Syarat tegak lurus vektor

Vektor tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol.

Dua vektor a(xa;ya) dan b(xb;yb) diberikan. Vektor-vektor ini akan tegak lurus jika ekspresi xaxb + yayb = 0.

Vektor dikatakan paralel jika hasil kali silangnya nol

Persamaan garis lurus pada bidang. Tugas dasar pada garis lurus di pesawat.

Setiap garis lurus pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama Ax + By + C = 0, dan konstanta A, B tidak sama dengan nol pada saat yang sama, yaitu. A2 + B2 0. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus. Bergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut dimungkinkan:

C \u003d 0) - garis lurus sejajar dengan sumbu Ox - B \u003d 0, A 0, C 0 (Ax + C \u003d 0) - garis lurus sejajar dengan sumbu Oy - B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Oy - A = C = 0, B 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Ox Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada setiap kondisi awal yang diberikan.

Jika setidaknya salah satu koefisien A, B, C ur-th Ax+By+C=0 sama dengan 0, ur-e
ditelepon tidak lengkap. Dengan bentuk persamaan garis lurus, seseorang dapat menilai posisinya pada
sialan ohh. Kemungkinan kasus:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) memenuhi persamaan ini, yang berarti garis
melewati asal
2 =0 L: +С=0 - normal v-p n=(0,B) tegak lurus terhadap sumbu OX dari sini
maka garis tersebut sejajar dengan sumbu x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - normal v-r n \u003d (A, 0) tegak lurus terhadap sumbu OY dari sini
maka garis tersebut sejajar dengan sumbu y
4 A=0, C=0 L: Dengan=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - tidak melewati titik asal dan berpotongan .)
kedua sumbu.

Persamaan garis lurus pada bidang yang melalui dua titik tertentu dan:

Sudut antar pesawat.

Perhitungan determinan

Perhitungan determinan didasarkan pada sifat-sifatnya yang diketahui, yang berlaku untuk determinan semua ordo. Properti ini adalah:

1. Jika Anda mengatur ulang dua baris (atau dua kolom) determinan, maka determinan akan berubah tanda.

2. Jika elemen-elemen yang bersesuaian dari dua kolom (atau dua baris) determinan sama atau sebanding, maka determinannya sama dengan nol.

3. Nilai determinan tidak akan berubah jika baris dan kolom ditukar, menjaga urutannya.

4. Jika semua elemen dari setiap baris (atau kolom) memiliki faktor persekutuan, maka faktor tersebut dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

5. Nilai determinan tidak akan berubah jika elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain ditambahkan ke elemen-elemen dari satu baris (atau kolom), dikalikan dengan angka yang sama.

Matriks dan aksi pada mereka

Matriks- objek matematika yang ditulis dalam bentuk tabel angka persegi panjang (atau elemen cincin) dan memungkinkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dll.) antara objek tersebut dan objek serupa lainnya. Biasanya matriks diwakili oleh tabel dua dimensi (persegi panjang). Kadang-kadang matriks multidimensi atau matriks non-persegi panjang dipertimbangkan.

Biasanya matriks dilambangkan dengan huruf kapital abjad latin dan dibedakan dengan tanda kurung bulat “(…)” (ada juga pilihan tanda kurung siku “[…]” atau garis lurus ganda “||…| |”).

Angka-angka yang membentuk matriks (elemen matriks) sering dilambangkan dengan huruf yang sama dengan matriks itu sendiri, tetapi huruf kecil (misalnya, a11 adalah elemen dari matriks A).

Setiap elemen matriks memiliki 2 subskrip (aij) - "i" pertama menunjukkan jumlah baris tempat elemen tersebut berada, dan "j" kedua adalah nomor kolom. Mereka mengatakan "matriks dimensi", yang berarti bahwa matriks memiliki m baris dan n kolom. Selalu dalam matriks yang sama

Operasi matriks

Misalkan aij elemen matriks A dan bij elemen matriks B.

