Tegak lurus adalah hubungan antara berbagai objek dalam ruang Euclidean - garis, bidang, vektor, subruang, dan sebagainya. Dalam materi ini, kita akan melihat lebih dekat garis tegak lurus dan fitur karakteristik yang terkait dengannya. Dua garis dapat disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus) jika keempat sudut yang dibentuk oleh perpotongannya tepat sembilan puluh derajat.

Ada sifat-sifat tertentu dari garis tegak lurus yang direalisasikan pada bidang:

Konstruksi garis tegak lurus

Garis tegak lurus dibangun di atas bidang menggunakan persegi. Setiap juru gambar harus ingat bahwa fitur penting dari setiap bujur sangkar adalah bahwa ia harus memiliki sudut siku-siku. Untuk membuat dua garis tegak lurus, kita harus mencocokkan salah satu dari dua sisi sudut siku-siku . kita

menggambar persegi dengan garis lurus tertentu dan menggambar garis lurus kedua di sepanjang sisi kedua sudut siku-siku ini. Ini akan membuat dua garis tegak lurus.

ruang tiga dimensi

Fakta yang menarik adalah bahwa garis tegak lurus dapat diwujudkan dan dalam hal ini dua garis akan disebut demikian jika masing-masing sejajar dengan dua garis lain yang terletak pada bidang yang sama dan juga tegak lurus di dalamnya. Selain itu, jika hanya dua garis lurus yang dapat tegak lurus pada sebuah bidang, maka dalam ruang tiga dimensi sudah ada tiga. Selain itu, jumlah garis tegak lurus (atau bidang) dapat lebih ditingkatkan.

Garis tegak lurus muncul di hampir setiap masalah geometris. Kadang-kadang tegak lurus garis diketahui dari kondisi, sedangkan dalam kasus lain tegak lurus garis harus dibuktikan. Untuk membuktikan tegak lurus dua garis, cukup untuk menunjukkan, dengan menggunakan metode geometris apa pun, bahwa sudut antara garis adalah sembilan puluh derajat.

Dan bagaimana menjawab pertanyaan "Apakah garis-garisnya tegak lurus" jika diketahui persamaan yang mendefinisikan garis-garis ini pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi?

Untuk ini, Anda harus menggunakan syarat perlu dan syarat cukup agar dua garis tegak lurus. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema.

Dalil.

Sebuah dan B perlu dan cukup bahwa vektor arahnya lurus Sebuah tegak lurus terhadap vektor arah garis B.

Pembuktian kondisi tegak lurus garis ini didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan pada definisi garis tegak lurus.

Mari kita tambahkan beberapa hal spesifik.

Biarkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang diperkenalkan di pesawat oxy dan persamaan garis pada bidang dari beberapa bentuk diberikan, mendefinisikan garis Sebuah dan B. Tunjukkan vektor arah garis tetapi dan B serta masing-masing. Menurut persamaan garis Sebuah dan B dimungkinkan untuk menentukan koordinat vektor arah garis-garis ini - kita dapatkan dan . Kemudian, untuk tegak lurus garis Sebuah dan B perlu dan cukup bahwa kondisi tegak lurus dari vektor dan dipenuhi, yaitu, bahwa produk skalar dari vektor dan sama dengan nol: .

Jadi, Sebuah dan B dalam sistem koordinat persegi panjang oxy di pesawat memiliki bentuk , di mana dan adalah vektor arah garis Sebuah dan B masing-masing.

Kondisi ini nyaman digunakan ketika mudah untuk menemukan koordinat vektor pengarah dari garis lurus, dan juga ketika garis lurus Sebuah dan B sesuai dengan persamaan kanonik garis pada bidang atau persamaan parametrik dari garis pada bidang.

Contoh.

Dalam sistem koordinat persegi panjang oxy tiga poin diberikan. Apakah garis-garisnya tegak lurus? AB dan AC?

Keputusan.

Vektor dan merupakan vektor arah garis AB dan AC. Mengacu pada artikel, koordinat vektor dengan koordinat titik awal dan akhir, kami menghitung . Vektor dan tegak lurus, karena . Dengan demikian, kondisi perlu dan cukup untuk tegak lurus garis dipenuhi AB dan AC. Oleh karena itu, langsung AB dan AC tegak lurus.

Menjawab:

Ya, garisnya tegak lurus.

Contoh.

Lurus dan tegak lurus?

Keputusan.

mengarahkan vektor langsung , dan - mengarahkan vektor langsung . Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor dan : . Ini bukan nol, maka vektor arah garis tidak tegak lurus. Artinya, kondisi tegak lurus garis tidak terpenuhi, oleh karena itu, garis asli tidak tegak lurus.

Menjawab:

Tidak, garisnya tidak tegak lurus.

Juga, syarat perlu dan syarat cukup untuk tegak lurus garis Sebuah dan B dalam sistem koordinat persegi panjang oxyz dalam ruang tiga dimensi memiliki bentuk , di mana dan - vektor arah garis lurus Sebuah dan B masing-masing.

Contoh.

Apakah garis-garis yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang tegak lurus? oxyz dalam ruang tiga dimensi dengan persamaan dan ?

Keputusan.

Angka-angka dalam penyebut persamaan kanonik garis lurus dalam ruang adalah koordinat yang sesuai dari vektor pengarah garis lurus. Dan koordinat vektor pengarah garis lurus, yang diberikan oleh persamaan parametrik garis lurus dalam ruang, adalah koefisien parameter. Lewat sini, dan adalah vektor arah dari garis yang diberikan. Mari kita cari tahu apakah mereka tegak lurus: . Karena hasil kali titik adalah nol, vektor-vektor ini tegak lurus. Ini berarti bahwa kondisi tegak lurus dari garis-garis yang diberikan terpenuhi.

Menjawab:

garis-garisnya tegak lurus.

Untuk memeriksa tegak lurus dari dua garis di pesawat, ada kondisi lain yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus.

Dalil.

Untuk garis tegak lurus Sebuah dan B pada bidang itu perlu dan cukup bahwa vektor normal garis Sebuah tegak lurus terhadap vektor normal garis B.

Kondisi tegak lurus garis yang terdengar nyaman digunakan jika koordinat vektor normal garis mudah ditemukan dari persamaan garis yang diberikan. Pernyataan ini sesuai dengan persamaan umum garis lurus berbentuk , persamaan garis lurus dalam segmen dan persamaan garis lurus dengan kemiringan .

Contoh.

Pastikan lurus dan tegak lurus.

Keputusan.

Mengingat persamaan garis, mudah untuk menemukan koordinat vektor normal dari garis-garis ini. adalah vektor garis normal . Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana koordinat vektor normal garis ini terlihat: .

Vektor dan tegak lurus, karena produk skalarnya nol: . Dengan demikian, kondisi perlu dan cukup agar garis-garis yang diberikan tegak lurus dipenuhi, yaitu, garis-garis itu memang tegak lurus.

Secara khusus, jika direct Sebuah pada bidang mendefinisikan persamaan garis lurus dengan kemiringan bentuk , dan garis lurus B– dari bentuk , maka vektor normal dari garis-garis ini memiliki koordinat dan masing-masing, dan kondisi tegak lurus garis-garis ini dikurangi menjadi hubungan berikut antara lereng .

Contoh.

Apakah garis dan ?

Keputusan.

Kemiringan garis adalah , dan kemiringan garis adalah . Produk dari koefisien kemiringan sama dengan minus satu, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Menjawab:

garis yang diberikan tegak lurus.

Satu lagi syarat tegak lurus garis lurus pada bidang dapat disuarakan.

Dalil.

Untuk garis tegak lurus Sebuah dan B pada suatu bidang perlu dan cukup bahwa vektor arah dari satu garis dan vektor normal dari garis kedua menjadi segaris.

Kondisi ini jelas nyaman digunakan ketika koordinat vektor pengarah dari satu garis dan koordinat vektor normal dari garis kedua mudah ditemukan, yaitu, ketika satu garis diberikan oleh persamaan kanonik atau persamaan parametrik dari garis tersebut. di pesawat, dan yang kedua - baik dengan persamaan umum garis, atau dengan persamaan garis dalam segmen, atau persamaan garis lurus dengan kemiringan.

Contoh.

Apakah lurus dan tegak lurus?

Keputusan.

Jelas, adalah vektor normal dari garis lurus, dan merupakan vektor pengarah dari garis lurus. Vektor dan tidak collinear, karena mereka tidak memenuhi kondisi collinarity dari dua vektor (tidak ada bilangan real seperti itu t, di mana ). Oleh karena itu, garis-garis yang diberikan tidak tegak lurus.

Menjawab:

garis tidak tegak lurus.

21. Jarak dari titik ke garis.

Jarak titik ke garis ditentukan oleh jarak titik ke titik. Mari kita tunjukkan bagaimana hal itu dilakukan.

Biarkan garis lurus diberikan pada bidang atau dalam ruang tiga dimensi Sebuah dan titik M1, tidak terletak pada garis lurus Sebuah. Mari kita lewati intinya M1 langsung B, tegak lurus garis Sebuah. Tunjukkan titik potong garis Sebuah dan B bagaimana H1. Bagian M 1 H 1 ditelepon tegak lurus ditarik dari titik M1 ke garis lurus Sebuah.

Definisi.

Jarak dari titik M1 lurus Sebuah sebut jarak antara titik M1 dan H1.

Namun, definisi jarak dari titik ke garis lebih umum, di mana panjang tegak lurus muncul.

Definisi.

Jarak dari titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke garis tertentu.

Definisi ini setara dengan definisi pertama jarak dari suatu titik ke garis.

Perhatikan bahwa jarak dari suatu titik ke garis adalah jarak terkecil dari titik itu ke titik-titik pada garis yang diberikan. Mari kita tunjukkan.

Mari kita luruskan Sebuah titik Q, yang tidak sesuai dengan titik M1. Bagian M 1 Q ditelepon miring ditarik dari titik M1 ke garis lurus Sebuah. Kita perlu menunjukkan bahwa tegak lurus yang ditarik dari titik M1 ke garis lurus Sebuah, kurang dari kemiringan yang ditarik dari titik M1 ke garis lurus Sebuah. Ini benar-benar: segitiga M 1 QH 1 persegi panjang dengan sisi miring M 1 Q, dan panjang sisi miring selalu lebih besar dari panjang salah satu kaki, oleh karena itu, .

22. Pesawat di luar angkasa R3. Persamaan pesawat.

Sebuah pesawat dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian dapat diberikan oleh persamaan, yang disebut persamaan umum pesawat.

Definisi. Vektor tegak lurus terhadap bidang dan disebut vektor biasa.

Jika dalam sistem koordinat persegi panjang diketahui koordinat tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka persamaan bidangnya ditulis sebagai: .

Setelah menghitung determinan ini, kita memperoleh persamaan umum bidang.

Contoh. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut.

Keputusan:

Persamaan bidang: .

23. Studi tentang persamaan umum pesawat.

Definisi 2. Setiap vektor yang tegak lurus terhadap suatu bidang disebut vektor normal dari bidang tersebut.

Jika titik tetap diketahui M 0 (x 0 , kamu 0 , z 0) terletak pada bidang yang diberikan dan vektor tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, maka persamaan bidang yang melalui titik M 0 (x 0 , kamu 0 , z 0), tegak lurus terhadap vektor , memiliki bentuk

SEBUAH(x-x 0)+ B(Y y 0)+ C(z-z 0)= 0. (3.22)

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (3.22) adalah persamaan umum bidang (3.21). Untuk melakukan ini, buka tanda kurung dan kumpulkan istilah bebas dalam tanda kurung:

.Kapak + Oleh + Cz +(-kapak 0 -Oleh-Cz 0)= 0

menunjukkan D = -kapak 0 -Oleh-Cz 0, kita mendapatkan persamaan Kapak + Oleh + Cz + D= 0.

Tugas 1. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik A tegak lurus terhadap vektor, jika SEBUAH(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Keputusan. Mari kita cari vektor normal pesawat:

Untuk mencari persamaan bidang, kita menggunakan persamaan (3.22):

Menjawab: -3x + 5kamu + 2z + 25 = 0.

Tugas 2. Tuliskan persamaan bidang yang melalui sebuah titik M 0 (-1, 2, -1), tegak lurus sumbu ons.

Keputusan. Sebagai vektor normal dari bidang yang diinginkan, Anda dapat mengambil vektor apa pun yang terletak pada sumbu OZ, misalnya, , maka persamaan bidang

Menjawab: z + 1 = 0.

24. Jarak dari suatu titik ke bidang.

Jarak dari suatu titik ke bidang ditentukan melalui jarak dari suatu titik ke suatu titik, salah satunya adalah titik tertentu, dan yang lainnya adalah proyeksi titik tertentu ke bidang tertentu.

Biarkan sebuah titik diberikan dalam ruang tiga dimensi M 1 dan pesawat. Mari kita lewati intinya M 1 langsung Sebuah tegak lurus terhadap bidang. Tunjukkan titik potong garis Sebuah dan pesawat seperti H1. Bagian M 1 H 1 ditelepon tegak lurus, diturunkan dari titik M 1 ke bidang dan titik H1 – dasar tegak lurus.

Definisi.

adalah jarak dari suatu titik tertentu ke dasar suatu garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik tertentu ke suatu bidang tertentu.

Definisi jarak dari suatu titik ke bidang lebih umum dalam bentuk berikut.

Definisi.

Jarak dari titik ke bidang adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik tertentu ke bidang tertentu.

Perlu dicatat bahwa jarak dari titik M 1 ke pesawat, yang didefinisikan dengan cara ini, adalah jarak terkecil dari titik yang diberikan M 1 ke setiap titik di pesawat. Memang, biarkan intinya H2 terletak pada bidang dan berbeda dari suatu titik H1. Jelas segitiga M 2 H 1 H 2 adalah persegi panjang, M 1 H 1- kateter, dan M 1 H 2 adalah hipotenusa, jadi . Ngomong-ngomong, potongannya M 1 H 2 ditelepon miring ditarik dari titik M 1 ke pesawat. Jadi, garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik tertentu ke bidang tertentu selalu lebih kecil dari garis miring yang ditarik dari titik yang sama ke bidang tertentu.

Jika sebuah garis melalui dua titik yang diberikan , lalu dia persamaan ditulis dalam bentuk : .

Definisi. Vektor disebut membimbing vektor garis jika sejajar dengan atau milik itu.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan .

Solusi: Kami menggunakan rumus umum garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan: - persamaan kanonik dari garis lurus yang melalui titik dan . Vektor adalah vektor pemandu langsung.

26. Saling menyusun garis dalam ruang R3.

Mari kita beralih ke opsi untuk pengaturan timbal balik dari dua garis dalam ruang.

Pertama, dua garis dapat bertepatan, yaitu, memiliki banyak titik persekutuan yang tak terhingga (setidaknya dua titik persekutuan).

Kedua, dua garis dalam ruang dapat berpotongan, yaitu memiliki satu titik yang sama. Dalam hal ini, kedua garis ini terletak pada suatu bidang ruang tiga dimensi. Jika dua garis berpotongan dalam ruang, maka kita sampai pada konsep sudut antara garis yang berpotongan.

Ketiga, dua garis dalam ruang dapat sejajar. Dalam hal ini, mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama. Kami sarankan untuk mempelajari artikel garis sejajar, garis sejajar.

Setelah kita memberikan definisi garis sejajar dalam ruang, kita harus mengatakan tentang vektor arah garis lurus karena kepentingannya. Setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis ini atau pada garis yang sejajar dengan vektor yang diberikan akan disebut vektor pengarah garis. Vektor arah garis lurus sangat sering digunakan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis lurus dalam ruang.

Akhirnya, dua garis dalam ruang tiga dimensi bisa miring. Dua garis dalam ruang dikatakan berpotongan jika tidak terletak pada bidang yang sama. Susunan timbal balik dari dua garis dalam ruang ini membawa kita pada konsep sudut antara garis miring.

Yang paling penting secara praktis adalah kasus ketika sudut antara garis berpotongan atau miring dalam ruang tiga dimensi adalah sembilan puluh derajat. Garis seperti itu disebut tegak lurus (lihat artikel garis tegak lurus, garis tegak lurus).

27. Susunan bersama antara garis lurus dan bidang dalam ruang R3.

Sebuah garis lurus dapat terletak pada suatu bidang tertentu, sejajar dengan suatu bidang tertentu atau berpotongan di satu titik, lihat gambar berikut.

Jika , maka ini berarti . Dan ini hanya mungkin jika garis terletak pada bidang atau sejajar dengannya. Jika garis terletak pada bidang datar, maka setiap titik pada garis adalah titik pada bidang, dan koordinat setiap titik pada garis memenuhi persamaan bidang. Oleh karena itu, cukup diperiksa apakah titik tersebut terletak pada bidang. Jika , maka titik - terletak pada bidang, yang berarti bahwa garis itu sendiri terletak pada bidang.

Jika , a , maka titik pada garis tidak terletak pada bidang, yang berarti bahwa garis tersebut sejajar dengan bidang.

Teorema telah terbukti.

anaz. saling tegak lurus jika l tegak lurus terhadap sembarang garis yang terletak di a. Untuk generalisasi konsep tegak lurus, lihat Art. Ortogonalitas.

ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa itu "HAK TEGAS" di kamus lain:

Relasi biner antara entitas yang berbeda (vektor, garis, subruang, dll.) dalam ruang Euclidean. Kasus khusus ortogonalitas. Isi 1 Di pesawat 1.1 Tegak lurus ... Wikipedia

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat berbagai bentuk (titik, garis, sudut, benda dua dimensi dan tiga dimensi), ukuran dan posisi relatifnya. Untuk kenyamanan mengajar, geometri dibagi menjadi planimetri dan geometri padat. PADA… … Ensiklopedia Collier

SISTEM KOORDINAT KARTESIS, sistem koordinat bujursangkar pada bidang atau ruang (biasanya dengan sumbu yang saling tegak lurus dan skala yang sama sepanjang sumbu). Dinamakan setelah R. Descartes (lihat DECARTS Rene). Descartes pertama kali memperkenalkan... kamus ensiklopedis

Cabang geometri yang mempelajari benda-benda geometris paling sederhana melalui aljabar dasar berdasarkan metode koordinat. Penciptaan geometri analitik biasanya dikaitkan dengan R. Descartes, yang menguraikan dasar-dasarnya dalam bab terakhir dari ... ... Ensiklopedia Collier

Suatu ruang yang memiliki lebih dari tiga dimensi (dimensi). Ruang nyata adalah tiga dimensi. Tiga garis yang saling tegak lurus dapat ditarik melalui masing-masing titiknya, tetapi empat tidak lagi dapat ditarik. Jika kita mengambil ketiga garis ini sebagai sumbu ... ... kamus ensiklopedis

Dunia di sekitar kita dinamis dan beragam, dan tidak setiap objek dapat diukur dengan penggaris. Untuk transfer seperti itu, teknik khusus digunakan, seperti triangulasi. Kebutuhan untuk mengkompilasi sapuan yang rumit, sebagai suatu peraturan, ... ... Wikipedia

Geometri yang mirip dengan geometri Euclid dalam hal mendefinisikan pergerakan angka, tetapi berbeda dari geometri Euclid karena salah satu dari lima postulatnya (yang kedua atau kelima) diganti dengan negasinya. Penolakan salah satu postulat Euclidean ... ... Ensiklopedia Collier

- (historis) Konsep awal K. dapat ditemukan bahkan di antara orang-orang biadab, terutama mereka yang tinggal di sepanjang tepi sungai dan di sekitar Anda dan memiliki gagasan yang kurang lebih jelas tentang daerah-daerah di sekitar wilayah mereka. Pelancong yang mempertanyakan Eskimo dari Amerika Selatan dan ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Bagian geometri. Konsep dasar geometri aljabar adalah gambar geometri paling sederhana (titik, garis, bidang, kurva, dan permukaan orde kedua). Sarana utama penelitian di A. g. adalah metode koordinat (lihat di bawah) dan metode ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Bagian geometri. Konsep dasar A.g. adalah geometri paling sederhana. gambar (titik, garis, bidang, kurva, dan permukaan orde ke-2). Sarana utama penelitian dalam A.g. adalah metode koordinat dan metode aljabar dasar. ... ... Ensiklopedia Matematika

Buku

• Satu set meja. Geometri. kelas 7. 14 tabel + metodologi, . Meja dicetak di atas karton poligrafik tebal berukuran 680 x 980 mm. Kit ini mencakup brosur dengan rekomendasi metodologis untuk guru. Album edukasi 14 lembar. balok dan sudut...

Artikel ini membahas masalah garis tegak lurus pada bidang dan ruang tiga dimensi. Kami akan menganalisis secara rinci definisi garis tegak lurus dan peruntukannya dengan contoh yang diberikan. Pertimbangkan kondisi untuk menerapkan kondisi perlu dan cukup untuk tegak lurus dua garis dan pertimbangkan secara rinci dengan sebuah contoh.

Sudut antara garis berpotongan di ruang angkasa bisa benar. Maka garis-garis yang diberikan dikatakan tegak lurus. Ketika sudut antara garis miring adalah garis lurus, maka garis tersebut juga tegak lurus. Oleh karena itu, garis tegak lurus pada bidang berpotongan, dan garis tegak lurus dalam ruang dapat berpotongan dan miring.

Artinya, konsep "garis a dan b tegak lurus" dan "garis b dan a tegak lurus" dianggap sama. Di sinilah konsep garis yang saling tegak lurus berasal. Meringkas hal di atas, pertimbangkan definisinya.

Definisi 1

Dua garis disebut tegak lurus jika sudut perpotongannya 90 derajat.

Tegak lurus dilambangkan dengan "⊥", dan notasinya menjadi a b, yang berarti bahwa garis a tegak lurus dengan garis b.

Misalnya, garis tegak lurus pada bidang dapat berupa sisi persegi dengan titik sudut yang sama. Dalam ruang tiga dimensi, garis O x , O z , O y tegak lurus berpasangan: O x dan O z , O x dan O y , O y dan O z .

Tegak lurus garis - kondisi tegak lurus

Anda perlu mengetahui sifat-sifat tegak lurus, karena sebagian besar masalah datang untuk memeriksanya untuk solusi selanjutnya. Ada kasus ketika tegak lurus sudah dibahas dalam kondisi penugasan atau ketika perlu untuk menggunakan bukti. Untuk membuktikan tegak lurus, cukup sudut antara garis-garis itu siku-siku.

Untuk menentukan tegak lurusnya dengan persamaan yang diketahui dari sistem koordinat persegi panjang, perlu untuk menerapkan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus garis. Mari kita lihat susunan kata.

Teorema 1

Agar garis a dan b tegak lurus, perlu dan cukup bahwa vektor arah garis memiliki tegak lurus terhadap vektor arah garis b yang diberikan.

Pembuktian itu sendiri didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan pada definisi tegak lurus garis.

Bukti 1

Biarkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang O y diperkenalkan dengan persamaan garis lurus pada bidang yang ditentukan, yang menentukan garis a dan b. Kami menyatakan vektor arah garis a dan b sebagai a → dan b → . Dari persamaan garis a dan b, syarat perlu dan cukup adalah tegak lurus dari vektor a → dan b → . Ini hanya mungkin jika produk skalar dari vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) sama dengan nol, dan notasinya adalah a → , b → = a x b x + a y b y = 0 . Kami memperoleh bahwa kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus garis a dan blok dalam sistem koordinat persegi panjang O x y pada bidang adalah a → , b → = a x b x + a y b y = 0 , di mana a → = (a x , a y) dan b → = b x , b y adalah vektor arah dari garis a dan b .

Kondisi ini dapat diterapkan bila perlu untuk menemukan koordinat vektor arah atau dengan adanya persamaan kanonik atau parametrik garis pada bidang garis a dan b yang diberikan.

Contoh 1

Tiga titik A (8 , 6) , B (6 , 3) ​​, C (2 , 10) diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y. Tentukan apakah garis A B dan A C tegak lurus atau tidak.

Keputusan

Garis A B dan A C masing-masing memiliki vektor arah A B → dan A C →. Pertama, mari kita hitung A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Kami memperoleh bahwa vektor A B → dan A C → tegak lurus dari properti produk skalar vektor sama dengan nol.

A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0

Jelas bahwa kondisi perlu dan cukup terpenuhi, yang berarti bahwa A B dan A C tegak lurus.

Menjawab: garis-garisnya tegak lurus.

Contoh 2

Tentukan apakah garis-garis yang diberikan x - 1 2 = y - 7 3 dan x = 1 + y = 2 - 2 · tegak lurus atau tidak.

Keputusan

a → = (2 , 3) ​​​​adalah vektor arah dari garis yang diberikan x - 1 2 = y - 7 3 ,

b → = (1 , - 2) adalah vektor arah dari garis x = 1 + y = 2 - 2 · .

Mari kita lanjutkan ke perhitungan produk skalar dari vektor a → dan b → . Ekspresi akan ditulis:

a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 0

Hasil perkalian tidak sama dengan nol, dapat kita simpulkan bahwa vektor-vektor tersebut tidak tegak lurus, artinya garis-garisnya juga tidak tegak lurus.

Menjawab: garis tidak tegak lurus.

Syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus garis a dan b diterapkan untuk ruang tiga dimensi, ditulis sebagai a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 , di mana a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) adalah vektor arah garis a dan b .

Contoh 3

Periksa tegak lurus garis dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, yang diberikan oleh persamaan x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 dan x \u003d y \u003d 1 + 2 z = 4

Keputusan

Penyebut dari persamaan kanonik garis lurus dianggap sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus. Koordinat vektor arah dari persamaan parametrik adalah koefisien. Oleh karena itu a → = (2 , - 1 , 0) dan b → = (1 , 2 , 4) adalah vektor arah dari garis yang diberikan. Untuk mengidentifikasi tegak lurus mereka, kami menemukan produk skalar vektor.

Ekspresi menjadi a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 .

Vektor-vektornya tegak lurus karena hasil kali sama dengan nol. Kondisi perlu dan cukup terpenuhi, yang berarti bahwa garis-garisnya juga tegak lurus.

Menjawab: garis-garisnya tegak lurus.

Pemeriksaan tegak lurus dapat dilakukan berdasarkan kondisi lain yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus.

Teorema 2

Garis a dan b pada bidang dianggap tegak lurus ketika vektor normal garis a tegak lurus terhadap vektor b, ini adalah kondisi perlu dan cukup.

Bukti 2

Kondisi ini berlaku ketika persamaan garis memberikan penemuan cepat dari koordinat vektor normal dari garis yang diberikan. Artinya, jika ada persamaan umum garis lurus berbentuk A x + B y + C \u003d 0, persamaan garis lurus dalam segmen berbentuk x a + y b \u003d 1, persamaan garis lurus garis dengan kemiringan bentuk y \u003d k x + b, koordinat vektor dapat ditemukan.

Contoh 4

Tentukan apakah garis 3 x - y + 2 = 0 dan x 3 2 + y 1 2 = 1 tegak lurus.

Keputusan

Berdasarkan persamaan mereka, perlu untuk menemukan koordinat vektor normal dari garis lurus. Kita peroleh bahwa n → = (3 , - 1) adalah vektor normal untuk garis 3 x - y + 2 = 0 .

Mari kita sederhanakan persamaan x 3 2 + y 1 2 = 1 ke bentuk 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Sekarang koordinat vektor normal terlihat jelas, yang kita tulis dalam bentuk ini n b → = 2 3 , 2 .

Vektor n a → = (3 , - 1) dan n b → = 2 3 , 2 akan tegak lurus, karena hasil kali skalarnya akan menghasilkan nilai yang sama dengan 0 . Kami mendapatkan n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 .

Syarat perlu dan cukup terpenuhi.

Menjawab: garis-garisnya tegak lurus.

Ketika garis a pada bidang didefinisikan menggunakan persamaan kemiringan y = k 1 x + b 1 , dan garis b - y = k 2 x + b 2 , maka vektor normal akan memiliki koordinat (k 1 , - 1) dan (k 2 , - 1) . Kondisi tegak lurus itu sendiri berkurang menjadi k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 k 1 · k 2 = - 1 .

Contoh 5

Tentukan apakah garis y = - 3 7 x dan y = 7 3 x - 1 2 tegak lurus.

Keputusan

Garis lurus y = - 3 7 x memiliki kemiringan sama dengan - 3 7 , dan garis lurus y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .

Produk dari koefisien kemiringan memberikan nilai - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, yaitu, garis-garisnya tegak lurus.

Menjawab: garis yang diberikan tegak lurus.

Ada syarat lain yang digunakan untuk menentukan tegak lurus garis pada bidang.

Teorema 3

Agar garis a dan b tegak lurus pada bidang, syarat perlu dan cukup adalah kolinearitas vektor arah salah satu garis dengan vektor normal garis kedua.

Bukti 3

Kondisi ini dapat diterapkan bila dimungkinkan untuk menemukan vektor arah dari satu garis dan koordinat vektor normal dari yang lain. Dengan kata lain, satu garis lurus diberikan oleh persamaan kanonik atau parametrik, dan yang lainnya oleh persamaan umum garis lurus, persamaan segmen, atau persamaan garis lurus dengan kemiringan.

Contoh 6

Tentukan apakah garis-garis yang diberikan x - y - 1 = 0 dan x 0 = y - 4 2 tegak lurus.

Keputusan

Diketahui vektor normal garis x - y - 1 = 0 memiliki koordinat n a → = (1 , - 1) , dan b → = (0 , 2) adalah vektor arah garis x 0 = y - 4 2 .

Hal ini menunjukkan bahwa vektor n a → = (1, - 1) dan b → = (0, 2) tidak kolinear, karena kondisi kolinearitas tidak terpenuhi. Tidak ada bilangan t sedemikian sehingga persamaan n a → = t · b → berlaku. Jadi kesimpulannya bahwa garis-garis tersebut tidak tegak lurus.

Menjawab: garis tidak tegak lurus.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dua garis disebut tegak lurus jika mereka berpotongan tegak lurus.
Garis a memotong garis b pada sudut siku-siku di titik A. Anda dapat mengarahkan kursor menggunakan ikon tegak lurus: a b. Bunyinya seperti ini: garis a tegak lurus dengan garis b.
Perlu dicatat bahwa sudut yang berdekatan dan sudut vertikal dengan sudut siku-siku juga merupakan sudut siku-siku.

Melalui setiap titik garis, seseorang dapat menggambar garis yang tegak lurus terhadapnya, dan hanya satu.

Bukti.

Biarkan b menjadi garis tertentu dan titik A milik garis ini. Ambil beberapa sinar b1 pada garis b dengan titik awal di A. Mari kita sisihkan sudut (a1b1) sebesar 90° dari sinar b1. Menurut definisi, garis yang mengandung sinar a1 akan tegak lurus terhadap garis b.
Misalkan ada garis lain yang tegak lurus terhadap garis b dan melalui titik A. Ambil pada garis ini sebuah sinar c1 yang berasal dari titik A dan terletak pada setengah bidang yang sama dengan sinar a1. Maka (a1b1) = (c1b1) = 90 . Tetapi menurut aksioma 8, hanya satu sudut yang sama dengan 90 yang dapat disisihkan pada setengah bidang ini. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menarik garis lain yang tegak lurus terhadap garis b melalui titik A ke dalam setengah bidang yang diberikan. Teorema telah terbukti.

Garis tegak lurus terhadap suatu garis adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu yang salah satu ujungnya berada di titik perpotongan. Ujung segmen ini disebut alas tegak lurus. AB tegak lurus garis a. Titik A adalah alas dari garis tegak lurus.