एक भौतिक बिंदु के लिए, गतिशीलता के मूल नियम को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

बाईं ओर इस संबंध के दोनों पक्षों को त्रिज्या सदिश (चित्र 3.9) द्वारा सदिश रूप से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(3.32)

इस सूत्र के दाईं ओर हमारे पास बिंदु O के सापेक्ष बल का क्षण है। हम एक वेक्टर उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र को लागू करके बाईं ओर को बदलते हैं।

लेकिन समानांतर सदिशों के सदिश गुणनफल के रूप में। इसके बाद हमें मिलता है

(3.33)

किसी भी केंद्र के सापेक्ष किसी बिंदु के संवेग के क्षण के समय के संबंध में पहला व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बल के क्षण के बराबर होता है।

किसी प्रणाली के कोणीय संवेग की गणना का एक उदाहरण. एक प्रणाली के बिंदु O के सापेक्ष गतिज क्षण की गणना करें जिसमें द्रव्यमान M = 20 kg और त्रिज्या R = 0.5 m का एक बेलनाकार शाफ्ट और द्रव्यमान m = 60 kg का अवरोही भार शामिल है (चित्र 3.12)। शाफ्ट ओज़ अक्ष के चारों ओर कोणीय वेग ω = 10 s -1 के साथ घूमता है।

चित्र 3.12

; ;

दिए गए इनपुट डेटा के लिए, सिस्टम का कोणीय संवेग

किसी प्रणाली के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय।हम परिणामी बाहरी और आंतरिक बलों को सिस्टम के प्रत्येक बिंदु पर लागू करते हैं। सिस्टम के प्रत्येक बिंदु के लिए, आप कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय लागू कर सकते हैं, उदाहरण के लिए फॉर्म (3.33) में

सिस्टम के सभी बिंदुओं का योग करने और यह ध्यान में रखने पर कि डेरिवेटिव का योग योग के व्युत्पन्न के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं

सिस्टम के गतिज क्षण और बाहरी और आंतरिक बलों के गुणों का निर्धारण करके

इसलिए, परिणामी संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

किसी भी बिंदु के सापेक्ष किसी प्रणाली के कोणीय संवेग का पहली बार व्युत्पन्न उसी बिंदु के सापेक्ष प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के प्रमुख क्षण के बराबर होता है।

3.3.5. बल का कार्य

1) किसी बल का प्रारंभिक कार्य बल के अदिश गुणनफल और बल के अनुप्रयोग बिंदु के वेक्टर के अंतर त्रिज्या के बराबर होता है (चित्र 3.13)

चित्र 3.13

अभिव्यक्ति (3.36) को निम्नलिखित समकक्ष रूपों में भी लिखा जा सकता है

बल के अनुप्रयोग बिंदु के वेग की दिशा पर बल का प्रक्षेपण कहां है।

2) अंतिम विस्थापन पर बल का कार्य

बल के प्रारंभिक कार्य को एकीकृत करते हुए, हम बिंदु A से बिंदु B तक अंतिम विस्थापन पर बल के कार्य के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ प्राप्त करते हैं

3) निरंतर बल का कार्य

यदि बल स्थिर है, तो (3.38) से यह अनुसरण करता है

एक स्थिर बल का कार्य प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल बल के अनुप्रयोग बिंदु के विस्थापन वेक्टर पर निर्भर करता है।

4) भार बल का कार्य

भार बल के लिए (चित्र 3.14) और (3.39) से हम प्राप्त करते हैं

चित्र 3.14

यदि गति बिंदु B से बिंदु A की ओर होती है, तो

सामान्य रूप में

"+" चिन्ह बल अनुप्रयोग बिंदु की नीचे की ओर गति को दर्शाता है, "-" चिन्ह - ऊपर की ओर।

4)लोचदार बल का कार्य

मान लीजिए स्प्रिंग की धुरी को x अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया गया है (चित्र 3.15), और स्प्रिंग का सिरा बिंदु 1 से बिंदु 2 तक चला जाता है, फिर (3.38) से हम प्राप्त करते हैं

यदि स्प्रिंग कठोरता है साथ, तो फिर

ए (3.41)

यदि स्प्रिंग का सिरा बिंदु 0 से बिंदु 1 तक जाता है, तो इस अभिव्यक्ति में हम प्रतिस्थापित करते हैं, तो लोचदार बल का कार्य रूप लेगा

(3.42)

वसंत का बढ़ाव कहां है.

चित्र 3.15

5) घूमते हुए पिंड पर लगाए गए बल का कार्य। पल का काम.

चित्र में. चित्र 3.16 एक घूमता हुआ पिंड दिखाता है जिस पर एक मनमाना बल लगाया जाता है। घूर्णन के दौरान, इस बल के अनुप्रयोग का बिंदु एक वृत्त में घूमता है।

कुछ समस्याओं में, संवेग के बजाय किसी केंद्र या अक्ष के सापेक्ष उसके आघूर्ण को गतिमान बिंदु की गतिशील विशेषता माना जाता है। इन क्षणों को बल के क्षणों की तरह ही परिभाषित किया गया है।

गति की संवेग मात्रा किसी केंद्र O के सापेक्ष भौतिक बिंदु को समानता द्वारा परिभाषित वेक्टर कहा जाता है

किसी बिंदु का कोणीय संवेग भी कहा जाता है गतिज क्षण .

गति केंद्र O से गुजरने वाली किसी भी धुरी के सापेक्ष, इस अक्ष पर संवेग वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर है।

यदि गति निर्देशांक अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों द्वारा दी गई है और अंतरिक्ष में बिंदु के निर्देशांक दिए गए हैं, तो मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय गति की गणना निम्नानुसार की जाती है:

निर्देशांक अक्षों पर कोणीय गति के प्रक्षेपण बराबर हैं:

संवेग की SI इकाई है - .

काम का अंत -

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एक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण
गतिकी का मूल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

गतिकी के मूल कार्य
पहली या सीधी समस्या: किसी बिंदु का द्रव्यमान और उसकी गति का नियम ज्ञात हो, बिंदु पर लगने वाले बल का पता लगाना आवश्यक है। एम

सबसे महत्वपूर्ण मामले
1. बल स्थिर है.

बिंदु आंदोलन की मात्रा
किसी भौतिक बिंदु की गति की मात्रा उत्पाद m के बराबर एक वेक्टर है

प्राथमिक और पूर्ण बल आवेग
समय के साथ किसी भौतिक बिंदु पर बल की क्रिया

एक बिंदु के संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय
प्रमेय. किसी बिंदु के संवेग का समय व्युत्पन्न उस बिंदु पर लगने वाले बल के बराबर होता है। आइए गतिकी के मूल नियम को लिखें

किसी बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय
प्रमेय. किसी केंद्र के सापेक्ष लिए गए किसी बिंदु के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है

बल का कार्य. शक्ति
बल की मुख्य विशेषताओं में से एक जो किसी गति के दौरान किसी पिंड पर बल के प्रभाव का मूल्यांकन करती है।

किसी बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय
प्रमेय. किसी बिंदु की गतिज ऊर्जा का अंतर उस बिंदु पर कार्य करने वाले बल के प्रारंभिक कार्य के बराबर होता है।

एक भौतिक बिंदु के लिए डी'एलेम्बर्ट का सिद्धांत
लागू सक्रिय बलों और युग्मन प्रतिक्रिया बलों की कार्रवाई के तहत एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष एक भौतिक बिंदु की गति का समीकरण इस प्रकार है:

एक गैर-मुक्त सामग्री बिंदु की गतिशीलता
एक गैर-मुक्त भौतिक बिंदु वह बिंदु है जिसकी गति की स्वतंत्रता सीमित है। वे निकाय जो किसी बिंदु की गति की स्वतंत्रता को सीमित करते हैं, कनेक्शन कहलाते हैं

किसी भौतिक बिंदु की सापेक्ष गति
कई गतिशीलता समस्याओं में, एक भौतिक बिंदु की गति को एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष चलने वाले संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष माना जाता है।

सापेक्ष गति के विशेष मामले
1. जड़त्व द्वारा सापेक्ष गति यदि कोई भौतिक बिंदु किसी गतिमान संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष सीधी और समान रूप से गति करता है, तो ऐसी गति को सापेक्ष गति कहा जाता है

द्रव्यमान की ज्यामिति
एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें द्रव्यमान के साथ सीमित संख्या में भौतिक बिंदु होते हैं

जड़ता के क्षण
घूर्णी आंदोलनों पर विचार करते समय निकायों में द्रव्यमान के वितरण को चिह्नित करने के लिए, जड़ता के क्षणों की अवधारणाओं को पेश करना आवश्यक है। एक बिंदु के बारे में जड़ता का क्षण

सरलतम पिंडों की जड़ता के क्षण
1. एकसमान छड़ 2. आयताकार प्लेट 3. एकसमान गोल डिस्क

सिस्टम गति मात्रा
भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली की गति की मात्रा मात्राओं का वेक्टर योग है

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय
यह प्रमेय तीन अलग-अलग रूपों में आता है। प्रमेय. सिस्टम के संवेग का समय व्युत्पन्न उस पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के वेक्टर योग के बराबर है

संवेग के संरक्षण के नियम
1. यदि सिस्टम के सभी बाहरी बलों का मुख्य वेक्टर शून्य () है, तो सिस्टम की गति की मात्रा स्थिर है

द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय
प्रमेय किसी प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु की तरह ही गति करता है, जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है, यदि बिंदु पर लागू सभी बाहरी बल बिंदु पर कार्य करते हैं।

सिस्टम की गति
कुछ के सापेक्ष भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का कोणीय संवेग

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति के दौरान घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड के संवेग का क्षण
आइए हम घूर्णन अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड के कोणीय संवेग की गणना करें।

किसी प्रणाली के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय
प्रमेय. किसी केंद्र के सापेक्ष लिया गया सिस्टम के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न, उस पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के क्षणों के वेक्टर योग के बराबर है

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम
1. यदि बिंदु के सापेक्ष सिस्टम की बाहरी ताकतों का मुख्य क्षण शून्य के बराबर है (

प्रणाली की गतिज ऊर्जा
किसी प्रणाली की गतिज ऊर्जा प्रणाली के सभी बिंदुओं की गतिज ऊर्जा का योग है।

किसी ठोस की गतिज ऊर्जा
1. शरीर का आगे की ओर बढ़ना। स्थानांतरणीय गति के दौरान एक कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा की गणना उसी तरह की जाती है जैसे एक बिंदु के लिए जिसका द्रव्यमान इस पिंड के द्रव्यमान के बराबर होता है।

किसी निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय
यह प्रमेय दो रूपों में आता है। प्रमेय. सिस्टम की गतिज ऊर्जा का अंतर सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी और आंतरिक बलों के प्रारंभिक कार्यों के योग के बराबर है

सबसे पहले, आइए एक भौतिक बिंदु के मामले पर विचार करें। मान लीजिए कि पदार्थ बिंदु M का द्रव्यमान है, इसकी गति है, और गति की मात्रा है।

आइए आसपास के स्थान में एक बिंदु O का चयन करें और इस बिंदु के सापेक्ष वेक्टर के क्षण का निर्माण उन्हीं नियमों के अनुसार करें जिनके द्वारा स्थैतिक में बल के क्षण की गणना की जाती है। हमें सदिश राशि प्राप्त होती है

जिसे केंद्र O के सापेक्ष भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग कहा जाता है (चित्र 31)।

आइए हम केंद्र O पर मूल बिंदु के साथ एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ का निर्माण करें और इन अक्षों पर वेक्टर ko को प्रक्षेपित करें। इन अक्षों पर इसके प्रक्षेपण, संबंधित समन्वय अक्षों के सापेक्ष वेक्टर के क्षणों के बराबर, समन्वय अक्षों के सापेक्ष भौतिक बिंदु के संवेग के क्षण कहलाते हैं:

आइए अब हमारे पास एन सामग्री बिंदुओं से युक्त एक यांत्रिक प्रणाली है। इस मामले में, सिस्टम के प्रत्येक बिंदु के लिए कोणीय गति निर्धारित की जा सकती है:

सिस्टम को बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं के कोणीय गति के ज्यामितीय योग को सिस्टम का प्रमुख कोणीय गति या गतिज क्षण कहा जाता है।

सिस्टम की गति की मात्रा, एक वेक्टर मात्रा के रूप में, सूत्र (4.12) और (4.13) द्वारा निर्धारित की जाती है।

प्रमेय. समय के संबंध में प्रणाली की गति का व्युत्पन्न उस पर कार्यरत सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है।

कार्तीय अक्षों के प्रक्षेपणों में हमें अदिश समीकरण प्राप्त होते हैं।

आप एक वेक्टर लिख सकते हैं

(4.28)

और अदिश समीकरण

जो प्रणाली की गति में परिवर्तन के बारे में प्रमेय को अभिन्न रूप में व्यक्त करते हैं: एक निश्चित अवधि में प्रणाली की गति में परिवर्तन उसी अवधि में आवेगों के योग के बराबर होता है। समस्याओं को हल करते समय, समीकरण (4.27) का अधिक बार उपयोग किया जाता है

संवेग संरक्षण का नियम

कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय

केंद्र के सापेक्ष किसी बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय: एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष किसी बिंदु के कोणीय संवेग का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के वेक्टर क्षण के बराबर होता है।

या (4.30)

(4.23) और (4.30) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि सदिशों के क्षण और उसी निर्भरता से संबंधित हैं जैसे कि सदिश और स्वयं संबंधित हैं (चित्र 4.1)। यदि हम केंद्र O से गुजरने वाली धुरी पर समानता प्रक्षेपित करते हैं, तो हमें मिलता है

(4.31)

यह समानता एक अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु के कोणीय संवेग प्रमेय को व्यक्त करती है।

चावल। 4.1.

केंद्र के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली के मुख्य कोणीय गति या कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय: कुछ निश्चित केंद्र के सापेक्ष प्रणाली के गतिज कोणीय गति का समय व्युत्पन्न सभी बाहरी बलों के क्षणों के योग के बराबर है एक ही केंद्र के सापेक्ष.

(4.32)

यदि हम अभिव्यक्ति (4.32) को केंद्र O से गुजरने वाली धुरी पर प्रक्षेपित करते हैं, तो हमें धुरी के सापेक्ष कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय की विशेषता वाली एक समानता प्राप्त होती है।

(4.33)

(4.10) को समानता (4.33) में प्रतिस्थापित करके, हम एक घूमते हुए कठोर शरीर (पहिए, धुरी, शाफ्ट, रोटर, आदि) के अंतर समीकरण को तीन रूपों में लिख सकते हैं।

(4.34)

(4.35)

(4.36)

इस प्रकार, किसी कठोर पिंड की गति का अध्ययन करने के लिए गतिज क्षण में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, जो प्रौद्योगिकी में बहुत आम है, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर इसका घूमना।

किसी निकाय के कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम

1. अभिव्यक्ति में चलो (4.32) .

फिर समीकरण (4.32) से यह इस प्रकार है, अर्थात्। यदि किसी दिए गए केंद्र के सापेक्ष सिस्टम पर लागू सभी बाहरी बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर है, तो इस केंद्र के सापेक्ष सिस्टम का गतिज क्षण संख्यात्मक और दिशात्मक रूप से स्थिर होगा।

2. यदि , तो . इस प्रकार, यदि किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के क्षणों का योग शून्य है, तो इस अक्ष के सापेक्ष सिस्टम का गतिज क्षण एक स्थिर मान होगा।

ये परिणाम कोणीय गति के संरक्षण के नियम को व्यक्त करते हैं।

घूमते हुए कठोर पिंड के मामले में, समानता (4.34) से यह निष्कर्ष निकलता है कि, यदि, तो। यहां से हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचते हैं:

यदि प्रणाली अपरिवर्तनीय (बिल्कुल कठोर शरीर) है, तो, परिणामस्वरूप, कठोर शरीर एक स्थिर कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है।

यदि व्यवस्था परिवर्तनशील है तो . वृद्धि के साथ (तब सिस्टम के अलग-अलग तत्व रोटेशन की धुरी से दूर चले जाते हैं), कोणीय वेग कम हो जाता है, क्योंकि , और घटने पर यह बढ़ता है, इस प्रकार, एक परिवर्तनीय प्रणाली के मामले में, आंतरिक बलों की मदद से कोणीय वेग को बदलना संभव है।

परीक्षण का दूसरा कार्य D2 अक्ष के सापेक्ष प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय के लिए समर्पित है।

समस्या डी2

किलोग्राम द्रव्यमान वाला एक सजातीय क्षैतिज मंच (त्रिज्या आर के साथ गोलाकार या भुजाओं आर और 2आर के साथ आयताकार, जहां आर = 1.2 मीटर) ऊर्ध्वाधर अक्ष z के चारों ओर कोणीय वेग से घूमता है, जो मंच के द्रव्यमान सी के केंद्र से दूरी पर है दूरी OC = b (चित्र E2.0 - D2.9, तालिका D2); सभी आयताकार प्लेटफार्मों के आयाम चित्र में दिखाए गए हैं। D2.0a (शीर्ष दृश्य)।

समय के क्षण में, किलोग्राम के द्रव्यमान वाला एक भार डी कानून के अनुसार प्लेटफ़ॉर्म ढलान (आंतरिक बलों के प्रभाव में) के साथ चलना शुरू कर देता है, जहां एस को मीटर में, टी - सेकंड में व्यक्त किया जाता है। उसी समय, एक क्षण M के साथ बलों की एक जोड़ी (न्यूटोनोमीटर में निर्दिष्ट; M पर< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

निर्धारित करें, शाफ्ट के द्रव्यमान की उपेक्षा करते हुए, निर्भरता अर्थात। समय के फलन के रूप में मंच का कोणीय वेग।

सभी आंकड़ों में, लोड डी को उस स्थिति में दिखाया गया है जिसमें s > 0 (जब s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

दिशा-निर्देश.समस्या डी2 - सिस्टम के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय लागू करने के लिए। एक प्लेटफ़ॉर्म और लोड से युक्त सिस्टम पर प्रमेय लागू करते समय, z अक्ष के सापेक्ष सिस्टम का कोणीय संवेग प्लेटफ़ॉर्म और लोड के क्षणों के योग के रूप में निर्धारित किया जाता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि भार की पूर्ण गति सापेक्ष और पोर्टेबल गति का योग है, अर्थात। . इसलिए, इस भार की गति की मात्रा . फिर आप वैरिग्नॉन के प्रमेय (स्थैतिक) का उपयोग कर सकते हैं, जिसके अनुसार; इन क्षणों की गणना बलों के क्षणों की तरह ही की जाती है। समाधान को उदाहरण D2 में अधिक विस्तार से समझाया गया है।

किसी समस्या को हल करते समय, ऊपर से (z छोर से) प्लेटफ़ॉर्म के दृश्य को सहायक चित्र में चित्रित करना उपयोगी होता है, जैसा कि चित्र में किया गया है। डी2.0, ए - डी2.9, ए।

अक्ष Cz के सापेक्ष द्रव्यमान m वाली एक प्लेट की जड़ता का क्षण, प्लेट के लंबवत और उसके द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है: किनारों वाली एक आयताकार प्लेट के लिए और

;

त्रिज्या R की एक गोल प्लेट के लिए

शर्त संख्या	बी	एस = एफ(टी)	एम
	आर आर/2 आर आर/2 आर आर/2 आर आर/2 आर आर/2	-0.4 0.6 0.8 10 टी 0.4 -0.5टी -0.6टी 0.8टी 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	चावल। डी2.0		चावल। D2.0a

	चावल। डी2.1		चावल। डी2.1ए

	चावल। डी2.2		चावल। डी2.2ए

	चावल। डी2.3		चावल। डी2.3ए

	चावल। डी2.4
		चावल। डी2.4ए

		चावल। डी2.5ए
	चावल। डी2.5

	चावल। डी2.6		चावल। डी2.6ए

	चावल। डी2.7		चावल। डी2.7ए

	चावल। डी2.8		चावल। डी2.8ए

	चावल। डी2.9		चावल। डी2.9ए

	चावल। डी 2

उदाहरण डी2. एक सजातीय क्षैतिज मंच (2l और l भुजाओं वाला आयताकार), जिसका द्रव्यमान है, एक ऊर्ध्वाधर शाफ्ट से मजबूती से जुड़ा हुआ है और इसके साथ एक अक्ष के चारों ओर घूमता है जेडकोणीय वेग के साथ (चित्र E2a) ). समय के क्षण में, एक टॉर्क एम शाफ्ट पर विपरीत दिशा में कार्य करना शुरू कर देता है ; एक साथ कार्गो डीखाई में स्थित द्रव्यमान अबबिंदु पर साथ,नियम s = CD = के अनुसार ढलान के साथ (आंतरिक बलों के प्रभाव में) चलना शुरू कर देता है एफ(टी).

दिया गया है: मी 1 = 16 किग्रा, टी 2= 10 किलो, एल= 0.5 मीटर, = 2, एस = 0.4टी 2 (एस - मीटर में, टी - सेकंड में), एम= केटी,कहाँ क=6 एनएम/सेकेंड. निर्धारित करें:-प्लेटफार्म के कोणीय वेग में परिवर्तन का नियम।

समाधान।एक प्लेटफ़ॉर्म और लोड से युक्त एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें डी।डब्ल्यू निर्धारित करने के लिए, हम अक्ष के सापेक्ष प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय लागू करते हैं z:

(1)

आइए सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों को चित्रित करें: प्रतिक्रिया का गुरुत्वाकर्षण बल और टॉर्क एम। चूँकि बल और z अक्ष के समानांतर हैं, और प्रतिक्रियाएँ इस अक्ष को काटती हैं, z अक्ष के सापेक्ष उनके क्षण बराबर होते हैं शून्य। फिर, उस क्षण के लिए दिशा को सकारात्मक मानते हुए (अर्थात, वामावर्त), हम प्राप्त करते हैं और समीकरण (1) यह रूप लेगा।

संवेग के क्षण की दिशा और परिमाण बिल्कुल उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे कि बल के क्षण का अनुमान लगाने के मामले में (धारा 1.2.2)।

साथ ही हम परिभाषित करते हैं ( मुख्य) कोणीय गति विचाराधीन प्रणाली के बिंदुओं की गति की संख्या के क्षणों के वेक्टर योग के रूप में. इसका एक दूसरा नाम भी है - गतिज क्षण :

आइए हम दो कार्यों के उत्पाद को अलग करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति (3.40) का समय व्युत्पन्न खोजें, और यह भी तथ्य कि किसी योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है (यानी, योग का चिह्न हो सकता है) विभेदन के दौरान गुणांक के रूप में स्थानांतरित):

.

आइए हम स्पष्ट गतिज समानताओं को ध्यान में रखें: . तब: . हम सूत्रों से औसत समीकरण का उपयोग करते हैं (3.26) , और यह तथ्य भी कि दो संरेख सदिशों ( और ) का सदिश गुणनफल शून्य के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

आंतरिक बलों की संपत्ति (3.36) को दूसरे पद पर लागू करने पर, हम एक यांत्रिक प्रणाली के संवेग के मुख्य क्षण में परिवर्तन पर प्रमेय के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

.

(3.42)

गतिज क्षण का समय व्युत्पन्न प्रणाली में कार्यरत सभी बाहरी बलों के क्षणों के योग के बराबर है।

इस सूत्रीकरण को अक्सर संक्षेप में कहा जाता है: क्षण प्रमेय .

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्षणों का प्रमेय एक निश्चित निश्चित केंद्र O के सापेक्ष संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम में तैयार किया गया है। यदि एक कठोर शरीर को एक यांत्रिक प्रणाली के रूप में माना जाता है, तो रोटेशन की धुरी पर केंद्र O चुनना सुविधाजनक है शरीर का।

क्षण प्रमेय की एक महत्वपूर्ण संपत्ति पर ध्यान दिया जाना चाहिए (हम इसे व्युत्पत्ति के बिना प्रस्तुत करते हैं)। यदि पिंड (यांत्रिक प्रणाली) के द्रव्यमान के केंद्र (बिंदु C) को इसके केंद्र के रूप में चुना जाता है, तो क्षणों का प्रमेय अनुवादात्मक रूप से गतिशील संदर्भ प्रणाली में भी सत्य है:

इस मामले में प्रमेय का सूत्रीकरण व्यावहारिक रूप से वही रहता है।

परिणाम 1

माना अभिव्यक्ति का दायां पक्ष (3.42) शून्य =0 के बराबर है, - सिस्टम अलग है। फिर समीकरण (3.42) से यह निष्कर्ष निकलता है कि .

एक पृथक यांत्रिक प्रणाली के लिए, प्रणाली के गतिज क्षण का वेक्टर समय के साथ दिशा या परिमाण में नहीं बदलता है।

परिणाम 2

यदि किसी भी अभिव्यक्ति (3.44) का दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है, उदाहरण के लिए, ओज़ अक्ष के लिए: =0 (आंशिक रूप से पृथक प्रणाली), तो समीकरण (3.44) से यह निम्नानुसार है: = स्थिरांक।

नतीजतन, यदि किसी अक्ष के सापेक्ष बाहरी बलों के क्षणों का योग शून्य है, तो इस अक्ष के साथ प्रणाली का अक्षीय गतिज क्षण समय के साथ नहीं बदलता है।

उपफल में ऊपर दिये गये सूत्र भाव हैं पृथक प्रणालियों में कोणीय गति के संरक्षण का नियम .

एक कठोर पिंड का संवेग

आइए एक विशेष मामले पर विचार करें - ओज़ अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड का घूमना (चित्र 3.4)।

चित्र.3.4

किसी पिंड पर एक बिंदु जो घूर्णन अक्ष से कुछ दूरी पर अलग होता है एच k, की गति से ऑक्सी के समानांतर एक तल में घूमता है। अक्षीय क्षण की परिभाषा के अनुसार, हम प्रक्षेपण को प्रतिस्थापित करते हुए अभिव्यक्ति (1.19) का उपयोग करते हैं एफबिंदु की गति की मात्रा से इस तल पर XY बल . आइए हम शरीर के अक्षीय गतिज क्षण का अनुमान लगाएं:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार , इसलिए (3.46) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(3.47)

तब अभिव्यक्ति (3.45) रूप लेगी:

(3.48)

यदि हम एक ठोस पिंड (3.48) के संबंध में आंशिक रूप से पृथक प्रणाली (परिणाम 2) के लिए कोणीय गति के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं। इस मामले में, आप दो विकल्पों पर विचार कर सकते हैं:

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. घूमते हुए कठोर पिंड का कोणीय संवेग कैसे निर्धारित किया जाता है?

2. जड़त्व का अक्षीय क्षण अक्षीय गतिज क्षण से किस प्रकार भिन्न है?

3. बाहरी बलों की अनुपस्थिति में किसी कठोर पिंड की घूर्णन गति समय के साथ कैसे बदलती है?

किसी कठोर पिंड की जड़ता का अक्षीय आघूर्ण

जैसा कि हम बाद में देखेंगे, किसी पिंड की जड़ता का अक्षीय क्षण किसी पिंड की घूर्णी गति के लिए उतना ही महत्व रखता है जितना कि किसी पिंड का उसके स्थानान्तरणीय गति के दौरान द्रव्यमान। यह शरीर की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है, जो घूर्णन के दौरान शरीर की जड़ता का निर्धारण करती है। जैसा कि परिभाषा (3.45) से देखा जा सकता है, यह एक सकारात्मक अदिश राशि है, जो सिस्टम के बिंदुओं के द्रव्यमान पर निर्भर करती है, लेकिन काफी हद तक घूर्णन अक्ष से बिंदुओं की दूरी पर निर्भर करती है।

सरल आकृतियों के निरंतर सजातीय निकायों के लिए, जड़ता के अक्षीय क्षण का मूल्य, जैसा कि द्रव्यमान के केंद्र (3.8) की स्थिति का अनुमान लगाने के मामले में, एकीकरण विधि द्वारा गणना की जाती है, इसके बजाय प्राथमिक मात्रा के द्रव्यमान का उपयोग किया जाता है एक पृथक द्रव्यमान डीएम=ρdV:

(3.49)

संदर्भ के लिए, हम कुछ सरल निकायों के लिए जड़ता के क्षणों के मान प्रस्तुत करते हैं:

एमऔर लंबाई एलछड़ के मध्य से लंबवत गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष (चित्र 3.5)।

चित्र.3.5

द्रव्यमान के साथ एक पतली सजातीय छड़ की जड़ता का क्षण एमऔर लंबाई एलछड़ के लम्बवत् उसके सिरे से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष (चित्र 3.6)।

चित्र.3.6

द्रव्यमान की एक पतली सजातीय अंगूठी की जड़ता का क्षण एमऔर त्रिज्या आररिंग के तल के लंबवत इसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष (चित्र 3.7)।

चित्र.3.7

द्रव्यमान के साथ एक पतली सजातीय डिस्क की जड़ता का क्षण एमऔर त्रिज्या आरडिस्क के तल के लंबवत इसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष (चित्र 3.7)।

चित्र.3.8

· मनमाने आकार के किसी पिंड की जड़ता का क्षण.

मनमाने आकार के पिंडों के लिए जड़त्व आघूर्ण निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है:

कहाँ ρ - तथाकथित आवर्तन का अर्ध व्यास शरीर, या द्रव्यमान के साथ एक निश्चित पारंपरिक वलय की त्रिज्या एम, जिसका जड़त्व का अक्षीय क्षण दिए गए पिंड के जड़त्व के क्षण के बराबर है।

ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय

चित्र.3.9

आइए हम शरीर के साथ दो समानांतर समन्वय प्रणालियों को जोड़ें। पहला Cx"y"z", जिसका मूल द्रव्यमान के केंद्र पर है, को केंद्रीय कहा जाता है, और दूसरा ऑक्सीज़, जिसका केंद्र O है, Cx" अक्ष पर CO = की दूरी पर स्थित है। डी(चित्र 3.9)। इन प्रणालियों में शरीर बिंदुओं के निर्देशांक के बीच संबंध स्थापित करना आसान है:

सूत्र (3.47) के अनुसार, ओज़ अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता का क्षण:

यहां दाईं ओर के दूसरे और तीसरे योग के सभी पदों के लिए गुणनखंड 2 स्थिर हैं डीऔर डीसंबंधित राशियों में से निकाला गया। तीसरे पद में द्रव्यमान का योग शरीर का द्रव्यमान है। दूसरा योग, (3.7) के अनुसार, अक्ष Cx" () पर द्रव्यमान C के केंद्र के निर्देशांक को निर्धारित करता है, और समानता स्पष्ट है:। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि पहला पद, परिभाषा के अनुसार, का क्षण है केंद्रीय अक्ष Cz" (या Z C) के सापेक्ष शरीर की जड़ता , हम ह्यूजेन्स-स्टीनर प्रमेय का सूत्रीकरण प्राप्त करते हैं:

(3.50)

एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण समानांतर केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण के योग और इन अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग द्वारा शरीर के द्रव्यमान के उत्पाद के बराबर होता है।

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. किसी छड़, वलय, डिस्क के जड़त्व के अक्षीय आघूर्णों के लिए सूत्र दीजिए।

2. एक गोल ठोस बेलन के केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष घूर्णन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।