अनुभाग की जड़ता के अक्षीय क्षणअक्षों के सापेक्ष एक्सऔर पर(चित्र 32 देखें, ए)रूप के निश्चित अभिन्न अंग कहलाते हैं

जड़ता के अक्षीय क्षणों का निर्धारण करते समय, कुछ मामलों में अनुभाग की एक और नई ज्यामितीय विशेषता का सामना करना आवश्यक होता है - जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण।

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षणदो परस्पर लंबवत अक्षों के सापेक्ष अनुभाग x y(चित्र 32 देखें, ए)

जड़ता का ध्रुवीय क्षणउत्पत्ति के सापेक्ष अनुभाग के बारे में(चित्र 32 देखें, ए)रूप का निश्चित समाकलन कहलाता है

कहाँ आर- उद्गम स्थल से प्राथमिक स्थल तक की दूरी दा.

जड़ता के अक्षीय और ध्रुवीय क्षण हमेशा सकारात्मक होते हैं, और केन्द्रापसारक क्षण, अक्षों की पसंद के आधार पर, सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकता है। जड़ता के क्षणों के पदनाम की इकाइयाँ सेमी 4, मिमी 4 हैं।

जड़ता के ध्रुवीय और अक्षीय क्षणों के बीच निम्नलिखित संबंध मौजूद है:

सूत्र (41) के अनुसार, दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में जड़त्व के अक्षीय क्षणों का योग इन अक्षों (मूल) के प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में जड़त्व के ध्रुवीय क्षण के बराबर है।

समानांतर अक्षों के सापेक्ष अनुभागों की जड़ता के क्षण, जिनमें से एक केंद्रीय है (x s,yc)>भावों से निर्धारित होते हैं:

कहाँ और आईवी-अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र C के निर्देशांक (चित्र 34)।

सूत्र (42), जिसका बहुत व्यावहारिक अनुप्रयोग है, इस प्रकार पढ़ें: किसी भी अक्ष के बारे में एक खंड की जड़ता का क्षण उसके समानांतर और खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता के क्षण के बराबर है, साथ ही अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग का गुणनफल।

टिप्पणी: निर्देशांक ए और सीउपरोक्त सूत्रों (42) में उनके संकेतों को ध्यान में रखते हुए प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

चावल। 34.

सूत्र (42) से यह पता चलता है कि समानांतर अक्षों के बारे में जड़ता के सभी क्षणों में, सबसे छोटा क्षण खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में होगा, यानी, जड़त्व का केंद्रीय क्षण।

किसी संरचना की ताकत और कठोरता को निर्धारित करने के सूत्रों में जड़ता के क्षण शामिल हैं, जिनकी गणना अक्षों के सापेक्ष की जाती है, जो न केवल केंद्रीय हैं, बल्कि मुख्य भी हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली कौन सी अक्ष मुख्य हैं, किसी को एक निश्चित कोण पर एक दूसरे के सापेक्ष घूमने वाली अक्षों के सापेक्ष जड़ता के क्षणों को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए।

निर्देशांक अक्षों को घुमाते समय जड़ता के क्षणों के बीच संबंध (चित्र 35) इस प्रकार हैं:

कहाँ ए- धुरी रोटेशन कोण औरऔर वीअक्षों के सापेक्ष मेंहदीक्रमश। कोण a माना जाता है सकारात्मक, यदि अक्षों का घूर्णन औरऔर यू होता है वामावर्त।

चावल। 35.

किसी भी परस्पर लंबवत अक्षों के सापेक्ष जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग उनके घूमने पर नहीं बदलता है:

जब अक्ष निर्देशांक के मूल के चारों ओर घूमते हैं, तो जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण बदल जाता है लगातार, इसलिए, अक्षों की एक निश्चित स्थिति पर यह शून्य के बराबर हो जाता है।

दो परस्पर लंबवत अक्ष जिनके बारे में अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर है, कहलाते हैं जड़त्व की मुख्य धुरी.

जड़त्व के मुख्य अक्षों की दिशा निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है:

सूत्र से प्राप्त दो कोण मान (43) एएक दूसरे से 90° भिन्न हैं और मुख्य अक्षों की स्थिति बताएं। जैसा कि हम देखते हैं, निरपेक्ष मान में इनमें से छोटा कोण अधिक नहीं होता है एल/4.निम्नलिखित में हम केवल छोटे कोण का उपयोग करेंगे। इस कोण पर खींची गई मुख्य धुरी को अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा और।चित्र में. 36 इस नियम के अनुसार मुख्य अक्षों को नामित करने के कुछ उदाहरण दिखाता है। प्रारंभिक अक्षों को अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है अरे हाँ

चावल। 36.

