä yksinkertaisella geometrisella kappaleella - prisman monitahoisella. Sen kantojen roolia suorittaa 2 yhtä suurta monikulmiota, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Erikoistapaus on tavallinen nelikulmainen prisma. Sen kantat ovat 2 identtistä säännöllistä nelikulmiota, joiden sivut ovat kohtisuorassa ja joilla on suunnikkaan muotoinen (tai suorakulmio, jos prisma ei ole vinossa).

Miltä prisma näyttää

Säännöllinen nelikulmainen prisma on kuusikulmio, jonka pohjassa on 2 neliötä ja sivupinnat on esitetty suorakulmioilla. Toinen nimi tälle geometriselle hahmolle on suora suuntaissärmiö.

Kuva, joka esittää nelikulmaista prismaa, on esitetty alla.

Näet myös kuvasta tärkeimmät elementit, jotka muodostavat geometrisen kappaleen. Niitä kutsutaan yleisesti:

Joskus geometrian ongelmista löytyy käsite leikkauksesta. Määritelmä kuulostaa tältä: leikkaus on kaikki tilavuuskappaleen pisteet, jotka kuuluvat leikkaustasoon. Leikkaus on kohtisuora (leittää kuvan reunat 90 asteen kulmassa). Suorakaiteen muotoisen prisman kohdalla otetaan huomioon myös diagonaalileikkaus (rakennettavissa olevien osien enimmäismäärä on 2), joka kulkee 2 reunan ja pohjan lävistäjän läpi.

Jos leikkaus piirretään siten, että leikkaustaso ei ole yhdensuuntainen pohjien tai sivupintojen kanssa, tuloksena on katkaistu prisma.

Pelkistettyjen prismaattisten elementtien löytämiseen käytetään erilaisia ​​suhteita ja kaavoja. Jotkut niistä tunnetaan planimetrian kurssista (esimerkiksi prisman pohjan alueen löytämiseksi riittää, että muistat neliön pinta-alan kaavan).

Pinta-ala ja tilavuus

Prisman tilavuuden määrittämiseksi kaavan avulla sinun on tiedettävä sen pohjan ja korkeuden pinta-ala:

V = Sprim h

Koska säännöllisen tetraedrisen prisman kanta on neliö, jossa on sivu a, Voit kirjoittaa kaavan tarkemmassa muodossa:

V = a² h

Jos puhumme kuutiosta - tavallisesta prismasta, jolla on sama pituus, leveys ja korkeus, tilavuus lasketaan seuraavasti:

Ymmärtääksesi kuinka löytää prisman sivupinta-ala, sinun on kuviteltava sen pyyhkäisy.

Piirustuksesta voidaan nähdä, että sivupinta koostuu 4 yhtä suuresta suorakulmiosta. Sen pinta-ala lasketaan pohjan kehän ja kuvion korkeuden tulona:

Sside = Pos h

Koska neliön ympärysmitta on P = 4a, kaava saa muodon:

Sivu = 4a h

Kuutiolle:

Sivu = 4a²

Prisman kokonaispinta-alan laskemiseksi lisää sivupinta-alaan 2 peruspinta-alaa:

Täysi = Sside + 2Sbase

Nelikulmaiseen säännölliseen prismaan käytettäessä kaava on muotoa:

Täysi = 4a h + 2a²

Kuution pinta-alalle:

Täysi = 6a²

Kun tiedät tilavuuden tai pinta-alan, voit laskea geometrisen kappaleen yksittäiset elementit.

Prismaelementtien löytäminen

Usein on ongelmia, joissa tilavuus on annettu tai sivupinta-alan arvo tiedossa, jolloin on tarpeen määrittää pohjan sivun pituus tai korkeus. Tällaisissa tapauksissa kaavat voidaan johtaa:

• pohjapuolen pituus: a = Sivu / 4h = √(V/h);
• korkeus tai sivurivan pituus: h = Sside / 4a = V / a²;
• perusalue: Sprim = V/h;
• sivupinta-ala: Sivu gr = Sside / 4.

