Kuliah 9

Geometri analitik dalam ruang.

Persamaan umum pesawat.

Definisi. pesawat terbang permukaan disebut, semua titik yang memenuhi persamaan umum:

Ax + By + Cz + D = 0,

di mana A, B, C adalah koordinat vektor -vektor normal ke pesawat.

Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

A \u003d 0 - bidang sejajar dengan sumbu Ox

B \u003d 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oy

C \u003d 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oz

D = 0 - pesawat melewati titik asal

A \u003d B \u003d 0 - bidang sejajar dengan bidang xOy

A \u003d C \u003d 0 - bidang sejajar dengan bidang xOz

B = C = 0 - bidang sejajar dengan bidang yOz

A \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Ox

B \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Oy

C \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - bidang bertepatan dengan bidang xOy

A = C = D = 0 - bidang bertepatan dengan bidang xOz

B = C = D = 0 - bidang bertepatan dengan bidang yOz

Persamaan bidang yang melalui tiga titik.

Agar satu bidang dapat ditarik melalui tiga titik mana pun di ruang angkasa, titik-titik ini harus tidak terletak pada satu garis lurus.

Perhatikan titik-titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dalam sistem koordinat kartesius.

Agar titik sembarang M(x, y, z) terletak pada bidang yang sama dengan titik M 1, M 2, M 3, vektor-vektornya perlu
adalah koplanar yaitu produk campuran mereka:

(
) = 0

Dengan demikian,

Persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Persamaan bidang yang melalui dua titik yang sejajar dengan vektor.

Misalkan titik-titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) dan vektor
.

Mari kita buat persamaan bidang yang melalui titik M 1 dan M 2 yang diberikan dan titik sembarang M (x, y, z) sejajar dengan vektor .

Vektor
dan vektor
harus koplanar, yaitu

(
) = 0

Persamaan bidang:

Persamaan bidang yang melalui sebuah titik yang sejajar dengan dua buah vektor.

Biarkan dua vektor diberikan
dan
, bidang collinear dan titik M 1 (x 1, y 1, z 1). Maka untuk sembarang titik M(x, y, z) milik bidang, vektor
harus koplanar.

Persamaan bidang:

Persamaan bidang yang melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap vektor.

Dalil. Jika sebuah titik M 0 diberikan dalam ruang (x 0, y 0, z 0), maka persamaan bidang yang melalui titik M 0 tegak lurus terhadap vektor normal (A, B, C) memiliki bentuk:

A(x – x 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bukti. Untuk titik sembarang M(x, y, z) milik pesawat, kami membuat vektor . Karena vektor - vektor normal, maka itu tegak lurus terhadap bidang, dan, oleh karena itu, tegak lurus terhadap vektor
. Maka hasil kali skalar

= 0

Dengan demikian, kita memperoleh persamaan bidang

Teorema telah terbukti.

Persamaan bidang dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum Ax + Wu + Cz + D = 0 bagi kedua bagian dengan -D

,

menggantikan
, kita memperoleh persamaan bidang dalam segmen-segmen:

Bilangan a, b, c adalah segmen-segmen yang dipotong oleh bidang pada perpotongan sumbu x, y, z berturut-turut dari sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Persamaan bidang dalam bentuk vektor.

di mana

- radius-vektor dari titik saat ini M(x, y, z),

Vektor satuan yang arahnya tegak lurus jatuh ke bidang dari titik asal.

, dan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor ini dengan sumbu x, y, z.

p adalah panjang tegak lurus ini.

Dalam koordinat, persamaan ini memiliki bentuk:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Persamaan bidang parametrik

Misalkan sebuah titik M 0 (x 0, y 0, z 0) dan dua vektor non-kolinier diberikan dalam ruang

(p 1 , p 2 , p 3) dan (q 1 , q 2 , q 3). Misal M(x, y, z) adalah titik sekarang pada bidang. Karena vektor dan adalah noncollinear, maka mereka membentuk basis pada bidang, di mana kita memperluas vektor
=t+ s, di mana t,s adalah parameter. Mari kita tempatkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian secara sewenang-wenang pada bidang sehingga sumbu Ox dan Oy terletak pada bidang tersebut. Dari pusat O kita gambarkan vektor-vektor jari-jarinya ke titik-titik M 0 dan M dan . Kemudian
=-dan

=+t+ s .

Ini adalah persamaan parametrik bidang dalam bentuk vektor, dan dalam bentuk skalar

x=x 0 + p 1 t + q 1 s

y=y 0 + p 2 t + q 2 s

z=z 0 + p 3 t + q 3 s

Jarak dari titik ke bidang.

Jarak dari titik sembarang M 0 (x 0, y 0, z 0) ke bidang Ax + Vu + Cz + D \u003d 0 adalah:

Contoh. Temukan persamaan bidang, dengan mengetahui bahwa titik P (4; -3; 12) adalah alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang ini.

Jadi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, gunakan rumus:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Contoh . Tentukan persamaan bidang yang melalui dua titik

P(2; 0; -1) dan Q(1; -1; 3) tegak lurus bidang 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vektor normal pada bidang 3x + 2y - z + 5 = 0
sejajar dengan bidang yang diinginkan.

Kita mendapatkan:

Contoh . Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(2, -1, 4) dan

(3, 2, -1) tegak lurus bidang X + pada + 2z – 3 = 0.

Persamaan bidang yang diinginkan memiliki bentuk: A x+B kamu+ C z+ D = 0, vektor normal pada bidang ini (A,B,C). vektor
(1, 3, -5) milik pesawat. Bidang yang diberikan kepada kita, tegak lurus dengan bidang yang diinginkan, memiliki vektor normal (1, 1, 2). Karena titik A dan B terletak pada kedua bidang, dan bidang-bidang tersebut saling tegak lurus, maka

Jadi vektor normal (11, -7, -2). Karena titik A termasuk dalam bidang yang diinginkan, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang ini, yaitu. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Jadi, kita mendapatkan persamaan bidang: 11 x - 7kamu – 2z – 21 = 0.

Contoh . Temukan persamaan bidang, dengan mengetahui bahwa titik P(4, -3, 12) adalah alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang ini.

Mencari koordinat vektor normal
= (4, -3, 12). Persamaan bidang yang diinginkan memiliki bentuk: 4 x – 3kamu + 12z+ D = 0. Untuk mencari koefisien D, kita substitusikan koordinat titik P ke dalam persamaan:

16 + 9 + 144 + D = 0

Jadi, kita mendapatkan persamaan yang diinginkan: 4 x – 3kamu + 12z – 169 = 0

Contoh . Mengingat koordinat simpul piramida

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

Hitunglah panjang rusuk A 1 A 2 .

Hitunglah sudut antara rusuk A 1 A 2 dan A 1 A 4.

Tentukan sudut antara rusuk A 1 A 4 dan permukaan A 1 A 2 A 3 .

Pertama, cari vektor normal ke wajah A 1 A 2 A 3 - sebagai perkalian silang dari vektor
dan
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Tentukan sudut antara vektor normal dan vektor
.

-4 – 4 = -8.

Sudut yang diinginkan antara vektor dan bidang akan sama dengan = 90 0 - .

Hitunglah luas permukaan A 1 A 2 A 3 .

Temukan volume piramida.

Tentukan persamaan bidang 1 2 3 .

Kami menggunakan rumus untuk persamaan bidang yang melalui tiga titik.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

Persamaan permukaan dalam ruang

Definisi. Persamaan apa pun yang menghubungkan koordinat x, y, z dari sembarang titik pada permukaan adalah persamaan permukaan itu.

Persamaan umum bidang

Definisi. Sebuah pesawat adalah permukaan, semua titik yang memenuhi persamaan umum:

Ax + By + Cz + D = 0,

di mana A, B, C adalah koordinat vektor

vektor normal ke pesawat. Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

A \u003d 0 - bidang sejajar dengan sumbu Ox

B \u003d 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oy

C \u003d 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oz

D = 0 - pesawat melewati titik asal

A \u003d B \u003d 0 - bidang sejajar dengan bidang xOy

A \u003d C \u003d 0 - bidang sejajar dengan bidang xOz

B \u003d C \u003d 0 - bidang sejajar dengan bidang yOz

A \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Ox

B \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Oy

C \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - bidang bertepatan dengan bidang xOy

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - bidang bertepatan dengan bidang xOz

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - bidang bertepatan dengan bidang yOz

Persamaan bidang yang melalui tiga titik

Agar satu bidang dapat ditarik melalui tiga titik mana pun di ruang angkasa, titik-titik ini harus tidak terletak pada satu garis lurus. Perhatikan titik-titik 1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) dalam sistem koordinat kartesius umum. Agar titik sembarang M(x, y, z) terletak pada bidang yang sama dengan titik M1, M2, M3, vektor-vektornya harus koplanar.

Dengan demikian,

Persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Persamaan bidang yang diberikan dua titik dan vektor collinear ke pesawat

Biarkan titik-titik M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) dan sebuah vektor diberikan.

Mari kita buat persamaan bidang yang melalui titik-titik M1 dan M2 yang diberikan dan titik sembarang M(x, y, z) yang sejajar dengan vektor.

Vektor dan vektor harus koplanar, mis.

Persamaan bidang:

Persamaan bidang terhadap satu titik dan dua vektor yang segaris terhadap bidang

Biarkan dua vektor dan, bidang collinear, diberikan. Kemudian untuk sembarang titik M(x, y, z) milik bidang, vektor harus coplanar. Persamaan bidang:

Persamaan bidang menurut titik dan vektor normal

Dalil. Jika sebuah titik M0 (x0, y0, z0) diberikan dalam ruang, maka persamaan bidang yang melalui titik M0 tegak lurus terhadap vektor normal (A, B, C) berbentuk:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Bukti. Untuk titik sembarang M(x, y, z) milik pesawat, kami membuat vektor. Karena vektor adalah vektor normal, maka itu tegak lurus terhadap bidang, dan karena itu juga tegak lurus terhadap vektor. Maka hasil kali skalar

Dengan demikian, kita memperoleh persamaan bidang

Teorema telah terbukti.

Persamaan umum garis lurus disebut menyelesaikan, jika semua koefisiennya tidak sama dengan 0. Jika tidak, persamaan tersebut disebut tidak lengkap.

D=0 Kapak+Vu+Сz=0- pesawat terbang, melewati titik asal koordinat.

Kasus yang tersisa ditentukan oleh posisi vektor normal t=( A; B; C).

A=0 +Сz+D=0 adalah persamaan bidang, sumbu paralel Ok.(Karena vektor normal t=( 0;B;C) tegak lurus terhadap sumbu Ox).

B=0 Ah +z+D=0 - persamaan pesawat, sejajar sumbu y.(Karena vektor normal t=( A; 0; C) tegak lurus terhadap sumbu Oy).

C=0 Ah + Wu+H=0 - persamaan pesawat, sumbu sejajar Oz. (Karena vektor normal t=( A; B; 0) tegak lurus terhadap sumbu Oz).

A=B=0 z+D=0 – z=-D/C – persamaan bidang yang sejajar dengan bidang Oxy (karena bidang ini sejajar dengan sumbu Ox dan Oy).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- persamaan bidang yang sejajar dengan bidang Oxz (karena bidang ini sejajar dengan sumbu Ox dan Oz).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- persamaan bidang yang sejajar dengan bidang Oyz (karena bidang ini sejajar dengan sumbu Oy dan Oz).

A=D=0 Oleh+Cz=0 - persamaan bidang yang melalui sumbu x.

B=D=0 Ax+Cz=0 - persamaan bidang yang melalui sumbu Oy.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Bidang koordinat Oxy.(karena bidang ini sejajar dengan Oxy dan melewati titik asal).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – bidang koordinat z.(karena bidang ini sejajar dengan Oxz dan melewati titik asal).

B=C=D=0 kapak=0 (x=0) – bidang koordinat z.(karena bidang ini sejajar dengan Oyz dan melewati titik asal).

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu.

Kami menurunkan persamaan bidang yang melalui 3 titik berbeda M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) , tidak berbaring pada satu garis lurus. maka vektor M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1) dan M 1 M 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) tidak collinear. Oleh karena itu, titik M(x, y, z) terletak pada bidang yang sama dengan titik M 1 , M 2 dan M 3 jika dan hanya jika vektor-vektor M 1 M 2 , M 1 M 3 dan M 1 M\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - coplanar, mis. ketika produk campuran mereka adalah 0

(M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0) , yaitu

(4) Persamaan bidang yang melalui 3 titik tertentu.

(Memperluas determinan di sepanjang garis ke-1 dan menyederhanakan, kita mendapatkan persamaan umum bidang: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

Itu. tiga titik secara unik mendefinisikan sebuah pesawat.

Persamaan bidang dalam segmen pada sumbu.

Bidang memotong sumbu koordinat di titik M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c).

M (x; y; z) adalah titik variabel pada bidang.

M 1 M=(x-a; y; z)

M 1 M 2 =(0-а;b;0) tentukan bidang yang diberikan

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Itu. M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0

Mari kita kembangkan pada baris pertama: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Bagilah persamaan dengan abc≠0. Kita mendapatkan:

(5) persamaan bidang dalam segmen pada sumbu.

Persamaan (5) dapat diperoleh dari persamaan umum bidang, dengan asumsi bahwa D≠0, dibagi dengan D

Menunjukkan –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – kita mendapatkan Persamaan 4.

Sudut antara dua bidang. Kondisi paralelisme dan tegak lurus bidang.

Sudut antara dua bidang 1 dan 2 diukur dengan sudut datar antara 2 sinar yang tegak lurus terhadap garis di mana bidang-bidang ini berpotongan. Setiap dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut yang berjumlah . Cukup dengan mendefinisikan salah satu sudut ini.

Biarkan pesawat diberikan oleh persamaan umum:

 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : A 2 x+ B 2 kamu+ C 2 z+ D 2 =0

Pertimbangkan PDSC (O, saya,j,k) di ruang R 3 . Biarkan menjadi beberapa bidang dan vektor  N tegak lurus a. Kami memperbaiki titik sewenang-wenang M 0 pada bidang dan mengambil titik M saat ini dari ruang.. Dilambangkan ` r =
dan` r 0 =
. Kemudian
=`r – `r 0 , dan titik jika dan hanya jika vektor ` N dan
ortogonal. Yang terakhir adalah mungkin ketika

N .
= 0, yaitu N . (`r-`r 0) = 0, (9)

persamaan ini disebut persamaan vektor pesawat. vektor ` N ditelepon normal vektor pesawat.

Jika sebuah ` N =(TETAPI, PADA, Dengan), M 0 ( X 0 , pada 0 , z 0) , M( X, pada, z), maka persamaan (9) berbentuk

TETAPI( X – X 0) + B( pada – pada 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Persamaan ini disebut persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu.

Ke Diketahui bahwa melalui tiga titik satu bidang dapat ditarik. Biarkan M 1 ( X 1 , pada 1 , z 1), M3 ( X 2 , pada 2 , z 2), M3 ( X 3 , pada 3 , z 3). Mari kita cari persamaan bidang ini. Menurut persamaan vektor (9), untuk menulis persamaan ini, perlu diketahui titik bidang dan vektor normal. Kami memiliki poin (misalnya, M 1). Dan sebagai vektor normal, vektor apa pun yang tegak lurus terhadap bidang ini dapat digunakan. Diketahui bahwa perkalian silang dua buah vektor tegak lurus terhadap bidang di mana vektor-vektor tersebut berada. Oleh karena itu, perkalian silang dari vektor
dan
dapat diambil sebagai vektor normal bidang :

` N =


Maka persamaan bidang dalam bentuk vektor memiliki bentuk

. (

) =
.
.
= 0.

(perhatikan bahwa kita telah memperoleh kondisi untuk kesepadanan vektor
,
,
).

Melalui koordinat titik M 1, M 2, M 3 dan M, persamaan ini dapat ditulis sebagai:

, (11)

dan disebut persamaan bidang, melewati tiga titik yang diberikan M 1 ( X 1 , pada 1 , z 1), M2 ( X 2 , pada 2 , z 2), M3 ( X 3 , pada 3 , z 3).

Perhatikan kembali persamaan (9), ubahlah menjadi:

Oh + Wu + cz +(–Oh 0 – Wu 0 – cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + cz+D = 0, di mana D = (– Oh 0 – Wu 0 – cz 0) .

persamaan

Oh + Wu + cz+D = 0, (12)

ditelepon persamaan umum pesawat. Di sini vektorN = ( A, B, C) adalah vektor normal bidang (yaitu, vektor tegak lurus bidang). Teorema itu benar:

Teorema 4.2.

Dalam ruang R 3 setiap bidang dapat digambarkan linier terhadap variabel x kamu, z persamaan dan sebaliknya. setiap persamaan derajat pertama mendefinisikan beberapa bidang.

Mari kita pelajari lokasi bidang relatif terhadap sistem koordinat menurut persamaan umumnya Oh + Wu + cz+D = 0 .

Jika koefisien D = 0, maka koordinat titik O(0, 0, 0) memenuhi persamaan Oh + Wu + cz= 0, jadi titik ini terletak pada bidang, mis. bidang dengan persamaan Oh + Wu + cz= 0 melewati titik asal.

Jika dalam persamaan umum bidang hilang satu dari variabel (koefisien yang sesuai sama dengan nol), maka bidang tersebut sejajar dengan sumbu koordinat dengan nama yang sama. Misalnya persamaan Oh + cz + D= 0 mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu y. Memang, vektor normal memiliki koordinat ` N= (A, 0, C) dan mudah untuk memeriksanya ` Nj. Tetapi jika sebuah bidang dan sebuah vektor tegak lurus terhadap vektor yang sama, maka keduanya sejajar. Pesawat dengan persamaan Wu + cz= 0, dalam hal ini, melewati sumbu OX (yaitu, sumbu ini terletak pada bidang)

Tidak adanya dua variabel dalam persamaan bidang berarti bahwa bidang tersebut sejajar dengan bidang koordinat yang sesuai, misalnya, persamaan bentuk Oh + D= 0 mendefinisikan bidang yang sejajar dengan bidang YOZ. Vektor normal memiliki koordinat ` N= (A, 0, 0), kolinear terhadap vektor saya, dan oleh karena itu, bidang tegak lurus terhadap vektor saya, atau sejajar dengan bidang UOZ.

Persamaan bidang koordinat terlihat seperti: BAGAIMANA: z= 0, hal. XOZ: kamu= 0, hal. YOZ: x = 0.

Memang, BAGAIMANA pesawat melewati titik asal (D = 0) dan vektor k=(0, 0, 1) adalah vektor normalnya. Demikian pula, bidang XOZ dan YOZ melewati titik asal (D = 0) dan vektor j=(0, 1, 0) dan saya = (1,0,0) masing-masing adalah normalnya.

Jika D0, maka kita mengubah persamaan umum sebagai berikut

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

HAI menunjukkan di sini
,
,
, kita mendapatkan persamaan
, (13)

yang disebut persamaan bidang di segmen pada sumbu. Di Sini sebuah, b, c adalah nilai segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu koordinat (Gbr.). Persamaan ini mudah digunakan untuk membangun sebuah bidang dalam sistem koordinat. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa poin ( sebuah, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, dengan) berbaring di pesawat. Garis yang melalui titik-titik tersebut disebut jejak pesawat pada bidang koordinat.

Misalnya, mari kita membuat pesawat

2X – 3pada + 4z –12 = 0.

Mari kita bawa persamaan ini ke bentuk (13), kita peroleh

D Untuk membuat bidang dalam sistem koordinat, tandai titik (6, 0, 0) pada sumbu OX, titik (0, -4, 0) pada sumbu OY, (0, 0, 3) pada sumbu OZ , hubungkan dengan segmen garis lurus ( jejak bidang). Segitiga yang dihasilkan adalah bagian dari bidang yang diinginkan, tertutup di antara sumbu koordinat.

Maka tentukan persamaan bidangnya cukup tahu

Baik vektor normal bidang ini dan salah satu titiknya (persamaan (10));

Atau tiga titik yang terletak pada bidang datar (persamaan (11)).

Susunan pesawat bersama di ruang angkasa akan lebih mudah untuk belajar menggunakan vektor yang sesuai dengannya. Jika adalah bidang dengan vektor normal N, maka

.

Derivasi rumus ini mirip dengan bagaimana hal itu dilakukan untuk garis lurus pada bidang. Melaksanakannya sendiri.

Ini dapat ditentukan dengan cara yang berbeda (satu titik dan vektor, dua titik dan vektor, tiga titik, dll.). Dengan pemikiran inilah persamaan bidang dapat memiliki bentuk yang berbeda. Juga, dalam kondisi tertentu, bidang bisa sejajar, tegak lurus, berpotongan, dll. Kami akan membicarakannya di artikel ini. Kita akan belajar bagaimana menulis persamaan umum pesawat dan tidak hanya.

Bentuk normal dari persamaan

Misalkan ada ruang R 3 yang memiliki sistem koordinat persegi panjang XYZ. Kami mengatur vektor , yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui ujung vektor kami menggambar bidang P, yang akan tegak lurus dengannya.

Dilambangkan dengan P titik sembarang Q=(x, y, z). Kami akan menandatangani vektor jari-jari titik Q dengan huruf p. Panjang vektor adalah p=IαI dan =(cosα,cosβ,cosγ).

Ini adalah vektor satuan yang menunjuk ke samping, sama seperti vektor . , dan masing-masing adalah sudut yang terbentuk antara vektor dan arah positif sumbu ruang x, y, z. Proyeksi beberapa titik QϵП ke vektor adalah nilai konstanta yang sama dengan : (р,Ʋ) = (р≥0).

Persamaan ini masuk akal ketika p=0. Satu-satunya hal adalah bahwa bidang P dalam hal ini akan memotong titik O (α=0), yang merupakan titik asal, dan vektor satuan , yang dilepaskan dari titik O, akan tegak lurus terhadap P, terlepas dari arahnya, yang berarti bahwa vektor ditentukan dari tanda-akurat. Persamaan sebelumnya adalah persamaan bidang P kita, yang dinyatakan dalam bentuk vektor. Tetapi dalam koordinat akan terlihat seperti ini:

P di sini lebih besar dari atau sama dengan 0. Kami telah menemukan persamaan bidang dalam ruang dalam bentuk normalnya.

Persamaan Umum

Jika kita mengalikan persamaan dalam koordinat dengan angka apa pun yang tidak sama dengan nol, kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan, yang menentukan bidang yang sama. Ini akan terlihat seperti ini:

Di sini A, B, C adalah angka yang berbeda secara bersamaan dari nol. Persamaan ini disebut sebagai persamaan bidang umum.

Persamaan bidang. Kasus khusus

Persamaan dalam bentuk umum dapat dimodifikasi dengan adanya kondisi tambahan. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya.

Asumsikan bahwa koefisien A adalah 0. Ini berarti bahwa bidang yang diberikan sejajar dengan sumbu yang diberikan Ox. Dalam hal ini, bentuk persamaan akan berubah: +Cz+D=0.

Demikian pula, bentuk persamaan akan berubah dalam kondisi berikut:

• Pertama, jika B = 0, maka persamaan akan berubah menjadi Ax + Cz + D = 0, yang menunjukkan kesejajaran terhadap sumbu Oy.
• Kedua, jika =0, ​​maka persamaan tersebut diubah menjadi +Ву+D=0, yang menunjukkan paralelisme terhadap sumbu Oz yang diberikan.
• Ketiga, jika D=0, persamaannya akan terlihat seperti Ax+By+Cz=0, yang berarti bahwa bidang berpotongan dengan O (titik asal).
• Keempat, jika A=B=0, maka persamaan akan berubah menjadi Cz+D=0, yang akan terbukti sejajar dengan Oxy.
• Kelima, jika B=C=0, maka persamaan menjadi Ax+D=0, yang berarti bidang ke Oyz sejajar.
• Keenam, jika A=C=0, maka persamaan akan berbentuk +D=0, yaitu akan melaporkan paralelisme ke Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Jika bilangan A, B, C, D bukan nol, bentuk persamaan (0) dapat menjadi sebagai berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

di mana a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Kami mendapatkan hasilnya Perlu dicatat bahwa bidang ini akan memotong sumbu Ox pada titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c) .

Dengan mempertimbangkan persamaan x/a + y/b + z/c = 1, mudah untuk menggambarkan secara visual penempatan bidang relatif terhadap sistem koordinat yang diberikan.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n ke bidang P memiliki koordinat yang merupakan koefisien dari persamaan umum bidang yang diberikan, yaitu, n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat normal n, cukup diketahui persamaan umum bidang yang diberikan.

Saat menggunakan persamaan dalam segmen, yang memiliki bentuk x/a + y/b + z/c = 1, serta ketika menggunakan persamaan umum, seseorang dapat menulis koordinat vektor normal apa pun dari bidang yang diberikan: (1 /a + 1/b + 1/ dengan).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu menyelesaikan berbagai masalah. Yang paling umum adalah tugas yang terdiri dalam membuktikan tegak lurus atau paralelisme bidang, masalah dalam menemukan sudut antara bidang atau sudut antara bidang dan garis.

Tampak persamaan bidang menurut koordinat titik dan vektor normal

Sebuah vektor tak nol n tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu disebut normal (normal) untuk suatu bidang tertentu.

Misalkan dalam ruang koordinat (sistem koordinat persegi panjang) Oxyz diberikan:

• titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor nol n=A*i+B*j+C*k.

Kita perlu membuat persamaan untuk bidang yang akan melalui titik Mₒ tegak lurus terhadap n normal.

Di ruang, kami memilih sembarang titik dan dilambangkan dengan M (x y, z). Misalkan vektor jari-jari suatu titik M (x, y, z) adalah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jari-jari titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan termasuk dalam bidang yang diberikan jika vektor MₒM tegak lurus terhadap vektor n. Kami menulis kondisi ortogonalitas menggunakan produk skalar:

[MₒM, n] = 0.

Karena MₒM \u003d r-rₒ, persamaan vektor bidang akan terlihat seperti ini:

Persamaan ini dapat mengambil bentuk lain. Untuk melakukan ini, sifat-sifat produk skalar digunakan, dan sisi kiri persamaan ditransformasikan. = - . Jika dilambangkan sebagai c, maka persamaan berikut akan diperoleh: - c \u003d 0 atau \u003d c, yang menyatakan keteguhan proyeksi ke vektor normal vektor jari-jari dari titik-titik tertentu yang termasuk dalam bidang.

Sekarang Anda bisa mendapatkan bentuk koordinat penulisan persamaan vektor bidang kita = 0. Karena r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B *j+C*k, kita punya:

Ternyata kita memiliki persamaan untuk sebuah bidang yang melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap n normal:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Lihat persamaan bidang menurut koordinat dua titik dan vektor collinear ke pesawat

Kami mendefinisikan dua titik arbitrer M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita dapat membuat persamaan untuk suatu bidang tertentu, yang akan melalui titik-titik yang tersedia M′ dan M″, serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor yang diberikan a.

Dalam hal ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) harus sebidang dengan vektor a=(a′,a″,a‴), yang artinya (M′M, M″M, a)=0.

Jadi, persamaan bidang kita di ruang angkasa akan terlihat seperti ini:

Jenis persamaan bidang yang memotong tiga titik

Misalkan kita memiliki tiga titik: (x′, y, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak termasuk dalam satu garis lurus. Persamaan bidang yang melalui ketiga titik tersebut perlu ditulis. Teori geometri mengklaim bahwa jenis pesawat ini benar-benar ada, hanya itu satu-satunya dan tak ada bandingannya. Karena bidang ini memotong titik (x′, y′, z′), bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Di sini A, B, C berbeda dari nol pada waktu yang sama. Juga, bidang yang diberikan berpotongan dengan dua titik lagi: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, kondisi berikut harus dipenuhi:

Sekarang kita dapat membuat sistem homogen dengan u, v, w yang tidak diketahui:

Dalam kasus kami, x, y atau z adalah titik arbitrer yang memenuhi persamaan (1). Dengan mempertimbangkan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan yang ditunjukkan pada gambar di atas memenuhi vektor N (A, B, C), yang non-sepele. Itulah sebabnya determinan sistem ini sama dengan nol.

Persamaan (1), yang telah kita peroleh, adalah persamaan bidang. Ini melewati tepat 3 poin, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu memperluas determinan kita atas elemen-elemen di baris pertama. Ini mengikuti dari sifat-sifat determinan yang ada bahwa bidang kita secara bersamaan berpotongan dengan tiga titik yang diberikan awalnya (x′, y, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Artinya, kami telah menyelesaikan tugas yang ditetapkan di depan kami.

Sudut dihedral antar bidang

Sudut dihedral adalah sosok geometris spasial yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus. Dengan kata lain, ini adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh setengah bidang ini.

Katakanlah kita memiliki dua bidang dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) tegak lurus menurut bidang yang diberikan. Dalam hal ini, sudut antara vektor N dan N¹ sama dengan sudut (dihedral), yang berada di antara bidang-bidang ini. Produk skalar memiliki bentuk:

NN¹=|N||T|cos ,

justru karena

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Cukup untuk memperhitungkan bahwa 0≤φ≤π.

Faktanya, dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut (dihedral): 1 dan 2 . Jumlahnya sama dengan (φ 1 + 2 = ). Adapun cosinusnya, nilai absolutnya sama, tetapi tandanya berbeda, yaitu cos 1 =-cos 2. Jika pada persamaan (0) kita ganti A, B dan C masing-masing dengan bilangan -A, -B dan -C, maka persamaan yang kita peroleh akan menentukan bidang yang sama, hanya sudut pada persamaan cos = NN 1 /| T||T 1 | akan digantikan oleh -φ.

Persamaan bidang tegak lurus

Bidang disebut tegak lurus jika sudut di antara mereka adalah 90 derajat. Dengan menggunakan materi yang diuraikan di atas, kita dapat menemukan persamaan bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya. Katakanlah kita memiliki dua bidang: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Kita dapat menyatakan bahwa mereka akan tegak lurus jika cosφ=0. Ini berarti bahwa NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan bidang sejajar

Paralel adalah dua bidang yang tidak mengandung titik-titik persekutuan.

Syaratnya (persamaannya sama seperti pada paragraf sebelumnya) adalah bahwa vektor N dan N¹ yang tegak lurus terhadap keduanya adalah kolinear. Ini berarti bahwa kondisi proporsionalitas berikut dipenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika kondisi proporsionalitas diperpanjang - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahwa pesawat ini bertepatan. Ini berarti bahwa persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menggambarkan satu bidang.

Jarak ke bidang dari titik

Katakanlah kita memiliki bidang P, yang diberikan oleh persamaan (0). Jarak dari titik tersebut perlu dicari dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan bidang P ke bentuk normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

Dalam hal ini, (x,y,z) adalah vektor jari-jari titik Q kita yang terletak di P, p adalah panjang tegak lurus P yang dilepaskan dari titik nol, v adalah vektor satuan yang terletak di sebuah arah.

Perbedaan -ρº dari vektor jari-jari dari beberapa titik Q \u003d (x, y, z) milik P, serta vektor jari-jari dari suatu titik Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) adalah sedemikian rupa vektor, nilai absolut proyeksi yang pada v sama dengan jarak d, yang harus ditemukan dari Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-( 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Dengan demikian, kita akan menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu, d yang diinginkan.

Menggunakan bahasa parameter, kita mendapatkan yang jelas:

d=|Ax+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jika titik Q 0 yang diberikan berada di sisi lain bidang P, serta titik asal, maka antara vektor -ρ 0 dan v adalah:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Dalam hal titik Q 0, bersama-sama dengan titik asal terletak pada sisi yang sama dari P, maka sudut yang dibuat adalah lancip, yaitu:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Hasilnya, ternyata pada kasus pertama (ρ 0 ,v)> , pada kasus kedua (ρ 0 ,v)<р.

Bidang singgung dan persamaannya

Bidang singgung ke permukaan pada titik kontak Mº adalah bidang yang memuat semua garis singgung yang mungkin dari kurva yang ditarik melalui titik ini di permukaan.

Dengan bentuk persamaan permukaan ini F (x, y, z) \u003d 0, persamaan bidang singgung di titik singgung Mº (xº, yº, zº) akan terlihat seperti ini:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Jika Anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x, y), maka bidang singgung akan dijelaskan oleh persamaan:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Persimpangan dua pesawat

Dalam sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz terletak, diberikan dua bidang dan , yang berpotongan dan tidak berhimpitan. Karena setiap bidang yang terletak dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum, kita akan mengasumsikan bahwa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ z+D″=0. Dalam hal ini, kita memiliki n′ normal (A′, B′, C′) bidang P′ dan normal n″ (A″, B″, C″) bidang P″. Karena bidang kita tidak sejajar dan tidak berhimpitan, vektor-vektor ini tidak kolinear. Dengan menggunakan bahasa matematika, kita dapat menulis kondisi ini sebagai berikut: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) (λ*A″,λ*B″,λ*C″), R. Misalkan garis yang terletak pada perpotongan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = P′ P″.

a adalah garis lurus yang terdiri dari himpunan semua titik bidang (umum) dan . Ini berarti bahwa koordinat setiap titik yang termasuk dalam garis a harus secara simultan memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″= 0. Ini berarti bahwa koordinat titik akan menjadi solusi khusus dari sistem persamaan berikut:

Hasilnya, ternyata solusi (umum) dari sistem persamaan ini akan menentukan koordinat masing-masing titik garis lurus, yang akan bertindak sebagai titik potong dan , dan menentukan garis lurus. garis a dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) dalam ruang.