Dalam matematika dan fisika, siswa dan anak sekolah sering menemukan tugas untuk besaran vektor dan untuk melakukan berbagai operasi pada mereka. Apa perbedaan antara besaran vektor dan besaran skalar yang kita kenal, satu-satunya karakteristik yang merupakan nilai numerik? Karena mereka memiliki arah.

Penggunaan besaran vektor paling jelas dijelaskan dalam fisika. Contoh paling sederhana adalah gaya (gaya gesekan, gaya elastis, berat), kecepatan dan percepatan, karena selain nilai numerik mereka juga memiliki arah aksi. Sebagai perbandingan, mari kita ambil contoh skalar: ini bisa berupa jarak antara dua titik atau massa benda. Mengapa perlu melakukan operasi pada besaran vektor seperti penjumlahan atau pengurangan? Hal ini diperlukan agar dapat menentukan hasil kerja sistem vektor yang terdiri dari 2 elemen atau lebih.

Definisi matematika vektor

Mari kita perkenalkan definisi utama yang digunakan saat melakukan operasi linier.

1. Vektor adalah segmen berarah (memiliki titik awal dan titik akhir).
2. Panjang (modulus) adalah panjang segmen yang diarahkan.
3. Vektor collinear adalah dua vektor yang sejajar dengan garis yang sama atau terletak bersamaan di atasnya.
4. Vektor yang diarahkan secara berlawanan disebut collinear dan pada saat yang sama diarahkan ke arah yang berbeda. Jika arah mereka bertepatan, maka mereka adalah co-directional.
5. Vektor adalah sama ketika mereka searah dan memiliki nilai absolut yang sama.
6. Jumlah dua vektor Sebuah dan B adalah sebuah vektor C, awal yang bertepatan dengan awal yang pertama, dan akhir - dengan akhir yang kedua, asalkan B dimulai pada titik yang sama itu berakhir Sebuah.
7. Perbedaan vektor Sebuah dan B sebut jumlah Sebuah dan ( - B ), di mana ( - B ) - berlawanan dengan vektor B. Juga, definisi perbedaan dua vektor dapat diberikan sebagai berikut: dengan perbedaan C vektor pasangan Sebuah dan B panggil ini C, yang, ketika ditambahkan ke subtrahend B membentuk pengurangan Sebuah.

Metode analitis

Metode analitik melibatkan perolehan koordinat perbedaan menurut rumus tanpa konstruksi. Dimungkinkan untuk melakukan perhitungan untuk ruang datar (dua dimensi), volumetrik (tiga dimensi) atau n-dimensi.

Untuk ruang dua dimensi dan besaran vektor Sebuah {a;a) dan B {b₁;b₂} perhitungannya akan terlihat seperti ini: C {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a – b₂}.

Dalam kasus penambahan koordinat ketiga, perhitungan akan dilakukan dengan cara yang sama, dan untuk Sebuah {a;a; a) dan B {b₁;b₂; b₃) koordinat perbedaan juga akan diperoleh dengan pengurangan berpasangan: C {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.

Menghitung perbedaan secara grafis

Untuk memplot perbedaan secara grafis, Anda harus menggunakan aturan segitiga. Untuk melakukan ini, Anda harus melakukan urutan tindakan berikut:

1. Untuk koordinat yang diberikan, buat vektor yang Anda perlukan untuk menemukan perbedaannya.
2. Gabungkan ujungnya (yaitu, buat dua segmen terarah yang sama dengan yang diberikan, yang akan berakhir pada titik yang sama).
3. Hubungkan awal dari kedua segmen yang diarahkan dan tunjukkan arahnya; yang dihasilkan akan mulai pada titik yang sama di mana vektor yang dikurangi dimulai dan berakhir pada titik awal dari vektor yang dikurangi.

Hasil operasi pengurangan ditunjukkan pada gambar di bawah ini..