Jotta voit määrittää, kuinka paljon pinta-alaa lävistäjällä on, sinun on tiedettävä diagonaalin pituus ja kuvion korkeus. Neliölle d = a√2. Siksi:

Sdiag = ah√2

Prisman diagonaalin laskemiseen käytetään kaavaa:

dprize = √(2a² + h²)

Ymmärtääksesi, kuinka yllä olevia suhteita käytetään, voit harjoitella ja ratkaista muutamia yksinkertaisia ​​tehtäviä.

Esimerkkejä ongelmista ratkaisujen kanssa

Tässä on joitain tehtäviä, jotka näkyvät matematiikan valtion loppukokeissa.

Harjoitus 1.

Hiekkaa kaadetaan tavallisen nelikulmaisen prisman muotoiseen laatikkoon. Sen tason korkeus on 10 cm. Mikä on hiekan taso, jos siirrät sen samanmuotoiseen astiaan, jonka pohjapituus on 2 kertaa pidempi?

Asiasta pitäisi väittää seuraavasti. Hiekan määrä ensimmäisessä ja toisessa säiliössä ei muuttunut, eli sen tilavuus niissä on sama. Voit määrittää pohjan pituuden muodossa a. Tässä tapauksessa ensimmäisen laatikon aineen tilavuus on:

V1 = ha² = 10a²

Toisen laatikon pohjan pituus on 2a, mutta hiekkapinnan korkeutta ei tiedetä:

V2 = h(2a)² = 4ha²

Sikäli kuin V1 = V2, lausekkeet voidaan rinnastaa:

10a² = 4ha²

Kun yhtälön molempia puolia on vähennetty a²:lla, saadaan:

Tämän seurauksena uusi hiekkataso on h = 10/4 = 2,5 cm.

Tehtävä 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on säännöllinen prisma. Tiedetään, että BD = AB1 = 6√2. Selvitä kehon kokonaispinta-ala.

Jotta olisi helpompi ymmärtää, mitkä elementit tunnetaan, voit piirtää kuvan.

Koska puhumme säännöllisestä prismasta, voimme päätellä, että kanta on neliö, jonka lävistäjä on 6√2. Sivupinnan diagonaalilla on sama arvo, joten sivupinnalla on myös pohjan muotoinen neliö. Osoittautuu, että kaikki kolme ulottuvuutta - pituus, leveys ja korkeus - ovat yhtä suuret. Voimme päätellä, että ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuutio.

Minkä tahansa reunan pituus määritetään tunnetun diagonaalin kautta:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kokonaispinta-ala saadaan kuution kaavalla:

Täysi = 6a² = 6 6² = 216

Tehtävä 3.

Huonetta kunnostetaan. Tiedetään, että sen lattia on neliön muotoinen, jonka pinta-ala on 9 m². Huoneen korkeus on 2,5 m. Mikä on halvin huoneen tapetointi, jos 1 m² maksaa 50 ruplaa?

Koska lattia ja katto ovat neliöitä, eli säännöllisiä nelikulmioita, ja sen seinät ovat kohtisuorassa vaakasuoraan pintaan nähden, voimme päätellä, että se on säännöllinen prisma. On tarpeen määrittää sen sivupinnan pinta-ala.

Huoneen pituus on a = √9 = 3 m.

Aukio peitetään tapetilla Sivu = 4 3 2,5 = 30 m².

Tämän huoneen tapetin alhaisin hinta on 50 30 = 1500 ruplaa.

Siten suorakaiteen muotoisen prisman tehtävien ratkaisemiseksi riittää, että osataan laskea neliön ja suorakulmion pinta-ala ja ympärysmitta sekä tietää kaavat tilavuuden ja pinta-alan löytämiseksi.

Kuinka löytää kuution pinta-ala

Prisma. Suuntaissärmiö

prisma kutsutaan monitahoiseksi, jonka kaksi pintaa ovat yhtä suuret n-kulmiot (perusteet) , joka sijaitsee yhdensuuntaisissa tasoissa, ja loput n sivua ovat suunnikkaita (sivukasvot) . Sivujousi prisma on sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan.