झुकने की समस्याओं में, उन प्रमुख अक्षों के सापेक्ष अनुभागों की जड़ता के अक्षीय क्षणों को जानना महत्वपूर्ण है जो अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हैं।

अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली मुख्य अक्षों को कहा जाता है मुख्य केंद्रीय अक्ष.निम्नलिखित में, एक नियम के रूप में, संक्षिप्तता के लिए, हम बस इन अक्षों को कॉल करेंगे मुख्य अक्ष, "केंद्रीय" शब्द को हटाते हुए।

एक समतल खंड की समरूपता की धुरी इस खंड की जड़ता की मुख्य केंद्रीय धुरी है, दूसरी धुरी इसके लंबवत है। दूसरे शब्दों में, समरूपता की धुरी और उसके लंबवत कोई भी प्रमुख अक्षों की एक प्रणाली बनाते हैं।

यदि किसी समतल खंड में समरूपता के कम से कम दो अक्ष हैं जो एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं, तो ऐसे खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली सभी अक्ष इसकी जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष हैं। तो, चित्र में. चित्र 37 कुछ प्रकार के खंड (वृत्त, वलय, वर्ग, नियमित षट्भुज, आदि) दिखाता है जिनमें निम्नलिखित गुण हैं: उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली कोई भी धुरी मुख्य है।

चावल। 37.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गैर-केंद्रीय प्रमुख अक्षों में हमारी कोई रुचि नहीं है।

झुकने के सिद्धांत में, मुख्य केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण सबसे महत्वपूर्ण हैं।

जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षणया जड़ता के मुख्य क्षणमुख्य केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षण कहलाते हैं। इसके अलावा, मुख्य अक्षों में से एक के सापेक्ष, जड़ता का क्षण अधिकतम, अपेक्षाकृत भिन्न - कम से कम:

चित्र में दिखाए गए अनुभागों की जड़ता के अक्षीय क्षण। 37, मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष गणना की गई, एक दूसरे के बराबर हैं: जी,तब: जे यू = जे एक्स कॉस 2 ए +जे वाई सिन ए = जेएक्स.

किसी जटिल खंड की जड़ता के क्षण उसके भागों की जड़ता के क्षणों के योग के बराबर होते हैं। इसलिए, एक जटिल खंड की जड़ता के क्षणों को निर्धारित करने के लिए, हम लिख सकते हैं:

गोलों का अंतर eJ xi , J y „ J xiyi अनुभाग के अलग-अलग हिस्सों की जड़ता के क्षण हैं।

ध्यान दें: यदि अनुभाग में छेद है, तो इसे नकारात्मक क्षेत्र वाला अनुभाग मानना ​​सुविधाजनक है।

भविष्य में ताकत की गणना करने के लिए, हम सीधे झुकने के अधीन बीम की ताकत की एक नई ज्यामितीय विशेषता पेश करेंगे। इस ज्यामितीय विशेषता को प्रतिरोध का अक्षीय क्षण या झुकने के दौरान प्रतिरोध का क्षण कहा जाता है।

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी खंड के जड़त्व आघूर्ण और इस अक्ष से खंड के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी के अनुपात को कहा जाता है प्रतिरोध का अक्षीय क्षण:

प्रतिरोध के क्षण के आयाम मिमी 3, सेमी 3 हैं।

सबसे सामान्य सरल वर्गों की जड़ता के क्षण और प्रतिरोध के क्षण तालिका में दिए गए सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। 3.

