"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥c и b ∥c , то a ∥b ).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.	Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)	Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» - «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» - «измеряю») - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии - свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.

Литература

• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989.
• И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. - 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

Разделы математики Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и
интегральные уравнения Геометрия и топология Геометрия Топология Дискретная математика

• Портал «Математика»
• Категория «Математика»

Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Грустный мир

А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.

Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Юрий малихов

Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы:
1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна.
2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Алексей рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет."
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

На занятиях в малой академии «Юниор» мне предложили узнать, что изучает геометрия и как часто в повседневной жизни мы с ней встречаемся.

Я прочитал учебник по геометрии, энциклопедию, ознакомился с определениями геометрических фигур, присмотрелся к окружающим меня предметам и понял, что с геометрией мы встречаемся на каждом шагу, иногда даже не задумываясь об этом. Это наблюдение мне показалось очень интересным, и я стал более подробно исследовать эту тему.

Я поставил себе цель: выяснить, как часто человек встречается с геометрией в окружающем нас мире и какие геометрические фигуры встречаются чаще других.

Этапы исследования:

Первый этап исследования- геометрия в моей квартире.

Второй этап исследования- геометрия на моем пути из дома до лицея.

Третий этап исследования- геометрия в лицее.

Четвертый этап- геометрия в макро-микромире.

Что изучает геометрия?

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео»- по-гречески земля, а «метрио»- мерить).

Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями.

Геометрия возникла на основе практической деятельности человека и служила практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Геометрические фигуры весьма разнообразны. Мы знаем, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол.

Мы знакомы с треугольником, прямоугольником, кругом и другими фигурами.

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида, создавшего руководство по математике под названием «НАЧАЛО». В течении долгого времени геометрию изучали по этой книге.

Геометрию можно разделить на две части: планиметрию и стереометрию.

В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники.

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких как шар, цилиндр.

Геометрия у нас дома.

Все предметы в нашем доме напоминают различные геометрические фигуры. Рассмотрим и опишем некоторые из них.

Например, глобус – он напоминает шар. Научное определение шара следующее: Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Глобус, как известно является макетом земного шара. И так же как земной шар глобус может вращаться вокруг своей оси.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Толстая книга похожа на параллелепипед. Потому, что как и у параллелепипеда все противолежащие грани и стороны у неё параллельны. Банка консервов на кухне имеет форму цилиндра. И действительно – у неё имеется два круга, лежащие в параллельных плоскостях и стенка, которую можно представить как множество отрезков, соединяющих соответствующие точки на этих кругах. Шкафы, полки и тумбочки это то же параллелепипеды. Двери имеют форму прямоугольников. Стены, потолок, окна так же напоминают прямоугольники.

Некоторые предметы имеют форму более сложных фигур – например, угловая полукруглая тумбочка напоминает сектор круга. Если посмотреть на неё сверху – мы видим два отрезка, являющихся радиусами и дугу окружности, соединяющей концы этих радиусов.

Цветочный горшок на окне напоминает усечённый конус, потому, что его можно представить как круг, соединённый множеством отрезков с какой то точкой, не лежащей в данном круге, а усечённый он, потому что вершина конуса отсутствует, она как будто срезана плоскостью. Другой цветочный горшок имеет форму полусферы. Если сложить вместе два таких горшка -получится сфера (поверхность шара)

Если посмотреть на изгиб шторы на окне мы увидим, что он описывает кривую линию, которую называют синусоида.

В числе всего разнообразия предметов, имеющих сходство с какими либо геометрическими фигурами у нас дома преобладают отрезки и фигуры прямоугольной формы.

Геометрия на моём пути от дома до лицея.

На улице мы видим предметы, изготовленные человеком и предметы природного происхождения. Например: жилой дом, построенный человеком. Это параллелепипед.

Фонарные столбы вдоль дороги напоминают отрезки прямой.

Крыша трансформаторной подстанции это треугольная призма. У неё есть две треугольные стороны, лежащие в параллельных плоскостях и боковые поверхности, которые и образуют призму.

А трамвайные рельсы можно представить как параллельные прямые. Троллейбусные провода тоже представляют собой параллельные прямые.

Объект природного происхождения - русло реки. Его можно представить как кривую линию.

Геометрия в лицее.

В лицее мы находим преобладание прямоугольных фигур, различных отрезков и плоскостей.

Башня лицея с винтовой лестницей внутри напоминает цилиндр. Вершина башни напоминает конус.

Форма самой винтовой лестницы это геликс, такая трёхмерная спираль, имеющая постоянный радиус.

Цилиндрами являются так же колонны на входе в лицей. Ступени в холле имеют форму трапеции. У них две стороны параллельны и являются основаниями трапеции а две другие это стороны трапеции.

Ступени на лестницах, дверные проёмы, стены коридоров и классов напоминают прямоугольники.

В лицее при всём многообразии предметов преобладают прямолинейные и прямоугольные формы.

Геометрия под микроскопом.

Так как предметы, которые нас окружают, могут быть очень малы, прибегнем к помощи микроскопа и рассмотрим кристаллы поваренной соли и сахара.

Крупинка соли при увеличении, оказалось, имеет форму куба. А крупинка сахара имеет форму прямоугольника, причём прямоугольники эти иногда оказываются срощенными в одну фигуру, неправильной формы.

Геометрия в космосе.

Поиск геометрических фигур в предметах, которые нас окружают, был бы не полным, если бы мы не обратились к космическим объектам и не определили, форму каких фигур они имеют. Рассмотрим форму планет, звёзд, галактик и траектории их движения в пространстве.

Имеют шарообразную форму. Доказано, что все планеты солнечной системы своей формой напоминают шар.

Являясь космическими объектами, звёзды, так же как и планеты имеют форму шара. Солнце напоминает огромный шар.

Галактики:

Учёные установили, что галактики очень часто имеют форму геометрической фигуры, которая называется спираль.

Орбиты планет:

Планеты движутся вокруг солнца по траекториям, имеющим форму эллипса. Известно, что смена времён года на Земле происходит именно потому, что орбита Земли – эллипс.

Вывод: в космическом пространстве находятся объекты только круглой или другой криволинейной формы и отсутствуют прямолинейные объекты.

Вокруг нас находится большое количество объектов, имеющих форму различных геометрических фигур. При этом фигуры, имеющие прямолинейные элементы, углы, отрезки и плоскости являются объектами искусственного происхождения и изготовлены человеком. Предметы природного происхождения имеют округлые формы, такие как шар, эллипс, дуга. Исключение составляют кристаллы, которые имеют прямоугольные формы.

Многие предметы вокруг нас имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Если поставить круглый стакан на лист бумаги и обвести его карандашом, получится линия, изображающая окружность. Кольцо, обруч напоминают своей формой окружность, а арена цирка, дно стакана или тарелка имеют форму круга. Апельсин, футбольный мяч, арбуз похожи на шар. Шестигранный карандаш, египетские пирамиды – это тоже геометрические фигуры.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур: треугольника квадрата, круга, пирамиды сферы и др.

Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Принято считать, что геометрия зародилась в Древней Греции. Но греки переняли у египтян основы землемерия и превратили его в научную дисциплину путём установления общих закономерностей. Главным трудом по геометрии являются «Начала» древнегреческого учёного Евклида, составленные около 300 лет до н.э. Этот труд длительное время считался образцовым. Эвклидова геометрия изучает простейшие геометрические формы: точки, прямые, отрезки, многоугольники, шары, пирамиды и др. Именно этот раздел геометрии изучается в школе.

В 1877 году немецкий математик Феликс Клейн в своей «Эрлангерской программе» предложил классификацию различных разделов геометрии, которая используется и в наши дни: евклидова геометрия, проективная, аффинная, начертательная, многомерная, риманова, неевклидова геометрии, геометрия многообразий, топология.

Евклидова геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Проективная геометрия изучает свойства фигур, которые сохраняются при их проецировании (замене на подобные фигуры другого размера).

Аффинная геометрия исследует постоянные свойства фигур при различных изменениях плоскости и пространства.

Инженерная дисциплина – начертательная геометрия использует для изображения предмета несколько проекций, что позволяет делать трёхмерное изображение объекта.

Многомерная геометрия исследует альтернативное существование четвертого измерения.

Отдельно выделяют инструментальные подразделы: аналитическую геометрию, которая для описания геометрических фигур использует алгебраические методы и дифференциальную геометрию, которая изучает графики различных функций.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

«Наука геометрия» - VI век до нашей эры. Геометрические фигуры вокруг нас. 4. Четыре страны имеют форму треугольников. Какие инструменты нам будут нужны на уроках? Изучает свойства фигур на плоскости. Что означает слово “геометрия”? Аукцион по продаже пятерок. Планиметрия. Картины Виктора Вазарели. Изучает свойства фигур в пространстве.

«Взаимное расположение прямых в пространстве» - a. ??? a ? b. Скрещивающиеся прямые. b. Ввести определение скрещивающихся прямых. ?. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых. Расположение прямых в пространстве: Лежат в одной плоскости! Почему? Дано: АВ?, СD ? ? = С, С АВ.

«Сравнение отрезков» - Сравнение отрезков и углов. ©Максимовская М.А., 2009 год. Сравнение отрезков. A. B. Определение. C.

«Многообразия» - В нем вводится естественная метрика Сасаки. . 21. 19. Рис.8. 7. Рис.9. Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Поток Риччи. Рис. 14. Рис. 5. 25. 22. Рис. 18. 26. 24. Геометрическая гипотеза Терстона. Трехмерные многообразия. Рис. 19. Рис. 10. 15. 9. Однородные трехмерные геометрии. Рис. 6. Двумерные многообразия.

«Учебник по геометрии» - Многогранники, описанные около сферы 34. Средняя линия треугольника 33. 3. Включение в содержание исторического материала. Подобие фигур. Параллелограммы 30. Индивидуальные творческие задания. Использование рисунков художников: С. Дали, А. Дюрера, О. Рутерсварда, М. Эшера и др. Пособия для подготовки к ЕГЭ.

«Формула отрезков» - Задача 3. Результат: x

Элементы треугольника Так же в треугольнике рассматривают другие отрезки: Медианы (отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.) Биссектрисы (отрезки, заключенные внутри треугольника, которые делят пополам его углы) Высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону)

Теоремы равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Используемая литература: Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год.