इस पृष्ठ पर आप पाएंगे:

1. दरअसल, प्रतिअवकलजों की तालिका - इसे पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करके मुद्रित किया जा सकता है;

2. इस तालिका का उपयोग कैसे करें पर वीडियो;

3. विभिन्न पाठ्यपुस्तकों और परीक्षणों से प्रतिअवकलन की गणना के उदाहरणों का एक समूह।

वीडियो में ही, हम कई समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जहां आपको कार्यों के एंटीडेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता होती है, जो अक्सर काफी जटिल होते हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे पावर फ़ंक्शन नहीं हैं। ऊपर प्रस्तावित तालिका में संक्षेपित सभी कार्यों को डेरिवेटिव की तरह दिल से जाना जाना चाहिए। उनके बिना, अभिन्नों का आगे का अध्ययन और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए उनका अनुप्रयोग असंभव है।

आज हम आदिम का अध्ययन जारी रखते हैं और थोड़े अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ते हैं। यदि पिछली बार हमने केवल शक्ति कार्यों और थोड़े अधिक जटिल निर्माणों के प्रतिअवकलजों पर ध्यान दिया था, तो आज हम त्रिकोणमिति और बहुत कुछ देखेंगे।

जैसा कि मैंने पिछले पाठ में कहा था, डेरिवेटिव के विपरीत, एंटीडेरिवेटिव को कभी भी किसी मानक नियम का उपयोग करके "तुरंत" हल नहीं किया जाता है। इसके अलावा, बुरी खबर यह है कि, व्युत्पन्न के विपरीत, प्रतिअवकलन पर बिल्कुल भी विचार नहीं किया जा सकता है। यदि हम एक पूरी तरह से यादृच्छिक फ़ंक्शन लिखते हैं और इसके व्युत्पन्न को खोजने का प्रयास करते हैं, तो बहुत अधिक संभावना के साथ हम सफल होंगे, लेकिन इस मामले में एंटीडेरिवेटिव की गणना लगभग कभी नहीं की जाएगी। लेकिन एक अच्छी खबर है: कार्यों का एक काफी बड़ा वर्ग है जिसे प्राथमिक कार्य कहा जाता है, जिसके प्रतिअवकलन की गणना करना बहुत आसान है। और अन्य सभी अधिक जटिल संरचनाएँ जो सभी प्रकार के परीक्षणों, स्वतंत्र परीक्षणों और परीक्षाओं पर दी जाती हैं, वास्तव में, जोड़, घटाव और अन्य सरल क्रियाओं के माध्यम से इन प्राथमिक कार्यों से बनी होती हैं। ऐसे कार्यों के प्रोटोटाइप की लंबे समय से गणना की गई है और उन्हें विशेष तालिकाओं में संकलित किया गया है। ये वे फ़ंक्शन और तालिकाएँ हैं जिनके साथ हम आज काम करेंगे।

लेकिन हम, हमेशा की तरह, दोहराव के साथ शुरू करेंगे: आइए याद रखें कि एक एंटीडेरिवेटिव क्या है, उनमें से अनगिनत क्यों हैं, और उनकी सामान्य उपस्थिति का निर्धारण कैसे करें। ऐसा करने के लिए, मैंने दो सरल समस्याएं उठाईं।

आसान उदाहरणों को हल करना

उदाहरण 1

आइए तुरंत ध्यान दें कि $\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text() )(6)$ और सामान्य तौर पर $\text()\!\!\pi\ की उपस्थिति !\!\ text()$ तुरंत हमें संकेत देता है कि फ़ंक्शन का आवश्यक प्रतिअवकलन त्रिकोणमिति से संबंधित है। और, वास्तव में, यदि हम तालिका को देखें, तो हम पाएंगे कि $\frac(1)(1+((x)^(2)))$, $\text(arctg)x$ से अधिक कुछ नहीं है। तो चलिए इसे लिखते हैं:

खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित लिखना होगा:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+सी\]

उदाहरण क्रमांक 2

हम यहां त्रिकोणमितीय फलनों के बारे में भी बात कर रहे हैं। यदि हम तालिका को देखें, तो, वास्तव में, यही होता है:

हमें एंटीडेरिवेटिव्स के पूरे सेट में से वह ढूंढना होगा जो संकेतित बिंदु से होकर गुजरता है:

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

आइए अंत में इसे लिखें:

यह इतना आसान है। एकमात्र समस्या यह है कि सरल कार्यों के प्रतिअवकलन की गणना करने के लिए, आपको प्रतिअवकलन की एक तालिका सीखने की आवश्यकता है। हालाँकि, आपके लिए व्युत्पन्न तालिका का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि यह कोई समस्या नहीं होगी।

घातांकीय फलन वाली समस्याओं को हल करना

आरंभ करने के लिए, आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

आइए देखें कि यह सब व्यवहार में कैसे काम करता है।

उदाहरण 1

यदि हम कोष्ठक की सामग्री को देखते हैं, तो हम देखेंगे कि प्रतिअवकलन की तालिका में $((e)^(x))$ के लिए ऐसी कोई अभिव्यक्ति नहीं है जो एक वर्ग में हो, इसलिए इस वर्ग का विस्तार किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करते हैं:

आइए प्रत्येक पद के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करें:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

आइए अब सभी पदों को एक ही अभिव्यक्ति में एकत्रित करें और सामान्य प्रतिअवकलन प्राप्त करें:

उदाहरण क्रमांक 2

इस बार डिग्री बड़ी है, इसलिए संक्षिप्त गुणन सूत्र काफी जटिल होगा। तो आइए कोष्ठक खोलें:

आइए अब इस निर्माण से अपने सूत्र का प्रतिअवकलज लेने का प्रयास करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, घातीय फलन के प्रतिअवकलन में कुछ भी जटिल या अलौकिक नहीं है। उन सभी की गणना तालिकाओं के माध्यम से की जाती है, लेकिन चौकस छात्र शायद देखेंगे कि प्रतिअवकलन $((e)^(2x))$, $((a) की तुलना में केवल $((e)^(x))$ के बहुत करीब है )^(x ))$. तो, शायद कुछ और विशेष नियम हैं जो प्रतिअवकलन $((e)^(x))$ को जानते हुए, $((e)^(2x))$ खोजने की अनुमति देते हैं? हां, ऐसा नियम मौजूद है. और, इसके अलावा, यह प्रतिअवकलन तालिका के साथ काम करने का एक अभिन्न अंग है। अब हम उन्हीं अभिव्यक्तियों का उपयोग करके इसका विश्लेषण करेंगे जिनके साथ हमने अभी एक उदाहरण के रूप में काम किया था।

प्रतिअवकलजों की तालिका के साथ कार्य करने के नियम

आइए अपना कार्य फिर से लिखें:

पिछले मामले में, हमने हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया था:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

लेकिन अब इसे थोड़ा अलग ढंग से करते हैं: आइए याद रखें कि किस आधार पर $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. जैसा कि मैंने पहले ही कहा, क्योंकि व्युत्पन्न $((e)^(x))$, $((e)^(x))$ से अधिक कुछ नहीं है, इसलिए इसका प्रतिअवकलन उसी $((e) ^ के बराबर होगा (x))$. लेकिन समस्या यह है कि हमारे पास $((e)^(2x))$ और $((e)^(-2x))$ हैं। आइए अब $((e)^(2x))$ का व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\ prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \प्राइम ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

आइए अपने निर्माण को फिर से लिखें:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\ prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\ prime ))\]

इसका मतलब यह है कि जब हम प्रतिअवकलज $((e)^(2x))$ पाते हैं तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहले जैसा ही परिणाम मिला, लेकिन हमने $((a)^(x))$ खोजने के लिए सूत्र का उपयोग नहीं किया। अब यह मूर्खतापूर्ण लग सकता है: जब एक मानक सूत्र मौजूद है तो गणना को जटिल क्यों बनाया जाए? हालाँकि, थोड़े अधिक जटिल अभिव्यक्तियों में आप पाएंगे कि यह तकनीक बहुत प्रभावी है, अर्थात। प्रतिअवकलज खोजने के लिए व्युत्पन्नों का उपयोग करना।

वार्म-अप के रूप में, आइए समान तरीके से $((e)^(2x))$ का प्रतिअवकलन ज्ञात करें:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\ prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\ prime ))\]

गणना करते समय हमारा निर्माण इस प्रकार लिखा जाएगा:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

हमें बिल्कुल वही परिणाम मिला, लेकिन हमने एक अलग रास्ता अपनाया। यह वह मार्ग है, जो अब हमें थोड़ा अधिक जटिल लगता है, जो भविष्य में अधिक जटिल प्रतिअवकलजों की गणना करने और तालिकाओं का उपयोग करने के लिए अधिक प्रभावी हो जाएगा।

टिप्पणी! यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है: डेरिवेटिव की तरह, एंटीडेरिवेटिव को कई अलग-अलग तरीकों से गिना जा सकता है। हालाँकि, यदि सभी गणनाएँ और गणनाएँ समान हैं, तो उत्तर भी एक ही होगा। हमने इसे अभी $((e)^(-2x))$ के उदाहरण के साथ देखा है - एक ओर, हमने परिभाषा का उपयोग करके इस एंटीडेरिवेटिव "राइट थ्रू" की गणना की और दूसरी ओर, ट्रांसफ़ॉर्मेशन का उपयोग करके इसकी गणना की। हमें याद आया कि $ ((e)^(-2x))$ को $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ के रूप में दर्शाया जा सकता है और तभी हमने इसका उपयोग किया फ़ंक्शन $( (a)^(x))$ के लिए प्रतिअवकलन। हालाँकि, सभी परिवर्तनों के बाद, परिणाम वैसा ही था, जैसा अपेक्षित था।

और अब जब हम यह सब समझ गए हैं, तो कुछ और महत्वपूर्ण चीज़ों की ओर आगे बढ़ने का समय आ गया है। अब हम दो सरल निर्माणों का विश्लेषण करेंगे, लेकिन उन्हें हल करते समय जिस तकनीक का उपयोग किया जाएगा वह तालिका से पड़ोसी एंटीडेरिवेटिव्स के बीच "चलने" की तुलना में अधिक शक्तिशाली और उपयोगी उपकरण है।

समस्या समाधान: किसी फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन खोजना

उदाहरण 1

आइए अंशों में मौजूद राशि को तीन अलग-अलग अंशों में विभाजित करें:

यह काफी स्वाभाविक और समझने योग्य परिवर्तन है - अधिकांश छात्रों को इससे कोई समस्या नहीं है। आइए अपनी अभिव्यक्ति को इस प्रकार पुनः लिखें:

आइए अब इस सूत्र को याद रखें:

हमारे मामले में हमें निम्नलिखित मिलेगा:

इन सभी तीन मंजिला अंशों से छुटकारा पाने के लिए, मैं निम्नलिखित करने का सुझाव देता हूं:

उदाहरण क्रमांक 2

पिछले भिन्न के विपरीत, हर एक गुणनफल नहीं है, बल्कि एक योग है। इस मामले में, हम अब अपने भिन्न को कई सरल भिन्नों के योग में विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन हमें किसी तरह यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि अंश में हर के समान ही अभिव्यक्ति हो। इस मामले में, इसे करना काफी सरल है:

यह अंकन, जिसे गणितीय भाषा में "शून्य जोड़ना" कहा जाता है, हमें भिन्न को फिर से दो टुकड़ों में विभाजित करने की अनुमति देगा:

आइए अब खोजें कि हम क्या खोज रहे थे:

बस इतना ही हिसाब है. पिछली समस्या की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना की मात्रा और भी कम निकली।

समाधान की बारीकियां

और यहीं पर सारणीबद्ध प्रतिअवकलन के साथ काम करने की मुख्य कठिनाई निहित है, यह दूसरे कार्य में विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है। तथ्य यह है कि कुछ तत्वों का चयन करने के लिए जिनकी गणना तालिका के माध्यम से आसानी से की जा सकती है, हमें यह जानना होगा कि हम वास्तव में क्या खोज रहे हैं, और इन तत्वों की खोज में ही एंटीडेरिवेटिव की पूरी गणना शामिल है।

दूसरे शब्दों में, केवल प्रतिअवकलजों की तालिका को याद कर लेना पर्याप्त नहीं है - आपको कुछ ऐसा देखने में सक्षम होने की आवश्यकता है जो अभी तक अस्तित्व में नहीं है, लेकिन इस समस्या के लेखक और संकलक का क्या मतलब है। यही कारण है कि कई गणितज्ञ, शिक्षक और प्रोफेसर लगातार तर्क देते हैं: "प्रतिअवकलन या एकीकरण क्या है - क्या यह सिर्फ एक उपकरण है या यह एक वास्तविक कला है?" वास्तव में, मेरी व्यक्तिगत राय में, एकीकरण बिल्कुल भी कला नहीं है - इसमें कुछ भी उदात्त नहीं है, यह सिर्फ अभ्यास और अधिक अभ्यास है। और अभ्यास के लिए, आइए तीन और गंभीर उदाहरण हल करें।

हम व्यवहार में एकीकरण का प्रशिक्षण लेते हैं

कार्य क्रमांक 1

आइए निम्नलिखित सूत्र लिखें:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

आइए निम्नलिखित लिखें:

समस्या क्रमांक 2

आइए इसे इस प्रकार फिर से लिखें:

कुल प्रतिअवकलन इसके बराबर होगा:

समस्या क्रमांक 3

इस कार्य की कठिनाई यह है कि, उपरोक्त पिछले कार्यों के विपरीत, इसमें कोई चर $x$ नहीं है, यानी। यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है कि कम से कम कुछ वैसा ही प्राप्त करने के लिए क्या जोड़ें या घटाएँ जो नीचे है। हालाँकि, वास्तव में, इस अभिव्यक्ति को पिछले किसी भी अभिव्यक्ति की तुलना में और भी सरल माना जाता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

अब आप पूछ सकते हैं: ये कार्य समान क्यों हैं? की जाँच करें:

आइए इसे दोबारा लिखें:

आइए अपनी अभिव्यक्ति को थोड़ा रूपांतरित करें:

और जब मैं अपने छात्रों को यह सब समझाता हूं, तो लगभग हमेशा एक ही समस्या उत्पन्न होती है: पहले फ़ंक्शन के साथ सब कुछ कम या ज्यादा स्पष्ट होता है, दूसरे के साथ आप इसे भाग्य या अभ्यास से भी समझ सकते हैं, लेकिन आप किस प्रकार की वैकल्पिक चेतना रखते हैं तीसरे उदाहरण को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता है? दरअसल, डरो मत. अंतिम प्रतिअवकलन की गणना करते समय हमने जिस तकनीक का उपयोग किया था उसे "किसी फ़ंक्शन का उसके सरलतम में अपघटन" कहा जाता है, और यह एक बहुत ही गंभीर तकनीक है, और एक अलग वीडियो पाठ इसके लिए समर्पित होगा।

इस बीच, मैं उस पर लौटने का प्रस्ताव करता हूं जिसका हमने अभी अध्ययन किया है, अर्थात् घातांकीय कार्यों पर और उनकी सामग्री के साथ समस्याओं को कुछ हद तक जटिल बनाने पर।

प्रतिअवकलन घातीय कार्यों को हल करने के लिए अधिक जटिल समस्याएं

कार्य क्रमांक 1

आइए निम्नलिखित पर ध्यान दें:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

इस व्यंजक का प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए, बस मानक सूत्र - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ का उपयोग करें।

हमारे मामले में, प्रतिअवकलन इस प्रकार होगा:

बेशक, जिस डिज़ाइन को हमने अभी हल किया है, उसकी तुलना में यह सरल दिखता है।

समस्या क्रमांक 2

फिर, यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन को आसानी से दो अलग-अलग शब्दों - दो अलग-अलग अंशों में विभाजित किया जा सकता है। आइए फिर से लिखें:

ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करके इनमें से प्रत्येक पद का प्रतिअवकलज ज्ञात करना बाकी है:

पावर फ़ंक्शंस की तुलना में घातीय फ़ंक्शंस की स्पष्ट रूप से अधिक जटिलता के बावजूद, गणना और गणना की कुल मात्रा बहुत सरल हो गई।

बेशक, जानकार छात्रों के लिए, जो हमने अभी चर्चा की है (विशेषकर जो हमने पहले चर्चा की है उसकी पृष्ठभूमि में) प्राथमिक अभिव्यक्ति की तरह लग सकती है। हालाँकि, आज के वीडियो पाठ के लिए इन दो समस्याओं को चुनते समय, मैंने आपको एक और जटिल और परिष्कृत तकनीक बताने का लक्ष्य निर्धारित नहीं किया था - मैं आपको केवल यह दिखाना चाहता था कि आपको मूल कार्यों को बदलने के लिए मानक बीजगणित तकनीकों का उपयोग करने से डरना नहीं चाहिए। .

एक "गुप्त" तकनीक का उपयोग करना

अंत में, मैं एक और दिलचस्प तकनीक पर गौर करना चाहूंगा, जो एक तरफ, आज हमने मुख्य रूप से चर्चा की गई बातों से आगे निकल जाती है, लेकिन दूसरी तरफ, सबसे पहले, यह बिल्कुल भी जटिल नहीं है, यानी। यहां तक ​​कि शुरुआती छात्र भी इसमें महारत हासिल कर सकते हैं, और दूसरी बात, यह अक्सर सभी प्रकार के परीक्षणों और स्वतंत्र कार्यों में पाया जाता है, अर्थात। प्रतिअवकलजों की तालिका के ज्ञान के अतिरिक्त इसका ज्ञान भी बहुत उपयोगी होगा।

कार्य क्रमांक 1

जाहिर है, हमारे पास पावर फ़ंक्शन के समान ही कुछ है। इस मामले में हमें क्या करना चाहिए? आइए इसके बारे में सोचें: $x-5$, $x$ से बहुत अलग नहीं है - उन्होंने बस $-5$ जोड़ा है। आइए इसे इस तरह लिखें:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\ prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

आइए $((\left(x-5 \right))^(5))$ का व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\ prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\ prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

यह संकेत करता है:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ दाएं))^(\प्राइम ))\]

तालिका में ऐसा कोई मान नहीं है, इसलिए अब हमने पावर फ़ंक्शन के लिए मानक एंटीडेरिवेटिव फॉर्मूला का उपयोग करके इस सूत्र को स्वयं प्राप्त किया है। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें:

समस्या क्रमांक 2

कई छात्र जो पहले समाधान को देखते हैं, वे सोच सकते हैं कि सब कुछ बहुत सरल है: बस पावर फ़ंक्शन में $x$ को एक रैखिक अभिव्यक्ति के साथ बदलें, और सब कुछ ठीक हो जाएगा। दुर्भाग्य से, सब कुछ इतना सरल नहीं है, और अब हम इसे देखेंगे।

पहली अभिव्यक्ति के अनुरूप, हम निम्नलिखित लिखते हैं:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\ prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\प्राइम ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

अपने व्युत्पन्न पर लौटते हुए, हम लिख सकते हैं:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\ prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \दाएं))^(\प्राइम ))\]

यह तुरंत अनुसरण करता है:

समाधान की बारीकियां

कृपया ध्यान दें: यदि पिछली बार अनिवार्य रूप से कुछ भी नहीं बदला, तो दूसरे मामले में, $-10$ के बजाय $-30$ दिखाई दिया। $-10$ और $-30$ के बीच क्या अंतर है? जाहिर है, $-3$ के कारक से। प्रश्न: यह कहां से आया? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि इसे एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के परिणामस्वरूप लिया गया था - जो गुणांक $x$ था वह नीचे दिए गए एंटीडेरिवेटिव में दिखाई देता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम है, जिस पर मैंने शुरू में आज के वीडियो पाठ में चर्चा करने की योजना नहीं बनाई थी, लेकिन इसके बिना सारणीबद्ध प्रतिअवकलन की प्रस्तुति अधूरी होगी।

तो चलिए इसे फिर से करते हैं। मान लीजिए कि हमारा मुख्य शक्ति कार्य है:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

अब, $x$ के स्थान पर, अभिव्यक्ति $kx+b$ को प्रतिस्थापित करें। फिर क्या होगा? हमें निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \दाएं)\cdot k)\]

हम किस आधार पर यह दावा करते हैं? बहुत सरल। आइए ऊपर लिखे निर्माण का व्युत्पन्न खोजें:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \प्राइम ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

यह वही अभिव्यक्ति है जो मूल रूप से अस्तित्व में थी। इस प्रकार, यह सूत्र भी सही है, और इसका उपयोग एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका को पूरक करने के लिए किया जा सकता है, या पूरी तालिका को याद रखना बेहतर है।

"गुप्त: तकनीक" से निष्कर्ष:

• दोनों फ़ंक्शन जिन्हें हमने अभी देखा, वास्तव में, डिग्री का विस्तार करके तालिका में संकेतित एंटीडेरिवेटिव्स तक कम किया जा सकता है, लेकिन अगर हम कमोबेश किसी तरह चौथी डिग्री से निपट सकते हैं, तो मैं नौवीं डिग्री नहीं करूंगा सभी ने प्रकट करने का साहस किया।
• यदि हमें डिग्रियों का विस्तार करना होता, तो हम इतनी अधिक मात्रा में गणनाएँ कर लेते कि एक साधारण कार्य के लिए हमें अनुचित रूप से बड़ी मात्रा में समय लग जाता।
• इसीलिए ऐसी समस्याएं, जिनमें रैखिक अभिव्यक्तियाँ होती हैं, उन्हें "सिर झुकाकर" हल करने की आवश्यकता नहीं होती है। जैसे ही आपके सामने कोई ऐसा प्रतिअवकलन आता है जो तालिका में दिए गए प्रतिअवकलन से केवल अंदर अभिव्यक्ति $kx+b$ की उपस्थिति से भिन्न होता है, तुरंत ऊपर लिखे सूत्र को याद रखें, इसे अपनी तालिका प्रतिअवकलन में प्रतिस्थापित करें, और सब कुछ बहुत अच्छा हो जाएगा तेज़ और आसान.

स्वाभाविक रूप से, इस तकनीक की जटिलता और गंभीरता के कारण, हम भविष्य के वीडियो पाठों में कई बार इस पर विचार करेंगे, लेकिन आज के लिए बस इतना ही। मुझे आशा है कि यह पाठ वास्तव में उन छात्रों की मदद करेगा जो प्रतिअवकलन और एकीकरण को समझना चाहते हैं।

गणितीय विश्लेषण में एकीकरण मुख्य कार्यों में से एक है। ज्ञात प्रतिअवकलजों की तालिकाएँ उपयोगी हो सकती हैं, लेकिन अब, कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के आगमन के बाद, वे अपना महत्व खो रहे हैं। नीचे सबसे आम आदिमों की एक सूची दी गई है।

बुनियादी अभिन्नों की तालिका

एक और, कॉम्पैक्ट विकल्प

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की तालिका

तर्कसंगत कार्यों से

अतार्किक कार्यों से

पारलौकिक कार्यों का अभिन्न अंग

"सी" एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक है, जो किसी भी बिंदु पर अभिन्न का मान ज्ञात होने पर निर्धारित होता है। प्रत्येक फ़ंक्शन में अनंत संख्या में एंटीडेरिवेटिव होते हैं।

अधिकांश स्कूली बच्चों और विद्यार्थियों को समाकलन की गणना करने में समस्या होती है। इस पेज में शामिल है अभिन्न तालिकाएँत्रिकोणमितीय, तर्कसंगत, अपरिमेय और पारलौकिक कार्यों से जो समाधान में मदद करेंगे। डेरिवेटिव की एक तालिका भी आपकी सहायता करेगी।

वीडियो - इंटीग्रल कैसे खोजें

यदि आप इस विषय को ठीक से नहीं समझते हैं, तो वीडियो देखें, जिसमें सब कुछ विस्तार से बताया गया है।

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। अभिन्नों की तालिका. सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)।
पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।	पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।
एक इंटीग्रल जो पावर फ़ंक्शन के इंटीग्रल को कम कर देता है यदि x को अंतर चिह्न के तहत संचालित किया जाता है।
	एक घातांक का अभिन्न अंग, जहां a एक स्थिर संख्या है।
एक जटिल घातांकीय फलन का अभिन्न अंग।	एक घातांकीय फलन का अभिन्न अंग.
प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग।	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।	एक अभिन्न, जहां अंश में x को अंतर चिह्न के नीचे रखा जाता है (चिह्न के नीचे स्थिरांक को या तो जोड़ा या घटाया जा सकता है), अंततः प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग के समान होता है।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।
कोसाइन अभिन्न.	साइन इंटीग्रल.
स्पर्शरेखा के बराबर अभिन्न.	कोटैंजेंट के बराबर अभिन्न।
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर अभिन्न
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।	आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।
सहसंयोजक के बराबर समाकलन.	इंटीग्रल सेकेंट के बराबर।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कोसेसेंट के बराबर इंटीग्रल।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल।
हाइपरबोलिक साइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।
अतिपरवलयिक स्पर्शज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट के बराबर इंटीग्रल।
अतिशयोक्तिपूर्ण सेकेंट के बराबर अभिन्न।	अतिपरवलयिक सहसंयोजक के बराबर समाकलन.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। एकीकरण नियम.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एकीकरण के नियम।
किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) को एक स्थिरांक द्वारा एकीकृत करना:
कार्यों का योग एकीकृत करना:
अनिश्चितकालीन अभिन्न:
भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र निश्चित अभिन्न:
न्यूटन-लीबनिज सूत्र निश्चित अभिन्न:	जहाँ F(a),F(b) क्रमशः बिंदु b और a पर प्रतिअवकलन के मान हैं।

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न। उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

यदि x एक स्वतंत्र चर है, तो:

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न।"तालिका व्युत्पन्न" - हाँ, दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर उन्हें इसी प्रकार खोजा जाता है
	एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न
	प्रतिपादक की व्युत्पत्ति
एक जटिल घातीय फलन का व्युत्पन्न	घातीय फलन का व्युत्पन्न
लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न	प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
	किसी फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
साइन का व्युत्पन्न	कोसाइन का व्युत्पन्न
सहसंयोजक का व्युत्पन्न	सेकेंट का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
स्पर्शरेखा व्युत्पन्न	कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
अतिपरवलयिक छेदक का व्युत्पन्न	अतिपरवलयिक सहसंयोजक का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम. उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.
किसी स्थिरांक द्वारा किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) का व्युत्पन्न:
योग का व्युत्पन्न (कार्य):
उत्पाद का व्युत्पन्न (कार्य):
भागफल का व्युत्पन्न (कार्यों का):
एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

लघुगणक के गुण. लघुगणक के लिए मूल सूत्र. दशमलव (एलजी) और प्राकृतिक लघुगणक (एलएन)।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान
आइए दिखाते हैं कि a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को घातांकीय कैसे बनाया जा सकता है। चूँकि e x के रूप का एक फलन घातांकीय कहलाता है
a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को दस की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है

प्राकृतिक लघुगणक ln (आधार e का लघुगणक = 2.718281828459045...) ln(e)=1; एलएन(1)=0

टेलर श्रृंखला. किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार।

इससे पता चलता है कि बहुमत व्यावहारिक रूप से सामना करना पड़ागणितीय कार्यों को किसी निश्चित बिंदु के आसपास किसी भी सटीकता के साथ बढ़ते क्रम में एक चर की शक्तियों वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बिंदु x=1 के आसपास:

श्रृंखला का उपयोग करते समय कहा जाता है टेलर की पंक्तियाँबीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों वाले मिश्रित कार्यों को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। श्रृंखला का उपयोग करके, आप अक्सर जल्दी से भेदभाव और एकीकरण कर सकते हैं।

बिंदु a के पड़ोस में टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

1) , जहां f(x) एक फ़ंक्शन है जिसमें x = a पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं। आर एन - टेलर श्रृंखला में शेष पद अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

2)

श्रृंखला का k-वें गुणांक (x k पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3) टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला मैकलॉरिन (=मैकलारेन) श्रृंखला है (विस्तार बिंदु a=0 के आसपास होता है)

a=0 पर

श्रृंखला के सदस्यों का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जाता है

टेलर श्रृंखला का उपयोग करने की शर्तें।

1. फ़ंक्शन f(x) को अंतराल (-R;R) पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके लिए टेलर (मैकलॉरिन (=मैकलारेन)) सूत्र में शेष पद फ़ंक्शन निर्दिष्ट अंतराल (-R;R) पर k →∞ के रूप में शून्य हो जाता है।

2. यह आवश्यक है कि जिस बिंदु के आसपास हम टेलर श्रृंखला का निर्माण करने जा रहे हैं, उस बिंदु पर किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हों।

टेलर श्रृंखला के गुण.

