Ketika mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.

Apa itu barisan aritmatika?

Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang sedang dibahas, serta memberikan rumus-rumus dasar yang akan digunakan lebih lanjut dalam memecahkan masalah.

Aritmatika atau adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan beberapa nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret angka yang berurutan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika.

Mari kita ambil contoh. Barisan bilangan selanjutnya adalah barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi kumpulan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).

Rumus penting

Kami sekarang memberikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Misalkan a n menyatakan anggota ke-n dari barisan, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya dilambangkan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini benar:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami contoh deret aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun dibangun berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal

Kami memberikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya.

Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Mari kita hitung selisihnya terlebih dahulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, seseorang dapat mengambil dua istilah lain yang berdiri bersebelahan. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih dari progresi yang bersangkutan, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti gambar di atas (d = -2). Diketahui suku pertama a 1 = 10, kita gunakan rumus bilangan n barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan d dari progresi adalah negatif. Barisan demikian disebut menurun karena setiap suku yang berurutan lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika.

Diketahui bahwa pada beberapa deret aljabar suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.

Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. Kita dapat memberikan contoh berikut: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar agar tiga suku lagi cocok di antara keduanya.

Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu dipahami tempat yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini selisihnya bukan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus deret aljabar tetap sama.

Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.

Contoh #4: Anggota pertama dari progresi

Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.

Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tulis ekspresi untuk setiap istilah yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.

Sistem yang ditentukan paling mudah untuk diselesaikan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.

Biarkan deret angka dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?

Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Sangat mengherankan untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah suku dari n ke m

Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah sukunya dari 8 hingga 14.

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan memecah tugas umum menjadi subtugas yang terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan istilah a n dan a m).

Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

IV Yakovlev | Materi tentang matematika | MathUs.ru

Deret aritmatika

Deret aritmatika adalah jenis barisan yang khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan barisan aritmatika (dan kemudian geometris), kita perlu membahas secara singkat konsep penting barisan bilangan.

selanjutnya

Bayangkan sebuah perangkat di layar yang beberapa nomornya ditampilkan satu demi satu. Katakanlah 2; 7; 13; satu; 6; 0; 3; : : : Himpunan bilangan tersebut hanyalah contoh barisan.

Definisi. Barisan numerik adalah sekumpulan angka di mana setiap angka dapat diberi nomor unik (yaitu, berkorespondensi dengan satu bilangan asli)1. Bilangan dengan bilangan n disebut anggota ke-n dari barisan tersebut.

Jadi, dalam contoh di atas, angka pertama memiliki angka 2, yang merupakan anggota pertama dari barisan, yang dapat dilambangkan dengan a1 ; nomor lima memiliki nomor 6 yang merupakan anggota kelima dari urutan, yang dapat dilambangkan a5 . Secara umum, anggota ke-n dari suatu barisan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dll.).

Situasi yang sangat nyaman adalah ketika anggota urutan ke-n dapat ditentukan oleh beberapa rumus. Misalnya, rumus an = 2n 3 menentukan urutannya: 1; satu; 3; lima; 7; : : : Rumus an = (1)n mendefinisikan barisan: 1; satu; satu; satu; : : :

Tidak setiap himpunan bilangan merupakan barisan. Jadi, segmen bukan urutan; itu berisi 'terlalu banyak' nomor untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.

Perkembangan aritmatika: definisi dasar

Sekarang kita siap untuk mendefinisikan deret aritmatika.

Definisi. Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku (dimulai dari yang kedua) sama dengan jumlah dari suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap (disebut selisih dari barisan aritmatika).

Misalnya, urutan 2; lima; delapan; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Barisan 7; 2; 3; delapan; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisih 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah barisan aritmatika dengan selisih nol.

Definisi Setara: Suatu barisan an disebut barisan aritmatika jika selisih an+1 an adalah suatu nilai konstan (tidak bergantung pada n).

Suatu barisan aritmatika dikatakan naik jika selisihnya positif, dan menurun jika selisihnya negatif.

1 Dan berikut adalah definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya, barisan bilangan real adalah fungsi f:N! R.

Secara default, urutan dianggap tak terbatas, yaitu, berisi jumlah angka yang tak terbatas. Tapi tidak ada yang peduli untuk mempertimbangkan urutan yang terbatas juga; sebenarnya, setiap himpunan bilangan berhingga dapat disebut barisan berhingga. Misalnya, urutan terakhir 1; 2; 3; 4; 5 terdiri dari lima angka.

Rumus anggota ke-n dari deret aritmatika

Sangat mudah untuk memahami bahwa deret aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua angka: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, muncul pertanyaan: bagaimana, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, menemukan suku sembarang dari suatu deret aritmatika?

Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang diinginkan untuk suku ke-n dari suatu deret aritmatika. Biarkan

barisan aritmatika dengan selisih d. Kita punya:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Secara khusus, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan sekarang menjadi jelas bahwa rumus untuk an adalah:
an = a1 + (n 1)d:

Tugas 1. Dalam deret aritmatika 2; lima; delapan; sebelas; : : : temukan rumus suku ke-n dan hitung suku keseratusnya.

Keputusan. Menurut rumus (1) kita memiliki:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda deret aritmatika

sifat-sifat deret aritmatika. Dalam deret aritmatika untuk sembarang

Dengan kata lain, setiap anggota barisan aritmatika (dimulai dari yang kedua) adalah rata-rata aritmatika dari anggota tetangga.

	Bukti. Kita punya:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

yang adalah apa yang dibutuhkan.

Secara umum, deret aritmatika memenuhi persamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk n > 2 dan k alami apa pun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata rumus (2) tidak hanya merupakan syarat perlu tetapi juga syarat yang cukup untuk suatu barisan menjadi barisan aritmatika.

Tanda barisan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an adalah barisan aritmatika.

Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:

a na n 1 = a n+1a n:

Hal ini menunjukkan bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya berarti bahwa barisan an merupakan barisan aritmatika.

Sifat dan tanda suatu deret aritmatika dapat dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka (ini adalah situasi yang sering terjadi dalam masalah).

Karakterisasi barisan aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk barisan aritmatika jika dan hanya jika 2b = a + c.

Soal 2. (Universitas Negeri Moskow, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 yang diurutkan membentuk barisan aritmatika menurun. Temukan x dan tulis perbedaan dari deret ini.

Keputusan. Dengan properti dari deret aritmatika, kami memiliki:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jika x = 1, maka diperoleh penurunan sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh peningkatan sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak berhasil.

Jawab: x = 1, selisihnya 6.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Legenda mengatakan bahwa suatu kali guru menyuruh anak-anak untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100 dan duduk untuk membaca koran dengan tenang. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki mengatakan bahwa dia telah memecahkan masalah tersebut. Itu adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah.

Ide Little Gauss adalah ini. Biarlah

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Mari kita tulis jumlah ini dalam urutan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambahkan dua rumus ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap suku di dalam kurung sama dengan 101, dan ada 100 suku secara total.Oleh karena itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan ide ini untuk mendapatkan rumus jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Modifikasi yang berguna dari rumus (3) diperoleh dengan mengganti rumus suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Tugas 3. Temukan jumlah semua bilangan tiga digit positif yang habis dibagi 13.

Keputusan. Bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan 13 membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisihnya 13; Suku ke-n dari barisan tersebut adalah:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita cari tahu berapa banyak anggota yang terkandung dalam progres kami. Untuk melakukan ini, kami memecahkan ketidaksetaraan:

sebuah 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi ada 69 anggota dalam perkembangan kami. Menurut rumus (4) kami menemukan jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Sebelum kita mulai memutuskan masalah deret aritmatika, pertimbangkan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.

Barisan numerik adalah himpunan numerik, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor urut dari elemen urutan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama dari urutan;

Elemen kelima dari urutan;

- elemen "n" dari urutan, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.

Ada ketergantungan antara nilai elemen urutan dan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari suatu elemen barisan. Dengan kata lain, seseorang dapat mengatakan bahwa urutannya adalah fungsi dari argumen alami:

Urutan dapat ditentukan dalam tiga cara:

1 . Urutan dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup mengatur nilai setiap anggota barisan.

Misalnya, Seseorang memutuskan untuk melakukan manajemen waktu pribadi, dan untuk memulainya, menghitung berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte selama seminggu. Dengan menuliskan waktu dalam sebuah tabel, ia akan mendapatkan barisan yang terdiri dari tujuh unsur:

Baris pertama tabel berisi nomor hari dalam seminggu, baris kedua - waktu dalam menit. Kami melihat bahwa, yaitu, pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat, hanya 15.

2 . Urutan dapat ditentukan menggunakan rumus anggota ke-n.

Dalam hal ini, ketergantungan nilai elemen urutan pada nomornya dinyatakan secara langsung sebagai rumus.

Misalnya, jika , maka

Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan suatu bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus anggota ke-n.

Kami melakukan hal yang sama jika kami perlu mencari nilai fungsi jika nilai argumen diketahui. Kami mengganti nilai argumen sebagai gantinya dalam persamaan fungsi:

Jika, misalnya, , kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahwa dalam urutan, berbeda dengan fungsi numerik arbitrer, hanya bilangan asli yang bisa menjadi argumen.