Operasi linier:

Perkalian matriks A dengan bilangan (notasi: A) terdiri dari pembuatan matriks B, yang elemen-elemennya diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan angka ini, yaitu, setiap elemen matriks B sama ke

Penjumlahan matriks A + B adalah operasi mencari matriks C, yang semua elemennya sama dengan jumlah berpasangan dari semua elemen yang bersesuaian dari matriks A dan B, yaitu, setiap elemen matriks C sama dengan

Pengurangan matriks A B didefinisikan sama dengan penjumlahan, yaitu operasi mencari matriks C yang elemen-elemennya

Penjumlahan dan pengurangan hanya diperbolehkan untuk matriks dengan ukuran yang sama.

Ada matriks nol sedemikian rupa sehingga penambahannya ke matriks lain A tidak mengubah A, mis.

Semua elemen matriks nol sama dengan nol.

Operasi nonlinier:

Perkalian matriks (notasi: AB, lebih jarang dengan tanda perkalian) adalah operasi untuk menghitung matriks C, yang elemen-elemennya sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen pada baris yang sesuai dari faktor pertama dan kolom dari yang kedua.cij = aikbkj k

Pengganda pertama harus memiliki kolom sebanyak jumlah baris di kolom kedua. Jika matriks A berdimensi B - , maka dimensi perkaliannya AB = C adalah. Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian matriks bersifat asosiatif. Hanya matriks persegi yang dapat dipangkatkan.

Transposisi matriks (simbol: AT) adalah operasi di mana matriks dipantulkan sepanjang diagonal utama, yaitu.

Jika A adalah matriks ukuran, maka AT adalah matriks ukuran

Turunan dari fungsi kompleks

Fungsi kompleks memiliki bentuk: F(x) = f(g(x)), mis. adalah fungsi dari fungsi. Misalnya, y = sin2x, y = ln(x2+2x), dst.

Jika di titik x fungsi g (x) adalah turunan g "(x), dan di titik u \u003d g (x) fungsi f (u) memiliki turunan f" (u), maka turunan dari fungsi kompleks f (g (x)) di titik x ada dan sama dengan f"(u)g"(x).

Turunan dari fungsi implisit

Dalam banyak masalah, fungsi y(x) ditentukan secara tidak langsung. Misalnya, untuk fungsi di bawah ini

tidak mungkin untuk mendapatkan ketergantungan y(x) secara eksplisit.

Algoritma untuk menghitung turunan y "(x) dari suatu fungsi implisit adalah sebagai berikut:

Pertama, Anda perlu membedakan kedua ruas persamaan terhadap x, dengan asumsi bahwa y adalah fungsi terdiferensiasi dari x dan menggunakan aturan untuk menghitung turunan dari fungsi kompleks;

Selesaikan persamaan yang dihasilkan sehubungan dengan turunan y "(x).

Mari kita lihat beberapa contoh untuk mengilustrasikannya.

Diferensialkan fungsi y(x) yang diberikan oleh persamaan.

Bedakan kedua ruas persamaan terhadap variabel x:

yang mengarah pada hasil

Aturan Lapital

aturan L'Hopital. Misalkan f-tion f(x) dan g(x) memiliki env. t-ki x0 pr-nye f‘ dan g‘ tidak termasuk kemungkinan t-ku x0 ini. Misal lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 sehingga f(x)/g(x) untuk x®x0 menghasilkan 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) ketika bertepatan dengan batas rasio fungsi lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Kriteria untuk monotonisitas suatu fungsi yang memiliki turunan pada suatu interval) Biarkan fungsi terus menerus

(a,b), dan memiliki turunan f"(x) di setiap titik. Maka

1)f meningkat sebesar (a,b) jika dan hanya jika

2) berkurang pada (a,b) jika dan hanya jika

2. (Suatu syarat yang cukup untuk monotonisitas ketat dari suatu fungsi yang memiliki turunan pada suatu interval) Biarkan fungsi tersebut kontinu pada (a,b), dan memiliki turunan f"(x) di setiap titik. Maka

1) jika maka f benar-benar meningkat pada (a,b);

2) jika maka f benar-benar menurun pada (a,b).

Kebalikannya umumnya tidak benar. Turunan dari fungsi yang sangat monoton dapat menghilang. Namun, himpunan titik-titik di mana turunannya tidak sama dengan nol harus rapat pada interval (a,b). Lebih tepatnya, itu terjadi.