Ada juga metode untuk membangun perbedaan, sedikit berbeda dari yang sebelumnya. Esensinya terletak pada penerapan teorema tentang perbedaan vektor, yang dirumuskan sebagai berikut: untuk menemukan perbedaan dari sepasang segmen yang diarahkan, cukup untuk menemukan jumlah yang pertama dari mereka dengan segmen yang berlawanan. ke yang kedua. Algoritma konstruksi akan terlihat seperti ini:

1. Bangun segmen terarah awal.
2. Yang merupakan pengurangan harus dicerminkan, yaitu, membangun segmen yang berlawanan arah dan sama; kemudian gabungkan awalnya dengan yang dikurangi.
3. Bangun penjumlahan: hubungkan awal segmen pertama dengan akhir segmen kedua.

Hasil dari keputusan ini ditunjukkan pada gambar:

Penyelesaian masalah

Untuk mengkonsolidasikan keterampilan, kami akan menganalisis beberapa tugas di mana diperlukan untuk menghitung perbedaan secara analitis atau grafis.

Tugas 1. Ada 4 titik pada bidang: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Tentukan koordinat vektor q = AB - CD, dan hitung juga panjangnya.

Keputusan. Pertama, Anda perlu menemukan koordinatnya AB dan CD. Untuk melakukan ini, kurangi koordinat titik awal dari koordinat titik akhir. Untuk AB awalnya adalah SEBUAH(1; -3), dan akhirnya - B(0; 4). Hitung koordinat segmen terarah:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Perhitungan serupa dilakukan untuk CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Sekarang, mengetahui koordinat, Anda dapat menemukan perbedaan dari vektor. Rumus untuk solusi analitik dari masalah bidang dipertimbangkan sebelumnya: untuk C = Sebuah- B koordinat terlihat seperti ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a – b₂). Untuk kasus tertentu, Anda dapat menulis:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Untuk mencari panjang q, kita menggunakan rumus | q| = √(q₁² + q²) = ((- 9)² + (- 1)²) = (81 + 1) = 82 9.06.

Tugas 2. Gambar tersebut menunjukkan vektor m, n dan p.

Hal ini diperlukan untuk membangun perbedaan untuk mereka: p- n; M- n; M-n- p. Cari tahu mana yang memiliki modulus terkecil.

Keputusan. Tugas ini membutuhkan tiga konstruksi. Mari kita lihat setiap bagian dari tugas secara lebih rinci.

Bagian 1. Untuk menggambarkan P-n, Mari kita gunakan aturan segitiga. Untuk melakukan ini, menggunakan terjemahan paralel, kami menghubungkan segmen sehingga titik akhirnya bertepatan. Sekarang mari kita hubungkan titik awal dan tentukan arahnya. Dalam kasus kami, vektor perbedaan dimulai di tempat yang sama dengan yang dikurangkan. n.

Bagian 2. Mari kita gambarkan M N. Sekarang untuk solusinya kita menggunakan teorema pada perbedaan vektor. Untuk melakukan ini, buatlah sebuah vektor yang berlawanan n, lalu cari jumlah nya dengan m. Hasilnya akan terlihat seperti ini:

Bagian 3 Untuk menemukan perbedaannya m-n-p, membagi ekspresi menjadi dua langkah. Karena hukum yang mirip dengan hukum aritmatika berlaku dalam aljabar vektor, opsi berikut dimungkinkan:

• m-(n+p): dalam hal ini, penjumlahannya dibangun terlebih dahulu t+p, yang kemudian dikurangkan dari M;
• (m-n)-p: di sini pertama Anda perlu menemukan M N, dan kemudian kurangi dari perbedaan ini P;
• (m-p)-n: tindakan pertama ditentukan m-p, setelah itu dari hasil yang Anda butuhkan untuk mengurangi n.

Karena di bagian sebelumnya dari masalah kami telah menemukan perbedaannya M N, kita hanya bisa menguranginya P. Mari kita membangun perbedaan dari dua vektor yang diberikan menggunakan teorema perbedaan. Jawabannya ditunjukkan pada gambar di bawah (merah menunjukkan hasil antara, dan hijau menunjukkan hasil akhir).

Tetap menentukan segmen mana yang memiliki modulus terkecil. Ingatlah bahwa konsep panjang dan modulus dalam matematika vektor adalah identik. Perkirakan secara visual panjangnya P- n, m-n dan M-n-p. Jelas, jawaban di bagian terakhir dari masalah adalah yang terpendek dan memiliki modulus terkecil, yaitu M-n-p.

Jumlah vektor. Panjang vektor. Teman-teman, ada sekelompok tugas dengan vektor dalam jenis ujian belakang. Tugas dengan rentang yang cukup luas (penting untuk mengetahui landasan teoretis). Sebagian besar diselesaikan secara lisan. Pertanyaan terkait untuk menemukan panjang vektor, jumlah (selisih) vektor, produk skalar. Ada juga banyak tugas, yang solusinya perlu dilakukan tindakan dengan koordinat vektor.

Teori di balik vektor sederhana dan harus dipahami dengan baik. Pada artikel ini, kami akan menganalisis tugas yang terkait dengan menemukan panjang vektor, serta jumlah (selisih) vektor. Beberapa poin teoretis:

Konsep vektor

Vektor adalah segmen garis berarah.

Semua vektor yang arahnya sama dan panjangnya sama.

*Keempat vektor di atas sama besar!

Artinya, jika kita menggunakan terjemahan paralel untuk memindahkan vektor yang diberikan kepada kita, kita akan selalu mendapatkan vektor yang sama dengan vektor aslinya. Dengan demikian, dapat ada jumlah tak terbatas dari vektor yang sama.

notasi vektor

Sebuah vektor dapat dilambangkan dengan huruf kapital Latin, misalnya:

Dengan bentuk notasi ini, huruf yang menunjukkan awal vektor ditulis terlebih dahulu, kemudian huruf yang menunjukkan akhir vektor.

Vektor lain dilambangkan dengan satu huruf alfabet Latin (kapital):

Penunjukan tanpa panah juga dimungkinkan:

Jumlah kedua vektor AB dan BC adalah vektor AC.

Ditulis sebagai AB + BC \u003d AC.

Aturan ini disebut- aturan segitiga.

Artinya, jika kita memiliki dua vektor - sebut saja mereka bersyarat (1) dan (2), dan akhir vektor (1) bertepatan dengan awal vektor (2), maka jumlah vektor ini akan menjadi vektor yang awalnya bertepatan dengan awal vektor (1) , dan akhir bertepatan dengan akhir vektor (2).

Kesimpulan: jika kita memiliki dua vektor pada bidang, kita selalu dapat menemukan jumlah mereka. Menggunakan terjemahan paralel, Anda dapat memindahkan salah satu vektor ini dan menghubungkan awal ke akhir vektor lain. Sebagai contoh:

Ayo pindahkan vektornya B, atau dengan cara lain - kita akan membangun yang sama dengannya:

Bagaimana jumlah beberapa vektor ditemukan? Dengan prinsip yang sama:

* * *

aturan jajaran genjang

Aturan ini adalah konsekuensi dari hal di atas.

Untuk vektor dengan asal yang sama, jumlah mereka diwakili oleh diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini.

Mari kita buat sebuah vektor yang sama dengan vektor B sehingga awalnya bertepatan dengan akhir vektor Sebuah, dan kita dapat membangun sebuah vektor yang akan menjadi jumlah mereka:

Beberapa informasi yang lebih penting diperlukan untuk memecahkan masalah.

Sebuah vektor yang panjangnya sama dengan yang asli, tetapi berlawanan arah, juga dilambangkan tetapi memiliki tanda yang berlawanan:

Informasi ini sangat berguna untuk memecahkan masalah di mana ada pertanyaan untuk menemukan perbedaan vektor. Seperti yang Anda lihat, perbedaan vektor adalah jumlah yang sama dalam bentuk yang dimodifikasi.

Biarkan dua vektor diberikan, temukan perbedaannya:

Kami membangun vektor yang berlawanan dengan vektor b, dan menemukan perbedaannya.

Koordinat vektor

Untuk menemukan koordinat vektor, Anda perlu mengurangi koordinat awal yang sesuai dari koordinat akhir:

Artinya, koordinat vektor adalah sepasang angka.

Jika sebuah

Dan koordinat vektor terlihat seperti:

Kemudian c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Jika sebuah

Kemudian c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

modulus vektor

Modul vektor adalah panjangnya, ditentukan oleh rumus:

Rumus untuk menentukan panjang vektor jika koordinat awal dan akhir diketahui:

Pertimbangkan tugas-tugasnya:

Dua sisi persegi panjang ABCD adalah 6 dan 8. Diagonalnya berpotongan di titik O. Tentukan panjang selisih antara vektor AO dan BO.

Mari kita cari vektor yang akan menjadi hasil dari AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Artinya, perbedaan antara vektor AO dan VO akan menjadi vektor AB. Dan panjangnya delapan.

Diagonal belah ketupat ABCD adalah 12 dan 16. Tentukan panjang vektor AB +AD.

Mari kita cari vektor yang jumlah vektor AD dan AB BC sama dengan vektor AD . Jadi AB+AD=AB+BC=AC

AC adalah panjang diagonal belah ketupat AC, sama dengan 16.

Diagonal belah ketupat ABCD berpotongan di suatu titik HAI dan sama dengan 12 dan 16. Tentukan panjang vektor AO + BO.

Mari kita cari vektor yang jumlah vektor AO dan BO BO sama dengan vektor OD,

AD adalah panjang sisi belah ketupat. Masalahnya direduksi menjadi menemukan sisi miring dalam segitiga siku-siku AOD. Mari kita hitung kakinya:

Menurut teorema Pythagoras:

Diagonal belah ketupat ABCD berpotongan di titik O dan sama dengan 12 dan 16. Tentukan panjang vektor AO –BO.

Mari kita cari vektor yang akan menjadi hasil dari AO - VO:

AB adalah panjang sisi belah ketupat. Masalahnya direduksi menjadi menemukan sisi miring AB dalam segitiga siku-siku AOB. menghitung kaki:

Menurut teorema Pythagoras:

Sisi-sisi segitiga ABC beraturan adalah 3.

Tentukan panjang vektor AB -AC.

Mari kita cari hasil dari perbedaan vektor:

CB sama dengan tiga, karena syarat segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi dan sisi-sisinya sama dengan 3.

27663. Tentukan panjang vektor a (6; 8).

27664. Temukan kuadrat dari panjang vektor AB.

Besaran matematika atau fisika dapat dinyatakan sebagai besaran skalar (nilai numerik) atau besaran vektor (besar dan arah dalam ruang).

Vektor adalah segmen garis berarah, yang ditunjukkan dengan titik batas mana yang awal dan mana yang akhir. Jadi, ada dua komponen dalam vektor - ini adalah panjang dan arahnya.

Gambar vektor pada gambar.

Saat bekerja dengan vektor, sistem koordinat Cartesian tertentu sering diperkenalkan di mana koordinat vektor ditentukan dengan menguraikannya menjadi vektor basis:

Untuk vektor yang terletak di ruang koordinat (x,y,z) dan meninggalkan titik asal

Jarak antara awal dan akhir suatu vektor disebut panjangnya, dan simbol modulus digunakan untuk menyatakan panjang suatu vektor (nilai absolutnya).

Vektor yang terletak baik pada garis yang sama atau pada garis sejajar disebut collinear. Vektor nol dianggap collinear dengan vektor apa pun. Di antara vektor-vektor collinear, dibedakan vektor-vektor berarah sama (co-directed) dan berlawanan arah. Vektor disebut koplanar jika terletak pada bidang yang sama atau pada garis lurus yang sejajar dengan bidang yang sama.

1.Panjang vektor (modulus vektor)

Panjang suatu vektor menentukan nilai skalarnya dan bergantung pada koordinatnya, tetapi tidak bergantung pada arahnya. Panjang vektor (atau modulus vektor) dihitung menggunakan akar kuadrat aritmatika dari jumlah kuadrat koordinat (komponen) vektor (aturan untuk menghitung sisi miring dalam segitiga siku-siku digunakan, di mana vektor itu sendiri menjadi sisi miring).

Melalui koordinat, modul vektor dihitung sebagai berikut:

Untuk vektor yang terletak di ruang koordinat (x,y) dan keluar dari titik asal

Untuk sebuah vektor yang terletak di ruang koordinat (x, y, z) dan keluar dari titik asal, rumusnya akan sama dengan rumus untuk diagonal dari sebuah parallelepiped persegi panjang, karena vektor dalam ruang mengambil posisi yang sama relatif terhadap koordinat sumbu.

2. Sudut antar vektor

Sudut antara dua vektor yang diplot dari satu titik adalah sudut terpendek di mana salah satu vektor harus diputar di sekitar titik asalnya ke posisi vektor kedua. Sudut antara vektor ditentukan menggunakan ekspresi untuk menentukan produk skalar vektor

Dengan demikian, kosinus sudut antara vektor sama dengan rasio produk skalar dengan produk dari panjang atau modul vektor. Rumus ini dapat digunakan jika panjang vektor dan produk skalarnya diketahui, atau vektor diberikan oleh koordinat dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang atau ruang dalam bentuk: dan .

Jika vektor A dan B diberikan dalam ruang tiga dimensi dan koordinat masing-masing diberikan dalam bentuk: dan , maka sudut antara vektor ditentukan oleh ekspresi berikut:

Perlu dicatat bahwa sudut antara vektor dan juga dapat ditentukan dengan menerapkan teorema kosinus untuk segitiga: kuadrat dari setiap sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya dikurangi dua kali produk dari sisi-sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.

dimana AB, OA, OB adalah sisi segitiga yang bersesuaian.

Teorema cosinus untuk segitiga

Berkenaan dengan kalkulus vektor, rumus ini akan ditulis ulang sebagai berikut:

Jadi, sudut antara vektor dan ditentukan oleh ekspresi berikut:

dimana dan adalah modul (panjang) vektor, dan adalah modul (panjang) vektor, yang ditentukan dari selisih dua vektor. Yang tidak diketahui memasuki persamaan ditentukan oleh koordinat vektor dan .

3. Penambahan vektor

Penjumlahan dua vektor dan (jumlah dua vektor) adalah operasi menghitung vektor , semua elemen yang sama dengan jumlah berpasangan dari elemen yang sesuai dari vektor dan . Jika vektor diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang jumlah vektor

Secara grafis, dengan posisi dua vektor bebas dapat dilakukan baik menurut aturan segitiga, dan menurut aturan jajaran genjang.

Penjumlahan dua vektor

Penambahan dua vektor geser didefinisikan hanya dalam kasus ketika garis-garis di mana mereka berada berpotongan. Penjumlahan dua vektor tetap didefinisikan hanya jika mereka memiliki asal yang sama.

aturan segitiga.

Untuk menjumlahkan dua vektor dan menurut aturan segitiga, kedua vektor ini dipindahkan sejajar dengan diri mereka sendiri sehingga awal salah satunya bertepatan dengan akhir yang lain. Kemudian jumlah vektor diberikan oleh sisi ketiga dari segitiga yang terbentuk, dan awalnya bertepatan dengan awal vektor pertama, dan akhir dengan akhir vektor kedua.

di mana adalah sudut antara vektor ketika awal satu bertepatan dengan akhir yang lain.

aturan jajaran genjang.

Untuk menjumlahkan dua vektor dan menurut aturan genjang, kedua vektor ini dipindahkan sejajar dengan diri mereka sendiri sehingga permulaannya bertepatan. Kemudian jumlah vektor diberikan oleh diagonal jajar genjang yang dibangun di atasnya, yang berasal dari asal yang sama.

Modul (panjang) dari vektor penjumlahan ditentukan oleh teorema kosinus:

di mana adalah sudut antara vektor yang keluar dari titik yang sama.

Catatan:

Seperti yang Anda lihat, tergantung pada sudut mana yang dipilih, tanda di depan kosinus sudut berubah dalam rumus untuk menentukan modul (panjang) dari vektor jumlah.

4. Perbedaan vektor

Perbedaan vektor dan (pengurangan vektor) adalah operasi menghitung vektor , semua elemen yang sama dengan perbedaan berpasangan dari elemen yang sesuai dari vektor dan . Jika vektor diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang perbedaan vektor dan dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Dalam bentuk grafik, selisih vektor dan merupakan jumlah dari vektor dan vektor yang berlawanan dengan vektor, yaitu.

Perbedaan dua vektor bebas

Perbedaan dua vektor bebas dalam bentuk grafik dapat ditentukan baik dengan aturan segitiga dan dengan aturan jajaran genjang. Modulus (panjang) dari vektor perbedaan ditentukan oleh teorema kosinus. Bergantung pada sudut yang digunakan dalam rumus, tanda di depan kosinus berubah (dibahas sebelumnya).