रोल्ड स्टील बीम (आई-बीम, चैनल, एंगल बीम इत्यादि) के लिए, जड़ता के क्षण और प्रतिरोध के क्षण रोल्ड स्टील वर्गीकरण की तालिकाओं में दिए गए हैं, जहां, आयामों, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों के अलावा, के केंद्रों की स्थिति भी दी गई है। गुरुत्वाकर्षण और अन्य विशेषताएँ दी गई हैं।

अंत में, आइए अवधारणा का परिचय दें आवर्तन का अर्ध व्याससमन्वय अक्षों के सापेक्ष अनुभाग एक्सऔर पर - मैं एक्सऔर मैं yजो क्रमशः निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित किये जाते हैं।

वे अक्ष जिनके बारे में केन्द्रापसारक जड़त्व आघूर्ण शून्य है, प्रमुख कहलाते हैं, और इन अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षण जड़त्व के प्रमुख आघूर्ण कहलाते हैं।

आइए ज्ञात त्रिकोणमितीय संबंधों को ध्यान में रखते हुए सूत्र (2.18) को फिर से लिखें:

;

इस रूप में

मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम कोण α के संबंध में समानता (2.21) को एक बार अलग करते हैं और प्राप्त करते हैं

कोण के एक निश्चित मान पर α=α 0, जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण शून्य हो सकता है. इसलिए, व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए ( वी), जड़ता का अक्षीय क्षण अत्यधिक मान लेगा। बराबरी करना

,

हम जड़त्व के मुख्य अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए एक सूत्र इस प्रकार प्राप्त करते हैं:

(2.22)

सूत्र (2.21) में हम cos2 को कोष्ठक से बाहर रखते हैं α 0 और ज्ञात त्रिकोणमितीय निर्भरता को ध्यान में रखते हुए, वहां मान (2.22) रखें हम पाते हैं:

सरलीकरण के बाद, हम अंततः जड़ता के मुख्य क्षणों के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

(2.23)

मुख्य अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षणों को निर्धारित करने के लिए सूत्र (20.1) का उपयोग किया जाता है। सूत्र (2.22) इस प्रश्न का सीधा उत्तर नहीं देता है: किस अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण अधिकतम या न्यूनतम होगा। समतल तनाव स्थिति का अध्ययन करने के सिद्धांत के अनुरूप, हम जड़ता के मुख्य अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्र प्रस्तुत करते हैं:

(2.24)

यहां α 1 और α 2 उन अक्षों की स्थिति निर्धारित करते हैं जिनके बारे में जड़त्व के क्षण क्रमशः बराबर होते हैं जे 1 और जे 2. यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोण मॉड्यूल का योग α 01 और α 02 को π/2 के बराबर होना चाहिए:

शर्त (2.24) एक समतल खंड के जड़त्व के मुख्य अक्षों की लम्बवतता के लिए शर्त है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जड़ता के मुख्य अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्र (2.22) और (2.24) का उपयोग करते समय, निम्नलिखित पैटर्न देखा जाना चाहिए:

मुख्य अक्ष, जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होता है, मूल अक्ष के साथ सबसे छोटा कोण बनाता है, जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है।

उदाहरण 2.2.

मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष लकड़ी के सपाट वर्गों की ज्यामितीय विशेषताओं का निर्धारण करें:

समाधान

प्रस्तावित अनुभाग असममित है. इसलिए, केंद्रीय अक्षों की स्थिति दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाएगी, मुख्य केंद्रीय अक्षों को एक निश्चित कोण द्वारा केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष घुमाया जाएगा। यह मुख्य ज्यामितीय विशेषताओं को निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम की ओर ले जाता है।

1. हम अनुभाग को उनके केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष निम्नलिखित क्षेत्रों और जड़त्व क्षणों के साथ दो आयतों में विभाजित करते हैं:

एफ 1 =12 सेमी 2, एफ 2 =18 सेमी 2;

2. हम सहायक अक्षों की एक प्रणाली को परिभाषित करते हैं एक्स 0 पर 0 बिंदु से प्रारंभ ए. इस अक्ष प्रणाली में आयतों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

एक्स 1 =4 सेमी; एक्स 2 =1 सेमी; पर 1 =1.5 सेमी; पर 2 =4.5 सेमी.