3. (Kriteria untuk monotonisitas ketat dari suatu fungsi yang memiliki turunan pada suatu interval) Misalkan dan turunan f"(x) didefinisikan di mana-mana pada interval. Kemudian f meningkat secara ketat pada interval (a,b) jika dan hanya jika dua kondisi berikut terpenuhi:

Produk skalar dari vektor. Sudut antar vektor. Kondisi paralelisme atau tegak lurus vektor.

Produk skalar vektor adalah produk dari panjangnya dan kosinus sudut di antara mereka:

Dengan cara yang persis sama seperti dalam planimetri, pernyataan berikut dibuktikan:

Produk skalar dari dua vektor bukan nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor ini tegak lurus.

Kuadrat titik dari sebuah vektor, yaitu hasil kali titik dari dirinya sendiri dan dirinya sendiri, sama dengan kuadrat dari panjangnya.

Produk skalar dari dua vektor dan diberikan oleh koordinatnya dapat dihitung dengan rumus

Vektor tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol. Contoh. Diberikan dua vektor dan . Vektor-vektor ini akan tegak lurus jika ekspresi x1x2 + y1y2 = 0. Sudut antara vektor-vektor bukan-nol adalah sudut antara garis-garis yang dipandu oleh vektor-vektor ini. Sudut antara vektor apa pun dan vektor nol, menurut definisi, dianggap sama dengan nol. Jika sudut antara vektor adalah 90°, maka vektor tersebut disebut tegak lurus. Sudut antara vektor akan dilambangkan sebagai berikut:

Artikel ini mengungkapkan arti tegak lurus dua vektor pada bidang dalam ruang tiga dimensi dan menemukan koordinat vektor yang tegak lurus terhadap satu atau seluruh pasangan vektor. Topik ini berlaku untuk masalah yang berkaitan dengan persamaan garis dan bidang.

Kami akan mempertimbangkan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus dua vektor, kami akan menyelesaikannya dengan metode menemukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor yang diberikan, kami akan menyentuh situasi menemukan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Syarat perlu dan syarat cukup agar dua buah vektor tegak lurus

Mari kita terapkan aturan tentang vektor tegak lurus pada bidang dan dalam ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Mengingat nilai sudut antara dua vektor bukan nol yang sama dengan 90 ° (π 2 radian) disebut tegak lurus.

Apa artinya ini, dan dalam situasi apa perlu mengetahui tentang tegak lurusnya?

Pembentukan tegak lurus dimungkinkan melalui gambar. Saat memplot vektor pada bidang dari titik-titik tertentu, Anda dapat mengukur sudut di antara mereka secara geometris. Ketegangan vektor, jika ditetapkan, tidak sepenuhnya akurat. Paling sering, masalah ini tidak memungkinkan Anda untuk melakukan ini dengan busur derajat, jadi metode ini hanya berlaku jika tidak ada hal lain yang diketahui tentang vektor.

Sebagian besar kasus pembuktian tegak lurus dua vektor tak nol pada bidang atau ruang dilakukan dengan menggunakan syarat perlu dan syarat cukup untuk tegak lurus dua buah vektor.

Teorema 1

Produk skalar dari dua vektor bukan-nol a → dan b → sama dengan nol untuk memenuhi persamaan a → , b → = 0 cukup untuk tegak lurusnya.

Bukti 1

Misalkan vektor-vektor yang diberikan a → dan b → tegak lurus, maka kita akan membuktikan persamaan a , b → = 0 .

Dari definisi perkalian titik dari vektor kita tahu bahwa itu sama produk dari panjang vektor yang diberikan dan kosinus sudut di antara mereka. Dengan syarat, a → dan b → tegak lurus, dan, oleh karena itu, berdasarkan definisi, sudut di antara mereka adalah 90 °. Maka kita memiliki a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Bagian kedua dari bukti

Pada kondisi ketika a , b → = 0 membuktikan tegak lurus dari a → dan b → .

Padahal, pembuktiannya berbanding terbalik dengan yang sebelumnya. Diketahui a → dan b → bukan nol, jadi dari persamaan a , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ kita cari kosinusnya. Kemudian kita mendapatkan cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Karena kosinusnya nol, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut a → , b → ^ dari vektor a → dan b → adalah 90 ° . Menurut definisi, ini adalah properti yang diperlukan dan cukup.