5. Produk titik dari vektor

Produk skalar dua vektor adalah bilangan real yang sama dengan produk dari panjang vektor yang dikalikan dan kosinus sudut di antara mereka. Produk skalar vektor dan dilambangkan dengan salah satu notasi berikut atau atau dan didefinisikan oleh rumus:

di mana adalah panjang vektor dan, masing-masing, dan adalah kosinus sudut antara vektor.

Hasil kali titik dua vektor

Produk skalar juga dapat dihitung melalui koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang di pesawat atau di ruang angkasa.

Produk skalar dua vektor pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi dalam sistem koordinat persegi panjang adalah jumlah produk dari koordinat yang sesuai dari vektor dan .

Jadi, untuk vektor dan pada bidang dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang, rumus untuk menghitung produk skalar adalah sebagai berikut:

Untuk ruang tiga dimensi, rumus untuk menghitung produk skalar vektor dan memiliki bentuk sebagai berikut:

Sifat-sifat produk skalar.

1. Sifat komutatif hasil kali skalar

2. Sifat distributif dari hasil kali skalar

3. Sifat asosiatif hasil kali skalar (asosiasi)

di mana adalah bilangan real arbitrer.

Perlu dicatat bahwa dalam hal:

Jika hasil kali titik positif, maka sudut antara vektor adalah lancip (kurang dari 90 derajat);

Jika hasil kali titik negatif, maka sudut antara vektor adalah tumpul (lebih besar dari 90 derajat);

Jika hasil kali titik adalah 0, maka vektor-vektornya ortogonal (yang terletak tegak lurus satu sama lain);

Jika hasil kali skalar sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut, maka vektor-vektor tersebut saling kolinear (sejajar).

6. Produk vektor dari vektor

Perkalian vektor dua vektor adalah vektor yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. vektor adalah ortogonal (tegak lurus) terhadap bidang vektor dan ;

Banyak besaran fisika sepenuhnya ditentukan oleh penetapan beberapa bilangan. Ini adalah, misalnya, volume, massa, kepadatan, suhu tubuh, dll. Besaran seperti itu disebut skalar. Untuk alasan ini, bilangan kadang-kadang disebut skalar. Tetapi ada juga besaran seperti itu yang ditentukan tidak hanya dengan menetapkan angka, tetapi juga dengan arah tertentu. Misalnya, ketika tubuh bergerak, seseorang harus menunjukkan tidak hanya kecepatan gerakan tubuh, tetapi juga arah gerakan. Dengan cara yang sama, ketika mempelajari aksi gaya apa pun, perlu untuk menunjukkan tidak hanya nilai gaya ini, tetapi juga arah aksinya. Besaran yang demikian disebut vektor. Untuk menggambarkannya, konsep vektor diperkenalkan, yang ternyata berguna untuk matematika.

Definisi vektor

Setiap pasangan terurut dari titik A ke B dalam ruang mendefinisikan segmen terarah, yaitu segmen bersama dengan arah yang diberikan di atasnya. Jika titik A adalah yang pertama, maka itu disebut awal segmen terarah, dan titik B disebut ujungnya. Arah segmen adalah arah dari awal sampai akhir.

Definisi
Segmen berarah disebut vektor.

Kami akan menunjukkan vektor dengan simbol \(\overrightarrow(AB) \), di mana huruf pertama berarti awal dari vektor, dan yang kedua - akhir.

Vektor yang awal dan akhirnya sama disebut nol dan dilambangkan dengan \(\vec(0) \) atau hanya 0.

Jarak antara awal dan akhir suatu vektor disebut panjang dan dilambangkan dengan \(|\overrightarrow(AB)| \) atau \(|\vec(a)| \).

Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) disebut kolinear jika mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis sejajar. Vektor collinear dapat diarahkan sama atau berlawanan.

Sekarang kita dapat merumuskan konsep penting kesetaraan dua vektor.

