5वीं डिग्री समीकरण समाधान उदाहरण. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना

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सबसे पहले, आइए शक्तियों और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद रखें।

किसी संख्या का गुणनफल एस्वयं n बार घटित होता है, हम इस अभिव्यक्ति को a a … a=a n के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए ≠ 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए एन) एम = ए एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम = ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घातों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातांकीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है; यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर है एक्सडिग्री या सूचक.

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक सरल समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

यह उदाहरण आपके दिमाग में भी हल हो सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आख़िरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष बराबर होने के लिए, आपको x के स्थान पर संख्या 3 डालनी होगी।
अब आइए देखें कि इस निर्णय को औपचारिक रूप कैसे दिया जाए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया समान आधार(अर्थात, दो) और जो बचा था उसे लिख लिया, ये डिग्रियाँ हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

आइए अब अपने निर्णय को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण का आधार दाएँ और बाएँ है। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाश रहे हैं।
2. आधार एक समान हो जाने पर, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

आइए अब कुछ उदाहरण देखें:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

बायीं और दायीं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी शक्तियों को बराबर कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण प्राप्त होता है।
x=4 – 2
एक्स=2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं: 3 और 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

सबसे पहले, नौ को दाहिनी ओर ले जाएँ, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2. आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x = (3 2) x+8

हमें 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 मिलता है

3 3x = 3 2x+16 अब यह स्पष्ट है कि बायीं और दायीं ओर आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री को बराबर कर सकते हैं।

3x=2x+16 हमें सबसे सरल समीकरण मिलता है
3x - 2x=16
एक्स=16
उत्तर: x=16.

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार। और हमें चाहिए कि वे भी वैसे ही हों। हम सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करके चारों को रूपांतरित करते हैं।

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य अंक 10 और 24 हमें परेशान करते हैं। उनका क्या करें? यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हमने 2 2x को दोहराया है, यहां उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

आइए कल्पना करें 4=2 2:

2 2x = 2 2 आधार समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं और डिग्री को बराबर करते हैं।
2x = 2 सबसे सरल समीकरण है. इसे 2 से विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1.

आइए समीकरण हल करें:

9 x – 12*3 x +27= 0

आइए परिवर्तित करें:
9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि पहले तीन की डिग्री दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दोगुनी (2x) है। इस मामले में, आप हल कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. हम संख्या को सबसे छोटी डिग्री से बदलते हैं:

तब 3 2x = (3 x) 2 = t 2

हम समीकरण में सभी x शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12टी+27 = 0
हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर लौटना एक्स.

टी 1 लें:
टी 1 = 9 = 3 एक्स

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:
टी 2 = 3 = 3 एक्स
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 = 2; एक्स 2 = 1.

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समूह में शामिल हो

सामान्य तौर पर, 4 से अधिक डिग्री वाले समीकरण को रेडिकल में हल नहीं किया जा सकता है। लेकिन कभी-कभी हम किसी बहुपद के मूल को उच्चतम डिग्री के समीकरण में बाईं ओर पा सकते हैं यदि हम इसे 4 से अधिक की डिग्री तक बहुपद के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करते हैं। ऐसे समीकरणों को हल करना एक बहुपद के गुणनखंडन पर आधारित है, इसलिए हम आपको इस लेख का अध्ययन करने से पहले इस विषय की समीक्षा करने की सलाह देते हैं।

अक्सर आपको पूर्णांक गुणांक वाले उच्च डिग्री के समीकरणों से निपटना पड़ता है। इन मामलों में, हम तर्कसंगत जड़ों को खोजने का प्रयास कर सकते हैं और फिर बहुपद का गुणनखंड कर सकते हैं ताकि हम इसे निम्न डिग्री समीकरण में बदल सकें जिसे हल करना आसान हो। इस सामग्री में हम ऐसे ही उदाहरण देखेंगे।