3. सूत्र (2.4) का उपयोग करके अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें:

हम केंद्रीय अक्षों को आलेखित करते हैं (चित्र 2.9 में लाल रंग में)।

4. केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष जड़त्व के अक्षीय और केन्द्रापसारक क्षणों की गणना करें एक्सऔर साथ परसी समग्र खंड के संबंध में सूत्र (2.13) के अनुसार:

5. सूत्र (2.23) का उपयोग करके जड़त्व के मुख्य क्षण ज्ञात करें

6. जड़त्व के मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति निर्धारित करें एक्सऔर परसूत्र के अनुसार (2.24):

मुख्य केंद्रीय अक्षों को (चित्र 2.9) नीले रंग में दिखाया गया है।

7. आइए निष्पादित गणनाओं की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित गणनाएँ करेंगे:

मुख्य केंद्रीय और केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग समान होना चाहिए:

कोण मॉड्यूल का योग α एक्सऔर α हाँ,, मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति को परिभाषित करना:

इसके अलावा, यह प्रावधान पूरा किया गया है कि मुख्य केंद्रीय अक्ष एक्स, जिसके बारे में जड़ता का क्षण जे एक्सअधिकतम मान होता है, केंद्रीय अक्ष के साथ एक छोटा कोण बनाता है जिसके सापेक्ष जड़ता का क्षण अधिक होता है, अर्थात। धुरी के साथ एक्ससाथ।

केंद्रीय धुरी के समानांतर एक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण (स्टाइनर का प्रमेय)

प्रस्तावना

व्याख्यान संख्या 1 “ज्यामितीय विशेषताएँ

प्रस्तावना…………………………………………………………………….4

समतल खंड"……………………………………………………………….5

2. व्याख्यान संख्या 2 "मुख्य अक्ष और जड़त्व के प्रमुख क्षण"..………………………………………….…………………………...13

3. व्याख्यान संख्या 3 “मरोड़। ताकत और मरोड़ वाली कठोरता के लिए गणना"………………………………………………………………………16

4. व्याख्यान संख्या 4 “कतरना और कुचलना। ताकत की गणना"…….………………………………………………………………..32

5. कवर की गई सामग्री की जांच करने के लिए प्रश्न...……………………..36

6. सन्दर्भ…………………………………………………………37

व्याख्यान नोट्स के भाग 2 में निम्नलिखित विषयों पर बुनियादी सैद्धांतिक सिद्धांत और गणना सूत्र शामिल हैं: समतल खंडों की ज्यामितीय विशेषताएं, मरोड़, कतरनी और कुचलना।

व्याख्यान नोट्स का उद्देश्य सामग्री के बल पर कम्प्यूटेशनल और ग्राफिक कार्यों को हल करने और बचाव करने में छात्रों को विषय का अध्ययन करने में सहायता करना है।

व्याख्यान संख्या 1 "समतल खंडों की ज्यामितीय विशेषताएँ"

समतल खंडों की ज्यामितीय विशेषताओं में शामिल हैं:

· संकर अनुभागीय क्षेत्र एफ,

· क्षेत्र के स्थिर क्षण एस एक्स , एस वाई ,

जड़ता के अक्षीय क्षण जे एक्स, जे वाई ,

· जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण जे xy,

जड़ता का ध्रुवीय क्षण जे.पी ,

मरोड़ के प्रतिरोध का क्षण डब्ल्यू ρ,

· झुकने के प्रतिरोध का क्षण डब्ल्यू एक्स

1.1. क्षेत्र S x, S y के स्थिर क्षण

किसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र का स्थिर क्षण प्राथमिक क्षेत्रों के उत्पादों और संबंधित अक्ष की दूरी के योग के बराबर है।

इकाइयों एसएक्स और एस वाई : [सेमी 3 ], [मिमी 3]। "+" या "-" चिन्ह अक्षों के स्थान पर निर्भर करता है।

संपत्ति:यदि निर्देशांक अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के स्थिर क्षण शून्य (S x = 0 और S y = 0) के बराबर होते हैं। वह अक्ष जिसके चारों ओर स्थैतिक क्षण बराबर होता है, केंद्रीय अक्ष कहलाता है। केंद्रीय अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।

जहाँ F कुल अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।

उदाहरण 1:

एक कटआउट के साथ दो आयतों से युक्त एक सपाट खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें।

नकारात्मक क्षेत्र घटा दिया गया है.

1.2. जड़ता के अक्षीय क्षण जे एक्स ; जे

जड़त्व का अक्षीय क्षण प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों के योग और संबंधित अक्ष की दूरी के वर्ग के बराबर है।

चिन्ह हमेशा "+" होता है।

0 के बराबर नहीं हो सकता.

