Persamaan linear dua variabel adalah persamaan apa pun yang memiliki bentuk berikut: a*x + b*y =c. Di sini x dan y adalah dua variabel, a,b,c adalah beberapa angka.

Solusi dari persamaan linear a*x + b*y = c, adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi persamaan ini, yaitu mengubah persamaan dengan variabel x dan y menjadi persamaan numerik yang benar. Persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Jika setiap pasangan bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan linier dengan dua variabel direpresentasikan pada bidang koordinat sebagai titik, maka semua titik tersebut membentuk grafik persamaan linier dengan dua variabel. Nilai x dan y kami akan berfungsi sebagai koordinat titik-titik tersebut. Dalam hal ini, nilai x akan menjadi absis, dan nilai y akan menjadi ordinat.

Grafik persamaan linier dengan dua variabel

Grafik persamaan linier dengan dua variabel adalah himpunan semua titik yang mungkin dari bidang koordinat, yang koordinatnya akan menjadi solusi dari persamaan linier ini. Mudah ditebak bahwa grafiknya akan berupa garis lurus. Oleh karena itu, persamaan seperti itu disebut linier.

Algoritma konstruksi

Algoritma untuk memplot persamaan linier dengan dua variabel.

1. Gambar sumbu koordinat, tandatangani dan tandai skala satuan.

2. Dalam persamaan linier, masukkan x = 0, dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk y. Tandai titik yang dihasilkan pada grafik.

3. Dalam persamaan linier, ambil angka 0 sebagai y, dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x. Tandai titik yang diperoleh pada grafik

4. Jika perlu, ambil sembarang nilai x, dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk y. Tandai titik yang dihasilkan pada grafik.

5. Hubungkan titik yang diterima, lanjutkan grafiknya. Tanda tangani baris yang dihasilkan.

Contoh: Plot persamaan 3*x - 2*y =6;

Mari kita letakkan х=0, lalu - 2*y=6; y=-3;

Misalkan y=0, lalu 3*x = 6; x=2;

Kami menandai titik yang diperoleh pada grafik, menggambar garis lurus melaluinya dan menandatanganinya. Lihat gambar di bawah ini, grafiknya akan terlihat seperti ini.

Biarkan diberikan persamaan dengan dua variabel F(x; y). Anda telah belajar bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut secara analitik. Himpunan solusi dari persamaan tersebut juga dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik.

Grafik dari persamaan F(x; y) adalah himpunan titik-titik bidang koordinat xOy yang koordinatnya memenuhi persamaan tersebut.

Untuk memplot persamaan dua variabel, pertama-tama nyatakan variabel y dalam bentuk variabel x dalam persamaan.

Tentunya Anda sudah mengetahui cara membuat berbagai grafik persamaan dengan dua variabel: ax + b \u003d c adalah garis lurus, yx \u003d k adalah hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 adalah lingkaran dengan jari-jari R, dan berpusat di titik O(a; b).

Contoh 1

Gambarkan persamaan x 2 - 9y 2 = 0.

Larutan.

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, yaitu y = x/3 atau y = -x/3.

Jawaban: gambar 1.

Tempat khusus ditempati oleh penempatan angka-angka pada bidang dengan persamaan yang berisi tanda nilai absolut, yang akan kita bahas secara rinci. Perhatikan tahapan-tahapan memplot persamaan berbentuk |y| = f(x) dan |y| = |f(x)|.

Persamaan pertama setara dengan sistem

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) atau y = -f(x).

Artinya, grafiknya terdiri dari grafik dua fungsi: y = f(x) dan y = -f(x), dengan f(x) ≥ 0.

Untuk memplot grafik persamaan kedua, grafik dua fungsi diplot: y = f(x) dan y = -f(x).

Contoh 2

Gambarkan persamaan |y| = 2 + x.

Larutan.

Persamaan yang diberikan setara dengan sistem

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 atau y = -x - 2.

Kami membangun satu set poin.

Jawaban: gambar 2.

Contoh 3

Gambarkan persamaan |y – x| = 1.

Larutan.

Jika y ≥ x, maka y = x + 1, jika y ≤ x, maka y = x - 1.

Jawaban: gambar 3.

