Integral tak wajar dengan batas integral tak hingga

Terkadang integral tak wajar semacam itu juga disebut integral tak wajar jenis pertama..gif" width="49" height="19 src=">.

Kurang umum adalah integral dengan batas bawah tak terbatas atau dengan dua batas tak terbatas: .

Kami akan mempertimbangkan kasus paling populer https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Tidak tidak selalu. integralhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Mari kita gambarkan grafik integran pada gambar. Grafik tipikal dan trapesium lengkung untuk kasus ini terlihat seperti ini:

Integral tak wajarhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", dengan kata lain, luasnya juga tak terbatas. Jadi mungkin saja. Dalam hal ini, kita katakan bahwa integral tak wajar menyimpang.

2) Tetapi. Kedengarannya paradoks, luas angka tak terbatas bisa sama dengan ... angka terbatas! Contoh: .. Dalam kasus kedua, integral tak wajar konvergen.

Apa yang terjadi jika trapesium lengkung tak terbatas terletak di bawah sumbu?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

Contoh 1

Integral https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, yang berarti semuanya baik-baik saja dan integral tak wajar dapat dihitung menggunakan " metode biasa".

Penerapan rumus kami https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

Artinya, integral tak wajar divergen, dan luas trapesium lengkung yang diarsir sama dengan tak terhingga.

Saat memecahkan integral tak wajar, sangat penting untuk mengetahui bagaimana grafik fungsi dasar utama terlihat!

Contoh 2

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

Mari kita membuat gambar:

Pertama, kita perhatikan hal berikut: integran kontinu pada interval setengah . Bagus..gif" width="327" height="53">

(1) Kami mengambil integral paling sederhana dari fungsi daya (kasus khusus ini ada di banyak tabel). Sebaiknya segera pindahkan tanda minus di luar batas agar tidak terinjak dalam perhitungan selanjutnya.

(2) Kami mengganti batas atas dan bawah sesuai dengan rumus Newton-Leibniz.

(3) Kami menunjukkan bahwa https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Tuan-tuan, ini telah lama dipahami) dan sederhanakan menjawab.

Di sini, luas trapesium lengkung tak terbatas sama dengan bilangan berhingga! Tidak bisa dipercaya tapi benar.

Contoh 3

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

Integran terus menerus pada .

Pertama, mari kita coba mencari fungsi antiturunan (integral tak tentu).

Integral tabel manakah yang terlihat seperti integral? Itu mengingatkan saya pada tangen busur: . Dari pertimbangan-pertimbangan ini, muncul pemikiran bahwa alangkah baiknya jika penyebutnya berbentuk persegi. Ini dilakukan dengan substitusi.

Mari kita ganti:

Itu selalu berguna untuk melakukan pemeriksaan, yaitu, untuk membedakan hasil yang diperoleh:

Sekarang kita temukan integral tak wajar:

(1) Kami menulis solusi sesuai dengan rumus . Sebaiknya segera pindahkan konstanta di luar tanda limit agar tidak mengganggu perhitungan selanjutnya.

(2) Kami mengganti batas atas dan bawah sesuai dengan rumus Newton-Leibniz..gif" width="56" height="19 src=">?

(3) Kami mendapatkan jawaban akhir. Fakta bahwa itu berguna untuk diketahui dengan hati.

Siswa tingkat lanjut mungkin tidak menemukan integral tak tentu secara terpisah, dan tidak menggunakan metode penggantian, tetapi menggunakan metode menjumlahkan fungsi di bawah tanda diferensial dan menyelesaikan integral tak wajar "segera". Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini:

“

Integran berlanjut di https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

Contoh 4

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

! Ini adalah contoh tipikal, dan integral serupa sangat umum. Kerjakan dengan baik! Fungsi antiturunan ditemukan di sini dengan metode pemilihan kuadrat penuh.

Contoh 5

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

Integral ini dapat diselesaikan secara mendetail, yaitu, cari dulu integral tak tentu dengan mengubah variabelnya. Dan Anda dapat menyelesaikannya "segera" - dengan menjumlahkan fungsi di bawah tanda diferensial ..

Integral tak wajar dari fungsi tak terbatas

Terkadang integral tak wajar semacam itu disebut integral tak wajar jenis kedua. Integral tak wajar jenis kedua secara cerdik "dienkripsi" di bawah integral tertentu yang biasa dan terlihat persis sama: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) atau pada titik , 3)​ ​atau pada kedua titik sekaligus, 4) atau bahkan pada interval integrasi.Kami akan mempertimbangkan dua kasus pertama, untuk kasus 3-4 di akhir artikel ada tautan ke pelajaran tambahan.

Sekedar contoh untuk memperjelas: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, lalu penyebut kita menjadi nol, yaitu, integran sama sekali tidak ada pada saat ini!

Secara umum, ketika menganalisis integral tak wajar selalu perlu untuk mensubstitusi kedua batas integrasi ke dalam integral..jpg" alt="(!LANG:Integral tak wajar, titik diskontinuitas pada batas bawah integrasi" width="323" height="380">!}

Di sini, hampir semuanya sama seperti pada integral jenis pertama.
Integral kami secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang diarsir, yang tidak dibatasi dari atas. Dalam hal ini, mungkin ada dua opsi: integral tak wajar divergen (luas tak hingga) atau integral tak wajar sama dengan bilangan berhingga (yaitu, luas bangun tak hingga berhingga!).

Tetap hanya memodifikasi rumus Newton-Leibniz. Itu juga dimodifikasi dengan bantuan batas, tetapi batasnya tidak lagi cenderung tak terhingga, tetapi untuk menilaihttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> di sebelah kanan.

Contoh 6

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

Integran mengalami jeda tak terbatas pada suatu titik (jangan lupa untuk memeriksa secara lisan atau pada konsep jika semuanya baik-baik saja dengan batas atas!)

Pertama, kita menghitung integral tak tentu:

Penggantian:

Kami menghitung integral tak wajar:

(1) Apa yang baru di sini? Praktis tidak ada dalam hal teknik. Satu-satunya hal yang berubah adalah entri di bawah ikon batas: . Penambahan berarti bahwa kami bertujuan untuk nilai di sebelah kanan (yang logis - lihat grafik). Batas seperti itu dalam teori limit disebut limit satu sisi. Dalam hal ini, kita memiliki limit tangan kanan.

(2) Kami mengganti batas atas dan bawah sesuai dengan rumus Newton-Leibniz.

(3) Memahami https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Bagaimana menentukan ke mana ekspresi harus pergi? Secara kasar, di Anda hanya perlu mengganti nilainya, gantikan tiga perempat dan tunjukkan bahwa... Kami menyisir jawabannya.

Dalam hal ini, integral tak wajar sama dengan bilangan negatif.

Contoh 7

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

Contoh 8

Hitung integral tak wajar atau tentukan divergensinya.

Jika integran tidak ada pada titik

Trapesium lengkung tak terbatas untuk integral tak wajar seperti itu pada dasarnya terlihat seperti ini:

Semuanya persis sama di sini, kecuali bahwa batasnya cenderung untuk menilaihttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> kita harus mendekati titik puncak tanpa batas kiri.

Integral tak wajar jenis pertama: perluasan konsep integral tertentu ke kasus integral dengan batas atas atau bawah tak hingga, atau kedua batas integrasi tak hingga.

Integral tak wajar jenis kedua: perpanjangan konsep integral tertentu untuk kasus-kasus integral dari fungsi tak terbatas, integran tidak ada pada sejumlah titik dari interval hingga integrasi, beralih ke tak terhingga.

Untuk perbandingan. Ketika memperkenalkan konsep integral tertentu, diasumsikan bahwa fungsi f(x) kontinu pada selang [ sebuah, b], dan interval integrasi terbatas, yaitu dibatasi oleh angka, dan bukan oleh tak terhingga. Beberapa tugas mengarah pada kebutuhan untuk mengabaikan pembatasan ini. Ini adalah bagaimana integral yang tidak tepat muncul.

Arti geometris integral tak wajar ternyata cukup sederhana. Ketika grafik fungsi kamu = f(x) berada di atas sumbu Sapi, integral tertentu menyatakan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva kamu = f(x) , absis dan ordinat x = sebuah , x = b. Pada gilirannya, integral tak wajar menyatakan luas trapesium lengkung tak terbatas (tak hingga) yang tertutup di antara garis kamu = f(x) (gambar di bawah berwarna merah) x = sebuah dan sumbu absis.

Integral tak wajar didefinisikan dengan cara yang sama untuk interval tak hingga lainnya:

Luas trapesium lengkung tak hingga dapat berupa bilangan berhingga, dan dalam hal ini integral tak wajar disebut konvergen. Area juga bisa tak terhingga, dalam hal ini integral tak wajar disebut divergen.

Menggunakan limit integral bukan integral tak wajar itu sendiri. Untuk menghitung integral tak wajar, Anda perlu menggunakan limit integral tertentu. Jika limit ini ada dan berhingga (tidak sama dengan tak hingga), maka integral tak wajar disebut konvergen, jika tidak maka divergen. Variabel di bawah tanda limit cenderung bergantung pada apakah kita berurusan dengan integral tak wajar jenis pertama atau jenis kedua. Mari kita cari tahu tentangnya sekarang.

Integral tak wajar jenis pertama - dengan batas tak hingga dan konvergensinya

Integral tak wajar dengan batas atas tak hingga

Jadi, catatan integral tak wajar berbeda dari integral tentu biasa dalam hal batas atas integrasi tak hingga.

Definisi. Integral tak wajar dengan batas atas tak hingga dari integrasi dari fungsi kontinu f(x) di antara sebuah sebelum ∞ disebut batas integral dari fungsi ini dengan batas atas integrasi b dan batas bawah integrasi sebuah asalkan batas atas integrasi tumbuh tanpa batas, yaitu

.

Jika limit ini ada dan sama dengan suatu bilangan, dan tidak sampai tak terhingga, maka integral tak wajar disebut konvergen, dan angka yang sama dengan limit diambil sebagai nilainya. Sebaliknya integral tak wajar disebut divergen dan tidak ada nilai yang diatribusikan padanya.

Contoh 1. Hitung Integral Tak Wajar(jika konvergen).

Keputusan. Berdasarkan definisi integral tak wajar, kita temukan

Karena limitnya ada dan sama dengan 1, maka diberikan konvergen integral tak wajar dan sama dengan 1.

Pada contoh berikut, integralnya hampir sama dengan contoh 1, hanya derajat x bukan dua, melainkan huruf alpha, dan tugasnya adalah mempelajari integral tak wajar untuk kekonvergenan. Artinya, pertanyaannya masih harus dijawab: pada nilai alfa apa integral tak wajar ini menyatu, dan pada nilai apa ia menyimpang?

Contoh 2. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar(batas integrasi bawah lebih besar dari nol).

Keputusan. Misalkan dulu , maka

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami melewati batas di :

Sangat mudah untuk melihat bahwa limit di ruas kanan ada dan sama dengan nol ketika , yaitu , dan tidak ada ketika , yaitu .

Dalam kasus pertama, yaitu ketika . Jika kemudian dan tidak ada.

Kesimpulan dari penelitian kami adalah sebagai berikut: konvergen integral tak wajar di dan menyimpang pada .

Menerapkan ke jenis integral tak wajar yang dipelajari dari rumus Newton-Leibniz , kita dapat memperoleh rumus yang sangat mirip berikut:

.

Ini adalah rumus umum Newton-Leibniz.

Contoh 3. Hitung Integral Tak Wajar(jika konvergen).

Batas integral ini ada:

Integral kedua, yang merupakan jumlah yang menyatakan integral asli:

Limit integral ini juga ada:

.

Kami menemukan jumlah dua integral, yang juga merupakan nilai integral tak wajar asli dengan dua batas tak terbatas:

Integral tak wajar jenis kedua - dari fungsi tak terbatas dan konvergensinya

Biarkan fungsinya f(x) ditetapkan pada segmen dari sebuah sebelum b dan tidak terbatas di atasnya. Misalkan fungsi menuju tak terhingga di titik b , sedangkan di semua titik segmen lainnya kontinu.

Definisi. Integral tak wajar dari fungsi f(x) pada segmen dari sebuah sebelum b disebut batas integral dari fungsi ini dengan batas atas integrasi c , jika saat berusaha c ke b fungsi meningkat tanpa batas, dan pada titik x = b fungsi tidak terdefinisi, yaitu

.

Jika limit ini ada, maka integral tak wajar jenis kedua disebut konvergen, jika tidak divergen.

Dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita peroleh.

Integral pasti online ke situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dicakup oleh siswa dan anak sekolah. Dan latih keterampilan praktis Anda. Solusi lengkap integral tentu online untuk Anda dalam beberapa saat akan membantu Anda menentukan semua tahapan proses Integral online - integral tertentu online. Integral online tertentu di situs untuk konsolidasi penuh materi yang dicakup oleh siswa dan anak sekolah dan melatih keterampilan praktis mereka. Solusi lengkap integral tentu online untuk Anda dalam beberapa saat akan membantu Anda menentukan semua tahapan proses Integral online - integral tertentu online. Bagi kami, mengambil integral tertentu secara online tampaknya bukan sesuatu yang super alami, setelah mempelajari topik ini dari sebuah buku oleh penulis terkemuka. Terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka dan kami menyampaikan rasa hormat kepada individu-individu ini. Ini akan membantu untuk menentukan layanan online integral yang pasti untuk menghitung masalah seperti itu dalam sekejap. Cukup masukkan data yang benar dan semuanya akan baik-baik saja! Setiap integral pasti sebagai solusi dari masalah akan meningkatkan literasi siswa. Ini adalah impian setiap kemalasan, dan kami tidak terkecuali, kami mengakuinya dengan jujur. Jika Anda masih dapat menghitung integral tentu secara online dengan solusi gratis, silakan tulis alamat situs web kepada semua orang yang ingin menggunakannya. Seperti yang mereka katakan, bagikan tautan yang bermanfaat - dan orang-orang baik akan berterima kasih atas hadiahnya. Akan sangat menarik untuk menganalisis masalah di mana integral tertentu akan diselesaikan oleh kalkulator sendiri, dan tidak dengan membuang waktu Anda yang berharga. Itu sebabnya mereka adalah mesin untuk membajak manusia. Namun, solusi integral tertentu online tidak untuk setiap situs, dan ini mudah untuk diperiksa, yaitu, cukup untuk mengambil contoh kompleks dan mencoba menyelesaikannya menggunakan setiap layanan tersebut. Anda akan merasakan perbedaan pada kulit Anda sendiri. Seringkali, menemukan integral tertentu secara online tanpa usaha apa pun akan menjadi sangat sulit dan jawaban Anda akan terlihat konyol dengan latar belakang gambaran keseluruhan hasil. Akan lebih baik untuk terlebih dahulu mengambil kursus seorang pejuang muda. Setiap solusi integral tak wajar online pertama-tama direduksi menjadi perhitungan tak tentu, dan kemudian, melalui teori limit, menghitung, sebagai aturan, batas satu sisi dari ekspresi yang diperoleh dengan batas-batas tersubstitusi A dan B. Setelah mempertimbangkan integral pasti online dengan solusi terperinci yang Anda tunjukkan, kami menyimpulkan bahwa Anda melakukan kesalahan pada langkah kelima, yaitu saat menggunakan rumus perubahan variabel Chebyshev. Berhati-hatilah dalam keputusan Anda selanjutnya. Jika kalkulator online Anda tidak dapat mengambil integral pasti Anda untuk pertama kalinya, maka pertama-tama ada baiknya memeriksa ulang data tertulis dalam formulir yang sesuai di situs. Pastikan semuanya beres dan pergi, Go-Go! Untuk setiap siswa, kendalanya adalah perhitungan integral tak wajar secara online dengan guru sendiri, karena ini adalah ujian, atau kolokium, atau hanya tes berpasangan. , lalu segera mengemudi di fungsi yang diberikan, ganti batas integrasi yang diberikan dan klik tombol Selesaikan, setelah itu jawaban terperinci lengkap akan tersedia untuk Anda. Namun itu bagus ketika ada situs yang luar biasa sebagai situs, karena gratis dan mudah digunakan, itu juga berisi banyak bagian. yang siswa gunakan setiap hari, salah satunya adalah integral tertentu online dengan penyelesaiannya secara lengkap. Di bagian yang sama, Anda dapat menghitung integral tak wajar secara online dengan solusi terperinci untuk penerapan jawaban lebih lanjut baik di institut maupun dalam pekerjaan teknik. Tampaknya tidak sulit bagi semua orang untuk menentukan integral tertentu secara online, jika contoh seperti itu diselesaikan terlebih dahulu tanpa batas atas dan bawah, yaitu, bukan integral Leibniz, tetapi integral tak tentu. Tetapi di sini kami sangat tidak setuju dengan Anda, karena pada pandangan pertama mungkin tampak seperti itu, tetapi ada perbedaan yang signifikan, mari kita pisahkan semuanya. Penyelesaiannya memberikan integral tertentu seperti itu bukan dalam bentuk eksplisit, tetapi sebagai hasil dari transformasi ekspresi menjadi nilai pembatas. Dengan kata lain, pertama-tama kita harus menyelesaikan integral dengan substitusi nilai-nilai simbolis dari batas-batas, dan kemudian menghitung batas baik di tak terhingga atau di titik tertentu. Dari sini, menghitung integral tertentu secara online dengan solusi gratis berarti tidak lebih dari mewakili solusi eksak menggunakan rumus Newton-Leibniz. Jika kita mempertimbangkan integral tertentu kita, kalkulator akan membantu Anda menghitungnya dalam beberapa detik tepat di depan mata Anda. Terburu-buru seperti itu dibutuhkan oleh semua orang yang ingin mengatasi tugas secepat mungkin dan dibebaskan untuk urusan pribadi. Anda tidak boleh mencari situs di Internet yang akan meminta Anda untuk mendaftar, kemudian mengisi kembali uang ke saldo, dan semua demi beberapa orang pintar yang menyiapkan solusi integral tertentu yang diduga online. Ingat alamat Math24 adalah layanan gratis untuk memecahkan banyak masalah matematika, termasuk kami akan membantu Anda menemukan integral tertentu secara online, dan untuk memastikannya, silakan periksa pernyataan kami dengan contoh spesifik. Masukkan integran di bidang yang sesuai, lalu tentukan nilai batas tak hingga (dalam hal ini, solusi integral tak wajar akan dihitung dan diperoleh secara online), atau tetapkan batas numerik atau simbolik Anda dan integral online pasti dengan solusi terperinci akan ditampilkan pada halaman setelah mengklik tombol "Solusi". Apakah itu tidak benar - ini sangat sederhana, tidak memerlukan tindakan ekstra dari Anda, gratis, yang merupakan hal terpenting, dan pada saat yang sama efektif. Anda dapat menggunakan layanan sendiri sehingga kalkulator online integral pasti akan memberi Anda manfaat maksimal, dan Anda akan mendapatkan keadaan yang nyaman tanpa membebani kompleksitas semua proses komputasi, biarkan kami melakukan segalanya untuk Anda dan menunjukkan kekuatan penuh dari teknologi komputer di dunia modern. Jika Anda menyelami hutan rumus yang paling kompleks dan mempelajari perhitungan integral tak wajar secara online sendiri, maka ini terpuji, dan Anda dapat mengklaim kesempatan untuk menulis tesis PhD, tetapi mari kita kembali ke realitas kehidupan mahasiswa . Dan siapa yang mahasiswa? Pertama-tama, ini adalah seorang pria muda, energik dan ceria, yang ingin memiliki waktu untuk bersantai dan mengerjakan pekerjaan rumahnya! Oleh karena itu, kami merawat siswa yang mencoba menemukan kalkulator online integral yang tidak tepat dalam luasnya jaringan global, dan ini untuk perhatian Anda - situs ini adalah pemecah online paling berguna untuk kaum muda. Omong-omong, meskipun layanan kami disajikan sebagai asisten untuk siswa dan anak sekolah, layanan ini sepenuhnya cocok untuk insinyur mana pun, karena kami dapat melakukan semua jenis tugas dan solusi mereka disajikan dalam format profesional. Misalnya, kami menawarkan integral tertentu secara online dengan solusi dalam bentuk lengkap secara bertahap, yaitu, setiap blok logis (subtugas) diberi catatan terpisah dengan semua perhitungan selama proses solusi umum. Ini, tentu saja, menyederhanakan persepsi tata letak sekuensial multi-tahap, dan dengan demikian merupakan keunggulan proyek situs dibandingkan layanan serupa untuk menemukan integral yang tidak tepat secara online dengan solusi terperinci.

SubjekIntegral tak wajar

Dalam topik “Integral Tentu”, konsep integral tertentu dipertimbangkan untuk kasus interval hingga
dan fungsi terbatas
(lihat Teorema 1 dari 3). Mari kita umumkan konsep ini untuk kasus interval tak hingga dan fungsi tak terbatas. Perlunya generalisasi seperti itu ditunjukkan, misalnya, oleh situasi seperti itu.

1. Jika menggunakan rumus panjang busur, coba hitung panjang seperempat lingkaran
,
, maka kita sampai pada integral dari fungsi tak terbatas:

, di mana
.

2. Biarkan massa tubuh
bergerak dengan inersia dalam media dengan gaya drag
, di mana
adalah kecepatan tubuh. Menggunakan hukum kedua Newton (
, di mana
percepatan), kita mendapatkan persamaan:
, di mana
. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa solusi untuk persamaan (diferensial!) ini adalah fungsi
Jika kita perlu menghitung jalur yang ditempuh benda hingga berhenti total, mis. sampai saat
, maka kita sampai pada integral pada interval tak terhingga:

§satu. Integral tak wajar jenis pertama

saya definisi

Biarkan fungsinya
didefinisikan dan kontinu pada interval
. Kemudian untuk apa saja
itu dapat diintegralkan pada interval
, yaitu ada integral
.

Definisi 1 . Batas hingga atau tak hingga dari integral ini di
disebut integral tak wajar dari fungsi jenis pertama
dengan interval
dan dilambangkan
. Selain itu, jika batas yang ditunjukkan terbatas, maka integral tak wajar disebut konvergen, jika tidak (
atau tidak ada) - divergen.

Jadi menurut definisi

Contoh

2.
.

3.
- tidak ada.

Integral tak wajar dari contoh 1 konvergen, dalam contoh 2 dan 3 integral divergen.

Rumus II Newton-Leibniz untuk integral tak wajar jenis pertama

Biarlah
- beberapa antiturunan untuk fungsi tersebut
(ada di
, karena
- terus menerus). Kemudian

Oleh karena itu jelas bahwa kekonvergenan integral tak wajar (1) ekuivalen dengan keberadaan limit berhingga
. Jika batas ini ditentukan
, maka kita dapat menulis untuk integral (1) rumus Newton-Leibniz:

, di mana
.

Contoh .

5.
.

6. Contoh yang lebih kompleks:
. Pertama, mari kita cari antiturunannya:

Sekarang kita dapat menemukan integralnya , mengingat bahwa

:

AKU AKU AKU Properti

Mari kita sajikan sejumlah sifat integral tak wajar (1), yang mengikuti dari sifat umum limit dan integral tertentu:

IV Definisi lain

Definisi 2 . Jika sebuah
terus menerus
, kemudian

.

Definisi 3 . Jika sebuah
terus menerus
, maka menurut definisi

(- sewenang-wenang)

selain itu, integral tak wajar di ruas kiri konvergen hanya jika kedua integral di ruas kanan konvergen.

Untuk integral ini, serta untuk integral (1), kita dapat menulis rumus Newton-Leibniz yang sesuai.

Contoh 7 .

2. Kriteria konvergensi untuk integral tak wajar jenis pertama

Paling sering, menurut definisi, tidak mungkin untuk menghitung integral yang tidak tepat, oleh karena itu, persamaan perkiraan digunakan

(untuk besar ).

Namun, hubungan ini masuk akal hanya untuk integral konvergen. Diperlukan metode untuk menjelaskan perilaku integral yang melewati definisi.

Saya Integral Fungsi Positif

Biarlah
pada
. Maka integral tentu
sebagai fungsi dari batas atas ada fungsi yang meningkat (ini mengikuti dari sifat-sifat umum integral tertentu).

Teorema 1 . Integral tak wajar dari fungsi non-negatif jenis pertama konvergen jika dan hanya jika fungsi
tetap terbatas sebagai .

Teorema ini merupakan konsekuensi dari sifat umum fungsi monoton. Teorema hampir tidak memiliki arti praktis, tetapi memungkinkan seseorang untuk mendapatkan apa yang disebut. tanda-tanda konvergensi.

Teorema 2 (tanda perbandingan pertama). Biarkan fungsi
dan
terus menerus
dan memenuhi pertidaksamaan
. Kemudian:

1) jika integralnya
konvergen, maka
konvergen;

2) jika integral
menyimpang, maka
menyimpang.

Bukti . Menunjukkan:
dan
. Sebagai
, kemudian

. Biarkan integral
konvergen, maka (berdasarkan Teorema 1) fungsi
- terbatas. Tapi kemudian dan
terbatas, yang berarti integral
konvergen juga. Bagian kedua dari teorema dibuktikan dengan cara yang sama.

Tanda ini tidak berlaku jika terjadi divergensi integral dari
atau konvergensi integral dari
. Kekurangan ini tidak ada dalam tanda perbandingan ke-2.

Teorema 3 (2 tanda perbandingan). Biarkan fungsi
dan
terus menerus dan non-negatif pada
. Lalu jika
pada
, maka integral tak wajar
dan
konvergen atau divergen secara bersamaan.

Bukti . Dari kondisi teorema, kita memperoleh rantai pernyataan ekuivalen berikut:

, ,

.

Biarkan, misalnya,
. Kemudian:

Kami menerapkan Teorema 2 dan properti 1) dari 1 dan mendapatkan penegasan Teorema 3.

Fungsi eksponensial bertindak sebagai fungsi referensi yang dibandingkan dengan fungsi ini
,
. Kami mengajak siswa untuk membuktikan sendiri bahwa integral

konvergen di
dan menyimpang pada
.

Contoh . 1.
.

Pertimbangkan integran pada interval
:

,
.

Integral
konvergen, karena
. Menurut kriteria perbandingan kedua, integral juga konvergen
, dan karena sifat 2) dari 1 integral asal juga konvergen.

2.
.

Sebagai
, maka ada
sedemikian rupa sehingga pada

. Untuk nilai variabel seperti itu:

Diketahui bahwa fungsi logaritma tumbuh lebih lambat daripada fungsi daya, yaitu.

,

dan karenanya, mulai dari beberapa nilai variabel, pecahan ini kurang dari 1. Oleh karena itu

.

Integral konvergen sebagai referensi. Berdasarkan kriteria 1 perbandingan konvergen dan
. Dengan menerapkan kriteria ke-2, kita memperoleh integral
konvergen. Sekali lagi properti 2) dari 1 membuktikan konvergensi integral asli.

integral tentu

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

dibangun dengan asumsi bahwa bilangan $a,\,b$ berhingga dan $f(x)$ adalah fungsi kontinu. Jika salah satu dari asumsi ini dilanggar, kita berbicara tentang integral tak wajar.

10.1 Integral tak wajar jenis pertama

Integral tak wajar jenis pertama muncul jika paling sedikit salah satu bilangan $a,\,b$ tak terhingga.

10.1.1 Definisi dan sifat dasar

Mari kita pertimbangkan situasi ketika batas bawah integrasi terbatas dan batas atas sama dengan $+\infty$; opsi lain akan dibahas nanti. Untuk $f(x)$ kontinu untuk semua $x$ yang menarik bagi kita, pertimbangkan integralnya

\begin(persamaan) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(persamaan)

Pertama-tama, perlu untuk menetapkan arti dari ungkapan ini. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan fungsi

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

dan pertimbangkan perilakunya sebagai $N\rightarrow +\infty$.

Definisi. Biar ada batasnya

\[ A=\lim_(N \panah kanan +\infty)I(N)=\lim_(N \panah kanan +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Kemudian integral tak wajar jenis ke-1 (19) dikatakan konvergen dan nilai $A$ diberikan padanya, fungsi itu sendiri disebut integral pada interval $\left[ a, \, +\infty \right) $. Jika limit yang ditunjukkan tidak ada atau sama dengan $\pm \infty$, maka integral (19) dikatakan divergen.

Perhatikan integralnya

\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2). \]

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]

Dalam hal ini, antiturunan dari integran diketahui, sehingga

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]

Diketahui bahwa $arctg N \rightarrow \pi /2 $ untuk $N \rightarrow +\infty$. Jadi, $I(N)$ memiliki limit hingga, integral tak wajar kita konvergen dan sama dengan $\pi /2$.

Integral tak wajar konvergen jenis pertama memiliki semua sifat standar integral tertentu biasa.

1. Jika $f(x)$, $g(x)$ dapat diintegralkan pada interval $\left[ a, \, +\infty \right)$, maka jumlah $f(x)+g(x) $ juga dapat diintegralkan pada interval ini, dan \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Jika $f(x)$ dapat diintegralkan pada interval $\left[ a, \, +\infty \right)$, maka untuk sembarang $C$ fungsi $C\cdot f(x)$ juga dapat diintegralkan pada interval ini, dan \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Jika $f(x)$ dapat diintegralkan pada interval $\left[ a, \, +\infty \right)$ dan $f(x)>0$ pada interval ini, maka \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Jika $f(x)$ dapat diintegralkan pada interval $\left[ a, \, +\infty \right)$, maka untuk sembarang $b>a$ integral \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] konvergen, dan \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (aditivitas integral terhadap interval).

Rumus untuk perubahan variabel, integrasi dengan bagian, dll., juga valid. (dengan reservasi alam).

Perhatikan integralnya

\begin(persamaan) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(persamaan)

Kami memperkenalkan fungsi

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Dalam hal ini, antiturunannya diketahui, sehingga

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]

untuk $k \neq 1$,

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]

untuk $k = 1$. Mempertimbangkan perilaku untuk $N \rightarrow +\infty$, kita sampai pada kesimpulan bahwa integral (20) konvergen untuk $k>1$, dan divergen untuk $k \leq 1$.

Sekarang mari kita perhatikan kasus ketika batas bawah integrasi sama dengan $-\infty$ dan batas atas berhingga, mis. perhatikan integralnya

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Namun, varian ini dapat dikurangi menjadi yang sebelumnya jika kita membuat perubahan variabel $x=-s$ dan kemudian menukar batas integrasi, sehingga

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Mari kita pertimbangkan kasus ketika ada dua batas tak terbatas, yaitu. integral

\begin(persamaan) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(persamaan)

di mana $f(x)$ kontinu untuk semua $x \in \mathbb(R)$. Mari kita bagi interval menjadi dua bagian: ambil $c \in \mathbb(R)$, dan pertimbangkan dua integral,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Definisi. Jika kedua integral $I_1$, $I_2$ konvergen, maka integral (21) disebut konvergen, diberi nilai $I=I_1+I_2$ (sesuai dengan aditif interval). Jika paling sedikit salah satu integral $I_1$, $I_2$ divergen, integral (21) dikatakan divergen.

Dapat dibuktikan bahwa kekonvergenan integral (21) tidak bergantung pada pilihan titik $c$.

Integral tak wajar jenis pertama dengan interval integrasi $\left(-\infty, \, c \right]$ atau $(-\infty, \, +\infty)$ juga memiliki semua sifat standar integral tertentu (dengan a reformulasi yang sesuai yang memperhitungkan interval integrasi pilihan).

10.1.2 Kriteria konvergensi integral tak wajar jenis pertama

Teorema (tanda pertama perbandingan). Misalkan $f(x)$, $g(x)$ kontinu untuk $x>a$, dan misalkan $0 a$. Kemudian

1. Jika integral \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] konvergen, maka integral \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx juga konvergen. \] 2. Jika integral \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] divergen, maka integral \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx juga divergen. \]

Teorema (tanda kedua perbandingan). Biarkan $f(x)$, $g(x)$ kontinu dan positif untuk $x>a$, dan biarkan ada batas hingga

\[ \theta = \lim_(x \panah kanan +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Maka integralnya

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

konvergen atau divergen secara bersamaan.

Perhatikan integralnya

\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Integran adalah fungsi positif pada interval integrasi. Selanjutnya, untuk $x \rightarrow +\infty$ kita memiliki:

$\sin x$ adalah koreksi "kecil" pada penyebutnya. Lebih tepatnya, jika kita mengambil $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, maka

\[ \lim _(x \panah kanan +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \panah kanan +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]

Dengan menerapkan kriteria perbandingan kedua, kita sampai pada kesimpulan bahwa integral kita konvergen atau divergen secara simultan dengan integral

\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]

Seperti yang ditunjukkan pada contoh sebelumnya, integral ini divergen ($k=1$). Oleh karena itu, integral asli divergen.

Hitung integral tak wajar atau tentukan konvergensinya (divergensi).

1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]