Karena ukuran radian suatu sudut dicirikan dengan menentukan besarnya sudut melalui panjang busur, dimungkinkan untuk secara grafis menggambarkan hubungan antara ukuran radian dan ukuran derajat. Untuk melakukan ini, gambarlah lingkaran berjari-jari 1 pada bidang koordinat sehingga pusatnya berada di titik asal. Sudut positif akan diplot berlawanan arah jarum jam, dan sudut negatif searah jarum jam.
Kami menunjukkan ukuran derajat sudut seperti biasa, dan ukuran radian dengan bantuan busur yang terletak pada lingkaran. P 0 - asal sudut. Sisanya adalah titik. 
perpotongan sisi sudut dengan lingkaran.
Definisi: Lingkaran dengan jari-jari 1 berpusat di titik asal disebut lingkaran satuan.
Selain penunjukan sudut, lingkaran ini memiliki fitur lain: dapat mewakili bilangan real apa pun dengan satu titik lingkaran ini. Ini dapat dilakukan dengan cara yang persis sama seperti pada garis bilangan. Kami sepertinya membengkokkan garis bilangan sedemikian rupa sehingga terletak pada lingkaran.
P 0 adalah asal, titik dari angka 0. Angka positif ditandai dengan arah positif (berlawanan arah jarum jam), dan angka negatif ditandai dengan arah negatif (searah jarum jam). Segmen yang sama dengan α adalah busur P 0 P α .
Angka apa pun dapat diwakili oleh titik P α pada lingkaran, dan titik ini unik untuk setiap angka, tetapi Anda dapat melihat bahwa himpunan angka α+2πn, di mana n adalah bilangan bulat, sesuai dengan titik yang sama P α .
Setiap titik memiliki koordinatnya sendiri, yang memiliki nama khusus.
Definisi:Kosinus dari α disebut absis dari titik yang sesuai dengan bilangan α pada lingkaran satuan.
Definisi:Sinus dari α adalah ordinat titik yang sesuai dengan angka α pada lingkaran satuan.
Pα (cosα, sinα).
Dari geometri:
Kosinus sudut dalam persegi panjang segitiga adalah perbandingan sudut yang berlawanan dengan sisi miring. Dalam hal ini, sisi miring sama dengan 1, yaitu kosinus sudut diukur dengan panjang segmen OA.
Sinus sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Artinya, sinus diukur dengan panjang segmen OB.
Mari kita tuliskan definisi garis singgung dan kotangen suatu bilangan.
Di mana cos α≠0
Di mana sinα≠0
Tugas mencari nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen bilangan arbitrer dengan menerapkan beberapa rumus direduksi menjadi menemukan nilai sinα, cosα, tgα dan ctgα, di mana 0≤α≤π/2 .
Tabel nilai dasar fungsi trigonometri
| α | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2pi | |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° | |
| sinα | |||||||
| cosα | ½ | -1 | |||||
| tgα | - | ||||||
| ctgα | - | - | - |
Temukan nilai ekspresi.
Salah satu cabang matematika yang paling sulit dihadapi anak sekolah adalah trigonometri. Tak heran: untuk menguasai bidang ilmu ini dengan leluasa, diperlukan pemikiran spasial, kemampuan menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan mampu menggunakan bilangan pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus dapat menerapkan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini membutuhkan memori matematika yang berkembang atau kemampuan untuk mendeduksi rantai logis yang kompleks.
Asal usul trigonometri
Kenalan dengan ilmu ini harus dimulai dengan definisi sinus, kosinus, dan garis singgung sudut, tetapi pertama-tama Anda perlu mencari tahu apa yang dilakukan trigonometri secara umum.
Secara historis, segitiga siku-siku telah menjadi objek kajian utama dalam bagian ilmu matematika ini. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai aktif menggunakannya dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, bahkan seni.
Tahap pertama
Awalnya, orang berbicara tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segitiga siku-siku. Kemudian formula khusus ditemukan yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan dalam kehidupan sehari-hari bagian matematika ini.
Studi trigonometri di sekolah saat ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh siswa dalam fisika dan memecahkan persamaan trigonometri abstrak, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.
Trigonometri bola
Belakangan, ketika sains mencapai tingkat perkembangan selanjutnya, rumus dengan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan lain berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi keberadaannya perlu diketahui, paling tidak karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain mana pun, adalah cembung, artinya tanda permukaan apa pun akan "berbentuk busur" di ruang tiga dimensi.
Ambil globe dan utas. Pasang utas ke dua titik mana pun di bola dunia sehingga kencang. Perhatikan - itu berbentuk busur. Dengan bentuk-bentuk seperti itulah geometri bola, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya, berurusan.
Segitiga siku-siku
Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali ke trigonometri dasar untuk lebih memahami apa itu sinus, kosinus, garis singgung, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuannya dan rumus apa yang digunakan.
Langkah pertama adalah memahami konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berlawanan dengan sudut 90 derajat. Dia yang terpanjang. Kita ingat bahwa menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar dari jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.
Misalnya, jika dua sisi masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi tersisa yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, harus diingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.
Definisi
Terakhir, dengan pemahaman yang kuat tentang basis geometris, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan garis singgung suatu sudut.
Sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan (yaitu, sisi yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Kosinus sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Ingatlah bahwa baik sinus maupun kosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default adalah yang terpanjang, tidak peduli berapa panjang kakinya, itu akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasionya akan selalu kurang dari satu. Jadi, jika Anda mendapatkan sinus atau cosinus dengan nilai lebih besar dari 1 dalam jawaban soal, carilah kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Jawaban ini jelas salah.
Akhirnya, garis singgung suatu sudut adalah rasio sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan. Hasil yang sama akan memberikan pembagian sinus dengan cosinus. Lihat: sesuai dengan rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, setelah itu kita membaginya dengan panjang sisi kedua dan mengalikannya dengan sisi miring. Jadi, kita mendapatkan rasio yang sama seperti pada definisi tangen.
Kotangen, masing-masing, adalah rasio sisi yang berdekatan dengan sudut dengan sisi yang berlawanan. Kami mendapatkan hasil yang sama dengan membagi unit dengan garis singgung.
Jadi, kami telah mempertimbangkan definisi tentang apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, dan kami dapat menangani rumus.
Formula paling sederhana
Dalam trigonometri, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen tanpanya? Dan inilah yang dibutuhkan saat memecahkan masalah.
Rumus pertama yang perlu Anda ketahui saat mulai mempelajari trigonometri adalah bahwa jumlah kuadrat sinus dan kosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, tetapi menghemat waktu jika Anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisi.
Banyak siswa tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer saat memecahkan masalah sekolah: jumlah satu dan kuadrat garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi kuadrat kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: lagipula, ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua sisi identitas yang dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri sama sekali tidak bisa dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, aturan konversi dan beberapa rumus dasar, Anda dapat kapan saja secara mandiri menurunkan rumus yang lebih kompleks yang diperlukan di selembar kertas.
Rumus sudut ganda dan penambahan argumen
Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus untuk jumlah dan selisih sudut. Mereka ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Harap perhatikan bahwa dalam kasus pertama, sinus dan cosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, perkalian berpasangan dari sinus dan cosinus ditambahkan.
Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya berasal dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah untuk mendapatkannya sendiri, dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.
Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat diubah untuk menurunkan derajat sinus, cosinus, tangen alfa.
Teorema
Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema cosinus. Dengan bantuan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara menemukan sinus, kosinus, dan garis singgung, dan karenanya luas gambar, dan ukuran setiap sisi, dll.
Teorema sinus menyatakan bahwa sebagai hasil membagi panjang setiap sisi segitiga dengan nilai sudut yang berlawanan, kita mendapatkan angka yang sama. Selain itu, angka ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang memuat semua titik dari segitiga yang diberikan.
Teorema cosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras, memproyeksikannya ke segitiga apa pun. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisi, kurangi perkaliannya dengan cosinus ganda dari sudut yang berdekatan - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.
Kesalahan karena kurangnya perhatian
Bahkan mengetahui apa itu sinus, kosinus, dan garis singgung, mudah untuk membuat kesalahan karena ketidakhadiran atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari berkenalan dengan yang paling populer.
Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan biasa menjadi desimal sampai hasil akhir diperoleh - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali jika kondisinya menyatakan sebaliknya. Transformasi semacam itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap masalah mungkin muncul akar baru, yang menurut ide penulis harus direduksi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Hal ini terutama berlaku untuk nilai seperti akar dari tiga atau dua, karena muncul dalam tugas di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk membulatkan angka "jelek".
Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema cosinus berlaku untuk segitiga apa pun, tetapi tidak berlaku untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa untuk mengurangi dua kali perkalian sisi-sisinya dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi juga menunjukkan kesalahpahaman yang lengkap tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.
Ketiga, jangan bingung nilai sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mencampurnya, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.
Aplikasi
Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri, karena tidak memahami arti terapannya. Apa itu sinus, cosinus, tangen untuk seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep yang dengannya Anda dapat menghitung jarak ke bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, tidak mungkin membangun gedung, mendesain mobil, menghitung beban di permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, dari musik hingga kedokteran.
Akhirnya
Jadi Anda adalah sinus, kosinus, garis singgung. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil menyelesaikan masalah sekolah.
Seluruh esensi trigonometri bermuara pada fakta bahwa parameter yang tidak diketahui harus dihitung dari parameter segitiga yang diketahui. Total ada enam parameter: panjang tiga sisi dan besaran tiga sudut. Seluruh perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang berbeda diberikan.
Cara mencari sinus, cosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenusa yang diketahui, kini Anda sudah tahu. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari soal trigonometri adalah menemukan akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini Anda akan dibantu oleh matematika sekolah biasa.
Konsep sinus, cosinus, tangen, dan kotangen adalah kategori utama trigonometri - cabang matematika, dan terkait erat dengan definisi sudut. Penguasaan ilmu matematika ini membutuhkan hafalan dan pemahaman rumus dan teorema, serta pemikiran spasial yang dikembangkan. Itulah sebabnya perhitungan trigonometri seringkali menimbulkan kesulitan bagi anak sekolah dan pelajar. Untuk mengatasinya, Anda harus lebih mengenal fungsi dan rumus trigonometri.
Konsep dalam trigonometri
Untuk memahami konsep dasar trigonometri, pertama-tama Anda harus memutuskan apa itu segitiga siku-siku dan sudut dalam lingkaran, dan mengapa semua perhitungan trigonometri dasar dikaitkan dengannya. Segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat adalah segitiga siku-siku. Secara historis, sosok ini sering digunakan oleh orang-orang dalam arsitektur, navigasi, seni, astronomi. Oleh karena itu, mempelajari dan menganalisis sifat-sifat angka ini, orang sampai pada perhitungan rasio yang sesuai dari parameternya.
Kategori utama yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah sisi miring dan kaki. Sisi miring adalah sisi segitiga yang berlawanan dengan sudut siku-siku. Kaki, masing-masing, adalah dua sisi lainnya. Jumlah sudut setiap segitiga selalu 180 derajat.
Trigonometri bola adalah bagian dari trigonometri yang tidak dipelajari di sekolah, tetapi dalam ilmu terapan seperti astronomi dan geodesi, para ilmuwan menggunakannya. Ciri segitiga dalam trigonometri bola adalah selalu memiliki jumlah sudut lebih besar dari 180 derajat.
Sudut segitiga
Dalam segitiga siku-siku, sinus suatu sudut adalah rasio kaki di depan sudut yang diinginkan dengan sisi miring segitiga. Dengan demikian, cosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dan sisi miring. Kedua nilai ini selalu bernilai kurang dari satu, karena sisi miring selalu lebih panjang dari kaki.
Garis singgung suatu sudut adalah nilai yang sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan dari sudut yang diinginkan, atau sinus ke cosinus. Kotangen, pada gilirannya, adalah rasio kaki yang berdekatan dari sudut yang diinginkan dengan kaktus yang berlawanan. Kotangen suatu sudut juga dapat diperoleh dengan membagi satuan dengan nilai tangen.
lingkaran satuan
Lingkaran satuan dalam geometri adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran seperti itu dibangun dalam sistem koordinat Cartesian, dengan pusat lingkaran bertepatan dengan titik asal, dan posisi awal vektor jari-jari ditentukan oleh arah positif sumbu X (sumbu absis). Setiap titik lingkaran memiliki dua koordinat: XX dan YY, yaitu koordinat absis dan ordinat. Memilih titik mana saja pada lingkaran di bidang XX, dan menurunkan garis tegak lurus darinya ke sumbu absis, kita mendapatkan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh radius ke titik yang dipilih (mari kita tunjukkan dengan huruf C), garis tegak lurus ditarik ke sumbu X (titik perpotongan dilambangkan dengan huruf G), dan segmen sumbu absis antara titik asal (titik dilambangkan dengan huruf A) dan titik perpotongan G. Segitiga ACG yang dihasilkan adalah segitiga siku-siku bertuliskan sebuah lingkaran, di mana AG adalah sisi miringnya, dan AC dan GC adalah kaki-kakinya. Sudut antara jari-jari lingkaran AC dan segmen sumbu absis dengan sebutan AG, kita definisikan sebagai α (alpha). Jadi, cos α = AG/AC. Mengingat AC adalah jari-jari lingkaran satuan, dan sama dengan satu, ternyata cos α=AG. Demikian pula, sin α = CG.
Selain itu, dengan mengetahui data tersebut, dimungkinkan untuk menentukan koordinat titik C pada lingkaran, karena cos α=AG, dan sin α=CG, yang berarti titik C memiliki koordinat yang diberikan (cos α; sin α). Mengetahui bahwa tangen sama dengan rasio sinus terhadap kosinus, kita dapat menentukan bahwa tg α \u003d y / x, dan ctg α \u003d x / y. Mempertimbangkan sudut dalam sistem koordinat negatif, seseorang dapat menghitung bahwa nilai sinus dan cosinus dari beberapa sudut bisa negatif.
Perhitungan dan rumus dasar
Nilai fungsi trigonometri
Setelah mempertimbangkan esensi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan, kita dapat menurunkan nilai fungsi ini untuk beberapa sudut. Nilainya tercantum dalam tabel di bawah ini.
Identitas trigonometri paling sederhana
Persamaan di mana ada nilai yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri disebut trigonometri. Identitas dengan nilai sin x = α, k adalah sembarang bilangan bulat:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitas dengan nilai cos x = a, di mana k adalah sembarang bilangan bulat:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitas dengan nilai tg x = a, di mana k adalah sembarang bilangan bulat:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitas dengan nilai ctg x = a, di mana k adalah sembarang bilangan bulat:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Formula cor
Kategori rumus konstanta ini menunjukkan metode yang dengannya Anda dapat beralih dari fungsi trigonometri bentuk ke fungsi argumen, yaitu, mengubah sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut nilai apa pun ke indikator sudut yang sesuai. interval dari 0 hingga 90 derajat untuk kenyamanan perhitungan yang lebih baik.
Rumus untuk mengurangi fungsi sinus sudut terlihat seperti ini:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Untuk kosinus suatu sudut:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Penggunaan rumus di atas dimungkinkan dengan tunduk pada dua aturan. Pertama, jika sudut dapat direpresentasikan sebagai nilai (π/2 ± a) atau (3π/2 ± a), nilai fungsinya berubah:
- dari sin ke cos;
- dari cos ke dosa;
- dari tg ke ctg;
- dari ctg ke tg.
Nilai fungsi tetap tidak berubah jika sudutnya dapat dinyatakan sebagai (π ± a) atau (2π ± a).
Kedua, tanda fungsi tereduksi tidak berubah: jika awalnya positif, tetap demikian. Hal yang sama berlaku untuk fungsi negatif.
Rumus Penjumlahan
Rumus ini menyatakan nilai sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari jumlah dan selisih dua sudut rotasi dalam kaitannya dengan fungsi trigonometrinya. Sudut biasanya dilambangkan sebagai α dan β.
Rumusnya terlihat seperti ini:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Rumus ini berlaku untuk setiap sudut α dan β.
Rumus sudut ganda dan tiga
Rumus trigonometri sudut ganda dan tiga adalah rumus yang menghubungkan fungsi sudut 2α dan 3α, masing-masing, dengan fungsi trigonometri sudut α. Berasal dari rumus penjumlahan:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Transisi dari jumlah ke produk
Mengingat 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), dengan menyederhanakan rumus ini, kita memperoleh identitas sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Demikian pula, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Transisi dari produk ke jumlah
Rumus ini mengikuti dari identitas untuk transisi jumlah ke produk:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Rumus Pengurangan
Dalam identitas ini, pangkat kuadrat dan pangkat tiga dari sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk sinus dan kosinus pangkat pertama dari sudut berganda:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Substitusi universal
Rumus substitusi trigonometri universal menyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk tangen setengah sudut.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), sedangkan x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), di mana x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), di mana x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), sedangkan x \u003d π + 2πn.
Kasus khusus
Kasus-kasus tertentu dari persamaan trigonometri paling sederhana diberikan di bawah ini (k adalah sembarang bilangan bulat).
Pribadi untuk sinus:
| nilai dosa x | nilai x |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk atau 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk atau -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk atau 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk atau -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk atau 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk atau -2π/3 + 2πk |
Hasil bagi cosinus:
| nilai cos x | nilai x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Pribadi untuk garis singgung:
| tg nilai x | nilai x |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Hasil bagi kotangen:
| nilai ctg x | nilai x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorema
Teorema sinus
Ada dua versi teorema - sederhana dan diperluas. Teorema sinus sederhana: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Dalam hal ini, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α, β, γ masing-masing adalah sudut yang berlawanan.
Teorema sinus yang diperluas untuk segitiga sembarang: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Dalam identitas ini, R menunjukkan jari-jari lingkaran di mana segitiga yang diberikan ditulis.
teorema kosinus
Identitas ditampilkan dengan cara ini: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Dalam rumus, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α adalah sudut yang berhadapan dengan sisi a.
Teorema tangen
Rumus tersebut mengungkapkan hubungan antara garis singgung dua sudut, dan panjang sisi yang berhadapan dengannya. Sisi-sisinya diberi label a, b, c, dan sudut berlawanan yang bersesuaian adalah α, β, γ. Rumus teorema tangen: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
teorema kotangen
Kaitkan jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Jika a, b, c adalah sisi-sisi sebuah segitiga, dan A, B, C, masing-masing, adalah sudut-sudut yang berlawanan, r adalah jari-jari lingkaran bertulis, dan p adalah setengah keliling segitiga, identitas berikut memegang:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Aplikasi
Trigonometri bukan hanya ilmu teoretis yang terkait dengan rumus matematika. Properti, teorema, dan aturannya digunakan dalam praktik oleh berbagai cabang aktivitas manusia - astronomi, navigasi udara dan laut, teori musik, geodesi, kimia, akustik, optik, elektronik, arsitektur, ekonomi, teknik mesin, pekerjaan pengukuran, grafik komputer, kartografi, oseanografi, dan lain-lain.
Sinus, cosinus, tangen, dan kotangen adalah konsep dasar trigonometri, yang dengannya Anda dapat menyatakan secara matematis hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga, dan menemukan besaran yang diinginkan melalui identitas, teorema, dan aturan.
Saya pikir Anda pantas mendapatkan lebih dari itu. Inilah kunci saya untuk trigonometri:
- Gambar kubah, dinding, dan langit-langit
- Fungsi trigonometri tidak lain adalah persentase dari ketiga bentuk tersebut.
Metafora untuk sinus dan kosinus: kubah
Alih-alih hanya melihat segitiga itu sendiri, bayangkan mereka beraksi dengan menemukan beberapa contoh kehidupan nyata tertentu.
Bayangkan Anda berada di tengah kubah dan ingin menggantungkan layar proyektor film. Anda mengarahkan jari Anda ke kubah pada sudut "x", dan layar harus digantung dari titik itu.
Sudut yang Anda arahkan menentukan:
- sinus(x) = sin(x) = tinggi layar (titik pemasangan dari lantai ke kubah)
- cosinus(x) = cos(x) = jarak dari Anda ke layar (berdasarkan lantai)
- sisi miring, jarak dari Anda ke atas layar, selalu sama, sama dengan jari-jari kubah
Apakah Anda ingin layar sebesar mungkin? Gantung tepat di atas Anda.
Apakah Anda ingin layar menggantung sejauh mungkin dari Anda? Gantung lurus tegak lurus. Layar akan memiliki ketinggian nol pada posisi ini dan akan menggantung sejauh yang Anda minta.
Tinggi dan jarak dari layar berbanding terbalik: semakin dekat layar digantung, semakin tinggi ketinggiannya.
Sinus dan cosinus adalah persentase
Tidak seorang pun di tahun-tahun studi saya, sayangnya, menjelaskan kepada saya bahwa fungsi trigonometri sinus dan kosinus hanyalah persentase. Nilainya berkisar dari +100% hingga 0 hingga -100%, atau dari maksimum positif hingga nol hingga maksimum negatif.
Katakanlah saya membayar pajak sebesar 14 rubel. Anda tidak tahu berapa harganya. Tetapi jika Anda mengatakan bahwa saya membayar pajak 95%, Anda akan mengerti bahwa saya hanya dikuliti seperti lengket.
Ketinggian absolut tidak berarti apa-apa. Tetapi jika nilai sinusnya adalah 0,95, maka saya mengerti bahwa TV menggantung hampir di atas kubah Anda. Segera ia akan mencapai ketinggian maksimumnya di tengah kubah, dan kemudian mulai menurun lagi.
Bagaimana kita bisa menghitung persentase ini? Sangat sederhana: bagi tinggi layar saat ini dengan kemungkinan maksimum (jari-jari kubah, juga disebut sisi miring).
Itu sebabnya kita diberitahu bahwa "cosinus = kaki yang berlawanan / sisi miring". Ini semua untuk mendapatkan persentase! Cara terbaik untuk menentukan sinus adalah "persentase tinggi saat ini dari kemungkinan maksimum". (Sinus menjadi negatif jika sudut Anda menunjuk "bawah tanah". Kosinus menjadi negatif jika sudut menunjuk ke titik kubah di belakang Anda.)
Mari kita sederhanakan perhitungannya dengan menganggap kita berada di pusat lingkaran satuan (jari-jari = 1). Kita dapat melewati pembagian dan mengambil sinus yang sama dengan tingginya.
Setiap lingkaran sebenarnya adalah satu, diperbesar atau diperkecil skalanya ke ukuran yang diinginkan. Jadi tentukan hubungan pada lingkaran satuan dan terapkan hasilnya pada ukuran lingkaran khusus Anda.
Eksperimen: ambil sudut mana saja dan lihat berapa persentase tinggi terhadap lebar yang ditampilkan:
Grafik pertumbuhan nilai sinus tidak hanya berupa garis lurus. 45 derajat pertama mencakup 70% dari ketinggian, dan 10 derajat terakhir (dari 80° hingga 90°) hanya mencakup 2%.
Ini akan membuatnya lebih jelas bagi Anda: jika Anda berputar-putar, pada 0 ° Anda naik hampir secara vertikal, tetapi saat Anda mendekati puncak kubah, ketinggiannya semakin berkurang.
Tangen dan garis potong. Dinding
Suatu hari seorang tetangga membangun tembok kanan ke belakang ke kubahmu. Menangis tampilan jendela Anda dan harga jual kembali yang bagus!
Tetapi apakah mungkin untuk menang dalam situasi ini?
Tentu saja ya. Bagaimana jika kita menggantung layar film tepat di dinding tetangga? Anda membidik sudut (x) dan mendapatkan:
- tan(x) = tan(x) = tinggi layar di dinding
- jarak dari kamu ke dinding: 1 (ini adalah jari-jari kubahmu, dinding tidak bergerak kemanapun darimu kan?)
- secant(x) = sec(x) = “panjang tangga” dari Anda berdiri di tengah kubah ke atas layar yang ditangguhkan
Mari kita perjelas beberapa hal tentang garis singgung, atau tinggi layar.
- dimulai dari 0, dan bisa sangat tinggi. Anda dapat meregangkan layar lebih tinggi dan lebih tinggi di dinding untuk mendapatkan kanvas tanpa akhir untuk menonton film favorit Anda! (Untuk yang sebesar itu, tentunya Anda harus mengeluarkan banyak uang).
- tangen hanyalah versi sinus yang diperbesar! Dan sementara pertumbuhan sinus melambat saat Anda bergerak menuju puncak kubah, garis singgung terus tumbuh!
Sekansu juga memiliki sesuatu untuk dibanggakan:
- garis potong dimulai dari 1 (tangga ada di lantai, menjauh dari Anda menuju dinding) dan mulai naik dari sana
- Garis potong selalu lebih panjang dari garis singgung. Tangga miring tempat Anda menggantung layar harus lebih panjang dari layar itu sendiri, bukan? (Dalam ukuran yang tidak realistis, ketika layarnya sangat panjang dan tangga harus ditempatkan hampir secara vertikal, ukurannya hampir sama. Tapi itupun garis potongnya akan sedikit lebih panjang).
Ingat nilai-nilai tersebut persen. Jika Anda memutuskan untuk menggantung layar pada sudut 50 derajat, tan(50)=1,19. Layar Anda 19% lebih besar dari jarak ke dinding (radius kubah).
(Masukkan x=0 dan uji intuisi Anda - tan(0) = 0 dan sec(0) = 1.)
Kotangen dan cosekan. Langit-langit
Hebatnya, tetangga Anda sekarang telah memutuskan untuk membangun langit-langit di atas kubah Anda. (Ada apa dengan dia? Dia tampaknya tidak ingin kamu mengintipnya saat dia berjalan telanjang di sekitar halaman ...)
Nah, saatnya membangun jalan keluar ke atap dan berbicara dengan tetangga. Anda memilih sudut kemiringan, dan mulai membangun:
- jarak vertikal antara outlet atap dan lantai selalu 1 (jari-jari kubah)
- kotangen(x) = cot(x) = jarak antara puncak kubah dan titik keluar
- cosecant(x) = csc(x) = panjang jalur Anda ke atap
Tangen dan garis potong menggambarkan dinding, sedangkan kotangen dan cosecan menggambarkan lantai.
Kesimpulan intuitif kami kali ini mirip dengan yang sebelumnya:
- Jika Anda mengambil sudut 0°, jalan keluar Anda ke atap akan memakan waktu lama karena tidak akan pernah mencapai langit-langit. Masalah.
- "Tangga" terpendek ke atap akan diperoleh jika Anda membangunnya dengan sudut 90 derajat ke lantai. Kotangen akan sama dengan 0 (kami sama sekali tidak bergerak di sepanjang atap, kami keluar secara tegak lurus), dan cosecan akan sama dengan 1 ("panjang tangga" akan minimal).
Visualisasikan Koneksi
Jika ketiga kasing digambar dalam kombinasi kubah-dinding-lantai, yang berikut akan diperoleh:
Wah, wah, segitiganya sama semua, diperbesar ukurannya sampai ke dinding dan langit-langit. Kami memiliki sisi vertikal (sinus, tangen), sisi horizontal (cosinus, kotangen), dan "sisi miring" (garis potong, cosecan). (Anda dapat melihat dari panah seberapa jauh jangkauan setiap elemen. Kosekan adalah jarak total dari Anda ke atap).
Sedikit sihir. Semua segitiga memiliki persamaan yang sama:
Dari teorema Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) kita melihat bagaimana sisi-sisi setiap segitiga terhubung. Selain itu, rasio tinggi-ke-lebar juga harus sama untuk semua segitiga. (Mundur saja dari segitiga terbesar ke segitiga yang lebih kecil. Ya, ukurannya telah berubah, tetapi proporsi sisinya akan tetap sama).
Mengetahui sisi mana di setiap segitiga yang 1 (jari-jari kubah), kita dapat dengan mudah menghitung bahwa "sin/cos = tan/1".
Saya selalu berusaha mengingat fakta-fakta ini melalui visualisasi sederhana. Dalam gambar Anda dapat dengan jelas melihat dependensi ini dan memahami dari mana asalnya. Teknik ini jauh lebih baik daripada menghafal formula kering.
Jangan Lupa Sudut Lain
Ssst… Tidak perlu terpaku pada satu grafik, berpikir bahwa garis singgungnya selalu kurang dari 1. Jika Anda memperbesar sudutnya, Anda dapat mencapai langit-langit tanpa mencapai dinding:
Koneksi Pythagoras selalu berfungsi, tetapi ukuran relatifnya bisa berbeda.
(Anda mungkin memperhatikan bahwa rasio sinus dan cosinus selalu yang terkecil karena tertutup di dalam kubah.)
Untuk meringkas: apa yang perlu kita ingat?
Bagi kebanyakan dari kita, saya akan mengatakan bahwa ini sudah cukup:
- trigonometri menjelaskan anatomi objek matematika seperti lingkaran dan interval berulang
- analogi kubah/dinding/atap menunjukkan hubungan antara berbagai fungsi trigonometri
- hasil dari fungsi trigonometri adalah persentase yang kami terapkan pada skenario kami.
Anda tidak perlu menghafal rumus seperti 1 2 + cot 2 = csc 2 . Mereka hanya cocok untuk tes bodoh di mana pengetahuan tentang suatu fakta disajikan sebagai pemahamannya. Luangkan waktu sebentar untuk menggambar setengah lingkaran dalam bentuk kubah, dinding, dan atap, tanda tangani elemennya, dan semua rumus akan diminta untuk Anda di atas kertas.
Aplikasi: Fungsi Invers
Setiap fungsi trigonometri mengambil sudut sebagai masukan dan mengembalikan hasilnya sebagai persentase. sin(30) = 0,5. Ini berarti sudut 30 derajat menempati 50% dari ketinggian maksimum.
Fungsi invers trigonometri ditulis sebagai sin -1 atau arcsin (“arxine”). Itu juga sering ditulis dalam berbagai bahasa pemrograman.
Jika tinggi kita 25% dari tinggi kubah, berapakah sudut kita?
Dalam tabel proporsi kami, Anda dapat menemukan rasio di mana garis potong dibagi 1. Misalnya, garis potong dengan 1 (hipotenusa horizontal) akan sama dengan 1 dibagi cosinus:
Katakanlah garis potong kita adalah 3,5, mis. 350% dari jari-jari lingkaran satuan. Berapa sudut kemiringan ke dinding yang sesuai dengan nilai ini?
Lampiran: Beberapa contoh
Contoh: Tentukan sinus sudut x.
Tugas yang membosankan. Mari kita perumit "temukan sinus" yang dangkal menjadi "Berapa tinggi sebagai persentase dari maksimum (hipotenusa)?".
Pertama, perhatikan bahwa segitiga diputar. Tidak ada yang salah dengan itu. Segitiga juga memiliki tinggi, ditunjukkan dengan warna hijau pada gambar.
Sama dengan apa hipotenusanya? Dengan teorema Pythagoras, kita tahu bahwa:
3 2 + 4 2 = sisi miring 2 25 = sisi miring 2 5 = sisi miring
Bagus! Sinus adalah persentase tinggi dari sisi terpanjang segitiga, atau sisi miring. Dalam contoh kita, sinus adalah 3/5 atau 0,60.
Tentu saja, kita bisa pergi dengan beberapa cara. Sekarang kita tahu bahwa sinus adalah 0,60 dan kita dapat dengan mudah menemukan arcsine:
Asin(0,6)=36,9
Dan inilah pendekatan lain. Perhatikan bahwa segitiga itu "berhadapan dengan dinding", jadi kita bisa menggunakan garis singgung sebagai pengganti sinus. Tingginya 3, jarak ke tembok 4, jadi garis singgungnya ¾ atau 75%. Kita dapat menggunakan garis singgung busur untuk beralih dari persentase kembali ke sudut:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Contoh: Apakah Anda akan berenang ke pantai?
Anda berada di perahu dan Anda memiliki cukup bahan bakar untuk berlayar sejauh 2 km. Anda sekarang berada 0,25 km dari pantai. Pada sudut maksimum berapa ke pantai Anda dapat berenang ke sana sehingga Anda memiliki cukup bahan bakar? Selain kondisi masalah: kami hanya memiliki tabel nilai arc cosinus.
Apa yang kita miliki? Garis pantai dapat direpresentasikan sebagai "tembok" dalam segitiga terkenal kita, dan "panjang tangga" yang menempel di dinding dapat direpresentasikan sebagai jarak maksimum yang mungkin dengan perahu ke pantai (2 km). Garis potong muncul.
Pertama, Anda perlu beralih ke persentase. Kita punya 2 / 0,25 = 8, artinya kita bisa berenang 8 kali jarak lurus ke pantai (atau ke tembok).
Muncul pertanyaan "Apa garis potong 8?". Tetapi kami tidak dapat memberikan jawaban untuk itu, karena kami hanya memiliki kosinus busur.
Kami menggunakan dependensi yang diturunkan sebelumnya untuk memetakan garis potong ke cosinus: "sec/1 = 1/cos"
Garis potong dari 8 sama dengan cosinus dari ⅛. Sudut dengan kosinus ⅛ adalah acos(1/8) = 82,8. Dan ini adalah sudut terbesar yang bisa kita beli di atas kapal dengan jumlah bahan bakar yang ditentukan.
Tidak buruk, kan? Tanpa analogi kubah-dinding-langit-langit, saya akan bingung dalam banyak rumus dan perhitungan. Visualisasi masalah sangat menyederhanakan pencarian solusi, selain itu, menarik untuk melihat fungsi trigonometri mana yang pada akhirnya akan membantu.
Untuk setiap tugas, pikirkan seperti ini: apakah saya tertarik dengan kubah (sin/cos), dinding (tan/detik), atau langit-langit (cot/csc)?
Dan trigonometri akan menjadi jauh lebih menyenangkan. Perhitungan mudah untuk Anda!
Di mana tugas untuk memecahkan segitiga siku-siku dipertimbangkan, saya berjanji untuk menyajikan teknik menghafal definisi sinus dan kosinus. Dengan menggunakannya, Anda akan selalu cepat mengingat kaki mana yang termasuk sisi miring (berdekatan atau berlawanan). Saya memutuskan untuk tidak menundanya tanpa batas waktu, bahan yang diperlukan ada di bawah, silakan baca 😉
Faktanya, saya telah berulang kali mengamati bagaimana siswa kelas 10-11 kesulitan mengingat definisi tersebut. Mereka ingat betul bahwa kaki mengacu pada sisi miring, tapi yang mana- lupakan dan bingung. Harga sebuah kesalahan, seperti yang Anda ketahui dalam ujian, adalah skor yang hilang.
Informasi yang akan saya sajikan langsung ke matematika tidak ada hubungannya. Ini terkait dengan pemikiran figuratif, dan dengan metode koneksi verbal-logis. Itu benar, saya sendiri, ingat sekali dan untuk selamanyadata definisi. Jika Anda masih melupakannya, maka dengan bantuan teknik yang disajikan selalu mudah diingat.
Biarkan saya mengingatkan Anda definisi sinus dan kosinus dalam segitiga siku-siku:
Kosinus sudut akut dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:
Sinus sudut akut dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring:
Jadi, asosiasi apa yang ditimbulkan oleh kata kosinus dalam diri Anda?
Mungkin setiap orang punya sendiriIngat tautannya:
Dengan demikian, Anda akan segera memiliki ekspresi dalam ingatan Anda -
«… rasio kaki ADJACENT ke sisi miring».
Masalah dengan definisi cosinus terpecahkan.
Jika Anda perlu mengingat definisi sinus dalam segitiga siku-siku, kemudian mengingat definisi cosinus, Anda dapat dengan mudah menetapkan bahwa sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring. Lagi pula, hanya ada dua kaki, jika kaki yang berdekatan "ditempati" oleh cosinus, maka hanya sisi berlawanan yang tersisa untuk sinus.
Bagaimana dengan tangen dan kotangen? Kebingungan yang sama. Siswa tahu bahwa ini adalah rasio kaki, tetapi masalahnya adalah mengingat yang mana yang mengacu - berlawanan dengan yang berdekatan, atau sebaliknya.
Definisi:
Garis singgung sudut akut dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan:
Kotangens sudut akut dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan:
Bagaimana cara mengingat? Ada dua cara. Yang satu juga menggunakan koneksi verbal-logis, yang lain - koneksi matematis.
METODE MATEMATIKA
Ada definisi seperti itu - garis singgung sudut lancip adalah rasio sinus suatu sudut dengan kosinusnya:
* Mengingat rumusnya, Anda selalu dapat menentukan bahwa garis singgung sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Juga.Kotangen sudut lancip adalah rasio kosinus suatu sudut dengan sinusnya:
Jadi! Mengingat rumus-rumus ini, Anda selalu dapat menentukan bahwa:
- garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan antara kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan
- kotangen sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
METODE VERBAL-LOGIS
Tentang garis singgung. Ingat tautannya:
Artinya, jika Anda perlu mengingat definisi garis singgung, menggunakan koneksi logis ini, Anda dapat dengan mudah mengingatnya
"... rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan"
Jika berbicara tentang kotangen, maka mengingat definisi tangen, Anda dapat dengan mudah menyuarakan definisi kotangen -
"... rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan"
Ada teknik yang menarik untuk menghafal garis singgung dan kotangen di situs tersebut " Tandem matematika " , Lihat.
METODE UNIVERSAL
Anda hanya bisa menggiling.Tetapi seperti yang diperlihatkan oleh praktik, berkat koneksi verbal-logis, seseorang mengingat informasi untuk waktu yang lama, dan tidak hanya matematika.
Saya harap materi itu bermanfaat bagi Anda.
Hormat kami, Alexander Krutitskikh
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda menceritakan tentang situs tersebut di jejaring sosial.
