अभिन्न (अंतिम) रूप. किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय: किसी भौतिक बिंदु के कुछ विस्थापन पर उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर इस बिंदु पर कार्य करने वाले सभी बलों के कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है.

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय तैयार किया गया है: एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन जब वह एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाती है, इस गति के दौरान प्रणाली पर लागू सभी बाहरी और आंतरिक बलों के कार्य के योग के बराबर होती है:

एक अपरिवर्तनीय प्रणाली के मामले में, किसी भी विस्थापन पर आंतरिक बलों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य () के बराबर है, तो

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम.जब एक यांत्रिक प्रणाली उन ताकतों के प्रभाव में चलती है जिनमें क्षमता होती है, तो सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन निर्भरता द्वारा निर्धारित होते हैं:

कहाँ ,

किसी निकाय की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग कहलाता है कुल यांत्रिक ऊर्जासिस्टम.

इस प्रकार, जब एक यांत्रिक प्रणाली एक स्थिर संभावित क्षेत्र में चलती है, तो गति के दौरान प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है.

काम।एक यांत्रिक प्रणाली, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, आराम की स्थिति से गति में आती है। शरीर 3 के फिसलने वाले घर्षण को ध्यान में रखते हुए, अन्य प्रतिरोध बलों और धागे के द्रव्यमान को अनदेखा करते हुए, जिसे अविस्तारित माना जाता है, उस समय शरीर 1 की गति और त्वरण निर्धारित करें जब इसके द्वारा तय किया गया पथ बराबर हो जाता है एस(चित्र 3.70)।

कार्य में, स्वीकार करें:

समाधान।यांत्रिक प्रणाली पर सक्रिय बलों द्वारा कार्य किया जाता है। सिस्टम को बाधाओं से मुक्त करने के सिद्धांत को लागू करते हुए, हम टिका-स्थिर समर्थन 2 और खुरदरी झुकी हुई सतह की प्रतिक्रियाओं को दिखाएंगे। हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए प्रणाली के पिंडों के वेगों की दिशाओं को चित्रित करेंगे कि पिंड 1 नीचे की ओर गिर रहा है।

आइए एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय को लागू करके समस्या का समाधान करें:

कहाँ टीऔर प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में सिस्टम की गतिज ऊर्जा है; - सिस्टम को प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक ले जाने के लिए सिस्टम पर लागू बाहरी बलों द्वारा किए गए कार्य का बीजगणितीय योग; - समान विस्थापन पर सिस्टम की आंतरिक शक्तियों द्वारा किए गए कार्य का योग।

विचाराधीन प्रणाली के लिए, जिसमें अविस्तारित धागों से जुड़े बिल्कुल कठोर निकाय शामिल हैं:

चूंकि सिस्टम प्रारंभिक स्थिति में आराम पर था, तब। इस तरह:

निकाय की गतिज ऊर्जा पिंडों 1, 2, 3 की गतिज ऊर्जाओं का योग है:

आगे बढ़ने वाले भार 1 की गतिज ऊर्जा बराबर होती है:

एक अक्ष के चारों ओर घूमते हुए ब्लॉक 2 की गतिज ऊर्जा आउंस, ड्राइंग विमान के लंबवत:

आगे की गति में पिंड 3 की गतिज ऊर्जा:

इस प्रकार,

गतिज ऊर्जा की अभिव्यक्ति में प्रणाली के सभी पिंडों के अज्ञात वेग शामिल होते हैं। परिभाषा की शुरुआत इससे होनी चाहिए. आइए कनेक्शन के समीकरण बनाकर अनावश्यक अज्ञात से छुटकारा पाएं।

बाधा समीकरण प्रणाली में बिंदुओं के वेग और गति के बीच गतिक संबंधों से अधिक कुछ नहीं हैं। बाधा समीकरणों की रचना करते समय, हम लोड 1 की गति और गति के माध्यम से सिस्टम के निकायों की सभी अज्ञात गति और गतिविधियों को व्यक्त करेंगे।

छोटी त्रिज्या के रिम पर किसी भी बिंदु की गति पिंड 1 की गति के बराबर होती है, साथ ही पिंड 2 की कोणीय गति और घूर्णन की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर होती है। आर:

यहां से हम पिंड 2 का कोणीय वेग व्यक्त करते हैं:

बड़े त्रिज्या वाले ब्लॉक के रिम पर किसी भी बिंदु की घूर्णन गति, एक ओर, ब्लॉक की कोणीय गति और घूर्णन की त्रिज्या के उत्पाद के बराबर होती है, और दूसरी ओर, पिंड की गति 3 के बराबर होती है। :

कोणीय वेग के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रारंभिक स्थितियों के तहत एकीकृत अभिव्यक्ति (ए) और (बी) होने पर, हम सिस्टम के बिंदुओं के विस्थापन का अनुपात लिखते हैं:

सिस्टम के बिंदुओं के वेगों की बुनियादी निर्भरता को जानने के बाद, हम गतिज ऊर्जा की अभिव्यक्ति पर लौटते हैं और इसमें समीकरण (ए) और (बी) प्रतिस्थापित करते हैं:

पिंड 2 का जड़त्व आघूर्ण बराबर है:

पिंड द्रव्यमान के मान और पिंड 2 की जड़ता के क्षण को प्रतिस्थापित करते हुए, हम लिखते हैं:

किसी दिए गए विस्थापन पर सिस्टम के सभी बाहरी बलों के कार्य का योग निर्धारित करना।

अब, एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के अनुसार, हम मूल्यों को बराबर करते हैं टीऔर

शरीर 1 की गति अभिव्यक्ति (जी) से प्राप्त की जाती है

समय के संबंध में समानता (जी) को अलग करके शरीर 1 का त्वरण निर्धारित किया जा सकता है।

आइए हम गति की एक और बुनियादी गतिशील विशेषता - गतिज ऊर्जा की अवधारणा का परिचय दें। किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है जो बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

गतिज ऊर्जा के माप की इकाई कार्य के समान है (SI - 1 J में)। आइए वह संबंध खोजें जो इन दोनों मात्राओं को जोड़ता है।

आइए एक भौतिक बिंदु पर विचार करें जिसका द्रव्यमान उस स्थिति से जहां उसकी गति है उस स्थिति की ओर बढ़ रहा है जहां उसकी गति है

वांछित निर्भरता प्राप्त करने के लिए, आइए हम गतिकी के मूल नियम को व्यक्त करने वाले समीकरण की ओर मुड़ें। इसके दोनों हिस्सों को गति की दिशा में निर्देशित बिंदु एम के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर प्रक्षेपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आइए हम यहां फॉर्म में शामिल बिंदु के स्पर्शरेखीय त्वरण का प्रतिनिधित्व करें

परिणामस्वरूप, हम उसे पाते हैं

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को गुणा करें और इसे अंतर चिह्न के नीचे दर्ज करें। फिर, यह देखते हुए कि बल का प्रारंभिक कार्य कहां है, हम एक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय की अभिव्यक्ति को विभेदक रूप में प्राप्त करते हैं:

अब इस समानता के दोनों पक्षों को बिंदुओं पर चर के मूल्यों के अनुरूप सीमाओं के भीतर एकीकृत करने के बाद, हम अंततः पाएंगे

समीकरण (52) एक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बारे में प्रमेय को अंतिम रूप में व्यक्त करता है: कुछ विस्थापन के दौरान एक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बिंदु पर कार्य करने वाले सभी बलों के कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है वही विस्थापन.

अस्वतंत्र आंदोलन का मामला. जब बिंदु गैर-मुक्त तरीके से चलता है, तो समानता के दाईं ओर (52) में दिए गए (सक्रिय) बलों का कार्य और युग्मन प्रतिक्रिया का कार्य शामिल होगा। आइए हम स्वयं को एक स्थिर चिकनी (घर्षण रहित) सतह या वक्र के अनुदिश एक बिंदु की गति पर विचार करने तक सीमित रखें। इस मामले में, प्रतिक्रिया एन (चित्र 233 देखें) बिंदु के प्रक्षेपवक्र के सामान्य रूप से निर्देशित होगी। फिर, सूत्र (44) के अनुसार, बिंदु की किसी भी गति के लिए एक स्थिर चिकनी सतह (या वक्र) का प्रतिक्रिया कार्य शून्य के बराबर होगा, और समीकरण (52) से हम प्राप्त करते हैं

नतीजतन, एक स्थिर चिकनी सतह (या वक्र) के साथ चलते समय, एक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बिंदु पर लागू सक्रिय बलों के इस आंदोलन पर किए गए कार्य के योग के बराबर होता है।

यदि सतह (वक्र) चिकनी नहीं है, तो घर्षण बल का कार्य सक्रिय बलों के कार्य में जोड़ा जाएगा (देखें § 88)। यदि सतह (वक्र) गतिमान है, तो बिंदु M का पूर्ण विस्थापन N के लंबवत नहीं हो सकता है और फिर प्रतिक्रिया कार्य N शून्य के बराबर नहीं होगा (उदाहरण के लिए, लिफ्ट प्लेटफ़ॉर्म का प्रतिक्रिया कार्य)।

समस्या को सुलझाना। गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय [सूत्र (52)], यह जानने की अनुमति देता है कि जब कोई बिंदु चलता है तो बिंदु की गति कैसे बदलती है, अभिनय बलों के काम को निर्धारित करने के लिए (गतिकी की पहली समस्या) या, के काम को जानना अभिनय बल, यह निर्धारित करने के लिए कि चलते समय एक बिंदु की गति कैसे बदलती है (गतिकी की दूसरी समस्या)। दूसरी समस्या को हल करते समय, जब बल दिए जाते हैं, तो उनके कार्य की गणना करना आवश्यक होता है। जैसा कि सूत्र (44), (44) से देखा जा सकता है, यह केवल तभी किया जा सकता है जब बल स्थिर हों या केवल गतिमान बिंदु की स्थिति (निर्देशांक) पर निर्भर हों, जैसे लोच या गुरुत्वाकर्षण बल (§88 देखें) ).

इस प्रकार, गतिशीलता की दूसरी समस्या को हल करने के लिए सूत्र (52) का सीधे उपयोग किया जा सकता है, जब समस्या में डेटा और आवश्यक मात्राएं शामिल होती हैं: अभिनय बल, एक बिंदु का विस्थापन और इसके प्रारंभिक और अंतिम वेग (यानी, मात्राएं), और बल स्थिर होना चाहिए या केवल बिंदु की स्थिति (निर्देशांक) पर निर्भर होना चाहिए।

विभेदक रूप में प्रमेय [सूत्र (51)], निश्चित रूप से, किसी भी अभिनय बल के लिए लागू किया जा सकता है।

समस्या 98. ऊंचाई पर स्थित बिंदु A (चित्र 235) से गति के साथ फेंके गए किलोग्राम भार वाले भार की गिरने के बिंदु C पर गति होती है। निर्धारित करें कि भार पर कार्य करने वाले वायु प्रतिरोध बल द्वारा किया गया कार्य क्या है इसके आंदोलन के दौरान

समाधान। जैसे ही भार चलता है, गुरुत्वाकर्षण बल P और वायु प्रतिरोध बल R भार पर कार्य करते हैं। गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के अनुसार, भार को एक भौतिक बिंदु मानते हुए, हमारे पास है