पूर्णांक गुणांकों के साथ उच्च डिग्री समीकरण

a n x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के सभी समीकरण। . . + a 1 x + a 0 = 0, हम दोनों पक्षों को a n n - 1 से गुणा करके और y = a n x के रूप में परिवर्तनशील परिवर्तन करके समान डिग्री का एक समीकरण बना सकते हैं:

ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। . . + ए 1 एक्स + ए 0 = 0 ए एन एन · एक्स एन + ए एन - 1 · ए एन एन - 1 · एक्स एन - 1 + … + ए 1 · (ए एन) एन - 1 · एक्स + ए 0 · (ए एन) एन - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

परिणामी गुणांक भी पूर्णांक होंगे। इस प्रकार, हमें पूर्णांक गुणांकों के साथ nवीं डिग्री के कम किए गए समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी, जिसका रूप x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 है।

हम समीकरण के पूर्णांक मूलों की गणना करते हैं। यदि समीकरण में पूर्णांक जड़ें हैं, तो आपको उन्हें मुक्त पद a 0 के विभाजकों के बीच ढूंढना होगा। आइए उन्हें लिखें और परिणाम की जाँच करते हुए उन्हें एक-एक करके मूल समानता में प्रतिस्थापित करें। एक बार जब हम पहचान प्राप्त कर लेते हैं और समीकरण की जड़ों में से एक को ढूंढ लेते हैं, तो हम इसे x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 के रूप में लिख सकते हैं। यहां x 1 समीकरण का मूल है, और P n - 1 (x) x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 का भागफल है जो x - x 1 से विभाजित है।

हम लिखे गए शेष विभाजकों को x 1 से प्रारंभ करते हुए P n - 1 (x) = 0 में प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि मूलों को दोहराया जा सकता है। पहचान प्राप्त करने के बाद, मूल x 2 को पाया हुआ माना जाता है, और समीकरण को (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ P n - 2 (x) P n - 1 (x) को x - x 2 से विभाजित करने का भागफल होगा।

हम विभाजकों को क्रमबद्ध करना जारी रखते हैं। आइए सभी पूर्ण मूल ज्ञात करें और उनकी संख्या को m के रूप में निरूपित करें। इसके बाद, मूल समीकरण को x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। यहाँ P n - m (x) n - m घात का एक बहुपद है। गणना के लिए हॉर्नर योजना का उपयोग करना सुविधाजनक है।

यदि हमारे मूल समीकरण में पूर्णांक गुणांक हैं, तो हम अंततः भिन्नात्मक मूल प्राप्त नहीं कर सकते।

हम समीकरण P n - m (x) = 0 के साथ समाप्त हुए, जिसके मूल किसी भी सुविधाजनक तरीके से पाए जा सकते हैं। वे तर्कहीन या जटिल हो सकते हैं.

आइए एक विशिष्ट उदाहरण से दिखाएं कि इस समाधान योजना का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1

स्थिति:समीकरण x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 का हल खोजें।

समाधान

आइए संपूर्ण जड़ें ढूंढ़कर शुरुआत करें।

हमारे पास शून्य से तीन के बराबर एक मुक्त पद है। इसके भाजक 1, - 1, 3 और - 3 के बराबर हैं। आइए उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि उनमें से कौन परिणामी सर्वसमिकाएँ देता है।

x के बराबर एक होने पर, हमें 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि एक इस समीकरण का मूल होगा।

आइए अब बहुपद x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 को एक कॉलम में (x - 1) से विभाजित करें:

तो x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

हमें एक पहचान मिली, जिसका अर्थ है कि हमें समीकरण का एक और मूल मिला, जो - 1 के बराबर है।

एक कॉलम में बहुपद x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 को (x + 1) से विभाजित करें:

हमें वह मिल गया

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

हम अगले भाजक को समानता x 2 + x + 3 = 0 में प्रतिस्थापित करते हैं, - 1 से शुरू करते हुए:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

परिणामी समानताएं गलत होंगी, जिसका अर्थ है कि समीकरण में अब पूर्णांक जड़ें नहीं हैं।

शेष मूल अभिव्यक्ति x 2 + x + 3 के मूल होंगे।

डी = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस द्विघात त्रिपद की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन जटिल संयुग्मी जड़ें हैं: x = - 1 2 ± i 11 2।

आइए स्पष्ट करें कि एक कॉलम में विभाजित करने के बजाय, हॉर्नर की योजना का उपयोग किया जा सकता है। यह इस प्रकार किया जाता है: समीकरण का पहला मूल निर्धारित करने के बाद, हम तालिका भरते हैं।

गुणांकों की तालिका में हम बहुपदों के विभाजन के भागफल के गुणांकों को तुरंत देख सकते हैं, जिसका अर्थ है x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

अगला मूल ज्ञात करने के बाद, जो - 1 है, हमें निम्नलिखित मिलता है:

उत्तर:एक्स = - 1, एक्स = 1, एक्स = - 1 2 ± आई 11 2।

उदाहरण 2

स्थिति:समीकरण x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 को हल करें।

समाधान

मुक्त पद में भाजक 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12 हैं।

आइए उन्हें क्रम से जांचें:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

इसका मतलब है कि x = 2 समीकरण का मूल होगा। हॉर्नर की योजना का उपयोग करके x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 को x - 2 से विभाजित करें:

परिणामस्वरूप, हमें x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 मिलता है।

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

इसका मतलब यह है कि 2 फिर से मूल होगा। x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 को x - 2 से विभाजित करें:

परिणामस्वरूप, हमें (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 मिलता है।

शेष भाजक की जाँच करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि विवेचक का उपयोग करके समानता x 2 + 3 x + 3 = 0 को हल करना तेज़ और अधिक सुविधाजनक है।

आइए द्विघात समीकरण को हल करें:

एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0 डी = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

हमें जड़ों का एक जटिल संयुग्मी युग्म प्राप्त होता है: x = - 3 2 ± i 3 2।

उत्तर: x = - 3 2 ± i 3 2 .

उदाहरण 3

स्थिति:समीकरण x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

हम समीकरण के दोनों ओर 2 3 को गुणा करते हैं:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

चर बदलें y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

परिणामस्वरूप, हमें चौथी डिग्री का एक मानक समीकरण मिला, जिसे मानक योजना के अनुसार हल किया जा सकता है। आइए विभाजकों की जांच करें, विभाजित करें और अंततः पाएं कि इसके 2 वास्तविक मूल y = - 2, y = 3 और दो सम्मिश्र हैं। हम यहां संपूर्ण समाधान प्रस्तुत नहीं करेंगे. प्रतिस्थापन के कारण, इस समीकरण की वास्तविक जड़ें x = y 2 = - 2 2 = - 1 और x = y 2 = 3 2 होंगी।

उत्तर:एक्स 1 = - 1 , एक्स 2 = 3 2

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चलो गौर करते हैं दूसरे से अधिक डिग्री वाले एक चर वाले समीकरणों को हल करना।

समीकरण P(x) = 0 की घात बहुपद P(x) की घात है, अर्थात। इसके पदों की सबसे बड़ी घात जिसका गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 में पांचवीं डिग्री है, क्योंकि कोष्ठकों को खोलने और समान कोष्ठक लाने के संचालन के बाद, हम पाँचवीं डिग्री के समतुल्य समीकरण x 5 - 2x 3 + 3 = 0 प्राप्त करते हैं।

आइए उन नियमों को याद करें जिनकी आवश्यकता दो से अधिक डिग्री वाले समीकरणों को हल करने के लिए होगी।

एक बहुपद के मूल और उसके भाजक के बारे में कथन:

1. nवीं डिग्री के एक बहुपद में जड़ों की संख्या n से अधिक नहीं होती है, और बहुलता m की जड़ें बिल्कुल m बार आती हैं।

2. विषम घात वाले बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

3. यदि α, P(x) का मूल है, तो P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), जहां Q n – 1 (x) घात (n – 1) का एक बहुपद है .

