Matematika sebagai ilmu muncul sehubungan dengan kebutuhan untuk memecahkan masalah praktis: pengukuran di darat, navigasi, dll. Akibatnya, matematika adalah matematika numerik dan tujuannya adalah untuk mendapatkan solusi dalam bentuk bilangan. Solusi numerik dari masalah terapan selalu menarik minat matematikawan. Perwakilan terbesar di masa lalu menggabungkan studi mereka tentang fenomena alam, memperoleh deskripsi matematis mereka, mis. model matematika dan penelitiannya. Analisis model yang rumit membutuhkan penciptaan khusus, biasanya metode numerik untuk memecahkan masalah. Nama-nama beberapa metode ini menunjukkan bahwa mereka dikembangkan oleh ilmuwan terbesar pada masanya. Ini adalah metode Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Chebyshev, Hermite.

Saat ini ditandai dengan perluasan tajam dari aplikasi matematika, sebagian besar terkait dengan penciptaan dan pengembangan teknologi komputer. Akibat kemunculan komputer dalam waktu kurang dari 40 tahun, kecepatan operasi meningkat dari 0,1 operasi per detik dengan penghitungan manual menjadi 10 operasi per detik pada komputer modern.

Pendapat luas tentang kemahakuasaan komputer modern memunculkan kesan bahwa ahli matematika telah menyingkirkan semua masalah yang terkait dengan solusi numerik masalah, dan pengembangan metode baru untuk menyelesaikannya tidak lagi begitu signifikan. Pada kenyataannya, situasinya berbeda, karena kebutuhan evolusi, sebagai suatu peraturan, diletakkan di depan tugas-tugas sains yang berada di ambang kemampuannya. Perluasan penerapan matematika menyebabkan matematisasi berbagai cabang ilmu pengetahuan: kimia, ekonomi, biologi, geologi, geografi, psikologi, kedokteran, teknologi, dll.

Ada dua keadaan yang pada awalnya memunculkan keinginan untuk matematisasi ilmu:

pertama, hanya penggunaan metode matematika yang memungkinkan untuk memberikan karakter kuantitatif pada studi tentang satu atau lain fenomena dunia material;

kedua, dan ini adalah hal utama, hanya cara berpikir matematis yang membuat objek. Metode penelitian ini disebut eksperimen komputasi - penelitian ini sepenuhnya objektif.

Baru-baru ini, faktor lain telah muncul yang memiliki dampak kuat pada proses matematisasi pengetahuan. Inilah pesatnya perkembangan teknologi komputer. Penggunaan komputer untuk memecahkan masalah ilmiah, teknik, dan terapan pada umumnya sepenuhnya didasarkan pada matematisasinya.

model matematika.

Teknologi modern untuk mempelajari masalah kompleks didasarkan pada konstruksi dan analisis, biasanya dengan bantuan komputer, model matematika dari masalah yang dipelajari. Biasanya, percobaan komputasi, seperti yang telah kita lihat, terdiri dari beberapa tahap: menetapkan masalah, membangun model matematika (rumus matematika dari masalah), mengembangkan metode numerik, mengembangkan algoritma untuk menerapkan metode numerik, mengembangkan program, debugging program, melakukan perhitungan, menganalisis hasil.

Jadi, penggunaan komputer untuk memecahkan masalah ilmiah atau rekayasa apa pun pasti terkait dengan transisi dari proses atau fenomena nyata ke model matematisnya. Dengan demikian, penerapan model dalam penelitian ilmiah dan praktik rekayasa adalah seni pemodelan matematika.

Sebuah model biasanya disebut sistem yang direpresentasikan atau diwujudkan secara material yang mereproduksi fitur utama yang paling signifikan dari fenomena yang diberikan.

Persyaratan utama untuk model matematika adalah kecukupan fenomena yang dipertimbangkan, yaitu. itu harus cukup mencerminkan fitur karakteristik dari fenomena tersebut. Pada saat yang sama, harus memiliki kesederhanaan komparatif dan aksesibilitas penelitian.

Model matematika mencerminkan ketergantungan antara kondisi terjadinya fenomena yang diteliti dan hasilnya dalam konstruksi matematika tertentu. Paling sering, konsep matematika berikut digunakan sebagai konstruksi seperti itu: fungsi, fungsional, operator, persamaan numerik, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial.

Model matematika dapat diklasifikasikan menurut kriteria yang berbeda: statis dan dinamis, terkonsentrasi dan terdistribusi; deterministik dan probabilistik.

Pertimbangkan masalah menemukan akar persamaan nonlinier

Akar persamaan (1) adalah nilai x yang, ketika disubstitusikan, mengubahnya menjadi identitas. Hanya untuk persamaan paling sederhana dimungkinkan untuk menemukan solusi dalam bentuk rumus, mis. bentuk analitis. Lebih sering perlu untuk menyelesaikan persamaan dengan metode perkiraan, yang paling luas di antaranya, sehubungan dengan munculnya komputer, adalah metode numerik.

Algoritma untuk mencari akar dengan metode perkiraan dapat dibagi menjadi dua tahap. Pada awalnya, lokasi akar dipelajari dan pemisahannya dilakukan. Ada area di mana terdapat akar persamaan atau aproksimasi awal ke akar x 0 . Cara paling sederhana untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan mempelajari grafik fungsi f(x) . Dalam kasus umum, untuk menyelesaikannya, perlu melibatkan semua cara analisis matematis.

Keberadaan pada interval yang ditemukan dari setidaknya satu akar persamaan (1) berikut dari kondisi Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Diasumsikan juga bahwa fungsi f(x) kontinu pada interval yang diberikan. Namun, kondisi ini tidak menjawab pertanyaan tentang jumlah akar persamaan pada interval tertentu. Jika persyaratan kontinuitas fungsi dilengkapi dengan persyaratan monotonisitasnya, dan ini mengikuti dari kekonstanan tanda turunan pertama, maka kita dapat menegaskan keberadaan akar unik pada segmen tertentu.

Saat melokalisasi akar, penting juga untuk mengetahui sifat dasar dari jenis persamaan ini. Misalnya, ingat beberapa sifat persamaan aljabar:

di mana adalah koefisien nyata.

• a) Persamaan derajat n memiliki n akar, di antaranya dapat ada akar real dan kompleks. Akar kompleks membentuk pasangan konjugat kompleks dan, oleh karena itu, persamaan memiliki jumlah akar yang genap. Untuk nilai ganjil n, setidaknya ada satu akar real.
• b) Banyaknya akar real positif kurang dari atau sama dengan jumlah tanda variabel dalam barisan koefisien. Mengganti x dengan -x dalam persamaan (3) memungkinkan Anda memperkirakan jumlah akar negatif dengan cara yang sama.

Pada tahap kedua dari penyelesaian persamaan (1), menggunakan pendekatan awal yang diperoleh, proses iteratif dibangun yang memungkinkan untuk memperbaiki nilai akar dengan beberapa akurasi yang telah ditentukan. Proses iteratif terdiri dari perbaikan berturut-turut dari pendekatan awal. Setiap langkah tersebut disebut iterasi. Sebagai hasil dari proses iterasi, urutan nilai perkiraan dari akar persamaan ditemukan. Jika barisan ini mendekati nilai sebenarnya dari akar x seiring bertambahnya n, maka proses iteratif konvergen. Suatu proses iteratif dikatakan konvergen ke paling sedikit orde m jika kondisi berikut dipenuhi:

di mana >0 adalah suatu konstanta. Jika m=1 , maka dikatakan konvergensi orde pertama; m=2 - tentang kuadrat, m=3 - tentang konvergensi kubik.

Siklus berulang berakhir jika, untuk kesalahan yang diizinkan, kriteria untuk penyimpangan absolut atau relatif terpenuhi:

atau kecilnya sisa:

Karya ini dikhususkan untuk mempelajari algoritma untuk memecahkan persamaan nonlinier menggunakan metode Newton.

Ada banyak metode yang berbeda untuk menyelesaikan persamaan nonlinier, beberapa di antaranya disajikan di bawah ini:

• 1)Metode iterasi. Saat menyelesaikan persamaan non-linier dengan iterasi, kami menggunakan persamaan dalam bentuk x=f(x). Nilai awal argumen x 0 dan akurasi e ditetapkan Pendekatan pertama dari solusi x 1 ditemukan dari ekspresi x 1 \u003d f (x 0), yang kedua - x 2 \u003d f (x 1) , dll. Dalam kasus umum, pendekatan i+1 ditemukan dengan rumus xi+1 =f(xi). Kami ulangi prosedur ini sampai |f(xi)|>e. Kondisi konvergensi metode iterasi |f"(x)|
• 2)metode Newton. Saat menyelesaikan persamaan nonlinier dengan metode Newton, nilai awal argumen x 0 dan akurasi e ditetapkan. Kemudian, pada titik (x 0, F (x 0)) kita menggambar garis singgung graf F (x ) dan tentukan titik potong garis singgung dengan sumbu absis x 1. Pada titik (x 1, F (x 1)) kita bangun lagi sebuah garis singgung, cari aproksimasi berikutnya dari solusi x 2 yang diinginkan, dst. Kami ulangi prosedur ini sampai |F(xi)| > e. Untuk menentukan titik potong (i + 1) garis singgung dengan sumbu absis digunakan rumus berikut

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

Kondisi konvergensi untuk metode tangen F(x 0) F""(x)>0, dst.

3). metode dikotomi. Teknik solusi direduksi menjadi pembagian bertahap dari interval ketidakpastian awal menjadi dua sesuai dengan rumus

C ke \u003d a ke + ke / 2.

Untuk memilih yang diperlukan dari dua segmen yang dihasilkan, perlu untuk menemukan nilai fungsi di ujung segmen yang dihasilkan dan mempertimbangkan yang di mana fungsi akan mengubah tandanya, yaitu kondisi f ( a k) * f (dalam k)<0.

Proses pembagian segmen dilakukan sampai panjang interval ketidakpastian arus kurang dari ketelitian yang ditentukan yaitu pada k – a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). metode akord. Ide dari metode ini adalah bahwa akord dibangun pada segmen yang berkontraksi dengan ujung busur grafik fungsi y=f(x), dan titik c, perpotongan akord dengan sumbu absis , dianggap sebagai nilai perkiraan dari akar

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

Pendekatan selanjutnya dicari pada interval atau tergantung pada tanda-tanda nilai fungsi pada titik a,b,c

x* O jika f(c) H f(a) > 0 ;

x* O jika f(c) x f(b)< 0 .

Jika f "(x) tidak berubah tanda menjadi , kemudian menunjukkan c \u003d x 1 dan mempertimbangkan a atau b sebagai aproksimasi awal, kami mendapatkan rumus iteratif dari metode akor dengan titik kanan atau kiri tetap.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), dengan f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), dengan f "(x) H f "(x)< 0 .

Konvergensi dari metode chord adalah linier

Persamaan aljabar dan transendental. Metode lokalisasi root.

Bentuk paling umum dari persamaan nonlinier:

f(x)=0 (2.1)

dimana fungsinya f(x) didefinisikan dan kontinu pada interval berhingga atau tak hingga [a, b].

Definisi 2.1. Setiap bilangan yang membalikkan suatu fungsi f(x) ke nol disebut akar persamaan (2.1).

Definisi 2.2. Suatu bilangan disebut akar dari perkalian ke-k, jika bersama-sama dengan fungsi f(x) turunannya sampai dengan (k-1) orde inklusif sama dengan nol:

Definisi 2.3. Akar tunggal disebut akar sederhana.

Persamaan nonlinier dengan satu variabel dibagi lagi menjadi aljabar dan transendental.

Definisi 2.4 . Persamaan (2.1) disebut aljabar jika fungsi F(x) adalah aljabar.

Dengan transformasi aljabar, dari persamaan aljabar apa pun, seseorang dapat memperoleh persamaan dalam bentuk kanonik:

di mana adalah koefisien nyata dari persamaan, x tidak diketahui.

Diketahui dari aljabar bahwa setiap persamaan aljabar memiliki paling sedikit satu akar konjugat real atau dua kompleks.

Definisi 2.5. Persamaan (2.1) disebut transendental jika fungsi F(x) bukan aljabar.

Memecahkan persamaan (2.1) berarti:

• 1. Tentukan apakah persamaan tersebut memiliki akar.
• 2. Tentukan jumlah akar persamaan.
• 3. Temukan nilai akar-akar persamaan dengan ketelitian tertentu.

Persamaan yang ditemui dalam praktik seringkali tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Algoritma untuk mencari akar persamaan menggunakan metode numerik terdiri dari dua tahap:

• 1) departemen atau lokalisasi akar, yaitu menyetel interval yang berisi satu root:
• 2) klarifikasi nilai akar dengan metode aproksimasi berturut-turut.

Metode lokalisasi root. Dasar teoritis dari algoritma pemisahan akar adalah teorema Cauchy pada nilai-nilai antara dari fungsi kontinu.

Teorema 2.1. Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada segmen [a, b] dan f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, maka untuk setiap titik C yang terletak di antara A dan B, ada titik itu.

Konsekuensi. Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada segmen [a, b] dan mengambil nilai tanda yang berbeda di ujungnya, maka pada segmen ini setidaknya ada satu akar persamaan f (x) \u003d 0.

Biarkan domain definisi dan kontinuitas suatu fungsi menjadi segmen berhingga [a,b]. Bagilah segmen menjadi n bagian: ,

Menghitung secara berurutan nilai-nilai fungsi pada titik-titik, kami menemukan segmen-segmen yang memenuhi syarat:

itu. , atau, . Segmen ini mengandung setidaknya satu akar.

Teorema 2.2. Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada segmen [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Untuk memisahkan akar, Anda juga dapat menggunakan grafik fungsi pada= f (X). Akar persamaan (2.1) adalah nilai-nilai itu X, di mana grafik fungsi y=f(x) memotong sumbu x. Konstruksi grafik suatu fungsi, bahkan dengan akurasi rendah, biasanya memberikan gambaran tentang lokasi akar persamaan (2.1). Jika memplot fungsi y \u003d f (x) menyebabkan kesulitan, maka persamaan asli (2.1) harus dikonversi ke bentuk c1(x)= c2(x) sehingga grafik fungsi pada= c1(x) dan pada= c2(x) cukup sederhana. Absis titik potong grafik ini akan menjadi akar persamaan (2.1).

Contoh 1 Pisahkan akar-akar persamaan x 2 -2cosx=0.

Larutan. Mari kita pertimbangkan dua cara untuk memisahkan akarnya.

• a) Cara grafis. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk x 2 =2cosx dan buat grafik fungsi y=x 2 dan y=2cosx dalam sistem koordinat yang sama (Gambar 5). karena grafik-grafik ini berpotongan di dua titik, persamaan tersebut memiliki dua akar yang terletak simetris di sekitar titik asal pada interval (-/2; 0) dan (0; /2).
• b) Metode analisis. Membiarkan f(x)= x 2 -2cosx. Karena f(x) adalah fungsi genap, cukup untuk mempertimbangkan hanya nilai non-negatif dari x. Karena pertidaksamaan 2cosx2

Turunan f"(x)=2(x+sinx). Pada interval (0;/2) f"(x)>0 , oleh karena itu, f(x) di sini secara monoton meningkat dan grafiknya dapat melintasi sumbu X tidak lebih dari satu titik. perhatikan itu f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Ini berarti bahwa persamaan tersebut memiliki satu akar positif yang terletak pada interval (0; /2). Karena fungsinya genap, persamaan tersebut juga memiliki satu akar negatif, simetris dengan akar positif. Sekarang mari kita beralih ke penyempurnaan akar. Untuk menerapkan metode penyempurnaan akar gabungan, Anda perlu memastikan bahwa f ""(x) on (0; /2) mempertahankan tanda, dan memilih aproksimasi awal dari akar untuk menerapkan metode tangen. Itu harus memenuhi syarat: f(x)f ""(x)>0. Karena f ""(x)=2(1+cosx) positif pada , maka /2 dapat diambil sebagai aproksimasi awal dari akar dalam metode tangen. Oleh karena itu, seseorang dapat menempatkan x=/21,570796, x 1 =0 (lihat diagram algoritma). Dalam kasus kami, metode akord akan memberikan nilai perkiraan akar dengan kerugian, dan metode tangen - dengan kelebihan.

Pertimbangkan satu langkah iteratif dari perbaikan akar. Hitung nilainya f(0), f(/2), f"(/2). Nilai baru x 1 dan x temukan, masing-masing, dengan rumus:

|x-x 1 |=0.387680,4>10 -4 =.

Akurasi yang ditentukan tidak tercapai, dan perhitungan harus dilanjutkan.

Nomor iterasi	x 1		f(x 1 )			|x- x 1 |

Oleh karena itu, nilai perkiraan akar dengan akurasi yang diperlukan ditemukan sebagai hasil dari tiga iterasi dan kira-kira sama dengan 1,0217.

Karena simetri grafik fungsi f(x) nilai akar kedua kira-kira sama dengan -1,0217.

Klarifikasi akar.

Rumusan masalah . Mari kita asumsikan bahwa akar persamaan (2.1) yang diinginkan dipisahkan, yaitu. segmen [a; b], yang memiliki satu dan hanya satu akar persamaan. Setiap titik dari segmen ini dapat diambil sebagai nilai perkiraan dari akar. Kesalahan perkiraan ini tidak melebihi panjangnya [sebuah; b]. Akibatnya, masalah menemukan nilai perkiraan dari akar dengan akurasi yang diberikan dikurangi untuk menemukan segmen [a; b] (b - sebuah<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей penyempurnaan akar.

Deskripsi metode numerik. Metode numerik memungkinkan untuk menemukan solusi untuk masalah tertentu, mengetahui terlebih dahulu bahwa hasil yang diperoleh akan dihitung dengan kesalahan tertentu, oleh karena itu, untuk banyak metode numerik, perlu diketahui terlebih dahulu "tingkat ketelitian" yang dihasilkan solusi akan sesuai dengan.

Dalam hal ini, masalah menemukan akar polinomial dari bentuk (3.1)

sangat menarik, karena rumus untuk menemukan akar bahkan persamaan kubik agak rumit. Jika perlu untuk menemukan akar polinomial yang derajatnya, misalnya, 5, maka seseorang tidak dapat melakukannya tanpa bantuan metode numerik, terutama karena probabilitas polinomial tersebut memiliki akar alami (atau bilangan bulat, atau eksak dengan a bagian pecahan "pendek") cukup kecil, dan tidak ada rumus untuk menemukan akar persamaan derajat yang lebih besar dari 4. Secara de facto, semua operasi selanjutnya akan dikurangi menjadi penjelasan akar, yang intervalnya kira-kira diketahui sebelumnya. Cara termudah untuk menemukan akar "perkiraan" ini adalah dengan menggunakan metode grafis.

Untuk menemukan akar polinomial, ada beberapa metode numerik: metode iterasi, metode akord dan garis singgung, metode pembagian setengah, metode garis potong.

Metode bagi dua(juga dikenal sebagai "metode membagi segmen menjadi dua") juga rekursif, yaitu. memberikan pengulangan, dengan mempertimbangkan hasil yang diperoleh.

Inti dari metode pembagian setengah adalah sebagai berikut:

• - fungsi F(x) diberikan;
• - kesalahan yang diizinkan Q ditentukan;
• - beberapa interval [ a , b ] didefinisikan, yang secara tepat berisi solusi persamaan.

1) Kami menghitung nilai koordinat E, mengambil bagian tengah segmen, mis.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) Hitung nilai F(a), F(b), F(E), dan lakukan pemeriksaan berikut: Jika F(E)>Q, maka akar ditemukan dengan akurasi yang ditentukan. Jika F(E)
• 3) Pergi ke poin 1.

Metode iterasi sederhana (metode aproksimasi berurutan). Kami mengganti persamaan (2.1) dengan persamaan yang setara

x=(x) (3.3)

dapat dilakukan dengan berbagai cara, misalnya

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Mari kita asumsikan bahwa beberapa pendekatan awal dari akar persamaan (3.3) dipilih. Kami mendefinisikan urutan numerik dengan rumus

X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)

Urutan seperti itu disebut iteratif.

Jika pada segmen yang memuat x 0 dan semua aproksimasi berikutnya x n , nN, fungsi (x) memiliki turunan kontinu "(x) dan |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

Dari pertidaksamaan ini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa laju konvergensi metode iterasi sederhana bergantung pada nilai q: semakin kecil q, semakin cepat konvergensi.

Oleh karena itu, dalam praktiknya, ketika mencari akar dengan metode iterasi sederhana, diinginkan untuk menyatakan persamaan (2.1) dalam bentuk (3.3) sedemikian rupa sehingga turunan "(x) di sekitar akar mungkin lebih kecil dalam nilai absolut Untuk ini, parameter c dari rumus kadang-kadang digunakan (3.4).

Metode Newton (metode tangen). Jika aproksimasi awal yang cukup baik diketahui yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

maka Anda dapat menghitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus Newton

Sebagai pendekatan awal, Anda dapat menggunakan batas-batas interval, dan:

Jika aktif.

Pada setiap iterasi metode ini, jumlah perhitungan lebih besar daripada metode bagi dua dan iterasi, karena perlu untuk menemukan tidak hanya nilai fungsi, tetapi juga turunannya. Namun, tingkat konvergensi metode Newton jauh lebih tinggi.

Dalil. Membiarkan menjadi akar persamaan, yaitu. , dan terus menerus. Kemudian ada lingkungan akar sedemikian rupa sehingga jika aproksimasi awal termasuk dalam lingkungan ini, maka untuk metode Newton barisan nilai konvergen ke at. Kesalahan pendekatan ke-th dari akar dapat diperkirakan dengan rumus:

dimana adalah nilai terbesar dari modulus turunan kedua pada segmen tersebut, adalah nilai terkecil dari modulus turunan pertama pada segmen tersebut.

Aturan berhenti:

Metode akord dan tangen (gabungan). Metode ini didasarkan pada pembuatan grafik skema suatu fungsi, menentukan interval perpotongannya dengan sumbu absis, dan kemudian "memampatkan" interval ini menggunakan akord dan garis singgung yang dibangun ke grafik fungsi ini.

Perlu dicatat bahwa ada juga metode akord secara terpisah (memberikan nilai akar dengan kekurangan) dan metode garis singgung (dengan kelebihan). Namun, keuntungan dari metode gabungan terletak pada "kompresi dua sisi" dari segmen yang dipertimbangkan.

Pertimbangkan kasus berikut:

• - fungsi F(x) diberikan dan grafiknya dibuat;
• - kesalahan yang diizinkan Q ditentukan
• - berdasarkan grafik, sebuah segmen didefinisikan di mana grafik fungsi memotong sumbu absis, oleh karena itu, pada segmen ini ada akar polinomial yang dipertimbangkan (kami menyatakannya dengan A)

Algoritma selanjutnya direduksi menjadi tindakan berikut:

• 1) kita membangun garis singgung pada grafik fungsi di titik F(b)
• 2) kami menghitung koordinat x dari perpotongan garis singgung dengan sumbu absis sesuai dengan rumus (3.9) dan dilambangkan dengan b "
• 3) kita membuat akord pada grafik fungsi yang melalui titik F(a) dan F(b).
• 4) Kami menghitung titik potong tali busur dengan sumbu absis sesuai dengan rumus (2) dan dilambangkan dengan a".

Dengan demikian, kita mendapatkan segmen baru , yang (menurut definisi akord dan garis singgung) masih berisi solusi persamaan A.

Sekarang kita ambil segmen tersebut sebagai segmen baru dan ulangi langkah 1-4 sampai perbedaan F(b)-F(a) menjadi lebih kecil dari kesalahan awal yang disematkan Q. Kami juga mencatat bahwa setelah ini direkomendasikan untuk mengambil mean aritmatika F sebagai solusi yang diinginkan (a) dan F(b).

Jadi, jika akord (singgung) memberikan nilai akar dengan kelebihan, maka akar ini diambil sebagai batas kanan yang baru, dan jika dengan kekurangan, maka batas kiri. Dalam kedua kasus, akar eksak terletak di antara titik potong tali busur dan garis singgung dengan sumbu absis.

Keterangan tentang metode akord dan garis singgung. Karena penyelesaian masalah memerlukan pencarian turunan dari fungsi F(x), metode akord dan garis singgung cukup sulit untuk diterapkan pada tingkat program, karena aturan untuk menghitung turunan dalam bentuk umum agak rumit untuk "pemahaman" komputer; ketika secara langsung menentukan turunan untuk setiap derajat polinomial, memori komputer dimuat secara serius, yang sangat memperlambat pekerjaan, dan pengaturan fungsi dan, karenanya, turunannya langsung dalam kode program tidak dapat diterima. Namun, dengan menggunakan metode ini, konvergensi interval ke akar terjadi paling cepat, terutama jika metode akord dan garis singgung digabungkan dengan metode bagi dua, karena tengah segmen baru sering memberikan solusi yang benar-benar memuaskan.

Metode sekan. Metode secan dapat diperoleh dari metode Newton dengan mengganti turunannya dengan persamaan perkiraan - rumus selisihnya:

Rumus (3.8) menggunakan dua pendekatan sebelumnya u. Oleh karena itu, untuk suatu nilai awal yang diberikan, perlu untuk menghitung aproksimasi berikutnya, misalnya dengan metode Newton dengan penggantian aproksimasi turunan dengan rumus

Algoritma dari metode garis potong:

1) nilai awal dan kesalahan diberikan. Menghitung

2) untuk n= 1,2, ….. selama kondisi terpenuhi, kami menghitung dengan rumus (3.8).

Rumusan masalah

Pemisahan akar

Penyempurnaan Akar

1.2.3.2. Metode iterasi

1.2.3.4. metode akord

Rumusan masalah

persamaan aljabar

( 1.2.1-1)

persamaan transendental

(1.2.1-2)

Penyempurnaan berulang dari akar.

Pada tahap pemisahan akar, masalah menemukan segmen tersempit, yang berisi satu dan hanya satu akar persamaan, diselesaikan.

Langkah perbaikan akar bertujuan untuk menghitung nilai perkiraan akar dengan akurasi yang diberikan. Dalam hal ini, metode iteratif untuk menghitung aproksimasi berurutan ke akar digunakan: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., di mana setiap aproksimasi berikutnya x n+1 dihitung berdasarkan x n sebelumnya. Setiap langkah disebut iterasi. Jika barisan x 0 , x 1 , ..., x n , … karena n ® memiliki limit yang sama dengan nilai akar , maka proses iteratif dikatakan konvergen.

Ada berbagai cara untuk memisahkan dan menghaluskan akar, yang akan kita bahas di bawah ini.

Pemisahan akar

Akar persamaan f(x)=0 dianggap terpisah (terlokalisasi) pada ruas jika persamaan ini tidak memiliki akar lain pada ruas ini. Untuk memisahkan akar persamaan, perlu untuk membagi rentang nilai yang dapat diterima dari fungsi f(x) menjadi segmen yang cukup sempit, yang masing-masing hanya berisi satu akar. Ada grafis dan analitis metode pemisahan akar.

Penyempurnaan Akar

Tugas memperbaiki akar persamaan dengan akurasi yang dipisahkan oleh segmen adalah untuk menemukan nilai perkiraan dari akar yang pertidaksamaannya . Jika persamaan tidak memiliki satu, tetapi beberapa akar, maka dilakukan tahap penyempurnaan untuk setiap akar yang dipisahkan.

Metode setengah pembagian

Biarkan akar persamaan f(x)=0 dipisahkan pada segmen , yaitu, ada satu akar pada segmen ini, dan fungsi pada segmen ini kontinu.

Metode bagi dua memungkinkan Anda untuk mendapatkan urutan segmen bersarang , , …,,…, sehingga f(a i).f(b i)< 0 , di mana i=1,2,…,n, dan panjang setiap segmen berikutnya adalah setengah dari panjang segmen sebelumnya:

Penyempitan segmen secara berurutan di sekitar nilai akar yang tidak diketahui memastikan eksekusi pada beberapa langkah n pertidaksamaan |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

Dapat diambil sebagai nilai perkiraan akar, misalnya, titik tengahnya

Dalam metode bagi dua, dari iterasi ke iterasi, panjang segmen awal secara konsisten dikurangi setengahnya (Gbr. 1.2.3-1). Oleh karena itu, pada langkah ke-n, perkiraan kesalahan hasil berikut ini valid:

( 1.2.3-1)

dimana adalah nilai eksak dari akar, x n adalah nilai perkiraan dari akar pada langkah ke-n.

Membandingkan perkiraan kesalahan yang dihasilkan dengan akurasi yang diberikan, kami dapat memperkirakan jumlah langkah yang diperlukan:

(1.2.3-2)

Hal ini dapat dilihat dari rumus bahwa penurunan nilai e(peningkatan akurasi) mengarah pada peningkatan yang signifikan dalam jumlah perhitungan, oleh karena itu, dalam praktiknya, metode setengah-pembagian digunakan untuk menemukan akar yang relatif kasar, dan penyempurnaan lebih lanjut dilakukan dengan menggunakan metode lain yang lebih efisien .

Beras. 1.2.3-2. Skema algoritma metode bagi dua

Skema algoritma bagi dua ditunjukkan pada gambar. 1.2.3-2. Algoritma di atas mengasumsikan bahwa ruas kiri persamaan f(x) dirancang sebagai modul perangkat lunak.

Contoh 1.2.3-1. Tentukan akar persamaan x 3 +x-1=0 dengan akurasi =0.1, yang terlokalisasi pada segmen .

Hasilnya disajikan dengan mudah menggunakan Tabel 1.2.3-3.

Tabel 1.2.3-3

k	sebuah	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	sebuah k	b k
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

Setelah iterasi keempat, panjang segmen |b 4 -a 4 | = |0.688-0.625| = 0,063 telah menjadi kurang dari nilai e, oleh karena itu, untuk perkiraan nilai akar, Anda dapat mengambil nilai tengah segmen ini: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0,656 .

Nilai fungsi f(x) pada titik x = 0.656 adalah f(0.656) = -0.062 .

Metode iterasi

Metode iterasi melibatkan penggantian persamaan f(x)=0 dengan persamaan yang setara x=j(x). Jika akar persamaan dipisahkan pada ruas , maka berdasarkan aproksimasi awal x 0 , anda bisa mendapatkan urutan perkiraan ke root

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

dimana fungsi j(x) disebut fungsi iterasi.

Kondisi konvergensi untuk metode iterasi sederhana ditentukan oleh teorema berikut.

Biarkan akarnya X* persamaan x=j(x) dipisahkan pada segmendan membangun urutan perkiraan sesuai dengan aturan x n \u003d j (x n -1) . Kemudian jika semua anggota barisan x n =j(x n -1) dan ada seperti itu q(0 itu untuk semua orang x dilakukan|j'(x)| = q<1, maka barisan tersebut konvergen dan limit barisan tersebut adalah nilai akarnya x* , yaitu proses iterasi konvergen ke akar persamaan terlepas dari pendekatan awal.

Jadi, jika kondisi konvergensi metode iterasi terpenuhi, maka barisan x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, diperoleh dengan menggunakan rumus x n +1 = j(x n ), konvergen ke nilai yang tepat dari akar:

Kondisi j(x)н untuk xн berarti bahwa semua aproksimasi x 1 , x 2 , …, x n ,…, yang diperoleh dengan rumus iteratif, harus termasuk dalam segmen di mana akar dipisahkan.

Untuk memperkirakan kesalahan metode iterasi, kondisi:

per nomor q dapat mengambil nilai terbesar |j"(x)| , dan proses iterasi harus dilanjutkan sampai pertidaksamaan

(1.2.3-5)

Dalam praktiknya, rumus estimasi kesalahan yang disederhanakan sering digunakan. Misalnya, jika 0

|x n -1 - x n | £ .

Menggunakan rumus iteratif x n +1 = j(x n) memungkinkan Anda mendapatkan nilai akar persamaan f(x)=0 dengan tingkat akurasi apa pun .

Ilustrasi geometris dari metode iterasi. Pada bidang X0Y, kita plot grafik fungsi y=x dan y=j(x ). Akar persamaan x=j(x) adalah absis titik potong grafik fungsi y = j(x ) dan langsung y=x. Mari kita ambil beberapa pendekatan awal x 0 . Pada kurva y \u003d j (x) itu sesuai dengan titik A 0 \u003d j (x 0). Untuk menemukan pendekatan berikutnya, tarik garis horizontal lurus melalui titik A 0 ke persimpangan dengan garis lurus y \u003d x (titik B 1) dan turunkan tegak lurus ke persimpangan dengan kurva (titik A 1), yaitu, x 1 \u003d j (x 0) . Melanjutkan konstruksi dengan cara yang sama, kita memiliki garis putus-putus A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., di mana absis umum dari titik-titik tersebut mewakili aproksimasi berturut-turut x 1, x 2, . .., x n ("tangga") ke akar X*. Dari gambar. 1.2.3-3a dapat dilihat bahwa proses konvergen ke akar persamaan.

Pertimbangkan sekarang bentuk lain dari kurva y = j(x) (Gbr. 1.2.6b). Dalam hal ini, garis putus-putus A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... berbentuk “spiral”. Namun, dalam hal ini, konvergensi juga diamati.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam kasus pertama turunan memenuhi kondisi 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-satu. Jadi, jelas bahwa jika |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

Sekarang perhatikan kasus di mana |j'(x) |> 1. Pada gambar. 1.2.3-4a menunjukkan kasus ketika j'(x)>1, dan dalam gambar. 1.2.3-4b - ketika j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

Cara untuk meningkatkan konvergensi proses iterasi. Pertimbangkan dua opsi untuk merepresentasikan fungsi j(x) dalam transisi dari persamaan f(x) ke x=j(x).

1. Misalkan fungsi j(x) dapat diturunkan dan monoton di lingkungan akar, dan misalkan ada bilangan k £ |j‘(x)|, di mana k 1 (yaitu, proses divergen). Mari kita ganti persamaan x=j(x) dengan persamaan ekuivalennya x=Y(x ) , di mana Y(x) = 1/j(x)(mari kita beralih ke fungsi invers). Kemudian

yang berarti q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. Kami menyatakan fungsi j(x) sebagai j(x) = x - lf(x), di mana l adalah koefisien , tidak sama

nol. Untuk proses konvergen, perlu bahwa
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), di mana m 1 dan M 1 adalah nilai minimum dan maksimum f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) untuk , yaitu. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Kemudian

dan proses akan konvergen, rumus rekursif memiliki bentuk

Jika f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

Parameter juga dapat ditentukan dengan aturan:

Jika , maka , dan jika , maka , dimana .

Skema algoritma metode iterasi ditunjukkan pada gambar. 1.2.3-5.

Persamaan asli f(x)=0 telah ditransformasikan ke bentuk yang sesuai untuk iterasi: Sisi kiri persamaan asli f(x) dan fungsi iterasi fi(x) dalam algoritme dirancang sebagai modul perangkat lunak terpisah.

Beras. 1.2.3-5. Diagram Algoritma Metode Iterasi

Contoh 1.2.3-2. Perbaiki akar persamaan 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 dengan akurasi 0,1, yang terlokalisasi pada segmen .

Kami membawa persamaan ke bentuk yang nyaman untuk iterasi:

Oleh karena itu, untuk nilai perkiraan akar persamaan, kami mengambil nilai x 3 =3,6892, yang memberikan akurasi perhitungan yang diperlukan. Pada titik ini f(x 3)=0,0027.

metode akord

Interpretasi geometris dari metode akord adalah sebagai berikut
(Gbr.1.2.3-8).

Mari kita menggambar segmen garis lurus melalui titik A dan B. Pendekatan x 1 berikutnya adalah absis dari titik potong tali busur dengan sumbu 0x. Mari kita buat persamaan segmen garis lurus:

Mari kita masukkan y = 0 dan cari nilai x = x 1 (perkiraan lain):

Kami mengulangi proses perhitungan untuk mendapatkan pendekatan berikutnya ke akar - x 2 :

Dalam kasus kami (Gbr. 1.2.11) dan rumus perhitungan metode chord akan terlihat seperti

Rumus ini berlaku jika titik b diambil sebagai titik tetap, dan titik a bertindak sebagai aproksimasi awal.

Pertimbangkan kasus lain (Gbr. 1.2.3-9), ketika .

Persamaan garis lurus untuk kasus ini memiliki bentuk

Pendekatan berikutnya x 1 pada y = 0

Maka rumus rekursif untuk metode akord untuk kasus ini memiliki bentuk

Perlu dicatat bahwa untuk titik tetap dalam metode akord, ujung segmen dipilih yang memenuhi kondisi f (x) f¢¢ (x)>0.

Jadi, jika titik a diambil sebagai titik tetap , maka x 0 = b bertindak sebagai aproksimasi awal, dan sebaliknya.

Kondisi memadai yang memastikan penghitungan akar persamaan f(x)=0 menggunakan rumus akord akan sama dengan metode tangen (metode Newton), tetapi alih-alih pendekatan awal, titik tetap dipilih. Metode chord merupakan modifikasi dari metode Newton. Bedanya, aproksimasi selanjutnya dalam metode Newton adalah titik potong garis singgung dengan sumbu 0X, dan dalam metode akord - titik perpotongan akord dengan sumbu 0X - aproksimasi konvergen ke akar dari sisi yang berbeda.

Perkiraan kesalahan metode chord ditentukan oleh ekspresi

(1.2.3-15)

Kondisi penghentian proses iterasi dengan metode chords

(1.2.3-16)

Jika M1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.

Contoh 1.2.3-4. Tentukan akar persamaan e x - 3x = 0, dipisahkan pada segmen dengan ketelitian 10 -4 .

Mari kita periksa kondisi konvergensi:

Oleh karena itu, a=0 harus dipilih sebagai titik tetap, dan x 0 \u003d 1 harus diambil sebagai aproksimasi awal, karena f (0) \u003d 1> 0 dan f (0) * f "(0)> 0 .

Hasil perhitungan diperoleh dengan menggunakan rumus
1.2.3-14 disajikan pada Tabel 1.2.3-4.

Tabel 1.2.3-4

Beras. 1.2.3-10. Skema algoritma metode chord

Persamaan nonliniernya adalah

1) persamaan aljabar atau transendental

2) persamaan aljabar

3) persamaan trigonometri

4) persamaan transendental

Topik 1.2. Metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinier

Rumusan masalah

Pemisahan akar

1.2.2.1. Pemisahan grafis dari akar

1.2.2.2. Cabang Analitis Akar

Penyempurnaan Akar

1.2.3.1. Metode setengah pembagian

1.2.3.2. Metode iterasi

1.2.3.3. Metode Newton (metode tangen)

1.2.3.4. metode akord

1.2.3.5. Perbandingan metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinier

1.2.4. Tugas tes pada topik "Metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinier"

Rumusan masalah

Salah satu masalah yang paling penting dan paling umum dari analisis matematika adalah masalah menentukan akar persamaan dengan satu yang tidak diketahui, yang dapat direpresentasikan dalam bentuk umum sebagai f(x) = 0. Tergantung pada bentuk fungsi f( x), persamaan aljabar dan transendental dibedakan. persamaan aljabar disebut persamaan di mana nilai fungsi f(x) adalah polinomial derajat ke-n:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

Setiap persamaan non-aljabar disebut persamaan transendental. Fungsi f(x) dalam persamaan tersebut setidaknya salah satu dari fungsi berikut: eksponensial, logaritma, trigonometri, atau trigonometri terbalik.

Solusi dari persamaan f (x) \u003d 0 adalah himpunan akar, yaitu, nilai-nilai variabel independen yang persamaannya berubah menjadi identitas. Namun, nilai eksak dari akar-akarnya hanya dapat ditemukan secara analitik untuk beberapa jenis persamaan. Secara khusus, rumus yang menyatakan solusi persamaan aljabar hanya dapat diperoleh untuk persamaan yang tidak lebih tinggi dari derajat keempat. Bahkan ada lebih sedikit peluang untuk memperoleh solusi eksak dari persamaan transendental. Perlu dicatat bahwa masalah menemukan nilai yang tepat dari akar tidak selalu benar. Jadi, jika koefisien persamaan adalah angka perkiraan, keakuratan nilai-nilai yang dihitung dari akar-akarnya tentu tidak dapat melebihi keakuratan data aslinya. Keadaan ini memaksa kita untuk mempertimbangkan kemungkinan menemukan akar persamaan dengan akurasi terbatas (akar perkiraan).

Masalah menemukan akar persamaan dengan akurasi tertentu (>0) dianggap terpecahkan jika nilai perkiraan dihitung, yang berbeda dari nilai pasti akar tidak lebih dari nilai e

(1.2.1-2)

Proses menemukan perkiraan akar persamaan terdiri dari dua tahap:

1) pemisahan akar (lokalisasi akar);

Persamaan yang mengandung fungsi yang tidak diketahui yang dipangkatkan lebih besar dari satu disebut non-linier.
Misalnya, y=ax+b adalah persamaan linier, x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 adalah non-linier (umumnya ditulis sebagai F(x)=0).

Sistem persamaan nonlinier adalah solusi simultan dari beberapa persamaan nonlinier dengan satu atau lebih variabel.

Ada banyak metode menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier, yang biasanya diklasifikasikan menjadi 3 kelompok: numerik, grafis dan analitik. Metode analitik memungkinkan untuk menentukan nilai yang tepat dari solusi persamaan. Metode grafis adalah yang paling tidak akurat, tetapi memungkinkan persamaan kompleks untuk menentukan nilai yang paling mendekati, dari mana di masa depan Anda dapat mulai menemukan solusi yang lebih akurat untuk persamaan. Solusi numerik dari persamaan non-linier melibatkan melewati dua tahap: pemisahan akar dan penyempurnaannya ke akurasi tertentu yang ditentukan.
Pemisahan akar dilakukan dengan berbagai cara: secara grafis, menggunakan berbagai program komputer khusus, dll.

Mari kita pertimbangkan beberapa metode untuk menghaluskan akar dengan akurasi tertentu.

Metode untuk solusi numerik persamaan nonlinier

metode setengah pembagian.

Inti dari metode pembagian setengah adalah membagi interval menjadi dua (с=(a+b)/2) dan membuang bagian interval yang tidak memiliki akar, mis. kondisi F(a)xF(b)

Gambar 1. Menggunakan metode pembagian setengah dalam menyelesaikan persamaan nonlinier.

Pertimbangkan sebuah contoh.

Mari kita bagi segmen menjadi 2 bagian: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Jika hasil kali F(a)*F(x)>0, maka awal ruas a dipindahkan ke x (a=x), sebaliknya, ujung ruas b dipindahkan ke titik x (b=x ). Kami membagi segmen yang dihasilkan menjadi dua lagi, dll. Semua perhitungan ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Gbr.2. Tabel hasil perhitungan

Sebagai hasil perhitungan, kami memperoleh nilai, dengan mempertimbangkan akurasi yang diperlukan, sama dengan x=-0,946

metode akord.

Saat menggunakan metode chord, segmen ditentukan, di mana hanya ada satu akar dengan akurasi yang ditentukan e. Sebuah garis (kord) ditarik melalui titik-titik pada ruas a dan b yang memiliki koordinat (x(F(a); y(F(b))) Selanjutnya titik potong garis tersebut dengan sumbu absis (titik z) ditentukan.
Jika F(a)xF(z)

Gbr.3. Menggunakan metode akord dalam menyelesaikan persamaan nonlinier.

Pertimbangkan sebuah contoh. Kita perlu menyelesaikan persamaan x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 hingga dalam e

Secara umum, persamaannya terlihat seperti: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Temukan nilai F(x) di ujung segmen:

F(-1) = - 0,2>0;

Mari kita tentukan turunan kedua F''(x) = 6x-0,4.

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4

Di ujung segmen, kondisi F(-1)F’’(-1)>0 diamati, oleh karena itu, untuk menentukan akar persamaan, kami menggunakan rumus:

Semua perhitungan ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Gbr.4. Tabel hasil perhitungan

Sebagai hasil perhitungan, kami memperoleh nilai, dengan mempertimbangkan akurasi yang diperlukan, sama dengan x=-0,946

Metode Tangen (Newton)

Metode ini didasarkan pada konstruksi garis singgung pada grafik, yang digambar di salah satu ujung interval. Pada titik perpotongan dengan sumbu X (z1), terbentuk garis singgung baru. Prosedur ini berlanjut sampai nilai yang diperoleh sebanding dengan parameter akurasi yang diinginkan e (F(zi)

Gbr.5. Menggunakan metode garis singgung (Newton) dalam menyelesaikan persamaan nonlinier.

Pertimbangkan sebuah contoh. Kita perlu menyelesaikan persamaan x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 hingga dalam e

Secara umum, persamaannya terlihat seperti: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Mari kita definisikan turunan pertama dan kedua: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
Kondisi F(-1)F''(-1)>0 terpenuhi, sehingga perhitungan dilakukan dengan rumus:

Dimana x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Semua perhitungan ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Gbr.6. Tabel hasil perhitungan

Sebagai hasil perhitungan, kami memperoleh nilai, dengan mempertimbangkan akurasi yang diperlukan, sama dengan x=-0,946

Pertimbangkan masalah menemukan akar persamaan nonlinier

Akar persamaan (1) adalah nilai x yang, ketika disubstitusikan, mengubahnya menjadi identitas. Hanya untuk persamaan paling sederhana dimungkinkan untuk menemukan solusi dalam bentuk rumus, mis. bentuk analitis. Lebih sering perlu untuk menyelesaikan persamaan dengan metode perkiraan, yang paling luas di antaranya, sehubungan dengan munculnya komputer, adalah metode numerik.

Algoritma untuk mencari akar dengan metode perkiraan dapat dibagi menjadi dua tahap. Pada awalnya, lokasi akar dipelajari dan pemisahannya dilakukan. Ada area di mana terdapat akar persamaan atau aproksimasi awal ke akar x 0 . Cara paling sederhana untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan mempelajari grafik fungsi f(x) . Dalam kasus umum, untuk menyelesaikannya, perlu melibatkan semua cara analisis matematis.

Keberadaan pada interval yang ditemukan dari setidaknya satu akar persamaan (1) berikut dari kondisi Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Diasumsikan juga bahwa fungsi f(x) kontinu pada interval yang diberikan. Namun, kondisi ini tidak menjawab pertanyaan tentang jumlah akar persamaan pada interval tertentu. Jika persyaratan kontinuitas fungsi dilengkapi dengan persyaratan monotonisitasnya, dan ini mengikuti dari kekonstanan tanda turunan pertama, maka kita dapat menegaskan keberadaan akar unik pada segmen tertentu.

Saat melokalisasi akar, penting juga untuk mengetahui sifat dasar dari jenis persamaan ini. Misalnya, ingat beberapa sifat persamaan aljabar:

di mana adalah koefisien nyata.

• a) Persamaan derajat n memiliki n akar, di antaranya dapat ada akar real dan kompleks. Akar kompleks membentuk pasangan konjugat kompleks dan, oleh karena itu, persamaan memiliki jumlah akar yang genap. Untuk nilai ganjil n, setidaknya ada satu akar real.
• b) Banyaknya akar real positif kurang dari atau sama dengan jumlah tanda variabel dalam barisan koefisien. Mengganti x dengan -x dalam persamaan (3) memungkinkan Anda memperkirakan jumlah akar negatif dengan cara yang sama. iterasi newton dikotomi non-linier

Pada tahap kedua dari penyelesaian persamaan (1), menggunakan pendekatan awal yang diperoleh, proses iteratif dibangun yang memungkinkan untuk memperbaiki nilai akar dengan beberapa akurasi yang telah ditentukan. Proses iteratif terdiri dari perbaikan berturut-turut dari pendekatan awal. Setiap langkah tersebut disebut iterasi. Sebagai hasil dari proses iterasi, urutan nilai perkiraan dari akar persamaan ditemukan. Jika barisan ini mendekati nilai sebenarnya dari akar x seiring bertambahnya n, maka proses iteratif konvergen. Suatu proses iteratif dikatakan konvergen ke paling sedikit orde m jika kondisi berikut dipenuhi:

di mana >0 adalah suatu konstanta. Jika m=1 , maka dikatakan konvergensi orde pertama; m=2 - tentang kuadrat, m=3 - tentang konvergensi kubik.

Siklus berulang berakhir jika, untuk kesalahan yang diizinkan, kriteria untuk penyimpangan absolut atau relatif terpenuhi:

atau kecilnya sisa:

Karya ini dikhususkan untuk mempelajari algoritma untuk memecahkan persamaan nonlinier menggunakan metode Newton.

Departemen: ASOIiU

Pekerjaan laboratorium

Pada topik: MENEMUKAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR. METODE PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR

Moskow, 2008

MENEMUKAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR

1. Pernyataan masalah

Misalkan suatu fungsi diberikan yang kontinu bersama-sama dengan beberapa turunannya. Hal ini diperlukan untuk menemukan semua atau beberapa akar nyata dari persamaan

Tugas ini dibagi menjadi beberapa subtugas. Pertama, perlu untuk menentukan jumlah akar, untuk menyelidiki sifat dan lokasinya. Kedua, temukan nilai perkiraan akar. Ketiga, pilih akar yang menarik bagi kami dari mereka dan hitung dengan akurasi yang diperlukan e. Tugas pertama dan kedua diselesaikan, sebagai suatu peraturan, dengan metode analitis atau grafis. Jika hanya akar real dari persamaan (1) yang dicari, akan berguna untuk menyusun tabel nilai fungsi. Jika fungsi memiliki tanda yang berbeda pada dua simpul yang bertetangga pada tabel, maka di antara simpul-simpul tersebut terdapat jumlah akar persamaan yang ganjil (setidaknya satu). Jika node ini dekat, maka kemungkinan besar hanya ada satu root di antara mereka.

Nilai perkiraan yang ditemukan dari akar dapat disempurnakan menggunakan berbagai metode berulang. Mari kita pertimbangkan tiga metode: 1) metode dikotomi (atau membagi segmen menjadi dua); 2) metode iterasi sederhana, dan 3) metode Newton.

2. Metode untuk memecahkan masalah

2.1 Metode membagi segmen menjadi dua

Metode paling sederhana untuk menemukan akar persamaan nonlinier (1) adalah metode pembagian setengah.

Biarkan fungsi kontinu diberikan pada segmen. Jika nilai fungsi di ujung segmen memiliki tanda yang berbeda, mis. maka ini berarti bahwa di dalam segmen yang diberikan ada jumlah akar ganjil. Biarkan, untuk kepastian, hanya memiliki satu akar. Inti dari metode ini adalah membagi dua panjang segmen pada setiap iterasi. Kami menemukan bagian tengah segmen (lihat Gambar 1) Hitung nilai fungsi dan pilih segmen di mana fungsi tersebut mengubah tandanya. Bagilah segmen baru menjadi dua lagi. Dan kami melanjutkan proses ini sampai panjang segmen sama dengan kesalahan yang telah ditentukan dalam menghitung akar e. Konstruksi beberapa aproksimasi berurutan menurut rumus (3) ditunjukkan pada Gambar 1.

Jadi, algoritma metode dikotomi:

1. Atur jarak dan kesalahan e.

2. Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang sama, berikan pesan tentang ketidakmungkinan menemukan akar dan berhenti.

Gambar 1. Metode membagi segmen menjadi dua untuk menyelesaikan persamaan bentuk f(x)=0.

3. Jika tidak, hitung c=(a+b)/2

4. Jika f(a) dan f(c) berbeda tanda, tulis b=c, jika tidak a=c.

5. Jika panjang segmen baru adalah , maka hitung nilai akar c=(a+b)/2 dan berhenti, jika tidak lanjutkan ke langkah 3.

Karena panjang segmen dikurangi 2 N kali dalam N langkah, kesalahan yang diberikan dalam menemukan akar e akan dicapai dalam iterasi.

Seperti dapat dilihat, tingkat konvergensi rendah, tetapi keuntungan dari metode ini termasuk kesederhanaan dan konvergensi tanpa syarat dari proses iteratif. Jika segmen berisi lebih dari satu akar (tetapi angka ganjil), maka satu akan selalu ditemukan.

Komentar. Untuk menentukan interval di mana akar terletak, analisis tambahan fungsi diperlukan, baik berdasarkan perkiraan analitis atau penggunaan metode solusi grafis. Dimungkinkan juga untuk mengatur pencarian nilai fungsi pada titik yang berbeda sampai kondisi perubahan tanda fungsi terpenuhi

2.2 Metode iterasi sederhana

Saat menggunakan metode ini, persamaan nonlinier asli (1) harus ditulis ulang dalam bentuk

Mari kita nyatakan akar persamaan ini sebagai C * . Biarkan pendekatan awal dari akar diketahui. Mensubstitusikan nilai ini ke ruas kanan persamaan (2), kita memperoleh pendekatan baru

dll. Untuk (n+1)-langkah, kami memperoleh pendekatan berikut:

(3)

Jadi, menurut rumus (3), kita memperoleh barisan 0 , 1 ,…,С n +1 , yang cenderung ke akar * pada n®¥. Proses iteratif berhenti jika hasil dari dua iterasi yang berurutan mendekati, yaitu kondisi

(4)

Mari kita pelajari kondisi dan laju konvergensi barisan numerik (C n ) untuk n®¥. Ingat definisi laju konvergensi. Barisan (C n ) yang konvergen ke limit * memiliki laju konvergensi orde a jika, untuk n®¥, kondisi

Mari kita asumsikan bahwa ia memiliki turunan kontinu, maka kesalahan pada (n+1) langkah iterasi e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) dapat direpresentasikan sebagai seri

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

Dengan demikian, kita memperolehnya dengan syarat

g¢(C *)<1(6)

barisan (3) akan konvergen ke akar dengan kecepatan linier a=1. Kondisi (6) merupakan syarat konvergensi dari metode iterasi sederhana. Jelas, keberhasilan metode tergantung pada seberapa baik fungsi dipilih.

Misalnya, untuk mengekstrak akar kuadrat, yaitu, memecahkan persamaan bentuk x \u003d a 2, Anda dapat menempatkan

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa

g 1" (C)½=1,

g 2" (C)½<1.

Jadi, proses pertama (7a) tidak konvergen sama sekali, sedangkan proses kedua (7b) konvergen untuk setiap aproksimasi awal C 0 >0.

Beras. 2. Interpretasi grafis dari metode iterasi sederhana untuk menyelesaikan persamaan bentuk x=g(x).

Konstruksi beberapa aproksimasi berurutan dengan rumus (3)

0 , 1 , …, n = C *

ditunjukkan pada Gambar 2.

2.3 metode Newton

Dalam literatur, metode ini sering disebut metode tangen, begitu juga dengan metode linierisasi. Kami memilih pendekatan awal 0 . Mari kita asumsikan bahwa deviasi 0 dari nilai sebenarnya dari akar * kecil, kemudian, memperluas f(C *) menjadi deret Taylor pada titik 0 , kita memperoleh

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

Jika f¢(C 0) 0 , maka dalam (8) kita dapat membatasi diri kita pada suku-suku linier di DC =C-C 0 . Mengingat f(C *)=0, dari (9) kita dapat menemukan pendekatan berikut untuk root

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

atau untuk pendekatan (n+1)

C n+1 = C n – f (C n) / f (C n) (9)

Untuk menghentikan proses iteratif, salah satu dari dua kondisi dapat digunakan

C n +1 – C n

f(C n +1)

Studi tentang konvergensi metode Newton dilakukan dengan cara yang sama dengan kasus sebelumnya. Dapatkan itu secara mandiri dengan syarat

f""(C)/2f"(C)½<1.

Metode Newton memiliki tingkat konvergensi kuadrat ().

Beras. 3. Interpretasi grafis dari metode Newton untuk menyelesaikan persamaan bentuk f(x)=0.

Konstruksi beberapa aproksimasi berurutan dengan rumus (9)

0 , 1 , …, n = C *

ditunjukkan pada Gambar 3.

1. Untuk fungsi tertentu f(x)

Tentukan jumlah akar real dari persamaan f(x)=0, lokasinya dan nilai perkiraannya (buat grafik atau cetak tabel nilai).

· Hitung salah satu akar yang ditemukan (apa saja) dengan akurasi e=0.5*10 -3 .

Untuk perhitungan, gunakan metode membagi segmen menjadi dua (menentukan jumlah iterasi), dan kemudian menemukan akar yang sama menggunakan metode Newton (juga menentukan jumlah langkah iterasi).

Bandingkan hasil Anda.

Opsi tugas

1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0,1x 2 +0,3x –0,6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0,5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2,9x 3 +0,1x 2 + 5,8x - 4,2=0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

METODE PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR

1. Rumusan masalah

Biarkan diperlukan untuk menyelesaikan sistem n persamaan nonlinier:

(1)

Tidak ada metode langsung untuk menyelesaikan sistem (1). Hanya dalam beberapa kasus sistem ini dapat diselesaikan secara langsung. Misalnya, untuk kasus dua persamaan, kadang-kadang dimungkinkan untuk menyatakan satu variabel yang tidak diketahui dalam bentuk variabel lain dan dengan demikian mengurangi masalah menjadi penyelesaian satu persamaan nonlinier terhadap satu yang tidak diketahui.

Sistem persamaan (1) secara singkat dapat ditulis dalam bentuk vektor:

. (2)

Persamaan (2) dapat memiliki satu atau lebih akar di domain D. Diperlukan untuk menetapkan keberadaan akar persamaan dan menemukan nilai perkiraan dari akar-akar ini. Untuk menemukan akar, metode iteratif biasanya digunakan, di mana pilihan aproksimasi awal sangat penting. Pendekatan awal terkadang diketahui dari pertimbangan fisik. Dalam kasus dua yang tidak diketahui, pendekatan awal dapat ditemukan secara grafis: plot kurva f 1 (x 1 , x 2)=0 dan f 2 (x 1 , x 2)=0 pada bidang (x 1 , x 2 ) dan temukan titik potongnya. Untuk tiga atau lebih variabel (dan juga untuk akar kompleks), tidak ada cara yang memuaskan untuk memilih aproksimasi awal.

Mari kita perhatikan dua metode iterasi utama untuk menyelesaikan sistem persamaan (1), (2) - metode iterasi sederhana dan metode Newton.

2. Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier

2.1 Metode iterasi sederhana

Mari kita nyatakan sistem (1) dalam bentuk

(3)

atau dalam bentuk vektor:

(4)

Algoritma metode iterasi sederhana adalah sebagai berikut. Kami memilih beberapa pendekatan nol

Perkiraan berikutnya ditemukan dengan rumus:

atau lebih jelasnya:

(5)

Proses iteratif (5) berlanjut sampai perubahan pada semua yang tidak diketahui dalam dua iterasi yang berurutan menjadi kecil, yaitu

Dalam praktiknya, pertidaksamaan sering digunakan sebagai pengganti kondisi terakhir:

(6)

di mana adalah norma rms dari vektor n-dimensi , yaitu

Saat menggunakan metode ini, keberhasilan sangat ditentukan oleh pilihan aproksimasi awal yang baik: harus cukup dekat dengan solusi sebenarnya. Jika tidak, proses iteratif mungkin tidak konvergen. Jika proses konvergen, maka laju konvergensinya linier.

2.2. metode Newton

Dalam literatur yang diterjemahkan, Anda dapat menemukan nama metode Newton-Raphson. Metode ini konvergen jauh lebih cepat daripada metode iterasi sederhana.

Biarkan beberapa pendekatan ke akar diketahui, sehingga

Maka sistem asli (2) dapat ditulis sebagai berikut:

Memperluas persamaan (7) dalam deret Taylor di sekitar titik dan membatasi diri kita pada suku-suku linier dalam deviasi , kita peroleh:

atau dalam bentuk koordinat:

(8)

Sistem (8) dapat ditulis ulang sebagai:

(9)

Sistem yang dihasilkan (9) adalah sistem persamaan aljabar linier terhadap kenaikan

Nilai fungsi F 1 , F 2 , …, F n dan turunannya pada (9) dihitung pada

.

Determinan sistem (9) adalah Jacobian J:

(10)

Untuk keberadaan solusi unik untuk sistem persamaan (9), itu harus berbeda dari nol. Setelah menyelesaikan sistem (9), misalnya, dengan metode Gauss, kami menemukan pendekatan baru:

.

Kami memeriksa kondisi (6). Jika tidak puas, kami juga menemukan Jacobian (10) dengan pendekatan baru dan menyelesaikan lagi (9), dengan demikian, kami menemukan pendekatan ke-2, dan seterusnya.

Iterasi berhenti segera setelah kondisi (6) terpenuhi.

Dengan menggunakan metode Newton, temukan solusi untuk sistem persamaan nonlinier dengan akurasi tertentu. Periksa konvergensi dari proses iteratif.

Opsi tugas

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.