Definisi. Hasil kali vektor dari suatu vektor a (pengganda) dengan suatu vektor (pengganda) yang tidak kolinear dengannya adalah vektor ketiga c (hasil kali), yang dikonstruksikan sebagai berikut:

1) modulnya secara numerik sama dengan luas jajaran genjang pada Gambar. 155), dibangun di atas vektor, yaitu sama dengan arah tegak lurus terhadap bidang jajaran genjang yang disebutkan;

3) dalam hal ini, arah vektor c dipilih (dari dua kemungkinan yang ada) sehingga vektor c membentuk sistem tangan kanan (§ 110).

sebutan: atau

Tambahan definisi. Jika vektor-vektornya kolinear, maka mempertimbangkan gambar sebagai jajar genjang (bersyarat), wajar untuk menetapkan area nol. Oleh karena itu, produk vektor dari vektor collinear dianggap sama dengan vektor nol.

Karena vektor nol dapat ditetapkan ke segala arah, konvensi ini tidak bertentangan dengan item 2 dan 3 dari definisi.

Keterangan 1. Dalam istilah "perkalian vektor", kata pertama menunjukkan bahwa hasil dari tindakan adalah vektor (berlawanan dengan produk titik; lihat 104, komentar 1).

Contoh 1. Temukan produk vektor di mana vektor-vektor utama dari sistem koordinat kanan (Gbr. 156).

1. Karena panjang vektor utama sama dengan satuan skala, luas jajaran genjang (persegi) secara numerik sama dengan satu. Oleh karena itu, modulus produk vektor sama dengan satu.

2. Karena tegak lurus bidang adalah sumbu, produk vektor yang diinginkan adalah vektor, vektor kolinear ke; dan karena keduanya memiliki modulus 1, hasil kali silang yang dibutuhkan adalah k atau -k.

3. Dari dua kemungkinan vektor ini, yang pertama harus dipilih, karena vektor-vektor k membentuk sistem kanan (dan vektor-vektor membentuk sistem kiri).

Contoh 2. Temukan hasil kali silang

Keputusan. Seperti pada contoh 1, kita simpulkan bahwa vektornya adalah k atau -k. Tapi sekarang kita perlu memilih -k, karena vektor membentuk sistem kanan (dan vektor membentuk kiri). Jadi,

Contoh 3 Vektor memiliki panjang masing-masing 80 dan 50 cm, dan membentuk sudut 30°. Dengan menggunakan meter sebagai satuan panjang, tentukan panjang hasil kali vektor a

Keputusan. Luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan Panjang produk vektor yang diinginkan sama dengan

Contoh 4. Temukan panjang perkalian silang dari vektor-vektor yang sama, dengan menggunakan sentimeter sebagai satuan panjang.

Keputusan. Karena luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan panjang produk vektor adalah 2000 cm, mis.

Dari perbandingan contoh 3 dan 4, dapat dilihat bahwa panjang vektor tidak hanya bergantung pada panjang faktor, tetapi juga pada pilihan satuan panjang.

Arti fisik dari produk vektor. Dari sekian banyak besaran fisika, diwakili oleh produk vektor, pertimbangkan hanya momen gaya.

Biarkan A menjadi titik penerapan gaya. Momen gaya relatif terhadap titik O disebut produk vektor. Karena modul produk vektor ini secara numerik sama dengan luas jajaran genjang (Gbr. 157), modul momen sama dengan produk alas dengan ketinggian, yaitu gaya dikalikan dengan jarak dari titik O ke garis lurus di mana gaya bekerja.

Dalam mekanika, terbukti bahwa untuk kesetimbangan tubuh yang kokoh perlu bahwa tidak hanya jumlah vektor yang mewakili gaya yang diterapkan pada tubuh sama dengan nol, tetapi juga jumlah momen gaya. Dalam kasus ketika semua gaya sejajar dengan bidang yang sama, penambahan vektor yang mewakili momen dapat diganti dengan penambahan dan pengurangan modulusnya. Tetapi untuk arah gaya yang sewenang-wenang, penggantian seperti itu tidak mungkin. Sesuai dengan ini, produk silang didefinisikan secara tepat sebagai vektor, dan bukan sebagai angka.

7.1. Definisi produk silang

Tiga vektor non-sebidang a , b dan c , diambil dalam urutan yang ditunjukkan, membentuk rangkap tiga jika dari ujung vektor ketiga c belokan terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b terlihat berlawanan arah jarum jam, dan satu kiri jika searah jarum jam (lihat Gambar. enam belas).

Produk vektor dari vektor a dan vektor b disebut vektor c, yang:

1. Tegak lurus terhadap vektor a dan b, yaitu c ^ a dan c ^ b;

2. Ini memiliki panjang numerik yang sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor a danb seperti di sisi (lihat gambar 17), yaitu.

3. Vektor a , b dan c membentuk rangkap tiga.

produk vektor dilambangkan a x b atau [a,b]. Dari definisi produk vektor, berikut hubungan antara orts yang saya ikuti secara langsung, j dan k(lihat gambar 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Mari kita buktikan, misalnya, bahwa saya xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k =1, tapi | saya x j| = | saya | |J| dosa(90°)=1;

3) vektor i , j dan k membentuk triple kanan (lihat Gambar. 16).

7.2. Properti lintas produk

1. Ketika faktor-faktor tersebut disusun kembali, produk vektor berubah tanda, yaitu. dan xb \u003d (b xa) (lihat Gambar 19).

Vektor a xb dan b xa adalah collinear, memiliki modul yang sama (luas jajaran genjang tetap tidak berubah), tetapi berlawanan arah (tiga kali lipat a, b, dan xb dan a, b, b x a dengan orientasi yang berlawanan). Itu adalah axb = -(bxa).

2. Hasil kali vektor memiliki sifat asosiatif sehubungan dengan faktor skalar, yaitu l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Misalkan l >0. Vektor l (a xb) tegak lurus terhadap vektor a dan b. Vektor ( aku a) x b juga tegak lurus terhadap vektor a dan b(vektor a, aku tetapi terletak pada bidang yang sama). Jadi vektor-vektornya aku(axb) dan ( aku a) x b kolinear. Jelas bahwa arah mereka bertepatan. Mereka memiliki panjang yang sama:

Jadi aku(axb)= aku sebuah xb. Hal ini terbukti sama untuk aku<0.

3. Dua vektor tak nol a dan b kolinear jika dan hanya jika hasil kali vektornya sama dengan vektor nol, yaitu, dan ||b<=>dan xb \u003d 0.

Secara khusus, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produk vektor memiliki sifat distribusi:

(a+b) xs = axs + b xs

Terima tanpa bukti.

7.3. Ekspresi produk silang dalam hal koordinat

Kita akan menggunakan tabel perkalian silang vektor i , j dan k :

jika arah jalur terpendek dari vektor pertama ke vektor kedua bertepatan dengan arah panah, maka produk sama dengan vektor ketiga, jika tidak cocok, vektor ketiga diambil dengan tanda minus.

Misalkan dua buah vektor a =a x i +a y j+az k dan b=bx saya+oleh j+ bz k. Mari kita cari produk vektor dari vektor-vektor ini dengan mengalikannya sebagai polinomial (sesuai dengan sifat-sifat produk vektor):

Rumus yang dihasilkan dapat ditulis lebih pendek lagi:

karena ruas kanan persamaan (7.1) sesuai dengan perluasan determinan orde ketiga dalam hal elemen baris pertama Persamaan (7.2) mudah diingat.

7.4. Beberapa aplikasi produk silang

Menentukan kolinearitas vektor

Mencari luas jajar genjang dan segitiga

Sesuai dengan definisi perkalian silang vektor sebuah dan B |a xb | =| sebuah | * |b |sin g , yaitu S par = |a x b |. Dan, oleh karena itu, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Menentukan momen gaya terhadap suatu titik

Biarkan gaya diterapkan pada titik A F = AB biarkan saja HAI- beberapa titik dalam ruang (lihat Gambar 20).

Diketahui dari fisika bahwa torsi F relatif terhadap titik HAI disebut vektor M , yang melalui titik HAI dan:

1) tegak lurus bidang yang melalui titik-titik O, A, B;

2) secara numerik sama dengan produk gaya dan bahu

3) membentuk segitiga siku-siku dengan vektor OA dan A B .

Oleh karena itu, M \u003d OA x F.

Menemukan kecepatan linier rotasi

Kecepatan v titik M dari benda tegar yang berputar dengan kecepatan sudut w di sekitar sumbu tetap, ditentukan oleh rumus Euler v \u003d w x r, di mana r \u003d OM, di mana O adalah titik tetap dari sumbu (lihat Gambar 21).

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, kadang-kadang terjadi bahwa untuk kebahagiaan yang lengkap, selain perkalian titik dari vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Seseorang mungkin mendapat kesan bahwa kita sedang memasuki hutan geometri analitik. Ini tidak benar. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, biasanya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit daripada yang sama produk skalar, bahkan akan ada lebih sedikit tugas tipikal. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan atau telah dilihat banyak orang, BUKAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca lebih siap dapat berkenalan dengan informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkan hanya vektor ruang, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti dalam produk skalar, dua vektor. Biarlah itu menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara sebagai berikut: . Ada pilihan lain, tetapi saya biasa menunjukkan perkalian silang vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika dalam perkalian titik dari vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan, maka Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, dalam HASIL:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu, kita mengalikan vektor dan mendapatkan vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasinya. Dalam berbagai literatur pendidikan, sebutannya juga bisa bermacam-macam, saya akan menggunakan huruf.

Definisi produk silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: perkalian silang non-kolinier vektor , diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajar genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar dasar memiliki orientasi yang benar:

Kami menganalisis definisi dengan tulang, ada banyak hal menarik!

Jadi, kami dapat menyoroti poin penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan oleh panah merah, menurut definisi tidak segaris. Akan tepat untuk mempertimbangkan kasus vektor collinear sedikit kemudian.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" menjadi "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dalam urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna merah). Artinya, persamaan .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan arti geometris dari produk vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor. Pada gambar, jajaran genjang ini diarsir dalam warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan, tentu saja, panjang nominal produk silang tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Kami mengingat salah satu rumus geometris: luas jajaran genjang sama dengan produk sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara mereka. Oleh karena itu, berdasarkan hal tersebut di atas, rumus untuk menghitung PANJANG produk vektor adalah:

Saya tekankan bahwa dalam rumus kita berbicara tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya sedemikian rupa sehingga dalam masalah geometri analitik, luas jajaran genjang sering ditemukan melalui konsep produk vektor:

Kami mendapatkan formula penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga yang sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat ditemukan dengan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor adalah ortogonal terhadap vektor , yaitu . Tentu saja, vektor yang berlawanan arah (panah merah) juga ortogonal terhadap vektor aslinya .

5) Vektor diarahkan sehingga dasar Memiliki Baik orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar baru Saya telah berbicara secara rinci tentang orientasi pesawat, dan sekarang kita akan mencari tahu apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskan di jari Anda tangan kanan. Gabungkan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Hasil dari ibu jari- produk vektor akan terlihat. Ini adalah dasar berorientasi kanan (ada dalam gambar). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, sebagai hasilnya, ibu jari akan berbalik, dan produk vektor sudah akan melihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi pada hak. Mungkin Anda memiliki pertanyaan: dasar apa yang memiliki orientasi kiri? "Tugaskan" jari yang sama tangan kiri vektor , dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, basis ini "memutar" atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, cermin paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari cermin", maka secara umum tidak mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Omong-omong, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

... betapa baiknya Anda sekarang tahu tentang berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi mengerikan =)

Produk vektor dari vektor collinear

Definisi telah dikerjakan secara rinci, masih mencari tahu apa yang terjadi ketika vektor-vektornya kolinear. Jika vektor-vektor itu kolinear, maka mereka dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajaran genjang kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematika, merosot jajaran genjang adalah nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka . Sebenarnya, perkalian silang itu sendiri sama dengan vektor nol, tetapi dalam praktiknya ini sering diabaikan dan ditulis bahwa itu sama dengan nol.

Kasus khusus adalah produk vektor dari vektor dan dirinya sendiri:

Menggunakan produk silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis, mungkin perlu tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor-vektor jika

b) Temukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Tidak, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal dalam kondisi barang sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan panjang vektor (produk vektor). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Karena ditanya tentang panjangnya, maka dalam jawaban kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan kotak jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang produk silang:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam jawaban tentang produk vektor tidak ada pembicaraan sama sekali, kami ditanya tentang bidang gambar, masing-masing, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang diperlukan untuk ditemukan oleh kondisi, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan bersih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada cukup literalis di antara para guru, dan tugas dengan peluang bagus akan kembali untuk direvisi. Meskipun ini bukan nitpick yang terlalu tegang - jika jawabannya salah, maka orang tersebut mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan / atau belum mempelajari inti dari tugas tersebut. Momen ini harus selalu dijaga, memecahkan masalah apa pun dalam matematika yang lebih tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada prinsipnya, itu bisa juga menempel pada solusi, tetapi untuk mempersingkat catatan, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang mengerti itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk menemukan luas segitiga melalui produk vektor diberikan dalam komentar untuk definisi. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum, segitiga umumnya dapat disiksa.

Untuk menyelesaikan masalah lain, kita perlu:

Sifat-sifat perkalian silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti dari produk vektor, namun, saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan arbitrer, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak dibedakan dalam properti, tetapi sangat penting dalam hal praktis. Jadi biarkan saja.

2) - properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor penting.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian vektor. Konstanta dengan mudah dikeluarkan dari batas produk vektor. Sungguh, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - distribusi atau distribusi hukum perkalian vektor. Tidak ada masalah dengan kurung buka juga.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Keputusan: Dengan syarat, diperlukan lagi untuk mencari panjang produk vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kami mengambil konstanta di luar batas produk vektor.

(2) Kami mengeluarkan konstanta dari modul, sedangkan modul "memakan" tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Apa yang berikut ini jelas.

Menjawab:

Saatnya melempar kayu ke api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Cari luas segitiga menggunakan rumus . Halangannya adalah bahwa vektor "ce" dan "te" sendiri direpresentasikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini adalah standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran. Hasil kali titik dari vektor. Mari kita uraikan menjadi tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kami mengekspresikan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, nyatakan vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar tentang panjangnya!

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Menggunakan hukum distributif, buka kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial.

(3) Menggunakan hukum asosiatif, kami mengambil semua konstanta di luar produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat menyenangkan . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat antikomutatif dari produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Akibatnya, vektor ternyata diekspresikan melalui vektor, yang harus dicapai:

2) Pada langkah kedua, kami menemukan panjang produk vektor yang kami butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Langkah 2-3 dari solusi dapat diatur dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh untuk solusi independen:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda ketika mempelajari contoh-contoh sebelumnya ;-)

Perkalian silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: kami menulis vektor koordinat di garis atas determinan, kami "mengemas" koordinat vektor ke dalam baris kedua dan ketiga, dan kami menempatkan dalam urutan yang ketat- pertama, koordinat vektor "ve", lalu koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka garis juga harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini kolinear:
sebuah)
b)

Keputusan: Pengujian ini didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya kolinear, maka perkalian silangnya adalah nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi vektor-vektornya tidak kolinear.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua informasi dasar tentang produk vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena ada beberapa masalah di mana produk campuran vektor digunakan. Faktanya, semuanya akan bertumpu pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Beginilah cara mereka berbaris seperti kereta dan menunggu, mereka tidak bisa menunggu sampai dihitung.

Pertama lagi definisi dan gambarnya:

Definisi: Produk campuran non-koplanar vektor , diambil dalam urutan ini, disebut volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor ini, dilengkapi dengan tanda "+" jika basisnya benar, dan tanda "-" jika basisnya kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambarkan oleh garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu, permutasi vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, tidak berjalan tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah NUMBER: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin agak berbeda, saya biasa menunjuk produk campuran melalui, dan hasil perhitungan dengan huruf "pe".

Prioritas-A produk campuran adalah volume paralelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan repot-repot lagi dengan konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah bahwa tanda minus dapat ditambahkan ke volume. Secara sederhana, produk campuran bisa negatif: .

Rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor mengikuti langsung dari definisi.

Pada artikel ini, kita akan membahas konsep perkalian silang dua vektor. Kami akan memberikan definisi yang diperlukan, menuliskan rumus untuk menemukan koordinat produk vektor, mendaftar dan membenarkan propertinya. Setelah itu, kita akan membahas arti geometris dari perkalian silang dua vektor dan mempertimbangkan solusi dari berbagai contoh tipikal.

Navigasi halaman.

Definisi produk vektor.

Sebelum memberikan definisi perkalian silang, mari kita berurusan dengan orientasi dari tiga vektor terurut dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita tunda vektor dari satu titik. Bergantung pada arah vektor, rangkap tiga bisa ke kanan atau ke kiri. Mari kita lihat dari ujung vektor bagaimana belokan terpendek dari vektor ke . Jika rotasi terpendek berlawanan arah jarum jam, maka tiga kali lipat vektor disebut Baik, sebaliknya - kiri.

Sekarang mari kita ambil dua vektor non-kolinier dan . Sisihkan vektor dan dari titik A. Mari kita membangun beberapa vektor yang tegak lurus dan dan pada waktu yang sama. Jelas, ketika membangun sebuah vektor, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Bergantung pada arah vektornya, rangkap tiga vektor dapat berupa kanan atau kiri.

Jadi kami mendekati definisi produk vektor. Ini diberikan untuk dua vektor yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi.

Definisi.

Produk vektor dari dua vektor dan , diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, disebut vektor sedemikian rupa sehingga

Produk silang vektor dan dilambangkan sebagai .

Koordinat produk vektor.

Sekarang kami memberikan definisi kedua dari produk vektor, yang memungkinkan kami untuk menemukan koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan dan.

Definisi.

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi perkalian silang dua vektor dan adalah vektor , di mana adalah vektor koordinat.

Definisi ini memberi kita hasil kali silang dalam bentuk koordinat.

Produk vektor dengan mudah direpresentasikan sebagai determinan matriks persegi orde ketiga, baris pertama adalah ort, baris kedua berisi koordinat vektor, dan baris ketiga berisi koordinat vektor dalam suatu sistem koordinat persegi panjang:

Jika kita memperluas determinan ini dengan elemen-elemen baris pertama, maka kita mendapatkan persamaan dari definisi produk vektor dalam koordinat (jika perlu, lihat artikel):

Perlu dicatat bahwa bentuk koordinat produk silang sepenuhnya konsisten dengan definisi yang diberikan dalam paragraf pertama artikel ini. Selain itu, kedua definisi produk silang ini setara. Bukti dari fakta ini dapat ditemukan dalam buku yang ditunjukkan di akhir artikel.

Sifat produk vektor.

Karena produk vektor dalam koordinat dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks , berikut ini dapat dengan mudah dibuktikan atas dasar sifat produk vektor:

Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat antikomutatif dari produk vektor.

Prioritas-A dan . Kita tahu bahwa nilai determinan suatu matriks dibalik ketika dua baris ditukar, jadi, , yang membuktikan sifat antikomutatif dari produk vektor.

Produk vektor - contoh dan solusi.

Pada dasarnya ada tiga jenis tugas.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka diberikan, dan diperlukan untuk menemukan panjang produk silang. Dalam hal ini, rumus yang digunakan .

Contoh.

Tentukan panjang perkalian silang vektor dan jika diketahui .

Keputusan.

Kita tahu dari definisi bahwa panjang produk silang vektor dan sama dengan produk dari panjang vektor dan sinus sudut di antara mereka, oleh karena itu, .

Menjawab:

.

Tugas jenis kedua dikaitkan dengan koordinat vektor, di mana produk vektor, panjangnya, atau sesuatu yang lain dicari melalui koordinat vektor yang diberikan dan .

Ada banyak pilihan berbeda yang tersedia di sini. Misalnya, bukan koordinat vektor dan , tetapi ekspansinya dalam vektor koordinat dalam bentuk dan , atau vektor dan dapat ditentukan oleh koordinat titik awal dan akhir mereka.

Mari kita pertimbangkan contoh tipikal.

Contoh.

Dua vektor diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang . Temukan produk vektor mereka.

Keputusan.

Menurut definisi kedua, perkalian silang dari dua vektor dalam koordinat ditulis sebagai:

Kami akan sampai pada hasil yang sama jika kami telah menulis produk vektor melalui determinan

Menjawab:

.

Contoh.

Temukan panjang perkalian silang dari vektor dan , Dimana adalah ort dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang.

Keputusan.

Pertama, cari koordinat produk vektor dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu.

Karena vektor dan memiliki koordinat dan masing-masing (jika perlu, lihat artikel koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang), maka menurut definisi kedua dari produk silang, kami memiliki

Yaitu, produk vektor memiliki koordinat dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami menemukan panjang produk vektor sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya (kami memperoleh rumus ini untuk panjang vektor di bagian menemukan panjang vektor):

Menjawab:

.

Contoh.

Koordinat tiga titik diberikan dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus dan pada waktu yang sama.

Keputusan.

Vektor dan memiliki koordinat dan, masing-masing (lihat artikel menemukan koordinat vektor melalui koordinat titik). Jika kita menemukan perkalian silang dari vektor dan , maka menurut definisi itu adalah vektor yang tegak lurus terhadap dan ke, yaitu, itu adalah solusi untuk masalah kita. Ayo temukan dia

Menjawab:

adalah salah satu vektor tegak lurus.

Dalam tugas jenis ketiga, keterampilan menggunakan sifat-sifat produk vektor vektor diperiksa. Setelah properti diterapkan, rumus yang sesuai diterapkan.

Contoh.

Vektor dan tegak lurus dan panjangnya masing-masing adalah 3 dan 4. Tentukan panjang hasil kali vektor .

Keputusan.

Dengan sifat distributif dari produk vektor, kita dapat menulis

Berdasarkan properti asosiatif, kami mengambil koefisien numerik untuk tanda produk vektor dalam ekspresi terakhir:

Produk vektor dan sama dengan nol, karena dan , kemudian .

Karena hasil kali vektor adalah antikomutatif, maka .

Jadi, dengan menggunakan sifat-sifat produk vektor, kita telah sampai pada persamaan .

Dengan syarat, vektor dan tegak lurus, yaitu sudut di antara mereka sama dengan . Artinya, kami memiliki semua data untuk menemukan panjang yang dibutuhkan

Menjawab:

.

Arti geometris dari produk vektor.

Menurut definisi, panjang produk silang vektor adalah . Dan dari pelajaran geometri SMA, kita mengetahui bahwa luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisi segitiga dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, panjang perkalian silang sama dengan dua kali luas segitiga dengan sisi-sisi vektor dan , jika ditunda dari satu titik. Dengan kata lain, panjang perkalian silang vektor dan sama dengan luas jajar genjang dengan sisi dan dan sudut di antara mereka sama dengan . Ini adalah arti geometris dari produk vektor.

Vektor satuan- Ini vektor, nilai mutlak (modulus) yang sama dengan satu. Untuk menyatakan vektor satuan, kita akan menggunakan subskrip e. Jadi, jika vektor diberikan sebuah, maka vektor satuannya adalah vektor sebuah e.Vektor satuan ini menunjuk pada arah yang sama dengan vektor itu sendiri sebuah, dan modulusnya sama dengan satu, yaitu a e \u003d 1.

Jelas sekali, sebuah= sebuah e (a - modulus vektor sebuah). Ini mengikuti aturan di mana operasi perkalian skalar dengan vektor dilakukan.

Vektor satuan sering dikaitkan dengan sumbu koordinat sistem koordinat (khususnya, dengan sumbu sistem koordinat Cartesian). Arah ini vektor bertepatan dengan arah sumbu yang sesuai, dan asal-usulnya sering digabungkan dengan asal sistem koordinat.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa Sistem koordinasi cartesian dalam ruang secara tradisional disebut rangkap tiga dari sumbu yang saling tegak lurus yang berpotongan di suatu titik yang disebut titik asal. Sumbu koordinat biasanya dilambangkan dengan huruf X, Y, Z dan masing-masing disebut sumbu absis, sumbu ordinat, dan sumbu aplikasi. Descartes sendiri hanya menggunakan satu sumbu, di mana absis diplot. manfaat penggunaan sistem kapak milik murid-muridnya. Oleh karena itu kalimat Sistem koordinasi cartesian secara historis salah. Bicara lebih baik persegi panjang sistem koordinasi atau sistem koordinat ortogonal. Namun demikian, kami tidak akan mengubah tradisi dan di masa depan kami akan menganggap bahwa sistem koordinat Cartesian dan persegi panjang (ortogonal) adalah satu dan sama.

Vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu X, dilambangkan saya, vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu Y, dilambangkan j, sebuah vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu Z, dilambangkan k. Vektor saya, j, k ditelepon ort(Gbr. 12, kiri), mereka memiliki modul tunggal, yaitu
i = 1, j = 1, k = 1.

kapak dan ort sistem koordinat persegi panjang dalam beberapa kasus mereka memiliki nama dan sebutan lain. Dengan demikian, sumbu absis X dapat disebut sumbu singgung, dan vektor satuannya dilambangkan τ (huruf kecil Yunani tau), sumbu y adalah sumbu normal, vektor satuannya dilambangkan n, sumbu aplikasi adalah sumbu binormal, vektor satuannya dilambangkan b. Mengapa mengubah nama jika esensi tetap sama?

Faktanya adalah bahwa, misalnya, dalam mekanika, ketika mempelajari gerakan benda, sistem koordinat persegi panjang sangat sering digunakan. Jadi, jika sistem koordinat itu sendiri tidak bergerak, dan perubahan koordinat benda bergerak dilacak dalam sistem tidak bergerak ini, maka biasanya sumbu menunjukkan X, Y, Z, dan sumbunya. ort masing-masing saya, j, k.

Tetapi seringkali, ketika sebuah objek bergerak di sepanjang semacam lintasan lengkung (misalnya, sepanjang lingkaran), lebih mudah untuk mempertimbangkan proses mekanis dalam sistem koordinat yang bergerak dengan objek ini. Untuk sistem koordinat yang bergerak seperti itu, nama lain dari sumbu dan vektor satuannya digunakan. Itu baru saja diterima. Dalam hal ini, sumbu X diarahkan secara tangensial ke lintasan pada titik di mana objek ini berada saat ini. Dan kemudian sumbu ini tidak lagi disebut sumbu X, tetapi sumbu tangen, dan vektor satuannya tidak lagi dilambangkan saya, sebuah τ . Sumbu Y diarahkan sepanjang jari-jari kelengkungan lintasan (dalam kasus gerakan dalam lingkaran - ke pusat lingkaran). Dan karena jari-jari tegak lurus terhadap garis singgung, sumbu disebut sumbu normal (tegak lurus dan normal adalah hal yang sama). Ort dari sumbu ini tidak lagi dilambangkan j, sebuah n. Sumbu ketiga (mantan Z) tegak lurus dengan dua sumbu sebelumnya. Ini adalah binormal dengan vektor b(Gbr. 12, kanan). Omong-omong, dalam hal ini sistem koordinat persegi panjang sering disebut sebagai “alami” atau natural.