5. पूर्णांक गुणांक वाले घटे हुए बहुपद में भिन्नात्मक परिमेय मूल नहीं हो सकते।

6. तृतीय डिग्री बहुपद के लिए

पी 3 (एक्स) = एएक्स 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी दो चीजों में से एक संभव है: या तो इसे तीन द्विपदों के उत्पाद में विघटित किया जाता है

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), या एक द्विपद और एक वर्ग त्रिपद के गुणनफल में विघटित होता है Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. चौथी डिग्री के किसी भी बहुपद को दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल में विस्तारित किया जा सकता है।

8. एक बहुपद f(x) एक बहुपद g(x) से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होता है यदि कोई बहुपद q(x) इस प्रकार हो कि f(x) = g(x) · q(x)। बहुपदों को विभाजित करने के लिए, "कोण विभाजन" नियम का उपयोग किया जाता है।

9. बहुपद P(x) को द्विपद (x – c) से विभाज्य बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि संख्या c, P(x) का मूल हो (बेज़आउट के प्रमेय का परिणाम)।

10. विएटा का प्रमेय: यदि x 1, x 2, ..., x n बहुपद की वास्तविक जड़ें हैं

पी(एक्स) = ए 0 एक्स एन + ए 1 एक्स एन - 1 + ... + ए एन, तो निम्नलिखित समानताएं मान्य हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 + … + एक्स एन = -ए 1 /ए 0,

एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 3 + … + एक्स एन – 1 एक्स एन = ए 2 /ए 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0।

उदाहरणों को हल करना

उदाहरण 1।

भाग P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 का (x – 1/3) शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम के अनुसार: "एक द्विपद (x - c) से विभाजित बहुपद का शेषफल c के बहुपद के मान के बराबर होता है।" आइए P(1/3) = 0 ज्ञात करें। इसलिए, शेषफल 0 है और संख्या 1/3 बहुपद का मूल है।

उत्तर: आर = 0.

उदाहरण 2.

एक "कोने" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 को (x + 2) से विभाजित करें। शेषफल और अपूर्ण भागफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| एक्स + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

एक्स 2 – 2 एक्स

उत्तर: आर = 3; भागफल: 2x 2 – x.

उच्च डिग्री समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ

1. एक नये चर का परिचय

एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि द्विघात समीकरणों के उदाहरण से पहले से ही परिचित है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि समीकरण f(x) = 0 को हल करने के लिए, एक नया चर (प्रतिस्थापन) t = x n या t = g(x) पेश किया जाता है और f(x) को t के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जिससे एक नया समीकरण r प्राप्त होता है। (टी)। फिर समीकरण r(t) को हल करने पर मूल ज्ञात होते हैं:

(टी 1, टी 2, …, टी एन)। इसके बाद n समीकरण q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n का एक सेट प्राप्त होता है, जिससे मूल समीकरण के मूल ज्ञात होते हैं।

उदाहरण 1।

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

समाधान:

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 – 3(एक्स 2 + एक्स) – 1 = 0.

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 – 3(एक्स 2 + एक्स + 1) + 3 – 1 = 0.

प्रतिस्थापन (x 2 + x + 1) = t.

टी 2 – 3टी + 2 = 0.

टी 1 = 2, टी 2 = 1. उलटा प्रतिस्थापन:

एक्स 2 + एक्स + 1 = 2 या एक्स 2 + एक्स + 1 = 1;

एक्स 2 + एक्स - 1 = 0 या एक्स 2 + एक्स = 0;

उत्तर: पहले समीकरण से: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, दूसरे से: 0 और -1.

2. समूहीकरण और संक्षिप्त गुणन सूत्रों द्वारा गुणनखंडन

इस पद्धति का आधार भी नया नहीं है और इसमें शब्दों को इस तरह समूहीकृत करना शामिल है कि प्रत्येक समूह में एक सामान्य कारक शामिल हो। ऐसा करने के लिए कभी-कभी कुछ कृत्रिम तकनीकों का उपयोग करना आवश्यक होता है।

उदाहरण 1।

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

समाधान।

आइए कल्पना करें - 3x 2 = -2x 2 – x 2 और समूह:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(एक्स 2 – 1) 2 – (एक्स – 2) 2 = 0.

