व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन गणितीय फलन हैं जो त्रिकोणमितीय फलन के व्युत्क्रम होते हैं।

फलन y=arcsin(x)

किसी संख्या α की आर्कसाइन अंतराल [-π/2;π/2] से एक संख्या α है जिसकी साइन α के बराबर है।
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
अंतराल [-π/2;π/2] पर फलन y=sin⁡(x), सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है; इसलिए, इसका उलटा कार्य होता है, सख्ती से बढ़ता हुआ और निरंतर।
फ़ंक्शन y=sin⁡(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जहां x ∈[-π/2;π/2], को आर्क्साइन कहा जाता है और इसे y=arcsin(x) से दर्शाया जाता है, जहां x∈[-1;1 ].
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्कसाइन की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1;1] है, और मानों का सेट खंड [-π/2;π/2] है।
ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=arcsin(x), जहां x ∈[-1;1], फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है y=sin(⁡x), जहां x∈[-π/2;π /2], पहले और तीसरे क्वार्टर के निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक के संबंध में।

फ़ंक्शन रेंज y=arcsin(x).

उदाहरण क्रमांक 1.

आर्क्सिन(1/2) ज्ञात करें?

चूँकि फ़ंक्शन arcsin(x) के मानों की सीमा अंतराल [-π/2;π/2] से संबंधित है, तो केवल मान π/6 उपयुक्त है। इसलिए, arcsin(1/2) =π/ 6.
उत्तर:π/6

उदाहरण क्रमांक 2.
आर्क्सिन(-(√3)/2) ज्ञात करें?

चूंकि मानों की सीमा arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] है, तो केवल मान -π/3 उपयुक्त है। इसलिए, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

फलन y=arccos(x)

किसी संख्या α की चाप कोज्या अंतराल से एक संख्या α होती है जिसकी कोज्या α के बराबर होती है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

खंड पर फ़ंक्शन y=cos(⁡x) सख्ती से घट रहा है और निरंतर है; इसलिए, इसका उलटा कार्य है, सख्ती से घटता हुआ और निरंतर।
फ़ंक्शन y=cos⁡x, जहां x ∈, के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है आर्क कोसाइनऔर इसे y=arccos(x) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां x ∈[-1;1]।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्क कोसाइन की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1;1] है, और मानों का सेट खंड है।
ध्यान दें कि फ़ंक्शन y=arccos(x) का ग्राफ़, जहां x ∈[-1;1] फ़ंक्शन y=cos(⁡x) के ग्राफ़ के सममित है, जहां x ∈, के समद्विभाजक के संबंध में पहली और तीसरी तिमाही के कोणों का समन्वय करें।

फ़ंक्शन रेंज y=arccos(x).

उदाहरण संख्या 3.

आर्ककोस(1/2) खोजें?

चूँकि मानों की सीमा arccos(x) x∈ है, तो केवल मान π/3 उपयुक्त है। इसलिए, arccos(1/2) =π/3.
उदाहरण संख्या 4.
आर्ककोस(-(√2)/2) ज्ञात करें?

चूँकि फ़ंक्शन arccos(x) के मानों की सीमा अंतराल से संबंधित है, तो केवल मान 3π/4 उपयुक्त है। इसलिए, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

उत्तर: 3π/4

फलन y=arctg(x)

किसी संख्या α की स्पर्शरेखा अंतराल [-π/2;π/2] से एक संख्या α है जिसकी स्पर्शरेखा α के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

स्पर्शरेखा फलन निरंतर है और अंतराल (-π/2;π/2) पर सख्ती से बढ़ रहा है; इसलिए, इसका एक उलटा कार्य है जो निरंतर और सख्ती से बढ़ रहा है।
फ़ंक्शन y= tan⁡(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जहां x∈(-π/2;π/2); इसे चापस्पर्शरेखा कहा जाता है और इसे y=arctg(x) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां x∈R।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्कटेंजेंट की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-∞;+∞) है, और मानों का सेट अंतराल है
(-π/2;π/2).
ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ y=arctg(x), जहां x∈R, फ़ंक्शन y= tan⁡x के ग्राफ के सममित है, जहां x ∈ (-π/2;π/2), के सापेक्ष पहली और तीसरी तिमाही के निर्देशांक कोणों का समद्विभाजक।

फ़ंक्शन की सीमा y=arctg(x).

उदाहरण क्रमांक 5?

आर्कटान((√3)/3) खोजें।

चूंकि मानों की सीमा arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) है, तो केवल मान π/6 उपयुक्त है। इसलिए, arctg((√3)/3) =π/6.
उदाहरण संख्या 6.
आर्कटग(-1) खोजें?

चूंकि मानों की सीमा arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) है, तो केवल मान -π/4 उपयुक्त है। इसलिए, arctg(-1) = - π/4.

फलन y=arcctg(x)

किसी संख्या α का चाप कोटैंजेंट अंतराल (0;π) से एक संख्या α है जिसका कोटैंजेंट α के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

अंतराल (0;π) पर, कोटैंजेंट फ़ंक्शन सख्ती से कम हो जाता है; इसके अतिरिक्त, यह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है; इसलिए, अंतराल (0;π) पर, इस फ़ंक्शन का एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है, जो सख्ती से घट रहा है और निरंतर है।
फ़ंक्शन y=ctg(x), जहां x ∈(0;π), के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन को आर्ककोटेंजेंट कहा जाता है और इसे y=arcctg(x) दर्शाया जाता है, जहां x∈R।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्ककोटैंजेंट की परिभाषा का डोमेन R होगा, और मानों का सेट अंतराल (0;π) होगा। फ़ंक्शन का ग्राफ y=arcctg(x) , जहां x∈R फ़ंक्शन y=ctg(x) x∈(0 ;π) के ग्राफ के सममित है, पहली और तीसरी तिमाही के समन्वय कोणों के समद्विभाजक के सापेक्ष।

फ़ंक्शन रेंज y=arcctg(x).

उदाहरण संख्या 7.
आर्कसीटीजी((√3)/3) खोजें?

चूंकि मानों की सीमा arcctg(x) x ∈(0;π) है, तो केवल मान π/3 उपयुक्त है। इसलिए arccos((√3)/3) =π/3.

उदाहरण संख्या 8.
आर्कक्टग(-(√3)/3) ज्ञात करें?

चूँकि मानों की सीमा arcctg(x) x∈(0;π) है, तो केवल मान 2π/3 ही उपयुक्त है। इसलिए, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

संपादक: अजीवा हुसोव अलेक्जेंड्रोवना, गवरिलिना अन्ना विक्टोरोवना

परिभाषा और संकेतन

आर्कसाइन (y = आर्कसिन एक्स) sine (x =) का व्युत्क्रम फलन है पापी -1 ≤ एक्स ≤ 1और मानों का समुच्चय -π /2 ≤ य ≤ π/2.
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स ;
आर्क्सिन(पाप x) = x .

आर्क्साइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क्साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कसिन एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो साइन ग्राफ़ से आर्कसाइन ग्राफ़ प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को आर्क्साइन का प्रमुख मान कहा जाता है।

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

परिभाषा और संकेतन

आर्क कोसाइन (y = आर्ककोस एक्स) कोज्या (x =) का व्युत्क्रम फलन है आरामदायक). इसका एक दायरा है -1 ≤ एक्स ≤ 1और कई अर्थ 0 ≤ य ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
आर्ककोस(cos x) = x .

आर्ककोसाइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क कोसाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्ककोस एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है तो आर्क कोसाइन ग्राफ कोसाइन ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चाप कोज्या का मुख्य मान कहा जाता है।

समानता

आर्क्साइन फ़ंक्शन विषम है:
आर्क्सिन(- x) = आर्क्सिन(-sin आर्क्सिन x) = आर्क्सिन(पाप(-आर्क्सिन x)) = - आर्क्सिन एक्स

चाप कोज्या फलन सम या विषम नहीं है:
आर्ककोस(- x) = आर्ककोस(-कॉस आर्ककोस x) = आर्ककोस(cos(π-arccos x)) = π - आर्ककोस x ≠ ± आर्ककोस x

गुण-अधिकता, वृद्धि, ह्रास

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

	आप= आर्कसिन एक्स	आप= आर्ककोस एक्स
दायरा और निरंतरता	- 1 ≤ एक्स ≤ 1	- 1 ≤ एक्स ≤ 1
मूल्यों की श्रृंखला
आरोही अवरोही	नीरस रूप से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
उतार
न्यूनतम
शून्य, y = 0	एक्स = 0	एक्स = 1
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	आप= 0	y = π/ 2

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मान प्रस्तुत करती है।

एक्स	आर्कसिन एक्स		आर्ककोस एक्स
	ओलों	खुश।	ओलों	खुश।
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

सूत्रों

यह सभी देखें: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

पर और

पर या

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से व्यंजक

यह सभी देखें: सूत्र व्युत्पन्न करना

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

संजात

;
.
आर्क्साइन और आर्ककोसाइन डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च क्रम डेरिवेटिव:
,
घात का बहुपद कहाँ है? यह सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
;
.