संपत्ति:जब निर्देशांक अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है तो न्यूनतम मान लेता है।

किसी खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण का उपयोग ताकत, कठोरता और स्थिरता की गणना में किया जाता है।

1.3. खंड J ρ की जड़ता का ध्रुवीय क्षण

जड़ता के ध्रुवीय और अक्षीय क्षणों के बीच संबंध:

अनुभाग की जड़ता का ध्रुवीय क्षण अक्षीय क्षणों के योग के बराबर है।

संपत्ति:

जब अक्षों को किसी भी दिशा में घुमाया जाता है, तो जड़त्व का एक अक्षीय क्षण बढ़ता है और दूसरा घटता है (और इसके विपरीत)। जड़त्व के अक्षीय क्षणों का योग स्थिर रहता है।

1.4. अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण जे xy

अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों और दोनों अक्षों की दूरी के योग के बराबर है

माप की इकाई [सेमी 4 ], [मिमी 4]।

"+" या "-" पर हस्ताक्षर करें।

यदि निर्देशांक अक्ष समरूपता के अक्ष हैं (उदाहरण - आई-बीम, आयत, वृत्त), या समन्वय अक्षों में से एक समरूपता के अक्ष (उदाहरण - चैनल) के साथ मेल खाता है।

इस प्रकार, सममित आकृतियों के लिए जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण 0 है।

समायोजन ध्रुव यू और वी , खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरना, जिसके बारे में केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर है, कहलाते हैं अनुभाग की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष।उन्हें मुख्य कहा जाता है क्योंकि उनके सापेक्ष केन्द्रापसारक क्षण शून्य होता है, और केंद्रीय क्योंकि वे खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हैं।

उन अनुभागों के लिए जो अक्षों के बारे में सममित नहीं हैं एक्स या य , उदाहरण के लिए एक कोने पर, शून्य के बराबर नहीं होगा। इन वर्गों के लिए, अक्षों की स्थिति निर्धारित की जाती है यू और वी अक्षों के घूर्णन कोण की गणना करके एक्स और य

अक्षों के बारे में केन्द्रापसारक क्षण यू और वी -

प्रमुख केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़त्व के अक्षीय क्षणों को निर्धारित करने का सूत्र यू और वी :

केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष जड़ता के अक्षीय क्षण कहां हैं,

केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण।

स्टीनर का प्रमेय:

केंद्रीय एक के समानांतर एक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण जड़ता के केंद्रीय अक्षीय क्षण के साथ-साथ संपूर्ण आकृति के क्षेत्र के उत्पाद और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है।

स्टीनर के प्रमेय का प्रमाण.

चित्र के अनुसार. 5 दूरी पर प्राथमिक साइट पर डीएफ

मान को प्रतिस्थापित करना परसूत्र में, हमें मिलता है:

चूँकि बिंदु C अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है (केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष अनुभागीय क्षेत्र के स्थिर क्षणों की संपत्ति देखें)।

ऊंचाई वाले एक आयत के लिएएच और चौड़ाईबी :

जड़त्व का अक्षीय क्षण:

बेंडिंग मोमेंट:

झुकने के प्रतिरोध का क्षण जड़ता के क्षण और तटस्थ रेखा से सबसे दूर के फाइबर की दूरी के अनुपात के बराबर है:

एक वृत्त के लिए:

जड़ता का ध्रुवीय क्षण:

जड़त्व का अक्षीय क्षण:

मरोड़ वाला क्षण:

बेंडिंग मोमेंट:

उदाहरण 2. केंद्रीय अक्ष के बारे में एक आयताकार क्रॉस-सेक्शन की जड़ता का क्षण निर्धारित करें सी.एक्स .

समाधान। आइए आयत के क्षेत्रफल को आयामों के साथ प्राथमिक आयतों में विभाजित करें बी (चौड़ाई) और डीवाई (ऊंचाई)। फिर ऐसे आयत का क्षेत्रफल (चित्र 6 में छायांकित) के बराबर है डीएफ=bdy. आइए जड़त्व के अक्षीय क्षण के मान की गणना करें जे एक्स

सादृश्य से हम लिखते हैं

केंद्रीय के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता का अक्षीय क्षण

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण

कुल्हाड़ियों के बाद से सी.एक्स और सी य समरूपता के अक्ष हैं.

उदाहरण 3. एक वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए वृत्त को त्रिज्या के साथ मोटाई के अनंत पतले छल्लों में विभाजित करें, ऐसे वलय का क्षेत्रफल है। जड़ता और एकीकरण के ध्रुवीय क्षण के लिए अभिव्यक्ति में मूल्य को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

वृत्ताकार खंड के अक्षीय क्षणों की समानता को ध्यान में रखते हुए और

हम पाते हैं

वलय के लिए जड़त्व के अक्षीय क्षण बराबर हैं

साथ- कटआउट व्यास और शाफ्ट के बाहरी व्यास का अनुपात।

आइए विचार करें कि निर्देशांक अक्षों को घुमाने पर जड़ता के क्षण कैसे बदलते हैं। आइए मान लें कि 0 अक्षों के सापेक्ष एक निश्चित खंड की जड़ता के क्षण दिए गए हैं एक्स, 0पर(जरूरी नहीं कि केंद्रीय) -, - खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण। यह निर्धारित करना आवश्यक है - अक्षों के बारे में अक्षीय क्षण यू, वी, एक कोण द्वारा पहली प्रणाली के सापेक्ष घुमाया गया (चित्र 8)

चूँकि टूटी हुई रेखा OABC का प्रक्षेपण अनुगामी रेखा के प्रक्षेपण के बराबर है, हम पाते हैं:

आइए हम जड़त्व के क्षणों के लिए व्यंजकों में u और v को हटा दें:

आइए पहले दो समीकरणों पर विचार करें। उन्हें पद दर पद जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार, दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग कोण पर निर्भर नहीं करता है और अक्षों के घूमने पर स्थिर रहता है। आइए हम उसी समय ध्यान दें

निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रारंभिक क्षेत्र की दूरी कहां है (चित्र 5 देखें)। इस प्रकार, कोण का उपयोग करके और व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके, हम पाते हैं

इस कोण मान पर, एक अक्षीय क्षण सबसे बड़ा होगा, और दूसरा सबसे छोटा होगा। उसी समय, जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य हो जाता है, जिसे जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण के सूत्र को शून्य के बराबर करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है .

वे अक्ष जिनके बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य है और अक्षीय क्षण चरम मान लेते हैं, कहलाते हैं मुख्य अक्ष.यदि वे भी केंद्रीय हैं (उत्पत्ति का बिंदु अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है), तो उन्हें कहा जाता है मुख्य केंद्रीय अक्ष (यू; वी)।मुख्य अक्षों के परितः जड़त्व के अक्षीय आघूर्ण कहलाते हैं जड़ता के मुख्य क्षण -और

और उनका मूल्य निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

धन चिह्न जड़ता के अधिकतम क्षण से मेल खाता है, ऋण चिह्न न्यूनतम से।

एक और ज्यामितीय विशेषता है - अनुभाग के घुमाव की त्रिज्या. यह मान अक्सर सैद्धांतिक निष्कर्षों और व्यावहारिक गणनाओं में उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष अनुभाग के परिभ्रमण की त्रिज्या 0x, मात्रा कहलाती है , समानता से निर्धारित होता है

एफ- संकर अनुभागीय क्षेत्र,

अनुभाग की जड़ता का अक्षीय क्षण,

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिभ्रमण की त्रिज्या अक्ष 0 से दूरी के बराबर है एक्सउस बिंदु पर जिस पर क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र F को (सशर्त रूप से) केंद्रित किया जाना चाहिए ताकि इस एक बिंदु की जड़ता का क्षण पूरे खंड की जड़ता के क्षण के बराबर हो। खंड और उसके क्षेत्र की जड़ता के क्षण को जानकर, आप 0 अक्ष के सापेक्ष घुमाव की त्रिज्या पा सकते हैं एक्स:

मुख्य अक्षों के अनुरूप परिभ्रमण की त्रिज्याएँ कहलाती हैं जड़त्व की मुख्य त्रिज्याऔर सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं

जड़ता की धुरी

जड़ता की धुरी

मुख्य, तीन परस्पर लंबवत अक्ष k.-l के माध्यम से खींचे गए हैं। शरीर का बिंदु और गुण यह है कि यदि उन्हें समन्वय अक्षों के रूप में लिया जाता है, तो इन अक्षों के सापेक्ष शरीर की केन्द्रापसारक जड़ता शून्य के बराबर होगी। यदि टी.वी एक बिंदु पर स्थिर पिंड को एक अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए रखा जाता है, जो एक निश्चित बिंदु पर प्रकट होता है। मुख्य ओ. और., फिर बाहरी की अनुपस्थिति में शरीर. बल इस अक्ष के चारों ओर घूमते रहेंगे, जैसे कि किसी स्थिर अक्ष के चारों ओर। मुख्य ओ और की अवधारणा। टीवी की गतिशीलता में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। शव.

भौतिक विश्वकोश शब्दकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. . 1983 .

जड़ता की धुरी

मुख्य हैं k.n. के माध्यम से खींची गई तीन परस्पर लंबवत अक्षें। शरीर का बिंदु, इस बिंदु पर शरीर की जड़ता के दीर्घवृत्त के अक्षों के साथ मेल खाता है। मुख्य ओ. तथा. गुण है कि यदि उन्हें समन्वय अक्षों के रूप में लिया जाए, तो इन अक्षों के सापेक्ष शरीर की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर होंगे। उदाहरण के लिए, यदि निर्देशांक अक्षों में से एक। एक्सिस ओह,बात के लिए है के बारे मेंमुख्य ओ. और., जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण, जिसके सूचकांक में अक्ष का नाम शामिल है, अर्थात। मैं xyऔर मैं xz, शून्य के बराबर हैं. यदि एक बिंदु पर स्थिर एक कठोर पिंड को एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन में लाया जाता है, जो किसी दिए गए बिंदु पर मुख्य O. और है, तो बाहरी की अनुपस्थिति में शरीर। बल इस अक्ष के चारों ओर घूमते रहेंगे, जैसे कि किसी स्थिर अक्ष के चारों ओर।

भौतिक विश्वकोश. 5 खंडों में. - एम.: सोवियत विश्वकोश. प्रधान संपादक ए. एम. प्रोखोरोव. 1988 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "जड़त्व अक्ष" क्या है:

मुख्य तीन परस्पर लंबवत अक्ष, जो किसी ठोस पिंड के किसी भी बिंदु के माध्यम से खींचे जा सकते हैं, इस मायने में भिन्न हैं कि यदि इस बिंदु पर स्थिर पिंड को उनमें से किसी एक के चारों ओर घुमाया जाता है, तो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में यह... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

मुख्य, तीन परस्पर लंबवत अक्ष जिन्हें किसी ठोस पिंड के किसी भी बिंदु के माध्यम से खींचा जा सकता है, इसकी विशेषता यह है कि यदि इस बिंदु पर स्थिर पिंड को उनमें से किसी एक के चारों ओर घूर्णन में लाया जाता है, तो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में यह... .. विश्वकोश शब्दकोश

मुख्य, शरीर के कुछ बिंदु के माध्यम से खींची गई तीन परस्पर लंबवत कुल्हाड़ियाँ, जिनमें यह गुण होता है कि, यदि उन्हें समन्वय अक्ष के रूप में लिया जाता है, तो इन अक्षों के सापेक्ष शरीर की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण (जड़ता के क्षण देखें) ... ... महान सोवियत विश्वकोश

मुख्य, तीन परस्पर लंबवत अक्ष, जिन्हें टीवी पर किसी भी बिंदु के माध्यम से खींचा जा सकता है। पिंडों की विशेषता यह है कि यदि इस बिंदु पर स्थिर पिंड को उनमें से किसी एक के चारों ओर घूर्णन में लाया जाता है, तो बाहरी की अनुपस्थिति में ताकत यह जारी रहेगा... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

जड़त्व की मुख्य धुरी- पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के माध्यम से खींची गई तीन परस्पर लंबवत अक्ष, जिनमें यह गुण है कि यदि उन्हें समन्वय अक्ष के रूप में लिया जाए, तो इन अक्षों के सापेक्ष पिंड की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर होंगे...। .. तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

जड़त्व की मुख्य धुरी- शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से खींची गई तीन परस्पर लंबवत अक्ष, जिसमें यह गुण है कि यदि उन्हें समन्वय अक्ष के रूप में लिया जाता है, तो इन अक्षों के सापेक्ष शरीर की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर होंगे...। ..

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मुख्य अक्ष- : यह भी देखें: जड़ता के मुख्य अक्ष, विरूपण के मुख्य अक्ष (टेंसर)... धातुकर्म का विश्वकोश शब्दकोश

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जड़ता का क्षण एक अदिश भौतिक मात्रा है जो किसी पिंड में द्रव्यमान के वितरण को दर्शाता है, जो आधार सेट (बिंदु, रेखा या विमान) से उनकी दूरी के वर्ग द्वारा प्राथमिक द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर होता है। एसआई इकाई: किग्रा वर्ग मीटर... विकिपीडिया

पुस्तकें

• सैद्धांतिक भौतिकी. भाग 3. ठोस यांत्रिकी (दूसरा संस्करण), ए.ए. आइचेनवाल्ड. सैद्धांतिक भौतिकी में इस पाठ्यक्रम का तीसरा भाग भाग II की स्वाभाविक निरंतरता है: यांत्रिकी के बुनियादी सिद्धांत यहां एक ठोस शरीर, यानी एक प्रणाली पर लागू होते हैं...

कार्य 5.3.1: अनुभाग के लिए, अक्षों के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता के अक्षीय क्षण ज्ञात होते हैं X1, y1, x2: , . अक्ष के परितः जड़त्व का अक्षीय आघूर्ण y2बराबर...

1) 1000 सेमी4; 2) 2000 सेमी4; 3) 2500 सेमी4; 4)3000 सेमी4.

समाधान: सही उत्तर 3) है। दो परस्पर लंबवत अक्षों के सापेक्ष खंड की जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग जब अक्षों को एक निश्चित कोण के माध्यम से घुमाया जाता है, स्थिर रहता है, अर्थात

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें प्राप्त होता है:

कार्य 5.3.2: समकोण कोण के खंड के संकेतित केंद्रीय अक्षों में से मुख्य हैं...

1) x3; 2) सब कुछ; 3) x1; 4) x2.

समाधान: सही उत्तर 4) है। सममित वर्गों के लिए, समरूपता के अक्ष जड़त्व के मुख्य अक्ष हैं।

कार्य 5.3.3: जड़त्व की मुख्य धुरी...

• 1) केवल समरूपता के अक्ष पर स्थित बिंदुओं के माध्यम से खींचा जा सकता है;
• 2) केवल एक सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से ही खींचा जा सकता है;
• 3) ये वे अक्ष हैं जिनके बारे में एक सपाट आकृति की जड़ता के क्षण शून्य के बराबर हैं;
• 4) किसी समतल आकृति के किसी भी बिंदु से होकर खींचा जा सकता है।

समाधान: सही उत्तर 4) है। यह आंकड़ा एक मनमाना सपाट आंकड़ा दिखाता है। बिंदु के माध्यम से साथदो परस्पर लंबवत अक्ष खींचे गए हैं यूऔर वी.

सामग्रियों की ताकत के क्रम में यह सिद्ध हो गया है कि यदि इन अक्षों को घुमाया जाए तो उनकी स्थिति निर्धारित की जा सकती है जिसमें क्षेत्र की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य हो जाता है, और इन अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षण चरम मान लेते हैं। ऐसी अक्षों को मुख्य अक्ष कहा जाता है।

कार्य 5.3.4: संकेतित केंद्रीय अक्षों में से, मुख्य अनुभाग अक्ष हैं...

1) हर चीज़; 2) x1और x3; 3) x2और x3; 4)x2और x4.

समाधान: सही उत्तर है 1). सममित वर्गों के लिए, समरूपता के अक्ष जड़त्व के मुख्य अक्ष हैं।

कार्य 5.3.5: वे अक्ष जिनके बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य है और अक्षीय क्षण चरम मान लेते हैं, कहलाते हैं...

• 1) केंद्रीय अक्ष; 2) समरूपता की धुरी;
• 3) मुख्य केंद्रीय अक्ष; 4) मुख्य अक्ष.

समाधान: सही उत्तर 4) है। जब निर्देशांक अक्षों को कोण b द्वारा घुमाया जाता है, तो अनुभाग की जड़ता के क्षण बदल जाते हैं।

मान लीजिए कि निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता के क्षण दिए गए हैं एक्स, य. फिर समन्वय अक्षों की प्रणाली में अनुभाग की जड़ता के क्षण यू, वी, अक्षों के सापेक्ष एक निश्चित कोण पर घूमता है एक्स, य, बराबर हैं

कोण के एक निश्चित मूल्य पर, अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य हो जाता है, और जड़ता के अक्षीय क्षण चरम मान लेते हैं। इन अक्षों को मुख्य अक्ष कहा जाता है।

कार्य 5.3.6: मुख्य केंद्रीय अक्ष के बारे में अनुभाग की जड़ता का क्षण एक्ससीबराबर...

1); 2) ; 3) ; 4) .

समाधान: सही उत्तर है 2)

गणना करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं