Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Tanggal: 05/10/2015
Bagaimana cara mencari turunannya?
Aturan diferensiasi.
Untuk mencari turunan fungsi apa pun, Anda hanya perlu menguasai tiga konsep:
2. Aturan diferensiasi.
3. Turunan dari fungsi kompleks.
Tepat dalam urutan itu. Itu sebuah petunjuk.)
Tentu saja, alangkah baiknya jika memiliki gambaran tentang derivatif secara umum). Apa itu turunan dan cara menggunakan tabel turunan telah dijelaskan dengan jelas pada pelajaran sebelumnya. Di sini kita akan membahas aturan diferensiasi.
Diferensiasi adalah operasi mencari turunan. Tidak ada lagi yang tersembunyi di balik istilah ini. Itu. ekspresi "menemukan turunan suatu fungsi" Dan "membedakan suatu fungsi"- Sama.
Ekspresi "aturan diferensiasi" mengacu pada menemukan turunannya dari operasi aritmatika. Pemahaman ini sangat membantu untuk menghindari kebingungan di kepala Anda.
Mari berkonsentrasi dan mengingat semua operasi aritmatika. Ada empat di antaranya). Penjumlahan (jumlah), pengurangan (selisih), perkalian (hasil kali), dan pembagian (hasil bagi). Ini dia, aturan diferensiasi:
Piring itu menunjukkan lima aturan pada empat operasi aritmatika. Saya tidak meremehkannya.) Hanya saja aturan 4 merupakan konsekuensi mendasar dari aturan 3. Namun aturan ini sangat populer sehingga masuk akal untuk menulis (dan mengingatnya!) sebagai rumus independen.
Di bawah sebutan kamu Dan V beberapa fungsi (benar-benar ada!) tersirat kamu(x) Dan V(x).
Mari kita lihat beberapa contoh. Yang pertama adalah yang paling sederhana.
Tentukan turunan dari fungsi y=sinx - x 2
Ini dia perbedaan dua fungsi dasar. Kita terapkan aturan 2. Kita asumsikan bahwa sinx adalah sebuah fungsi kamu, dan x 2 adalah fungsinya V. Kami berhak menulis:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Lebih baik kan?) Tinggal mencari turunan sinus dan kuadrat x. Ada tabel turunan untuk tujuan ini. Kita tinggal mencari fungsi yang kita perlukan pada tabel ( dosa Dan x 2), lihat turunannya dan tuliskan jawabannya:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Itu dia. Aturan 1 dalam membedakan suatu jumlah bekerja dengan cara yang persis sama.
Bagaimana jika kita memiliki beberapa istilah? Tidak masalah.) Kita memecah fungsi menjadi suku-suku dan mencari turunan setiap suku secara independen terhadap suku lainnya. Misalnya:
Tentukan turunan dari fungsi y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Kami dengan berani menulis:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
Di akhir pelajaran saya akan memberikan tips untuk mempermudah hidup saat membedakan.)
Kiat praktis:
1. Sebelum diferensiasi, lihat apakah fungsi aslinya dapat disederhanakan.
2. Dalam contoh yang rumit, kami menjelaskan solusinya secara rinci, dengan semua tanda kurung dan tanda hubung.
3. Saat membedakan pecahan dengan bilangan konstan pada penyebutnya, kita mengubah pembagian menjadi perkalian dan menggunakan aturan 4.
Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?
Arti geometri dan fisis turunan
Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a,b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen berarti perbedaan maknanya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:
Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.
Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:
Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:
turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.
Arti fisis dari turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.
Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:
Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:
Aturan satu: tetapkan konstanta
Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .
Contoh. Mari kita hitung turunannya:
Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi
Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.
Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.
Temukan turunan dari fungsi tersebut:
Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi
Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:
Contoh: mencari turunan suatu fungsi:
Larutan: 
Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.
Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:
Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.
Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi
Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:
Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.
Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.
Dalam pelajaran ini kita akan belajar menerapkan rumus dan aturan diferensiasi.
Contoh. Temukan turunan fungsi.
1. kamu=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Menerapkan aturan SAYA, rumus 4, 2 dan 1. Kita mendapatkan:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. kamu=3x 6 -2x+5. Kami menyelesaikannya dengan cara yang sama, menggunakan rumus dan rumus yang sama 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Menerapkan aturan SAYA, rumus 3, 5
Dan 6
Dan 1.
Menerapkan aturan IV, rumus 5
Dan 1
.
Pada contoh kelima, sesuai aturan SAYA turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari turunannya, dan kita baru saja menemukan turunan suku pertama (contoh 4 ), oleh karena itu, kita akan mencari turunannya ke-2 Dan ke-3 istilah, dan untuk tanggal 1 summand kita bisa langsung menuliskan hasilnya.
Mari kita bedakan ke-2 Dan ke-3 ketentuan sesuai rumus 4
. Untuk melakukan ini, kita mengubah akar pangkat ketiga dan keempat dalam penyebut menjadi pangkat dengan eksponen negatif, dan kemudian, menurut 4
rumusnya, kita menemukan turunan pangkat.
Lihatlah contoh ini dan hasilnya. Apakah Anda menangkap polanya? Bagus. Artinya kita punya rumus baru dan bisa menambahkannya ke tabel turunan kita.
Mari kita selesaikan contoh keenam dan mendapatkan rumus lainnya.
Mari kita gunakan aturannya IV dan rumus 4
. Mari kita kurangi pecahan yang dihasilkan.
Mari kita lihat fungsi ini dan turunannya. Anda tentunya sudah memahami polanya dan siap menyebutkan rumusnya:
Pelajari formula baru!
Contoh.
1. Temukan pertambahan argumen dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal argumennya sama dengan 4 , dan baru - 4,01 .
Larutan.
Nilai argumen baru x=x 0 +Δx. Mari kita substitusikan datanya: 4,01=4+Δх, maka argumennya bertambah Δх=4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan selisih antara nilai baru dan nilai sebelumnya dari fungsi tersebut, yaitu. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Karena kita mempunyai fungsi kamu=x2, Itu kamu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Menjawab: peningkatan argumen Δх=0,01; peningkatan fungsi kamu=0,0801.
Peningkatan fungsi dapat ditemukan secara berbeda: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi kamu=f(x) pada intinya x 0, Jika f "(x 0) = 1.
Larutan.
Nilai turunannya pada titik singgung x 0 dan merupakan nilai garis singgung sudut singgung (arti geometri turunannya). Kita punya: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Karena tg45°=1.
Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox sama dengan 45°.
3. Turunkan rumus turunan fungsi tersebut kamu=xn.
Diferensiasi adalah tindakan mencari turunan suatu fungsi.
Saat mencari turunan, gunakan rumus yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, sama seperti kita menurunkan rumus derajat turunan: (x n)" = nx n-1.
Ini adalah rumusnya.
Tabel turunan Akan lebih mudah menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:
1. Turunan suatu besaran konstan sama dengan nol.
2. X bilangan prima sama dengan satu.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.
4. Turunan suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen derajat tersebut dengan derajat yang basisnya sama, tetapi eksponennya lebih kecil satu.
5. Turunan suatu akar sama dengan satu dibagi dua akar yang sama besar.
6. Turunan satu dibagi x sama dengan dikurangi satu dibagi x kuadrat.
7. Turunan sinus sama dengan cosinus.
8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.
9. Turunan garis singgung sama dengan satu dibagi kuadrat cosinus.
10. Turunan kotangen sama dengan minus satu dibagi kuadrat sinus.
Kami mengajar aturan diferensiasi.
1. Turunan suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar turunan suku-suku tersebut.
2. Turunan suatu hasil kali sama dengan hasil kali turunan faktor pertama dan faktor kedua ditambah hasil kali faktor pertama dan turunan faktor kedua.
3. Turunan dari “y” dibagi “ve” sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah “y prima dikalikan “ve” dikurangi “y dikalikan ve prime”, dan penyebutnya adalah “ve kuadrat”.
4. Kasus khusus dari rumus 3.
Mari kita belajar bersama!
Halaman 1 dari 1 1
Perhitungan turunan- salah satu operasi terpenting dalam kalkulus diferensial. Di bawah ini adalah tabel untuk mencari turunan fungsi sederhana. Untuk aturan diferensiasi yang lebih kompleks, lihat pelajaran lainnya:- Tabel turunan fungsi eksponensial dan logaritma
Turunan dari fungsi sederhana
1. Turunan suatu bilangan adalah nolс´ = 0
Contoh:
5´ = 0
Penjelasan:
Turunan menunjukkan laju perubahan nilai suatu fungsi ketika argumennya berubah. Karena suatu bilangan tidak berubah dalam kondisi apapun, laju perubahannya selalu nol.
2. Turunan dari suatu variabel sama dengan satu
x´ = 1
Penjelasan:
Dengan setiap penambahan argumen (x) sebanyak satu, nilai fungsi (hasil perhitungan) bertambah dengan jumlah yang sama. Jadi, laju perubahan nilai fungsi y = x sama persis dengan laju perubahan nilai argumen.
3. Turunan suatu variabel dan suatu faktor sama dengan faktor tersebut
сx´ = с
Contoh:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Penjelasan:
Dalam hal ini, setiap kali argumen fungsi berubah ( X) nilainya (y) meningkat Dengan sekali. Jadi, laju perubahan nilai fungsi dalam kaitannya dengan laju perubahan argumen sama persis dengan nilainya Dengan.
Dari situlah berikut ini
(cx + b)" = c
yaitu diferensial fungsi linier y=kx+b sama dengan kemiringan garis (k).
4. Turunan modulo dari suatu variabel sama dengan hasil bagi variabel ini dengan modulusnya
|x|"= x / |x| asalkan x ≠ 0
Penjelasan:
Karena turunan suatu variabel (lihat rumus 2) sama dengan satu, maka turunan modulus hanya berbeda pada nilai laju perubahan fungsi yang berubah menjadi kebalikannya ketika melintasi titik asal (coba gambarkan grafik dari fungsi y = |x| dan lihat sendiri< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - satu. Artinya, untuk nilai negatif variabel x, dengan setiap peningkatan argumen, nilai fungsi berkurang dengan nilai yang persis sama, dan untuk nilai positif, sebaliknya, meningkat, tetapi dengan nilai yang persis sama. .
5. Turunan suatu variabel ke suatu pangkat sama dengan hasil kali suatu bilangan pangkat ini dan suatu variabel pangkat dikurangi satu
(x c)"= cx c-1, asalkan x c dan cx c-1 terdefinisi dan c ≠ 0
Contoh:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Untuk mengingat rumusnya:
Pindahkan derajat variabel ke bawah sebagai faktor, lalu kurangi derajat itu sendiri sebanyak satu. Misalnya, untuk x 2 - keduanya berada di depan x, dan kemudian pangkat yang dikurangi (2-1 = 1) memberi kita 2x. Hal yang sama terjadi untuk x 3 - kita “memindahkan” tripelnya, menguranginya dengan satu dan alih-alih kubus kita memiliki persegi, yaitu 3x 2. Sedikit "tidak ilmiah", tapi sangat mudah diingat.
6.Turunan dari pecahan 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Contoh:
Karena pecahan dapat direpresentasikan sebagai pangkat negatif
(1/x)" = (x -1)", maka Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5 tabel turunan
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Turunan dari pecahan dengan variabel derajat sewenang-wenang dalam penyebutnya
(1 / xc)" = - c / xc+1
Contoh:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Turunan dari akar(turunan dari variabel di bawah akar kuadrat)
(√x)" = 1 / (2√x) atau 1/2 x -1/2
Contoh:
(√x)" = (x 1/2)" berarti Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Turunan dari suatu variabel di bawah akar derajat sembarang
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
