lihat juga Memecahkan masalah pemrograman linier secara grafis, bentuk kanonik dari masalah pemrograman linier

Sistem kendala untuk masalah seperti itu terdiri dari ketidaksetaraan dalam dua variabel:
dan fungsi objektif memiliki bentuk F = C 1 x + C 2 kamu, yang harus dimaksimalkan.

Mari kita jawab pertanyaan: apa pasangan angka ( x; kamu) adalah solusi untuk sistem pertidaksamaan, yaitu, apakah mereka memenuhi setiap pertidaksamaan secara bersamaan? Dengan kata lain, apa artinya menyelesaikan sistem secara grafis?
Pertama, Anda perlu memahami apa solusi dari satu pertidaksamaan linier dengan dua yang tidak diketahui.
Menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan dua yang tidak diketahui berarti menentukan semua pasangan nilai dari yang tidak diketahui yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Misal pertidaksamaan 3 x – 5kamu 42 memenuhi pasangan ( x , kamu) : (100, 2); (3, –10), dll. Masalahnya adalah menemukan semua pasangan tersebut.
Pertimbangkan dua ketidaksetaraan: kapak + oleh≤ c, kapak + oleh≥ c. Lurus kapak + oleh = c membagi bidang menjadi dua setengah bidang sehingga koordinat titik-titik salah satunya memenuhi pertidaksamaan kapak + oleh >c, dan pertidaksamaan lainnya kapak + +oleh <c.
Memang, ambil titik dengan koordinat x = x 0; maka sebuah titik terletak pada garis lurus dan memiliki absis x 0 , memiliki ordinat

Biarkan untuk kepastian sebuah<0, b>0, c>0. Semua poin dengan absis x 0 di atas P(misalnya titik M), memiliki yM>kamu 0 , dan semua titik di bawah titik P, dengan absis x 0, memiliki yN<kamu 0 . Sejauh x 0 adalah titik arbitrer, maka akan selalu ada titik di satu sisi garis yang kapak+ oleh > c, membentuk setengah bidang, dan di sisi lain, menunjuk yang kapak + oleh< c.

Gambar 1

Tanda pertidaksamaan pada setengah bidang bergantung pada bilangan sebuah, b , c.
Ini mengarah ke metode berikut: solusi grafis sistem pertidaksamaan linier dari dua variabel. Untuk menyelesaikan sistem, Anda perlu:

1. Untuk setiap pertidaksamaan, tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan yang diberikan.
2. Bangun garis yang merupakan grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan.
3. Untuk setiap garis lurus, tentukan setengah bidang, yang diberikan oleh pertidaksamaan. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenang, tidak terletak pada garis lurus, substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan. jika pertidaksamaan benar, maka setengah bidang yang memuat titik yang dipilih adalah solusi dari pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan salah, maka setengah bidang di sisi lain garis adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini.
4. Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan, perlu untuk menemukan luas perpotongan semua setengah bidang yang merupakan solusi untuk setiap pertidaksamaan dalam sistem.

Area ini mungkin kosong, maka sistem ketidaksetaraan tidak memiliki solusi, tidak konsisten. Jika tidak, sistem dikatakan kompatibel.
Mungkin ada sejumlah solusi dan set tak terbatas. Area tersebut dapat berupa poligon tertutup atau tidak terbatas.

Mari kita lihat tiga contoh yang relevan.

Contoh 1. Selesaikan sistem secara grafis:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2kamu + 5 ≤ 0.

• pertimbangkan persamaan x+y–1=0 dan –2x–2y+5=0 yang sesuai dengan pertidaksamaan;
• mari kita membangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini.

Gambar 2

Mari kita definisikan setengah bidang yang diberikan oleh pertidaksamaan. Ambil titik sembarang, misal (0; 0). Mempertimbangkan x+ y– 1 0, kita substitusikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 0. maka, pada setengah bidang di mana titik (0; 0) terletak, x + kamu – 1 0, yaitu setengah bidang yang terletak di bawah garis lurus adalah solusi dari pertidaksamaan pertama. Mengganti titik ini (0; 0) ke yang kedua, kita mendapatkan: –2 0 – 2 0 + 5 0, mis. di setengah bidang di mana titik (0; 0) terletak, -2 x – 2kamu+ 5≥ 0, dan kami ditanya di mana -2 x – 2kamu+ 5 0, oleh karena itu, di setengah bidang lain - di atas garis lurus.
Temukan persimpangan dua setengah bidang ini. Garis-garisnya sejajar, sehingga bidang tidak berpotongan di mana pun, yang berarti bahwa sistem pertidaksamaan ini tidak memiliki solusi, tidak konsisten.

Contoh 2. Temukan solusi grafis untuk sistem pertidaksamaan:

Gambar 3
1. Tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan dan buat garis lurus.
x + 2kamu– 2 = 0

x	2	0
kamu	0	1

kamu – x – 1 = 0

x	0	2
kamu	1	3

kamu + 2 = 0;
kamu = –2.
2. Setelah memilih titik (0; 0), kami menentukan tanda-tanda ketidaksetaraan di setengah bidang:
0 + 2 0 – 2 0, yaitu x + 2kamu– 2 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;
0 – 0 – 1 0, yaitu kamu –x– 1 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;
0 + 2 =2 0, mis. kamu+ 2 0 pada setengah bidang di atas garis.
3. Perpotongan ketiga setengah bidang ini akan menjadi luas segitiga. Tidak sulit untuk menemukan simpul-simpul wilayah sebagai titik potong garis yang bersesuaian


Dengan demikian, TETAPI(–3; –2), PADA(0; 1), Dengan(6; –2).

Mari kita perhatikan satu contoh lagi, di mana domain yang dihasilkan dari solusi sistem tidak terbatas.

Dalam artikel kami akan mempertimbangkan penyelesaian pertidaksamaan. Mari kita bicara terus terang tentang bagaimana membangun solusi untuk ketidaksetaraan dengan contoh yang jelas!

Sebelum mempertimbangkan solusi pertidaksamaan dengan contoh, mari kita berurusan dengan konsep dasar.

Pengantar ketidaksetaraan

ketidaksamaan disebut ekspresi di mana fungsi dihubungkan oleh tanda relasi >, . Pertidaksamaan dapat berupa numerik dan alfabet.
Pertidaksamaan dengan dua tanda relasi disebut ganda, dengan tiga - tiga, dll. Sebagai contoh:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Pertidaksamaan yang mengandung tanda > atau atau tidak tegas.
Solusi ketidaksetaraan adalah setiap nilai dari variabel yang pertidaksamaan ini benar.
"Selesaikan pertidaksamaan" berarti Anda perlu menemukan himpunan semua solusinya. Ada berbagai metode untuk memecahkan ketidaksetaraan. Untuk solusi pertidaksamaan menggunakan garis bilangan tak berhingga. Sebagai contoh, menyelesaikan pertidaksamaan x > 3 adalah interval dari 3 sampai +, dan angka 3 tidak termasuk dalam interval ini, sehingga titik pada garis dilambangkan dengan lingkaran kosong, karena ketimpangannya ketat.
+
Jawabannya adalah: x (3; +).
Nilai x=3 tidak termasuk dalam himpunan solusi, jadi kurungnya bulat. Tanda tak terhingga selalu disorot kurung. Tanda itu berarti "milik".
Pertimbangkan bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan contoh lain dengan tanda:
x2
-+
Nilai x=2 termasuk dalam himpunan solusi, sehingga tanda kurung siku dan titik pada garis dilambangkan dengan lingkaran penuh.
Jawabannya adalah: x .

Berikut ini diselesaikan dengan cara yang sama. sistem ketidaksetaraan.

Sistem ketidaksetaraan Merupakan kebiasaan untuk menyebut setiap himpunan dari dua atau lebih pertidaksamaan yang mengandung kuantitas yang tidak diketahui.

Formulasi ini diilustrasikan dengan jelas, misalnya, dengan sistem ketidaksetaraan:

Memecahkan sistem pertidaksamaan - berarti menemukan semua nilai dari variabel yang tidak diketahui dimana setiap pertidaksamaan sistem direalisasikan, atau untuk membuktikan bahwa tidak ada pertidaksamaan seperti itu. .

Jadi, untuk setiap individu ketidaksetaraan sistem menghitung variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya, dari nilai yang dihasilkan, pilih hanya yang benar untuk pertidaksamaan pertama dan kedua. Oleh karena itu, ketika mensubstitusi nilai yang dipilih, kedua pertidaksamaan sistem menjadi benar.

Mari kita menganalisis solusi dari beberapa ketidaksetaraan:

Tempatkan satu di bawah pasangan garis bilangan lainnya; letakkan nilai di atas x, di mana pertidaksamaan pertama o ( x> 1) menjadi benar, dan di bagian bawah, nilainya X, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan kedua ( X> 4).

Dengan membandingkan data pada garis bilangan, perhatikan bahwa solusi untuk keduanya ketidaksetaraan akan X> 4. Jawab, X> 4.

Contoh 2

Menghitung yang pertama ketidaksamaan kita mendapatkan -3 X< -6, или x> 2, yang kedua - X> -8, atau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, di mana yang pertama ketidaksetaraan sistem, dan pada baris angka yang lebih rendah, semua nilai tersebut X, di mana ketidaksetaraan kedua dari sistem direalisasikan.

Membandingkan data, kami menemukan bahwa keduanya ketidaksetaraan akan diterapkan untuk semua nilai X ditempatkan dari 2 hingga 8. Seperangkat nilai X menunjukkan ketimpangan ganda 2 < X< 8.

Contoh 3 Ayo temukan