Definisi
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) disebut sama (\(\vec(a) = \vec(b) \)) jika searah, arahnya sama, dan panjangnya sama.

pada gambar. 1, vektor yang tidak sama ditampilkan di sebelah kiri, dan vektor yang sama \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) ditampilkan di sebelah kanan. Dari definisi persamaan vektor dapat disimpulkan bahwa jika suatu vektor tertentu digerakkan sejajar dengan vektor itu sendiri, maka akan diperoleh suatu vektor yang sama dengan vektor tersebut. Dalam hal ini, vektor dalam geometri analitik disebut Gratis.

Proyeksi vektor ke sumbu

Biarkan sumbu \(u\) dan beberapa vektor \(\overrightarrow(AB)\) diberikan dalam ruang. Mari kita menggambar melalui titik A dan B pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu \ (u \). Mari kita tunjukkan dengan A "dan B" titik-titik perpotongan bidang-bidang ini dengan sumbu (lihat Gambar 2).

Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada sumbu \(u\) adalah nilai A"B" dari segmen berarah A"B" pada sumbu \(u\). Ingat itu
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) sama dengan arah sumbu \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) berlawanan dengan arah sumbu \(u \),
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) ke sumbu \(u \) dilambangkan sebagai berikut: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

Dalil
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) ke sumbu \(u \) sama dengan panjang vektor \(\overrightarrow(AB) \) dikalikan cosinus sudut antara vektor \( \overrightarrow(AB) \) dan sumbu \( u \) , mis.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) di mana \(\varphi \) adalah sudut antara vektor \(\overrightarrow(AB) \) dan sumbu \(u \).

Komentar
Biarkan \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) dan beberapa sumbu \(u \) diberikan. Menerapkan rumus teorema untuk masing-masing vektor ini, kami memperoleh

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) mis. vektor yang sama memiliki proyeksi yang sama pada sumbu yang sama.

Proyeksi vektor pada sumbu koordinat

Biarkan sistem koordinat persegi panjang Oxyz dan vektor arbitrer \(\overrightarrow(AB) \) diberikan dalam ruang. Selanjutnya, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Proyeksi X, Y, Z dari vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada sumbu koordinat menyebutnya koordinat. Pada saat yang sama mereka menulis
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Dalil
Apapun dua titik A(x 1 ; y 1 ; z 1) dan B(x 2 ; y 2 ​​; z 2) adalah, koordinat vektor \(\overrightarrow(AB) \) didefinisikan oleh rumus berikut :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

Komentar
Jika vektor \(\overrightarrow(AB) \) meninggalkan titik asal, mis. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, maka koordinat X, Y, Z vektor \(\overrightarrow(AB) \) sama dengan koordinat ujungnya:
X=x, Y=y, Z=z.

Kosinus arah vektor

Misalkan vektor arbitrer \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); kita asumsikan bahwa \(\vec(a) \) meninggalkan titik asal dan tidak terletak pada bidang koordinat mana pun. Mari kita menggambar melalui titik A pesawat tegak lurus terhadap sumbu. Bersama-sama dengan bidang koordinat, mereka membentuk paralelepiped persegi panjang, yang diagonalnya adalah segmen OA (lihat gambar).

Diketahui dari geometri dasar bahwa kuadrat dari panjang diagonal sebuah paralelepiped persegi panjang sama dengan jumlah kuadrat dari panjang tiga dimensinya. Karena itu,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Tapi \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); dengan demikian kita mendapatkan
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
atau
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Rumus ini menyatakan panjang vektor arbitrer dalam bentuk koordinatnya.

Dilambangkan dengan \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) sudut antara vektor \(\vec(a) \) dan sumbu koordinat. Dari rumus proyeksi vektor terhadap sumbu dan panjang vektor, kita peroleh
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) dipanggil cosinus arah dari vektor \(\vec(a) \).

Mengkuadratkan sisi kiri dan kanan dari masing-masing persamaan sebelumnya dan menjumlahkan hasilnya, kita mendapatkan
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
itu. jumlah cosinus arah kuadrat dari setiap vektor sama dengan satu.

Operasi linier pada vektor dan sifat utamanya

Operasi linier pada vektor adalah operasi penjumlahan dan pengurangan vektor dan perkalian vektor dengan angka.

Penjumlahan dua vektor

Biarkan dua vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) diberikan. Jumlah \(\vec(a) + \vec(b) \) adalah vektor yang bergerak dari awal vektor \(\vec(a) \) sampai akhir vektor \(\vec(b) \) asalkan vektor \(\vec(b) \) dilampirkan ke ujung vektor \(\vec(a) \) (lihat gambar).

Komentar
Tindakan pengurangan vektor adalah kebalikan dari tindakan penambahan, yaitu. selisih \(\vec(b) - \vec(a) \) dari vektor \(\vec(b) \) dan \(\vec(a) \) adalah vektor yang bersama-sama dengan vektor \( \vec(a) ) \) memberikan vektor \(\vec(b) \) (lihat gambar).

Komentar
Setelah menentukan jumlah dari dua vektor, seseorang dapat menemukan jumlah dari sejumlah vektor yang diberikan. Misalkan, misalnya, diberikan tiga vektor \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Menambahkan \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \), kita mendapatkan vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sekarang menambahkan vektor \(\vec(c) \) ke dalamnya, kita mendapatkan vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Hasil kali vektor dengan bilangan

Misalkan sebuah vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dan sebuah bilangan \(\lambda \neq 0 \) diberikan. Perkalian \(\lambda \vec(a) \) adalah vektor yang collinear dengan vektor \(\vec(a) \), memiliki panjang sama dengan \(|\lambda| |\vec(a)| \), dan arahnya sama dengan vektor \(\vec(a) \) jika \(\lambda > 0 \), dan sebaliknya jika \(\lambda (0) \) dengan bilangan \(\lambda \neq 0 \) dapat dinyatakan sebagai berikut: jika \(|\lambda| >1 \), maka dengan mengalikan vektor \(\vec(a) \) dengan bilangan \( \lambda \) vektor \( \vec(a) \) "diregangkan" sebanyak \(\lambda \) kali, dan jika \(|\lambda| 1 \).

Jika \(\lambda =0 \) atau \(\vec(a) = \vec(0) \), maka hasil kali \(\lambda \vec(a) \) diasumsikan sama dengan vektor nol.

Komentar
Dengan menggunakan definisi perkalian vektor dengan suatu bilangan, akan mudah untuk membuktikan bahwa jika vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah collinear dan \(\vec(a) \neq \vec(0) \), maka ada (dan hanya satu) nomor \(\lambda \) sehingga \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Sifat dasar operasi linier

1. Sifat komutatif penjumlahan
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Sifat asosiatif penjumlahan
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Sifat asosiatif perkalian
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Sifat distributif terhadap jumlah bilangan
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Sifat distributif terhadap jumlah vektor
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Komentar
Sifat-sifat operasi linier ini sangat penting, karena memungkinkan untuk melakukan operasi aljabar biasa pada vektor. Misalnya, karena sifat 4 dan 5, dimungkinkan untuk melakukan perkalian polinomial skalar dengan polinomial vektor "suku demi suku".

Teorema proyeksi vektor

Dalil
Proyeksi jumlah dua vektor ke sumbu sama dengan jumlah proyeksi mereka ke sumbu ini, yaitu.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teorema dapat digeneralisasi untuk kasus sejumlah istilah.

Dalil
Saat mengalikan vektor \(\vec(a) \) dengan angka \(\lambda \), proyeksinya ke sumbu juga dikalikan dengan angka ini, mis. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

Konsekuensi
Jika \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) dan \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), maka
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Konsekuensi
Jika \(\vec(a) = (x;y;z) \), maka \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) untuk sembarang nomor \(\lambda \)

Dari sini mudah untuk menyimpulkan kondisi kolinearitas dua vektor dalam koordinat.
Memang, persamaan \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) sama dengan persamaan \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) atau
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) yaitu. vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah collinear jika dan hanya jika koordinatnya proporsional.

Penguraian vektor dalam hal basis

Biarkan vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) menjadi vektor satuan dari sumbu koordinat, mis. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), dan masing-masing berarah sama dengan sumbu koordinat yang sesuai (lihat gambar). Tiga vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) disebut dasar.
Teorema berikut berlaku.

Dalil
Setiap vektor \(\vec(a) \) dapat diperluas secara unik dalam basis \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), yaitu. disajikan dalam bentuk
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
di mana \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) adalah beberapa angka.