Kalkulator untuk menyelesaikan luas trapesium lengkung. Mencari luas trapesium lengkung

Faktanya, untuk menemukan luas bangun, Anda tidak perlu banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Tugas "menghitung luas menggunakan integral tertentu" selalu melibatkan konstruksi gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda akan menjadi masalah yang jauh lebih relevan. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan grafik fungsi dasar utama, dan, setidaknya, dapat membangun garis lurus, dan hiperbola.

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada segmen yang tidak berubah tanda pada interval ini. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang absis:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) memiliki arti geometris yang sangat baik.

Dalam geometri, integral tertentu adalah luas.

Yaitu, integral tertentu (jika ada) sesuai secara geometris dengan luas beberapa gambar. Sebagai contoh, pertimbangkan integral tertentu . Integral mendefinisikan kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (mereka yang ingin dapat menyelesaikan gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Momen pertama dan terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BAIK.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:

Menjawab:

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, sepertinya itu benar. Cukup jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesalahan dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak benar.

Contoh 3

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis dan sumbu koordinat.

Keputusan: Mari kita membuat gambar:

Jika trapesium lengkung terletak di bawah as(atau setidaknya tidak lebih tinggi diberikan sumbu), maka luasnya dapat ditemukan dengan rumus:

Pada kasus ini:

Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.

2) Jika Anda diminta untuk mencari luas bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari masalah sekolah yang paling sederhana, kami beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Keputusan: Pertama, Anda harus menyelesaikan gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Oleh karena itu, batas bawah integrasi , batas atas integrasi .

Cara terbaik adalah untuk tidak menggunakan metode ini jika memungkinkan..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Kami kembali ke tugas kami: lebih rasional untuk membangun garis lurus terlebih dahulu dan baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambar:

Dan sekarang rumus kerjanya: Jika ada beberapa fungsi kontinu pada interval lebih besar dari atau sama beberapa fungsi kontinu, maka luas gambar yang dibatasi oleh grafik fungsi dan garis lurus ini, dapat ditemukan dengan rumus:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana sosok itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, itu penting bagan mana yang DI ATAS(relatif terhadap grafik lain), dan yang BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu dikurangi dari

Penyelesaian solusi mungkin terlihat seperti ini:

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Contoh 4

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Keputusan: Mari kita membuat gambar terlebih dahulu:

Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru.(perhatikan baik-baik kondisinya - bagaimana angkanya terbatas!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, "kesalahan" sering terjadi, sehingga Anda perlu menemukan area gambar yang diarsir dengan warna hijau!

Contoh ini juga berguna karena di dalamnya luas gambar dihitung menggunakan dua integral tertentu.

Betulkah:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Sangat jelas bahwa area dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

integral tertentu. Bagaimana cara menghitung luas suatu bangun?

Kami sekarang beralih ke pertimbangan aplikasi kalkulus integral. Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis tugas yang khas dan paling umum. Cara menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas bangun datar. Akhirnya, mereka yang mencari makna dalam matematika yang lebih tinggi - semoga mereka menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan pondok musim panas dengan fungsi dasar dan menemukan luasnya menggunakan integral tertentu.

Untuk berhasil menguasai materi, Anda harus:

1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Jadi, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.

2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman integral tertentu. Contoh solusi.

Sebenarnya, semua orang sudah familiar dengan masalah mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kami akan maju sedikit dari kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi kenyataannya adalah bahwa masalah terjadi pada 99 kasus dari 100, ketika seorang siswa disiksa oleh menara yang dibenci dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika yang lebih tinggi.

Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.

Mari kita mulai dengan trapesium lengkung.

Trapesium lengkung disebut bangun datar dibatasi oleh sumbu , garis lurus , dan grafik fungsi kontinu pada segmen yang tidak berubah tanda pada interval ini. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang absis:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) memiliki arti geometris yang sangat baik. Pada pelajaran integral tertentu. Contoh solusi Saya mengatakan bahwa integral tertentu adalah bilangan. Dan sekarang saatnya untuk menyatakan fakta berguna lainnya. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah luas.