3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai anggota barisan dengan bilangan n pada nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, tidak cukup hanya mengetahui jumlah anggota barisan untuk menemukan nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan.

Misalnya, perhatikan urutannya ,

Kita dapat menemukan nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:

Artinya, setiap kali mencari nilai anggota ke-n dari barisan, kita kembali ke dua sebelumnya. Cara pengurutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.

Sekarang kita dapat mendefinisikan deret aritmatika. Deret aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari barisan numerik.

Deret aritmatika disebut urutan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama.

Nomor tersebut disebut perbedaan barisan aritmatika. Selisih deret aritmatika dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

Jika judul="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.

Misalnya, 2; lima; delapan; sebelas;...

Jika , maka setiap suku pada barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah memudar.

Misalnya, 2; -satu; -4; -7;...

Jika , maka semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah Perlengkapan tulis.

Misalnya, 2;2;2;2;...

Properti utama dari deret aritmatika:

Mari kita lihat gambarnya.

Kami melihat itu

, dan pada saat yang sama

Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:

.

Bagilah kedua ruas persamaan dengan 2:

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang bertetangga:

Apalagi sejak

, dan pada saat yang sama

, kemudian

, dan karenanya

Setiap anggota deret aritmatika dimulai dengan title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

rumus anggota ke.

Kami melihat bahwa untuk anggota deret aritmatika, hubungan berikut berlaku:

dan akhirnya

Kita punya rumus suku ke-n.

PENTING! Setiap anggota deret aritmatika dapat dinyatakan dalam dan . Mengetahui suku pertama dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, Anda dapat menemukan salah satu anggotanya.

Jumlah n anggota barisan aritmatika.

Dalam deret aritmatika arbitrer, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:

Pertimbangkan deret aritmatika dengan n anggota. Biarkan jumlah n anggota deret ini sama dengan .

Susunlah suku-suku perkembangan terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, kemudian dalam urutan menurun:

Mari kita pasangkan:

Jumlah dalam setiap kurung adalah , jumlah pasangan adalah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n anggota deret aritmatika dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Mempertimbangkan memecahkan masalah deret aritmatika.

1 . Barisan tersebut diberikan oleh rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan ini merupakan barisan aritmatika.

Mari kita buktikan bahwa selisih antara dua anggota barisan yang berdekatan sama dengan bilangan yang sama.

Kami telah memperoleh bahwa perbedaan dua anggota yang berdekatan dari barisan tidak bergantung pada jumlah mereka dan adalah konstan. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah deret aritmatika.

2 . Diberikan deret aritmatika -31; -27;...

a) Tentukan 31 suku dari progresi tersebut.

b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam deret ini.

sebuah) Kami melihat bahwa ;

Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dari gerak maju kita.

Secara umum

Dalam kasus kami , Itu sebabnya

Deret aritmatika dan geometrik

Informasi teoretis

Informasi teoretis

	Deret aritmatika	Perkembangan geometris
Definisi	Deret aritmatika sebuah urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya, ditambah dengan nomor yang sama d (d- perbedaan perkembangan)	deret geometri b n disebut barisan bilangan bukan nol, setiap suku yang dimulai dari yang kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama q (q- penyebut kemajuan)
Rumus berulang	Untuk alam apa pun n a n + 1 = a n + d	Untuk alam apa pun n b n + 1 = b n q, b n 0
rumus suku ke-n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 q n - 1, b n 0
properti karakteristik
Jumlah n suku pertama

Contoh tugas dengan komentar

Latihan 1

Dalam barisan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2

Menurut rumus suku ke-n:

22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 hari

Dengan kondisi:

sebuah 1= -6, jadi 22= -6 + 21d.

Perbedaan progresi perlu dicari:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Menjawab : 22 = -48.

Tugas 2

Tentukan suku kelima dari deret geometri: -3; 6;....

Cara pertama (menggunakan rumus suku-n)

Menurut rumus anggota ke-n dari deret geometri:

b 5 \u003d b 1 q 5 - 1 = b 1 q 4.

Sebagai b 1 = -3,

Cara ke-2 (menggunakan rumus rekursif)

Karena penyebut dari barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : b 5 = -48.

Tugas 3

Dalam barisan aritmatika ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Tentukan suku ke tujuh puluh lima dari deret ini.

Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristik memiliki bentuk .

Karena itu:

.

Substitusikan data ke dalam rumus:

Jawaban: 95.

Tugas 4

Dalam barisan aritmatika ( a n ) a n= 3n - 4. Temukan jumlah tujuh belas suku pertama.

Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, digunakan dua rumus:

.

Manakah dari mereka yang lebih nyaman untuk diterapkan dalam kasus ini?

Dengan syarat, rumus anggota ke-n dari perkembangan asli diketahui ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Dapat ditemukan segera dan sebuah 1, dan 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kami menggunakan rumus pertama.

Jawaban: 368.

Tugas 5

Dalam deret aritmatika sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.

Menurut rumus suku ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21 hari.

Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, maka 22= -6 + 21d. Perbedaan progresi perlu dicari:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : 22 = -48.

Tugas 6

Beberapa suku berurutan dari barisan geometri dicatat:

Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x .

Saat memecahkan, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n b n \u003d b 1 q n - 1 untuk deret geometri. Anggota pertama dari perkembangan. Untuk menemukan penyebut dari perkembangan q, Anda perlu mengambil salah satu dari suku-suku dari perkembangan ini dan membaginya dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, Anda dapat mengambil dan membagi dengan. Kami mendapatkan q \u003d 3. Alih-alih n, kami mengganti 3 dalam rumus, karena perlu untuk menemukan suku ketiga dari deret geometri yang diberikan.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kami mendapatkan:

.

Menjawab : .

Tugas 7

Dari deret aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilih salah satu yang memenuhi syarat 27 > 9:

Karena kondisi yang ditentukan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari progresi, kami mengganti 27 alih-alih n di masing-masing dari empat progresi. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:

.

Jawaban: 4.

Tugas 8

Dalam deret aritmatika sebuah 1= 3, d = -1.5. Tentukan nilai n terbesar yang dimiliki pertidaksamaan sebuah > -6.

Deret aritmatika sebutkan urutan angka (anggota perkembangan)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan istilah baja, yang juga disebut perbedaan langkah atau kemajuan.

Jadi, dengan menetapkan langkah dari progresi dan suku pertamanya, Anda dapat menemukan salah satu elemennya menggunakan rumus

Sifat-sifat deret aritmatika

1) Setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari angka kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan selanjutnya

Kebalikannya juga benar. Jika rata-rata aritmatika anggota ganjil (genap) tetangga dari barisan sama dengan anggota yang berdiri di antara mereka, maka barisan bilangan ini adalah barisan aritmatika. Dengan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Juga oleh properti deret aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut:

Ini mudah untuk memverifikasi jika kita menulis istilah di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam masalah.

2) Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dihitung dengan rumus

Ingat dengan baik rumus untuk jumlah deret aritmatika, itu sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup umum dalam situasi kehidupan yang sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu menemukan jumlah keseluruhan, tetapi bagian dari barisan yang dimulai dari anggota ke-k, maka rumus jumlah berikut akan berguna bagi Anda

4) Kepentingan praktis adalah menemukan jumlah n anggota deret aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Di sinilah materi teoretis berakhir dan kami beralih ke pemecahan masalah yang umum dalam praktik.

Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh dari barisan aritmatika 4;7;...

Larutan:

Sesuai dengan kondisi, kami memiliki

Tentukan langkah kemajuan

Menurut rumus terkenal, kami menemukan suku keempat puluh dari perkembangan

Contoh2. Deret aritmatika diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama dari deret dan jumlah sepuluh.

Larutan:

Kami menulis elemen perkembangan yang diberikan sesuai dengan rumus

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangan

Nilai yang ditemukan diganti ke dalam salah satu persamaan untuk menemukan suku pertama dari deret aritmatika

Hitung jumlah sepuluh suku pertama dari perkembangan

Tanpa menerapkan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua nilai yang diperlukan.

Contoh 3. Suatu barisan aritmatika diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Tentukan suku pertama dari deret tersebut, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah dari 100 suku pertama.

Larutan:

Mari kita tulis rumus untuk elemen keseratus dari progresi

dan temukan yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kami menemukan suku ke-50 dari perkembangan

Menemukan jumlah bagian dari progresi

dan jumlah dari 100 yang pertama

Jumlah perkembangannya adalah 250.

Contoh 4

Tentukan banyaknya anggota barisan aritmatika jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Larutan:

Kami menulis persamaan dalam hal suku pertama dan langkah dari perkembangan dan mendefinisikannya

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus jumlah untuk menentukan jumlah istilah dalam jumlah

Membuat penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadrat

Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi soal. Jadi jumlah delapan suku pertama dari barisan tersebut adalah 111.

Contoh 5

selesaikan persamaannya

1+3+5+...+x=307.

Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari deret aritmatika. Kami menulis suku pertamanya dan menemukan perbedaan dari perkembangannya