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के उच्च क्रम व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति देखें > > >

अभिन्न

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं सिंट. हम इसे ध्यान में रखते हुए भागों द्वारा एकीकृत करते हैं -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, क्योंकि टी ≥ 0:
.

आइए आर्क कोसाइन को आर्क साइन के माध्यम से व्यक्त करें:
.

शृंखला विस्तार

कब |x|< 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के व्युत्क्रम क्रमशः साइन और कोसाइन हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मान्य हैं:
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
cos(arccos x) = x .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्कसाइन और आर्ककोसाइन मानों के सेट पर मान्य हैं:
आर्क्सिन(पाप x) = xपर
आर्ककोस(cos x) = xपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

यह सभी देखें:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन- ये आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट हैं।

सबसे पहले आइए कुछ परिभाषाएँ दें।

आर्कसीनया, हम कह सकते हैं कि यह एक खंड से संबंधित कोण है जिसकी ज्या संख्या a के बराबर है।

आर्क कोसाइनसंख्या a को ऐसी संख्या कहा जाता है

आर्कटिकसंख्या a को ऐसी संख्या कहा जाता है

आर्कोटैन्जेंटसंख्या a को ऐसी संख्या कहा जाता है

आइए हमारे लिए इन चार नए कार्यों के बारे में विस्तार से बात करें - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय वाले।

याद रखें, हम पहले ही मिल चुके हैं.

उदाहरण के लिए, a का अंकगणितीय वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

किसी संख्या b से आधार a तक का लघुगणक एक संख्या c है जैसे कि

जिसमें

हम समझते हैं कि गणितज्ञों को नए कार्यों का "आविष्कार" क्यों करना पड़ा। उदाहरण के लिए, किसी समीकरण के समाधान हैं और हम उन्हें विशेष अंकगणितीय वर्गमूल प्रतीक के बिना नहीं लिख सकते।

लघुगणक की अवधारणा समाधान लिखने के लिए आवश्यक साबित हुई, उदाहरण के लिए, ऐसे समीकरण के लिए: इस समीकरण का समाधान एक अपरिमेय संख्या है। यह घात का एक घातांक है जिसे 7 प्राप्त करने के लिए 2 को बढ़ाया जाना चाहिए।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के साथ भी ऐसा ही है। उदाहरण के लिए, हम समीकरण को हल करना चाहते हैं

यह स्पष्ट है कि इसके समाधान त्रिकोणमितीय वृत्त पर उन बिंदुओं के अनुरूप हैं जिनकी कोटि बराबर है और यह स्पष्ट है कि यह ज्या का सारणीबद्ध मान नहीं है। समाधान कैसे लिखें?

यहां हम उस कोण को दर्शाने वाले एक नए फलन के बिना नहीं रह सकते जिसकी ज्या दी गई संख्या a के बराबर है। हाँ, सभी ने पहले ही अनुमान लगा लिया है। यह आर्कसीन है.

जिस खंड की ज्या बराबर है, उससे संबंधित कोण एक चौथाई की चापज्या है। और इसका मतलब यह है कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर सही बिंदु के अनुरूप हमारे समीकरण के समाधान की श्रृंखला है

और हमारे समीकरण के समाधान की दूसरी श्रृंखला है

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में और जानें -।

यह पता लगाना बाकी है - आर्क्साइन की परिभाषा यह क्यों इंगित करती है कि यह खंड से संबंधित कोण है?

तथ्य यह है कि ऐसे अनंत कोण हैं जिनकी ज्या, उदाहरण के लिए, के बराबर है। हमें उनमें से एक को चुनना होगा. हम उसे चुनते हैं जो खंड पर स्थित है।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक नज़र डालें। आप देखेंगे कि खंड पर प्रत्येक कोण एक निश्चित ज्या मान से मेल खाता है, और केवल एक। और इसके विपरीत, खंड से ज्या का कोई भी मान खंड पर कोण के एकल मान से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि एक सेगमेंट पर आप मान लेकर एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं

आइए परिभाषा को दोबारा दोहराएं:

किसी संख्या की आर्कसाइन वह संख्या होती है , ऐसा है कि

पदनाम: आर्क्साइन परिभाषा क्षेत्र एक खंड है। मूल्यों की सीमा एक खंड है।

आप वाक्यांश "आर्क्साइन्स दाहिनी ओर रहते हैं" याद कर सकते हैं। बस यह मत भूलिए कि यह सिर्फ दाईं ओर नहीं है, बल्कि खंड पर भी है।

हम फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए तैयार हैं

हमेशा की तरह, हम क्षैतिज अक्ष पर x मान और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर y मान आलेखित करते हैं।

क्योंकि, इसलिए, x -1 से 1 की सीमा में है।

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x की परिभाषा का क्षेत्र खंड है

हमने कहा कि y खंड से संबंधित है। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = arcsin x के मानों की सीमा खंड है।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन y=arcsinx का ग्राफ पूरी तरह से रेखाओं से घिरे क्षेत्र में फिट बैठता है

हमेशा की तरह किसी अपरिचित फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, आइए एक तालिका से शुरुआत करें।

परिभाषा के अनुसार, शून्य की आर्कसाइन उस खंड से एक संख्या है जिसकी साइन शून्य के बराबर है। यह संख्या क्या है? - यह स्पष्ट है कि यह शून्य है.

इसी प्रकार, एक की आर्कसाइन उस खंड से एक संख्या है जिसकी साइन एक के बराबर है। जाहिर है ये

हम जारी रखते हैं: - यह उस खंड से एक संख्या है जिसकी साइन बराबर है। हाँ यह

			0
			0

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

3. अर्थात् यह फलन विषम है। इसका ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित है।

4. कार्य नीरस रूप से बढ़ता है। इसका न्यूनतम मान, - के बराबर, पर प्राप्त किया जाता है, और इसका सबसे बड़ा मान, - के बराबर, पर प्राप्त किया जाता है

5. कार्यों के ग्राफ़ क्या करते हैं और ? क्या आपको नहीं लगता कि वे "एक ही पैटर्न के अनुसार बने हैं" - बिल्कुल किसी फ़ंक्शन की दाहिनी शाखा और किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह, या घातांक और लघुगणकीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह?

कल्पना कीजिए कि हमने एक साधारण साइन तरंग से एक छोटा सा टुकड़ा काट दिया, और फिर इसे लंबवत घुमा दिया - और हमें एक आर्कसाइन ग्राफ मिलेगा।

इस अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के लिए तर्क के मान क्या हैं, तो आर्कसाइन के लिए फ़ंक्शन के मान होंगे। इसे ऐसा होना चाहिए! आख़िरकार, साइन और आर्कसाइन परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं। परस्पर व्युत्क्रम फलनों के युग्मों के अन्य उदाहरण at और, साथ ही घातांकीय और लघुगणकीय फलन हैं।

याद रखें कि परस्पर व्युत्क्रम फलनों के ग्राफ़ सीधी रेखा के संबंध में सममित होते हैं

इसी प्रकार, हम फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं। हमें केवल एक खंड की आवश्यकता है जिस पर प्रत्येक कोण मान अपने स्वयं के कोसाइन मान से मेल खाता है, और कोसाइन को जानकर, हम विशिष्ट रूप से कोण पा सकते हैं। एक खंड हमारे लिए उपयुक्त होगा

किसी संख्या की चाप कोज्या वह संख्या है , ऐसा है कि

यह याद रखना आसान है: "आर्क कोसाइन ऊपर से रहते हैं," और न केवल ऊपर से, बल्कि खंड पर भी

पदनाम: चाप कोसाइन परिभाषा क्षेत्र एक खंड है। मूल्यों की सीमा एक खंड है।

जाहिर है, खंड को इसलिए चुना गया क्योंकि इस पर प्रत्येक कोसाइन मान केवल एक बार लिया जाता है। दूसरे शब्दों में, -1 से 1 तक प्रत्येक कोज्या मान, अंतराल से एकल कोण मान से मेल खाता है