Yaitu, integral tertentu (jika ada) secara geometris sesuai dengan luas beberapa gambar. Sebagai contoh, pertimbangkan integral tertentu . Integral mendefinisikan kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (mereka yang ingin dapat menyelesaikan gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Momen pertama dan terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BAIK.

Saat membuat cetak biru, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik untuk membangun semua garis (jika ada) dan hanya setelah- parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Grafik fungsi lebih menguntungkan untuk dibangun poin demi poin, dengan teknik konstruksi titik dapat ditemukan di bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna dalam kaitannya dengan pelajaran kita - cara membuat parabola dengan cepat.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):

Saya tidak akan menetas trapesium lengkung, jelas di sini area apa dalam pertanyaan. Solusinya terus seperti ini:

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:

Menjawab:

Siapa yang kesulitan menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz? , lihat kuliah integral tertentu. Contoh solusi.

Contoh 2

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , dan sumbu

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah as?

Contoh 3

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis dan sumbu koordinat.

Keputusan: Mari kita membuat gambar:

Jika trapesium lengkung terletak di bawah as(atau setidaknya tidak lebih tinggi diberikan sumbu), maka luasnya dapat ditemukan dengan rumus:
Pada kasus ini:

Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.

2) Jika Anda diminta untuk mencari luas bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Contoh 4

Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Oleh karena itu, batas bawah integrasi , batas atas integrasi .
Cara terbaik adalah untuk tidak menggunakan metode ini jika memungkinkan..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Teknik konstruksi poin demi poin untuk berbagai bagan dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Kami kembali ke tugas kami: lebih rasional untuk membangun garis lurus terlebih dahulu dan baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambar:

Saya ulangi bahwa dengan konstruksi titik, batas integrasi paling sering ditemukan "secara otomatis".

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, itu penting bagan mana yang DI ATAS(relatif terhadap grafik lain), dan yang BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu dikurangi dari

Penyelesaian solusi mungkin terlihat seperti ini:

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Sebenarnya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung di setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) adalah kasus khusus dari rumus . Karena sumbu diberikan oleh persamaan , dan grafik fungsi terletak tidak lebih tinggi sumbu, maka

Dan sekarang beberapa contoh untuk keputusan independen

Contoh 5

Contoh 6

Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis , .

Dalam menyelesaikan soal menghitung luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambar dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kurangnya perhatian ... menemukan area gambar yang salah, begitulah pelayanmu yang patuh mengacau beberapa kali. Berikut adalah kasus kehidupan nyata:

Contoh 7

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Keputusan: Mari kita membuat gambar terlebih dahulu:

...Eh, gambarnya keluar omong kosong, tapi semuanya tampak terbaca.

Contoh ini juga berguna karena di dalamnya luas gambar dihitung menggunakan dua integral tertentu. Betulkah:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Sangat jelas bahwa area dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Menjawab:

Mari kita beralih ke satu tugas yang lebih bermakna.

Contoh 8

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk "sekolah", dan lakukan gambar titik demi titik:

Dapat dilihat dari gambar bahwa batas atas kita adalah “baik”: .
Tapi apa batas bawahnya? Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa? Mungkin ? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, mungkin saja hasilnya seperti itu. Atau akar. Bagaimana jika kita tidak mendapatkan grafik yang benar sama sekali?

Dalam kasus seperti itu, seseorang harus menghabiskan waktu tambahan dan memperbaiki batas integrasi secara analitis.

Mari kita cari titik potong garis dan parabola.
Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan:

,

Betulkah, .

Solusi selanjutnya sepele, yang utama jangan bingung dalam pergantian dan tanda, perhitungan di sini bukan yang termudah.

Di segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Nah, sebagai penutup pelajaran, kami akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sulit.

Contoh 9

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Keputusan: Gambarlah sosok ini dalam gambar.

Sial, saya lupa menandatangani jadwal, dan mengulang gambar, maaf, bukan hotz. Bukan menggambar, singkatnya, hari ini adalah harinya =)

Untuk konstruksi titik demi titik, perlu diketahui kenampakan sinusoidal (dan secara umum berguna untuk mengetahui grafik dari semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, mereka dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti dalam kasus ini), diperbolehkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada prinsipnya harus ditampilkan dengan benar.

Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini, mereka mengikuti langsung dari kondisi: - "x" berubah dari nol menjadi "pi". Kami membuat keputusan lebih lanjut:

Pada segmen, grafik fungsi terletak di atas sumbu, oleh karena itu:

Kami mulai mempertimbangkan proses aktual menghitung integral ganda dan berkenalan dengan makna geometrisnya.

Integral ganda secara numerik sama dengan luas bangun datar (daerah integrasi). Ini adalah bentuk integral ganda yang paling sederhana, ketika fungsi dua variabel sama dengan satu: .

Mari kita pertimbangkan masalah secara umum. Sekarang Anda akan terkejut betapa sederhananya itu! Mari kita hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis. Untuk kepastian, kita asumsikan bahwa pada interval . Luas gambar ini secara numerik sama dengan:

Mari kita gambarkan area dalam gambar:

Mari kita pilih cara pertama untuk melewati area:

Dengan demikian:

Dan segera trik teknis yang penting: integral berulang dapat dipertimbangkan secara terpisah. Pertama integral dalam, kemudian integral luar. Metode ini sangat dianjurkan untuk pemula dalam topik teko.

1) Hitung integral internal, sedangkan integrasi dilakukan atas variabel "y":

Integral tak tentu di sini adalah yang paling sederhana, dan kemudian digunakan rumus dangkal Newton-Leibniz, dengan satu-satunya perbedaan bahwa batas integral bukanlah bilangan, tetapi fungsi. Pertama, kita substitusikan batas atas ke "y" (fungsi antiturunan), lalu batas bawahnya

2) Hasil yang diperoleh pada paragraf pertama harus disubstitusikan ke dalam integral luar:

Notasi yang lebih ringkas untuk seluruh solusi terlihat seperti ini:

Rumus yang dihasilkan - ini persis rumus kerja untuk menghitung luas bangun datar menggunakan integral pasti "biasa"! Lihat pelajaran Menghitung luas menggunakan integral tertentu, itu dia di setiap kesempatan!

Yaitu, masalah menghitung luas menggunakan integral ganda sedikit berbeda dari masalah mencari luas menggunakan integral tertentu! Faktanya, mereka adalah satu dan sama!

Dengan demikian, tidak ada kesulitan yang muncul! Saya tidak akan mempertimbangkan banyak contoh, karena Anda, pada kenyataannya, telah berulang kali mengalami masalah ini.

Contoh 9

Keputusan: Mari kita gambarkan area dalam gambar:

Mari kita pilih urutan traversal wilayah berikut:

Di sini dan di bawah, saya tidak akan membahas cara melintasi suatu area karena paragraf pertama sangat detail.

Dengan demikian:

Seperti yang sudah saya catat, lebih baik bagi pemula untuk menghitung integral berulang secara terpisah, saya akan mengikuti metode yang sama:

1) Pertama, dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita berurusan dengan integral internal:

2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama disubstitusikan ke integral luar:

Poin 2 sebenarnya adalah mencari luas bangun datar menggunakan integral tertentu.

Menjawab:

Inilah tugas yang bodoh dan naif.

Contoh aneh untuk solusi independen:

Contoh 10

Menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , ,

Contoh solusi akhir di akhir pelajaran.

Dalam Contoh 9-10, jauh lebih menguntungkan menggunakan metode pertama untuk melewati area; pembaca yang penasaran, dapat mengubah urutan pintasan dan menghitung area dengan cara kedua. Jika Anda tidak melakukan kesalahan, maka, secara alami, nilai area yang sama diperoleh.

Tetapi dalam beberapa kasus, cara kedua untuk memotong area lebih efektif, dan sebagai kesimpulan dari perjalanan seorang kutu buku muda, kami akan mempertimbangkan beberapa contoh lagi tentang topik ini:

Contoh 11

Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis.

Keputusan: kami menantikan dua parabola dengan angin sepoi-sepoi yang terletak di sisi mereka. Tak perlu tersenyum, hal serupa pada integral berganda sering kita jumpai.

Apa cara termudah untuk membuat gambar?

Mari kita nyatakan parabola sebagai dua fungsi:
- cabang atas dan - cabang bawah.

Demikian pula, bayangkan parabola sebagai bagian atas dan bawah ranting.

