Memecahkan persamaan metode derajat yang lebih tinggi. Persamaan derajat yang lebih tinggi Metode untuk memecahkan persamaan n

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Dalam matematika, persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat cukup umum. Untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, Anda perlu:

Tentukan akar rasional persamaan;

Faktorkan polinomial yang ada di sisi kiri persamaan;

Temukan akar persamaan.

Misalkan kita diberi persamaan jenis berikut:

Mari kita temukan semua akar aslinya. Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengan \

Mari kita ubah variabel \

Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan tereduksi derajat keempat, yang diselesaikan sesuai dengan algoritma standar: kami memeriksa pembagi, melakukan pembagian, dan sebagai hasilnya kami menemukan bahwa persamaan memiliki dua akar real \ dan dua kompleks yang. Kami mendapatkan jawaban berikut untuk persamaan derajat keempat kami:

Di mana saya bisa memecahkan persamaan kekuatan yang lebih tinggi secara online dengan pemecah?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

Metode penyelesaian persamaan: n n n Penggantian persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x) Faktorisasi. Pengenalan variabel baru. Fungsional - metode grafis. Pemilihan akar. Penerapan formula Vieta.

Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x). Metode hanya dapat diterapkan jika y = h(x) adalah fungsi monoton yang mengambil setiap nilainya satu kali. Jika fungsinya tidak monoton, maka hilangnya akar dimungkinkan.

Selesaikan persamaan (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ fungsi naik, jadi dari persamaan (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ Anda bisa menuju ke persamaan 3 x + 2 \u003d 5 x - 9, dari mana kami menemukan x \u003d 5,5 Jawaban: 5,5.

Faktorisasi. Persamaan f(x)g(x)h(x) = 0 dapat diganti dengan himpunan persamaan f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Setelah menyelesaikan persamaan himpunan ini, Anda perlu mengambil akar-akar yang termasuk dalam domain definisi persamaan asli, dan membuang sisanya sebagai asing.

Selesaikan persamaan x³ - 7 x + 6 = 0 Mewakili suku 7 x sebagai x + 6 x, kita peroleh secara berurutan: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) = 0 (x - 1)(x² + x - 6) = 0 Sekarang masalahnya direduksi menjadi penyelesaian serangkaian persamaan x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Jawaban: 1, 2, - 3.

Pengenalan variabel baru. Jika persamaan y(x) = 0 dapat diubah ke bentuk p(g(x)) = 0, maka Anda perlu memasukkan variabel baru u = g(x), selesaikan persamaan p(u) = 0, dan kemudian selesaikan himpunan persamaan g( x) = u 1; g(x) = u2; … ; g(x) = un , di mana u 1, u 2, … , un adalah akar-akar persamaan p(u) = 0.

Memecahkan persamaan Fitur persamaan ini adalah persamaan koefisien sisi kirinya, yang berjarak sama dari ujungnya. Persamaan seperti itu disebut timbal balik. Karena 0 bukan akar dari persamaan ini, membagi dengan x² menghasilkan

Mari kita perkenalkan variabel baru Kemudian Kita mendapatkan persamaan kuadrat Jadi akar y 1 = - 1 dapat diabaikan. Kami mendapatkan Jawabannya: 2, 0, 5.

Selesaikan persamaan 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 Persamaan ini dapat diselesaikan secara homogen. Bagi kedua ruas persamaan dengan (x² - 7 x +12)² (jelas bahwa nilai x sedemikian rupa sehingga x² - 7 x +12=0 bukan solusi). Sekarang mari kita tunjukkan We Have From Here Answer:

Fungsional - metode grafis. Jika salah satu fungsi y \u003d f (x), y \u003d g (x) meningkat, dan yang lainnya berkurang, maka persamaan f (x) \u003d g (x) tidak memiliki akar atau memiliki satu akar.

Memecahkan persamaan Sangat jelas bahwa x = 2 adalah akar dari persamaan. Mari kita buktikan bahwa ini adalah satu-satunya akar. Kami mengubah persamaan ke bentuk Kami melihat bahwa fungsi meningkat, dan fungsi menurun. Jadi persamaan hanya memiliki satu akar. Jawaban: 2.

Pemilihan akar n n n Teorema 1: Jika suatu bilangan bulat m adalah akar suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat, maka suku konstanta polinomial tersebut habis dibagi m. Teorema 2: Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak memiliki akar pecahan. Teorema 3: – persamaan dengan bilangan bulat Biarkan koefisien. Jika bilangan dan pecahan di mana p dan q adalah bilangan bulat tidak dapat direduksi, adalah akar persamaan, maka p adalah pembagi dari suku bebas an, dan q adalah pembagi koefisien pada suku tertinggi a 0.

teorema Bezout. Sisanya saat membagi polinomial apa pun dengan binomial (x - a) sama dengan nilai polinomial yang habis dibagi di x = a. Konsekuensi dari teorema Bezout n n n n Perbedaan pangkat identik dari dua bilangan habis dibagi tanpa sisa oleh selisih bilangan yang sama; Perbedaan pangkat genap yang identik dari dua bilangan habis dibagi tanpa sisa baik oleh selisih bilangan-bilangan ini maupun dengan jumlah mereka; Perbedaan pangkat ganjil yang identik dari dua bilangan tidak habis dibagi dengan jumlah bilangan-bilangan ini; Jumlah pangkat yang sama dari dua bukan angka habis dibagi dengan selisih angka-angka ini; Jumlah pangkat ganjil yang identik dari dua bilangan habis dibagi tanpa sisa dengan jumlah bilangan-bilangan ini; Jumlah pangkat genap yang identik dari dua bilangan tidak dapat dibagi baik oleh selisih bilangan-bilangan ini maupun dengan jumlah mereka; Polinomial habis dibagi oleh binomial (x - a) jika dan hanya jika bilangan a adalah akar dari polinomial ini; Jumlah akar-akar yang berbeda dari polinomial bukan-nol tidak lebih dari derajatnya.

Selesaikan persamaan x³ - 5 x² - x + 21 = 0 Polinomial x³ - 5 x² - x + 21 memiliki koefisien bilangan bulat. Berdasarkan Teorema 1, akar bilangan bulatnya, jika ada, termasuk di antara pembagi dari suku bebas: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa angka 3 adalah akar. Dengan akibat wajar dari teorema Bezout, polinomial habis dibagi (x – 3). Jadi, x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). Menjawab:

Selesaikan persamaan 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 Menurut Teorema 1, hanya bilangan ± 1 yang dapat menjadi akar bilangan bulat dari persamaan tersebut. Pemeriksaan menunjukkan bahwa bilangan-bilangan ini bukan akar-akar. Karena persamaan tidak direduksi, persamaan tersebut dapat memiliki akar rasional pecahan. Mari kita temukan mereka. Untuk melakukannya, kalikan kedua ruas persamaan dengan 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Dengan mensubstitusi 2 x = t, kita mendapatkan t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Dengan Terem 2, semua akar rasional dari persamaan tereduksi ini harus utuh. Mereka dapat ditemukan di antara pembagi suku konstan: ± 1, ± 2, ± 4. Dalam hal ini, t \u003d - 1. Oleh karena itu, polinomial 2 x³ - 5 x² - x + 1 habis dibagi ( x + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Memecahkan persamaan kuadrat 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0, kita temukan akar yang tersisa: Jawaban:

Selesaikan persamaan 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 Menurut Teorema 3, akar-akar rasional dari persamaan ini harus dicari di antara bilangan-bilangan tersebut, dengan mensubstitusikannya satu per satu ke dalam persamaan, kita peroleh bahwa mereka memenuhi persamaan. Mereka menghabiskan semua akar persamaan. Menjawab:

Tentukan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 Dengan teorema Vieta Perhatikan bahwa dari mana

Tentukan metode dimana masing-masing persamaan ini dapat diselesaikan. Selesaikan Persamaan #1, 4, 15, 17.

Jawaban dan instruksi: 1. Pengenalan variabel baru. 2. Fungsional - metode grafis. 3. Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x). 4. Faktorisasi. 5. Pemilihan akar. 6 Secara fungsional - metode grafis. 7. Penerapan formula Vieta. 8. Pemilihan akar. 9. Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x). 10. Pengenalan variabel baru. 11. Faktorisasi. 12. Pengenalan variabel baru. 13. Pemilihan akar. 14. Penerapan formula Vieta. 15. Fungsional - metode grafis. 16. Faktorisasi. 17. Pengenalan variabel baru. 18. Faktorisasi.

1. Instruksi. Tulis persamaannya sebagai 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Bagi kedua ruas dengan x². Masukkan variabel Jawaban: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. Indikasi. Tambahkan 6 y dan - 6 y ke ruas kiri persamaan dan tuliskan sebagai (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 y - delapan). Menjawab:

14. Instruksi. Menurut teorema Vieta Karena - adalah bilangan bulat, maka hanya angka - 1, - 2, - 3 yang dapat menjadi akar persamaan Jawaban: 15. Jawaban: - 1. 17. Indikasi. Bagi kedua ruas persamaan dengan x² dan tuliskan sebagai Masukkan variabel Jawaban: 1; limabelas; 2; 3.

Bibliografi. n n n Kolmogorov A. N. “Aljabar dan Awal Analisis, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 2003). Bashmakov M. I. "Aljabar dan awal analisis, 10 - 11" (M.: Pendidikan, 1993). Mordkovich A. G. "Aljabar dan awal analisis, 10 - 11" (M.: Mnemozina, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. dkk. “Aljabar dan Awal Analisis, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. "Kumpulan masalah dalam aljabar, 8 - 9" (M.: Pendidikan, 1997). Karp A.P. "Kumpulan masalah dalam aljabar dan analisis awal, 10 - 11" (M.: Pendidikan, 1999). Sharygin I. F. "Kursus opsional dalam matematika, pemecahan masalah, 10" (M.: Pendidikan. 1989). Skopets Z. A. "Bab tambahan dalam kursus matematika, 10" (M.: Pendidikan, 1974). Litinsky G.I. "Pelajaran dalam Matematika" (Moskow: Aslan, 1994). Muravin G. K. "Persamaan, ketidaksetaraan dan sistemnya" (Matematika, suplemen untuk surat kabar "First of September", No. 2, 3, 2003). Kolyagin Yu. M. "Polinomial dan persamaan derajat yang lebih tinggi" (Matematika, suplemen untuk surat kabar "First of September", No. 3, 2005).

Trifanova Marina Anatolievna
Guru matematika, Gimnasium No. 48 (multiprofil)

Tujuan tritunggal pelajaran:

Pendidikan:
sistematisasi dan generalisasi pengetahuan tentang pemecahan persamaan derajat yang lebih tinggi.
Mengembangkan:
untuk mempromosikan pengembangan pemikiran logis, kemampuan untuk bekerja secara mandiri, keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri, kemampuan untuk berbicara dan mendengarkan.
Pengasuhan:
pengembangan kebiasaan kerja konstan, pendidikan responsif, kerja keras, akurasi.

Jenis pelajaran:

pelajaran dalam aplikasi terpadu pengetahuan, keterampilan dan kemampuan.

Formulir Pelajaran:

penayangan, menit fisik, berbagai bentuk pekerjaan.

Peralatan:

catatan referensi, kartu tugas, matriks pemantauan pelajaran.

SELAMA KELAS

I. Momen organisasi

  1. Komunikasikan tujuan pelajaran kepada siswa.
  2. Memeriksa pekerjaan rumah (Lampiran 1). Bekerja dengan abstrak dasar (Lampiran 2).

Persamaan dan jawaban untuk masing-masing ditulis di papan tulis. Siswa memeriksa jawaban dan memberikan analisis singkat solusi untuk setiap persamaan atau menjawab pertanyaan guru (survei frontal). Kontrol diri - siswa memberikan nilai pada diri mereka sendiri dan menyerahkan buku catatan kepada guru untuk memeriksa koreksi nilai atau persetujuan mereka. Nilai sekolah tertulis di papan tulis:

"5+" - 6 persamaan;
"5" - 5 persamaan;
"4" - 4 persamaan;
"3" - 3 persamaan.

Pertanyaan guru untuk pekerjaan rumah:

1 persamaan

  1. Apa perubahan variabel dalam persamaan?
  2. Persamaan apa yang diperoleh setelah perubahan variabel?

2 persamaan

  1. Polinomial apa yang membagi kedua ruas persamaan?
  2. Substitusi variabel apa yang diperoleh?

3 persamaan

  1. Polinomial apa yang perlu dikalikan untuk menyederhanakan solusi persamaan ini?

4 persamaan

  1. Namakan fungsi f(x).
  2. Bagaimana akar lainnya ditemukan?

5 persamaan

  1. Berapa interval yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan tersebut?

6 persamaan

  1. Bagaimana persamaan ini dapat diselesaikan?
  2. Solusi mana yang lebih rasional?

II. Kerja kelompok adalah bagian utama dari pelajaran.

Kelas dibagi menjadi 4 kelompok. Setiap kelompok diberikan kartu dengan pertanyaan teoretis dan praktis (Lampiran 3): "Bongkar metode yang diusulkan untuk menyelesaikan persamaan dan jelaskan menggunakan contoh ini."

  1. Kerja kelompok 15 menit.
  2. Contoh ditulis di papan tulis (papan dibagi menjadi 4 bagian).
  3. Laporan kelompok membutuhkan waktu 2-3 menit.
  4. Guru mengoreksi laporan kelompok dan membantu jika ada kesulitan.

Kerja kelompok dilanjutkan pada kartu No. 5 - 8. Untuk setiap persamaan diberikan waktu 5 menit untuk diskusi dalam kelompok. Kemudian papan tulis memiliki laporan tentang persamaan ini - analisis singkat dari solusinya. Persamaan mungkin tidak sepenuhnya diselesaikan - sedang diselesaikan di rumah, tetapi seluruh urutan penyelesaiannya di kelas dibahas.

AKU AKU AKU. Pekerjaan mandiri. Lampiran 4.

  1. Setiap siswa menerima tugas individu.
  2. Pekerjaan memakan waktu 20 menit.
  3. 5 menit sebelum pelajaran berakhir, guru memberikan jawaban terbuka untuk setiap persamaan.
  4. Siswa mengubah buku catatan dalam lingkaran dan memeriksa jawaban dengan teman. Memberi peringkat.
  5. Buku catatan diserahkan kepada guru untuk diperiksa dan dikoreksi nilai.

IV. Ringkasan pelajaran.

Pekerjaan rumah.

Menyelesaikan solusi persamaan yang tidak lengkap. Siapkan untuk pemotongan kontrol.

Penilaian.

Tujuan dasar:

  1. Untuk mengkonsolidasikan konsep persamaan rasional bilangan bulat derajat.
  2. Merumuskan metode utama untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3).
  3. Untuk mengajarkan metode dasar untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi.
  4. Untuk mengajar dengan bentuk persamaan untuk menentukan cara yang paling efektif untuk menyelesaikannya.

Bentuk, metode, dan teknik pedagogis yang digunakan guru di kelas:

  • Sistem kuliah-seminar pelatihan (ceramah - penjelasan materi baru, seminar - pemecahan masalah).
  • Teknologi informasi dan komunikasi (survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas).
  • Pelatihan dibedakan, bentuk kelompok dan individu.
  • Penggunaan metode penelitian dalam pengajaran, bertujuan untuk mengembangkan aparatus matematis dan kemampuan mental setiap individu siswa.
  • Materi tercetak - ringkasan individual dari pelajaran (konsep dasar, rumus, pernyataan, materi kuliah dikompresi dalam bentuk diagram atau tabel).

Rencana belajar:

  1. Mengatur waktu.
    Tujuan tahapan: mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pembelajaran, menentukan isi pelajaran.
  2. Memperbarui pengetahuan siswa.
    Tujuan dari tahap: untuk memperbarui pengetahuan siswa tentang topik terkait yang dipelajari sebelumnya
  3. Mempelajari topik baru (ceramah). Tujuan dari tahap: untuk merumuskan metode utama untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3)
  4. Meringkas.
    Tujuan dari tahap: untuk sekali lagi menyoroti poin-poin penting dalam materi yang dipelajari dalam pelajaran.
  5. Pekerjaan rumah.
    Tujuan tahapan: merumuskan pekerjaan rumah bagi siswa.

Ringkasan pelajaran

1. Momen organisasi.

Kata-kata dari topik pelajaran: “Persamaan derajat yang lebih tinggi. Metode untuk solusi mereka”.

2. Aktualisasi pengetahuan siswa.

Survei teoretis - percakapan. Pengulangan beberapa informasi yang dipelajari sebelumnya dari teori. Siswa merumuskan definisi dasar dan memberikan pernyataan teorema yang diperlukan. Contoh diberikan, menunjukkan tingkat pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

  • Konsep persamaan dengan satu variabel.
  • Konsep akar persamaan, solusi persamaan.
  • Konsep persamaan linear dengan satu variabel, konsep persamaan kuadrat dengan satu variabel.
  • Konsep kesetaraan persamaan, persamaan-konsekuensi (konsep akar asing), transisi bukan karena konsekuensi (kasus hilangnya akar).
  • Konsep ekspresi rasional keseluruhan dengan satu variabel.
  • Konsep seluruh persamaan rasional n derajat. Bentuk standar dari seluruh persamaan rasional. Mengurangi seluruh persamaan rasional.
  • Transisi ke himpunan persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
  • Konsep polinomial n derajat dari x. teorema Bezout. Konsekuensi dari teorema Bezout. Teorema akar ( Z-akar dan Q-akar) dari seluruh persamaan rasional dengan koefisien bilangan bulat (masing-masing dikurangi dan tidak dikurangi).
  • skema Horner.

3. Mempelajari topik baru.

Kami akan mempertimbangkan seluruh persamaan rasional n pangkat dari bentuk standar dengan satu variabel yang tidak diketahui x:Pn(x)= 0, dimana P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinomial n derajat dari x, sebuah n 0 . Jika sebuah sebuah n = 1 maka persamaan tersebut disebut persamaan rasional utuh tereduksi n derajat. Mari kita pertimbangkan persamaan tersebut untuk nilai yang berbeda n dan daftar metode utama dari solusi mereka.

n= 1 adalah persamaan linier.

n= 2 adalah persamaan kuadrat. Formula diskriminan. Rumus untuk menghitung akar. teorema Vieta. Pemilihan persegi penuh.

n= 3 adalah persamaan kubik.

metode pengelompokan.

Contoh: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x2 = 1,x 3 = -1.

Persamaan kubik timbal balik dari bentuk kapak 3 + bx 2 + bx + sebuah= 0. Kami menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku dengan koefisien yang sama.

Contoh: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Pemilihan akar-Z berdasarkan teorema. skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencacahan dalam hal ini terbatas, dan kami memilih akar sesuai dengan algoritma tertentu sesuai dengan teorema pada Z-akar dari seluruh persamaan rasional tereduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Persamaan direduksi. Kami menulis pembagi dari istilah bebas ( + 1; + 3; + 5; + limabelas). Mari kita terapkan skema Horner:

x 3 x 2 x 1 x 0 kesimpulan
1 -9 23 -15
1 1 1 x 1 - 9 = -8 1 x (-8) + 23 = 15 1 x 15 - 15 = 0 1 - akar
x 2 x 1 x 0

Kita mendapatkan ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q berdasarkan teorema. skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencacahan dalam hal ini terbatas dan kami memilih akar sesuai dengan algoritma tertentu sesuai dengan teorema pada Q-akar dari seluruh persamaan rasional yang tidak direduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Persamaan tidak dikurangi. Kami menulis pembagi dari istilah bebas ( + 1; + 3). Mari kita tuliskan pembagi koefisien pada pangkat tertinggi dari yang tidak diketahui. ( + 1; + 3; + 9) Oleh karena itu, kami akan mencari akar di antara nilai-nilai ( + 1; + ; + ; + 3). Mari kita terapkan skema Horner:

x 3 x 2 x 1 x 0 kesimpulan
9 27 -1 -3
1 9 1 x 9 + 27 = 36 1 x 36 - 1 = 35 1 x 35 - 3 = 32 0 1 bukan akar
-1 9 -1 x 9 + 27 = 18 -1 x 18 - 1 = -19 -1 x (-19) - 3 = 16 0 -1 bukan akar
9 x9 + 27 = 30 x 30 - 1 = 9 x 9 - 3 = 0 akar
x 2 x 1 x 0

Kita mendapatkan ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Untuk kemudahan perhitungan saat memilih Q -akar akan lebih mudah untuk membuat perubahan variabel, buka persamaan di atas dan sesuaikan Z -akar.

  • Jika intersep adalah 1
.

  • Jika memungkinkan untuk menggunakan substitusi formulir y=kx
.

Formula Cardano. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan kubik - ini adalah rumus Cardano. Rumus ini dikaitkan dengan nama-nama matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), Scipio del Ferro (1465–1526). Formula ini berada di luar cakupan kursus kami.

n= 4 adalah persamaan derajat keempat.

metode pengelompokan.

Contoh: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Metode penggantian variabel.

  • Persamaan biquadratic dari bentuk kapak 4 + bx 2+s = 0 .

Contoh: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. Pergantian kamu = x 2. Dari sini kamu 1 = 4, kamu 2 = -9. Jadi x 1,2 = + 2 .

  • Persamaan timbal balik dari derajat keempat bentuk kapak 4 + bx 3+c x 2 + bx + sebuah = 0.

Kami memecahkan dengan menggabungkan istilah dengan koefisien yang sama dengan mengganti bentuk

  • kapak 4 + bx 3 + cx 2 – bx + sebuah = 0.

  • Persamaan mundur umum dari tingkat keempat dari bentuk kapak 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

  • Penggantian umum. Beberapa substitusi standar.

Contoh 3 . Penggantian tampilan umum(berikut dari bentuk persamaan tertentu).

n = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q n = 3.

rumus umum. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat. Rumus ini dikaitkan dengan nama Ludovico Ferrari (1522-1565). Formula ini berada di luar cakupan kursus kami.

n > 5 - persamaan derajat kelima dan lebih tinggi.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Z berdasarkan teorema. skema Horner. Algoritma ini mirip dengan yang dibahas di atas untuk n = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q berdasarkan teorema. skema Horner. Algoritma ini mirip dengan yang dibahas di atas untuk n = 3.

Persamaan simetris. Setiap persamaan timbal balik yang berderajat ganjil memiliki akar x= -1 dan setelah diuraikan menjadi faktor-faktor, kita mendapatkan bahwa salah satu faktor memiliki bentuk ( x+ 1), dan faktor kedua adalah persamaan timbal balik dengan derajat genap (derajatnya lebih kecil satu derajat dari derajat persamaan aslinya). Setiap persamaan timbal balik dari derajat genap bersama-sama dengan akar bentuk x = juga mengandung akar bentuk . Dengan menggunakan pernyataan-pernyataan ini, kita memecahkan masalah dengan menurunkan derajat persamaan yang dipelajari.

Metode penggantian variabel. Penggunaan homogenitas.

Tidak ada rumus umum untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat lima (ini ditunjukkan oleh ahli matematika Italia Paolo Ruffini (1765–1822) dan matematikawan Norwegia Nils Henrik Abel (1802–1829)) dan pangkat yang lebih tinggi (ini ditunjukkan oleh orang Prancis matematikawan Evariste Galois (1811–1832) )).

  • Ingat lagi bahwa dalam praktiknya adalah mungkin untuk menggunakan kombinasi metode yang tercantum di atas. Lebih mudah untuk meneruskan ke satu set persamaan derajat yang lebih rendah dengan faktorisasi dari persamaan asli.
  • Di luar ruang lingkup diskusi kita hari ini, ada banyak digunakan dalam praktik metode grafis menyelesaikan persamaan dan metode solusi perkiraan persamaan derajat yang lebih tinggi.
  • Ada situasi ketika persamaan tidak memiliki akar-R.
    •  Kemudian solusinya turun untuk menunjukkan bahwa persamaan tidak memiliki akar. Untuk membuktikan ini, kami menganalisis perilaku fungsi yang dipertimbangkan pada interval monotonisitas. Contoh: Persamaan x 8 – x 3 + 1 = 0 tidak memiliki akar.
  • Menggunakan sifat monoton dari fungsi
    • . Ada situasi ketika penggunaan berbagai properti fungsi memungkinkan kita untuk menyederhanakan tugas.
    Contoh 1: Persamaan x 5 + 3x– 4 = 0 memiliki satu akar x= 1. Dengan sifat monotonisitas dari fungsi yang dianalisis, tidak ada akar lain.
    Contoh 2: Persamaan x 4 + (x– 1) 4 = 97 memiliki akar x 1 = -2 dan x 2 = 3. Setelah menganalisis perilaku fungsi yang bersesuaian pada interval monotonisitas, kami menyimpulkan bahwa tidak ada akar lain.

4. Menyimpulkan.

Ringkasan: Sekarang kita telah menguasai metode dasar untuk memecahkan berbagai persamaan derajat yang lebih tinggi (untuk n > 3). Tugas kita adalah mempelajari cara efektif menggunakan algoritme di atas. Bergantung pada jenis persamaan, kita harus belajar bagaimana menentukan metode solusi mana yang paling efektif dalam kasus ini, serta menerapkan metode yang dipilih dengan benar.

5. Pekerjaan rumah.

: butir 7, hal 164-174, nomor 33-36, 39-44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Kemungkinan topik laporan atau abstrak tentang topik ini:

  • Formula Cardano
  • Metode grafis untuk memecahkan persamaan. Contoh solusi.
  • Metode untuk solusi perkiraan persamaan.

Analisis asimilasi materi dan minat siswa pada topik:

Pengalaman menunjukkan bahwa minat siswa di tempat pertama adalah kemungkinan memilih Z-akar dan Q-akar persamaan menggunakan algoritma yang cukup sederhana menggunakan skema Horner. Siswa juga tertarik pada berbagai jenis standar substitusi variabel, yang secara signifikan dapat menyederhanakan jenis masalah. Metode grafis solusi biasanya menarik. Dalam hal ini, Anda juga dapat mengurai tugas menjadi metode grafis untuk menyelesaikan persamaan; membahas gambaran umum graf polinomial 3, 4, 5 derajat; menganalisis bagaimana jumlah akar persamaan 3, 4, 5 derajat terkait dengan jenis grafik yang sesuai. Di bawah ini adalah daftar buku di mana Anda dapat menemukan informasi tambahan tentang topik ini.

Bibliografi:

  1. Vilenkin N.Ya. dll. “Aljabar. Buku teks untuk siswa kelas 9 dengan studi mendalam tentang matematika ”- M., Education, 2007 - 367 hal.
  2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Di balik halaman buku teks matematika. Hitung. Aljabar. Kelas 10-11” – M., Pencerahan, 2008 – 192 hal.
  3. Vygodsky M.Ya."Buku Pegangan matematika" - M., AST, 2010 - 1055 hal.
  4. Galitsky M.L.“Kumpulan masalah dalam aljabar. Buku teks untuk kelas 8-9 dengan studi mendalam tentang matematika ”- M., Pendidikan, 2008 - 301 hal.
  5. Zvavich L.I. et al “Aljabar dan Awal Analisis. 8–11 sel Manual untuk sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam ”- M., Drofa, 1999 - 352 hal.
  6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N."Tugas dalam matematika untuk mempersiapkan ujian tertulis di kelas 9" - M., Pendidikan, 2007 - 112 hal.
  7. Ivanov A.A., Ivanov A.P."Tes tematik untuk sistematisasi pengetahuan dalam matematika" bagian 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 hal.
  8. Ivanov A.A., Ivanov A.P."Tes tematik untuk sistematisasi pengetahuan dalam matematika" bagian 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 hal.
  9. Ivanov A.P.“Ujian dan ulangan dalam matematika. Tutor". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 hal.
  10. Leibson K.L.“Kumpulan tugas-tugas praktis dalam matematika. Bagian 2–9 kelas” – M., MTsNMO, 2009 – 184 hal.
  11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Aljabar. Bab tambahan untuk buku teks sekolah kelas 9. Buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi mendalam tentang matematika.” - M., Pendidikan, 2006 - 224 hal.
  12. Mordkovich A.G."Aljabar. Studi mendalam. kelas 8. Buku teks” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 hal.
  13. Savin A.P.“Kamus Ensiklopedis Ahli Matematika Muda” - M., Pedagogi, 1985 - 352 hal.
  14. Survillo G.S., Simonov A.S.“Materi didaktik tentang aljabar untuk kelas 9 dengan studi mendalam tentang matematika” - M., Education, 2006 - 95 hal.
  15. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata kuliah matematika sekolah. Kuliah 1-4” – M., 1 September 2006 – 88 hal.
  16. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata kuliah matematika sekolah. Kuliah 5–8” – M., 1 September 2009 – 84 hal.

Secara umum, persamaan yang memiliki derajat lebih tinggi dari 4 tidak dapat diselesaikan secara radikal. Tetapi kadang-kadang kita masih dapat menemukan akar polinomial di sebelah kiri dalam persamaan derajat tertinggi, jika kita menyatakannya sebagai produk polinomial dengan derajat tidak lebih dari 4. Solusi persamaan tersebut didasarkan pada dekomposisi polinomial menjadi faktor, jadi kami menyarankan Anda untuk meninjau topik ini sebelum mempelajari artikel ini.

Paling sering, kita harus berurusan dengan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat. Dalam kasus ini, kita dapat mencoba mencari akar rasional, dan kemudian memfaktorkan polinomialnya sehingga kita dapat mengubahnya menjadi persamaan dengan derajat yang lebih rendah, yang akan mudah diselesaikan. Dalam kerangka materi ini, kami hanya akan mempertimbangkan contoh-contoh seperti itu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat

Semua persamaan berbentuk a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , kita dapat mereduksinya menjadi persamaan dengan derajat yang sama dengan mengalikan kedua ruas dengan a n n - 1 dan mengubah variabel bentuk y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Koefisien yang dihasilkan juga akan bilangan bulat. Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan tereduksi derajat ke-n dengan koefisien bilangan bulat, yang berbentuk x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Kami menghitung akar bilangan bulat dari persamaan. Jika persamaan memiliki akar bilangan bulat, Anda perlu mencarinya di antara pembagi dari suku bebas a 0. Mari kita tuliskan dan substitusikan ke persamaan asli satu per satu, periksa hasilnya. Setelah kita memperoleh identitas dan menemukan salah satu akar persamaan, kita dapat menuliskannya dalam bentuk x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Di sini x 1 adalah akar persamaan, dan P n - 1 (x) adalah hasil bagi dari x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dibagi x - x 1 .

Substitusikan sisa pembagi pada P n - 1 (x) = 0 , dimulai dengan x 1 , karena akarnya dapat diulang. Setelah mendapatkan identitas, akar x 2 dianggap ditemukan, dan persamaan dapat ditulis sebagai (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Di sini P n - 2 (x ) akan menjadi hasil bagi dari membagi P n - 1 (x) dengan x - x 2 .

Kami terus memilah-milah pembagi. Temukan semua akar bilangan bulat dan nyatakan jumlahnya sebagai m. Setelah itu, persamaan awal dapat direpresentasikan sebagai x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Di sini P n - m (x) adalah polinomial dengan derajat ke-n - m. Untuk perhitungan akan lebih mudah menggunakan skema Horner.

Jika persamaan asli kita memiliki koefisien bilangan bulat, kita tidak bisa mendapatkan akar pecahan.

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan P n - m (x) = 0, yang akar-akarnya dapat ditemukan dengan cara apa pun yang mudah. Mereka bisa irasional atau kompleks.

Mari kita tunjukkan pada contoh spesifik bagaimana skema solusi seperti itu diterapkan.

Contoh 1

Kondisi: tentukan solusi dari persamaan x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan mencari akar bilangan bulat.

Kami memiliki intersep sama dengan minus tiga. Ini memiliki pembagi sama dengan 1 , - 1 , 3 dan - 3 . Mari kita substitusikan ke dalam persamaan asli dan lihat mana yang akan memberikan identitas sebagai hasilnya.

Untuk x sama dengan satu, kita mendapatkan 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, yang berarti bahwa satu akan menjadi akar persamaan ini.

Sekarang mari kita bagi polinomial x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 dengan (x - 1) menjadi kolom:

Jadi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Kami mendapat identitas, yang berarti kami menemukan akar persamaan lain, sama dengan - 1.

Kami membagi polinomial x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dengan (x + 1) dalam kolom:

Kami mengerti

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Kita substitusikan pembagi berikutnya ke dalam persamaan x 2 + x + 3 = 0, mulai dari - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Persamaan yang dihasilkan akan salah, yang berarti persamaan tersebut tidak lagi memiliki akar bilangan bulat.

Akar yang tersisa akan menjadi akar dari ekspresi x 2 + x + 3 .

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

Dari sini dapat disimpulkan bahwa trinomial kuadrat ini tidak memiliki akar real, tetapi ada konjugat kompleks: x = - 1 2 ± i 11 2 .

Mari kita klarifikasi bahwa alih-alih membagi menjadi kolom, skema Horner dapat digunakan. Ini dilakukan seperti ini: setelah kami menentukan akar pertama persamaan, kami mengisi tabel.

Dalam tabel koefisien, kita dapat langsung melihat koefisien hasil bagi dari pembagian polinomial, yang berarti x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Setelah menemukan akar berikutnya, sama dengan - 1 , kita mendapatkan yang berikut:

Menjawab: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.

Contoh 2

Kondisi: selesaikan persamaan x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Keputusan

Anggota bebas memiliki pembagi 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .

Mari kita periksa secara berurutan:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Jadi x = 2 akan menjadi akar persamaan. Bagilah x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 dengan x - 2 menggunakan skema Horner:

Hasilnya, kita mendapatkan x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Jadi 2 lagi akan menjadi root. Bagi x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 dengan x - 2:

Hasilnya, kita mendapatkan (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Memeriksa pembagi yang tersisa tidak masuk akal, karena persamaan x 2 + 3 x + 3 = 0 lebih cepat dan lebih nyaman untuk diselesaikan menggunakan diskriminan.

Selesaikan persamaan kuadrat:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Kami mendapatkan pasangan akar konjugat kompleks: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Menjawab: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Contoh 3

Kondisi: tentukan akar real dari persamaan x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Keputusan

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Kami melakukan perkalian 2 3 dari kedua bagian persamaan:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Kami mengganti variabel y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Akibatnya, kami mendapat persamaan standar tingkat ke-4, yang dapat diselesaikan sesuai dengan skema standar. Mari kita periksa pembagi, bagi dan pada akhirnya kita dapatkan bahwa ia memiliki 2 akar real y \u003d - 2, y \u003d 3 dan dua yang kompleks. Kami tidak akan menyajikan seluruh solusi di sini. Berdasarkan penggantian, akar real dari persamaan ini adalah x = y 2 = - 2 2 = - 1 dan x = y 2 = 3 2 .

Menjawab: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

ARTIKEL TERKAIT