Kondisi tegak lurus pada bidang koordinat

Bab produk titik dalam koordinat menunjukkan pertidaksamaan (a → , b →) = a x b x + a y b y , berlaku untuk vektor dengan koordinat a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) , pada bidang dan (a → , b → ) = a x b x + a y b y untuk vektor a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) dalam ruang. Syarat perlu dan syarat cukup untuk tegak lurus dua vektor pada bidang koordinat adalah a x · b x + a y · b y = 0 , untuk ruang tiga dimensi a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Mari kita praktikkan dan lihat contohnya.

Contoh 1

Periksa sifat tegak lurus dua vektor a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Keputusan

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menemukan produk skalar. Jika dengan kondisi itu akan sama dengan nol, maka mereka tegak lurus.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Kondisi terpenuhi, yang berarti bahwa vektor-vektor yang diberikan tegak lurus pada bidang.

Menjawab: ya, vektor-vektor yang diberikan a → dan b → tegak lurus.

Contoh 2

Diketahui vektor koordinat i → , j → , k → . Periksa apakah vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → dapat tegak lurus.

Keputusan

Untuk mengingat bagaimana koordinat vektor ditentukan, Anda perlu membaca artikel tentang koordinat vektor dalam koordinat persegi panjang. Jadi, kita peroleh bahwa vektor-vektor yang diberikan i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → memiliki koordinat yang sesuai (1, - 1, 0) dan (1, 2, 2) . Substitusikan nilai numerik dan dapatkan: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Ekspresi bukan nol, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) 0 , yang berarti bahwa vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak tegak lurus karena kondisi tidak terpenuhi.

Menjawab: tidak, vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak tegak lurus.

Contoh 3

Diketahui vektor a → = (1 , 0 , - 2) dan b → = (λ , 5 , 1) . Temukan nilai yang vektor-vektornya tegak lurus.

Keputusan

Kami menggunakan kondisi tegak lurus dua vektor dalam ruang dalam bentuk persegi, maka kami mendapatkan

a x b x + a y b y + a z b z = 0 1 + 0 5 + (- 2) 1 = 0 = 2

Menjawab: vektor-vektor tersebut tegak lurus pada nilai = 2.

Ada kasus ketika pertanyaan tentang tegak lurus tidak mungkin bahkan di bawah kondisi yang diperlukan dan cukup. Dengan data yang diketahui pada tiga sisi segitiga pada dua vektor, dimungkinkan untuk menemukan sudut antar vektor dan periksa.

Contoh 4

Diberikan segitiga A B C dengan sisi A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm Periksa vektor A B → dan A C → untuk tegak lurus.

Keputusan

Ketika vektor A B → dan A C → tegak lurus, segitiga A B C dianggap persegi panjang. Kemudian kita terapkan teorema Pythagoras, di mana BC adalah sisi miring dari segitiga tersebut. Persamaan B C 2 = A B 2 + A C 2 harus dipenuhi. Maka 10 2 = 8 2 + 6 2 100 = 100 . Jadi, A B dan A C adalah kaki-kaki segitiga A B C, oleh karena itu, A B → dan A C → tegak lurus.

Penting untuk mempelajari cara menemukan koordinat vektor yang tegak lurus terhadap vektor tertentu. Ini dimungkinkan baik di bidang maupun di luar angkasa, asalkan vektor-vektornya tegak lurus.

Menemukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor tertentu dalam bidang.

Sebuah vektor tak-nol a → dapat memiliki jumlah vektor tegak lurus yang tak terhingga pada bidang. Mari kita nyatakan pada garis koordinat.

Sebuah vektor tak nol a → , terletak pada garis a, diberikan. Kemudian b → , yang terletak pada sembarang garis yang tegak lurus terhadap garis a, menjadi tegak lurus dan a → . Jika vektor i → tegak lurus terhadap vektor j → atau salah satu vektor · j → dengan sama dengan sembarang bilangan real kecuali nol, maka tentukan koordinat vektor b → tegak lurus a → = (a x , a y) tereduksi menjadi himpunan solusi tak terhingga. Tetapi perlu untuk menemukan koordinat vektor yang tegak lurus a → = (a x , a y) . Untuk melakukannya, perlu menuliskan syarat tegak lurus vektor dalam bentuk a x · b x + a y · b y = 0 . Kami memiliki b x dan b y , yang merupakan koordinat yang diinginkan dari vektor tegak lurus. Ketika a x 0 , nilai b y bukan nol dan b x dihitung dari pertidaksamaan a x · b x + a y · b y = 0 b x = - a y · b y a x . Ketika a x = 0 dan a y 0, kami menetapkan b x nilai apa pun selain nol, dan b y ditemukan dari ekspresi b y = - a x · b x a y .

Contoh 5

Diberikan sebuah vektor dengan koordinat a → = (- 2 , 2) . Temukan vektor yang tegak lurus dengan vektor yang diberikan.

Keputusan

Tunjukkan vektor yang diinginkan sebagai b → (b x , b y) . Anda dapat menemukan koordinatnya dari kondisi bahwa vektor a → dan b → tegak lurus. Maka kita mendapatkan: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Tetapkan b y = 1 dan gantikan: - 2 b x + 2 b y = 0 - 2 b x + 2 = 0 . Jadi dari rumus kita dapatkan b x = - 2 - 2 = 1 2 . Oleh karena itu, vektor b → = (1 2 , 1) adalah vektor yang tegak lurus a → .

Menjawab: b → = (1 2 , 1) .

Jika pertanyaan tentang ruang tiga dimensi diangkat, masalahnya diselesaikan menurut prinsip yang sama. Untuk vektor yang diberikan a → = (a x , a y , a z) terdapat himpunan tak hingga dari vektor-vektor tegak lurus. Akan memperbaikinya pada bidang 3D koordinat. Diberikan a → terletak pada garis a . Bidang yang tegak lurus terhadap garis lurus a dilambangkan dengan . Dalam hal ini, sembarang vektor tak nol b → dari bidang tegak lurus terhadap a → .

Kita perlu mencari koordinat b → tegak lurus terhadap vektor bukan-nol a → = (a x , a y , a z) .

Misalkan b → diberikan dengan koordinat b x , b y dan b z . Untuk menemukannya, perlu menerapkan definisi kondisi tegak lurus dua vektor. Persamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 harus berlaku. Dari kondisi a → - bukan nol yang artinya salah satu koordinat memiliki nilai yang tidak sama dengan nol. Misalkan a x 0 , (a y 0 atau a z 0). Oleh karena itu, kita memiliki hak untuk membagi seluruh pertidaksamaan a x b x + a y b y + a z b z = 0 dengan koordinat ini, kita mendapatkan ekspresi b x + a y b y + a z b z a x = 0 b x = - a y b y + a z b z a x . Kami menetapkan nilai apa pun ke koordinat b y dan b x , menghitung nilai b x , berdasarkan rumus, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vektor tegak lurus yang diinginkan akan memiliki nilai a → = (a x , a y , a z) .

Mari kita lihat buktinya dengan sebuah contoh.

Contoh 6

Diberikan sebuah vektor dengan koordinat a → = (1 , 2 , 3) ​​. Temukan vektor yang tegak lurus dengan vektor yang diberikan.

Keputusan

Nyatakan vektor yang diinginkan sebagai b → = (b x , b y , b z) . Berdasarkan syarat bahwa vektor-vektornya tegak lurus, hasil kali skalar harus sama dengan nol.

a , b ⇀ = 0 a x b x + a y b y + a z b z = 0 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 b x = - (2 b y + 3 b z)

Jika nilai b y = 1 , b z = 1 , maka b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Maka koordinat vektor b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → adalah salah satu vektor yang tegak lurus terhadap vektor yang diberikan.

Menjawab: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Menentukan koordinat vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang diberikan

Anda perlu menemukan koordinat vektor dalam ruang tiga dimensi. Ini tegak lurus terhadap vektor non-collinear a → (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Dengan syarat bahwa vektor a → dan b → adalah collinear, dalam soal itu akan cukup untuk menemukan vektor yang tegak lurus terhadap a → atau b → .

Saat memecahkan, konsep produk vektor vektor digunakan.

Perkalian silang dari vektor a → dan b → adalah vektor yang tegak lurus secara simultan terhadap a → dan b → . Untuk mengatasi masalah ini, produk vektor a → × b → digunakan. Untuk ruang tiga dimensi berbentuk a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Mari kita menganalisis produk vektor secara lebih rinci menggunakan contoh masalah.

Contoh 7

Vektor b → = (0 , 2 , 3) ​​​​dan a → = (2 , 1 , 0) diberikan. Temukan koordinat dari setiap vektor tegak lurus terhadap data pada saat yang sama.

Keputusan

Untuk menyelesaikannya, Anda perlu menemukan produk silang vektor. (Harus mengacu pada paragraf perhitungan determinan matriks untuk mencari vektor). Kita mendapatkan:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Menjawab: (3 , - 6 , 4) - koordinat suatu vektor yang tegak lurus secara serempak terhadap a → dan b → .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

ohm. Untuk melakukan ini, pertama-tama kami memperkenalkan konsep segmen.

Definisi 1

Ruas adalah bagian dari garis lurus yang dibatasi oleh titik-titik pada kedua sisinya.

Definisi 2

Ujung-ujung segmen akan disebut titik-titik yang membatasinya.

Untuk memperkenalkan definisi vektor, salah satu ujung segmen akan disebut awalnya.

Definisi 3

Kami akan menyebut vektor (segmen terarah) segmen seperti itu, yang ditunjukkan titik batas mana yang awalnya dan mana yang akhirnya.

Notasi: \overline(AB) - vektor AB , dimulai dari titik A dan berakhir di titik B .

Jika tidak, dalam satu huruf kecil: \overline(a) (Gbr. 1).

Definisi 4

Vektor nol adalah setiap titik yang termasuk dalam bidang.

Penunjukan: \overline(0) .

Kami sekarang memperkenalkan langsung definisi vektor collinear.

Kami juga memperkenalkan definisi produk skalar, yang akan kami butuhkan di bawah ini.

Definisi 6

Produk skalar dari dua vektor yang diberikan adalah skalar (atau angka) yang sama dengan produk dari panjang dua vektor ini dengan kosinus sudut antara vektor yang diberikan.

Secara matematis mungkin terlihat seperti ini:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Produk titik juga dapat ditemukan menggunakan koordinat vektor dengan cara berikut

\overline(α)\overline(β)=α_1 _1+α_2 _2+α_3 _3

Tanda tegak lurus melalui proporsionalitas

Teorema 1

Agar vektor-vektor tak-nol tegak lurus satu sama lain, produk skalar vektor-vektor ini harus sama dengan nol.

Bukti.

Kebutuhan: Mari kita diberikan vektor \overline(α) dan \overline(β) , yang masing-masing memiliki koordinat (α_1,α_2,α_3) dan (β_1,β_2,β_3) , dan saling tegak lurus. Maka kita perlu membuktikan persamaan berikut:

Karena vektor \overline(α) dan \overline(β) tegak lurus, sudut di antara keduanya adalah 90^0 . Mari kita cari produk skalar dari vektor-vektor ini menggunakan rumus dari Definisi 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Kecukupan: Biarkan kesetaraan menjadi kenyataan \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Mari kita buktikan bahwa vektor \overline(α) dan \overline(β) akan saling tegak lurus.

Menurut definisi 6, persamaan akan menjadi benar

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Oleh karena itu, vektor \overline(α) dan \overline(β) akan saling tegak lurus.

Teorema telah terbukti.

Contoh 1

Buktikan bahwa vektor-vektor dengan koordinat (1,-5,2) dan (2,1,3/2) tegak lurus.

Bukti.

Mari kita cari produk titik untuk vektor-vektor ini melalui rumus yang diberikan di atas

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Oleh karena itu, menurut Teorema 1, vektor-vektor ini tegak lurus.

Menemukan vektor tegak lurus ke dua vektor yang diberikan melalui produk silang

Mari kita kenalkan dulu konsep produk vektor.

Definisi 7

Sebuah produk vektor dari dua vektor akan disebut vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang diberikan, dan panjangnya akan sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dengan sinus sudut antara vektor-vektor ini, dan vektor ini dengan dua vektor yang awal memiliki orientasi yang sama dengan sistem koordinat Cartesius.

Penamaan: \overline(α)x\overline(β)x.

Untuk mencari produk vektor, kita akan menggunakan rumus

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Karena vektor perkalian silang dua vektor tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut, maka vektor tersebut merupakan vektor klaim. Artinya, untuk menemukan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor, Anda hanya perlu mencari perkalian silangnya.

Contoh 2

Cari vektor tegak lurus terhadap vektor dengan koordinat \overline(α)=(1,2,3) dan \overline(β)=(-1,0,3)

Temukan produk silang dari vektor-vektor ini.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x

Petunjuk

Jika vektor asli ditunjukkan pada gambar dalam sistem koordinat dua dimensi persegi panjang dan vektor tegak lurus perlu dibangun di tempat yang sama, lanjutkan dari definisi tegak lurus vektor pada bidang. Ini menyatakan bahwa sudut antara sepasang segmen yang diarahkan harus sama dengan 90°. Dimungkinkan untuk membangun jumlah tak terbatas dari vektor semacam itu. Oleh karena itu, gambarlah sebuah tegak lurus terhadap vektor asli di sembarang tempat yang nyaman pada bidang, sisihkan di atasnya sebuah segmen yang sama dengan panjang dari pasangan titik terurut yang diberikan, dan tetapkan salah satu ujungnya sebagai awal dari vektor tegak lurus. Lakukan ini dengan busur derajat dan penggaris.

Jika vektor asli diberikan oleh koordinat dua dimensi ā = (X₁;Y₁), lanjutkan dari fakta bahwa produk skalar dari sepasang vektor tegak lurus harus sama dengan nol. Ini berarti bahwa Anda harus memilih untuk vektor yang diinginkan = (X₂,Y₂) koordinat yang memenuhi persamaan (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Ini dapat dilakukan seperti ini: pilih sembarang nilai bukan nol untuk koordinat X₂, dan hitung koordinat Y₂ menggunakan rumus Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Misalnya, untuk vektor ā = (15;5) akan ada vektor , dengan absis sama dengan satu dan ordinatnya sama dengan -(15*1)/5 = -3, mis. = (1;-3).

Untuk sistem koordinat tiga dimensi dan sistem koordinat ortogonal lainnya, kondisi perlu dan cukup yang sama untuk tegak lurus vektor adalah benar - produk skalarnya harus sama dengan nol. Oleh karena itu, jika segmen berarah asli diberikan oleh koordinat ā = (X₁,Y₁,Z₁), untuk pasangan titik terurut = (X₂,Y₂,Z₂) tegak lurus, pilih koordinat yang memenuhi kondisi (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cara termudah adalah dengan memberikan nilai tunggal pada X₂ dan Y₂, dan menghitung Z₂ dari persamaan yang disederhanakan Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Misalnya, untuk vektor ā = (3,5,4) akan berbentuk sebagai berikut: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kemudian ambil absis dan ordinat dari vektor tegak lurus sebagai kesatuan, dan dalam hal ini akan sama dengan -(3+5)/4 = -2.

Sumber:

• cari vektor jika tegak lurus

tegak lurus disebut vektor, sudut di antaranya adalah 90º. Vektor tegak lurus dibangun menggunakan alat menggambar. Jika koordinatnya diketahui, maka dimungkinkan untuk memeriksa atau menemukan tegak lurus vektor dengan metode analitik.

Anda akan perlu

• - busur derajat;
• - kompas;
• - penggaris.

Petunjuk

Atur ke titik awal vektor. Gambarlah sebuah lingkaran dengan radius sembarang. Kemudian bangun dua yang berpusat di titik-titik di mana lingkaran pertama memotong garis di mana vektor berada. Jari-jari lingkaran ini harus sama satu sama lain dan lebih besar dari lingkaran yang dibangun pertama. Pada titik potong lingkaran, buatlah sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap vektor asal pada titik awalnya, dan sisihkan di atasnya sebuah vektor yang tegak lurus terhadap vektor yang diberikan.

Tentukan vektor yang tegak lurus dengan vektor yang koordinatnya sama dengan (x; y). Untuk melakukannya, temukan pasangan bilangan (x1;y1) yang memenuhi persamaan x x1+y y1=0. Dalam hal ini, vektor dengan koordinat (x1;y1) akan tegak lurus terhadap vektor dengan koordinat (x;y).