Saat membuat grafik persamaan yang berisi variabel di bawah tanda modul, akan lebih mudah dan rasional untuk digunakan metode daerah, berdasarkan pemisahan bidang koordinat menjadi bagian-bagian di mana setiap ekspresi submodul mempertahankan tandanya.

Contoh 4

Gambarkan persamaan x + |x| + y + |y| = 2.

Larutan.

Dalam contoh ini, tanda dari setiap ekspresi submodul bergantung pada kuadran koordinat.

1) Pada kuartal koordinat pertama x ≥ 0 dan y ≥ 0. Setelah memperluas modul, persamaan yang diberikan akan terlihat seperti:

2x + 2y = 2, dan setelah disederhanakan x + y = 1.

2) Pada kuartal kedua, di mana x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Pada kuartal ketiga x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Pada triwulan keempat, untuk x ≥ 0 dan y< 0 получим, что x = 1.

Kami akan memplot persamaan ini dalam kuartal.

Jawaban: gambar 4.

Contoh 5

Gambarlah himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan |x – 1| + |y – 1| = 1.

Larutan.

Nol dari ekspresi submodul x = 1 dan y = 1 membagi bidang koordinat menjadi empat wilayah. Mari kita uraikan modul berdasarkan wilayah. Mari kita letakkan ini dalam bentuk tabel.

Wilayah	Tanda ekspresi submodul	Persamaan yang dihasilkan setelah memperluas modul
SAYA	x ≥ 1 dan y ≥ 1	x + y = 3
II	X< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
AKU AKU AKU	X< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 dan y< 1	x – y = 1

Jawaban: gambar 5.

Pada bidang koordinat, angka dapat ditentukan dan ketidaksetaraan.

Grafik ketidaksetaraan dengan dua variabel adalah himpunan semua titik bidang koordinat yang koordinatnya merupakan solusi dari pertidaksamaan ini.

Mempertimbangkan algoritma untuk membangun model untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan dua variabel:

1. Tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan.
2. Plot persamaan dari langkah 1.
3. Pilih titik sembarang di salah satu setengah bidang. Periksa apakah koordinat titik yang dipilih memenuhi pertidaksamaan yang diberikan.
4. Gambarkan secara grafis himpunan semua solusi pertidaksamaan.

Pertimbangkan, pertama-tama, pertidaksamaan ax + bx + c > 0. Persamaan ax + bx + c = 0 mendefinisikan garis lurus yang membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Pada masing-masingnya, fungsi f(x) = ax + bx + c adalah mempertahankan tanda. Untuk menentukan tanda ini, cukup mengambil titik mana pun yang termasuk dalam setengah bidang dan menghitung nilai fungsi pada titik tersebut. Jika tanda fungsi bertepatan dengan tanda pertidaksamaan, maka setengah bidang ini akan menjadi solusi dari pertidaksamaan.

Pertimbangkan contoh solusi grafis untuk ketidaksetaraan yang paling umum dengan dua variabel.

1) kapak + bx + c ≥ 0. Gambar 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Gambar 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Angka 8.

4) y ≥ x2. Gambar 9

5) xy ≤ 1. Gambar 10.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin berlatih memodelkan himpunan semua solusi pertidaksamaan dua variabel menggunakan pemodelan matematika, Anda bisa pelajaran 25 menit gratis dengan tutor online setelah Anda mendaftar. Untuk pekerjaan lebih lanjut dengan guru, Anda akan memiliki kesempatan untuk memilih paket tarif yang sesuai untuk Anda.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menggambar sosok di bidang koordinat?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat lebih dekat persamaan plotting. Pertama, mari kita ingat apa itu persamaan rasional dan himpunan solusinya yang membentuk grafik persamaan tersebut. Mari kita lihat lebih dekat grafik persamaan linier dan sifat-sifat fungsi linier, pelajari cara membaca grafik. Selanjutnya, perhatikan grafik persamaan kuadrat dan sifat-sifat fungsi kuadrat. Pertimbangkan fungsi hiperbolik dan grafiknya dan grafik persamaan lingkaran. Selanjutnya, kita beralih ke konstruksi dan studi satu set grafik.

Topik: Sistem Persamaan

Pelajaran: Grafik Persamaan

Kami mempertimbangkan persamaan rasional bentuk dan sistem persamaan rasional bentuk

Kami mengatakan bahwa setiap persamaan dalam sistem ini memiliki grafiknya sendiri, kecuali tentu saja ada solusi untuk persamaan tersebut. Kami melihat beberapa grafik dari berbagai persamaan.

Sekarang kita akan secara sistematis mempertimbangkan setiap persamaan yang kita kenal, yaitu. melakukan review pada grafik persamaan.

1. Persamaan linier dengan dua variabel

x, y - ke tingkat pertama; a,b,c - nomor tertentu.

Contoh:

Grafik persamaan ini adalah garis lurus.

Kami bertindak dengan transformasi yang setara - kami meninggalkan y di tempatnya, yang lainnya dipindahkan ke sisi lain dengan tanda yang berlawanan. Persamaan asli dan yang dihasilkan setara, yaitu memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Kita dapat membuat grafik dari persamaan ini, dan metode untuk membuatnya adalah sebagai berikut: kita menemukan titik-titik perpotongan dengan sumbu koordinat dan membuat garis lurus di sepanjangnya.

Pada kasus ini

Mengetahui grafik dari persamaan tersebut, kita dapat mengetahui banyak tentang solusi dari persamaan aslinya, yaitu: jika jika

Fungsi ini meningkat, mis. sebagai x meningkat, y meningkat. Kami telah menerima dua solusi khusus, tetapi bagaimana cara menuliskan himpunan semua solusi?

Jika suatu titik memiliki absis x, maka ordinat titik tersebut

Jadi angkanya

Kami memiliki persamaan, kami membuat grafik, kami menemukan solusi. Himpunan semua pasangan - ada berapa? Tak terhitung.

Ini adalah persamaan rasional

Mari kita temukan y, dengan transformasi setara yang kita peroleh

Kami mengatur dan mendapatkan fungsi kuadrat, kami tahu grafiknya.

Contoh: Buat persamaan rasional.

Grafiknya berbentuk parabola, cabang-cabangnya mengarah ke atas.

Mari kita temukan akar persamaan:

Secara skematis gambarkan grafik ( Beras. 2).

Dengan bantuan grafik, kami mendapatkan segala macam informasi tentang fungsi dan solusi dari persamaan rasional. Kami telah menentukan interval keteguhan tanda, sekarang kami akan menemukan koordinat puncak parabola.

Persamaan tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, yaitu pasangan yang tak terhitung memenuhi persamaan, tapi semua Dan apa yang bisa menjadi x? Siapa pun!

Jika kita mengatur x, kita akan mendapatkan poin

Solusi dari persamaan awal adalah himpunan pasangan

3. Gambarkan persamaannya

Anda perlu mengekspresikan y. Mari pertimbangkan dua opsi.

Grafik fungsinya adalah hiperbola, fungsinya tidak ditentukan untuk

Fungsinya menurun.

Jika kita mengambil suatu titik dengan absis, maka ordinatnya akan sama dengan

Solusi dari persamaan awal adalah himpunan pasangan

Hiperbola yang dibangun dapat digeser relatif terhadap sumbu koordinat.

Misalnya, grafik fungsi - juga hiperbola - akan digeser satu ke atas sepanjang sumbu y.

4. Persamaan lingkaran

Ini adalah persamaan rasional dengan dua variabel. Himpunan solusi adalah titik-titik lingkaran. Jari-jari titik pusat adalah R (Gbr. 4).

Mari pertimbangkan contoh spesifik.

A.

Kami membawa persamaan ke bentuk standar persamaan lingkaran, untuk ini kami memilih kuadrat penuh dari jumlah tersebut:

- mendapatkan persamaan lingkaran yang berpusat di .

Mari kita buat grafik persamaan (Gbr. 5).

B. Persamaan Plot

Ingatlah bahwa hasil kali sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol, dan yang kedua ada.

Grafik dari persamaan yang diberikan terdiri dari sekumpulan grafik dari persamaan pertama dan kedua, mis. dua garis lurus.

Mari kita bangun (Gbr. 6).

Mari kita buat grafik dari fungsi Garis lurus akan melewati titik (0; -1). Tapi bagaimana itu akan berlalu - apakah akan bertambah atau berkurang? Koefisien sudut akan membantu kita menentukan ini, koefisien pada x, negatif, yang berarti fungsinya menurun. Temukan titik potong dengan sumbu lembu, ini adalah titik (-1; 0).

Demikian pula, kami membuat grafik dari persamaan kedua. Garis lurus melewati titik (0; 1), tetapi meningkat, karena kemiringannya positif.

Koordinat semua titik dari dua garis yang dibangun adalah solusi dari persamaan.

Jadi, kami telah menganalisis grafik persamaan rasional yang paling penting, grafik tersebut akan digunakan baik dalam metode grafis maupun dalam mengilustrasikan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan.

1.Mordkovich A.G. dan lain-lain Aljabar kelas 9: Proc. Untuk pendidikan umum Institusi - edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 hal.: sakit.

2.Mordkovich A.G. dkk.Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina dkk. - edisi ke-4. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit.

3. Yu.N. Makarychev, Aljabar. Kelas 9: buku teks. untuk mahasiswa pendidikan umum. institusi / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, I.E. Feoktistov. - edisi ke-7, Pdt. dan tambahan - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Aljabar. Kelas 9 edisi ke-16. - M., 2011. - 287 hal.

5. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - edisi ke-12, terhapus. — M.: 2010. — 224 hal.: sakit.

6. Aljabar. Kelas 9 Pada 2 jam Bagian 2. Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lain-lain; Ed. A.G. Mordkovich. - edisi ke-12, Pdt. — M.: 2010.-223 hal.: sakit.

1. Bagian College.ru tentang matematika ().

2. Proyek Internet "Tugas" ().

3. Portal pendidikan "SOLVE USE" ().

1.Mordkovich A.G. dkk.Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina dkk. - edisi ke-4. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit. Nomor 95-102.

TUJUAN: 1) Memperkenalkan siswa pada konsep “persamaan dengan dua variabel”;

2) Belajar menentukan derajat persamaan dengan dua variabel;

3) Belajar menentukan dengan fungsi yang diberikan mana yang merupakan grafik

persamaan yang diberikan;

4) Pertimbangkan transformasi grafik dengan dua variabel;

persamaan dua variabel yang diberikan menggunakan program Agrapher;

6) Mengembangkan pemikiran logis siswa.

I. Materi baru - kuliah penjelasan dengan unsur percakapan.

(kuliah dilakukan dengan menggunakan slide penulis; plotting dilakukan dalam program Agrapher)

U: Saat mempelajari garis, ada dua masalah:

Berdasarkan sifat geometris garis tertentu, temukan persamaannya;

Masalah invers: menurut persamaan garis yang diberikan, selidiki sifat geometrisnya.

Kami mempertimbangkan masalah pertama dalam perjalanan geometri dalam kaitannya dengan lingkaran dan garis lurus.

Hari ini kita akan mempertimbangkan masalah terbalik.

Pertimbangkan persamaan bentuk:

A) x(x-y)=4; B) 2y-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

adalah contoh persamaan dengan dua variabel.

Persamaan dengan dua variabel X Dan pada memiliki bentuk f(x,y)=(x,y), Di mana F Dan – ekspresi dengan variabel X Dan y.

Jika dalam persamaan x(x-y)=4 pengganti variabel X nilainya -1, dan bukannya pada- nilai 3, maka persamaan yang benar akan menjadi: 1*(-1-3)=4,

Sepasang (-1; 3) nilai variabel X Dan pada adalah solusi dari persamaan x(x-y)=4.

Itu adalah penyelesaian persamaan dengan dua variabel disebut himpunan pasangan terurut dari nilai variabel yang membentuk persamaan ini menjadi persamaan sejati.

Persamaan dengan dua variabel biasanya memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Pengecualian merupakan, misalnya, persamaan seperti X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 atau

2x 2 + pada 2 = 0 .

Yang pertama memiliki dua solusi (0; -2) dan (0; 2), yang kedua memiliki satu solusi (0; 0).

Persamaan x 4 + y 4 + 3 = 0 tidak memiliki solusi sama sekali. Sangat menarik bila nilai variabel dalam persamaan adalah bilangan bulat. Memecahkan persamaan tersebut dengan dua variabel, temukan pasangan bilangan bulat. Dalam kasus seperti itu, persamaan dikatakan diselesaikan dalam bilangan bulat.

Dua persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut persamaan setara. Misalnya persamaan x (x + y 2) \u003d x + 1 adalah persamaan derajat tiga, karena dapat diubah menjadi persamaan xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, ruas kanan dari yang merupakan polinomial dari bentuk baku derajat ketiga.

Derajat persamaan dengan dua variabel, direpresentasikan sebagai F(x, y) = 0, di mana F(x, y) adalah polinomial dari bentuk standar, adalah derajat polinomial F(x, y).

Jika semua solusi persamaan dengan dua variabel diwakili oleh titik-titik pada bidang koordinat, maka kita mendapatkan grafik persamaan dengan dua variabel.

jadwal Persamaan dengan dua variabel adalah sekumpulan titik yang koordinatnya berfungsi sebagai solusi dari persamaan ini.

Jadi, grafik persamaan kapak + oleh + c = 0 adalah garis lurus jika setidaknya salah satu koefisien A atau B tidak sama dengan nol (Gbr. 1). Jika a=b=c=0, maka grafik dari persamaan ini adalah bidang koordinat (Gbr. 2), jika a=b=0, A c0, maka grafiknya adalah set kosong (Gbr. 3).

Grafik Persamaan y = kapak 2 + oleh + c adalah parabola (Gbr. 4), grafik persamaan xy=k (k0) – hiperbola (Gbr. 5). grafik persamaan X 2 + y 2 = r, di mana x dan y adalah variabel, r adalah bilangan positif, adalah lingkaran berpusat pada titik asal dan jari-jari sama dengan R(Gbr. 6). Grafik persamaannya adalah elips, Di mana A Dan B- semiax mayor dan minor elips (Gbr. 7).

Merencanakan beberapa persamaan difasilitasi dengan menggunakan transformasi mereka. Mempertimbangkan transformasi grafik persamaan dengan dua variabel dan merumuskan aturan yang digunakan untuk melakukan transformasi paling sederhana dari grafik persamaan

1) Grafik persamaan F(-x,y) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F(x,y) = 0 dengan menggunakan simetri terhadap sumbu y.

2) Grafik persamaan F(x, -y) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F(x, y) = 0 dengan menggunakan simetri terhadap sumbu X.

3) Grafik persamaan F(-x,-y) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F(x,y) = 0 dengan menggunakan simetri pusat di sekitar titik asal.

4) Grafik persamaan F(x-a,y) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F(x,y) = 0 dengan cara digeser sejajar sumbu x dengan |a| satuan (ke kanan jika A> 0, dan ke kiri jika A < 0).

5) Grafik persamaan F (x, y-b) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F (x, y) = 0 dengan menggerakkan |b| satuan yang sejajar dengan sumbu pada(naik jika B> 0, dan turun jika B < 0).

6) Grafik persamaan F(ax,y) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F(x,y) = 0 dengan cara disusutkan ke sumbu y dan dikalikan A> 1, dan dengan merentang dari sumbu y di kali jika 0< A < 1.

7) Grafik persamaan F(x,by) = 0 diperoleh dari grafik persamaan F(x,y) = 0 dengan menggunakan kompresi terhadap sumbu x di B kali jika B> 1, dan dengan merentang dari sumbu x di kali jika 0 < b < 1.

Jika grafik dari suatu persamaan diputar oleh suatu sudut di dekat titik asal, maka grafik yang baru akan menjadi grafik dari persamaan yang lain. Kasus rotasi tertentu melalui sudut 90 0 dan 45 0 adalah penting.

8) Grafik persamaan F (x, y) \u003d 0 sebagai hasil memutar asal dengan sudut 90 0 searah jarum jam masuk ke grafik persamaan F (-y, x) \u003d 0, dan berlawanan arah jarum jam - ke dalam grafik persamaan F (y , -x) = 0.

9) Grafik persamaan F (x, y) = 0 sebagai hasil memutar asal dengan sudut 45 0 searah jarum jam masuk ke grafik persamaan F = 0, dan berlawanan arah jarum jam - ke grafik persamaan F = 0.

Dari aturan yang telah kita pertimbangkan untuk mengubah grafik persamaan dengan dua variabel, aturan untuk mengubah grafik fungsi dapat diperoleh dengan mudah.

Contoh 1 Mari kita tunjukkan grafik persamaan X 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0 adalah lingkaran (Gbr. 17).

Mari kita ubah persamaannya sebagai berikut:

1) mengelompokkan suku-suku yang mengandung variabel X dan mengandung variabel pada, dan wakili setiap kelompok suku sebagai kuadrat penuh dari trinomial: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;

2) kami menulis trinomial yang dihasilkan sebagai kuadrat dari jumlah (selisih) dua ekspresi: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;

3) menganalisis, menurut aturan konversi grafik persamaan dengan dua variabel, persamaan (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: grafik persamaan ini adalah lingkaran dengan pusat di titik (-1; 4) dan jari-jari 3 satuan.

Contoh 2. Gambarkan persamaannya X 2 + 4thn 2 = 9 .

Mewakili 4y 2 dalam bentuk (2y) 2, kita mendapatkan persamaan x 2 + (2y) 2 \u003d 9, yang grafiknya dapat diperoleh dari lingkaran x 2 + y 2 \u003d 9 dengan mengompresi ke x -sumbu sebanyak 2 kali.

Mari menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan dengan jari-jari 3 satuan.

Mari kita kurangi 2 kali jarak masing-masing titiknya dari sumbu X, kita mendapatkan grafik persamaannya

x 2 + (2y) 2 = 9.

Kami mendapatkan angkanya dengan mengecilkan lingkaran ke salah satu diameternya (ke diameter yang terletak pada sumbu x). Sosok seperti itu disebut elips (Gbr. 18).

Contoh 3. Cari tahu apa yang diwakili oleh grafik persamaan x 2 - y 2 \u003d 8.

Kita gunakan rumus F=0.

Substitusi dalam persamaan ini alih-alih X dan alih-alih Y, kita mendapatkan:

U: Apa grafik dari persamaan y = ?

D: Grafik dari persamaan y = adalah hiperbola.

Y: Kita telah mengubah persamaan berbentuk x 2 - y 2 = 8 menjadi persamaan y = .

Garis mana yang akan menjadi grafik dari persamaan ini?

D: Jadi grafik dari persamaan x 2 - y 2 \u003d 8 adalah hiperbola.

Y: Garis manakah yang merupakan asimtot dari hiperbola y = .

D: Asimtot hiperbola y = adalah garis y = 0 dan x = 0.

Y: Saat belokan dilakukan, garis-garis ini akan menjadi garis = 0 dan = 0, yaitu menjadi garis y \u003d x dan y \u003d - x. (gbr.19).

Contoh 4: Mari kita cari tahu bentuk persamaan y \u003d x 2 parabola jika diputar mengelilingi titik asal dengan sudut 90 0 searah jarum jam.

Menggunakan rumus F (-y; x) \u003d 0, kita mengganti variabel x dengan - y dalam persamaan y \u003d x 2, dan variabel y dengan x. Kita mendapatkan persamaan x \u003d (-y) 2, yaitu x \u003d y 2 (Gbr. 20).

Kami memeriksa contoh grafik persamaan derajat kedua dengan dua variabel dan menemukan bahwa grafik persamaan tersebut dapat berupa parabola, hiperbola, elips (khususnya, lingkaran). Selain itu, grafik persamaan derajat kedua dapat berupa sepasang garis (berpotongan atau sejajar), inilah yang disebut kasus degenerasi. Jadi grafik persamaan x 2 - y 2 \u003d 0 adalah sepasang garis yang berpotongan (Gbr. 21a), dan grafik persamaan x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 adalah garis sejajar.

II Konsolidasi.

(Siswa diberikan "Kartu Instruksi" untuk melaksanakan konstruksi grafik persamaan dengan dua variabel dalam program Agrapher (Lampiran 2) dan kartu "Tugas Praktek" (Lampiran 3) dengan rumusan tugas 1-8 Guru mendemonstrasikan grafik persamaan untuk tugas 4-5 pada slide ).

Latihan 1. Manakah dari pasangan (5; 4), (1; 0), (-5; -4) dan (-1; -) yang merupakan solusi persamaan:

a) x 2 - y 2 \u003d 0, b) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?

Larutan:

Mengganti persamaan yang diberikan, pada gilirannya koordinat titik-titik ini, kami memastikan bahwa tidak ada pasangan tunggal yang merupakan solusi dari persamaan x 2 - y 2 \u003d 0, dan solusi dari persamaan x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y adalah pasangan (5; 4), ( 1;0) dan (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (DAN)

125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)

1 - 1 = - - (DAN)

Menjawab: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Tugas 2. Temukan solusi persamaan xy 2 - x 2 y \u003d 12, yang nilainya X sama dengan 3.

Solusi: 1) Substitusikan nilai 3 alih-alih X ke dalam persamaan yang diberikan.

2) Kami mendapatkan persamaan kuadrat sehubungan dengan variabel Y, yang berbentuk:

3th 2 - 9th = 12.

4) Mari kita selesaikan persamaan ini:

3th 2 - 9th - 12 = 0

D \u003d 81 + 144 \u003d 225

Jawaban: pasangan (3; 4) dan (3; -1) adalah solusi dari persamaan xy 2 - x 2 y \u003d 12

Tugas3. Tentukan derajat persamaan:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).

Jawaban: a) 3; b) 5; jam 4; d) 4.

Tugas 4. Gambar mana yang merupakan grafik dari persamaan:

a) 2x \u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; f) x 2 + y 2 = 9.

Tugas 5. Tulis persamaan yang grafiknya simetris dengan grafik persamaan x 2 - xy + 3 \u003d 0 (Gbr. 24) sehubungan dengan: a) sumbu X; b) kapak pada; c) garis lurus y \u003d x; d) garis lurus y \u003d -x.

Tugas6. Buatlah persamaan yang grafiknya diperoleh dengan meregangkan grafik persamaan y \u003d x 2 -3 (Gbr. 25):

a) dari sumbu x 2 kali; b) dari sumbu y 3 kali.

Gunakan program Agrapher untuk memeriksa kebenaran tugas.

Jawab: a) y - x 2 + 3 = 0 (Gbr. 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Gbr. 25b).

b) garis-garisnya sejajar, bergerak sejajar sumbu x sebesar 1 satuan ke kanan dan sejajar sumbu y sebesar 3 satuan ke bawah (Gbr. 26b);

c) garis berpotongan, tampilan simetris di sekitar sumbu x (Gbr. 26c);

d) garis berpotongan, tampilan simetris di sekitar sumbu y (Gbr. 26d);

e) garis sejajar, tampilan simetris relatif terhadap asal (Gbr. 26e);

f) garis berpotongan, putar titik asal sebesar 90 searah jarum jam dan tampilkan secara simetris di sekitar sumbu x (Gbr. 26f).

AKU AKU AKU. Pekerjaan mandiri yang bersifat mengajar.

(siswa diberikan kartu "Kerja Mandiri" dan "Tabel Laporan Hasil Kerja Mandiri", di mana siswa menuliskan jawaban mereka dan, setelah pemeriksaan diri, mengevaluasi pekerjaan sesuai dengan skema yang diusulkan) Lampiran 4 ..

I. opsi.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 \u003d 1;

c) x - y 2 \u003d 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.

Tentukan koordinat pusat lingkaran dan jari-jarinya.

6. Bagaimana cara hiperbola y \u003d dipindahkan pada bidang koordinat sehingga persamaannya berbentuk x 2 - y 2 \u003d 16?

Periksa jawaban Anda dengan memplot secara grafis menggunakan Agrapher.

7. Cara memindahkan parabola y \u003d x 2 pada bidang koordinat sehingga persamaannya berbentuk x \u003d y 2 - 1

opsi II.

1. Tentukan derajat persamaan:

a) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.

2. Apakah pasangan bilangan (-2; 3) merupakan solusi persamaan:

a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.

3. Temukan satu set solusi untuk persamaan:

x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.

4. Kurva mana (hiperbola, lingkaran, parabola) yang merupakan himpunan titik jika persamaan kurva ini berbentuk:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9

b) y 2 - x 2 \u003d 1

c) x \u003d y 2 - 1.

(periksa dengan bantuan program Agrapher kebenaran tugas)

5. Plot, menggunakan program Agrapher, grafik persamaan:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Bagaimana cara hiperbola y \u003d dipindahkan pada bidang koordinat sehingga persamaannya berbentuk x 2 - y 2 \u003d 28?

7. Cara memindahkan parabola y \u003d x 2 pada bidang koordinat sehingga persamaannya berbentuk x \u003d y 2 + 9.