Kutsutaan prismaa, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa kantajen tasoihin nähden suoraan prisma (kuva 1). Jos sivureunat eivät ole kohtisuorassa kantojen tasoihin nähden, kutsutaan prismaa vino . Oikea Prisma on suora prisma, jonka kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.

Korkeus prismaa kutsutaan kantajen tasojen väliseksi etäisyydeksi. Diagonaalinen Prisma on segmentti, joka yhdistää kaksi kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan. diagonaalinen leikkaus Prisman leikkausta tason kautta, joka kulkee kahden sivureunan kautta, jotka eivät kuulu samaan pintaan, kutsutaan. Pystysuora leikkaus kutsutaan prisman poikkileikkaukseksi tasolla, joka on kohtisuorassa prisman sivureunaan nähden.

Sivupinta-ala prisma on kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa. Koko pinta-ala kutsutaan prisman kaikkien pintojen pinta-alojen summaa (eli sivupintojen ja kantapintojen pinta-alojen summaa).

Mielivaltaiselle prismmalle kaavat ovat tosia:

missä l on sivurivan pituus;

H- korkeus;

P

K

S puoli

S täynnä

S pää on tukien pinta-ala;

V on prisman tilavuus.

Suoran prisman kohdalla seuraavat kaavat ovat tosia:

missä p- pohjan kehä;

l on sivurivan pituus;

H- korkeus.

Suuntaissärmiö Kutsutaan prismaa, jonka kanta on suunnikas. Kutsutaan suuntaissärmiötä, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa kantaan nähden suoraan (Kuva 2). Jos sivureunat eivät ole kohtisuorassa kantaan nähden, kutsutaan suuntaissärmiötä vino . Kutsutaan suoraa suuntaissärmiötä, jonka kanta on suorakulmio suorakulmainen. Kutsutaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuutio.

Suuntasärmiön kasvoja, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, kutsutaan vastapäätä . Yhdestä kärjestä lähtevien reunojen pituuksia kutsutaan mitat suuntaissärmiö. Koska laatikko on prisma, sen pääelementit määritellään samalla tavalla kuin prismoille.

Lauseet.

1. Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat sen.

2. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä lävistäjän pituuden neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa:

3. Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön kaikki neljä lävistäjää ovat keskenään yhtä suuret.

Mielivaltaiselle suuntaissärmiölle seuraavat kaavat ovat tosia:

missä l on sivurivan pituus;

H- korkeus;

P on kohtisuoran leikkauksen ympärysmitta;

K– kohtisuoran leikkauksen pinta-ala;

S puoli on sivuttainen pinta-ala;

S täynnä on kokonaispinta-ala;

S pää on tukien pinta-ala;

V on prisman tilavuus.

Oikealle suuntaissärmiölle seuraavat kaavat ovat tosia:

missä p- pohjan kehä;

l on sivurivan pituus;

H on oikean suuntaissärmiön korkeus.

Suorakaiteen muotoiselle suuntaissärmiölle seuraavat kaavat ovat tosia:

(3)

missä p- pohjan kehä;

H- korkeus;

d- diagonaalinen;

a,b,c– suuntaissärmiön mittaukset.

Oikeat kaavat kuutiolle ovat:

missä a on kylkiluun pituus;

d on kuution diagonaali.

Esimerkki 1 Suorakaiteen muotoisen kuution lävistäjä on 33 dm ja sen mitat ovat suhteessa 2:6:9. Etsi kulman mitat.

Päätös. Suuntasärmiön mittojen selvittämiseksi käytämme kaavaa (3), ts. se tosiasia, että kuution hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin sen mittojen neliöiden summa. Merkitse k suhteellisuuskerroin. Sitten suuntaissärmiön mitat ovat yhtä suuret kuin 2 k, 6k ja 9 k. Kirjoitamme ongelmatiedoille kaavan (3):

Tämän yhtälön ratkaiseminen k, saamme:

Näin ollen suuntaissärmiön mitat ovat 6 dm, 18 dm ja 27 dm.

Vastaus: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Esimerkki 2 Laske sellaisen vinon kolmion muotoisen prisman tilavuus, jonka kanta on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 8 cm, jos sivureuna on yhtä suuri kuin kannan sivu ja on kalteva 60º kulmassa kantaan nähden.

Päätös . Tehdään piirustus (kuva 3).

Kaltevan prisman tilavuuden löytämiseksi sinun on tiedettävä sen pohjan ja korkeuden pinta-ala. Tämän prisman pohjan pinta-ala on tasasivuisen kolmion pinta-ala, jonka sivu on 8 cm. Lasketaan se:

Prisman korkeus on sen kannan välinen etäisyys. Alusta MUTTA 1 yläpohjasta laskemme kohtisuorassa alemman alustan tasoon nähden MUTTA 1 D. Sen pituus on prisman korkeus. Harkitse D MUTTA 1 ILMOITUS: koska tämä on sivurivan kaltevuuskulma MUTTA 1 MUTTA perustasolle MUTTA 1 MUTTA= 8 cm. Tästä kolmiosta löydämme MUTTA 1 D:

Nyt laskemme tilavuuden kaavan (1) avulla:

Vastaus: 192 cm3.

Esimerkki 3 Säännöllisen kuusikulmaisen prisman sivureuna on 14 cm. Suurimman lävistäjäleikkauksen pinta-ala on 168 cm 2. Selvitä prisman kokonaispinta-ala.

Päätös. Tehdään piirustus (kuva 4)

Suurin diagonaalinen leikkaus on suorakulmio AA 1 DD 1 , koska diagonaali ILMOITUS säännöllinen kuusikulmio A B C D E F on suurin. Prisman sivupinta-alan laskemiseksi on tiedettävä pohjan sivu ja sivurivan pituus.

Kun tiedämme lävistäjäosan (suorakulmion) alueen, löydämme pohjan diagonaalin.

Siitä lähtien

Siitä lähtien AB= 6 cm.

Sitten pohjan ympärysmitta on:

Etsi prisman sivupinnan pinta-ala:

Säännöllisen kuusikulmion, jonka sivu on 6 cm, pinta-ala on:

Selvitä prisman kokonaispinta-ala:

Vastaus:

Esimerkki 4 Oikean suuntaissärmiön kanta on rombi. Diagonaalisten osien pinta-alat ovat 300 cm 2 ja 875 cm 2. Etsi suuntaissärmiön sivupinnan pinta-ala.

Päätös. Tehdään piirustus (kuva 5).

Merkitse rombin sivua a, rombin diagonaalit d 1 ja d 2, laatikon korkeus h. Suoran suuntaissärmiön sivupinta-alan löytämiseksi on tarpeen kertoa pohjan kehä korkeudella: (kaava (2)). Pohjan kehä p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, kuten ABCD- rombi. H = AA 1 = h. Että. Pitää löytää a ja h.

Harkitse diagonaalisia osia. AA 1 SS 1 - suorakulmio, jonka toinen sivu on rombin lävistäjä AC = d 1, toinen sivureuna AA 1 = h, sitten

Samoin osastolle BB 1 DD 1 saamme:

Käyttämällä suunnikkaan ominaisuutta siten, että diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen kaikkien sivujen neliöiden summa, saadaan yhtäläisyys. Saamme seuraavan.

Määritelmä.

Tämä on kuusikulmio, jonka pohjat ovat kaksi yhtä suurta neliötä ja sivupinnat ovat yhtä suuria suorakulmioita.

Sivujousi on kahden vierekkäisen sivupinnan yhteinen puoli

Prisman korkeus on jana, joka on kohtisuorassa prisman kantaan nähden

Prisman diagonaali- segmentti, joka yhdistää kaksi kantaa, jotka eivät kuulu samaan pintaan

Diagonaalinen taso- taso, joka kulkee prisman diagonaalin ja sen sivureunojen läpi

Diagonaalinen leikkaus- prisman ja diagonaalitason leikkauspisteen rajat. Säännöllisen nelikulmaisen prisman diagonaalileikkaus on suorakulmio

kohtisuora leikkaus (ortogonaalinen leikkaus)- tämä on prisman ja sen sivureunoihin nähden kohtisuoraan piirretyn tason leikkauspiste

Säännöllisen nelikulmaisen prisman elementit

Kuvassa on kaksi säännöllistä nelikulmaista prismaa, jotka on merkitty vastaavilla kirjaimilla:

• Kannat ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset toistensa kanssa
• Sivupinnat AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ja CC 1 D 1 D, joista jokainen on suorakulmio
• Sivupinta - prisman kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa
• Kokonaispinta - kaikkien alustojen ja sivupintojen pinta-alojen summa (sivupinnan ja pohjan pinta-alojen summa)
• Sivurivat AA 1 , BB 1 , CC 1 ja DD 1 .
• Diagonaali B 1 D
• Pohjan diagonaali BD
• Diagonaalileikkaus BB 1 D 1 D
• Kohtisuora leikkaus A 2 B 2 C 2 D 2 .

Säännöllisen nelikulmaisen prisman ominaisuudet

• Pohjat ovat kaksi yhtä suurta neliötä
• Pohjat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa
• Sivut ovat suorakulmioita.
• Sivupinnat ovat samanarvoisia keskenään
• Sivupinnat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden
• Lateraaliset kylkiluut ovat samansuuntaiset ja samansuuntaiset
• Pystysuora leikkaus kohtisuorassa kaikkiin sivuriviin nähden ja yhdensuuntainen kantaan nähden
• Pystysuorat leikkauskulmat - Oikea
• Säännöllisen nelikulmaisen prisman diagonaalileikkaus on suorakulmio
• Pystysuora (ortogonaalinen leikkaus) yhdensuuntainen kantaan nähden

Kaavat säännölliseen nelikulmaiseen prismaan

Ohjeita ongelmien ratkaisemiseen

Kun ratkaiset aiheeseen liittyviä ongelmia " säännöllinen nelikulmainen prisma" tarkoittaa, että:

Oikea prisma- prisma, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoihin nähden. Toisin sanoen säännöllinen nelikulmainen prisma sisältää pohjassaan neliö-. (katso yllä säännöllisen nelikulmaisen prisman ominaisuudet) Huomautus. Tämä on osa oppituntia, jossa on geometrian tehtäviä (leikkaus solid geometry - prisma). Tässä on tehtävät, jotka aiheuttavat vaikeuksia ratkaista. Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Symbolia käytetään kuvaamaan neliöjuuren erottamista tehtävien ratkaisussa√ .

Tehtävä.

Säännöllisen nelikulmaisen prisman pohjan pinta-ala on 144 cm 2 ja korkeus 14 cm. Laske prisman lävistäjä ja kokonaispinta-ala.

Päätös.
Säännöllinen nelikulmio on neliö.
Vastaavasti pohjan sivu on yhtä suuri

√144 = 12 cm.
Mistä säännöllisen suorakaiteen muotoisen prisman kannan diagonaali on yhtä suuri
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Säännöllisen prisman lävistäjä muodostaa suorakulmaisen kolmion kannan diagonaalin ja prisman korkeuden kanssa. Vastaavasti Pythagoraan lauseen mukaan tietyn säännöllisen nelikulmaisen prisman diagonaali on yhtä suuri:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Vastaus: 22 cm

Tehtävä

Laske säännöllisen nelikulmaisen prisman kokonaispinta-ala, jos sen lävistäjä on 5 cm ja sivupinnan diagonaali on 4 cm.

Päätös.
Koska säännöllisen nelikulmaisen prisman kanta on neliö, niin kannan sivu (merkitty a) löydetään Pythagoraan lauseella:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Sivupinnan korkeus (merkitty h:lla) on tällöin yhtä suuri:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sivupinta-alan ja kaksinkertaisen peruspinta-alan summa

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vastaus: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.