TemaBilangan kompleks dan polinomial

Kuliah 22

§satu. Bilangan kompleks: definisi dasar

Simbol masukkan rasio
dan disebut satuan imajiner. Dengan kata lain,
.

Definisi. Ekspresi bentuk
, di mana
, disebut bilangan kompleks, dan bilangan disebut bagian nyata dari bilangan kompleks dan menunjukkan
, nomor - bagian imajiner dan menunjukkan
.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa bilangan real adalah bilangan kompleks yang bagian imajinernya sama dengan nol.

Lebih mudah untuk mewakili bilangan kompleks sebagai titik-titik bidang yang diberikan sistem koordinat persegi panjang Cartesian, yaitu: bilangan kompleks
titik pertandingan
dan sebaliknya. pada poros
bilangan real ditampilkan dan disebut sumbu real. Bilangan kompleks dari bentuk

disebut imajiner murni. Mereka ditampilkan sebagai titik pada sumbu.
, yang disebut sumbu imajiner. Bidang ini, yang berfungsi untuk mewakili bilangan kompleks, disebut bidang kompleks. Bilangan kompleks yang tidak nyata, mis. seperti yang
, kadang-kadang disebut imajiner.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki bagian real dan imajiner yang sama.

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan aljabar polinomial biasa, dengan mempertimbangkan fakta bahwa

. Operasi pembagian dapat didefinisikan sebagai kebalikan dari operasi perkalian dan seseorang dapat membuktikan keunikan hasil (jika pembagi berbeda dari nol). Namun, dalam praktiknya, pendekatan yang digunakan berbeda.

Bilangan kompleks
dan
disebut konjugat, pada bidang kompleks mereka diwakili oleh titik-titik simetris terhadap sumbu nyata. Jelas bahwa:

1)

;

2)
;

3)
.

Sekarang berpisah di dapat dilakukan sebagai berikut:

.

Tidak sulit untuk menunjukkannya

,

di mana simbol singkatan dari setiap operasi aritmatika.

Biarlah
beberapa bilangan imajiner, dan adalah variabel nyata. Hasil kali dua binomial

adalah trinomial persegi dengan koefisien nyata.

Sekarang, memiliki bilangan kompleks yang kita miliki, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun
.Jika kemudian

dan persamaan memiliki dua akar konjugasi kompleks

.

Jika sebuah
, maka persamaan tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Jika sebuah
, maka persamaan tersebut memiliki dua akar yang identik.

2. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Seperti disebutkan di atas, bilangan kompleks
nyaman untuk diwakili dengan titik
. Seseorang juga dapat mengidentifikasi angka seperti itu dengan vektor radius titik ini
. Dengan interpretasi ini, penambahan dan pengurangan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor. Untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks, bentuk lain lebih mudah.

Kami memperkenalkan di pesawat yang kompleks
sistem koordinat kutub. Lalu dimana?
,
dan bilangan kompleks
dapat ditulis sebagai:

Bentuk notasi ini disebut trigonometri (berlawanan dengan bentuk aljabar
). Dalam bentuk ini, nomor disebut modul dan - argumen bilangan kompleks . Mereka ditandai:
,

. Untuk modul, kami memiliki rumus

Argumen nomor didefinisikan secara ambigu, tetapi hingga istilah
,
. Nilai argumen yang memenuhi pertidaksamaan
, disebut prinsipal dan dinotasikan
. Kemudian,
. Untuk nilai utama argumen, Anda bisa mendapatkan ekspresi berikut:

,

argumen angka
dianggap tidak terdefinisi.

Syarat persamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri berbentuk: modul bilangannya sama, dan argumennya berbeda kelipatan
.

Temukan produk dari dua bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:

Jadi, saat mengalikan angka, modulnya dikalikan, dan argumennya ditambahkan.

Demikian pula, dapat ditetapkan bahwa ketika membagi, modul angka dibagi, dan argumen dikurangi.

Memahami eksponensial sebagai perkalian berganda, kita bisa mendapatkan rumus untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat:

Kami memperoleh rumus untuk
- akar pangkat dari bilangan kompleks (jangan bingung dengan akar aritmatika dari bilangan real!). Operasi ekstraksi akar adalah kebalikan dari operasi eksponensial. Itu sebabnya
adalah bilangan kompleks seperti yang
.

Biarlah
diketahui, dan
diperlukan untuk ditemukan. Kemudian

Dari persamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, maka:

,
,
.

Dari sini
(ini adalah akar aritmatika!),

,
.

Sangat mudah untuk memverifikasi itu hanya bisa menerima nilai dasarnya berbeda, misalnya, ketika
. Akhirnya kita punya rumus:

,
.

Jadi akarnya derajat dari bilangan kompleks memiliki nilai yang berbeda. Pada bidang kompleks, nilai-nilai ini terletak di simpul dengan benar -gon tertulis dalam lingkaran berjari-jari
berpusat pada asal. Akar "pertama" memiliki argumen
, argumen dari dua akar "tetangga" berbeda dengan
.

Contoh. Mari kita ambil akar pangkat tiga dari unit imajiner:
,
,
. Kemudian:

,

Topik "Bilangan kompleks" sering menyebabkan kesulitan bagi siswa, tetapi sebenarnya tidak ada yang buruk di dalamnya, seperti yang terlihat pada pandangan pertama.

Jadi, sekarang kita akan menganalisis dan mempertimbangkan dengan contoh sederhana apa itu bilangan kompleks, bagaimana itu dilambangkan dan terdiri dari apa. Ekspresi z = a + bi disebut bilangan kompleks. Itu nomor tunggal, bukan tambahan.

Contoh 1 : z = 6 + 4i

Apa itu bilangan kompleks?

Bilangan kompleks memiliki bagian nyata dan bagian imajiner dalam komposisinya.

Bilangan a disebut bagian real dari bilangan kompleks dan dilambangkan a = Re(z). Dan inilah yang berdiri dengan surat itu saya- yaitu nomor B disebut koefisien bagian imajiner dari bilangan kompleks dan dilambangkan b = Im(z). Bersama dua membentuk bagian imajiner dari bilangan kompleks.

Mudah ditebak dan mudah diingat bahwa singkatannya "Ulang" berasal dari kata Nyata- nyata, bagian nyata. Masing-masing, "aku" merupakan singkatan dari kata "Imajiner" bagian imajiner.

Contoh 2 : z = 0,5 + 9i. Inilah bagian yang sebenarnya a=Re(z)=0,5, dan bagian imajiner b = Im(z) = 9i

Contoh 3 : z = -5 + 19i. Inilah bagian yang sebenarnya a=Re(z)=-5, dan bagian imajiner b=Im(z)=19.

Bilangan kompleks imajiner murni

Bilangan kompleks yang tidak memiliki bagian nyata, mis. Re(z) = 0, disebut imajiner murni.

Contoh 4 : z = 2i. Bagian yang sebenarnya hilang a = Re(z) = 0, dan bagian imajiner b = Im(z) = 2.

Contoh 5 . z=-8i. Ini bagian imajinernya b=Im(z)=-8, bagian nyata a = Re(z) = 0.

Bilangan kompleks konjugasi

Bilangan konjugat kompleks dilambangkan "z" dengan batang dan digunakan, misalnya, untuk menemukan hasil bagi dua bilangan kompleks, dengan kata lain, untuk menerapkan pembagian bilangan. Mereka yang sekarang berpikir, Anda di sini - baca tentang pembagian bilangan kompleks.

Bilangan disebut konjugat kompleks, mereka memiliki bagian nyata yang sama dan hanya berbeda dalam tanda bagian imajiner. Pertimbangkan sebuah contoh:

Contoh 6 . Konjugasi kompleks suatu bilangan z = 7 + 13i adalah angka.

Satuan imajiner dari bilangan kompleks

Dan akhirnya, mari kita bicara tentang surat itu saya. Huruf yang sama yang membentuk komponen imajiner dalam bilangan kompleks. Bahkan jika kita memiliki ekspresi z=5, itu hanya berarti bahwa bagian imajiner dari angka yang diberikan adalah nol dan bagian sebenarnya adalah lima.

Nilai saya ditelepon satuan imajiner.

Satuan imajiner berguna ketika memecahkan persamaan kuadrat dalam kasus ketika diskriminan kurang dari nol. Kita terbiasa percaya bahwa jika negatif, tidak ada solusi, tidak ada akar. Ini tidak sepenuhnya benar. Akar ada, mereka hanya kompleks. Tapi lebih lanjut tentang itu nanti. Dan sekarang, mari kita beralih ke artikel berikutnya tentang studi bilangan kompleks, kita akan belajar cara menghitung

Ingat informasi yang diperlukan tentang bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk Sebuah + dua, di mana Sebuah, B adalah bilangan real, dan saya- disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya -1, mis. saya 2 = -1. Nomor Sebuah ditelepon bagian nyata, dan bilangan B - bagian imajiner bilangan kompleks z = Sebuah + dua. Jika sebuah B= 0, maka alih-alih Sebuah + 0saya menulis sederhana Sebuah. Dapat dilihat bahwa bilangan real adalah kasus khusus dari bilangan kompleks.

Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan operasi aritmatika: dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi satu sama lain. Penjumlahan dan pengurangan dilakukan menurut aturan ( Sebuah + dua) ± ( C + di) = (Sebuah ± C) + (B ± D)saya, dan perkalian - menurut aturan ( Sebuah + dua) · ( C + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)saya(ini hanya digunakan itu saya 2 = -1). Nomor = Sebuah – dua ditelepon konjugasi kompleks ke z = Sebuah + dua. Persamaan z · = Sebuah 2 + B 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lain (bukan nol):

(Sebagai contoh, .)

Bilangan kompleks memiliki representasi geometris yang nyaman dan visual: bilangan z = Sebuah + dua dapat direpresentasikan sebagai vektor dengan koordinat ( Sebuah; B) pada bidang Cartesian (atau, yang hampir sama, titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat ditemukan dengan aturan jajaran genjang). Dengan teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( Sebuah; B) adalah sama dengan . Nilai ini disebut modul bilangan kompleks z = Sebuah + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat oleh vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumen tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya hingga penambahan kelipatan 2 π radian (atau 360°, jika Anda menghitung dalam derajat) - setelah semua, jelas bahwa memutar melalui sudut seperti itu di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjang R membentuk sudut φ dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya sama dengan ( R karena φ ; R dosa φ ). Oleh karena itu ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| (cos(Arg z) + saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri terlihat sangat sederhana: z satu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + saya dosa (Arg z 1+arg z 2)) (ketika mengalikan dua bilangan kompleks, modulusnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti Formula De Moivre: z n = |z|n(karena( n(Arg z)) + saya dosa( n(Arg z))). Dengan bantuan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar tingkat apa pun dari bilangan kompleks. akar ke-n dari z adalah bilangan kompleks w, Apa w n = z. Sudah jelas itu , Dan dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., n- satu). Ini berarti selalu ada tepat n akar n derajat ke-th dari bilangan kompleks (pada bidang mereka terletak di simpul-simpul reguler n-gon).