Dapat ditentukan dengan cara yang berbeda (satu titik dan satu vektor, dua titik dan satu vektor, tiga titik, dll.). Mengingat hal inilah persamaan bidang dapat memiliki bentuk yang berbeda-beda. Selain itu, dalam kondisi tertentu, bidang dapat sejajar, tegak lurus, berpotongan, dll. Kami akan membicarakan hal ini di artikel ini. Kita akan belajar cara membuat persamaan umum bidang dan banyak lagi.

Bentuk persamaan normal

Katakanlah ada ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat XYZ persegi panjang. Mari kita definisikan vektor α yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui ujung vektor α kita menggambar sebuah bidang P yang tegak lurus terhadapnya.

Mari kita nyatakan titik sembarang di P sebagai Q = (x, y, z). Mari kita tandatangani vektor jari-jari titik Q dengan huruf p. Dalam hal ini, panjang vektor α sama dengan р=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ini adalah vektor satuan yang arahnya ke samping, seperti vektor α. α, β dan γ adalah sudut yang terbentuk antara vektor Ʋ dan arah positif sumbu ruang x, y, z. Proyeksi titik mana pun QϵП ke vektor Ʋ adalah nilai konstanta yang sama dengan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Persamaan di atas masuk akal ketika p=0. Satu-satunya hal adalah bidang P dalam hal ini akan memotong titik O (α=0), yang merupakan titik asal koordinat, dan vektor satuan Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yaitu berarti vektor Ʋ ditentukan dengan tanda yang tepat. Persamaan sebelumnya adalah persamaan bidang P kita, dinyatakan dalam bentuk vektor. Namun secara koordinat akan terlihat seperti ini:

P di sini lebih besar dari atau sama dengan 0. Kita telah menemukan persamaan bidang di ruang angkasa dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika kita mengalikan persamaan dalam koordinat dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, kita memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini, yang mendefinisikan bidang tersebut. Ini akan terlihat seperti ini:

Di sini A, B, C adalah bilangan-bilangan yang sekaligus berbeda dari nol. Persamaan ini disebut persamaan bidang umum.

Persamaan pesawat. Kasus khusus

Persamaan dalam bentuk umum dapat dimodifikasi dengan adanya kondisi tambahan. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Misalkan koefisien A adalah 0. Artinya bidang ini sejajar dengan sumbu Ox tertentu. Dalam hal ini, bentuk persamaannya akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Demikian pula, bentuk persamaannya akan berubah pada kondisi berikut:

• Pertama, jika B = 0, maka persamaannya akan berubah menjadi Ax + Cz + D = 0 yang menunjukkan paralelisme terhadap sumbu Oy.
• Kedua, jika C=0, maka persamaan tersebut akan diubah menjadi Ax+By+D=0, yang menunjukkan paralelisme dengan sumbu Oz yang diberikan.
• Ketiga, jika D=0, persamaannya akan terlihat seperti Ax+By+Cz=0, artinya bidang tersebut memotong O (titik asal).
• Keempat, jika A=B=0, maka persamaannya akan berubah menjadi Cz+D=0, yang terbukti sejajar dengan Oxy.
• Kelima, jika B=C=0, maka persamaannya menjadi Ax+D=0, artinya bidang yang menghadap Oyz sejajar.
• Keenam, jika A=C=0, maka persamaannya akan berbentuk Ву+D=0, yaitu akan melaporkan paralelisme ke Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam hal bilangan A, B, C, D berbeda dengan nol, maka bentuk persamaan (0) dapat berupa sebagai berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

dimana a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Sebagai hasilnya, perlu diperhatikan bahwa bidang ini akan memotong sumbu Ox di suatu titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c ).

Dengan mempertimbangkan persamaan x/a + y/b + z/c = 1, tidak sulit untuk membayangkan secara visual penempatan bidang relatif terhadap sistem koordinat tertentu.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n terhadap bidang P mempunyai koordinat yang merupakan koefisien persamaan umum bidang tersebut, yaitu n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat n normal, cukup mengetahui persamaan umum suatu bidang tertentu.

Saat menggunakan persamaan dalam segmen yang berbentuk x/a + y/b + z/c = 1, seperti saat menggunakan persamaan umum, Anda dapat menuliskan koordinat vektor normal apa pun pada bidang tertentu: (1/a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu memecahkan berbagai masalah. Masalah yang paling umum mencakup masalah yang melibatkan pembuktian tegak lurus atau paralelisme bidang, masalah mencari sudut antar bidang atau sudut antara bidang dan garis lurus.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan nol n yang tegak lurus terhadap bidang tertentu disebut normal untuk bidang tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam ruang koordinat (sistem koordinat persegi panjang) Oxyz diberikan:

• titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor nol n=A*i+B*j+C*k.

Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik Mₒ tegak lurus garis normal n.

Kami memilih titik sembarang dalam ruang dan menyatakannya M (x y, z). Misalkan vektor jari-jari sembarang titik M (x,y,z) adalah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jari-jari titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan termasuk dalam suatu bidang tertentu jika vektor MₒM tegak lurus terhadap vektor n. Mari kita tuliskan kondisi ortogonalitas menggunakan produk skalar:

[MₒM, n] = 0.