आर्क कोसाइन न तो सम है और न ही विषम फलन है। लेकिन हम निम्नलिखित स्पष्ट संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

हमें फ़ंक्शन के एक अनुभाग की आवश्यकता है जहां यह मोनोटोनिक है, यानी, यह प्रत्येक मान को बिल्कुल एक बार लेता है।

आइए एक खंड चुनें. इस खंड पर फ़ंक्शन एकरस रूप से घटता है, अर्थात, सेटों के बीच पत्राचार एक-से-एक होता है। प्रत्येक x मान का एक संगत y मान होता है। इस खंड पर कोज्या का व्युत्क्रम एक फलन है, अर्थात् फलन y = arccosx।

आइए आर्क कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके तालिका भरें।

अंतराल से संबंधित संख्या x की चाप कोज्या अंतराल से संबंधित संख्या y होगी जैसे कि

इसका मतलब है, चूँकि ;

क्योंकि ;

क्योंकि ,

क्योंकि ,

			0
					0

यहाँ चाप कोज्या ग्राफ है:

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का है - यह न तो सम है और न ही विषम है।

4. कार्य सख्ती से कम हो रहा है। फ़ंक्शन y = arccosx अपना सबसे बड़ा मान, at के बराबर, लेता है, और इसका सबसे छोटा मान, शून्य के बराबर, at लेता है

5. फलन तथा परस्पर प्रतिलोम हैं।

अगले हैं आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट।

किसी संख्या का चापस्पर्शज्या वह संख्या है , ऐसा है कि

पद का नाम: । चापस्पर्शज्या की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल है। मानों का क्षेत्र अंतराल है।

अंतराल के सिरों - बिंदुओं - को आर्कटेंजेंट की परिभाषा में बाहर क्यों रखा गया है? बेशक, क्योंकि इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है। इनमें से किसी भी कोण की स्पर्शरेखा के बराबर कोई संख्या नहीं है।

आइए आर्कटेंजेंट का एक ग्राफ बनाएं। परिभाषा के अनुसार, किसी संख्या x का चाप स्पर्शज्या एक संख्या y है जो अंतराल से संबंधित है

ग्राफ़ कैसे बनाएं यह पहले से ही स्पष्ट है। चूँकि आर्कटैन्जेंट स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम फलन है, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के एक अनुभाग का चयन करते हैं जहां x और y के बीच पत्राचार एक-से-एक है। यह अंतराल C है। इस खंड में फ़ंक्शन से मान लेता है

फिर व्युत्क्रम फ़ंक्शन, यानी फ़ंक्शन, में परिभाषा का एक डोमेन होता है जो संपूर्ण संख्या रेखा होगी, से तक, और मानों की सीमा अंतराल होगी

मतलब,

मतलब,

मतलब,

लेकिन x के असीम रूप से बड़े मानों के लिए क्या होता है? दूसरे शब्दों में, जब x धन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है तो यह फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है?

हम स्वयं से यह प्रश्न पूछ सकते हैं: अंतराल में किस संख्या के लिए स्पर्शरेखा मान अनंत की ओर प्रवृत्त होता है? - जाहिर है यह

इसका मतलब यह है कि x के असीम रूप से बड़े मानों के लिए, आर्कटेंजेंट ग्राफ़ क्षैतिज अनंतस्पर्शी तक पहुंचता है

इसी प्रकार, यदि x शून्य से अनंत तक पहुंचता है, तो आर्कटेंजेंट ग्राफ क्षैतिज अनंतस्पर्शी तक पहुंचता है

यह चित्र फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

3. फलन विषम है.

4. कार्य सख्ती से बढ़ रहा है।

6. फलन तथा परस्पर व्युत्क्रम होते हैं - अवश्य, जब फलन को अंतराल पर माना जाता है

इसी प्रकार, हम व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन को परिभाषित करते हैं और उसका ग्राफ़ बनाते हैं।

किसी संख्या का चाप स्पर्शरेखा वह संख्या होती है , ऐसा है कि

फ़ंक्शन ग्राफ़:

कार्य गुण

1. परिभाषा का दायरा

2. मूल्यों की सीमा

3. फलन सामान्य रूप का है, अर्थात् न तो सम है और न ही विषम है।

4. कार्य सख्ती से कम हो रहा है।

5. इस फ़ंक्शन के प्रत्यक्ष और क्षैतिज अनंतस्पर्शी।

6. यदि अंतराल पर विचार किया जाए तो फलन तथा परस्पर प्रतिलोम होते हैं

चूँकि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, उनके व्युत्क्रम फलन अद्वितीय नहीं होते हैं। तो, समीकरण y = पाप एक्स, किसी दिए गए के लिए, अनंत रूप से कई जड़ें हैं। वास्तव में, ज्या की आवर्तता के कारण, यदि x ऐसा मूल है, तो ऐसा ही है x + 2πn(जहाँ n एक पूर्णांक है) समीकरण का मूल भी होगा। इस प्रकार, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन बहुमूल्यांकित होते हैं. उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए, उनके मुख्य अर्थों की अवधारणा पेश की गई है। उदाहरण के लिए, साइन: y = पर विचार करें पाप एक्स. यदि हम तर्क x को अंतराल तक सीमित रखते हैं, तो उस पर फलन y = होता है पाप एक्सनीरस रूप से बढ़ता है। इसलिए, इसका एक अद्वितीय व्युत्क्रम फलन है, जिसे आर्कसाइन कहा जाता है: x = आर्क्सिन वाई.

जब तक अन्यथा न कहा जाए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से हमारा तात्पर्य उनके मुख्य मानों से है, जो निम्नलिखित परिभाषाओं द्वारा निर्धारित होते हैं।

आर्कसाइन ( आप= आर्कसिन एक्स) sine का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = पापी
आर्क कोसाइन ( आप= आर्ककोस एक्स) कोज्या का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = आरामदायक), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।
आर्कटिक ( आप= आर्कटान एक्स) स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = टीजी वाई), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।
आर्ककोटैंजेंट ( आप= आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = सीटीजी वाई), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के संबंध में दर्पण प्रतिबिंब द्वारा त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ से प्राप्त किए जाते हैं। अनुभाग देखें ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट।

आप= आर्कसिन एक्स

आप= आर्ककोस एक्स

आप= आर्कटान एक्स

आप= आर्कसीटीजी एक्स

मूल सूत्र

यहां आपको उन अंतरालों पर विशेष ध्यान देना चाहिए जिनके लिए सूत्र मान्य हैं।

आर्क्सिन(पाप x) = xपर
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
आर्ककोस(cos x) = xपर
cos(arccos x) = x

आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्सपर
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्स
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्सपर
सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सूत्र

यह सभी देखें: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

पर और

पर या

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

पर

पर

पर

पर

पर

पर

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

व्युत्क्रम कोज्या फलन

फ़ंक्शन के मानों की सीमा y=cos x (चित्र 2 देखें) एक खंड है। खंड पर फ़ंक्शन निरंतर और नीरस रूप से घट रहा है।

चावल। 2

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y=cos x का व्युत्क्रम फ़ंक्शन खंड पर परिभाषित किया गया है। इस व्युत्क्रम फलन को चाप कोज्या कहा जाता है और इसे y=arccos x से दर्शाया जाता है।

परिभाषा

किसी संख्या a की आर्ककोसाइन, यदि |a|1, वह कोण है जिसकी कोसाइन खंड से संबंधित है; इसे आर्ककोस ए द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस प्रकार, आर्ककोस ए एक ऐसा कोण है जो निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है: сos (आर्ककोस ए)=ए, |ए|1; 0? आर्ककोस ए ?आर.

उदाहरण के लिए, आर्ककोस, चूंकि कॉस और; आर्ककोस, चूंकि कॉस और।

फ़ंक्शन y = arccos x (चित्र 3) एक खंड पर परिभाषित किया गया है; इसके मानों की सीमा खंड है। खंड पर, फ़ंक्शन y=arccos x निरंतर है और p से 0 तक एकरस रूप से घटता है (चूंकि y=cos x खंड पर एक निरंतर और एकरस रूप से घटता हुआ फ़ंक्शन है); खंड के अंत में यह अपने चरम मूल्यों तक पहुंचता है: आर्ककोस(-1)= पी, आर्ककोस 1= 0। ध्यान दें कि आर्ककोस 0 =। फ़ंक्शन y = arccos x का ग्राफ़ (चित्र 3 देखें) सीधी रेखा y=x के सापेक्ष फ़ंक्शन y = cos x के ग्राफ़ के सममित है।

चावल। 3

आइए हम दिखाते हैं कि समानता arccos(-x) = p-arccos x रखती है।

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार 0? आर्ककोस एक्स? आर। अंतिम दोहरी असमानता के सभी भागों को (-1) से गुणा करने पर, हमें मिलता है - p? आर्ककोस एक्स? 0. अंतिम असमानता के सभी भागों में p जोड़ने पर, हम पाते हैं कि 0? पी-आर्कोस एक्स? आर।

इस प्रकार, कोण आर्ककोस(-x) और p - आर्ककोस x का मान एक ही खंड से संबंधित है। चूँकि कोज्या एक खंड पर एकरस रूप से घटती है, इसलिए उस पर दो अलग-अलग कोण नहीं हो सकते जिनकी समान कोज्याएँ हों। आइए कोण आर्ककोस(-x) और p-आर्ककोस x की कोज्या ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, cos (arccos x) = - x, कमी सूत्रों के अनुसार और परिभाषा के अनुसार हमारे पास है: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x। अतः, कोणों की कोज्याएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है कि कोण स्वयं बराबर होते हैं।

व्युत्क्रम ज्या फलन

आइए फ़ंक्शन y=sin x (चित्र 6) पर विचार करें, जो खंड [-р/2;р/2] पर बढ़ रहा है, निरंतर है और खंड [-1; 1]. इसका मतलब है कि खंड पर [- पी/2; p/2] फ़ंक्शन y=sin x का व्युत्क्रम फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

चावल। 6

इस व्युत्क्रम फलन को आर्क्साइन कहा जाता है और इसे y=arcsin x से दर्शाया जाता है। आइए हम किसी संख्या की आर्क्साइन की परिभाषा का परिचय दें।

किसी संख्या की चाप ज्या एक कोण (या चाप) होती है जिसकी ज्या संख्या a के बराबर होती है और जो खंड [-р/2; पी/2]; इसे आर्क्सिन ए द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस प्रकार, आर्क्सिन ए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला एक कोण है: पाप (आर्क्सिन ए)=ए, |ए| ?1; -आर/2 ? आर्क्सिन हुह? आर/2. उदाहरण के लिए, चूंकि पाप और [- पी/2; पी/2]; आर्क्सिन, चूँकि पाप = यू [- पी/2; पी/2]।

फलन y=arcsin x (चित्र 7) खंड [- 1; 1], इसके मानों की सीमा खंड [-р/2;р/2] है। खंड पर [- 1; 1] फ़ंक्शन y=arcsin x निरंतर है और -p/2 से p/2 तक एकरस रूप से बढ़ता है (यह इस तथ्य से पता चलता है कि फ़ंक्शन y=sin x सेगमेंट पर [-p/2; p/2] निरंतर है और नीरस रूप से बढ़ता है)। यह x = 1: arcsin 1 = p/2 पर सबसे बड़ा मान लेता है, और x = -1 पर सबसे छोटा मान लेता है: arcsin (-1) = -p/2। x = 0 पर फलन शून्य है: आर्क्सिन 0 = 0.

आइए हम दिखाते हैं कि फलन y = arcsin x विषम है, अर्थात। आर्क्सिन(-x) = - किसी भी x के लिए आर्क्सिन x [ - 1; 1].

दरअसल, परिभाषा के अनुसार, यदि |x| ?1, हमारे पास है: - पी/2 ? आर्क्सिन एक्स? ? आर/2. इस प्रकार, कोण arcsin(-x) और हैं - आर्क्सिन x एक ही खंड से संबंधित है [ - पी/2; पी/2]।

आइए इनकी ज्याएँ ज्ञात करेंकोण: पाप (आर्क्सिन(-x)) = - x (परिभाषा के अनुसार); चूँकि फलन y=sin x विषम है, तो पाप (-arcsin x)= - पाप (arcsin x)= - x। तो, समान अंतराल से संबंधित कोणों की ज्याएं [-р/2; p/2], बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि कोण स्वयं बराबर हैं, अर्थात। आर्क्सिन (-x)= - आर्क्सिन x. इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y=arcsin x विषम है। फ़ंक्शन y=arcsin x का ग्राफ मूल बिंदु के बारे में सममित है।

आइए हम दिखाते हैं कि किसी भी x [-р/2; के लिए आर्क्सिन (sin x) = x; पी/2]।

दरअसल, परिभाषा के अनुसार -पी/2? आर्क्सिन (पाप x) ? पी/2, और शर्त के अनुसार -पी/2? एक्स? आर/2. इसका मतलब यह है कि कोण x और आर्क्सिन (sin x) फ़ंक्शन y=sin x की एकरसता के समान अंतराल से संबंधित हैं। यदि ऐसे कोणों की ज्याएँ बराबर हों, तो कोण स्वयं भी बराबर होते हैं। आइए इन कोणों की ज्याएँ ज्ञात करें: कोण x के लिए हमारे पास पाप x है, कोण आर्क्सिन (sin x) के लिए हमारे पास पाप (आर्क्सिन (sin x)) = पाप x है। हमने पाया कि कोणों की ज्याएँ बराबर हैं, इसलिए, कोण भी बराबर हैं, अर्थात्। आर्क्सिन(पाप x) = x. .

चावल। 7

चावल। 8

फ़ंक्शन आर्क्सिन (sin|x|) का ग्राफ ग्राफ y=arcsin (sin x) से मापांक से जुड़े सामान्य परिवर्तनों द्वारा प्राप्त किया जाता है (चित्र 8 में धराशायी रेखा द्वारा दिखाया गया है)। वांछित ग्राफ y=arcsin (sin |x-/4|) x-अक्ष के साथ दाईं ओर /4 स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है (चित्र 8 में एक ठोस रेखा के रूप में दिखाया गया है)

स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम कार्य

अंतराल पर फ़ंक्शन y=tg x सभी संख्यात्मक मान लेता है: E (tg x)=। इस अंतराल में यह निरंतर होता है और एकरस रूप से बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = tan x के विपरीत एक फ़ंक्शन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है। इस व्युत्क्रम फलन को चापस्पर्शज्या कहा जाता है और इसे y = arctan x से दर्शाया जाता है।

a की स्पर्शरेखा एक अंतराल से एक कोण है जिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर होती है। इस प्रकार, arctg a एक कोण है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: tg (arctg a) = a और 0? आर्कटग ए ? आर।

तो, कोई भी संख्या x हमेशा फ़ंक्शन y = arctan x (चित्र 9) के एकल मान से मेल खाती है।

यह स्पष्ट है कि D (आर्कटग x) = , E (आर्कटग x) = .

फलन y = arctan x बढ़ रहा है क्योंकि फलन y = tan x अंतराल पर बढ़ रहा है। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि arctg(-x) = - arctgx, अर्थात्। वह आर्कटेंजेंट एक अजीब कार्य है।

चावल। 9

फ़ंक्शन y = arctan x का ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के सापेक्ष फ़ंक्शन y = tan x के ग्राफ़ के सममित है, ग्राफ़ y = arctan x निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरता है (चूंकि आर्कटैन 0 = 0) और मूल के सापेक्ष सममित है (एक विषम फ़ंक्शन के ग्राफ़ की तरह)।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि आर्कटैन (tan x) = x यदि x।

कोटैंजेंट व्युत्क्रम फलन

एक अंतराल पर फ़ंक्शन y = ctg x अंतराल से सभी संख्यात्मक मान लेता है। इसके मानों की सीमा सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से मेल खाती है। अंतराल में, फलन y = cot x सतत है और एकरस रूप से बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि इस अंतराल पर एक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है जो फ़ंक्शन y = cot x के विपरीत है। कोटैंजेंट के व्युत्क्रम फलन को आर्ककोटैंजेंट कहा जाता है और इसे y = arcctg x से दर्शाया जाता है।

ए का चाप कोटैंजेंट एक अंतराल से संबंधित कोण है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है।

इस प्रकार, arcctg a एक कोण है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: ctg (arcctg a)=a और 0? आर्कक्टग ए? आर।

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा और आर्कटैन्जेंट की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि D (arcctg x) =, E (arcctg x) =। चाप कोटैंजेंट एक घटता हुआ फलन है क्योंकि फलन y = ctg x अंतराल में घटता है।

फ़ंक्शन y = arcctg x का ग्राफ ऑक्स अक्ष को नहीं काटता है, क्योंकि y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 = के लिए।

फ़ंक्शन y = arcctg x का ग्राफ़ चित्र 11 में दिखाया गया है।

चावल। 11

ध्यान दें कि x के सभी वास्तविक मानों के लिए पहचान सत्य है: arcctg(-x) = p-arcctg x।