Kesalahan absolut dan relatif
Elemen teori kesalahan
Angka pasti dan perkiraan
Keakuratan angka biasanya tidak diragukan lagi jika menyangkut nilai data keseluruhan (2 pensil, 100 pohon). Namun, dalam banyak kasus, ketika tidak mungkin untuk menunjukkan nilai pasti suatu angka (misalnya, saat mengukur suatu objek dengan penggaris, mengambil hasil dari perangkat, dll.), kita berurusan dengan data perkiraan.
Nilai perkiraan adalah angka yang sedikit berbeda dari nilai pastinya dan menggantikannya dalam perhitungan. Sejauh mana nilai perkiraan suatu bilangan berbeda dari nilai pastinya ditandai dengan kesalahan .
Sumber kesalahan utama berikut ini dibedakan:
1. Kesalahan dalam perumusan masalah, yang timbul sebagai akibat dari gambaran perkiraan suatu fenomena nyata dalam istilah matematika.
2. Kesalahan metode, terkait dengan kesulitan atau ketidakmungkinan memecahkan suatu masalah tertentu dan menggantinya dengan masalah serupa, sehingga memungkinkan untuk menerapkan metode penyelesaian yang diketahui dan dapat diakses serta memperoleh hasil yang mendekati yang diinginkan.
3. Kesalahan fatal, terkait dengan nilai perkiraan data asli dan karena kinerja perhitungan pada angka perkiraan.
4. Kesalahan pembulatan terkait dengan pembulatan nilai data awal, hasil antara dan hasil akhir yang diperoleh dengan menggunakan alat komputasi.
Kesalahan absolut dan relatif
Memperhitungkan kesalahan merupakan aspek penting dalam penerapan metode numerik, karena kesalahan pada hasil akhir penyelesaian seluruh masalah merupakan produk interaksi semua jenis kesalahan. Oleh karena itu, salah satu tugas utama teori kesalahan adalah menilai keakuratan hasil berdasarkan keakuratan sumber data.
Jika merupakan suatu bilangan eksak dan merupakan nilai perkiraannya, maka kesalahan (error) dari nilai perkiraan tersebut adalah derajat kedekatan nilainya dengan nilai eksaknya.
Ukuran kesalahan kuantitatif yang paling sederhana adalah kesalahan absolut, yang didefinisikan sebagai
(1.1.2-1)
Terlihat dari rumus 1.1.2-1, kesalahan mutlak memiliki satuan pengukuran yang sama dengan nilainya. Oleh karena itu, tidak selalu mungkin untuk menarik kesimpulan yang benar tentang kualitas perkiraan berdasarkan besarnya kesalahan absolut. Misalnya jika 
, dan kita berbicara tentang bagian mesin, maka pengukurannya sangat kasar, dan jika kita berbicara tentang ukuran kapal, maka pengukurannya sangat akurat. Dalam hal ini, konsep kesalahan relatif diperkenalkan, di mana nilai kesalahan absolut dikaitkan dengan modulus nilai perkiraan ( 
).
(1.1.2-2)
Penggunaan kesalahan relatif lebih mudah dilakukan, khususnya karena kesalahan tersebut tidak bergantung pada skala besaran dan satuan pengukuran data. Kesalahan relatif diukur dalam pecahan atau persentase. Jadi, misalnya jika
,A 
, Itu ,
dan jika Dan 
,
sehingga kemudian .
Untuk memperkirakan kesalahan suatu fungsi secara numerik, Anda perlu mengetahui aturan dasar untuk menghitung kesalahan tindakan:
· saat menjumlahkan dan mengurangkan bilangan kesalahan absolut dari penjumlahan angka
· saat mengalikan dan membagi bilangan kesalahan relatif mereka bertambah satu sama lain
· saat menaikkan angka perkiraan menjadi pangkat kesalahan relatifnya dikalikan dengan eksponen
Contoh 1.1.2-1. Fungsi yang diberikan: 
. Temukan kesalahan absolut dan relatif dari nilai (kesalahan hasil operasi aritmatika), jika nilainya 
diketahui, dan 1 adalah angka pasti dan kesalahannya nol.
Setelah menentukan nilai kesalahan relatif, kita dapat mencari nilai kesalahan absolut sebagai 
,
dimana nilainya dihitung menggunakan rumus nilai perkiraan 
Karena nilai pasti suatu besaran biasanya tidak diketahui, maka dilakukan perhitungan 
Dan 
menurut rumus di atas tidak mungkin. Oleh karena itu, dalam praktiknya, kesalahan bentuk maksimum dinilai:
(1.1.2-3)
Di mana 
Dan 
– besaran yang diketahui yang merupakan batas atas kesalahan absolut dan relatif, jika tidak disebut – kesalahan absolut maksimum dan kesalahan relatif maksimum. Jadi, nilai pastinya terletak pada:
Jika nilainya diketahui, kalau begitu 
, dan jika jumlahnya diketahui , Itu 
Biarkan beberapa variabel acak A diukur N kali dalam kondisi yang sama. Hasil pengukuran memberikan satu set N nomor yang berbeda
Kesalahan mutlak- nilai dimensi. Di antara N Nilai kesalahan absolut harus positif dan negatif.
Untuk nilai kuantitas yang paling mungkin A biasanya diambil rata-rata nilai hasil pengukuran
.
Semakin banyak jumlah pengukuran maka semakin mendekati nilai rata-rata dengan nilai sebenarnya.
Kesalahan mutlakSaya
.
Kesalahan relatifSaya Pengukuran ke-th disebut besaran
Kesalahan relatif adalah besaran yang tidak berdimensi. Biasanya kesalahan relatif dinyatakan dalam persentase, untuk ini e saya kalikan dengan 100%. Besarnya kesalahan relatif mencirikan keakuratan pengukuran.
Kesalahan absolut rata-rata didefinisikan seperti ini:
.
Kami menekankan perlunya menjumlahkan nilai absolut (modul) besaran D dan saya. Jika tidak, hasilnya akan sama dengan nol.
Kesalahan relatif rata-rata disebut kuantitas
.
Dengan jumlah pengukuran yang banyak.
Kesalahan relatif dapat dianggap sebagai nilai kesalahan per unit nilai yang diukur.
Keakuratan pengukuran dinilai dengan membandingkan kesalahan hasil pengukuran. Oleh karena itu, kesalahan pengukuran dinyatakan sedemikian rupa sehingga untuk menilai keakuratannya cukup dengan membandingkan kesalahan hasil saja, tanpa membandingkan ukuran benda yang diukur atau mengetahui ukuran tersebut secara mendekati. Dari praktek diketahui bahwa kesalahan mutlak dalam mengukur suatu sudut tidak bergantung pada nilai sudut, dan kesalahan mutlak dalam mengukur panjang bergantung pada nilai panjangnya. Semakin besar panjangnya, semakin besar kesalahan absolut untuk metode dan kondisi pengukuran tertentu. Oleh karena itu, kesalahan absolut dari hasil dapat digunakan untuk menilai keakuratan pengukuran sudut, namun keakuratan pengukuran panjang tidak dapat dinilai. Menyatakan kesalahan dalam bentuk relatif memungkinkan kita membandingkan keakuratan pengukuran sudut dan linier dalam kasus yang diketahui.
Konsep dasar teori probabilitas. Kesalahan acak.
Kesalahan acak disebut komponen kesalahan pengukuran yang berubah secara acak selama pengukuran berulang-ulang dengan besaran yang sama.
Ketika pengukuran berulang-ulang terhadap konstanta yang sama, besaran yang tidak berubah dilakukan dengan ketelitian yang sama dan dalam kondisi yang sama, kita memperoleh hasil pengukuran - beberapa di antaranya berbeda satu sama lain, dan beberapa di antaranya bertepatan. Perbedaan hasil pengukuran tersebut menunjukkan adanya komponen kesalahan acak di dalamnya.
Kesalahan acak terjadi karena pengaruh simultan dari banyak sumber, yang masing-masing memiliki pengaruh yang tidak terlihat pada hasil pengukuran, namun pengaruh total semua sumber bisa sangat kuat.
Kesalahan yang tidak disengaja adalah konsekuensi yang tidak dapat dihindari dari setiap pengukuran dan disebabkan oleh:
a) ketidakakuratan pembacaan skala instrumen dan instrumen;
b) tidak teridentifikasinya kondisi untuk pengukuran berulang;
c) perubahan acak pada kondisi eksternal (suhu, tekanan, medan gaya, dll), yang tidak dapat dikendalikan;
d) semua pengaruh lain pada pengukuran, yang penyebabnya tidak kita ketahui. Besarnya kesalahan acak dapat diminimalkan dengan mengulangi percobaan berkali-kali dan melakukan pengolahan matematis yang sesuai dari hasil yang diperoleh.
Kesalahan acak dapat mempunyai nilai absolut yang berbeda, yang tidak mungkin diprediksi untuk pengukuran tertentu. Kesalahan ini bisa bersifat positif atau negatif. Kesalahan acak selalu ada dalam percobaan. Jika tidak ada kesalahan sistematis, maka pengukuran berulang akan tersebar relatif terhadap nilai sebenarnya.
Misalkan periode osilasi bandul diukur dengan menggunakan stopwatch, dan pengukuran diulangi berkali-kali. Kesalahan dalam memulai dan menghentikan stopwatch, kesalahan nilai pembacaan, sedikit ketidakrataan pergerakan pendulum - semua ini menyebabkan hasil pengukuran yang berulang-ulang menjadi tersebar sehingga dapat digolongkan sebagai kesalahan acak.
Jika tidak ada kesalahan lain, maka beberapa hasil akan dilebih-lebihkan, sementara hasil lainnya akan diremehkan. Namun jika, selain itu, waktunya juga tertinggal, maka semua hasil akan diremehkan. Ini sudah merupakan kesalahan sistematis.
Beberapa faktor dapat menyebabkan kesalahan sistematis dan acak pada saat yang bersamaan. Jadi, dengan menghidupkan dan mematikan stopwatch, kita dapat membuat penyebaran kecil yang tidak teratur pada waktu mulai dan berhentinya jam relatif terhadap pergerakan pendulum dan dengan demikian menimbulkan kesalahan acak. Namun jika kita selalu terburu-buru menyalakan stopwatch dan agak terlambat mematikannya, maka hal ini akan menimbulkan kesalahan sistematis.
Kesalahan acak disebabkan oleh kesalahan paralaks pada saat menghitung pembagian skala instrumen, guncangan pondasi suatu bangunan, pengaruh sedikit pergerakan udara, dan lain-lain.
Meskipun tidak mungkin menghilangkan kesalahan acak dalam pengukuran individu, teori matematika tentang fenomena acak memungkinkan kita mengurangi pengaruh kesalahan ini pada hasil pengukuran akhir. Di bawah ini akan terlihat bahwa untuk itu perlu dilakukan bukan hanya satu, melainkan beberapa pengukuran, dan semakin kecil nilai error yang ingin diperoleh maka semakin banyak pula pengukuran yang perlu dilakukan.
Karena terjadinya kesalahan acak tidak dapat dihindari dan tidak dapat dihindari, tugas utama dari setiap proses pengukuran adalah meminimalkan kesalahan.
Teori kesalahan didasarkan pada dua asumsi utama, yang dikonfirmasi oleh pengalaman:
1. Dengan jumlah pengukuran yang banyak, kesalahan acak yang besarnya sama, tetapi tandanya berbeda, yaitu kesalahan dalam arah naik dan turun hasilnya cukup sering terjadi.
2. Kesalahan yang nilai absolutnya besar lebih jarang terjadi dibandingkan kesalahan kecil, sehingga kemungkinan terjadinya kesalahan berkurang seiring dengan meningkatnya besarnya.
Perilaku variabel acak dijelaskan oleh pola statistik, yang merupakan subjek teori probabilitas. Definisi statistik probabilitas dengan saya acara Saya adalah hubungannya
Di mana N- jumlah total percobaan, dan saya- jumlah percobaan di mana peristiwa tersebut terjadi Saya telah terjadi. Dalam hal ini, jumlah percobaan harus sangat besar ( N®¥). Dengan jumlah pengukuran yang banyak, kesalahan acak mengikuti distribusi normal (distribusi Gaussian), ciri-ciri utamanya adalah sebagai berikut:
1. Semakin besar penyimpangan nilai terukur dari nilai sebenarnya, semakin kecil kemungkinan terjadinya hasil tersebut.
2. Penyimpangan di kedua arah dari nilai sebenarnya memiliki kemungkinan yang sama.
Dari asumsi di atas dapat disimpulkan bahwa untuk mengurangi pengaruh kesalahan acak maka perlu dilakukan pengukuran nilai tersebut beberapa kali. Misalkan kita mengukur suatu besaran x. Biarkan itu diproduksi N pengukuran: x 1 , x 2 , ... xn- menggunakan metode yang sama dan dengan perawatan yang sama. Dapat diharapkan bahwa jumlahnya dn hasil yang diperoleh, yang terletak pada interval yang cukup sempit dari X sebelum x + dx, harus proporsional:
Besar kecilnya interval yang diambil dx;
Jumlah total pengukuran N.
Kemungkinan dw(X) bahwa beberapa nilai X terletak pada kisaran dari X sebelum x + dx, didefinisikan sebagai berikut :
(dengan jumlah pengukuran N ®¥).
Fungsi F(X) disebut fungsi distribusi atau kepadatan probabilitas.
Sebagai dalil teori kesalahan, dapat diterima bahwa hasil pengukuran langsung dan kesalahan acaknya, bila jumlahnya banyak, mematuhi hukum distribusi normal.
Fungsi distribusi variabel acak kontinu ditemukan oleh Gauss X memiliki bentuk berikut:
, dimana salah -
parameter distribusi .
Parameter m berdistribusi normal sama dengan nilai rata-rata b Xñ variabel acak, yang untuk fungsi distribusi sembarang yang diketahui, ditentukan oleh integral
.
Dengan demikian, nilai m adalah nilai yang paling mungkin dari besaran x yang diukur, yaitu perkiraan terbaiknya.
Parameter s 2 dari distribusi normal sama dengan varians D dari variabel acak, yang secara umum ditentukan oleh integral berikut
.
Akar kuadrat dari varians disebut deviasi standar dari variabel acak.
Rata-rata deviasi (kesalahan) variabel acak ásñ ditentukan dengan menggunakan fungsi distribusi sebagai berikut
Rata-rata kesalahan pengukuran ásñ yang dihitung dari fungsi distribusi Gaussian dikaitkan dengan nilai simpangan baku s sebagai berikut:
< S > = 0,8 detik.
Parameter s dan m saling berhubungan sebagai berikut:
.
Ekspresi ini memungkinkan Anda menemukan deviasi standar s jika terdapat kurva distribusi normal.
Grafik fungsi Gaussian disajikan pada gambar. Fungsi F(X) simetris terhadap ordinat yang digambar di titik tersebut x = M; melewati titik maksimum x = m dan mempunyai belok di titik m ±s. Jadi, varians mencirikan lebar fungsi distribusi, atau menunjukkan seberapa luas penyebaran nilai-nilai variabel acak relatif terhadap nilai sebenarnya. Semakin akurat pengukurannya, semakin mendekati nilai sebenarnya dari hasil pengukuran individu, yaitu. nilai s lebih kecil. Gambar A menunjukkan fungsinya F(X) untuk tiga nilai s .
Luas suatu bangun yang dibatasi oleh kurva F(X) dan garis vertikal yang ditarik dari titik-titik X 1 dan X 2 (Gbr. B) , secara numerik sama dengan peluang hasil pengukuran masuk ke dalam interval D x = x 1 -X 2, yang disebut probabilitas kepercayaan. Area di bawah seluruh kurva F(X) sama dengan peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval dari 0 hingga ¥, yaitu.
,
karena probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
Dengan menggunakan distribusi normal, teori kesalahan menimbulkan dan memecahkan dua masalah utama. Yang pertama adalah penilaian terhadap keakuratan pengukuran yang dilakukan. Yang kedua adalah penilaian keakuratan nilai mean aritmatika hasil pengukuran.5. Interval kepercayaan. Koefisien siswa.
Teori probabilitas memungkinkan kita menentukan ukuran interval dengan probabilitas yang diketahui w hasil pengukuran individu ditemukan. Kemungkinan ini disebut probabilitas kepercayaan, dan interval yang sesuai (<X>±D X)w ditelepon interval kepercayaan. Probabilitas kepercayaan juga sama dengan proporsi relatif hasil yang berada dalam interval kepercayaan.
Jika jumlah pengukuran N cukup besar, maka probabilitas kepercayaan menyatakan proporsi jumlah total N pengukuran yang nilai terukurnya berada dalam interval kepercayaan. Setiap probabilitas kepercayaan w sesuai dengan interval kepercayaannya w 2 80%. Semakin lebar interval kepercayaannya, semakin besar kemungkinan diperolehnya hasil dalam interval tersebut. Dalam teori probabilitas, hubungan kuantitatif dibangun antara nilai interval kepercayaan, probabilitas kepercayaan, dan jumlah pengukuran.
Jika kita memilih interval kepercayaan sebagai interval yang sesuai dengan kesalahan rata-rata, yaitu D sebuah = iklan Añ, maka untuk sejumlah pengukuran yang cukup besar, hal ini sesuai dengan probabilitas kepercayaan w 60%. Ketika jumlah pengukuran berkurang, probabilitas kepercayaan yang sesuai dengan interval kepercayaan tersebut (á Añ ± iklan Añ), menurun.
Jadi, untuk memperkirakan interval kepercayaan suatu variabel acak, dapat menggunakan nilai rata-rata kesalahan áD Añ .
Untuk mengkarakterisasi besarnya kesalahan acak, perlu ditentukan dua angka, yaitu nilai interval kepercayaan dan nilai probabilitas kepercayaan. . Menunjukkan hanya besarnya kesalahan tanpa probabilitas keyakinan yang sesuai sebagian besar tidak ada artinya.
Jika kesalahan pengukuran rata-rata ásñ diketahui, selang kepercayaan ditulis sebagai (<X> ± ásñ) w, ditentukan dengan probabilitas pasti w= 0,57.
Jika simpangan baku s diketahui distribusi hasil pengukuran, interval yang ditentukan berbentuk (<X>± tw S) w, Di mana tw- koefisien tergantung pada nilai probabilitas kepercayaan dan dihitung menggunakan distribusi Gaussian.
Besaran yang paling umum digunakan D X diberikan pada tabel 1.
PENGUKURAN KUANTITAS FISIK.
PERKENALAN
Kompleks K-402.1 mewakili daftar pekerjaan laboratorium yang diperlukan yang disediakan oleh standar pendidikan dan program kerja untuk bagian “Dinamika Benda Padat” dari disiplin ilmu “Fisika”. Meliputi uraian tentang instalasi laboratorium, tata cara pengukuran dan algoritma penghitungan besaran fisis tertentu.
Jika seorang siswa mulai mengenal suatu pekerjaan tertentu di kelas selama pembelajaran, maka waktu dua jam yang diberikan untuk menyelesaikan satu pekerjaan laboratorium tidak akan cukup baginya dan dia akan mulai tertinggal dari jadwal semester untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut. Untuk menghilangkan hal ini, standar pendidikan generasi kedua mensyaratkan 50% jam yang dialokasikan untuk mempelajari suatu disiplin ilmu digunakan untuk kerja mandiri, yang merupakan komponen penting dalam proses pembelajaran. Tujuan kerja mandiri adalah untuk memantapkan dan memperdalam pengetahuan dan keterampilan, mempersiapkan perkuliahan, kelas praktik dan laboratorium, serta mengembangkan kemandirian mahasiswa dalam memperoleh pengetahuan dan keterampilan baru.
Kurikulum untuk berbagai spesialisasi menyediakan studi mandiri disiplin “Fisika” selama semester dari 60 hingga 120 jam. Dari jumlah tersebut, kelas laboratorium memerlukan waktu 20–40 jam, atau 2–4 jam per pekerjaan. Selama ini, siswa harus: membaca paragraf yang relevan di buku teks; mempelajari rumus dan hukum dasar; menjadi akrab dengan prosedur pemasangan dan pengukuran. Untuk dapat melakukan pekerjaan instalasi, seorang siswa harus mengetahui perangkat instalasinya, mampu menentukan nilai pembagian alat ukur, mengetahui urutan pengukuran, mampu mengolah hasil pengukuran, dan mengevaluasi kesalahannya.
Setelah semua perhitungan dan penyusunan laporan, siswa harus menarik kesimpulan, yang secara khusus menunjukkan hukum-hukum fisika yang diuji selama bekerja.
Ada dua jenis pengukuran: langsung dan tidak langsung.
Pengukuran langsung adalah pengukuran yang membandingkan suatu ukuran dan suatu benda. Misalnya mengukur tinggi dan diameter silinder dengan menggunakan jangka sorong.
Dalam pengukuran tidak langsung, besaran fisis ditentukan berdasarkan rumus yang menetapkan hubungannya dengan besaran yang diperoleh melalui pengukuran langsung.
Pengukuran tidak dapat dilakukan secara akurat. Hasilnya selalu mengandung beberapa kesalahan.
Kesalahan pengukuran biasanya dibagi menjadi sistematis dan acak.
Kesalahan sistematis disebabkan oleh faktor-faktor yang bertindak dengan cara yang sama ketika pengukuran yang sama diulang berkali-kali.
Kontribusi terhadap kesalahan sistematis berasal dari instrumental atau kesalahan instrumen, yang ditentukan oleh sensitivitas perangkat. Apabila data tersebut tidak ada pada instrumen, maka kesalahan instrumen dianggap sebagai harga atau setengah harga pembagian skala terkecil instrumen tersebut.
Kesalahan acak disebabkan oleh tindakan simultan dari banyak faktor yang tidak dapat diperhitungkan. Sebagian besar pengukuran disertai dengan kesalahan acak, yang ditandai dengan setiap pengukuran berulang menghasilkan nilai yang berbeda dan tidak dapat diprediksi.
Kesalahan mutlak akan mencakup kesalahan sistematis dan acak:
. (1.1)
Nilai sebenarnya dari nilai yang diukur akan berada dalam kisaran:
yang disebut interval kepercayaan.
Untuk menentukan kesalahan acak, pertama-tama hitung rata-rata semua nilai yang diperoleh selama pengukuran:
, (1.2)
dimana hasilnya Saya-dimensi ke-th, – jumlah dimensi.
Kemudian, kesalahan pengukuran individu ditemukan
, 
, …, 
.
. (1.3)
Saat mengolah hasil pengukuran digunakan distribusi Student. Dengan mempertimbangkan koefisien Student, kesalahan acak
.
Tabel 1.1
Tabel koefisien siswa
| N | |||||
| 0,6 | 0,7 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | |
| 1,36 | 2,0 | 6,3 | 12,7 | 636,6 | |
| 1,06 | 1,3 | 2,9 | 4,3 | 31,6 | |
| 0,98 | 1,3 | 2,4 | 3,2 | 12,9 | |
| 0,94 | 1,2 | 2,1 | 2,8 | 8,7 | |
| … | … | … | … | … | … |
| 0,85 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 3,5 | |
| 0,84 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 3,4 |
Koefisien Student menunjukkan penyimpangan rata-rata aritmatika dari nilai sebenarnya, yang dinyatakan sebagai pecahan dari kesalahan kuadrat rata-rata. Koefisien Student bergantung pada banyaknya pengukuran N dan keandalan dan ditunjukkan dalam tabel. 1.1.
Kesalahan absolut dihitung menggunakan rumus
.
Dalam kebanyakan kasus, bukan kesalahan absolut, melainkan kesalahan relatif yang memainkan peran lebih signifikan
Atau 
. (1.4)
Semua hasil perhitungan dimasukkan ke dalam tabel. 1.2.
Tabel 1.2
Hasil perhitungan kesalahan pengukuran
| TIDAK. |  | ||||||||||
| mm | mm | mm | mm 2 | mm 2 | mm | mm | mm | mm | mm | % | |
Perhitungan kesalahan pengukuran tidak langsung
Dimensinya disebut lurus, jika nilai besaran ditentukan langsung oleh alat (misalnya mengukur panjang dengan penggaris, menentukan waktu dengan stopwatch, dll). Dimensinya disebut tidak langsung, jika nilai besaran yang diukur ditentukan oleh pengukuran langsung terhadap besaran lain yang berhubungan dengan hubungan tertentu yang diukur.
Kesalahan acak dalam pengukuran langsung
Kesalahan absolut dan relatif. Biarkan itu dilaksanakan N pengukuran besaran yang sama X tanpa adanya kesalahan sistematik. Hasil pengukuran individu adalah sebagai berikut: X 1 ,X 2 , …,X N. Nilai rata-rata dari nilai terukur dipilih sebagai yang terbaik:
Kesalahan mutlak suatu pengukuran disebut selisih bentuk:
.
Kesalahan absolut rata-rata N pengukuran satuan:
(2)
ditelepon kesalahan absolut rata-rata.
Kesalahan relatif Perbandingan rata-rata kesalahan mutlak dengan nilai rata-rata besaran yang diukur disebut:
.
(3)
Kesalahan instrumen dalam pengukuran langsung
Jika tidak ada instruksi khusus, kesalahan instrumen sama dengan setengah nilai pembagiannya (penggaris, gelas kimia).
Kesalahan instrumen yang dilengkapi vernier sama dengan nilai pembagian vernier (mikrometer - 0,01 mm, jangka sorong - 0,1 mm).
Kesalahan nilai tabel sama dengan setengah satuan angka terakhir (lima satuan orde berikutnya setelah angka penting terakhir).
Kesalahan alat ukur kelistrikan dihitung menurut kelas ketelitiannya DENGAN ditunjukkan pada skala instrumen:
Misalnya: 
Dan 
,
Di mana kamu maks Dan SAYA maks– batas pengukuran perangkat.
Kesalahan perangkat dengan tampilan digital sama dengan salah satu digit terakhir tampilan.
Setelah menilai kesalahan acak dan instrumental, kesalahan yang nilainya lebih besar diperhitungkan.
Perhitungan kesalahan dalam pengukuran tidak langsung
Kebanyakan pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Dalam hal ini, nilai X yang diinginkan merupakan fungsi dari beberapa variabel A,B, C… , yang nilainya dapat dicari dengan pengukuran langsung: X = f( A, B, C…).
Rata-rata aritmatika dari hasil pengukuran tidak langsung adalah:
X = f( A, B, C…).
Salah satu cara menghitung error adalah dengan membedakan logaritma natural dari fungsi X = f( A,
B,
C...). Jika, misalnya, nilai X yang diinginkan ditentukan oleh relasi X = 
, lalu setelah logaritma kita mendapatkan: lnX = ln A+dalam B+dalam( C+
D).
Perbedaan ekspresi ini berbentuk:
.
Sehubungan dengan perhitungan nilai perkiraan, kesalahan relatif dapat dituliskan dalam bentuk:
=
.
(4)
Kesalahan absolut dihitung menggunakan rumus:
Х = Х(5)
Dengan demikian, perhitungan kesalahan dan perhitungan hasil pengukuran tidak langsung dilakukan dengan urutan sebagai berikut:
1) Ukur semua besaran yang termasuk dalam rumus awal untuk menghitung hasil akhir.
2) Hitung nilai rata-rata aritmatika dari setiap nilai terukur dan kesalahan absolutnya.
3) Gantikan nilai rata-rata semua nilai terukur ke dalam rumus asli dan hitung nilai rata-rata dari nilai yang diinginkan:
X = f( A, B, C…).
4) Logaritma rumus asli X = f( A, B, C...) dan tuliskan ekspresi kesalahan relatif dalam bentuk rumus (4).
5) Hitung kesalahan relatif = 
.
6) Hitung kesalahan absolut dari hasil menggunakan rumus (5).
7) Hasil akhir ditulis sebagai:
|
X = X rata-rata X |
Kesalahan absolut dan relatif dari fungsi paling sederhana diberikan dalam tabel:
|
Mutlak kesalahan |
Relatif kesalahan |
|
|
sebuah+ B |
|
|
|
sebuah+ B |
|
|
|
Kesalahan absolut dan relatif digunakan untuk menilai ketidakakuratan dalam perhitungan yang sangat kompleks. Mereka juga digunakan dalam berbagai pengukuran dan untuk membulatkan hasil perhitungan. Mari kita lihat cara menentukan kesalahan absolut dan relatif. Kesalahan mutlakKesalahan mutlak dari nomor tersebut sebutkan selisih antara angka ini dan nilai pastinya. Untuk menghitung kesalahan absolut, Anda perlu mengurangi angka yang lebih kecil dari angka yang lebih besar. Ada rumus untuk kesalahan absolut. Mari kita nyatakan angka pastinya dengan huruf A, dan huruf a – perkiraan angka pastinya. Angka perkiraan adalah angka yang sedikit berbeda dari angka pastinya dan biasanya menggantikannya dalam perhitungan. Maka rumusnya akan terlihat seperti ini: Δa=A-a. Di atas kita telah membahas cara mencari kesalahan mutlak menggunakan rumus. Dalam praktiknya, kesalahan absolut tidak cukup untuk mengevaluasi suatu pengukuran secara akurat. Jarang sekali kita bisa mengetahui nilai pasti dari besaran yang diukur untuk menghitung kesalahan mutlak. Mengukur sebuah buku dengan panjang 20 cm dan membiarkan kesalahan 1 cm, kita dapat menganggap pengukuran tersebut memiliki kesalahan yang besar. Namun jika terjadi kesalahan 1 cm saat mengukur tembok sepanjang 20 meter, maka pengukuran tersebut dapat dianggap seakurat mungkin. Oleh karena itu, dalam praktiknya, menentukan kesalahan pengukuran relatif lebih penting. Catat kesalahan mutlak bilangan tersebut dengan menggunakan tanda ±. Misalnya , panjang gulungan kertas dinding adalah 30 m ± 3 cm. Batas kesalahan mutlak disebut kesalahan mutlak maksimum. Kesalahan relatifKesalahan relatif Mereka menyebut rasio kesalahan absolut suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Untuk menghitung kesalahan relatif dalam contoh dengan siswa, kita membagi 26 dengan 374. Kita mendapatkan angka 0,0695, mengubahnya menjadi persentase dan mendapatkan 6%. Kesalahan relatif dinyatakan dalam persentase karena merupakan besaran yang tidak berdimensi. Kesalahan relatif adalah perkiraan kesalahan pengukuran yang akurat. Jika kita mengambil kesalahan mutlak sebesar 1 cm ketika mengukur panjang ruas 10 cm dan 10 m, maka kesalahan relatifnya masing-masing adalah 10% dan 0,1%. Untuk ruas yang panjangnya 10 cm kesalahan 1 cm sangat besar, yaitu kesalahan 10%. Tapi untuk ruas sepuluh meter, 1 cm tidak masalah, hanya 0,1%. Ada kesalahan sistematis dan acak. Sistematis adalah kesalahan yang tetap tidak berubah selama pengukuran berulang. Kesalahan acak muncul sebagai akibat dari pengaruh faktor eksternal terhadap proses pengukuran dan dapat mengubah nilainya. Aturan untuk menghitung kesalahanAda beberapa aturan untuk estimasi nominal kesalahan:
Angka perkiraan dan eksak ditulis menggunakan pecahan desimal. Hanya nilai rata-rata yang diambil, karena nilai pastinya bisa sangat panjang. Untuk memahami cara menulis bilangan tersebut, Anda perlu mempelajari bilangan benar dan bilangan meragukan. Bilangan sebenarnya adalah bilangan yang pangkatnya melebihi kesalahan mutlak bilangan tersebut. Bila angka suatu angka lebih kecil dari kesalahan mutlaknya, maka disebut diragukan. Misalnya , untuk pecahan 3,6714 dengan kesalahan 0,002, angka yang benar adalah 3,6,7, dan yang diragukan adalah 1 dan 4. Hanya angka yang benar yang tersisa dalam pencatatan angka perkiraan. Pecahan dalam hal ini akan terlihat seperti ini - 3,67. Apa yang telah kita pelajari?Kesalahan absolut dan relatif digunakan untuk menilai keakuratan pengukuran. Kesalahan absolut adalah selisih antara angka eksak dan angka perkiraan. Kesalahan relatif adalah perbandingan kesalahan absolut suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Dalam praktiknya, kesalahan relatif digunakan karena lebih akurat.  
|