Karena MₒM = r-rₒ, persamaan vektor bidang tersebut akan terlihat seperti ini:

Persamaan ini dapat memiliki bentuk lain. Untuk melakukan ini, properti produk skalar digunakan, dan ruas kiri persamaan diubah. = - . Jika kita menyatakannya sebagai c, kita mendapatkan persamaan berikut: - c = 0 atau = c, yang menyatakan keteguhan proyeksi ke vektor normal dari vektor jari-jari titik-titik tertentu yang termasuk dalam bidang.

Sekarang kita dapat memperoleh bentuk koordinat penulisan persamaan vektor bidang kita = 0. Karena r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B *j+С*k, kita punya:

Ternyata kita mempunyai persamaan bidang yang melewati suatu titik yang tegak lurus garis normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat dua titik dan vektor yang segaris terhadap bidang

Mari kita definisikan dua titik sembarang M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta sebuah vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita dapat membuat persamaan untuk suatu bidang tertentu yang akan melewati titik M′ dan M″ yang ada, serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor a yang diberikan.

Dalam hal ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) harus koplanar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), artinya (M′M, M″M, a)=0.

Jadi persamaan bidang kita di luar angkasa akan terlihat seperti ini:

Jenis persamaan bidang yang memotong tiga titik

Katakanlah kita mempunyai tiga titik: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak termasuk dalam garis yang sama. Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu perlu ditulis. Teori geometri menyatakan bahwa bidang semacam ini benar-benar ada, namun merupakan satu-satunya dan unik. Karena bidang ini memotong titik (x′,y′,z′), maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Di sini A, B, C berbeda dari nol pada waktu yang sama. Selain itu, bidang tertentu memotong dua titik lagi: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

Sekarang kita dapat membuat sistem homogen dengan u, v, w yang tidak diketahui:

Dalam kasus kita, x, y atau z adalah titik sembarang yang memenuhi persamaan (1). Diberikan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan pada gambar di atas dipenuhi oleh vektor N (A,B,C) yang non-trivial. Oleh karena itu determinan sistem ini sama dengan nol.

Persamaan (1) yang kita peroleh adalah persamaan bidang. Ia melewati 3 titik dengan tepat, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu memperluas determinan kita ke dalam elemen-elemen di baris pertama. Dari sifat-sifat determinan yang ada dapat disimpulkan bahwa bidang kita secara bersamaan memotong tiga titik yang awalnya diberikan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Artinya, kami telah menyelesaikan tugas yang diberikan kepada kami.

Sudut dihedral antar bidang

Sudut dihedral adalah bangun ruang yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus. Dengan kata lain, ini adalah bagian ruang yang dibatasi oleh setengah bidang tersebut.

Katakanlah kita mempunyai dua bidang dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) tegak lurus terhadap bidang tertentu. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sama dengan sudut (dihedral) yang terletak di antara bidang-bidang tersebut. Perkalian titik mempunyai bentuk:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

justru karena

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Cukup dengan memperhitungkan bahwa 0≤φ≤π.

Faktanya, dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2. Jumlahnya sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Adapun cosinusnya nilai absolutnya sama, tetapi berbeda tandanya, yaitu cos φ 1 = -cos φ 2. Jika pada persamaan (0) kita ganti A, B dan C berturut-turut dengan bilangan -A, -B dan -C, maka persamaan yang kita peroleh akan menentukan bidang yang sama, satu-satunya, sudut φ pada persamaan cos φ= NN 1 /|.N||N 1 | akan digantikan oleh π-φ.

Persamaan bidang tegak lurus

Bidang yang sudutnya 90 derajat disebut tegak lurus. Dengan menggunakan materi di atas, kita dapat mencari persamaan suatu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya. Misalkan kita mempunyai dua bidang: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Dapat dikatakan keduanya tegak lurus jika cosφ=0. Artinya NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan bidang paralel

Dua bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan disebut sejajar.

Syaratnya (persamaannya sama seperti pada paragraf sebelumnya) adalah vektor N dan N¹ yang tegak lurus terhadap vektor tersebut adalah segaris. Artinya syarat proporsionalitas berikut terpenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika kondisi proporsionalitas diperluas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahwa bidang-bidang ini bertepatan. Artinya persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menggambarkan satu bidang.

Jarak ke pesawat dari titik

Katakanlah kita mempunyai bidang P, yang diberikan oleh persamaan (0). Kita perlu mencari jarak dari suatu titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan bidang P ke bentuk normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

Dalam hal ini, ρ (x,y,z) adalah vektor jari-jari titik Q kita yang terletak di P, p adalah panjang tegak lurus P yang dilepaskan dari titik nol, v adalah vektor satuan yang terletak di arah a.

Selisih vektor jari-jari ρ-ρº suatu titik Q = (x, y, z), milik P, serta vektor jari-jari suatu titik tertentu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) adalah suatu vektor, maka nilai mutlak proyeksi yang ke v sama dengan jarak d yang perlu dicari dari Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Jadi, kita akan menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu d yang diinginkan.

Dengan menggunakan bahasa parameter, kita mendapatkan yang jelas:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jika suatu titik Q 0 berada pada sisi lain bidang P, seperti titik asal koordinat, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v maka terdapat:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dalam hal titik Q 0 bersama dengan titik asal koordinat terletak pada sisi yang sama dengan P, maka sudut yang tercipta adalah lancip, yaitu:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Hasilnya, ternyata pada kasus pertama (ρ 0 ,v)>р, pada kasus kedua (ρ 0 ,v)<р.

Bidang singgung dan persamaannya

Bidang singgung permukaan pada titik kontak Mº adalah bidang yang memuat semua kemungkinan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut di permukaan.

Dengan persamaan permukaan seperti ini F(x,y,z)=0, persamaan bidang singgung di titik singgung Mº(xº,yº,zº) akan terlihat seperti ini:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jika Anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x,y), maka bidang singgung akan dijelaskan dengan persamaan:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Persimpangan dua bidang

Pada sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz terletak, diberikan dua bidang П′ dan П″, yang berpotongan dan tidak berimpit. Karena setiap bidang yang terletak pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum, kita asumsikan bahwa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ ″z+D″=0. Dalam hal ini, kita mempunyai n′ (A′,B′,C′) normal pada bidang P′ dan n″ normal (A″,B″,C″) pada bidang P″. Karena bidang kita tidak sejajar dan tidak berimpit, maka vektor-vektor ini tidak segaris. Dengan menggunakan bahasa matematika, kita dapat menuliskan kondisi ini sebagai berikut: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Misalkan garis lurus yang terletak pada perpotongan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = P′ ∩ P″.

a adalah garis lurus yang terdiri dari himpunan semua titik pada bidang (bersama) P′ dan P″. Artinya, koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis a harus memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″=0 secara bersamaan. . Artinya koordinat titik tersebut merupakan solusi parsial dari sistem persamaan berikut:

Hasilnya, penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat masing-masing titik garis yang menjadi titik potong P′ dan P″, serta menentukan garis lurus. a dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) di ruang angkasa.

Agar sebuah bidang dapat ditarik melalui tiga titik mana pun dalam ruang, titik-titik tersebut harus tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Perhatikan titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) pada sistem koordinat Kartesius umum.

Agar suatu titik sembarang M(x, y, z) terletak pada bidang yang sama dengan titik M 1, M 2, M 3, vektor-vektornya harus koplanar.

(
) = 0

Dengan demikian,

Persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Persamaan bidang yang diberikan dua titik dan sebuah vektor yang segaris terhadap bidang tersebut.

Misalkan titik M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) dan vektornya diberikan
.

Mari kita buat persamaan untuk sebuah bidang yang melalui titik tertentu M 1 dan M 2 dan titik sembarang M (x, y, z) yang sejajar dengan vektor .

vektor
dan vektor
harus koplanar, mis.

(
) = 0

Persamaan bidang:

Persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor,

sejajar dengan bidang.

Misalkan dua vektor diberikan
Dan
, bidang collinear. Kemudian untuk titik sembarang M(x, y, z) yang termasuk dalam bidang, vektor-vektornya
harus koplanar.

Persamaan bidang:

Persamaan bidang dengan titik dan vektor normal .

Dalil. Jika sebuah titik M diberikan pada ruang 0 (X 0 , kamu 0 , z 0 ), maka persamaan bidang yang melalui titik M 0 tegak lurus terhadap vektor normal (A, B, C) memiliki bentuk:

A(X – X 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bukti. Untuk titik sembarang M(x, y, z) yang termasuk dalam bidang, kita buat sebuah vektor. Karena vektor adalah vektor normal, maka tegak lurus bidang, dan karenanya tegak lurus terhadap vektor
. Kemudian produk skalar

= 0

Jadi, kita memperoleh persamaan bidang

Teorema tersebut terbukti.

Persamaan bidang dalam segmen.

Jika pada persamaan umum Ax + Bi + Cz + D = 0 kita bagi kedua ruasnya dengan (-D)

,

menggantikan
, kita memperoleh persamaan bidang dalam segmen:

Bilangan a, b, c masing-masing merupakan titik potong bidang dengan sumbu x, y, z.

Persamaan bidang dalam bentuk vektor.

Di mana

- vektor radius titik saat ini M(x, y, z),

Vektor satuan yang arahnya tegak lurus jatuh pada bidang dari titik asal.

,  dan  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor ini dengan sumbu x, y, z.

p adalah panjang tegak lurus ini.

Secara koordinat, persamaan ini terlihat seperti:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Jarak dari suatu titik ke bidang.

Jarak dari titik sembarang M 0 (x 0, y 0, z 0) ke bidang Ax+By+Cz+D=0 adalah:

Contoh. Carilah persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik P(4; -3; 12) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang tersebut.

Jadi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, kita menggunakan rumus:

SEBUAH(x – x 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Contoh. Tentukan persamaan bidang yang melalui dua titik P(2; 0; -1) dan

Q(1; -1; 3) tegak lurus bidang 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektor normal bidang 3x + 2y – z + 5 = 0
sejajar dengan bidang yang diinginkan.

Kita mendapatkan:

Contoh. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(2, -1, 4) dan

B(3, 2, -1) tegak lurus bidang X + pada + 2z – 3 = 0.

Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: A X+B kamu+C z+ D = 0, vektor normal pada bidang ini (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) milik pesawat. Bidang yang diberikan kepada kita, tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, mempunyai vektor normal (1, 1, 2). Karena titik A dan B berada pada kedua bidang, dan kedua bidang tersebut saling tegak lurus

Jadi vektor normalnya (11, -7, -2). Karena titik A termasuk dalam bidang yang diinginkan, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Totalnya, kita mendapatkan persamaan bidang: 11 X - 7kamu – 2z – 21 = 0.

Contoh. Carilah persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik P(4, -3, 12) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang tersebut.

Menemukan koordinat vektor normal
= (4, -3, 12). Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: 4 X – 3kamu + 12z+ D = 0. Untuk mencari koefisien D, kita substitusikan koordinat titik P ke dalam persamaan:

16 + 9 + 144 + D = 0

Secara total, kita mendapatkan persamaan yang diperlukan: 4 X – 3kamu + 12z – 169 = 0

Contoh. Diberikan koordinat titik-titik piramida A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Tentukan panjang rusuk A 1 A 2.

Tentukan sudut antara rusuk A 1 A 2 dan A 1 A 4.

Tentukan sudut antara sisi A 1 A 4 dan sisi A 1 A 2 A 3.

Pertama kita cari vektor normal pada muka A 1 A 2 A 3 sebagai perkalian silang vektor
Dan
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Mari kita cari sudut antara vektor normal dan vektor
.

-4 – 4 = -8.

Sudut yang diinginkan  antara vektor dan bidang akan sama dengan  = 90 0 - .

Hitunglah luas muka A 1 A 2 A 3.

Temukan volume piramida.

Temukan persamaan bidang A 1 A 2 A 3.

Mari kita gunakan rumus persamaan bidang yang melalui tiga titik.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + kamu + z – 4 = 0;

Saat menggunakan versi komputer “ Kursus matematika yang lebih tinggi” Anda dapat menjalankan program yang akan menyelesaikan contoh di atas untuk setiap koordinat simpul piramida.

Untuk memulai program, klik dua kali pada ikon:

Di jendela program yang terbuka, masukkan koordinat simpul piramida dan tekan Enter. Dengan cara ini, semua poin keputusan bisa diperoleh satu per satu.

Catatan: Untuk menjalankan program, program Maple ( Waterloo Maple Inc.) versi apa pun, dimulai dengan MapleV Rilis 4, harus diinstal di komputer Anda.

Untuk menentukan paralelisme dan tegak lurus bidang, serta untuk menghitung jarak antara objek geometris ini, akan lebih mudah untuk menggunakan satu atau beberapa jenis fungsi numerik. Untuk soal apa yang lebih mudah menggunakan persamaan bidang dalam segmen? Pada artikel ini kita akan melihat apa itu dan bagaimana menggunakannya dalam tugas-tugas praktis.

Apa itu persamaan garis?

Sebuah bidang dapat didefinisikan dalam ruang tiga dimensi dengan beberapa cara. Pada artikel ini, beberapa di antaranya akan disajikan sambil memecahkan berbagai jenis masalah. Disini kami akan memberikan gambaran detail persamaan pada segmen-segmen bidang. Secara umum bentuknya adalah sebagai berikut:

Dimana simbol p, q, r melambangkan suatu bilangan tertentu. Persamaan ini dapat dengan mudah diterjemahkan ke dalam ekspresi umum dan bentuk fungsi numerik bidang lainnya.

Kemudahan penulisan persamaan dalam segmen adalah bahwa persamaan tersebut memuat koordinat eksplisit perpotongan bidang dengan sumbu koordinat tegak lurus. Pada sumbu x relatif terhadap titik asal koordinat, bidang memotong segmen dengan panjang p, pada sumbu y - sama dengan q, pada z - dengan panjang r.

Jika salah satu dari ketiga variabel tersebut tidak terdapat dalam persamaan, berarti bidang tersebut tidak melalui sumbu yang bersesuaian (ahli matematika mengatakan bahwa bidang tersebut berpotongan pada jarak tak terhingga).

Hubungan antara persamaan umum dan segmen

Diketahui bahwa bidang tersebut diberikan persamaan berikut:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Persamaan umum bidang ini perlu dituliskan dalam segmen-segmen.

Jika masalah serupa muncul, Anda perlu mengikuti teknik ini: pindahkan suku bebas ke sisi kanan persamaan. Kemudian kita membagi seluruh persamaan dengan suku ini, mencoba menyatakannya dalam bentuk yang diberikan pada paragraf sebelumnya. Kita punya:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Kami memperoleh persamaan bidang dalam segmen, awalnya diberikan dalam bentuk umum. Terlihat bahwa bidang memotong segmen dengan panjang 3, 2 dan 6 masing-masing untuk sumbu x, y dan z. Sumbu y memotong bidang pada daerah koordinat negatif.

Saat menyusun persamaan dalam segmen, semua variabel harus diawali dengan tanda “+”. Hanya dalam kasus ini, bilangan yang membagi variabel ini akan menunjukkan koordinat yang terpotong pada sumbunya.

Vektor dan titik normal pada bidang

Diketahui suatu bidang mempunyai (3; 0; -1). Diketahui pula melalui titik (1; 1; 1). Anda harus menulis persamaan dalam segmen untuk bidang ini.

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama Anda harus menggunakan bentuk umum objek geometris dua dimensi tersebut. Bentuk umum ditulis sebagai:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Tiga koefisien pertama di sini merupakan koordinat vektor panduan yang ditentukan dalam rumusan masalah, yaitu:

Tinggal mencari suku bebas D. Dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Dimana nilai koordinat dengan indeks 1 sesuai dengan koordinat suatu titik yang termasuk dalam bidang tersebut. Kami mengganti nilainya dari kondisi masalah, kami mendapatkan:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Sekarang kita dapat menulis persamaannya secara lengkap:

Teknik mengubah persamaan ini menjadi persamaan pada segmen bidang telah ditunjukkan di atas. Mari kita terapkan:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Jawaban atas masalah tersebut telah diterima. Perhatikan bahwa bidang ini hanya memotong sumbu x dan z. Untuk y itu paralel.

Dua garis lurus yang mendefinisikan sebuah bidang

Dari kursus geometri spasial, setiap anak sekolah mengetahui bahwa dua garis lurus sembarang secara unik mendefinisikan sebuah bidang dalam ruang tiga dimensi. Mari kita selesaikan masalah serupa.

Ada dua persamaan garis yang diketahui:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Persamaan bidang yang melalui garis-garis ini perlu dituliskan dalam segmen-segmen.

Karena kedua garis harus terletak pada suatu bidang, berarti vektor-vektornya (direktori) harus tegak lurus terhadap vektor (direktori) bidang tersebut. Pada saat yang sama, diketahui bahwa hasil kali vektor dua ruas berarah sembarang memberikan hasil berupa koordinat ruas ketiga yang tegak lurus terhadap dua ruas asal. Dengan mempertimbangkan sifat ini, kita memperoleh koordinat vektor normal terhadap bidang yang diinginkan:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Karena dapat dikalikan dengan bilangan sembarang, dalam hal ini terbentuk ruas berarah baru yang sejajar dengan ruas semula, maka tanda koordinat yang diperoleh dapat diganti dengan yang berlawanan (dikalikan -1), kita peroleh:

Kita mengetahui vektor arah. Tetap mengambil titik sembarang pada salah satu garis dan membuat persamaan umum bidang:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*kamu + z -1 = 0.

Menerjemahkan persamaan ini ke dalam ekspresi dalam segmen, kita mendapatkan:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Jadi, bidang tersebut memotong ketiga sumbu pada daerah positif sistem koordinat.

Sama seperti dua garis lurus, tiga titik mendefinisikan sebuah bidang secara unik dalam ruang tiga dimensi. Mari kita tuliskan persamaan yang bersesuaian dalam segmen-segmen jika koordinat titik-titik yang terletak pada bidang berikut diketahui:

Mari kita lanjutkan sebagai berikut: hitung koordinat dua vektor sembarang yang menghubungkan titik-titik ini, kemudian cari vektor n¯ tegak lurus bidang dengan menghitung hasil kali segmen-segmen berarah yang ditemukan. Kita mendapatkan:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Mari kita ambil titik P sebagai contoh dan buat persamaan bidangnya:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 atau z = 0.

Kami memiliki ekspresi sederhana yang berhubungan dengan bidang xy dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu. Tidak dapat dituliskan dalam segmen, karena sumbu x dan y termasuk dalam bidang, dan panjang segmen yang dipotong pada sumbu z adalah nol (titik (0; 0; 0) termasuk dalam bidang).

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang sejajar dengan dua vektor tertentu (tidak segaris).

Catatan: 1 cara . Mari kita ambil titik sembarang pada bidang M (x, y, z). Vektor-vektornya akan koplanar karena terletak pada bidang sejajar. Oleh karena itu, produk campuran mereka
Menuliskan kondisi ini dalam koordinat, kita memperoleh persamaan bidang yang diinginkan:

Lebih mudah untuk menghitung determinan ini dengan memperluas sepanjang baris pertama.

Metode 2 . vektor
sejajar dengan bidang yang diinginkan. Oleh karena itu, suatu vektor sama dengan perkalian silang vektor-vektor tersebut
tegak lurus terhadap bidang ini , yaitu
Dan
. Vektor adalah vektor normal bidang . Jika
Dan
, lalu vektornya ditemukan dengan rumus:

Persamaan bidang temukan berdasarkan poin
dan vektor normal

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui dua titik tertentu yang sejajar dengan suatu vektor tertentu
.(
non-kolinear).

Catatan: 1 cara. Misalkan M (x, y, z) adalah titik sembarang pada bidang. Kemudian vektor dan
terletak pada bidang paralel, oleh karena itu, koplanar, yaitu. pekerjaan campuran mereka
Setelah menuliskan kondisi ini dalam koordinat, kita memperoleh persamaan bidang yang diinginkan .

Metode 2 . Vektor normal terhadap bidang yang diinginkan akan sama dengan hasil kali vektor dari vektor-vektor tersebut
, yaitu
atau dalam koordinat:

Persamaan bidang yang diinginkan ditemukan oleh vektor normal dan titik
(atau titik
)menurut rumus (2.1.1)

(lihat contoh 1, paragraf 2.2).

3. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik tersebut
sejajar bidang 2x – 6y – 3z +5 =0.

Catatan: vektor biasa kita temukan dari persamaan umum bidang ini 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vektor tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, oleh karena itu, bidang tersebut tegak lurus terhadap bidang apa pun yang sejajar dengannya. Vektor dapat diambil sebagai vektor normal dari bidang yang diinginkan. Mari kita buat persamaan bidang yang diinginkan berdasarkan titik
dan vektor normal
(lihat contoh 1, paragraf 2.2).

Menjawab:

4. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik
tegak lurus garis potong bidang 2x + y – 2z + 1 =0 dan

x + kamu + z – 5 = 0.

Catatan: 1 cara. Vektor yang tegak lurus terhadap masing-masing bidangnya (koordinat vektor diperoleh dari persamaan umum bidang, rumus (2.2.1)) tegak lurus terhadap garis perpotongannya dan oleh karena itu sejajar dengan bidang yang diinginkan. Bidang yang diinginkan melewati titik tersebut
sejajar dengan dua vektor
(lihat tugas 1 poin 5).

Persamaan bidang yang diinginkan berbentuk:

Memperluas determinan orde ketiga di sepanjang baris pertama, kita memperoleh persamaan yang diperlukan.

Metode 2. Mari kita buat persamaan bidang berdasarkan suatu titik
dan vektor normal menurut rumus (2.2.1). vektor biasa sama dengan produk vektor dari vektor
,itu.
Sejak vektor
tegak lurus terhadap garis perpotongan bidang, lalu vektor sejajar dengan garis perpotongan bidang dan tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan.

Vektor (lihat rumus 2.2.1), lalu

Mari kita buat persamaan bidang berdasarkan suatu titik
dan vektor normal

(lihat contoh 1 ayat 2.2)

Menjawab:

5. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut
Dan
tegak lurus bidang 3x – y + 3z +15 = 0.

Catatan: 1 cara. Mari kita tuliskan koordinat vektor normal dari n tertentu kilau

3x – y + 3z +15 = 0:
Karena bidang-bidangnya tegak lurus, maka vektornya sejajar dengan bidang yang diinginkan Mari kita buat persamaan bidang yang diinginkan
yang sejajar dengan vektor dan melewati titik-titik tersebut
(lihat solusi untuk masalah 2, poin 5; metode 1).

Menghitung determinannya, kita memperoleh persamaan bidang yang diinginkan

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

Metode 2. Mari kita buat persamaan bidang yang diinginkan berdasarkan poin
dan vektor normal
Vektor

Kami menyusun persamaan bidang yang diinginkan .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (lihat soal 2 poin 5; metode 2). Bagilah kedua ruas persamaan dengan 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Menjawab: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut

Dan

Catatan: Mari kita buat persamaan bidang yang melalui tiga titik (lihat contoh 1, paragraf 2.3, rumus 2.3.1).

Memperluas determinannya, kita mendapatkan

Menjawab:

Komentar. Untuk memeriksa kebenaran perhitungan determinan, disarankan untuk mengganti koordinat titik-titik yang dilalui bidang ke dalam persamaan yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa identitas; jika tidak, ada kesalahan dalam perhitungan.

7. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik
sejajar bidang x – 4y + 5z + 1 = 0.

Catatan: Dari persamaan umum suatu bidang tertentu
x – 4y + 5z + 1 = 0 tentukan vektor normalnya
(rumus 2.2.1). Vektor tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan
Mari kita buat persamaan bidang berdasarkan suatu titik
dan vektor normal
(lihat contoh 1; paragraf 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Menjawab: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik
sejajar dengan vektor

Catatan: Lihat solusi masalah 1, poin 5. Kami memecahkan masalah menggunakan salah satu metode yang ditunjukkan.

Menjawab: x – kamu – z – 1 = 0.

9. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik
tegak lurus garis potong bidang 3x – 2y – z + 1 = 0 dan x – y – z = 0.

Catatan: Lihat solusi soal 4, poin 5. Kami menyelesaikan masalah menggunakan salah satu metode yang ditunjukkan.

Menjawab: x +2kamu – z – 8 = 0.

10. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut

tegak lurus bidang 3x – y – 4z = 0.

Catatan: Lihat solusi untuk masalah 5, poin 5.

Menjawab: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut

sejajar dengan garis yang dibatasi oleh titik A (5; –2; 3) dan B (6; 1; 0).

Catatan: Bidang yang diinginkan sejajar dengan garis AB sehingga sejajar dengan vektor
Persamaan bidang yang diinginkan kita temukan, seperti pada soal 2 paragraf 5 (dengan salah satu metode).

Menjawab: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. Titik P (2; –1; –2) berfungsi sebagai alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang. Tulis persamaan untuk bidang ini.

Catatan: vektor biasa ke bidang yang diinginkan adalah vektor
Cari koordinatnya. P (2; –1; –2) dan O(0; 0; 0)

itu.
Mari kita buat persamaan bidangnya berdasarkan titik dan vektor normal
(lihat contoh 1, paragraf 2.2).

Menjawab: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik
sejajar dengan bidang: a)xoy; b) yoz; c) xoz.

Catatan: Vektor
– vektor sumbu satuan oz tegak lurus terhadap bidang xoy, oleh karena itu tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan
Kita buat persamaan bidang di titik A (0; –1; 2) dan

= (0; 0; 1), karena
(lihat solusi untuk masalah 3, poin 5).
z – 2 = 0.

Kami memecahkan masalah b) dan c) dengan cara yang sama.

B)
Di mana
(1; 0; 0).

V)
Di mana (0; 1; 0).

kamu + 1 = 0.

Menjawab: a) z – 2 = 0; b) x = 0; c) kamu + 1 = 0.

14. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut
Dan

B (2; 1; –1) tegak lurus bidang: a) xoy; b) xoz.

Catatan: Vektor normal bidang xoy adalah vektor

= (0; 0; 1) – vektor satuan sumbu oz. Mari kita buat persamaan bidang yang melalui dua titik
dan B (2; 1; –1) dan tegak lurus terhadap bidang yang mempunyai vektor normal
(0; 0; 1), menggunakan salah satu metode penyelesaian soal 5 paragraf 5.
kamu – 1 = 0.

Demikian pula untuk soal b):
dimana = (0; 1; 0).

Menjawab: a) kamu – 1 = 0; b) x + z – 1 = 0.

15. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut
Dan

B (2; 3; –1) sejajar dengan sumbu oz.

Catatan: Pada sumbu oz kita dapat mengambil vektor satuan = (0; 0; 1). Penyelesaian masalah serupa dengan penyelesaian masalah 2 poin 5 (dengan metode apa pun).

Menjawab: x – kamu + 1 = 0.

16. Tuliskan persamaan bidang yang melalui sumbu sapi dan titik

Catatan: Pesawat
melewati sumbu lembu, oleh karena itu, melalui titik O(0; 0; 0). Pada sumbu sapi kita dapat mengambil vektor satuan = (1; 0; 0). Kita buat persamaan bidang yang diinginkan menggunakan dua titik A(2; –1; 6) dan O(0; 0; 0) dan vektor sejajar dengan pesawat. (Lihat solusi untuk masalah 2, poin 5).

Menjawab: 6y + z = 0.

17. Pada nilai A berapakah bidang Ax + 2y – 7z – 1 = 0 dan 2x – y + 2z = 0 tegak lurus?

Catatan: Dari persamaan umum bidang

Kapak + 2y – 7z – 1 = 0 dan
2x – y + 2z = 0 vektor normal

= (A; 2; –7) dan
= (2; –1; 2) (2.2.1). Syarat tegak lurus dua bidang (2.6.1).

Menjawab: SEBUAH = 8.

18. Berapakah nilai A pada bidang 2x + 3y – 6z – 23 = 0 dan

4x + Ay – 12z + 7 = 0 sejajar?

Catatan:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 dan
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) dan
= (4;A; –12) (2.2.1). Karena
(2.5.1)

Menjawab: SEBUAH = 6.

19. Tentukan sudut antara dua bidang 2x + y + z + 7 = 0 dan x – 2y + 3z = 0.

Catatan:
2x + y + z + 7 = 0 dan
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) dan
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Menjawab:

20. Menyusun persamaan kanonik suatu garis yang melalui suatu titik

A (1; 2; –3) sejajar dengan vektor =(1; –2; 1).

Catatan: Lihat solusi pada contoh paragraf 3.1.

Menjawab:

21. Tuliskan persamaan parametrik garis yang melalui suatu titik

A (–2; 3; 1) sejajar dengan vektor =(3; –1; 2).

Catatan: Lihat solusi contoh di paragraf 3.2.

Menjawab:
.

22. Buatlah persamaan kanonik dan parametrik suatu garis yang melalui titik A (1; 0; –2) dan B (1; 2; –4).

Catatan: Lihat solusi contoh 1 ayat 3.3.

Menjawab: A)
B)

23. Buatlah persamaan kanonik dan parametrik suatu garis yang merupakan perpotongan dua bidang x – 2y +3z – 4 = 0 dan 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Catatan: Lihat contoh 1, paragraf 3.4. Misal z = 0, maka koordinat x dan y titik tersebut
kita temukan dari solusi sistem

Oleh karena itu, intinya
, terletak pada garis yang diinginkan, memiliki koordinat

(2; –1; 0). Mencari vektor arah garis lurus yang diinginkan dari persamaan umum bidang
x – 2y +3z – 4 = 0 dan
3x + 2y – 5z – 4 = 0

temukan vektor normal =(1; –2; 3) dan
=(3; 2; –5).

Kami menemukan persamaan kanonik garis lurus dari suatu titik
(2; –1; 0) dan vektor arah

(Lihat rumus (3.1.1)).

Persamaan parametrik garis lurus dapat dicari dengan menggunakan rumus (3.2.1) atau dari persamaan kanonik:
Kita punya:

Menjawab:
;
.

24. Melalui intinya
(2; –3; –4) tariklah garis yang sejajar dengan garis tersebut

.

Catatan: Persamaan kanonik dari garis yang diinginkan mari kita cari berdasarkan poin
dan vektor arah Karena
kemudian untuk vektor arah lurus Anda dapat mengambil vektor arah lurus L. Selanjutnya lihat penyelesaian soal 23 paragraf 5 atau contoh 1 paragraf 3.4.

Menjawab:

25. Diketahui titik sudut segitiga A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) dan C (–1; 3; 5). Tentukan persamaan median segitiga ABC yang diambil dari titik sudut B.

Catatan: Koordinat titik M dicari dari kondisi AM = MC (BM adalah median segitiga ABC).

DENGAN Mari kita tinggalkan persamaan kanonik garis lurus BM untuk dua titik B (2; 4; –1) dan
(Lihat contoh 1, paragraf 3.3).

Menjawab:

26. Menyusun persamaan kanonik dan parametrik suatu garis yang melalui suatu titik
(–1; –2; 2) sejajar dengan sumbu sapi.

Catatan: Vektor
– sumbu vektor satuanox sejajar dengan garis yang diinginkan. Oleh karena itu, dapat dianggap sebagai vektor pengarah garis lurus
= (1; 0; 0). Mari kita buat persamaan garis lurus dari suatu titik

(–1; –2: 2) dan vektor = (1; 0; 0) (lihat contoh paragraf 3.1 dan contoh 1 paragraf 3.2).

Menjawab:
;

27. Buatlah persamaan kanonik suatu garis yang melalui suatu titik
(3; –2; 4) tegak lurus bidang 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Catatan: Dari persamaan umum bidang
5x + 3y – 7z + 1 = 0 tentukan vektor normalnya = (5; 3; –7). Sesuai dengan kondisinya, diperlukan garis lurus
maka vektornya
itu. vektor adalah vektor arah garis L: = (5; 3; –7). Kami menyusun persamaan kanonik garis lurus dari suatu titik
(3; –2; 4) dan vektor arah

= (5; 3; –7). (Lihat contoh poin 3.1).

Menjawab:

28. Tulislah persamaan parametrik garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang 4x – y + 2z – 3 = 0.

Catatan: Mari kita buat persamaan untuk garis tegak lurus yang diinginkan, yaitu. garis lurus tegak lurus terhadap bidang
4x – y + 2z – 3 = 0 dan melalui titik O (0; 0; 0). (Lihat penyelesaian soal 27, paragraf 5 dan contoh 1, paragraf 3.2).

Menjawab:

29. Temukan titik potong suatu garis
dan pesawat

x – 2y + z – 15 = 0.

Catatan: Untuk mencari titik M perpotongan suatu garis

aku:
dan pesawat

x – 2y + z – 15 = 0, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:

;

Untuk menyelesaikan sistem ini, kami mengubah persamaan garis kanonik menjadi persamaan parametrik. (Lihat tugas 23, paragraf 5).

Menjawab:

30. Tentukan proyeksi titik M (4; –3; 1) pada bidang x + 2y – z – 3 = 0.

Catatan: Proyeksi titik M pada bidang adalah titik P - titik p perpotongan garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke bidang
dan kerataan Mari kita buat persamaan parametrik tegak lurus MR (Lihat penyelesaian soal 28, poin 5).

Mari kita cari titik P - titik potong garis lurus MR dan bidang (Lihat solusi masalah 29, poin 5).

Menjawab:

31. Tentukan proyeksi titik A(1; 2; 1) pada garis

Catatan: Proyeksi titik A ke garis L:
adalah t titik B perpotongan garis lurus L dan bidang
yang melalui titik A dan tegak lurus garis L. Dari persamaan kanonik garis lurus L kita tuliskan vektor arah =(3; –1; 2). Pesawat tegak lurus terhadap garis L, oleh karena itu,
Jadi vektornya dapat diambil sebagai vektor normal bidang
= (3; –1; 2). Mari kita buat persamaan bidangnya di titik A(1; 2; 1) dan = (3; –1; 2) (lihat contoh 1, paragraf 2.2):
3(x – 1) – 1(kamu – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Tentukan titik B pada perpotongan garis lurus dan bidang (lihat soal 29 paragraf 5):

Menjawab:

32. Melalui titik M (3; –1; 0) tariklah garis lurus yang sejajar dua bidang x – y + z – 3 = 0 dan x + y + 2z – 3 = 0.

Catatan: Pesawat terbang
x – y + z – 3 = 0 dan
x + y + 2z – 3 = 0 tidak sejajar, karena kondisi (2.5.1) tidak terpenuhi:
Pesawat terbang
memotong. Garis lurus yang diperlukan L, sejajar dengan bidang
sejajar dengan garis perpotongan bidang-bidang tersebut. (Lihat penyelesaian soal 24 dan 23, paragraf 5).

Menjawab:

33. Tuliskan persamaan bidang yang melalui dua garis

Catatan:1 cara. Mari kita buat persamaan bidang yang diinginkan berdasarkan poin
, berbaring pada garis lurus , dan vektor normal . Vektor akan sama dengan hasil kali vektor vektor arah garis lurus
, yang kita temukan dari persamaan garis kanonik
(rumus 3.1.1): = (7; 3; 5) dan

= (5; 5; –3)

Koordinat titik
kita temukan dari persamaan kanonik garis lurus

Kami menyusun persamaan bidang berdasarkan poin
dan vektor normal =(–34; 46; 20) (lihat contoh 1, paragraf 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

Metode 2. Menemukan vektor arah = (7; 3; 5) dan = (5; 5; –3) dari persamaan garis kanonik
Titik
(0; 2; –1) ditemukan dari persamaan

. Mari kita ambil titik sembarang di pesawat

M(x;y;z). vektor
– oleh karena itu bersifat koplanar,
Dari kondisi ini diperoleh persamaan bidang:

Menjawab: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik
(2; 0; 1) dan garis lurus

Catatan: Mari kita pastikan dulu maksudnya
pada garis lurus ini pagar tanaman:
Titik
dan vektor arah kita temukan dari persamaan kanonik garis lurus
:
(1; –1; –1) dan

= (1; 2; –1). Vektor normal dari bidang yang diinginkan
Kami menemukan koordinat vektor normal, mengetahui koordinatnya =(1; 2; –1) dan

= (1; 1; 2):

Kami menyusun persamaan bidang dari suatu titik
(2; 0; 1) dan vektor normal = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(kamu – 0) + 1(z – 1) = 0.

Menjawab: 5x – 3y – z – 9 = 0.

Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Susunan pesawat yang saling menguntungkan. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor, selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar. Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan meluncur dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Untuk alasan teknis, akan lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat ditempatkan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan kemiringan apa pun pada bidang tersebut, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang. Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip yang lebih rendah untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali huruf-huruf diapit tanda kurung: agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis ruang affine (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita akan mengembangkannya sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka-angkanya tidak sama dengan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalahnya, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “y” dan “z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa artinya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: bidang yang ditentukan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: – bidang bersahabat dengan semua sumbu koordinat, sedangkan bidang tersebut selalu “memotong” sebuah segitiga, yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut, karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda memerlukan setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat sejenak dari permasalahan yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat soal terakhir pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah mengetahui cara menangkap vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelasnya, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus: