Poligon. Jenis poligon. Sudut dalam dan luar poligon cembung. Jumlah sudut dalam dari n-gon cembung (teorema). Jumlah sudut luar dari n-gon cembung (teorema). poligon biasa. Lingkaran dibatasi tentang poligon biasa (teorema, akibat wajar 1.2)

Sudut dalam poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang konvergen pada titik tersebut. Sudut luar poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut interior pada titik tersebut. sudut dalam sudut luar

Dalil. Jumlah sudut dalam poligon cembung adalah (n - 2) · 180 o, di mana n adalah jumlah sisi poligon. Diberikan: n-gon cembung. Buktikan: = (n – 2) ·180 o Bukti Di dalam n-gon, ambil titik sembarang O dan hubungkan ke semua simpul. Poligon akan dibagi menjadi n segitiga dengan titik sudut yang sama O. Jumlah sudut setiap segitiga adalah 180 o, oleh karena itu, jumlah sudut semua segitiga adalah 180 o n. Jumlah ini, selain jumlah semua sudut dalam poligon, termasuk jumlah sudut segitiga di titik sudut O, sama dengan 360 o. Jadi, jumlah semua sudut internal poligon adalah 180 o n - 360 o \u003d (n - 2) 180 o. Jadi, n \u003d (n - 2) 180 o. Ch.t.d. tentang

Dalil. Jumlah sudut luar poligon cembung, diambil satu di setiap simpul, tidak bergantung pada n dan sama dengan 360, di mana n adalah jumlah sisi n-gon. Bukti. Karena sudut luar poligon berbatasan dengan sudut dalam yang bersesuaian, dan jumlah sudut yang berdekatan adalah 180, maka jumlah sudut luar poligon adalah: . Eksternal dan internal internal Jadi, jumlah sudut eksternal poligon cembung, diambil satu di setiap titik, tidak bergantung pada n dan sama dengan 360 o, di mana n adalah jumlah sisi n-gon. Ch.t.d.

Dalil. Setiap poligon biasa dapat ditulisi dengan lingkaran, dan terlebih lagi, hanya satu. Bukti. Misalkan 1,А2,…,А n adalah poligon beraturan, adalah pusat lingkaran yang dibatasi. 1А2 =ОА2А3= nА1, oleh karena itu tinggi segitiga-segitiga ini, yang ditarik dari titik sudut , juga sama dengan 1=ОН2=…=ОНn. Oleh karena itu, lingkaran dengan karena itu lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OH1 melewati titik-titik H1, H2, ..., Hn dan menyentuh sisi-sisi poligon pada titik-titik ini, yaitu. lingkaran tertulis dalam poligon yang diberikan. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Mari kita buktikan bahwa hanya ada satu lingkaran bertulisan. Misalkan ada lingkaran bertulisan lain dengan pusat O dan jari-jari OA. Kemudian pusatnya berjarak sama dari sisi poligon, yaitu titik O1 terletak pada masing-masing garis bagi sudut poligon, dan oleh karena itu bertepatan dengan titik O dari perpotongan garis-bagi ini. Jari-jari lingkaran ini sama dengan jarak dari titik O ke sisi poligon, mis. sama dengan OH 1. Teorema terbukti. Akibat wajar 1 Sebuah lingkaran pada poligon beraturan menyentuh sisi-sisi poligon pada titik tengahnya. Akibat wajar 2 Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar poligon beraturan bertepatan dengan pusat lingkaran yang tertulis di poligon yang sama.

Segitiga, persegi, segi enam - angka-angka ini diketahui hampir semua orang. Tetapi tidak semua orang tahu apa itu poligon biasa. Tapi ini semua sama Poligon beraturan disebut yang memiliki sudut dan sisi yang sama. Ada banyak angka seperti itu, tetapi semuanya memiliki sifat yang sama, dan formula yang sama berlaku untuk mereka.

Sifat poligon beraturan

Setiap poligon biasa, baik itu persegi atau segi delapan, dapat ditulisi dalam lingkaran. Properti dasar ini sering digunakan ketika membangun sebuah gambar. Selain itu, lingkaran juga dapat dituliskan dalam poligon. Dalam hal ini, jumlah titik kontak akan sama dengan jumlah sisinya. Adalah penting bahwa lingkaran yang tertulis dalam poligon beraturan akan memiliki pusat yang sama dengannya. Angka-angka geometris ini tunduk pada teorema yang sama. Setiap sisi dari n-gon beraturan dikaitkan dengan jari-jari R dari lingkaran yang dibatasi di sekitarnya.Oleh karena itu, dapat dihitung menggunakan rumus berikut: a = 2R sin180°. Melalui Anda tidak hanya dapat menemukan sisi, tetapi juga keliling poligon.

Cara mencari jumlah sisi poligon beraturan

Setiap satu terdiri dari sejumlah segmen yang sama satu sama lain, yang, ketika terhubung, membentuk garis tertutup. Dalam hal ini, semua sudut gambar yang terbentuk memiliki nilai yang sama. Poligon dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Kelompok pertama termasuk segitiga dan persegi. Poligon kompleks memiliki lebih banyak sisi. Mereka juga termasuk sosok berbentuk bintang. Untuk poligon beraturan kompleks, sisi-sisinya ditemukan dengan menuliskannya dalam lingkaran. Mari kita beri bukti. Gambarlah poligon beraturan dengan jumlah sisi sembarang n. Gambarkan lingkaran di sekelilingnya. Tentukan radius R. Sekarang bayangkan bahwa beberapa n-gon diberikan. Jika titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sama besar, maka sisi-sisinya dapat dicari dengan rumus: a = 2R sinα: 2.

Menemukan jumlah sisi segitiga siku-siku bertulis

Segitiga sama sisi adalah poligon beraturan. Rumus yang sama berlaku untuk persegi dan n-gon. Segitiga dianggap benar jika memiliki panjang sisi yang sama. Dalam hal ini, sudutnya adalah 60⁰. Bangun segitiga dengan panjang sisi tertentu a. Mengetahui median dan tingginya, Anda dapat menemukan nilai sisi-sisinya. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan metode mencari melalui rumus a \u003d x: cosα, di mana x adalah median atau tinggi. Karena semua sisi segitiga adalah sama, kita mendapatkan a = b = c. Maka pernyataan berikut ini benar: a = b = c = x: cosα. Demikian pula, Anda dapat menemukan nilai sisi dalam segitiga sama kaki, tetapi x akan menjadi tinggi yang diberikan. Pada saat yang sama, itu harus diproyeksikan secara ketat di dasar gambar. Jadi, mengetahui tinggi x, kami menemukan sisi a dari segitiga sama kaki menggunakan rumus a \u003d b \u003d x: cosα. Setelah menemukan nilai a, Anda dapat menghitung panjang alas c. Mari kita terapkan teorema Pythagoras. Kita akan mencari nilai setengah alas c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x tgα. Maka c = 2xtanα. Dengan cara yang begitu sederhana, Anda dapat menemukan jumlah sisi dari setiap poligon bertulisan.

Menghitung sisi persegi yang ditulis dalam lingkaran

Seperti poligon biasa bertulisan lainnya, persegi memiliki sisi dan sudut yang sama. Rumus yang sama berlaku untuk segitiga. Anda dapat menghitung sisi persegi menggunakan nilai diagonal. Mari kita pertimbangkan metode ini secara lebih rinci. Diketahui bahwa diagonal membagi dua sudut. Awalnya, nilainya adalah 90 derajat. Jadi, setelah pembagian, terbentuk dua sudut mereka di alas akan sama dengan 45 derajat. Dengan demikian, setiap sisi bujur sangkar akan sama, yaitu: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e cosα \u003d e 2: 2, di mana e adalah diagonal bujur sangkar, atau alas dari segitiga siku-siku yang terbentuk setelah pembagian. Ini bukan satu-satunya cara untuk menemukan sisi persegi. Mari kita tulis angka ini dalam lingkaran. Mengetahui jari-jari lingkaran ini R, kita menemukan sisi persegi. Kami akan menghitungnya sebagai berikut a4 = R√2. Jari-jari poligon beraturan dihitung dengan rumus R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), di mana a adalah panjang sisinya.

Cara menghitung keliling n-gon

Keliling n-gon adalah jumlah semua sisinya. Sangat mudah untuk menghitungnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui nilai semua sisi. Untuk beberapa jenis poligon, ada rumus khusus. Mereka memungkinkan Anda untuk menemukan perimeter lebih cepat. Diketahui bahwa setiap poligon beraturan memiliki sisi yang sama. Oleh karena itu, untuk menghitung kelilingnya, cukup mengetahui setidaknya satu dari mereka. Rumus akan tergantung pada jumlah sisi gambar. Secara umum, terlihat seperti ini: P \u003d an, di mana a adalah nilai sisi, dan n adalah jumlah sudut. Misalnya, untuk menemukan keliling segi delapan biasa dengan sisi 3 cm, Anda perlu mengalikannya dengan 8, yaitu, P = 3 8 = 24 cm. Untuk segi enam dengan sisi 5 cm, kami menghitung sebagai berikut: P = 5 6 = 30 cm Dan untuk setiap poligon.

Mencari keliling jajar genjang, persegi dan belah ketupat

Bergantung pada berapa banyak sisi yang dimiliki poligon biasa, kelilingnya dihitung. Ini membuat tugas jauh lebih mudah. Memang, tidak seperti tokoh lainnya, dalam hal ini tidak perlu mencari semua sisinya, cukup satu saja. Dengan prinsip yang sama, kita menemukan keliling segi empat, yaitu persegi dan belah ketupat. Terlepas dari kenyataan bahwa ini adalah angka yang berbeda, rumusnya adalah sama P = 4a, di mana a adalah sisinya. Mari kita ambil contoh. Jika sisi belah ketupat atau bujur sangkar adalah 6 cm, maka kita menemukan keliling sebagai berikut: P \u003d 4 6 \u003d 24 cm Sebuah jajar genjang hanya memiliki sisi yang berhadapan. Oleh karena itu, kelilingnya ditemukan menggunakan metode yang berbeda. Jadi, kita perlu mengetahui panjang a dan lebar b dari gambar tersebut. Kemudian kita menerapkan rumus P \u003d (a + c) 2. Jajar genjang, di mana semua sisi dan sudut di antara mereka sama, disebut belah ketupat.

Mencari keliling segitiga sama sisi dan segitiga siku-siku

Keliling yang benar dapat ditemukan dengan rumus P \u003d 3a, di mana a adalah panjang sisinya. Jika tidak diketahui, dapat dicari melalui median. Pada segitiga siku-siku, hanya dua sisi yang sama besar. Dasarnya dapat ditemukan melalui teorema Pythagoras. Setelah nilai ketiga sisi diketahui, kami menghitung keliling. Itu dapat ditemukan dengan menerapkan rumus P \u003d a + b + c, di mana a dan b adalah sisi yang sama, dan c adalah alasnya. Ingatlah bahwa dalam segitiga sama kaki a \u003d b \u003d a, oleh karena itu, a + b \u003d 2a, lalu P \u003d 2a + c. Misalnya, sisi segitiga sama kaki adalah 4 cm, tentukan alas dan kelilingnya. Kami menghitung nilai sisi miring sesuai dengan teorema Pythagoras c \u003d a 2 + dalam 2 \u003d 16 + 16 \u003d 32 \u003d 5,65 cm Sekarang kami menghitung keliling P \u003d 2 4 + 5,65 \ u003d 13,65 cm.

Cara mencari sudut poligon beraturan

Sebuah poligon biasa terjadi dalam kehidupan kita setiap hari, misalnya, persegi biasa, segitiga, segi delapan. Tampaknya tidak ada yang lebih mudah daripada membangun angka ini sendiri. Tapi ini hanya pada pandangan pertama. Untuk membangun n-gon apa pun, Anda perlu mengetahui nilai sudutnya. Tapi bagaimana Anda menemukan mereka? Bahkan para ilmuwan zaman kuno mencoba membangun poligon biasa. Mereka menebak untuk memasukkannya ke dalam lingkaran. Dan kemudian titik-titik yang diperlukan ditandai di atasnya, dihubungkan dengan garis lurus. Untuk angka sederhana, masalah konstruksi telah diselesaikan. Rumus dan teorema telah diperoleh. Misalnya, Euclid dalam karyanya yang terkenal "The Beginning" terlibat dalam memecahkan masalah untuk 3, 4-, 5-, 6- dan 15-gon. Dia menemukan cara untuk membangun mereka dan menemukan sudut. Mari kita lihat bagaimana melakukan ini untuk 15-gon. Pertama, Anda perlu menghitung jumlah sudut internalnya. Hal ini diperlukan untuk menggunakan rumus S = 180⁰(n-2). Jadi, kita diberi 15-gon, yang berarti bilangan n adalah 15. Kita substitusikan data yang kita ketahui ke dalam rumus dan dapatkan S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Kami telah menemukan jumlah semua sudut interior 15-gon. Sekarang kita perlu mendapatkan nilai masing-masing. Ada total 15 sudut. Kami melakukan perhitungan 2340⁰: 15 = 156⁰. Ini berarti bahwa setiap sudut internal adalah 156⁰, sekarang menggunakan penggaris dan kompas, Anda dapat membuat 15-gon biasa. Tapi bagaimana dengan n-gon yang lebih kompleks? Selama berabad-abad, para ilmuwan telah berjuang untuk memecahkan masalah ini. Itu hanya ditemukan pada abad ke-18 oleh Carl Friedrich Gauss. Dia mampu membangun 65537-gon. Sejak itu, masalah tersebut secara resmi dianggap selesai.

Perhitungan sudut n-gon dalam radian

Tentu saja, ada beberapa cara untuk menemukan sudut poligon. Paling sering mereka dihitung dalam derajat. Tetapi Anda juga dapat mengekspresikannya dalam radian. Bagaimana cara melakukannya? Hal ini diperlukan untuk melanjutkan sebagai berikut. Pertama, kita mencari jumlah sisi poligon beraturan, lalu kurangi 2. Jadi, kita mendapatkan nilai: n - 2. Kalikan perbedaan yang ditemukan dengan angka n (“pi” \u003d 3.14). Sekarang tinggal membagi produk yang dihasilkan dengan jumlah sudut dalam n-gon. Pertimbangkan perhitungan ini menggunakan contoh sisi lima belas yang sama. Jadi, bilangan n adalah 15. Mari kita terapkan rumus S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 13:15 = 2,72. Ini tentu saja bukan satu-satunya cara untuk menghitung sudut dalam radian. Anda cukup membagi ukuran sudut dalam derajat dengan angka 57,3. Lagi pula, banyak derajat itu setara dengan satu radian.

Perhitungan nilai sudut dalam derajat

Selain derajat dan radian, Anda dapat mencoba mencari nilai sudut poligon beraturan dalam grad. Ini dilakukan dengan cara berikut. Kurangi 2 dari jumlah total sudut, bagi selisih yang dihasilkan dengan jumlah sisi poligon beraturan. Kami mengalikan hasil yang ditemukan dengan 200. Omong-omong, unit pengukuran sudut seperti derajat praktis tidak digunakan.

Perhitungan sudut luar n-gons

Untuk poligon biasa apa pun, selain poligon internal, Anda juga dapat menghitung sudut eksternal. Nilainya ditemukan dengan cara yang sama seperti untuk angka-angka lainnya. Jadi, untuk menemukan sudut luar poligon beraturan, Anda perlu mengetahui nilai sudut dalam. Selanjutnya, kita tahu bahwa jumlah kedua sudut ini selalu 180 derajat. Oleh karena itu, kami melakukan perhitungan sebagai berikut: 180⁰ dikurangi nilai sudut dalam. Kami menemukan perbedaannya. Ini akan sama dengan nilai sudut yang berdekatan dengannya. Misalnya, sudut dalam sebuah persegi adalah 90 derajat, jadi sudut luarnya adalah 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Seperti yang kita lihat, tidak sulit untuk menemukannya. Sudut eksternal dapat mengambil nilai dari +180⁰ ke, masing-masing, -180.

Tujuan: Turunkan rumus untuk menemukan jumlah sudut poligon cembung;

• selidiki pertanyaan tentang jumlah sudut luar poligon, diambil satu di setiap simpul;
• untuk membentuk motivasi positif untuk aktivitas kognitif;
• mengembangkan pemikiran logis;
• mengembangkan perhatian, pengamatan, kemampuan menganalisis gambar;
• membentuk kemampuan untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh untuk memecahkan masalah;
• mengembangkan budaya komunikatif siswa.

Selama kelas

Ilmuwan Rusia yang hebat, kebanggaan Tanah Rusia,

Mikhailo Vasilyevich Lomonosov, berkata: "Kerja keras mengatasi rintangan." Saya berharap hari ini dalam pelajaran pekerjaan kami dengan Anda akan membantu kami mengatasi semua rintangan.

1. Aktualisasi pengetahuan dasar. (Jajak pendapat depan.)

Presentasi. (Slide 2-4)

- Merumuskan definisi poligon, beri nama elemen utamanya.
- Definisi poligon cembung.
- Berikan contoh segi empat yang Anda kenal, yang merupakan poligon cembung.
Bisakah segitiga dianggap sebagai poligon cembung?
Apa yang dimaksud dengan sudut luar poligon cembung?

2. Pernyataan masalah (output pada topik pelajaran).

Pekerjaan depan lisan.

Tentukan jumlah sudut poligon yang diberikan (Slide 5-6)

- sebuah segitiga; empat persegi panjang:
- trapesium; segi enam sewenang-wenang.

Jika mengalami kesulitan, guru mengajukan pertanyaan:

- Merumuskan definisi trapesium.
Sebutkan alas trapesium.
- Apa yang dapat dikatakan tentang sepasang sudut A dan D, sifat apa yang mereka miliki?
- Masih bisakah Anda menyebutkan sepasang kait satu sisi internal pada gambar?
Dapatkah Anda menemukan jumlah sudut segi enam? Apa pertanyaannya? (Apakah ada rumus untuk menemukan jumlah sudut poligon sembarang?)

Jadi, jelas bahwa pengetahuan kita hari ini tidak cukup untuk menyelesaikan masalah ini.

Bagaimana kita bisa merumuskan topik pelajaran kita? - Jumlah sudut poligon cembung.

3. Solusi Masalah. Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lakukan sedikit riset.

Kita sudah mengetahui teorema jumlah segitiga. Bisakah kita menerapkannya dengan cara apa pun?

- Apa yang harus dilakukan untuk ini? (Pecah poligon menjadi segitiga.)

Bagaimana poligon dapat dibagi menjadi segitiga? Pikirkan, diskusikan, dan tawarkan pilihan terbaik Anda.

Ada pekerjaan dalam kelompok, setiap kelompok bekerja di komputer terpisah tempat program "Geo Gebra" diinstal.

Di akhir pekerjaan, guru menampilkan hasil kerja kelompok di layar. (Slide 7)

- Mari kita menganalisis opsi yang diusulkan dan mencoba memilih yang paling optimal untuk studi kita.

Mari kita tentukan kriteria pemilihan: apa yang ingin kita dapatkan sebagai hasil dari pemisahan? (Jumlah semua sudut segitiga yang dibangun harus sama dengan jumlah sudut poligon.)

- Opsi apa yang dapat segera dibuang? Mengapa?

(Opsi 1, karena jumlah sudut semua segitiga tidak sama dengan jumlah sudut poligon.)

- Pilihan mana yang paling cocok? Mengapa? (Opsi 3.)

Bagaimana Anda mendapatkan opsi ini? (Kami menggambar diagonal dari satu titik poligon

menggambar	n adalah jumlah simpul poligon	Banyaknya diagonal yang ditarik dari satu titik sudut	Jumlah segitiga yang diterima
	4
	5
	6
	7
	n

- Mari kita coba membangun hubungan antara jumlah simpul poligon, jumlah diagonal yang dapat ditarik dari satu simpul dan jumlah segitiga yang diperoleh.

Setiap kelompok menerima tabel yang harus mereka isi selama proses penelitian.

Setelah berdiskusi dalam kelompok, anak merumuskan kesimpulannya:
dari satu simpul n-gon, n - 3 diagonal dapat ditarik (karena diagonal tidak dapat ditarik ke simpul yang dipilih itu sendiri dan ke dua simpul tetangga). Dalam hal ini, kita mendapatkan n - 2 segitiga.

Jadi, jumlah sudut poligon cembung adalah 180 0 (n-2).

- Mari kembali ke opsi yang diusulkan untuk membagi poligon menjadi segitiga.

Apakah mungkin menggunakan varian yang diusulkan pada Gambar 4 untuk membuktikan teorema ini?

Berapa banyak segitiga yang diperoleh dengan partisi seperti itu? ( P sesuatu)
Apa perbedaan antara jumlah sudut semua segitiga dan jumlah sudut poligon? (Pada 360 0)
- Bagaimana cara menghitung jumlah sudut poligon dalam kasus ini?

(180P– 360 = 180n - 180x2 \u003d 180 (n -2)) (Cberbaring 8)

– Apakah varian yang diusulkan pada Gambar 2 memenuhi persyaratan utama yang kami buat untuk partisi? (Ya.)

- Mengapa tidak disarankan menggunakannya untuk mencari jumlah sudut poligon? (Lebih sulit untuk menghitung jumlah segitiga yang dihasilkan.)

Nah, sekarang mari kita kembali ke masalah yang tidak bisa kita selesaikan di awal pelajaran.

(Anak-anak secara lisan menghitung jumlah sudut segi enam dan dua latihan serupa lainnya.) (Slide 9 dan 10)

4. Penerapan pengetahuan yang diperoleh .

Kami telah menurunkan rumus untuk menemukan jumlah sudut interior poligon cembung. Sekarang mari kita bicara tentang jumlah sudut luar poligon, diambil satu di setiap simpul.

Jadi, tugasnya adalah: mana yang lebih besar: jumlah sudut luar, diambil satu di setiap titik, untuk segi enam cembung atau untuk segitiga? (Slide 11)

Anak-anak membuat tebakan mereka. Guru menyarankan untuk melakukan penelitian untuk mengatasi masalah ini.

Setiap kelompok diberikan tugas untuk diselesaikan secara mandiri.

Grup 1.

1) Temukan jumlah sudut luar, diambil satu di setiap titik sudut, dari segitiga beraturan.
2) - Pada suatu segitiga, nilai derajat sudut-sudutnya berturut-turut adalah 70 0 , 80 0 dan 30 0 .

Grup 2

1) Temukan jumlah sudut luar, diambil satu di setiap titik, dari persegi panjang.
2) - Pada segi empat, sudut-sudut dalam masing-masing adalah 70 0 , 80 0 dan 120 0 dan 90 0 .

Grup 3.

1) Temukan jumlah sudut luar, diambil satu di setiap titik, dari segi enam beraturan.
2) - Pada segi enam, sudut-sudut dalamnya berturut-turut adalah 170 0 , 80 0 dan 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

Setelah pekerjaan selesai, anak-anak melaporkan hasilnya, guru memasukkannya ke dalam tabel dan menampilkannya di layar. (Slide 12)

Jadi, kesimpulan apa yang bisa diambil dari hasil yang diperoleh? (Jumlah sudut luar, diambil satu di setiap simpul, untuk setiap poligon adalah 360 0.)

Sekarang mari kita coba membuktikan fakta ini untuk semua n-gon.

Jika kesulitan muncul, rencana pembuktian dibahas secara kolektif:

1. Tentukan sudut dalam poligon sebagai , , , dst.
2. Nyatakan melalui notasi yang diperkenalkan ukuran derajat sudut luar
3. Tulislah ekspresi untuk mencari jumlah sudut luar poligon
4. Ubah ekspresi yang dihasilkan, gunakan rumus yang diperoleh sebelumnya untuk jumlah sudut interior poligon.

Buktinya tertulis di papan:

(180 - ) + (180 - ) + (180 - ) + ... = 180 p - (α + + + ...) = 180 p - 180 (p - 2) = 360

5. Konsolidasi materi yang dipelajari. Penyelesaian masalah.

Soal 1. Apakah terdapat poligon cembung dengan sudut dalam seperti: 45 0 , 68 0 , 73 0 dan 56 0 ? Jelaskan jawabanmu.

Mari kita buktikan dengan kontradiksi. Jika poligon cembung memiliki empat sudut dalam lancip, maka ada empat sudut luar tumpul, yang berarti jumlah semua sudut luar poligon lebih besar dari 4*90 0 = 360 0 . Kami memiliki kontradiksi. Penegasan itu terbukti.

Sebuah poligon cembung memiliki tiga sudut 80 derajat dan sisanya 150 derajat. Berapa banyak sudut pada poligon cembung?

Sebagai: untuk n-gon cembung, jumlah sudutnya adalah 180°(n – 2) , maka 180(n - 2)=3*80 + x*150, di mana 3 sudut 80 derajat diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi masalah, dan jumlah sudut lainnya masih belum diketahui, yang berarti kita menyatakan nomor mereka dengan x.

Namun, dari entri di sisi kiri, kami menentukan jumlah sudut poligon sebagai n, karena kami mengetahui nilai ketiganya dari kondisi masalah, jelas bahwa x=n-3.

Jadi persamaannya akan terlihat seperti ini: 180(n - 2) = 240 + 150(n - 3)

Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Jawaban: 5 puncak.

6. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, mari kita simpulkan. Rumuskan pertanyaan Anda untuk teman-teman dari kelompok lain berdasarkan materi pelajaran hari ini.

Menurut Anda apa pertanyaan terbaik?

Diskusikan tingkat partisipasi setiap anggota kelompok dalam kerja kolektif, sebutkan yang paling aktif.

Pekerjaan siapa dalam kelompok yang paling produktif?

7. Pekerjaan rumah:

1. Tugas.

Sebuah poligon memiliki tiga sudut 113 derajat, dan sisanya sama satu sama lain dan ukuran derajatnya adalah bilangan bulat. Temukan jumlah simpul poligon.

2. item 114 hlm. 169-171, Pogorelov A.V. "Geometri 7-9".

Pelajaran video 2: Poligon. Penyelesaian masalah

Kuliah: Poligon. Jumlah sudut poligon cembung

poligon- ini adalah sosok yang mengelilingi kita di mana-mana - ini juga bentuk sarang lebah tempat lebah menyimpan madu, struktur arsitektur, dan banyak lagi.

Seperti disebutkan sebelumnya, poligon adalah bentuk yang memiliki lebih dari dua sudut. Mereka terdiri dari garis putus-putus tertutup.

Selain itu, sudut poligon bisa eksternal dan internal. Misalnya, bintang adalah sosok yang memiliki 10 sudut, beberapa di antaranya cembung dan yang lainnya cekung:

Contoh poligon cembung:

Harap dicatat bahwa gambar tersebut menunjukkan poligon beraturan - ini adalah poligon yang dipelajari secara rinci dalam kursus matematika sekolah.

Setiap poligon memiliki jumlah simpul yang sama dengan jumlah sisinya. Perhatikan juga bahwa simpul bertetangga adalah simpul yang memiliki satu sisi yang sama. Misalnya, segitiga memiliki semua simpul yang berdekatan.

Semakin banyak sudut yang dimiliki poligon beraturan, semakin besar ukuran derajatnya. Namun, ukuran derajat sudut poligon cembung tidak boleh lebih besar dari atau sama dengan 180 derajat.

Untuk menentukan ukuran derajat umum poligon, Anda harus menggunakan rumus.

Di kelas 8, dalam pelajaran geometri di sekolah, siswa untuk pertama kalinya berkenalan dengan konsep poligon cembung. Segera mereka akan mengetahui bahwa sosok ini memiliki properti yang sangat menarik. Tidak peduli seberapa rumitnya, jumlah semua sudut internal dan eksternal poligon cembung memiliki nilai yang ditentukan secara ketat. Dalam artikel ini, seorang tutor matematika dan fisika berbicara tentang jumlah sudut poligon cembung.

Jumlah sudut dalam poligon cembung

Bagaimana membuktikan rumus ini?

Sebelum melanjutkan ke pembuktian pernyataan ini, kita ingat poligon mana yang disebut cembung. Suatu poligon disebut cembung jika terletak seluruhnya pada satu sisi garis yang memuat salah satu sisinya. Misalnya, yang ditunjukkan pada gambar ini:

Jika poligon tidak memenuhi kondisi yang ditentukan, maka itu disebut non-cembung. Misalnya seperti ini:

Jumlah sudut interior poligon cembung adalah , Dimana adalah jumlah sisi poligon.

Bukti fakta ini didasarkan pada teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga, yang diketahui semua anak sekolah. Saya yakin Anda sudah familiar dengan teorema ini. Jumlah sudut dalam segitiga adalah .

Idenya adalah untuk membagi poligon cembung menjadi beberapa segitiga. Ini dapat dilakukan dengan cara yang berbeda. Tergantung pada metode mana yang kita pilih, buktinya akan sedikit berbeda.

1. Bagilah poligon cembung menjadi segitiga dengan semua kemungkinan diagonal yang ditarik dari beberapa titik. Mudah dipahami bahwa kemudian n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga:

Selain itu, jumlah semua sudut dari semua segitiga yang dihasilkan sama dengan jumlah sudut n-gon kita. Bagaimanapun, setiap sudut dalam segitiga yang dihasilkan adalah sudut parsial dalam poligon cembung kami. Artinya, jumlah yang dibutuhkan sama dengan .

2. Anda juga dapat memilih titik di dalam poligon cembung dan menghubungkannya ke semua simpul. Kemudian n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga:

Selain itu, jumlah sudut poligon kami dalam kasus ini akan sama dengan jumlah semua sudut dari semua segitiga ini dikurangi sudut pusat, yang sama dengan . Artinya, jumlah yang diinginkan lagi sama dengan .

Jumlah sudut luar poligon cembung

Mari kita sekarang bertanya pada diri sendiri pertanyaan: "Berapa jumlah sudut luar poligon cembung?" Pertanyaan ini dapat dijawab dengan cara berikut. Setiap sudut luar bersebelahan dengan sudut dalam yang sesuai. Oleh karena itu sama dengan:

Maka jumlah semua sudut luar adalah . Artinya, sama dengan .

Itu adalah hasil yang sangat lucu. Jika kita mengesampingkan secara berurutan semua sudut luar dari n-gon cembung apa pun, maka sebagai hasilnya persis seluruh bidang akan terisi.

Fakta menarik ini dapat digambarkan sebagai berikut. Mari kita kurangi secara proporsional semua sisi dari beberapa poligon cembung hingga menyatu menjadi satu titik. Setelah ini terjadi, semua sudut luar akan dipisahkan satu sama lain dan dengan demikian memenuhi seluruh bidang.

Fakta yang menarik bukan? Dan ada banyak fakta seperti itu dalam geometri. Jadi belajarlah geometri, murid-murid terkasih!

Materi tentang jumlah sudut poligon cembung disiapkan oleh Sergey Valerievich