इस समानता से, चूँकि सूत्र के अनुसार हम पाते हैं

समस्या 99. समस्या 96 की शर्तों के तहत (देखें [§ 84), निर्धारित करें कि रुकने से पहले भार किस पथ से यात्रा करेगा (चित्र 223 देखें, भार की प्रारंभिक स्थिति कहाँ है, और अंतिम स्थिति है)।

समाधान। समस्या 96 के अनुसार, भार पर बल पी, एन, एफ द्वारा कार्य किया जाता है। ब्रेकिंग दूरी निर्धारित करने के लिए, यह ध्यान में रखते हुए कि इस समस्या की स्थितियों में एक स्थिर बल एफ भी शामिल है, हम परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करेंगे। गतिज ऊर्जा

विचाराधीन मामले में - रुकने के समय भार की गति)। इसके अलावा, चूँकि बल P और N विस्थापन के लंबवत हैं, परिणामस्वरूप, हम वहीं से प्राप्त करते हैं जहाँ से हम पाते हैं

समस्या 96 के परिणामों के अनुसार, ब्रेकिंग का समय प्रारंभिक गति के अनुपात में बढ़ता है, और ब्रेकिंग दूरी, जैसा कि हमने पाया, प्रारंभिक गति के वर्ग के समानुपाती होती है। जब इसे जमीनी परिवहन पर लागू किया जाता है, तो इससे पता चलता है कि बढ़ती गति के साथ खतरा कैसे बढ़ता है।

समस्या 100. भार P का एक भार l लंबाई के एक धागे पर लटकाया जाता है। भार के साथ धागा एक कोण पर ऊर्ध्वाधर से विक्षेपित होता है (चित्र 236, a) और प्रारंभिक गति के बिना जारी किया जाता है। चलते समय, एक प्रतिरोध बल आर लोड पर कार्य करता है, जिसे हम लगभग इसके औसत मूल्य से बदल देते हैं। उस समय लोड की गति ज्ञात करें जब धागा ऊर्ध्वाधर के साथ एक कोण बनाता है

समाधान। समस्या की स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हम फिर से प्रमेय (52) का उपयोग करते हैं:

भार पर गुरुत्वाकर्षण बल पी द्वारा कार्य किया जाता है, प्रतिरोध धागे की प्रतिक्रिया, इसके औसत मूल्य आर द्वारा दर्शायी जाती है। बल पी के लिए, बल एन के लिए सूत्र (47) के अनुसार, चूंकि हम अंततः बल प्राप्त करते हैं चूंकि, सूत्र (45) के अनुसार यह होगा (चाप की लंबाई प्रति केंद्रीय कोण के उत्पाद त्रिज्या एल के बराबर है)। इसके अलावा, समस्या की स्थितियों के अनुसार, परिणाम में समानता (ए) देती है:

प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, हमें यहां से प्रसिद्ध गैलीलियो सूत्र प्राप्त होता है, जो स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से गिरने वाले भार की गति के लिए भी मान्य है (चित्र 236, बी)।

विचाराधीन समस्या में, फिर, एक और संकेतन - भार के प्रति इकाई भार का औसत प्रतिरोध बल) का परिचय देते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

समस्या 101. विकृत अवस्था में, वाल्व स्प्रिंग की लंबाई सेमी होती है। जब वाल्व पूरी तरह से खुला होता है, तो इसकी लंबाई सेमी होती है, और वाल्व लिफ्ट की ऊंचाई सेमी होती है (चित्र 237)। स्प्रिंग कठोरता वाल्व वजन किग्रा. गुरुत्वाकर्षण और प्रतिरोध बलों के प्रभाव की उपेक्षा करते हुए, वाल्व बंद होने के समय उसकी गति निर्धारित करें।

समाधान, आइए समीकरण का उपयोग करें

समस्या की परिस्थितियों के अनुसार स्प्रिंग के प्रत्यास्थ बल द्वारा ही कार्य किया जाता है। फिर, सूत्र (48) के अनुसार यह होगा

इस मामले में

इसके अलावा, इन सभी मानों को समीकरण (ए) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंततः प्राप्त करते हैं

समस्या 102. एक लोचदार बीम के बीच में पड़ा हुआ भार (चित्र 238) इसे एक मात्रा (बीम का सांख्यिकीय विक्षेपण) से विक्षेपित करता है। बीम के वजन की उपेक्षा करते हुए, निर्धारित करें कि इसका अधिकतम विक्षेपण भार के बराबर होगा ऊँचाई H से बीम पर गिरता है।

समाधान। पिछली समस्या की तरह, हम हल करने के लिए समीकरण (52) का उपयोग करेंगे। इस स्थिति में, भार की प्रारंभिक गति और उसकी अंतिम गति (बीम के अधिकतम विक्षेपण के समय) शून्य के बराबर होती है और समीकरण (52) का रूप लेता है

यहां कार्य विस्थापन पर गुरुत्वाकर्षण बल पी और विस्थापन पर बीम एफ के लोचदार बल द्वारा किया जाता है। इसके अलावा, बीम के लिए इन मात्राओं को समानता (ए) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

लेकिन जब भार बीम पर संतुलन में होता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल लोच के बल द्वारा संतुलित होता है, इसलिए, पिछली समानता को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

इस द्विघात समीकरण को हल करते हुए और उसे ध्यान में रखते हुए स्थितियों के अनुसार हमें समस्या ढूंढनी चाहिए

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि जब यह निकलता है इसलिए, यदि कोई भार क्षैतिज बीम के बीच में रखा जाता है, तो भार कम करते समय इसका अधिकतम विक्षेपण स्थैतिक के दोगुने के बराबर होगा। इसके बाद, भार संतुलन स्थिति के चारों ओर बीम के साथ दोलन करना शुरू कर देगा। प्रतिरोध के प्रभाव के तहत, ये दोलन कम हो जाएंगे और सिस्टम ऐसी स्थिति में संतुलित हो जाएगा जिसमें बीम का विक्षेपण बराबर होगा

