Dalam geometri hypercube- Ini n analogi dimensi persegi ( n= 2) dan kubus ( n= 3). Ini adalah gambar cembung tertutup, terdiri dari kelompok garis paralel yang terletak di tepi yang berlawanan dari gambar, dan terhubung satu sama lain di sudut kanan.

Angka ini juga dikenal sebagai tesseract(tesserak). Tesseract adalah untuk kubus seperti kubus adalah untuk persegi. Lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polytop empat dimensi cembung biasa (polytope) yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.

Menurut Oxford English Dictionary, kata "tesseract" diciptakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dan digunakan dalam bukunya A New Era of Thought. Kata tersebut dibentuk dari bahasa Yunani "τεσσερες " ("empat sinar"), berbentuk empat sumbu koordinat. Selain itu, di beberapa sumber, sosok yang sama disebut kubus(tetrakuba).

n-dimensi hypercube juga disebut kubus n.

Sebuah titik adalah hypercube berdimensi 0. Jika Anda menggeser sebuah titik dengan satuan panjang, Anda mendapatkan segmen dengan satuan panjang - sebuah hypercube berdimensi 1. Selanjutnya, jika Anda menggeser segmen dengan satuan panjang dalam arah tegak lurus ke arah segmen, Anda mendapatkan kubus - hypercube berdimensi 2. Menggeser persegi dengan satuan panjang ke arah tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar, diperoleh kubus - hypercube berdimensi 3. Proses ini dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Misalnya, jika Anda menggeser kubus dengan satuan panjang di dimensi keempat, Anda mendapatkan tesseract.

Keluarga hypercubes adalah salah satu dari sedikit polihedra biasa yang dapat direpresentasikan dalam dimensi apa pun.

elemen hypercube

Dimensi hypercube n memiliki 2 n"sisi" (garis satu dimensi memiliki 2 titik; persegi dua dimensi - 4 sisi; kubus tiga dimensi - 6 wajah; tesseract empat dimensi - 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hypercube adalah 2 n(misalnya, untuk kubus - 2 3 simpul).

Kuantitas m-hiperkubus dimensi pada batas n-kubus sama dengan

Misalnya, di perbatasan hypercube ada 8 kubus, 24 kotak, 32 tepi dan 16 simpul.

Elemen hypercubes

kubus n	Nama	Puncak (0-wajah)	Tepian (1-wajah)	tepian (2-wajah)	Sel (3-wajah)	(4-wajah)	(5-wajah)	(6-wajah)	(7-wajah)	(8-wajah)
0-kubus	Dot	1
1-kubus	Segmen garis	2	1
2-kubus	Kotak	4	4	1
3-kubus	kubus	8	12	6	1
4-kubus	tesseract	16	32	24	8	1
5-kubus	penetrasi	32	80	80	40	10	1
6-kubus	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kubus	Hepterak	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubus	okter	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubus	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Proyeksi pesawat

Pembentukan hypercube dapat direpresentasikan dengan cara berikut:

• Dua titik A dan B dapat dihubungkan membentuk ruas garis AB.
• Dua segmen sejajar AB dan CD dapat dihubungkan membentuk persegi ABCD.
• Dua buah persegi ABCD dan EFGH yang sejajar dapat digabungkan untuk membentuk kubus ABCDEFGH.
• Dua buah kubus sejajar ABCDEFGH dan IJKLMNOP dapat dihubungkan membentuk hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktur yang terakhir tidak mudah untuk dibayangkan, tetapi dimungkinkan untuk menggambarkan proyeksinya ke dua atau tiga dimensi. Selain itu, proyeksi ke bidang 2D dapat lebih berguna dengan mengatur ulang posisi simpul yang diproyeksikan. Dalam hal ini, dapat diperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial elemen-elemen dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi verteks, seperti pada contoh di bawah ini.

Ilustrasi pertama menunjukkan bagaimana tesseract terbentuk pada prinsipnya dengan menggabungkan dua kubus. Skema ini mirip dengan skema untuk membuat kubus dari dua kotak. Diagram kedua menunjukkan bahwa semua tepi tesseract memiliki panjang yang sama. Skema ini juga dipaksa untuk mencari kubus yang terhubung satu sama lain. Pada diagram ketiga, simpul dari tesseract terletak sesuai dengan jarak di sepanjang permukaan relatif terhadap titik bawah. Skema ini menarik karena digunakan sebagai skema dasar untuk topologi jaringan penghubung prosesor dalam mengatur komputasi paralel: jarak antara dua node tidak melebihi 4 panjang tepi, dan ada banyak cara berbeda untuk menyeimbangkan beban.

Hypercube dalam seni

Hypercube telah muncul dalam fiksi ilmiah sejak 1940, ketika Robert Heinlein, dalam cerita "The House That Teal Built" ("Dan Dia Membangun Rumah yang Bengkok"), menggambarkan sebuah rumah yang dibangun dalam bentuk tesseract. Dalam cerita, ini Selanjutnya, rumah ini dilipat, berubah menjadi tesseract empat dimensi. Setelah itu, hypercube muncul di banyak buku dan novel.

Cube 2: Hypercube adalah sekitar delapan orang yang terjebak dalam jaringan hypercube.

Lukisan Penyaliban (Corpus Hypercubus), 1954 oleh Salvador Dali menggambarkan Yesus disalibkan pada scan tesseract. Lukisan ini bisa dilihat di Museum Seni (Metropolitan Museum of Art) di New York.

Kesimpulan

Hypercube adalah salah satu objek empat dimensi paling sederhana, pada contoh di mana Anda dapat melihat semua kompleksitas dan keanehan dimensi keempat. Dan apa yang tampak mustahil dalam tiga dimensi mungkin dalam empat, misalnya, angka-angka yang mustahil. Jadi, misalnya, batang-batang segitiga mustahil dalam empat dimensi akan dihubungkan pada sudut siku-siku. Dan gambar ini akan terlihat seperti ini dari semua sudut pandang, dan tidak akan terdistorsi, tidak seperti implementasi segitiga mustahil dalam ruang tiga dimensi (lihat Gambar.

Poin (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:

Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, perpotongannya dengan tesseract itu sendiri mendefinisikan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasangan wajah 3D nonparalel berpotongan membentuk wajah 2D (persegi), dan seterusnya. Akhirnya, sebuah tesseract memiliki 8 wajah 3D, 24 2D, 32 edge dan 16 vertex.

Deskripsi Populer

Mari kita coba bayangkan bagaimana hypercube akan terlihat tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada garis - kami memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kami menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujungnya. Anda akan mendapatkan CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan pesawat, kami mendapatkan CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus di dimensi keempat (tegak lurus ke tiga yang pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Konstruksi tesseract di pesawat

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi CDBA persegi dua dimensi, persegi adalah sisi kubus CDBAGHFE, yang, pada gilirannya, akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Segmen garis lurus memiliki dua titik batas, persegi memiliki empat simpul, dan kubus memiliki delapan. Jadi, dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asli dan 8 simpul yang digeser di dimensi keempat. Ini memiliki 32 tepi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir dari kubus asli, dan 8 tepi lagi "menggambar" delapan simpulnya yang telah pindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi, itu adalah satu (persegi itu sendiri), kubus memiliki 6 di antaranya (dua wajah dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi akan menggambarkan sisi-sisinya). Sebuah hypercube empat dimensi memiliki 24 wajah persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas sisinya.

Karena sisi persegi adalah 4 segmen satu dimensi, dan sisi (wajah) kubus adalah 6 persegi dua dimensi, jadi untuk "kubus empat dimensi" (tesseract) sisinya adalah 8 kubus tiga dimensi. Ruang pasangan kubus tesseract yang berlawanan (yaitu, ruang tiga dimensi tempat kubus ini berada) adalah paralel. Pada gambar, ini adalah kubus: CDBAGHFE dan KLJIOPNM, CDBAKLJI dan GHFEOPNM, EFBAMNJI dan GHDCOPLK, CKIAGOME dan DLJBHPNF.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan alasan untuk hypercube lebih banyak dimensi, tetapi jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Mari kita gunakan untuk ini metode analogi yang sudah dikenal.

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan lihat dengan satu mata dari sisi wajah. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak di bidang (wajah dekat dan jauh), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua "kotak" kubik yang dimasukkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan membentang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus tidak dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser oleh panjang wajah, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hypercube. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang di masa depan akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus dalam jumlah tak terbatas, sama seperti kubus tiga dimensi dapat "dipotong" menjadi kotak datar dalam jumlah tak terbatas.

Dengan memotong enam wajah kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi sosok datar - sebuah perkembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang "tumbuh" darinya, ditambah satu lagi - "hyperface" terakhir.

Sifat-sifat tesseract merupakan perluasan sifat-sifat bangun-bangun geometris dari dimensi yang lebih kecil ke dalam ruang empat dimensi.

proyeksi

ke ruang dua dimensi

Struktur ini sulit dibayangkan, tetapi dimungkinkan untuk memproyeksikan tesseract ke dalam ruang 2D atau 3D. Selain itu, proyeksi ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul dari hypercube. Dengan cara ini dimungkinkan untuk mendapatkan gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam sebuah tesseract, tetapi yang menggambarkan struktur koneksi vertex, seperti pada contoh berikut:

Gambar ketiga menunjukkan tesseract dalam isometri, relatif terhadap titik konstruksi. Pandangan ini menarik ketika menggunakan tesseract sebagai dasar jaringan topologi untuk menghubungkan beberapa prosesor dalam komputasi paralel.

ke ruang tiga dimensi

Salah satu proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi adalah dua kubus tiga dimensi bersarang, simpul yang sesuai yang dihubungkan oleh segmen. Kubus dalam dan luar memiliki ukuran yang berbeda dalam ruang 3D, tetapi mereka adalah kubus yang sama dalam ruang 4D. Untuk memahami kesetaraan semua kubus tesseract, model berputar tesseract telah dibuat.

• Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract adalah gambar enam kubus yang sama. Namun, kubus ini untuk tesseract seperti kotak (wajah) adalah kubus. Tetapi pada kenyataannya, sebuah tesseract dapat dibagi menjadi kubus yang jumlahnya tak terbatas, seperti halnya sebuah kubus dapat dibagi menjadi banyak kotak, atau sebuah kotak dapat dibagi menjadi sejumlah segmen yang tak terbatas.

Proyeksi lain yang menarik dari tesseract ke ruang tiga dimensi adalah belah ketupat dengan empat diagonalnya ditarik, menghubungkan pasangan simpul yang berlawanan pada sudut belah ketupat yang besar. Dalam hal ini, 14 dari 16 simpul tesseract diproyeksikan menjadi 14 simpul belah ketupat, dan proyeksi 2 sisanya bertepatan di tengahnya. Dalam proyeksi ke ruang tiga dimensi seperti itu, kesetaraan dan paralelisme semua sisi satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi dipertahankan.

pasangan stereo

Sebuah stereopair tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Penggambaran tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopik muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.

Tesseract sedang berlangsung

Permukaan tesseract dapat dibuka menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibuka menjadi enam kotak). Ada 261 pengungkapan berbeda dari tesseract. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.

Tesseract dalam seni

• Dalam New Plain karya Edwine A. Abbott, hypercube adalah naratornya.
• Dalam salah satu episode The Adventures of Jimmy Neutron, "bocah jenius" Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi, identik dengan kotak lipat dari novel Glory Road (1963) karya Robert Heinlein.
• Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes dalam setidaknya tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam The House of Four Dimensions (The House That Teel Built), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai pengungkapan sebuah tesseract, dan kemudian, karena gempa, "terbentuk" di dimensi keempat dan menjadi tesseract yang "nyata".
• Dalam novel Glory Road karya Heinlein, digambarkan sebuah kotak hiperdimensi yang lebih besar di dalam daripada di luar.
• Kisah Henry Kuttner "All Borog's Tenals" menggambarkan mainan pendidikan untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, serupa strukturnya dengan tesseract.
• Dalam novel Alex Garland ( ), istilah "tesseract" digunakan untuk pembukaan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, daripada hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognisi harus lebih luas daripada yang dapat dikenali.
• Plot The Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
• Serial TV Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai alat konspirasi. Mereka terutama dimaksudkan untuk mengontrol ruang dan waktu.
• Lukisan " Penyaliban"(Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali ().
• Buku komik Nextwave menggambarkan kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
• Dalam album Voivod Nothingface, salah satu lagunya berjudul "In my hypercube".
• Dalam novel Route Cube Anthony Pierce, salah satu bulan orbit IDA disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
• Di serial "School" Black Hole "" di musim ketiga ada episode "Tesseract". Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai "berbentuk seperti tesseract matematika".
• Istilah "tesseract" dan istilah "tesse" berasal darinya ditemukan dalam cerita Madeleine L'Engle "Wrinkle of Time".
• TesseracT adalah nama grup djent Inggris.
• Dalam serial film Marvel Cinematic Universe, Tesseract adalah elemen plot utama, artefak kosmik berbentuk hypercube.
• Dalam cerita Robert Sheckley "Nona Tikus dan Dimensi Keempat", seorang penulis esoteris, seorang kenalan penulis, mencoba untuk melihat tesseract, mencari berjam-jam pada perangkat yang ia rancang: sebuah bola di kaki dengan batang yang ditancapkan ke dalamnya, di kubus mana yang ditanam, direkatkan dengan segala macam simbol esoteris. Ceritanya menyebutkan karya Hinton.
• Dalam film The First Avenger, The Avengers. Tesseract adalah energi seluruh alam semesta

Nama lain

• Hexadecachoron (Bahasa Inggris) Heksadekakoron)
• Octochoron (Inggris) oktakoron)
• kubus
• 4-kubus
• Hypercube (jika jumlah dimensi tidak ditentukan)

Catatan

literatur

• Charles H. Hinton. Dimensi Keempat, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Karnaval Matematika, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Konsep Matematika Modern, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Tautan

Dalam bahasa Rusia

• program Transformator4D. Pembentukan model proyeksi tiga dimensi dari objek empat dimensi (termasuk Hypercube).
• Program yang mengimplementasikan konstruksi tesseract dan semua transformasi affinenya, dengan sumber C++.

Dalam Bahasa Inggris

• Mushware Limited adalah program keluaran tesseract ( Pelatih Tesseract, dilisensikan di bawah GPLv2) dan penembak orang pertama 4D ( Adanaxis; grafis, kebanyakan tiga dimensi; ada versi GPL di repositori OS).

Polihedra
Benar (Padatan Platonis)
Dodecahedron berbintang Icosidodecahedron berbintang Ikosahedron berbintang Polihedron berbintang Oktahedron berbintang
cembung	padatan Archimedean Cuboctahedron Icosidodecahedron Tetrahedron terpotong Oktahedron terpotong Icosahedron terpotong Kubus terpotong Dodecahedron terpotong Rhombicuboctahedron Rhombicosidodecahedron Rhombicosidodecahedron Kuboctahedron terpotong Rhombocuboctahedron icosidodecahedron terpotong Badan Katalan Rhombododecahedron Rhombotriacontahedron Triakistetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoid icositetrahedron Deltoidal hexecontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal hexecontahedron Disdakisdode Tanpa simetri spasial yang lengkap Piramida Prisma Bipyramid Antiprism Zonohedron Paralelepiped Rhombohedron Prismatoid Piramida Terpotong Pentagondodecahedron Parallelohedron
rumus, teorema, teori
Lainnya

Jika Anda penggemar film Avengers, hal pertama yang mungkin muncul di benak Anda ketika mendengar kata "Tesseract" adalah wadah Batu Infinity berbentuk kubus transparan yang berisi kekuatan tak terbatas.

Bagi penggemar Marvel Universe, Tesseract adalah kubus biru bercahaya, yang membuat orang-orang tidak hanya dari Bumi, tetapi juga planet lain menjadi gila. Itu sebabnya semua Avengers bersatu untuk melindungi Grounder dari kekuatan Tesseract yang sangat merusak.

Apa yang perlu dikatakan adalah ini: Tesseract adalah konsep geometris yang sebenarnya, lebih khusus lagi, bentuk yang ada dalam 4D. Ini bukan hanya kubus biru dari The Avengers... ini adalah konsep nyata.

Tesseract adalah objek dalam 4 dimensi. Namun sebelum kita menjelaskannya secara detail, mari kita mulai dari awal.

Apa itu "pengukuran"?

Setiap orang telah mendengar istilah 2D dan 3D, yang masing-masing mewakili objek ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Tapi apa ini?

Dimensi hanyalah arah yang bisa Anda tuju. Misalnya, jika Anda menggambar garis pada selembar kertas, Anda dapat bergerak ke kiri/kanan (sumbu x) atau atas/bawah (sumbu y). Jadi kita katakan kertas itu dua dimensi karena Anda hanya bisa berjalan di dua arah.

Ada rasa kedalaman dalam 3D.

Sekarang, di dunia nyata, selain dua arah yang disebutkan di atas (kiri/kanan dan atas/bawah), Anda juga bisa masuk/keluar. Akibatnya, rasa kedalaman ditambahkan dalam ruang 3D. Itulah mengapa kami mengatakan bahwa kehidupan nyata adalah 3 dimensi.

Titik dapat mewakili 0 dimensi (karena tidak bergerak ke segala arah), garis mewakili 1 dimensi (panjang), persegi mewakili 2 dimensi (panjang dan lebar), dan kubus mewakili 3 dimensi (panjang, lebar, dan tinggi). ).

Ambil kubus 3D dan ganti setiap wajah (yang saat ini berbentuk persegi) dengan kubus. Sehingga! Bentuk yang Anda dapatkan adalah tesseract.

Apa itu tesseract?

Sederhananya, tesseract adalah kubus dalam ruang 4 dimensi. Anda juga dapat mengatakan bahwa ini setara dengan kubus 4D. Ini adalah bentuk 4D di mana setiap wajah adalah kubus.

Proyeksi 3D dari tesseract yang melakukan rotasi ganda di sekitar dua bidang ortogonal.
Gambar: Jason Hise

Berikut cara sederhana untuk mengkonseptualisasikan dimensi: persegi adalah dua dimensi; jadi masing-masing sudutnya memiliki 2 garis yang memanjang 90 derajat satu sama lain. Kubus itu 3D, jadi masing-masing sudutnya memiliki 3 garis yang keluar darinya. Demikian juga, tesseract adalah bentuk 4D, sehingga setiap sudut memiliki 4 garis yang memanjang darinya.

Mengapa sulit membayangkan tesseract?

Karena kita sebagai manusia telah berevolusi untuk memvisualisasikan objek dalam tiga dimensi, apa pun yang masuk ke dimensi ekstra seperti 4D, 5D, 6D, dll. tidak masuk akal bagi kami karena kami tidak dapat memvisualisasikannya sama sekali. Otak kita tidak dapat memahami dimensi ke-4 di luar angkasa. Kami hanya tidak bisa memikirkannya.

Hypercube dan Padatan Platonis

Simulasikan icosahedron yang terpotong ("bola sepak") dalam sistem "Vector"
di mana setiap segi lima dibatasi oleh segi enam

Ikosahedron terpotong dapat diperoleh dengan memotong 12 simpul untuk membentuk wajah dalam bentuk segi lima beraturan. Dalam hal ini, jumlah simpul polihedron baru meningkat 5 kali lipat (12 × 5 = 60), 20 wajah segitiga berubah menjadi segi enam biasa (total wajah menjadi 20+12=32), sebuah jumlah rusuk bertambah menjadi 30+12×5=90.

Langkah-langkah untuk membangun icosahedron terpotong dalam sistem Vektor

Gambar dalam ruang 4 dimensi.

--à

--à ?

Misalnya diberikan sebuah kubus dan sebuah hypercube. Ada 24 wajah dalam sebuah hypercube. Ini berarti bahwa oktahedron 4 dimensi akan memiliki 24 simpul. Meskipun tidak, hypercube memiliki 8 wajah kubus - di setiap pusat adalah titik. Ini berarti bahwa oktahedron 4 dimensi akan memiliki 8 simpul yang lebih mudah.

segi delapan 4 dimensi. Ini terdiri dari delapan tetrahedra sama sisi dan sama,
terhubung empat di setiap simpul.

Beras. Sebuah upaya untuk mensimulasikan
hyperball-hyperphere dalam sistem "Vector"

Wajah depan - belakang - bola tanpa distorsi. Enam bola lainnya - dapat ditentukan melalui ellipsoid atau permukaan kuadrat (melalui 4 garis kontur sebagai generator) atau melalui permukaan (pertama ditentukan melalui generator).

Lebih banyak trik untuk "membangun" hypersphere
- "bola sepak" yang sama di ruang 4 dimensi

Lampiran 2

Untuk polihedra cembung, ada sifat yang menghubungkan jumlah simpul, tepi, dan wajahnya, dibuktikan pada tahun 1752 oleh Leonhard Euler, dan disebut teorema Euler.

Sebelum merumuskannya, perhatikan polihedra yang kita kenal dan isi tabel berikut, di mana B adalah jumlah simpul, P - tepi dan G - wajah polihedron yang diberikan:

Nama polihedron
piramida segitiga
piramida segi empat
prisma segitiga
prisma segi empat
n-piramida batubara	n+1	2n	n+1
n-prisma karbon	2n	3n	n+2
n-karbon terpotong piramida	2n	3n	n+2

Terlihat langsung dari tabel ini bahwa untuk semua polihedra yang dipilih, persamaan B - P + T = 2. Ternyata persamaan ini berlaku tidak hanya untuk polihedral ini, tetapi juga untuk polihedron cembung sembarang.

teorema Euler. Untuk setiap polihedron cembung, persamaan

V - R + G \u003d 2,

di mana B adalah jumlah simpul, P adalah jumlah tepi, dan G adalah jumlah wajah polihedron yang diberikan.

Bukti. Untuk membuktikan persamaan ini, bayangkan permukaan polihedron tertentu yang terbuat dari bahan elastis. Mari kita hapus (potong) salah satu wajahnya dan regangkan permukaan yang tersisa pada bidang. Kami mendapatkan poligon (dibentuk oleh tepi wajah polihedron yang dihilangkan), dibagi menjadi poligon yang lebih kecil (dibentuk oleh wajah polihedron yang tersisa).

Perhatikan bahwa poligon dapat diubah bentuknya, diperbesar, diperkecil, atau bahkan ditekuk sisi-sisinya, selama sisi-sisinya tidak putus. Jumlah vertex, edge dan face tidak akan berubah.

Mari kita buktikan bahwa hasil partisi poligon menjadi poligon yang lebih kecil memenuhi persamaan

(*) V - R + G "= 1,

di mana B adalah jumlah total simpul, P adalah jumlah total sisi, dan "adalah jumlah poligon yang termasuk dalam partisi. Jelas bahwa " = - 1, di mana adalah jumlah wajah dari diberikan polihedron.

Mari kita buktikan bahwa persamaan (*) tidak berubah jika kita menggambar sebuah diagonal pada suatu poligon dari partisi yang diberikan (Gbr. 5, a). Memang, setelah menggambar diagonal seperti itu, partisi baru akan memiliki simpul B, tepi P + 1, dan jumlah poligon akan bertambah satu. Oleh karena itu, kami memiliki

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Dengan menggunakan properti ini, kami menggambar diagonal yang membagi poligon yang masuk menjadi segitiga, dan untuk partisi yang dihasilkan kami menunjukkan bahwa persamaan (*) terpenuhi (Gbr. 5, b). Untuk melakukan ini, kami akan secara konsisten menghapus tepi luar, mengurangi jumlah segitiga. Dalam hal ini, dua kasus dimungkinkan:

a) untuk menghapus segitiga ABC diperlukan untuk menghilangkan dua tulang rusuk, dalam kasus kami AB dan SM;

b) untuk menghapus segitigaMKNdiperlukan untuk menghapus satu sisi, dalam kasus kamiM N.

Dalam kedua kasus, persamaan (*) tidak akan berubah. Misalnya, dalam kasus pertama, setelah menghilangkan segitiga, grafik akan terdiri dari B - 1 simpul, R - 2 tepi dan G "- 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Pertimbangkan kasus kedua untuk diri Anda sendiri.

Jadi, menghilangkan satu segitiga tidak mengubah persamaan (*). Melanjutkan proses menghilangkan segitiga ini, kita akhirnya akan sampai pada partisi yang terdiri dari segitiga tunggal. Untuk partisi seperti itu, B \u003d 3, P \u003d 3, "= 1 dan, oleh karena itu, B - + " = 1. Oleh karena itu, kesetaraan (*) juga berlaku untuk partisi asli, yang akhirnya kita peroleh bahwa untuk persamaan partisi poligon tertentu (*) berlaku. Jadi, untuk polihedron cembung asli, persamaan B - P + G = 2 adalah benar.

Contoh polihedron yang tidak memiliki relasi Euler adalah ditunjukkan pada Gambar 6. Polihedron ini memiliki 16 simpul, 32 tepi dan 16 wajah. Jadi, untuk polihedron ini, persamaan B - P + G = 0 terpenuhi.

Lampiran 3

Movie Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - sebuah film fantasi, kelanjutan dari film" Cube ".

Delapan orang asing bangun di kamar berbentuk kubus. Kamar-kamarnya berada di dalam hypercube empat dimensi. Kamar terus bergerak dengan "teleportasi kuantum", dan jika Anda naik ke kamar sebelah, maka tidak mungkin untuk kembali ke yang sebelumnya. Dunia paralel berpotongan di hypercube, waktu mengalir secara berbeda di beberapa kamar, dan beberapa kamar adalah jebakan maut.

Plot gambar sebagian besar mengulangi cerita bagian pertama, yang juga tercermin dalam gambar beberapa karakter. Di kamar hypercube, pemenang Nobel Rosenzweig meninggal, yang menghitung waktu yang tepat untuk penghancuran hypercube.

Kritik

Jika di bagian pertama orang-orang yang dipenjara di labirin mencoba saling membantu, di film ini setiap orang untuk dirinya sendiri. Ada banyak efek khusus yang tidak perlu (mereka adalah jebakan) yang tidak secara logis menghubungkan bagian film ini dengan yang sebelumnya. Artinya, ternyata film Cube 2 adalah semacam labirin masa depan 2020-2030, tapi bukan tahun 2000. Pada bagian pertama, semua jenis jebakan secara teori bisa dibuat oleh seseorang. Di bagian kedua, jebakan ini adalah program dari beberapa jenis komputer, yang disebut "Realitas Virtual".

Evolusi otak manusia terjadi dalam ruang tiga dimensi. Oleh karena itu, sulit bagi kita untuk membayangkan ruang dengan dimensi lebih besar dari tiga. Faktanya, otak manusia tidak dapat membayangkan benda-benda geometris dengan lebih dari tiga dimensi. Dan pada saat yang sama, kita dapat dengan mudah membayangkan benda-benda geometris dengan dimensi tidak hanya tiga, tetapi juga dengan dimensi dua dan satu.

Perbedaan dan analogi antara 1D dan 2D, dan perbedaan dan analogi antara 2D dan 3D memungkinkan kita untuk mengangkat sedikit misteri yang menutup kita dari ruang dimensi yang lebih tinggi. Untuk memahami bagaimana analogi ini digunakan, pertimbangkan objek empat dimensi yang sangat sederhana - hypercube, yaitu kubus empat dimensi. Mari, untuk kepastian, katakanlah kita ingin memecahkan masalah tertentu, yaitu menghitung jumlah wajah persegi kubus empat dimensi. Semua pertimbangan di bawah ini akan sangat longgar, tanpa bukti apa pun, murni dengan analogi.

Untuk memahami bagaimana sebuah hypercube dibangun dari sebuah kubus biasa, pertama-tama kita harus melihat bagaimana sebuah kubus biasa dibangun dari sebuah persegi biasa. Untuk orisinalitas penyajian materi ini, kami di sini akan memanggil SubCube persegi biasa (dan kami tidak akan bingung dengan succubus).

Untuk membangun kubus dari subkubus, perlu untuk memperpanjang subkubus dalam arah tegak lurus terhadap bidang subkubus ke arah dimensi ketiga. Pada saat yang sama, subkubus akan tumbuh dari setiap sisi subkubus awal, yang merupakan sisi dua dimensi kubus, yang akan membatasi volume tiga dimensi kubus dari empat sisi, dua tegak lurus ke setiap arah di bidang subkubus. Dan di sepanjang sumbu ketiga yang baru, ada juga dua subkubus yang membatasi volume tiga dimensi kubus. Ini adalah wajah dua dimensi tempat subkubus kami awalnya berada dan wajah dua dimensi kubus tempat subkubus muncul di akhir konstruksi kubus.

Apa yang baru saja Anda baca diuraikan dengan sangat rinci dan dengan banyak klarifikasi. Dan tidak sembarangan. Sekarang kita akan melakukan trik seperti itu, kita akan mengganti beberapa kata dalam teks sebelumnya secara formal dengan cara ini:
kubus -> hypercube
subkubus -> kubus
pesawat -> volume
ketiga -> keempat
2D -> 3D
empat -> enam
tiga dimensi -> empat dimensi
dua -> tiga
pesawat -> luar angkasa

Hasilnya, kami mendapatkan teks bermakna berikut, yang sepertinya tidak lagi terlalu detail.

Untuk membangun hypercube dari kubus, Anda perlu meregangkan kubus ke arah tegak lurus dengan volume kubus ke arah dimensi keempat. Pada saat yang sama, sebuah kubus akan tumbuh dari setiap sisi kubus asli, yang merupakan sisi tiga dimensi dari hypercube, yang akan membatasi volume empat dimensi dari hypercube dari enam sisi, tiga tegak lurus ke setiap arah di ruang kubus. Dan di sepanjang sumbu keempat yang baru, ada juga dua kubus yang membatasi volume empat dimensi dari hypercube. Ini adalah wajah tiga dimensi tempat kubus kita awalnya berada dan wajah tiga dimensi hypercube, tempat kubus muncul di akhir konstruksi hypercube.

Mengapa kami begitu yakin bahwa kami telah menerima deskripsi yang benar tentang konstruksi hypercube? Ya, karena dengan penggantian kata-kata formal yang persis sama, kita mendapatkan deskripsi konstruksi kubus dari deskripsi konstruksi persegi. (Lihat sendiri.)

Sekarang jelas bahwa jika kubus tiga dimensi lain harus tumbuh dari setiap sisi kubus, maka wajah harus tumbuh dari setiap tepi kubus awal. Secara total, kubus memiliki 12 rusuk, yang berarti akan ada tambahan 12 wajah baru (subkubus) untuk 6 kubus yang membatasi volume empat dimensi di sepanjang tiga sumbu ruang tiga dimensi. Dan ada dua kubus lagi yang membatasi volume empat dimensi ini dari bawah dan dari atas sepanjang sumbu keempat. Masing-masing kubus ini memiliki 6 wajah.

Secara total kita mendapatkan bahwa hypercube memiliki 12+6+6=24 wajah persegi.

Gambar berikut menunjukkan struktur logis dari hypercube. Ini seperti proyeksi hypercube ke ruang tiga dimensi. Dalam hal ini, kerangka tulang rusuk tiga dimensi diperoleh. Pada gambar, tentu saja, Anda melihat proyeksi bingkai ini juga pada bidang.

Pada bingkai ini, kubus bagian dalam, seolah-olah, adalah kubus awal, dari mana konstruksi dimulai dan yang membatasi volume empat dimensi dari hiperkubus di sepanjang sumbu keempat dari bawah. Kami meregangkan kubus awal ini ke atas di sepanjang sumbu dimensi keempat dan kubus itu masuk ke kubus luar. Jadi kubus luar dan dalam dari gambar ini membatasi hypercube sepanjang sumbu dimensi keempat.

Dan di antara dua kubus ini, 6 kubus baru terlihat, yang bersentuhan dengan dua kubus pertama dengan wajah yang sama. Keenam kubus ini membatasi hypercube kami di sepanjang tiga sumbu ruang tiga dimensi. Seperti yang Anda lihat, mereka tidak hanya bersentuhan dengan dua kubus pertama, yang internal dan eksternal pada bingkai tiga dimensi ini, tetapi mereka masih berhubungan satu sama lain.

Anda dapat menghitung langsung pada gambar dan memastikan bahwa hypercube benar-benar memiliki 24 wajah. Tapi di sini muncul pertanyaan. Bingkai hypercube 3D ini diisi dengan delapan kubus 3D tanpa celah. Untuk membuat hypercube nyata dari proyeksi tiga dimensi hypercube ini, perlu untuk membalik bingkai ini keluar sehingga semua 8 kubus membatasi volume 4 dimensi.

Hal ini dilakukan seperti ini. Kami mengundang penghuni ruang empat dimensi untuk mengunjungi dan memintanya untuk membantu kami. Ini mengambil kubus bagian dalam kerangka ini dan menggesernya ke dimensi keempat, yang tegak lurus dengan ruang 3D kita. Kami di ruang tiga dimensi kami melihatnya seolah-olah seluruh bingkai bagian dalam telah menghilang dan hanya bingkai kubus luar yang tersisa.

Selanjutnya, asisten 4D kami menawarkan bantuan untuk melahirkan tanpa rasa sakit, tetapi ibu hamil kami takut akan kemungkinan bayi menghilang begitu saja dari perut dan berakhir di ruang 3D paralel. Oleh karena itu, empat kali lipat ditolak dengan sopan.

Dan kami bertanya-tanya apakah beberapa kubus kami terlepas saat bingkai hypercube dibalik. Lagi pula, jika beberapa kubus tiga dimensi yang mengelilingi hypercube menyentuh tetangga mereka di bingkai, apakah mereka juga akan menyentuh wajah yang sama jika kubus empat dimensi membalikkan bingkai ke luar.

Mari kita kembali ke analogi dengan ruang dimensi yang lebih rendah. Bandingkan gambar wireframe hypercube dengan proyeksi kubus 3D ke bidang yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Penghuni ruang dua dimensi membangun kerangka proyeksi kubus ke bidang di pesawat dan mengundang kami, penghuni tiga dimensi, untuk mengubah kerangka ini keluar. Kami mengambil empat simpul bujur sangkar dalam dan memindahkannya tegak lurus terhadap bidang. Pada saat yang sama, penghuni dua dimensi melihat hilangnya seluruh bingkai bagian dalam, dan mereka hanya memiliki bingkai kotak luar. Dengan operasi seperti itu, semua kotak yang bersentuhan dengan tepinya terus bersentuhan seperti sebelumnya dengan tepi yang sama.

Oleh karena itu, kami berharap bahwa skema logis dari hypercube juga tidak akan dilanggar ketika bingkai hypercube dibalik, dan jumlah wajah persegi hypercube tidak akan meningkat dalam kasus ini dan akan tetap sama dengan 24. Ini, dari saja, bukan bukti sama sekali, tapi murni tebakan dengan analogi .

Setelah membaca semuanya di sini, Anda dapat dengan mudah menggambar kerangka logis dari kubus lima dimensi dan menghitung berapa banyak simpul, tepi, wajah, kubus, dan hiperkubus yang dimilikinya. Ini tidak sulit sama sekali.