Selanjutnya, drive plot poin demi poin, menghasilkan sosok yang begitu aneh:

Luas gambar dihitung menggunakan integral ganda sesuai dengan rumus:

Apa jadinya jika kita memilih jalan pertama untuk melewati area tersebut? Pertama, area ini harus dibagi menjadi dua bagian. Dan kedua, kita akan mengamati gambaran menyedihkan ini: . Integral, tentu saja, bukan dari tingkat yang super kompleks, tetapi ... ada pepatah matematika kuno: siapa yang bersahabat dengan akar, dia tidak membutuhkan set-off.

Oleh karena itu, dari kesalahpahaman yang diberikan dalam kondisi, kami menyatakan fungsi invers:

Fungsi invers dalam contoh ini memiliki keuntungan bahwa mereka segera mengatur seluruh parabola tanpa daun, biji, cabang dan akar.

Menurut metode kedua, area traversal akan menjadi sebagai berikut:

Dengan demikian:

Seperti yang mereka katakan, rasakan perbedaannya.

1) Kita berurusan dengan integral internal:

Kami mengganti hasilnya ke integral luar:

Integrasi atas variabel "y" seharusnya tidak memalukan, jika ada huruf "zyu" - akan lebih bagus untuk mengintegrasikannya. Meskipun siapa yang membaca paragraf kedua dari pelajaran Bagaimana cara menghitung volume benda revolusi, dia tidak lagi mengalami rasa malu sedikit pun dengan integrasi atas "y".

Perhatikan juga langkah pertama: integran genap, dan segmen integrasi simetris terhadap nol. Oleh karena itu, segmennya bisa dibelah dua, dan hasilnya bisa dua kali lipat. Teknik ini dikomentari secara rinci dalam pelajaran. Metode Efisien untuk Menghitung Integral Pasti.

Apa yang harus ditambahkan…. Semuanya!

Menjawab:

Untuk menguji teknik integrasi Anda, Anda dapat mencoba menghitung . Jawabannya harus sama persis.

Contoh 12

Menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis

Ini adalah contoh do-it-yourself. Sangat menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mencoba menggunakan cara pertama untuk melewati area tersebut, maka sosok itu tidak akan lagi dibagi menjadi dua, tetapi menjadi tiga bagian! Dan, karenanya, kami mendapatkan tiga pasang integral berulang. Kadang-kadang itu terjadi.

Kelas master telah berakhir, dan saatnya untuk beralih ke tingkat grandmaster - Bagaimana cara menghitung integral rangkap? Contoh solusi. Saya akan mencoba untuk tidak terlalu maniak di artikel kedua =)

Semoga Anda beruntung!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:Keputusan: Gambarlah sebuah daerah pada gambar:

Mari kita pilih urutan traversal wilayah berikut:

Dengan demikian:
Mari kita beralih ke fungsi invers:

Dengan demikian:
Menjawab:

Contoh 4:Keputusan: Mari kita beralih ke fungsi langsung:

Mari kita jalankan gambarnya:

Mari kita ubah urutan traversal area:

Menjawab:

sebuah)

Keputusan.

Momen pertama dan terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar.

Mari kita membuat gambar:

persamaan y=0 mengatur sumbu x;

- x=-2 dan x=1 - lurus, sejajar dengan sumbu OU;

- y \u003d x 2 +2 - sebuah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik di titik (0;2).

Komentar. Untuk membuat parabola, cukup menemukan titik potongnya dengan sumbu koordinat, mis. menempatkan x=0 tentukan perpotongan dengan sumbu OU dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai, temukan persimpangan dengan sumbu Oh .

Titik puncak parabola dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Anda dapat menggambar garis dan titik demi titik.

Pada interval [-2;1] grafik fungsi y=x2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:

Menjawab: S \u003d 9 unit persegi

Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah as Oh?

b) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan sumbu koordinat.

Keputusan.

Mari kita membuat gambar.

Jika trapesium lengkung sepenuhnya di bawah poros Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus :

Menjawab: S=(e-1) satuan persegi" 1,72 satuan persegi

Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.

2) Jika Anda diminta untuk mencari luas bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Dalam praktiknya, paling sering sosok itu terletak di setengah bidang atas dan bawah.

dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Keputusan.

Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Tentukan titik potong parabola dan langsung Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis.

Kami memecahkan persamaan:

Jadi batas bawah integrasi a=0 , batas atas integrasi b=3 .

Kami membangun garis yang diberikan: 1. Parabola - titik di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada selang [ a;b] beberapa fungsi kontinu f(x) lebih besar dari atau sama dengan beberapa fungsi kontinu g(x), maka luas gambar yang sesuai dapat ditemukan dengan rumus: .

Dan tidak masalah di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi penting bagan mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap bagan lain), dan mana yang BAWAH. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu dikurangi dari

Hal ini dimungkinkan untuk membangun garis titik demi titik, sedangkan batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional).

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.

Di segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab: S \u003d 4,5 unit persegi

Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis

Penerapan integral untuk memecahkan masalah yang diterapkan

Perhitungan luas

Integral tentu dari fungsi tak-negatif kontinu f(x) secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y \u003d f (x), sumbu O x dan garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. Dengan demikian, rumus luas ditulis sebagai berikut:

Perhatikan beberapa contoh penghitungan luas bangun datar.

Tugas nomor 1. Hitung area yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Keputusan. Mari kita buat sebuah gambar, luas yang harus kita hitung.

y \u003d x 2 + 1 adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan parabola digeser ke atas satu unit relatif terhadap sumbu O y (Gambar 1).

Gambar 1. Grafik fungsi y = x 2 + 1

Tugas nomor 2. Hitung area yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dalam kisaran dari 0 hingga 1.

Keputusan. Grafik fungsi ini adalah parabola cabang, yang mengarah ke atas, dan parabola digeser ke bawah satu unit relatif terhadap sumbu Oy (Gambar 2).

Gambar 2. Grafik fungsi y \u003d x 2 - 1

Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis

y = 8 + 2x - x 2 dan y = 2x - 4.

Keputusan. Garis pertama dari dua garis ini adalah parabola dengan cabang-cabang mengarah ke bawah, karena koefisien pada x 2 adalah negatif, dan garis kedua adalah garis lurus yang melintasi kedua sumbu koordinat.

Untuk membuat parabola, cari koordinat titik puncaknya: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – simpul absis; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 adalah ordinatnya, N(1;9) adalah verteksnya.

Sekarang kita menemukan titik potong parabola dan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Menyamakan ruas kanan persamaan yang ruas kirinya sama.

Kami mendapatkan 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 atau x 2 - 12 \u003d 0, dari mana .

Jadi, titik-titik tersebut adalah titik potong parabola dan garis lurus (Gambar 1).

Gambar 3 Grafik fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4

Mari kita buat garis lurus y = 2x - 4. Melalui titik (0;-4), (2; 0) pada sumbu koordinat.

Untuk membuat parabola, Anda juga dapat memiliki titik potongnya dengan sumbu 0x, yaitu akar dari persamaan 8 + 2x - x 2 = 0 atau x 2 - 2x - 8 = 0. Berdasarkan teorema Vieta, adalah mudah dicari akarnya : x 1 = 2, x 2 = 4.

Gambar 3 menunjukkan gambar (segmen parabola M 1 N M 2) dibatasi oleh garis-garis ini.

Bagian kedua dari masalah adalah menemukan luas dari gambar ini. Luasnya dapat dicari dengan integral tentu dengan menggunakan rumus .

Berkenaan dengan kondisi ini, kami memperoleh integral:

2 Perhitungan volume benda revolusi

Volume tubuh yang diperoleh dari rotasi kurva y \u003d f (x) di sekitar sumbu O x dihitung dengan rumus:

Saat berputar di sekitar sumbu O y, rumusnya terlihat seperti:

Tugas nomor 4. Tentukan volume benda yang diperoleh dari rotasi trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x \u003d 0 x \u003d 3 dan kurva y \u003d di sekitar sumbu O x.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gambar 4).

Gambar 4. Grafik fungsi y =

Volume yang diinginkan sama dengan

Tugas nomor 5. Hitung volume tubuh yang diperoleh dari rotasi trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi sumbu O y .

Keputusan. Kita punya:

Tinjau pertanyaan

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

integral tertentu. Bagaimana cara menghitung luas suatu bangun?

Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis

ARTIKEL TERKAIT