समस्या 103. न्यूनतम लंबवत निर्देशित प्रारंभिक वेग निर्धारित करें जो शरीर को प्रदान किया जाना चाहिए ताकि यह पृथ्वी की सतह से एक निश्चित ऊंचाई एच तक बढ़ सके (चित्र 239)। आकर्षण बल को वस्तु के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती माना जाता है। पृथ्वी के केंद्र से दूरी. वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

समाधान। पिंड को द्रव्यमान वाला एक भौतिक बिंदु मानते हुए, हम समीकरण का उपयोग करते हैं

यहां कार्य गुरुत्वाकर्षण बल F द्वारा किया जाता है। फिर, सूत्र (50) का उपयोग करते हुए, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि इस मामले में जहां R पृथ्वी की त्रिज्या है, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि उच्चतम बिंदु पर, कार्य के पाए गए मूल्य के साथ, समीकरण (ए) देता है

आइए विशेष मामलों पर विचार करें:

a) H को R की तुलना में बहुत छोटा होने दें। फिर - शून्य के करीब का मान। अंश और हर को विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार, छोटे H के लिए हम गैलीलियो के सूत्र पर पहुँचते हैं;

बी) आइए जानें कि फेंका गया पिंड किस प्रारंभिक गति से अनंत तक जाएगा। अंश और हर को ए से विभाजित करने पर, हमें मिलता है

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संक्षिप्त समीक्षा

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किसी भौतिक बिंदु या बिंदु प्रणाली की यांत्रिक गति के परिवर्तन के दो मामले:

1. यांत्रिक गति को यांत्रिक गति के रूप में एक यांत्रिक प्रणाली से दूसरे में स्थानांतरित किया जाता है;
2. यांत्रिक गति पदार्थ की गति के दूसरे रूप (संभावित ऊर्जा, ऊष्मा, विद्युत आदि के रूप में) में बदल जाती है।

जब गति के किसी अन्य रूप में परिवर्तन के बिना यांत्रिक गति के परिवर्तन पर विचार किया जाता है, तो यांत्रिक गति का माप किसी भौतिक बिंदु या यांत्रिक प्रणाली की गति का वेक्टर होता है। इस मामले में बल का माप बल आवेग का वेक्टर है।

जब यांत्रिक गति पदार्थ की गति के दूसरे रूप में बदल जाती है, तो किसी भौतिक बिंदु या यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा यांत्रिक गति के माप के रूप में कार्य करती है। यांत्रिक गति को गति के दूसरे रूप में परिवर्तित करते समय बल की क्रिया का माप बल का कार्य है

गतिज ऊर्जा

गतिज ऊर्जा चलते समय किसी बाधा को दूर करने की शरीर की क्षमता है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है जो बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

गतिज ऊर्जा:

• अनुवादात्मक और घूर्णी दोनों आंदोलनों की विशेषताएँ;
• सिस्टम के बिंदुओं की गति की दिशा पर निर्भर नहीं करता है और इन दिशाओं में परिवर्तन की विशेषता नहीं बताता है;
• आंतरिक और बाह्य दोनों शक्तियों की कार्रवाई की विशेषता है।

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा

निकाय की गतिज ऊर्जा निकाय के पिंडों की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। गतिज ऊर्जा प्रणाली के पिंडों की गति के प्रकार पर निर्भर करती है।

विभिन्न प्रकार की गति के लिए किसी ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा का निर्धारण।

स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा
स्थानांतरीय गति के दौरान, शरीर की गतिज ऊर्जा बराबर होती है टी=एमवी 2 /2.

स्थानांतरीय गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप द्रव्यमान है।

किसी पिंड की घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा

किसी पिंड की घूर्णी गति के दौरान, गतिज ऊर्जा घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता के क्षण और उसके कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप जड़त्व आघूर्ण है।

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा उसके घूमने की दिशा पर निर्भर नहीं करती है।

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति की गतिज ऊर्जा

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति के साथ, गतिज ऊर्जा बराबर होती है

बल का कार्य

बल का कार्य किसी गति के दौरान किसी पिंड पर बल की कार्रवाई को दर्शाता है और गतिमान बिंदु के वेग मापांक में परिवर्तन को निर्धारित करता है।

बल का प्राथमिक कार्य

किसी बल के प्राथमिक कार्य को एक अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु की गति की दिशा में निर्देशित प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर बल के प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर होती है, और इस दिशा में निर्देशित बिंदु के अनंतिम विस्थापन के बराबर होती है। स्पर्शरेखा

अंतिम विस्थापन पर बल द्वारा किया गया कार्य

अंतिम विस्थापन पर किसी बल द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक खंडों पर उसके कार्य के योग के बराबर होता है।

अंतिम विस्थापन एम 1 एम 0 पर एक बल का कार्य इस विस्थापन के साथ प्रारंभिक कार्य के अभिन्न अंग के बराबर है।

विस्थापन एम 1 एम 2 पर एक बल के कार्य को आकृति के क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है, जो भुज अक्ष, वक्र और बिंदु एम 1 और एम 0 के अनुरूप निर्देशांक द्वारा सीमित है।

एसआई प्रणाली में बल और गतिज ऊर्जा के कार्य के माप की इकाई 1 (जे) है।

बल के कार्य के बारे में प्रमेय

प्रमेय 1. किसी निश्चित विस्थापन पर परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य उसी विस्थापन पर घटक बलों द्वारा किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

प्रमेय 2.परिणामी विस्थापन पर एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य घटक विस्थापन पर इस बल द्वारा किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

शक्ति

शक्ति एक मात्रा है जो समय की प्रति इकाई बल द्वारा किये गये कार्य को निर्धारित करती है।

शक्ति माप की इकाई 1W = 1 J/s है।

बलों के कार्य के निर्धारण के मामले

आंतरिक शक्तियों का कार्य

किसी भी गति के दौरान किसी कठोर पिंड की आंतरिक शक्तियों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य होता है।

गुरुत्वाकर्षण का कार्य

लोचदार बल का कार्य

घर्षण बल का कार्य

घूमते हुए पिंड पर लगाए गए बलों का कार्य

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर पर लागू बलों का प्रारंभिक कार्य घूर्णन की धुरी के सापेक्ष बाहरी बलों के मुख्य क्षण और घूर्णन के कोण में वृद्धि के उत्पाद के बराबर होता है।

रोलिंग प्रतिरोध

स्थिर सिलेंडर और विमान के संपर्क क्षेत्र में, संपर्क संपीड़न का स्थानीय विरूपण होता है, तनाव को अण्डाकार कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, और इन तनावों के परिणामी एन की कार्रवाई की रेखा भार की कार्रवाई की रेखा के साथ मेल खाती है सिलेंडर पर बल Q. जब सिलेंडर लुढ़कता है, तो भार वितरण अधिकतम गति की ओर स्थानांतरित होने के साथ असममित हो जाता है। परिणामी N को रोलिंग घर्षण बल की भुजा - k की मात्रा से विस्थापित किया जाता है, जिसे रोलिंग घर्षण गुणांक भी कहा जाता है और इसकी लंबाई का आयाम (सेमी) होता है।

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर बिंदु पर कार्यरत सभी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के भौतिक बिंदुओं पर कार्य करने वाले आंतरिक और बाह्य बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

एक निश्चित विस्थापन पर एक कठोर पिंड (अपरिवर्तित प्रणाली) की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के योग के बराबर होता है।

क्षमता

तंत्र में कार्य करने वाली शक्तियाँ

किसी तंत्र या मशीन पर लागू होने वाले बलों और बलों के जोड़े (क्षण) को समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. ड्राइविंग बल और क्षण जो सकारात्मक कार्य करते हैं (ड्राइविंग लिंक पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, आंतरिक दहन इंजन में पिस्टन पर गैस का दबाव)।

2. प्रतिरोध के बल और क्षण जो नकारात्मक कार्य करते हैं:

• उपयोगी प्रतिरोध (वे मशीन से आवश्यक कार्य करते हैं और संचालित लिंक पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, मशीन द्वारा उठाए गए भार का प्रतिरोध),
• प्रतिरोध बल (उदाहरण के लिए, घर्षण बल, वायु प्रतिरोध, आदि)।

3. स्प्रिंग्स का गुरुत्वाकर्षण बल और लोचदार बल (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों कार्य, जबकि पूर्ण चक्र के लिए कार्य शून्य है)।

4. शरीर पर या बाहर से खड़े होने वाले बल और क्षण (नींव की प्रतिक्रिया, आदि), जो काम नहीं करते हैं।

5. गतिज युग्मों में कार्य करने वाली कड़ियों के बीच परस्पर क्रिया बल।

6. कड़ियों के द्रव्यमान और त्वरण के साथ गति के कारण होने वाली कड़ियों की जड़त्व शक्तियाँ सकारात्मक, नकारात्मक कार्य कर सकती हैं और कार्य नहीं कर सकती हैं।

तंत्रों में बलों का कार्य

जब मशीन स्थिर अवस्था में चलती है, तो इसकी गतिज ऊर्जा नहीं बदलती है और उस पर लागू ड्राइविंग बलों और प्रतिरोध बलों के काम का योग शून्य है।

मशीन को गति में स्थापित करने में खर्च किया गया कार्य उपयोगी और हानिकारक प्रतिरोधों पर काबू पाने में खर्च होता है।

तंत्र दक्षता

स्थिर गति के दौरान यांत्रिक दक्षता मशीन के उपयोगी कार्य और मशीन को गति में स्थापित करने पर खर्च किए गए कार्य के अनुपात के बराबर होती है:

मशीन के तत्वों को श्रृंखला, समानांतर और मिश्रित रूप से जोड़ा जा सकता है।

श्रृंखला कनेक्शन में दक्षता

जब तंत्र श्रृंखला में जुड़े होते हैं, तो समग्र दक्षता किसी व्यक्तिगत तंत्र की सबसे कम दक्षता से कम होती है।

समानांतर कनेक्शन में दक्षता

जब तंत्र समानांतर में जुड़े होते हैं, तो समग्र दक्षता किसी व्यक्तिगत तंत्र की निम्नतम दक्षता से अधिक और उच्चतम दक्षता से कम होती है।

प्रारूप: पीडीएफ

भाषा: रूसी, यूक्रेनी

स्पर गियर का गणना उदाहरण
स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण. सामग्री का चयन, अनुमेय तनाव की गणना, संपर्क और झुकने की ताकत की गणना की गई है।

बीम झुकने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाए गए, एक खतरनाक खंड पाया गया और एक आई-बीम का चयन किया गया। समस्या ने विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया और बीम के विभिन्न क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया।

शाफ्ट मरोड़ समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य किसी दिए गए व्यास, सामग्री और स्वीकार्य तनाव पर स्टील शाफ्ट की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, टॉर्क, कतरनी तनाव और मोड़ कोण के आरेख बनाए जाते हैं। शाफ्ट के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

किसी छड़ के तनाव-संपीड़न की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य निर्दिष्ट अनुमेय तनाव पर स्टील बार की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख बनाए जाते हैं। छड़ के स्वयं के वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का अनुप्रयोग
किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

कठोर पिंडों, ब्लॉकों, पुली और एक स्प्रिंग वाले सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करके समस्या को हल करने का एक उदाहरण।

सामग्री

कार्य

यांत्रिक प्रणाली में वज़न 1 और 2, चरण त्रिज्या आर के साथ एक चरणबद्ध चरखी 3 शामिल हैं 3 = 0.3 मीटर, आर 3 = 0.1 मीटरऔर घूर्णन अक्ष के सापेक्ष परिभ्रमण की त्रिज्या ρ 3 = 0.2 मी, ब्लॉक 4 त्रिज्या आर 4 = 0.2 मीऔर चल ब्लॉक 5. ब्लॉक 5 को एक ठोस सजातीय सिलेंडर माना जाता है। समतल f पर भार 2 का घर्षण गुणांक = 0,1 . सिस्टम के निकाय ब्लॉकों पर फेंके गए धागों और चरखी 3 पर घाव करके एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। धागों के खंड संबंधित विमानों के समानांतर हैं। कठोरता गुणांक c = वाला एक स्प्रिंग चल ब्लॉक 5 से जुड़ा हुआ है 280 एन/एम.

बल F = f के प्रभाव में (एस) = 80(6 + 7 एस) एन, इसके अनुप्रयोग के बिंदु के विस्थापन के आधार पर, सिस्टम आराम की स्थिति से आगे बढ़ना शुरू कर देता है। गति प्रारंभ होने के समय स्प्रिंग का विरूपण शून्य होता है। चलते समय, चरखी 3 पर एक स्थिर क्षण एम = द्वारा कार्य किया जाता है 1.6 एनएमप्रतिरोध बल (बीयरिंग में घर्षण से)। शरीर का द्रव्यमान: मी 1 = 0 , एम 2 = 5 किग्रा, एम 3 = 6 किग्रा, एम 4 = 0 , एम 5 = 4 किग्रा.

पिंड के द्रव्यमान केंद्र का मान 5 V C ज्ञात कीजिए 5 उस समय जब भार 1 का विस्थापन s के बराबर हो जाता है 1 = 0.2 मी.

टिप्पणी. किसी समस्या का समाधान करते समय, उपयोग करें गतिज ऊर्जा परिवर्तन प्रमेय.

समस्या का समाधान

दिया गया:आर 3 = 0.3 मीटर, आर 3 = 0.1 मीटर, ρ 3 = 0.2 मी, आर 4 = 0.2 मी, एफ = 0,1 , एस = 280 एन/एम, एम 1 = 0 , एम 2 = 5 किग्रा, एम 3 = 6 किग्रा, एम 4 = 0 , एम 5 = 4 किग्रा, एफ = एफ (एस) = 80(6 + 7 एस) एन, एस 1 = 0.2 मी.

खोजो:वी सी 5 .

परिवर्तनशील पदनाम

आर 3 , आर 3- चरखी चरण 3 की त्रिज्या;
ρ 3 - घूर्णन अक्ष के सापेक्ष चरखी 3 की जड़ता की त्रिज्या;
आर 5 - ब्लॉक त्रिज्या 5;
वी 1 , वी 2 - पिंड 1 और 2 की गति;
ω 3 - चरखी 3 के घूर्णन की कोणीय गति;
वी सी 5 - द्रव्यमान C के केंद्र की गति 5 ब्लॉक 5;
ω 5 - ब्लॉक 5 के घूर्णन की कोणीय गति;
एस 1 , एस 2 - पिंड 1 और 2 की गति;
φ 3 - चरखी रोटेशन कोण 3;
अनुसूचित जाति 5 - द्रव्यमान C के केंद्र की गति 5 ब्लॉक 5;
एस ए, एस बी - गतिमान बिंदु ए और बी।

गतिक संबंध स्थापित करना

आइए हम गतिक संबंध स्थापित करें। चूंकि लोड 1 और 2 एक धागे से जुड़े हुए हैं, उनकी गति बराबर है:
वी 2 = वी 1.
चूँकि भार 1 और 2 को जोड़ने वाला धागा चरखी 3 के बाहरी चरण पर घाव है, चरखी 3 के बाहरी चरण के बिंदु गति वी के साथ चलते हैं 2 = वी 1. तब चरखी के घूमने की कोणीय गति है:
.
द्रव्यमान केन्द्र का वेग V C 5 ब्लॉक 5 चरखी 3 के आंतरिक चरण के बिंदुओं की गति के बराबर है:
.
बिंदु K की गति शून्य है. इसलिए, यह ब्लॉक 5 का तात्कालिक गति केंद्र है। ब्लॉक 5 के घूर्णन का कोणीय वेग:
.
बिंदु B की गति - स्प्रिंग का मुक्त सिरा - बिंदु A की गति के बराबर है:
.

आइए गति को V C के रूप में व्यक्त करें 5 .
;
;
.

अब इंस्टॉल करते हैं शरीर की गतिविधियों और घूर्णन कोणों के बीच संबंधचरखी और ब्लॉक. चूँकि वेग और कोणीय वेग विस्थापन और घूर्णन कोण के समय व्युत्पन्न हैं
,
तब विस्थापन और घूर्णन कोणों के बीच वही संबंध होंगे:
एस 2 = एस 1;
;
;
.

प्रणाली की गतिज ऊर्जा का निर्धारण

आइए निकाय की गतिज ऊर्जा ज्ञात करें। लोड 2 गति V के साथ स्थानान्तरणीय गति करता है 2 . चरखी 3 कोणीय घूर्णन गति ω के साथ घूर्णी गति करती है 3 . ब्लॉक 5 समतल-समानांतर गति करता है। यह कोणीय वेग ω से घूमता है 5 और इसका द्रव्यमान केंद्र V C गति से चलता है 5 . प्रणाली की गतिज ऊर्जा:
.

चूँकि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष चरखी की जड़ता की त्रिज्या दी गई है, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष चरखी की जड़ता का क्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
जे 3 = एम 3 ρ 2 3.
चूंकि ब्लॉक 5 एक ठोस सजातीय सिलेंडर है, द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष इसकी जड़ता का क्षण बराबर है
.

गतिक संबंधों का उपयोग करके, हम सभी वेगों को वी सी के माध्यम से व्यक्त करते हैं 5 और गतिज ऊर्जा के सूत्र में जड़ता के क्षणों के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रतिस्थापित करें।
,
जहां हमने स्थिरांक में प्रवेश किया
किलोग्राम।

इसलिए, हमने द्रव्यमान केंद्र V C की गति पर प्रणाली की गतिज ऊर्जा की निर्भरता पाई है 5 गतिशील ब्लॉक:
, जहां एम = 75 किलोग्राम।

बाह्य बलों के कार्य की मात्रा का निर्धारण

बाहरी ताकतों पर विचार करें, सिस्टम पर कार्य करना।
साथ ही, हम धागों के तनाव बलों पर विचार नहीं करते हैं, क्योंकि धागे अविस्तारित होते हैं और इसलिए, वे कार्य उत्पन्न नहीं करते हैं। इस कारण से, हम शरीर में कार्य करने वाले आंतरिक तनावों पर विचार नहीं करते हैं, क्योंकि वे बिल्कुल ठोस होते हैं।
पिंड 1 (शून्य द्रव्यमान वाला) पर दिए गए बल F द्वारा कार्य किया जाता है।
भार 2 पर गुरुत्वाकर्षण P द्वारा कार्य किया जाता है 2 = एम 2 जी 2 और घर्षण बल एफ टी।
पुली 3 पर गुरुत्वाकर्षण P द्वारा कार्य किया जाता है 3 = एम 3 जी, एन अक्ष दबाव बल 3 और घर्षण का क्षण M को बल देता है।
पुली 4 (शून्य द्रव्यमान के साथ) एन अक्ष के दबाव बल से प्रभावित होती है 4 .
गतिशील ब्लॉक 5 पर गुरुत्वाकर्षण P द्वारा कार्य किया जाता है 5 = एम 5 ग्राम, स्प्रिंग का लोचदार बल F y और बिंदु K पर धागे का तनाव बल T K।

एक छोटे से विस्थापन द्वारा अपने अनुप्रयोग के बिंदु को स्थानांतरित करते समय एक बल जो कार्य करता है वह वैक्टर के स्केलर उत्पाद के बराबर होता है, यानी, बीच के कोण के कोसाइन द्वारा वैक्टर एफ और डीएस के पूर्ण मूल्यों का उत्पाद उन्हें। पिंड 1 पर लगाया गया बल पिंड 1 की गति के समानांतर होता है। इसलिए, जब पिंड 1 दूरी s तक जाता है तो बल द्वारा किया गया कार्य 1 के बराबर है:


जे।

भार 2 पर विचार करें। इस पर गुरुत्वाकर्षण बल P द्वारा कार्य किया जाता है 2 , सतही दबाव बल एन 2 , धागा तनाव बल टी 23 , टी 24 और घर्षण बल एफ टी। चूँकि भार ऊर्ध्वाधर दिशा में नहीं चलता है, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसके त्वरण का प्रक्षेपण शून्य है। इसलिए, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है:
एन 2 - पी 2 = 0;
एन 2 = पी 2 = एम 2 जी.
घर्षण बल:
एफ टी = एफ एन 2 = एफ एम 2 जी.
बल पी 2 और n 2 विस्थापन s के लंबवत 2 , इसलिए वे काम का उत्पादन नहीं करते हैं।
घर्षण बल का कार्य:
जे।

यदि हम लोड 2 को एक पृथक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो हमें थ्रेड टी के तनाव बलों द्वारा उत्पन्न कार्य को ध्यान में रखना होगा। 23 और टी 24 . हालाँकि, हम निकाय 1, 2, 3, 4 और 5 से युक्त संपूर्ण प्रणाली में रुचि रखते हैं। ऐसी प्रणाली के लिए, धागों की तनाव शक्तियाँ आंतरिक शक्तियाँ हैं। और चूँकि धागे अवितापनीय हैं, उनके कार्य का योग शून्य है। लोड 2 के मामले में, आपको पुली 3 और ब्लॉक 4 पर काम करने वाले धागे के तनाव बलों को भी ध्यान में रखना होगा। वे परिमाण में बराबर हैं और बलों टी की दिशा में विपरीत हैं। 23 और टी 24 . इसलिए, लोड 2 पर धागे 23 और 24 के तनाव बलों द्वारा किया गया कार्य चरखी 3 और ब्लॉक 4 पर इन धागों के तनाव बलों द्वारा किए गए कार्य के परिमाण के बराबर और संकेत में विपरीत है। परिणामस्वरूप, की मात्रा धागों के तनाव बलों द्वारा उत्पन्न कार्य शून्य है।

चरखी 3 पर विचार करें। चूँकि इसका द्रव्यमान केंद्र गति नहीं करता है, गुरुत्वाकर्षण P द्वारा किया गया कार्य 3 शून्य के बराबर.
क्योंकि C अक्ष 3 गतिहीन है, तो N अक्ष का दबाव बल 3 कार्य उत्पन्न नहीं करता.
टॉर्क द्वारा किए गए कार्य की गणना बल द्वारा किए गए कार्य के समान ही की जाती है:
.
हमारे मामले में, घर्षण बल के क्षण और चरखी के घूर्णन के कोण के वैक्टर चरखी के घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित होते हैं, लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं। इसलिए, घर्षण बल के क्षण का कार्य:
जे।

आइए ब्लॉक 5 को देखें।
चूँकि बिंदु K की गति शून्य है, बल T K कार्य उत्पन्न नहीं करता है।
ब्लॉक C का द्रव्यमान केंद्र 5 सी की दूरी तय की 5 ऊपर। इसलिए, ब्लॉक के गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य है:
जे।
स्प्रिंग के लोचदार बल द्वारा किया गया कार्य माइनस चिह्न के साथ स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है। चूँकि स्प्रिंग शुरू में विकृत नहीं होता है
जे।

सभी बलों के कार्य का योग:

जे।

किसी निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय का अनुप्रयोग

आइए हम निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय को अभिन्न रूप में लागू करें।
.
चूँकि सिस्टम शुरुआत में आराम की स्थिति में था, इसकी गति की शुरुआत में इसकी गतिज ऊर्जा है
टी 0 = 0 .
तब
.
यहाँ से
एमएस।

किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में उसके सभी बिंदुओं की गतिज ऊर्जाएँ शामिल होती हैं:

इस समानता के प्रत्येक भाग को समय के संदर्भ में विभेदित करने पर हमें यह समानता प्राप्त होती है

गतिशीलता के मूल नियम का उपयोग करना कोसिस्टम का वां बिंदु एम के 2आई के= एफजे, हम समानता पर पहुंचते हैं

इसके अनुप्रयोग के बिंदु पर बल F और वेग v का अदिश गुणनफल कहा जाता है बल शक्तिऔर निरूपित करें आर:

इस नए संकेतन का उपयोग करते हुए, हम (11.6) को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करते हैं:

परिणामी समानता गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के विभेदक रूप को व्यक्त करती है: किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर प्रणाली पर कार्यरत सभी सेमी की jशक्तियों के योग के बराबर होती है।

व्युत्पन्न प्रस्तुत कर रहा हूँ एफ(8.5) भिन्न रूप में - और प्रदर्शन

फिर चरों को अलग करने पर, हमें मिलता है:

कहाँ डीटी-गतिज ऊर्जा अंतर, यानी समय की एक अनंत अवधि में इसका परिवर्तन डॉ, डॉ के = के डीटी -प्राथमिक आंदोलन को-सिस्टम के वें बिंदु, यानी समय में गति डी.टी.

बल F और प्राथमिक विस्थापन का अदिश गुणनफल डॉ.इसके अनुप्रयोग बिंदु कहलाते हैं बुनियादी कामबल और निरूपित करें डीए:

अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करके हम बल के प्राथमिक कार्य को भी रूप में निरूपित कर सकते हैं

यहाँ डीएस = डॉ -बल अनुप्रयोग बिंदु के प्रक्षेपवक्र की चाप लंबाई, इसके प्रारंभिक विस्थापन एस/जी के अनुरूप; ए -बल वेक्टर F और प्राथमिक विस्थापन वेक्टर c/r की दिशाओं के बीच का कोण; एफ„ एफ वाई , एफ,- कार्टेशियन अक्षों पर बल वेक्टर एफ का प्रक्षेपण; डीएक्स, डाई, डीजेड -प्रारंभिक विस्थापन s/g के वेक्टर के कार्टेशियन अक्षों पर प्रक्षेपण।

अंकन (11.9) को ध्यान में रखते हुए, समानता (11.8) को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

वे। सिस्टम की गतिज ऊर्जा का अंतर सिस्टम पर कार्यरत सभी बलों के प्रारंभिक कार्यों के योग के बराबर है।यह समानता, (11.7) की तरह, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के विभेदक रूप को व्यक्त करती है, लेकिन (11.7) से इस मायने में भिन्न है कि यह डेरिवेटिव का नहीं, बल्कि अनंतिम वृद्धि - अंतर का उपयोग करती है।

समानता (11.12) का पद-दर-अवधि एकीकरण करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

जहां निम्नलिखित का उपयोग एकीकरण सीमा के रूप में किया जाता है: 7 0 - समय में एक पल में सिस्टम की गतिज ऊर्जा? 0 ; 7) - समय के क्षण में प्रणाली की गतिज ऊर्जा टीएक्स.

समय के साथ निश्चित अभिन्न अंग या ए(एफ):

नोट 1. कार्य की गणना करने के लिए, कभी-कभी प्रक्षेपवक्र के गैर-चाप पैरामीटरीकरण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है एमएस),और समन्वय करें एम(एक्स(टी), y(/), z(f)). इस मामले में, प्रारंभिक कार्य के लिए प्रतिनिधित्व (11.11) लेना स्वाभाविक है, और इस रूप में वक्रीय अभिन्न का प्रतिनिधित्व करना है:

परिमित विस्थापन पर कार्य के अंकन (11.14) को ध्यान में रखते हुए, समानता (11.13) का रूप लेती है

और एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के अंतिम रूप का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रमेय 3. जब एक यांत्रिक प्रणाली प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक जाती है तो उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस गति के दौरान प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले सभी बलों के कार्य के योग के बराबर होता है।

टिप्पणी 2. समता का दाहिना पक्ष (11.16) कार्य को ध्यान में रखता है अपनी पूरी ताकत से, सिस्टम पर बाहरी और आंतरिक दोनों तरह से कार्य करता है। फिर भी, ऐसी यांत्रिक प्रणालियाँ हैं जिनके लिए सभी आंतरिक बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है। अहं तथाकथित अपरिवर्तनीय प्रणालियाँ, जिसमें परस्पर क्रिया करने वाले भौतिक बिंदुओं के बीच की दूरियाँ नहीं बदलतीं। उदाहरण के लिए, घर्षण रहित टिकाओं या लचीले अवितानीय धागों से जुड़े ठोस पिंडों की एक प्रणाली। ऐसी प्रणालियों के लिए, समानता (11.16) में केवल बाहरी ताकतों के काम को ध्यान में रखना पर्याप्त है, अर्थात। प्रमेय (11.16) इस प्रकार है: