इस लेख में हम इस सवाल के जवाब पाएंगे कि किसी समतल पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण कैसे बनाया जाए और इस प्रक्षेपण के निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाएं। सैद्धांतिक भाग में हम प्रक्षेपण की अवधारणा पर भरोसा करेंगे। हम शर्तों को परिभाषित करेंगे और उदाहरणों के साथ जानकारी प्रदान करेंगे। आइए उदाहरणों को हल करके अर्जित ज्ञान को समेकित करें।

प्रक्षेपण, प्रक्षेपण के प्रकार

स्थानिक आकृतियों को देखने की सुविधा के लिए, इन आकृतियों को दर्शाने वाले चित्रों का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

एक समतल पर किसी आकृति का प्रक्षेपण– एक स्थानिक आकृति का चित्रण.

जाहिर है, प्रक्षेपण के निर्माण के लिए कई नियमों का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 2

प्रक्षेपण- निर्माण नियमों का उपयोग करके एक विमान पर एक स्थानिक आकृति का चित्र बनाने की प्रक्रिया।

प्रक्षेपण विमान- यह वह तल है जिसमें छवि का निर्माण किया जाता है।

कुछ नियमों का उपयोग प्रक्षेपण के प्रकार को निर्धारित करता है: केंद्रीयया समानांतर.

समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला लंबवत प्रक्षेपण या ऑर्थोगोनल है: ज्यामिति में इसका मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है। इस कारण से, विशेषण "लंबवत" को अक्सर भाषण में छोड़ दिया जाता है: ज्यामिति में वे बस "एक आकृति का प्रक्षेपण" कहते हैं और इसका मतलब लंबवत प्रक्षेपण की विधि का उपयोग करके एक प्रक्षेपण का निर्माण करना है। विशेष मामलों में, निश्चित रूप से, किसी और बात पर सहमति हो सकती है।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक समतल पर किसी आकृति का प्रक्षेपण अनिवार्य रूप से इस आकृति के सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण है। इसलिए, किसी चित्र में किसी स्थानिक आकृति का अध्ययन करने में सक्षम होने के लिए, किसी बिंदु को समतल पर प्रक्षेपित करने का बुनियादी कौशल हासिल करना आवश्यक है। हम नीचे किस बारे में बात करेंगे।

आइए हम याद करें कि ज्यामिति में अक्सर, जब किसी समतल पर प्रक्षेपण के बारे में बात की जाती है, तो उनका मतलब लंबवत प्रक्षेपण के उपयोग से होता है।

आइए हम ऐसे निर्माण करें जो हमें एक समतल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की परिभाषा प्राप्त करने का अवसर देंगे।

मान लीजिए कि एक त्रि-आयामी स्थान दिया गया है, और इसमें एक विमान α और एक बिंदु एम 1 है जो विमान α से संबंधित नहीं है। दिए गए बिंदु M से होकर एक सीधी रेखा खींचिए एकिसी दिए गए विमान α के लंबवत। हम सीधी रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु को H 1 के रूप में निरूपित करते हैं; निर्माण के अनुसार, यह बिंदु M 1 से समतल α पर गिराए गए लंबवत के आधार के रूप में कार्य करेगा।

यदि किसी दिए गए विमान α से संबंधित एक बिंदु एम 2 दिया गया है, तो एम 2 विमान α पर स्वयं के प्रक्षेपण के रूप में कार्य करेगा।

परिभाषा 3

- यह या तो स्वयं बिंदु है (यदि यह किसी दिए गए विमान से संबंधित है), या किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर गिराए गए लंबवत का आधार है।

एक समतल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक ढूँढना, उदाहरण

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में निम्नलिखित दिया गया है: एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z, एक समतल α, एक बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1)। किसी दिए गए तल पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान स्पष्ट रूप से एक तल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की ऊपर दी गई परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए हम समतल α पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण को H 1 के रूप में निरूपित करें। परिभाषा के अनुसार, H 1 किसी दिए गए विमान α का प्रतिच्छेदन बिंदु है और बिंदु M 1 (विमान के लंबवत) के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा है। वे। बिंदु M1 के प्रक्षेपण के जिन निर्देशांकों की हमें आवश्यकता है वे सीधी रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं।

इस प्रकार, किसी समतल पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए यह आवश्यक है:

समतल α का समीकरण प्राप्त करें (यदि यह निर्दिष्ट नहीं है)। समतल समीकरणों के प्रकारों के बारे में एक लेख यहां आपकी सहायता करेगा;

बिंदु M 1 से गुजरने वाली और समतल α के लंबवत रेखा a का समीकरण निर्धारित करें (किसी दिए गए तल के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण के बारे में विषय का अध्ययन करें);

सीधी रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें (लेख - समतल और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना)। प्राप्त डेटा वे निर्देशांक होंगे जिनकी हमें समतल α पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण के लिए आवश्यकता होगी।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों के साथ सिद्धांत को देखें।

उदाहरण 1

समतल 2 x – 3 y + z - 2 = 0 पर बिंदु M 1 (- 2, 4, 4) के प्रक्षेपण के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान

जैसा कि हम देखते हैं, समतल का समीकरण हमें दिया गया है, अर्थात्। इसे संकलित करने की कोई आवश्यकता नहीं है.

आइए हम बिंदु M 1 से गुजरने वाली और दिए गए तल के लंबवत एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखें। इन उद्देश्यों के लिए, हम सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। चूँकि रेखा a किसी दिए गए तल पर लंबवत है, रेखा a का दिशा सदिश समतल 2 x - 3 y + z - 2 = 0 का सामान्य सदिश है। इस प्रकार, a → = (2, - 3, 1) - सीधी रेखा a का दिशा सदिश।

अब हम अंतरिक्ष में बिंदु M 1 (- 2, 4, 4) से गुजरने वाली और दिशा वेक्टर वाली एक रेखा के विहित समीकरण बनाएंगे ए → = (2 , - 3 , 1) :

एक्स + 2 2 = वाई - 4 - 3 = जेड - 4 1

आवश्यक निर्देशांक खोजने के लिए, अगला चरण सीधी रेखा x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 और समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना है। 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . इन उद्देश्यों के लिए, हम विहित समीकरणों से दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों की ओर बढ़ते हैं:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

और आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

इस प्रकार, किसी दिए गए समतल α पर दिए गए बिंदु M 1 के आवश्यक निर्देशांक होंगे: (0, 1, 5)।

उत्तर: (0 , 1 , 5) .

उदाहरण 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z में, बिंदु A (0, 0, 2) दिए गए हैं; बी (2, - 1, 0); सी (4, 1, 1) और एम 1 (-1, -2, 5)। समतल A B C पर प्रक्षेपण M 1 के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है

समाधान

सबसे पहले, हम तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण लिखते हैं:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

आइए हम रेखा a के पैरामीट्रिक समीकरण लिखें, जो विमान A B C के लंबवत बिंदु M 1 से होकर गुजरेगी। विमान x - 2 y + 2 z - 4 = 0 में निर्देशांक (1, -) के साथ एक सामान्य वेक्टर है 2, 2), यानी वेक्टर a → = (1, - 2, 2) - सीधी रेखा a का दिशा सदिश।

अब, रेखा एम 1 के बिंदु के निर्देशांक और इस रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक होने पर, हम अंतरिक्ष में रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं:

फिर हम समतल x – 2 y + 2 z – 4 = 0 और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करते हैं

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

ऐसा करने के लिए, हम समतल के समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

अब, पैरामीट्रिक समीकरण x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ का उपयोग करके, हम λ = - 1 के लिए चर x, y और z के मान पाते हैं: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

इस प्रकार, समतल A B C पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण में निर्देशांक (- 2, 0, 3) होंगे।

उत्तर: (- 2 , 0 , 3) .

आइए हम समन्वय विमानों और समन्वय विमानों के समानांतर वाले विमानों पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजने के मुद्दे पर अलग से ध्यान दें।

मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और निर्देशांक तल O x y, O x z और O y z दिए गए हैं। इन तलों पर इस बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक क्रमशः होंगे: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) और (0, y 1, z 1)। आइए हम दिए गए निर्देशांक तलों के समानांतर समतलों पर भी विचार करें:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

और इन तलों पर दिए गए बिंदु M 1 के प्रक्षेपण निर्देशांक x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 और - D A, y 1, z 1 वाले बिंदु होंगे।

आइए प्रदर्शित करें कि यह परिणाम कैसे प्राप्त हुआ।

उदाहरण के तौर पर, आइए समतल A x + D = 0 पर बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) के प्रक्षेपण को परिभाषित करें। बाकी मामले भी ऐसे ही हैं.

दिया गया तल निर्देशांक तल O y z के समानांतर है और i → = (1, 0, 0) इसका सामान्य वेक्टर है। वही वेक्टर O y z तल पर लंबवत रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में कार्य करता है। तब बिंदु M 1 से होकर किसी दिए गए तल पर लंबवत खींची गई एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण इस प्रकार होंगे:

एक्स = एक्स 1 + λ वाई = वाई 1 जेड = जेड 1

आइए इस रेखा और दिए गए तल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। आइए सबसे पहले समीकरण A x + D = 0 में समानताएं रखें: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 और प्राप्त करें: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - डी ए - एक्स 1

फिर हम λ = - D A - x 1 के साथ सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके आवश्यक निर्देशांक की गणना करते हैं:

एक्स = एक्स 1 + - डी ए - एक्स 1 वाई = वाई 1 जेड = जेड 1 ⇔ एक्स = - डी ए वाई = वाई 1 जेड = जेड 1

अर्थात्, समतल पर बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) का प्रक्षेपण निर्देशांक वाला एक बिंदु होगा - D A, y 1, z 1।

उदाहरण 2

निर्देशांक तल O x y पर और समतल 2 y - 3 = 0 पर बिंदु M 1 (- 6, 0, 1 2) के प्रक्षेपण के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

निर्देशांक तल O x y, समतल z = 0 के अपूर्ण सामान्य समीकरण के अनुरूप होगा। समतल z = 0 पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण में निर्देशांक (- 6, 0, 0) होंगे।

समतल समीकरण 2 y - 3 = 0 को y = 3 2 2 के रूप में लिखा जा सकता है। अब बस बिंदु M 1 (- 6, 0, 1 2) के प्रक्षेपण के निर्देशांक को समतल y = 3 2 2 पर लिखें:

6 , 3 2 2 , 1 2

उत्तर:(- 6 , 0 , 0) और - 6 , 3 2 2 , 1 2

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

सदिशों का उपयोग करके बनाए गए समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए

5) यदि वेक्टर c = 42 के 3 मूल हैं, तो वेक्टर a और b के बीच के कोण के समद्विभाजक के अनुदिश निर्देशित वेक्टर c के निर्देशांक निर्धारित करें। a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

आइए यूनिट वेक्टर e_a को a के साथ सह-दिशा में ढूंढें:

इसी प्रकार e_b = b/|b|,

तब वांछित वेक्टर को वेक्टर योग e_a+e_b के समान ही निर्देशित किया जाएगा, क्योंकि (e_a+e_b) एक समचतुर्भुज का विकर्ण है, जो है इसके कोण का समद्विभाजक.

आइए हम (e_a+e_b)=d को निरूपित करें,

आइए एक इकाई वेक्टर ढूंढें जो द्विभाजक के साथ निर्देशित है: e_c = d/|d|

यदि |सी| = 3*sqrt(42), फिर c = |c|*e_c. बस इतना ही।

इन चार गैर-समतलीय सदिशों के बीच रैखिक संबंध खोजें: p=a+b; क्यू=बी-सी; आर=ए-बी+सी; s=b+(1/2)*c

पहली तीन समानताओं से, `a,b,c` को `p,q,r` के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करें (दूसरे और तीसरे समीकरण को जोड़कर शुरू करें)। फिर अंतिम समीकरण में `b` और `c` को `p,q,r` के संदर्भ में मिले भावों से बदलें।

13) समतल x + y + 2z – 3 = 0 के लंबवत बिंदु A(2, -1, 4) और B(3, 2, -1) से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।समतल के आवश्यक समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + By + Cz + D = 0, इस समतल का सामान्य सदिश (A, B, C)। सदिश (1, 3, -5) समतल से संबंधित है। हमें दिए गए तल में, वांछित तल के लंबवत, एक सामान्य सदिश (1, 1, 2) है। क्योंकि बिंदु A और B दोनों तलों से संबंधित हैं, और तल परस्पर लंबवत हैं, तो सामान्य वेक्टर (11, -7, -2) है। क्योंकि बिंदु A वांछित तल से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक को इस तल के समीकरण को संतुष्ट करना होगा, अर्थात। 11×2 + 7×1 - 2×4 + डी = 0; डी = -21. कुल मिलाकर, हमें समतल का समीकरण मिलता है: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) एक सदिश के समांतर रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

मान लीजिए कि वांछित तल सीधी रेखा (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 से होकर गुजरता है जो सीधी रेखा (x-x2)/a2 = (y-y2) के समानांतर है। /बी2 = (जेड -जेड2)/सी2।

तब समतल का सामान्य सदिश इन रेखाओं के दिशा सदिशों का सदिश गुणनफल होता है:

माना वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक (A;B;C) हैं। वांछित तल बिंदु (x1;y1;z1) से होकर गुजरता है। सामान्य वेक्टर और वह बिंदु जिसके माध्यम से विमान गुजरता है, विशिष्ट रूप से वांछित विमान के समीकरण को निर्धारित करता है:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) रेखा 3x - 7y + 14 = 0 के लंबवत बिंदु A(5, -1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

18) दिए गए तल M(4,3,1) x+3y+5z-42=0 के लंबवत बिंदु M से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - आपका बिंदु M(4,3,1)

(एन, एम, पी) - रेखा का निर्देशन वेक्टर, जिसे किसी दी गई सतह (1, 3, 5) के लिए सामान्य वेक्टर के रूप में भी जाना जाता है (समतल समीकरण में चर x, y, z के लिए गुणांक)

एक समतल पर एक बिंदु का प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए

बिंदु M(1,-3,2), समतल 2x+5y-3z-19=0

किसी बिंदु और सीधी रेखा तथा समतल जैसी ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी को जाने बिना अंतरिक्ष और समतल पर आकृतियों के गुणों का अध्ययन करना असंभव है। इस लेख में हम दिखाएंगे कि एक समतल पर और एक सीधी रेखा पर एक बिंदु के प्रक्षेपण पर विचार करके इन दूरियों को कैसे खोजा जाए।

द्वि-आयामी और त्रि-आयामी स्थानों के लिए एक सीधी रेखा का समीकरण

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक समतल की दूरी की गणना इन वस्तुओं पर उसके प्रक्षेपण का उपयोग करके की जाती है। इन प्रक्षेपणों को खोजने में सक्षम होने के लिए, आपको पता होना चाहिए कि रेखाओं और विमानों के समीकरण किस रूप में दिए गए हैं। आइए पहले वाले से शुरू करें।

एक सीधी रेखा बिंदुओं का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक को पिछले एक से एक दूसरे के समानांतर वैक्टर में स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु M और N है। उन्हें जोड़ने वाला वेक्टर MN¯ M को N पर ले जाता है। एक तीसरा बिंदु P भी है। यदि वेक्टर MP¯ या NP¯ MN¯ के समानांतर है, तो सभी तीन बिंदु स्थित हैं एक ही पंक्ति बनाएं और इसे बनाएं।

अंतरिक्ष के आयाम के आधार पर, रेखा को परिभाषित करने वाला समीकरण अपना रूप बदल सकता है। इस प्रकार, अंतरिक्ष में x पर निर्देशांक y की प्रसिद्ध रैखिक निर्भरता एक ऐसे विमान का वर्णन करती है जो तीसरे अक्ष z के समानांतर है। इस संबंध में, इस लेख में हम रेखा के लिए केवल सदिश समीकरण पर विचार करेंगे। इसका स्वरूप समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए समान है।

अंतरिक्ष में, एक सीधी रेखा को निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

यहां, शून्य सूचकांक वाले निर्देशांक मान रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु के अनुरूप हैं, u¯(a; b; c) दिशा वेक्टर के निर्देशांक हैं जो इस रेखा पर स्थित हैं, α एक मनमाना वास्तविक संख्या है, द्वारा जिसे बदलकर आप रेखा के सभी बिंदु प्राप्त कर सकते हैं। इस समीकरण को सदिश समीकरण कहा जाता है.

उपरोक्त समीकरण को अक्सर विस्तारित रूप में लिखा जाता है:

इसी तरह, आप एक समतल में, यानी द्वि-आयामी अंतरिक्ष में स्थित एक रेखा के लिए समीकरण लिख सकते हैं:

(एक्स; वाई) = (एक्स 0 ; वाई 0) + α*(ए; बी);

समतल समीकरण

एक बिंदु से प्रक्षेपण तल तक की दूरी ज्ञात करने में सक्षम होने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक तल को कैसे परिभाषित किया जाता है। एक सीधी रेखा की तरह, इसे कई तरीकों से दर्शाया जा सकता है। यहां हम केवल एक पर विचार करेंगे: सामान्य समीकरण।

मान लीजिए कि बिंदु M(x 0 ; y 0 ; z 0) समतल से संबंधित है, और वेक्टर n¯(A; B; C) इसके लंबवत है, तो सभी बिंदुओं (x; y; z) के लिए समतल समानता मान्य होगी:

A*x + B*y + C*z + D = 0, जहां D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

यह याद रखना चाहिए कि इस सामान्य समतल समीकरण में, गुणांक A, B और C, समतल के अभिलम्बवत् सदिश के निर्देशांक हैं।

निर्देशांक द्वारा दूरियों की गणना

किसी बिंदु के तल और एक सीधी रेखा पर प्रक्षेपणों पर विचार करने से पहले, यह याद रखने योग्य है कि दो ज्ञात बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना कैसे की जाए।

मान लीजिए कि दो स्थानिक बिंदु हैं:

ए 1 (एक्स 1 ; वाई 1 ; जेड 1) और ए 2 (एक्स 2 ; वाई 2 ​; जेड 2)

फिर उनके बीच की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

ए 1 ए 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके, वेक्टर A 1 A 2 ¯ की लंबाई भी निर्धारित की जाती है।

समतल पर मामले के लिए, जब दो बिंदुओं को केवल निर्देशांक की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो हम इसमें z वाले पद की उपस्थिति के बिना एक समान समानता लिख ​​सकते हैं:

ए 1 ए 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

आइए अब हम एक बिंदु के समतल पर एक सीधी रेखा पर और अंतरिक्ष में एक समतल पर प्रक्षेपण के विभिन्न मामलों पर विचार करें।

बिंदु, रेखा और उनके बीच की दूरी

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक रेखा है:

पी 2 (एक्स 1 ; वाई 1);

(एक्स; वाई) = (एक्स 0 ; वाई 0) + α*(ए; बी)

इन ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी वेक्टर की लंबाई के अनुरूप होगी, जिसकी शुरुआत बिंदु पी 2 पर है, और अंत निर्दिष्ट रेखा पर बिंदु पी पर है जिसके लिए वेक्टर पी 2 पी ¯ इसके लंबवत है रेखा। बिंदु P को विचाराधीन रेखा पर बिंदु P 2 का प्रक्षेपण कहा जाता है।

नीचे एक चित्र है जो बिंदु P 2, रेखा से इसकी दूरी d, साथ ही दिशा वेक्टर v 1 ¯ दर्शाता है। साथ ही, रेखा पर एक मनमाना बिंदु P 1 चुना जाता है और उससे P 2 तक एक वेक्टर खींचा जाता है। यहां बिंदु P उस स्थान से मेल खाता है जहां लंब रेखा को काटता है।

यह देखा जा सकता है कि नारंगी और लाल तीर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसकी भुजाएँ सदिश P 1 P 2 ¯ और v 1 ¯ हैं, और ऊँचाई d है। ज्यामिति से ज्ञात होता है कि किसी समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए उसके क्षेत्रफल को उस आधार की लंबाई से विभाजित करना चाहिए जिस पर लंब डाला गया है। चूँकि एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना उसकी भुजाओं के सदिश गुणनफल के रूप में की जाती है, इसलिए हमें d की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है:

डी = ||/|वी 1 ¯|

इस अभिव्यक्ति में सभी वैक्टर और बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं, इसलिए आप बिना कोई परिवर्तन किए इसका उपयोग कर सकते हैं।

इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था. ऐसा करने के लिए, दो समीकरण लिखें:

• P 2 P ¯ बटा v 1 ¯ का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए, क्योंकि ये सदिश परस्पर लंबवत हैं;
• बिंदु P के निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करने चाहिए।

ये समीकरण पिछले पैराग्राफ में दिए गए सूत्र का उपयोग करके निर्देशांक पी और फिर लंबाई डी खोजने के लिए पर्याप्त हैं।

एक रेखा और एक बिंदु के बीच की दूरी ज्ञात करने का कार्य

हम दिखाएंगे कि किसी विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए इस सैद्धांतिक जानकारी का उपयोग कैसे किया जाए। मान लीजिए कि निम्नलिखित बिंदु और रेखा ज्ञात हैं:

(एक्स; वाई) = (3; 1) - α*(0; 2)

समतल पर एक सीधी रेखा पर प्रक्षेपण के बिंदु, साथ ही एम से सीधी रेखा की दूरी का पता लगाना आवश्यक है।

आइए हम बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) द्वारा पाए जाने वाले प्रक्षेपण को निरूपित करें। आइए इस समस्या को पिछले पैराग्राफ में वर्णित दो तरीकों से हल करें।

विधि 1. दिशा वेक्टर v 1 ¯ के निर्देशांक (0; 2) हैं। समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए, हम रेखा से संबंधित कुछ बिंदु का चयन करते हैं। उदाहरण के लिए, निर्देशांक (3; 1) वाला एक बिंदु। तब समांतर चतुर्भुज के दूसरे पक्ष के वेक्टर में निर्देशांक होंगे:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

अब आपको समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को परिभाषित करने वाले सदिशों के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है:

हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और M से सीधी रेखा तक की दूरी d प्राप्त करते हैं:

विधि 2. आइए अब दूसरे तरीके से न केवल दूरी, बल्कि सीधी रेखा पर प्रक्षेपण एम के निर्देशांक भी ज्ञात करें, जैसा कि समस्या की स्थिति के अनुसार आवश्यक है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, समस्या को हल करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है। यह इस तरह दिखेगा:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

आइए इस प्रणाली को हल करें:

मूल समन्वय बिंदु के प्रक्षेपण में एम 1 (3; -3) है। तब आवश्यक दूरी है:

डी = |एमएम 1 ¯| = √(4+0) = 2

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधान विधियों ने एक ही परिणाम दिया, जो निष्पादित गणितीय कार्यों की शुद्धता को इंगित करता है।

एक समतल पर एक बिंदु का प्रक्षेपण

अब आइए विचार करें कि अंतरिक्ष में दिए गए किसी बिंदु का एक निश्चित तल पर प्रक्षेपण क्या है। यह अनुमान लगाना आसान है कि यह प्रक्षेपण भी एक बिंदु है, जो मूल के साथ मिलकर, विमान के लंबवत एक वेक्टर बनाता है।

आइए मान लें कि बिंदु M के तल पर प्रक्षेपण में निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

विमान का वर्णन समीकरण द्वारा किया गया है:

ए*एक्स + बी*वाई + सी*जेड + डी = 0

इन आंकड़ों के आधार पर, हम समतल को समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली और एम और एम 1 से गुजरने वाली एक रेखा के लिए एक समीकरण बना सकते हैं:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

यहां, शून्य सूचकांक वाले चर बिंदु एम के निर्देशांक हैं। बिंदु एम 1 के विमान पर स्थिति की गणना इस तथ्य के आधार पर की जा सकती है कि इसके निर्देशांक को दोनों लिखित समीकरणों को पूरा करना होगा। यदि ये समीकरण समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, तो आप किसी दिए गए विमान के लिए एमएम 1 ¯ और गाइड वेक्टर के बीच समानता की स्थिति का उपयोग कर सकते हैं।

जाहिर है, विमान से संबंधित एक बिंदु का प्रक्षेपण स्वयं के साथ मेल खाता है, और संबंधित दूरी शून्य है।

एक बिंदु और एक तल के साथ समस्या

मान लीजिए कि एक बिंदु M(1; -1; 3) और एक समतल दिया गया है, जिसे निम्नलिखित सामान्य समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

बिंदु के तल पर प्रक्षेपण के निर्देशांक की गणना करना और इन ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए एम से गुजरने वाली और संकेतित तल पर लंबवत एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं। ऐसा लग रहा है:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

आइए हम उस बिंदु को M 1 के रूप में निरूपित करें जहां यह रेखा समतल को प्रतिच्छेद करती है। यदि निर्देशांक एम 1 को उनमें प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो समतल और रेखा की समानताएं संतुष्ट होनी चाहिए। रेखा के समीकरण को स्पष्ट रूप से लिखने पर, हमें निम्नलिखित चार समानताएँ प्राप्त होती हैं:

एक्स 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

अंतिम समानता से हमें पैरामीटर α मिलता है, फिर हम इसे अंतिम और दूसरे भाव में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3.5;

x 1 = 1 - (3-जेड 1)/2 = 1/2*जेड 1 - 1/2

हम समतल के समीकरण में y 1 और x 1 के व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3.5) -2*z 1 + 4 = 0

हम इसे कहां से प्राप्त करते हैं:

y 1 = -3/2*15/7 + 3.5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

हमने निर्धारित किया है कि किसी दिए गए विमान पर बिंदु एम का प्रक्षेपण निर्देशांक (4/7; 2/7; 15/7) से मेल खाता है।

आइए अब दूरी की गणना करें |MM 1 ¯| संबंधित वेक्टर के निर्देशांक हैं:

एमएम 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

आवश्यक दूरी है:

डी = |एमएम 1 ¯| = √126/7 ≈ 1.6

तीन बिंदु प्रक्षेपण

चित्रों के निर्माण के दौरान, परस्पर लंबवत तीन विमानों पर अनुभागों के प्रक्षेपण प्राप्त करना अक्सर आवश्यक होता है। इसलिए, यह विचार करना उपयोगी है कि तीन समन्वय विमानों पर निर्देशांक (x 0 ; y 0 ; z 0) के साथ एक निश्चित बिंदु M के प्रक्षेपण किसके बराबर होंगे।

यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि xy विमान को समीकरण z = 0 द्वारा वर्णित किया गया है, xz विमान अभिव्यक्ति y = 0 से मेल खाता है, और शेष yz विमान को x = 0 द्वारा दर्शाया गया है। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि 3 तलों पर एक बिंदु के प्रक्षेपण बराबर होंगे:

x = 0 के लिए: (0; y 0; z 0);

y = 0 के लिए: (x 0 ; 0 ; z 0);

z = 0 के लिए: (x 0 ; y 0 ; 0)

किसी बिंदु का प्रक्षेपण और समतलों से उसकी दूरी जानना कहाँ महत्वपूर्ण है?

झुके हुए प्रिज्मों और पिरामिडों के लिए सतह क्षेत्र और आयतन जैसी मात्राएँ ज्ञात करते समय किसी दिए गए विमान पर बिंदुओं के प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित करना महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, पिरामिड के शीर्ष से आधार तल तक की दूरी ऊँचाई है। उत्तरार्द्ध इस आंकड़े की मात्रा के सूत्र में शामिल है।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और तल तक प्रक्षेपण और दूरी निर्धारित करने के लिए सुविचारित सूत्र और विधियाँ काफी सरल हैं। केवल समतल और सीधी रेखा के समीकरणों के संगत रूपों को याद रखना महत्वपूर्ण है, साथ ही उन्हें सफलतापूर्वक लागू करने के लिए अच्छी स्थानिक कल्पना का होना भी महत्वपूर्ण है।

अंतरिक्ष में ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, एक समतल और एक बिंदु के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या अक्सर उत्पन्न होती है। कुछ मामलों में व्यापक समाधान के लिए यह आवश्यक है। इस मान की गणना बिंदु के तल पर प्रक्षेपण ज्ञात करके की जा सकती है। आइए लेख में इस मुद्दे को अधिक विस्तार से देखें।

एक विमान का वर्णन करने के लिए समीकरण

किसी समतल पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण कैसे खोजा जाए, इस प्रश्न पर विचार करने से पहले, आपको उन समीकरणों के प्रकारों से परिचित होना चाहिए जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बाद वाले को परिभाषित करते हैं। अधिक विवरण नीचे।

एक सामान्य समीकरण जो किसी दिए गए विमान से संबंधित सभी बिंदुओं को परिभाषित करता है वह निम्नलिखित है:

ए*एक्स + बी*वाई + सी*जेड + डी = 0.

पहले तीन गुणांक वेक्टर के निर्देशांक हैं, जिन्हें विमान के लिए मार्गदर्शक कहा जाता है। यह इसके लिए अभिलंब से मेल खाता है, अर्थात यह लंबवत है। इस वेक्टर को n¯(A; B; C) द्वारा दर्शाया जाता है। मुक्त गुणांक डी को विमान से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक के ज्ञान से विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

बिंदु प्रक्षेपण की अवधारणा और इसकी गणना

मान लीजिए कि कुछ बिंदु P(x 1 ; y 1 ; z 1) और एक समतल दिया गया है। इसे सामान्य रूप में समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। यदि हम P से किसी दिए गए तल पर एक लंब रेखा खींचते हैं, तो यह स्पष्ट है कि यह बाद वाले को एक विशिष्ट बिंदु Q (x 2 ; y 2 ​​​; z 2) पर काटेगी। Q को विचाराधीन तल पर P का प्रक्षेपण कहा जाता है। खंड PQ की लंबाई को बिंदु P से समतल तक की दूरी कहा जाता है। इस प्रकार PQ स्वयं समतल पर लंबवत है।

आप किसी समतल पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक कैसे ज्ञात कर सकते हैं? ऐसा करना कठिन नहीं है. सबसे पहले, आपको एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है जो विमान के लंबवत होगी। बिंदु P इसका होगा। चूँकि इस रेखा का सामान्य सदिश n¯(A; B; C) समानांतर होना चाहिए, इसलिए उचित रूप में इसके लिए समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:

(एक्स; वाई; जेड) = (एक्स 1; वाई 1; जेड 1) + λ*(ए; बी; सी)।

जहां λ एक वास्तविक संख्या है, जिसे आमतौर पर समीकरण का पैरामीटर कहा जाता है। इसे बदलकर आप रेखा पर कोई भी बिंदु प्राप्त कर सकते हैं।

समतल पर लंबवत रेखा के लिए सदिश समीकरण लिखे जाने के बाद, विचाराधीन ज्यामितीय वस्तुओं के लिए सामान्य प्रतिच्छेदन बिंदु खोजना आवश्यक है। इसके निर्देशांक प्रक्षेपण पी होंगे। चूंकि उन्हें दोनों समानताएं (रेखा के लिए और विमान के लिए) को संतुष्ट करना होगा, समस्या को रैखिक समीकरणों की संबंधित प्रणाली को हल करने के लिए कम कर दिया गया है।

प्रक्षेपण की अवधारणा का उपयोग अक्सर चित्रों के अध्ययन में किया जाता है। वे zy, zx, और xy तलों पर भाग के पार्श्व और क्षैतिज प्रक्षेपण दर्शाते हैं।

एक समतल से एक बिंदु तक की दूरी की गणना करना

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी बिंदु के तल पर प्रक्षेपण के निर्देशांक जानने से आप उनके बीच की दूरी निर्धारित कर सकते हैं। पिछले पैराग्राफ में प्रस्तुत संकेतन का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि आवश्यक दूरी खंड PQ की लंबाई के बराबर है। इसकी गणना करने के लिए, वेक्टर PQ¯ के निर्देशांक ढूंढना और फिर ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसके मॉड्यूल की गणना करना पर्याप्त है। पी बिंदु और विमान के बीच की दूरी के लिए अंतिम अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

d का परिणामी मान उन इकाइयों में प्रस्तुत किया जाता है जिनमें वर्तमान कार्टेशियन xyz समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट होती है।

नमूना कार्य

मान लीजिए कि एक बिंदु N(0; -2; 3) और एक तल है, जिसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

आपको विमान पर प्रक्षेपण बिंदु ढूंढने और उनके बीच की दूरी की गणना करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाएं जो समतल को 90° के कोण पर काटती है। हमारे पास है:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

इस समानता को स्पष्ट रूप से लिखने पर, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर पहुँचते हैं:

पहले तीन समानताओं से समन्वय मानों को चौथे में प्रतिस्थापित करने पर, हम मान λ प्राप्त करते हैं, जो रेखा और विमान के सामान्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करता है:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1.5.

आइए इसमें पाए गए पैरामीटर को प्रतिस्थापित करें और विमान पर शुरुआती बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक ढूंढें:

(एक्स; वाई; जेड) = (0; -2; 3) + 1.5*(2; -1; 1) = (3; -3.5; 4.5)।

समस्या कथन में निर्दिष्ट ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, हम d के लिए सूत्र लागू करते हैं:

डी = √((3 - 0) 2 + (-3.5 + 2) 2 + (4.5 - 3) 2) = 3.674.

इस समस्या में हमने दिखाया कि एक मनमाने विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कैसे पाया जाए और उनके बीच की दूरी की गणना कैसे की जाए।