(एक्स 2 – 1 – एक्स + 2)(एक्स 2 – 1 + एक्स - 2) = 0.

(एक्स 2 – एक्स + 1)(एक्स 2 + एक्स – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 या x 2 + x – 3 = 0.

उत्तर: पहले समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं, दूसरे से: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2।

3. अनिर्धारित गुणांकों की विधि द्वारा गुणनखंडन

विधि का सार यह है कि मूल बहुपद को अज्ञात गुणांकों के साथ गुणनखंडित किया जाता है। इस गुण का उपयोग करते हुए कि बहुपद समान होते हैं यदि उनके गुणांक समान घातों पर समान हों, तो अज्ञात विस्तार गुणांक पाए जाते हैं।

उदाहरण 1।

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

समाधान।

घात 3 के बहुपद को रैखिक और द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विस्तारित किया जा सकता है।

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (बी - ए)x 2 + (सीएक्स - एबी)एक्स - एसी।

सिस्टम को हल करने के बाद:

(बी - ए = 4,
(सी - एबी = 5,
(-एसी = 2,

(ए = -1,
(बी = 3,
(सी = 2, यानी

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

समीकरण (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 के मूल खोजना आसान है।

उत्तर 1; -2.

4. उच्चतम और मुक्त गुणांक का उपयोग करके जड़ का चयन करने की विधि

यह विधि प्रमेयों के अनुप्रयोग पर आधारित है:

1) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का प्रत्येक पूर्णांक मूल मुक्त पद का विभाजक होता है।

2) अघुलनशील भिन्न p/q (p - पूर्णांक, q - प्राकृतिक) को पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण का मूल बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि संख्या p मुक्त पद a 0 का पूर्णांक विभाजक हो, और q - अग्रणी गुणांक का एक प्राकृतिक विभाजक।

उदाहरण 1।

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

समाधान:

6: क्यू = 1, 2, 3, 6.

इसलिए, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6।

एक मूल खोजने के बाद, उदाहरण के लिए - 2, हम कोने के विभाजन, अनिश्चित गुणांक की विधि या हॉर्नर की योजना का उपयोग करके अन्य जड़ें ढूंढेंगे।

उत्तर:-2; 1/2; 1/3.

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मूल लक्ष्य:

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उच्च डिग्री (एन) के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों का निर्माण करें > 3).
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छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।
मंच का उद्देश्य: पहले अध्ययन किए गए संबंधित विषयों पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना
एक नये विषय (व्याख्यान) का अध्ययन करना। चरण का लक्ष्य: उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों को तैयार करना (एन)। > 3)
संक्षेपण।
मंच का उद्देश्य: पाठ में अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को एक बार फिर से उजागर करना।
गृहकार्य।
मंच का उद्देश्य: छात्रों के लिए होमवर्क तैयार करना।

पाठ सारांश

1. संगठनात्मक क्षण.

पाठ विषय का निरूपण: “उच्च शक्तियों के समीकरण। उन्हें हल करने के तरीके।"

2. विद्यार्थियों के ज्ञान को अद्यतन करना।

सैद्धांतिक सर्वेक्षण - बातचीत. सिद्धांत से पहले अध्ययन की गई कुछ जानकारी की पुनरावृत्ति। छात्र बुनियादी परिभाषाएँ बनाते हैं और आवश्यक प्रमेय बनाते हैं। पहले अर्जित ज्ञान के स्तर को प्रदर्शित करने के लिए उदाहरण दीजिए।

एक चर वाले समीकरण की अवधारणा.
किसी समीकरण के मूल की अवधारणा, किसी समीकरण का समाधान।
एक चर वाले रैखिक समीकरण की अवधारणा, एक चर वाले द्विघात समीकरण की अवधारणा।
समीकरणों की समतुल्यता की अवधारणा, समीकरण-परिणाम (बाहरी जड़ों की अवधारणा), परिणाम से नहीं संक्रमण (मूलों के नुकसान का मामला)।
एक चर के साथ संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति की अवधारणा।
संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की अवधारणा एनवें डिग्री. संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण का मानक रूप। संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण कम हो गया।
मूल समीकरण को गुणनखंडित करके निम्न डिग्री के समीकरणों के एक सेट में संक्रमण।
बहुपद की अवधारणा एनसेवीं डिग्री एक्स. बेज़ाउट का प्रमेय. बेज़ाउट के प्रमेय से परिणाम। मूल प्रमेय ( जेड-जड़ें और क्यू-मूल) पूर्णांक गुणांकों (क्रमशः कम और कम) के साथ एक संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की।
हॉर्नर की योजना.

3. किसी नये विषय का अध्ययन करना।

हम संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण पर विचार करेंगे एनएक अज्ञात चर के साथ मानक रूप की -वीं शक्ति एक्स:पीएन(एक्स)= 0, कहाँ पी एन (एक्स) = ए एन एक्स एन + ए एन-1 एक्स एन-1 + ए 1 एक्स + ए 0– बहुपद एनसेवीं डिग्री एक्स, एएन ≠ 0. अगर ए n = 1 तो ऐसे समीकरण को लघु पूर्णांक परिमेय समीकरण कहा जाता है एनवें डिग्री. आइए विभिन्न मूल्यों के लिए ऐसे समीकरणों पर विचार करें एनऔर उन्हें हल करने की मुख्य विधियाँ सूचीबद्ध करें।

एन= 1 – रैखिक समीकरण.

एन= 2 – द्विघात समीकरण.विभेदक सूत्र. जड़ों की गणना के लिए सूत्र. विएटा का प्रमेय. एक पूर्ण वर्ग का चयन करना.

एन= 3 – घन समीकरण.

समूहीकरण विधि.

उदाहरण: एक्स 3 - 4एक्स 2 - एक्स+ 4 = 0 (एक्स – 4)(एक्स 2– 1) = 0 एक्स 1 = 4 , एक्स 2 = 1,एक्स 3 = -1.

प्रपत्र का व्युत्क्रम घन समीकरण कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + बीएक्स + ए= 0. हम समान गुणांक वाले पदों को मिलाकर हल करते हैं।

उदाहरण: एक्स 3 – 5एक्स 2 – 5एक्स + 1 = 0 (एक्स + 1)(एक्स 2 – 6एक्स + 1) = 0 एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 3 + 2, एक्स 3 = 3 – 2.

प्रमेय के आधार पर Z-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना. इस पद्धति को लागू करते समय, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि इस मामले में खोज सीमित है, और हम प्रमेय के अनुसार एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं। जेड-पूर्णांक गुणांकों के साथ दिए गए संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की जड़ें।

उदाहरण: एक्स 3 – 9एक्स 2 + 23एक्स– 15 = 0. समीकरण दिया गया है. आइए हम मुक्त पद के विभाजक लिखें ( + 1; + 3; + 5; + 15). आइए हॉर्नर की योजना लागू करें:

	एक्स 3	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0	निष्कर्ष
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1-जड़
	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0

हम पाते हैं ( एक्स – 1)(एक्स 2 – 8एक्स + 15) = 0 एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 3, एक्स 3 = 5.

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. प्रमेय के आधार पर Q-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना. इस पद्धति को लागू करते समय, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि इस मामले में खोज सीमित है और हम प्रमेय के अनुसार एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं क्यू-पूर्णांक गुणांकों के साथ एक अघटीकृत पूर्णांक परिमेय समीकरण की जड़ें।

उदाहरण: 9 एक्स 3 + 27एक्स 2 – एक्स– 3 = 0. समीकरण अप्रमाणित है। आइए हम मुक्त पद के विभाजक लिखें ( + 1; + 3). आइए हम अज्ञात की उच्चतम घात पर गुणांक के विभाजक लिखें। ( + 1; + 3; + 9) नतीजतन, हम मूल्यों के बीच जड़ों की तलाश करेंगे ( + 1; + ; + ; + 3). आइए हॉर्नर की योजना लागू करें:

	एक्स 3	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0	निष्कर्ष
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 - जड़ नहीं
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 - जड़ नहीं
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	जड़
	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0

हम पाते हैं ( एक्स – )(9एक्स 2 + 30एक्स + 9) = 0 एक्स 1 = , एक्स 2 = - , एक्स 3 = -3.

Q का चयन करते समय गणना में आसानी के लिए -जड़ेंचर में परिवर्तन करना, दिए गए समीकरण पर जाना और Z का चयन करना सुविधाजनक हो सकता है -जड़ें.

यदि डमी पद 1 है

.

यदि आप प्रपत्र के प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं वाई = केएक्स

.

कार्डानो फॉर्मूला. घन समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है - यह कार्डानो सूत्र है। यह सूत्र इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो (1501-1576), निकोलो टार्टाग्लिया (1500-1557) और स्किपियोन डेल फेरो (1465-1526) के नामों से जुड़ा है। यह फ़ॉर्मूला हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है.

एन= 4 – चौथी डिग्री का समीकरण.

समूहीकरण विधि.

उदाहरण: एक्स 4 + 2एक्स 3 + 5एक्स 2 + 4एक्स – 12 = 0 (एक्स 4 + 2एक्स 3) + (5एक्स 2 + 10एक्स) – (6एक्स + 12) = 0 (एक्स + 2)(एक्स 3 + 5एक्स - 6) = 0 (एक्स + 2)(एक्स– 1)(एक्स 2 + एक्स + 6) = 0 एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 1.

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.

रूप का द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + एस = 0 .

उदाहरण: एक्स 4 + 5एक्स 2 - 36 = 0. प्रतिस्थापन य = एक्स 2. यहाँ से य 1 = 4, य 2 = -9. इसीलिए एक्स 1,2 = + 2 .

प्रपत्र की चौथी डिग्री का पारस्परिक समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3+सी एक्स 2 + बीएक्स + ए = 0.

हम प्रपत्र को प्रतिस्थापित करके समान गुणांक वाले पदों को संयोजित करके हल करते हैं

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 – बीएक्स + ए = 0.

फॉर्म की चौथी डिग्री का सामान्यीकृत आवर्ती समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 + केबीएक्स + क 2ए = 0.

सामान्य प्रतिस्थापन. कुछ मानक प्रतिस्थापन.

उदाहरण 3 . सामान्य दृश्य प्रतिस्थापन(विशिष्ट समीकरण के प्रकार से अनुसरण करता है)।

एन = 3.

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. Q- जड़ों का चयन एन = 3.

सामान्य सूत्र. चतुर्थ डिग्री समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है। यह फॉर्मूला लुडोविको फेरारी (1522-1565) के नाम से जुड़ा है। यह फ़ॉर्मूला हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है.

एन > 5 - पाँचवीं और उच्चतर डिग्री के समीकरण।

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. प्रमेय के आधार पर Z-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना. एल्गोरिथ्म ऊपर चर्चा के समान है एन = 3.

पूर्णांक गुणांकों वाला समीकरण. Q- जड़ों का चयनप्रमेय के आधार पर. हॉर्नर की योजना. एल्गोरिथ्म ऊपर चर्चा के समान है एन = 3.

सममित समीकरण. विषम डिग्री के किसी भी पारस्परिक समीकरण का एक मूल होता है एक्स= -1 और इसे कारकों में विभाजित करने के बाद हम पाते हैं कि एक कारक का रूप है ( एक्स+ 1), और दूसरा कारक सम डिग्री का व्युत्क्रम समीकरण है (इसकी डिग्री मूल समीकरण की डिग्री से एक कम है)। सम अंश का कोई भी पारस्परिक समीकरण एक मूल के साथ मिलकर बनता है एक्स = φइसमें प्रजाति की जड़ भी शामिल है। इन कथनों का उपयोग करके, हम अध्ययन के तहत समीकरण की डिग्री को कम करके समस्या का समाधान करते हैं।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि. समरूपता का प्रयोग.

पाँचवीं डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है (यह इतालवी गणितज्ञ पाओलो रफ़िनी (1765-1822) और नॉर्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल (1802-1829) द्वारा दिखाया गया था) और उच्च डिग्री (यह द्वारा दिखाया गया था) फ़्रांसीसी गणितज्ञ एवरिस्ट गैलोइस (1811-1832) )).

आइए एक बार फिर याद करें कि व्यवहार में इसका उपयोग संभव है युग्मऊपर सूचीबद्ध तरीके. इससे कम डिग्री वाले समीकरणों के सेट को पास करना सुविधाजनक है मूल समीकरण का गुणनखंडन.
आज हमारी चर्चा के दायरे से बाहर वे हैं जो व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। चित्रमय तरीकेसमीकरणों को हल करना और अनुमानित समाधान विधियाँउच्च डिग्री के समीकरण.

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब समीकरण में R-मूल नहीं होते हैं।

एक्स

कार्यों की एकरसता के गुण का उपयोग करना

एक्स

4. सारांश.

सारांश: अब हमने उच्च डिग्री (एन के लिए) के विभिन्न समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों में महारत हासिल कर ली है > 3). हमारा काम यह सीखना है कि ऊपर सूचीबद्ध एल्गोरिदम का प्रभावी ढंग से उपयोग कैसे करें। समीकरण के प्रकार के आधार पर, हमें यह निर्धारित करना सीखना होगा कि किसी दिए गए मामले में समाधान की कौन सी विधि सबसे प्रभावी है, साथ ही चुनी गई विधि को सही ढंग से लागू करना होगा।

5. गृहकार्य.

: पैराग्राफ 7, पृ. 164-174, संख्या 33-36, 39-44, 46.47।

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

इस विषय पर रिपोर्ट या सार के लिए संभावित विषय:

कार्डानो फॉर्मूला
समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि. समाधान के उदाहरण.
समीकरणों के अनुमानित समाधान की विधियाँ।

विद्यार्थियों के सीखने और विषय में रुचि का विश्लेषण:

अनुभव से पता चलता है कि छात्रों की रुचि मुख्य रूप से चयन की संभावना से पैदा होती है जेड-जड़ें और क्यू- हॉर्नर की योजना का उपयोग करके काफी सरल एल्गोरिदम का उपयोग करके समीकरणों की जड़ें। छात्र विभिन्न मानक प्रकार के चरों के प्रतिस्थापन में भी रुचि रखते हैं, जो समस्या के प्रकार को काफी सरल बना सकते हैं। ग्राफ़िकल समाधान विधियाँ आमतौर पर विशेष रुचि रखती हैं। इस मामले में, आप समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि का उपयोग करके समस्याओं का अतिरिक्त विश्लेषण कर सकते हैं; घात 3, 4, 5 वाले बहुपद के लिए ग्राफ़ के सामान्य रूप पर चर्चा कर सकेंगे; विश्लेषण करें कि डिग्री 3, 4, 5 के समीकरणों की जड़ों की संख्या संबंधित ग्राफ़ की उपस्थिति से कैसे संबंधित है। नीचे पुस्तकों की एक सूची दी गई है जहाँ आप इस विषय पर अतिरिक्त जानकारी पा सकते हैं।

ग्रंथ सूची:

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स्कूली बच्चों के लिए पोर्टल। स्व तैयारी

पूर्णांक गुणांकों के साथ उच्च डिग्री समीकरण

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