यदि f एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है, तो इसकी टेलर श्रृंखला f की परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर a के कुछ पड़ोस में f में परिवर्तित हो जाती है।

ऐसे अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न कार्य हैं जिनकी टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन साथ ही ए के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए:

टेलर श्रृंखला का उपयोग बहुपदों द्वारा किसी फ़ंक्शन के सन्निकटन में किया जाता है (अनुमान एक वैज्ञानिक विधि है जिसमें कुछ वस्तुओं को दूसरों के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, एक अर्थ में या मूल के करीब, लेकिन सरल)। विशेष रूप से, रैखिककरण ((रैखिक से - रैखिक), बंद गैर-रेखीय प्रणालियों के अनुमानित प्रतिनिधित्व के तरीकों में से एक, जिसमें एक गैर-रेखीय प्रणाली के अध्ययन को एक रैखिक प्रणाली के विश्लेषण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, कुछ अर्थों में मूल के बराबर .) टेलर श्रृंखला में विस्तार करके और पहले क्रम से ऊपर के सभी पदों को काटकर समीकरण बनते हैं।

इस प्रकार, लगभग किसी भी फ़ंक्शन को दी गई सटीकता के साथ बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=मैकलारेन, टेलर बिंदु 0 के आसपास) और टेलर बिंदु 1 के आसपास। टेलर और मैकलारेन श्रृंखला में मुख्य कार्यों के विस्तार की पहली शर्तें।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=बिंदु 0 के आसपास मैकलेरन, टेलर)

बिंदु 1 के आसपास कुछ सामान्य टेलर श्रृंखला विस्तार के उदाहरण

आइए हम प्राथमिक कार्यों के अभिन्नों को सूचीबद्ध करें, जिन्हें कभी-कभी सारणीबद्ध कहा जाता है:

उपरोक्त किसी भी सूत्र को दाहिनी ओर का व्युत्पन्न लेकर सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम इंटीग्रैंड होगा)।

एकीकरण के तरीके

आइए कुछ बुनियादी एकीकरण विधियों पर नजर डालें। इसमे शामिल है:

1. अपघटन विधि(प्रत्यक्ष एकीकरण).

यह विधि सारणीबद्ध इंटीग्रल्स के प्रत्यक्ष उपयोग के साथ-साथ अनिश्चित इंटीग्रल के गुण 4 और 5 के उपयोग पर आधारित है (यानी, स्थिर कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना और/या इंटीग्रैंड को कार्यों के योग के रूप में प्रस्तुत करना - अपघटन) इंटीग्रैंड के शब्दों में)।

उदाहरण 1।उदाहरण के लिए, (dx/x 4) खोजने के लिए आप सीधे x n dx के लिए तालिका इंटीग्रल का उपयोग कर सकते हैं। वास्तव में,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

उदाहरण 2.इसे खोजने के लिए, हम उसी अभिन्न अंग का उपयोग करते हैं:

उदाहरण 3.इसे खोजने के लिए आपको लेने की जरूरत है

उदाहरण 4.खोजने के लिए, हम फॉर्म में इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं और घातीय फ़ंक्शन के लिए तालिका अभिन्न का उपयोग करें:

आइए एक स्थिर कारक कोष्ठक के उपयोग पर विचार करें।

उदाहरण 5.उदाहरण के लिए, आइए खोजें . उस पर विचार करने पर हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 6.हम इसे ढूंढ लेंगे. क्योंकि , आइए तालिका अभिन्न का उपयोग करें हम पाते हैं

निम्नलिखित दो उदाहरणों में, आप ब्रैकेटिंग और टेबल इंटीग्रल्स का भी उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 7.

(हम और का उपयोग करते हैं );

उदाहरण 8.

(हम उपयोग करते हैं और ).

आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें जो योग अभिन्न का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 9.उदाहरण के लिए, आइए खोजें
. अंश में विस्तार विधि लागू करने के लिए, हम योग घन सूत्र  का उपयोग करते हैं, और फिर परिणामी बहुपद को हर से, पद दर पद विभाजित करते हैं।

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समाधान के अंत में एक सामान्य स्थिरांक C लिखा जाता है (और प्रत्येक पद को एकीकृत करते समय अलग-अलग नहीं)। भविष्य में, समाधान प्रक्रिया में व्यक्तिगत शब्दों के एकीकरण से स्थिरांक को हटाने का भी प्रस्ताव है जब तक कि अभिव्यक्ति में कम से कम एक अनिश्चित अभिन्न अंग शामिल हो (हम समाधान के अंत में एक स्थिरांक लिखेंगे)।

उदाहरण 10.हम ढूंढ लेंगे . इस समस्या को हल करने के लिए, आइए अंश का गुणनखंड करें (इसके बाद हम हर को कम कर सकते हैं)।

उदाहरण 11.हम इसे ढूंढ लेंगे. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग यहां किया जा सकता है।

कभी-कभी, किसी अभिव्यक्ति को शब्दों में विघटित करने के लिए, आपको अधिक जटिल तकनीकों का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण 12.हम ढूंढ लेंगे . इंटीग्रैंड में हम भिन्न के पूरे भाग का चयन करते हैं . तब

उदाहरण 13.हम ढूंढ लेंगे

2. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

विधि निम्नलिखित सूत्र पर आधारित है: f(x)dx=f((t))`(t)dt, जहां x =(t) विचाराधीन अंतराल पर अवकलनीय एक फ़ंक्शन है।

सबूत। आइए सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्षों से चर t के संबंध में व्युत्पन्न खोजें।

ध्यान दें कि बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन है जिसका मध्यवर्ती तर्क x = (t) है। इसलिए, इसे t के संबंध में अलग करने के लिए, हम पहले x के संबंध में अभिन्न को अलग करते हैं, और फिर t के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न लेते हैं।

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

दाईं ओर से व्युत्पन्न:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

चूँकि ये व्युत्पन्न समान हैं, लैग्रेंज के प्रमेय के परिणाम से, सिद्ध किए जा रहे सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्ष एक निश्चित स्थिरांक से भिन्न होते हैं। चूँकि अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग स्वयं अनिश्चितकालीन स्थिर पद तक परिभाषित होते हैं, इस स्थिरांक को अंतिम संकेतन से छोड़ा जा सकता है। सिद्ध किया हुआ।

चर का एक सफल परिवर्तन आपको मूल अभिन्न को सरल बनाने की अनुमति देता है, और सबसे सरल मामलों में, इसे एक सारणीबद्ध रूप में कम कर देता है। इस पद्धति के अनुप्रयोग में, रैखिक और अरेखीय प्रतिस्थापन विधियों के बीच अंतर किया जाता है।

ए) रैखिक प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1।
. मान लीजिए t= 1 – 2x, तो

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए वेरिएबल को स्पष्ट रूप से लिखने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे मामलों में, वे किसी फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत बदलने या अंतर चिह्न के तहत स्थिरांक और चर पेश करने के बारे में बात करते हैं, यानी। हे अंतर्निहित परिवर्तनीय प्रतिस्थापन.

उदाहरण 2.उदाहरण के लिए, आइए cos(3x + 2)dx खोजें। अंतर के गुणों द्वारा dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), फिरcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

विचार किए गए दोनों उदाहरणों में, अभिन्नों को खोजने के लिए रैखिक प्रतिस्थापन t=kx+b(k0) का उपयोग किया गया था।

सामान्य स्थिति में, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

रैखिक प्रतिस्थापन प्रमेय. मान लीजिए F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है। फिरf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, जहां k और b कुछ स्थिरांक हैं,k0.

सबूत।

अभिन्न अंग की परिभाषा के अनुसार f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. आइए स्थिर कारक k को अभिन्न चिह्न से बाहर निकालें: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. अब हम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं और स्थिर पद के पदनाम तक सिद्ध होने वाला कथन प्राप्त कर सकते हैं।

यह प्रमेय बताता है कि यदि अभिन्न f(x)dx= F(x) + C की परिभाषा में तर्क x के बजाय हम अभिव्यक्ति (kx+b) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो इससे एक अतिरिक्त की उपस्थिति होगी प्रतिअवकलन के सामने कारक 1/k.

सिद्ध प्रमेय का उपयोग करके, हम निम्नलिखित उदाहरणों को हल करते हैं।

उदाहरण 3.

हम ढूंढ लेंगे . यहाँ kx+b= 3 –x, यानी k= -1,b= 3. फिर

उदाहरण 4.

हम इसे ढूंढ लेंगे. यहाँkx+b= 4x+ 3, यानी k= 4,b= 3. फिर

उदाहरण 5.

हम ढूंढ लेंगे . यहाँ kx+b= -2x+ 7, यानी k= -2,b= 7. फिर

.

उदाहरण 6.हम ढूंढ लेंगे
. यहां kx+b= 2x+ 0, यानी k= 2,b= 0.

.

आइए प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 8 से करें, जिसे अपघटन विधि द्वारा हल किया गया था। एक ही समस्या को भिन्न विधि से हल करने पर हमें उत्तर मिल गया
. आइए परिणामों की तुलना करें: इस प्रकार, ये अभिव्यक्तियाँ एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होती हैं , अर्थात। प्राप्त उत्तर एक-दूसरे का खंडन नहीं करते।

उदाहरण 7.हम ढूंढ लेंगे
. आइए हर में एक पूर्ण वर्ग चुनें।

कुछ मामलों में, एक वेरिएबल को बदलने से इंटीग्रल को सीधे सारणीबद्ध रूप में कम नहीं किया जा सकता है, बल्कि समाधान को सरल बनाया जा सकता है, जिससे अगले चरण में विस्तार विधि का उपयोग करना संभव हो जाता है।

उदाहरण 8.उदाहरण के लिए, आइए खोजें . t=x+ 2 को प्रतिस्थापित करें, फिर dt=d(x+ 2) =dx। तब

,

जहाँ C = C 1 – 6 (पहले दो पदों के स्थान पर व्यंजक (x+ 2) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ½x 2 -2x– 6 प्राप्त होता है)।

उदाहरण 9.हम ढूंढ लेंगे
. मान लीजिए t= 2x+ 1, तो dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

आइए अभिव्यक्ति (2x+ 1) को t के स्थान पर रखें, कोष्ठक खोलें और समान कोष्ठक दें।

ध्यान दें कि परिवर्तनों की प्रक्रिया में हम दूसरे स्थिर पद की ओर चले गए, क्योंकि परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान स्थिर पदों के समूह को छोड़ा जा सकता है।

बी) अरेखीय प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1।
. लेट = -x 2. इसके बाद, कोई x को t के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है, फिर dx के लिए एक अभिव्यक्ति ढूंढ सकता है और वांछित अभिन्न अंग में चर के परिवर्तन को लागू कर सकता है। लेकिन इस मामले में चीजों को अलग तरीके से करना आसान है। आइए खोजेंdt=d(-x 2) = -2xdx. ध्यान दें कि अभिव्यक्ति xdx वांछित अभिन्न के समाकलन का एक कारक है। आइए इसे परिणामी समानताxdx= - ½dt से व्यक्त करें। तब

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+सी

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2.हम ढूंढ लेंगे . मान लीजिए t= 1 -x 2 . तब

उदाहरण 3.हम ढूंढ लेंगे . लेट=. तब

;

उदाहरण 4.अरेखीय प्रतिस्थापन के मामले में, अंतर्निहित परिवर्तनीय प्रतिस्थापन का उपयोग करना भी सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें
. आइए xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) लिखें (स्पष्ट रूप से वेरिएबल t= 3 - 2x 2 द्वारा प्रतिस्थापित)। तब

उदाहरण 5.हम ढूंढ लेंगे . यहां हम विभेदक चिह्न के अंतर्गत एक चर का भी परिचय देते हैं: (अंतर्निहित प्रतिस्थापन = 3 + 5x 3)। तब

उदाहरण 6.हम ढूंढ लेंगे . क्योंकि ,

उदाहरण 7.हम इसे ढूंढ लेंगे. के बाद से

आइए कुछ उदाहरण देखें जिनमें विभिन्न प्रतिस्थापनों को संयोजित करना आवश्यक हो जाता है।

उदाहरण 8.हम ढूंढ लेंगे
. मान लीजिए = 2x+ 1, फिरx= (t– 1)/2;dx= ½dt.

उदाहरण 9.हम ढूंढ लेंगे
. मान लीजिए कि =x- 2, तोx=t+ 2;dx=dt.

प्रतिअवकलजों की तालिका (अनिश्चित समाकलों की तालिका) का उपयोग करके प्रत्यक्ष एकीकरण

प्रतिअवकलजों की तालिका

यदि हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों का उपयोग करते हैं तो हम किसी फ़ंक्शन के ज्ञात अंतर से प्रतिअवकलन पा सकते हैं। बुनियादी प्राथमिक कार्यों की तालिका से, समानताओं का उपयोग करना ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C और ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) dx हम प्रतिअवकलन की एक तालिका बना सकते हैं।

आइए अवकलजों की तालिका को अवकलन के रूप में लिखें।

स्थिरांक y = C सी" = 0 पावर फ़ंक्शन y = x p. (एक्स पी) " = पी एक्स पी - 1	स्थिरांक y = C डी (सी) = 0 डी एक्स पावर फ़ंक्शन y = x p. डी (एक्स पी) = पी एक्स पी - 1 डी एक्स
(ए एक्स) " = ए एक्स एलएन ए	घातांकीय फलन y = a x. डी (ए एक्स) = ए एक्स एलएन α डी एक्स विशेष रूप से, a = e के लिए हमारे पास y = e x है डी (ई एक्स) = ई एक्स डी एक्स
लॉग ए एक्स " = 1 एक्स एलएन ए	लघुगणकीय फलन y = log a x . डी (लॉग ए एक्स) = डी एक्स एक्स एलएन ए विशेष रूप से, a = e के लिए हमारे पास y = ln x है डी (एलएन एक्स) = डी एक्स एक्स
त्रिकोणमितीय कार्य। पाप x " = cos x (cos x) " = - पाप x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 पाप 2 x	त्रिकोणमितीय कार्य। डी सिन एक्स = कॉस एक्स · डी एक्स डी (कॉस एक्स) = - सिन एक्स · डी एक्स डी (टी जी एक्स) = डी एक्स सी ओ एस 2 एक्स डी (सी टी जी एक्स) = - डी एक्स सिन 2 एक्स
ए आर सी सिन एक्स " = 1 1 - एक्स 2 ए आर सी कॉस एक्स " = - 1 1 - एक्स 2 ए आर सी टी जी एक्स " = 1 1 + एक्स 2 ए आर सी सी टी जी एक्स " = - 1 1 + एक्स 2	व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन. डी ए आर सी सिन एक्स = डी एक्स 1 - एक्स 2 डी ए आर सी कॉस एक्स = - डी एक्स 1 - एक्स 2 डी ए आर सी टी जी एक्स = डी एक्स 1 + एक्स 2 डी ए आर सी सी टी जी एक्स = - डी एक्स 1 + एक्स 2

आइए उपरोक्त को एक उदाहरण से स्पष्ट करें। आइए घात फलन f (x) = x p का अनिश्चितकालीन समाकलन ज्ञात करें।

अंतरों की तालिका के अनुसार d (x p) = p · x p - 1 · d x. अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों से हमारे पास ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C है। इसलिए, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. प्रविष्टि का दूसरा संस्करण इस प्रकार है: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + सी 1, पी ≠ - 1.

आइए इसे -1 के बराबर लें और पावर फ़ंक्शन f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x के प्रतिअवकलन का सेट ढूंढें।

अब हमें प्राकृतिक लघुगणक d (ln x) = d x x, x > 0 के लिए अंतरों की एक तालिका की आवश्यकता है, इसलिए ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x। इसलिए ∫ d x x = ln x , x > 0।

प्रतिअवकलजों की तालिका (अनिश्चित समाकलन)

तालिका के बाएँ स्तंभ में ऐसे सूत्र हैं जिन्हें मूल प्रतिअवकलज कहा जाता है। दाएं कॉलम में सूत्र बुनियादी नहीं हैं, लेकिन अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इन्हें विभेदन द्वारा जांचा जा सकता है।

प्रत्यक्ष एकीकरण

प्रत्यक्ष एकीकरण करने के लिए, हम प्रतिअवकलजों की तालिकाओं, एकीकरण नियमों ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, साथ ही अनिश्चित अभिन्नों के गुणों ∫ k f (x) d x = k का उपयोग करेंगे। ∫ एफ (एक्स) डी एक्स ∫ (एफ (एक्स) ± जी (एक्स)) डी एक्स = ∫ एफ (एक्स) डी एक्स ± ∫ जी (एक्स) डी एक्स

बुनियादी इंटीग्रल की तालिका और इंटीग्रल के गुणों का उपयोग इंटीग्रैंड के आसान परिवर्तन के बाद ही किया जा सकता है।

उदाहरण 1

आइए अभिन्न अंग ∫ 3 पाप x 2 + cos x 2 2 d x ज्ञात करें

समाधान

हम अभिन्न चिह्न के नीचे से गुणांक 3 हटाते हैं:

∫ 3 पाप x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ पाप x 2 + cos x 2 2 d x

त्रिकोणमिति सूत्रों का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को बदलते हैं:

3 ∫ पाप x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ पाप x 2 2 + 2 पाप x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 पाप x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + पाप x घ x

चूँकि योग का समाकलन समाकलों के योग के बराबर होता है, तो
3 ∫ 1 + पाप x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ पाप x d x

हम प्रतिअवकलजों की तालिका से डेटा का उपयोग करते हैं: 3 ∫ 1 d x + ∫ syn x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = खाली 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos एक्स + सी

उत्तर:∫ 3 पाप x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C।

उदाहरण 2

फलन f (x) = 2 3 4 x - 7 के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

हम घातांकीय फलन के लिए प्रतिअवकलन तालिका का उपयोग करते हैं: ∫ a x · d x = a x ln a + C। इसका मतलब है कि ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

हम एकीकरण नियम ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C का उपयोग करते हैं।

हमें ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C मिलता है।

उत्तर: एफ (एक्स) = 2 3 4 एक्स - 7 = 4 3 2 3 4 एक्स - 7 एलएन 2 + सी

प्रतिअवकलजों, गुणों और एकीकरण के नियम की तालिका का उपयोग करके, हम बहुत से अनिश्चित अभिन्न अंग पा सकते हैं। यह उन मामलों में संभव है जहां इंटीग्रैंड को बदलना संभव है।

लघुगणक फ़ंक्शन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फ़ंक्शन और कई अन्य के अभिन्न अंग को खोजने के लिए, विशेष तरीकों का उपयोग किया जाता है, जिस पर हम "एकीकरण के बुनियादी तरीकों" अनुभाग में विचार करेंगे।

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