ჰარმონიული წრფივირების მეთოდი. პირდაპირი ხაზინაარიზაციის მეთოდი ზოგადი ხაზოვანი მეთოდის გამოყენების თანმიმდევრობა

ზოგადი ხაზოვანი მეთოდი

უმეტეს შემთხვევაში, შესაძლებელია არაწრფივი დამოკიდებულებების წრფივირება მცირე გადახრების ან ვარიაციების მეთოდის გამოყენებით. ᴇᴦο-ს გასათვალისწინებლად, მოდით მივმართოთ ავტომატური მართვის სისტემის ზოგიერთ ბმულს (ნახ. 2.2). შემავალი და გამომავალი სიდიდეები აღინიშნება X1-ით და X2-ით, ხოლო გარე აშლილობა აღინიშნება F(t)-ით.

დავუშვათ, რომ ბმული აღწერილია ფორმის ზოგიერთი არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებით

ასეთი განტოლების შესაქმნელად საჭიროა ტექნიკური მეცნიერებების შესაბამისი დარგის გამოყენება (მაგალითად, ელექტროინჟინერია, მექანიკა, ჰიდრავლიკა და ა.შ.), რომელიც სწავლობს ამ კონკრეტული ტიპის მოწყობილობას.

წრფივობის საფუძველია ვარაუდი, რომ ბმულის დინამიკის განტოლებაში შემავალი ყველა ცვლადის გადახრები საკმარისად მცირეა, რადგან ზუსტად საკმარისად მცირე მონაკვეთზე მრუდი მახასიათებელი შეიძლება შეიცვალოს სწორი ხაზის სეგმენტით. ცვლადების გადახრები ამ შემთხვევაში იზომება მათი მნიშვნელობებიდან სტაბილურ პროცესში ან სისტემის გარკვეულ წონასწორობაში. მოდით, მაგალითად, სტაბილურ პროცესს ახასიათებს X1 ცვლადის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც X10. რეგულირების პროცესში (ნახ. 2.3), X1 ცვლადს ექნება მნიშვნელობები, სადაც აღნიშნავს X 1 ცვლადის გადახრას სტაბილური მნიშვნელობიდან X10.

მსგავსი ურთიერთობები შემოღებულია სხვა ცვლადებისთვის. განსახილველი შემთხვევისთვის გვაქვს ˸ და ასევე.

ყველა გადახრა მიჩნეულია საკმარისად მცირედ. ეს მათემატიკური დაშვება არ ეწინააღმდეგება პრობლემის ფიზიკურ მნიშვნელობას, რადგან ავტომატური კონტროლის იდეა მოითხოვს, რომ კონტროლირებადი ცვლადის ყველა გადახრები კონტროლის პროცესში იყოს საკმარისად მცირე.

ბმულის მდგრადი მდგომარეობა განისაზღვრება X10, X20 და F0 მნიშვნელობებით. შემდეგ ფორმაში უნდა დაიწეროს განტოლება (2.1).

მოდით გავაფართოვოთ განტოლების (2.1) მარცხენა მხარე ტეილორის სერიაში

სადაც D არის უმაღლესი რიგის პირობები. ინდექსი 0 ნაწილობრივი წარმოებულებისთვის ნიშნავს, რომ წარმოებულის აღების შემდეგ, ყველა ცვლადის სტაბილური მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს მის გამოსახულებაში.

უმაღლესი რიგის ტერმინები ფორმულაში (2.3) მოიცავს უფრო მაღალ ნაწილობრივ წარმოებულებს გამრავლებული კვადრატებით, კუბებით და გადახრების უფრო მაღალი ხარისხით, ასევე გადახრების პროდუქტებს. ისინი უფრო მცირე იქნება, ვიდრე თავად გადახრები, რომლებიც მცირეა პირველი რიგის.

განტოლება (2.3) არის ბმული დინამიკის განტოლება, ისევე როგორც (2.1), მაგრამ დაწერილი სხვა ფორმით. მოდით, ამ განტოლებაში გადავდოთ უფრო მაღალი რიგის პატარები, რის შემდეგაც გამოვაკლებთ სტაბილური მდგომარეობის განტოლებებს (2.2) განტოლებას (2.3). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ბმული დინამიკის შემდეგ მიახლოებულ განტოლებას მცირე გადახრებში˸

ამ განტოლებაში ყველა ცვლადი და მათი წარმოებულები შემოდის წრფივად, ანუ პირველ ხარისხში. ყველა ნაწილობრივი წარმოებული არის გარკვეული მუდმივი კოეფიციენტები იმ შემთხვევაში, თუ სისტემა გამოკვლეულია მუდმივი პარამეტრებით. თუ სისტემას აქვს ცვლადი პარამეტრები, მაშინ განტოლებას (2.4) ექნება ცვლადი კოეფიციენტები. განვიხილოთ მხოლოდ მუდმივი კოეფიციენტების შემთხვევა.

ზოგადი ხაზოვანი მეთოდი - კონცეფცია და ტიპები. კატეგორიის კლასიფიკაცია და მახასიათებლები „ზოგადი ხაზოვანი მეთოდი“ 2015, 2017-2018 წწ.

ჰარმონიული ხაზების (ჰარმონიული ბალანსი) მეთოდი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემებში შესაძლო თვითრხევების არსებობის პირობები და პარამეტრები. თვითრხევები განისაზღვრება ზღვრული ციკლებით სისტემების ფაზურ სივრცეში. ლიმიტის ციკლები ყოფს სივრცეს (ზოგადად - მრავალგანზომილებიანი) დემპირებული და განსხვავებული პროცესების დომენებზე. თვითრხევების პარამეტრების გამოთვლის შედეგად შეიძლება დავასკვნათ, რომ ისინი დასაშვებია მოცემული სისტემისთვის ან აუცილებელია სისტემის პარამეტრების შეცვლა.

მეთოდი საშუალებას იძლევა:

არაწრფივი სისტემის მდგრადობის პირობების განსაზღვრა;

იპოვნეთ სისტემის თავისუფალი რხევების სიხშირე და ამპლიტუდა;

მაკორექტირებელი სქემების სინთეზირება თვითრხევების საჭირო პარამეტრების უზრუნველსაყოფად;

იძულებითი რხევების გამოკვლევა და არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემებში გარდამავალი პროცესების ხარისხის შეფასება.

ჰარმონიული ხაზოვანი მეთოდის გამოყენებადობის პირობები.

1) მეთოდის გამოყენებისას ვარაუდობენ, რომ ხაზოვანისისტემის ნაწილი სტაბილური ან ნეიტრალურია.

2) არაწრფივი რგოლის შესასვლელში სიგნალი ფორმაში ახლოსაა ჰარმონიულ სიგნალთან. ამ დებულებას გარკვეული განმარტება სჭირდება.

სურათი 1 გვიჩვენებს არაწრფივი ACS-ის ბლოკ-სქემებს. წრე შედგება რიგით დაკავშირებული რგოლებისგან: არაწრფივი ბმული y=F(x) და წრფივი.

ე, რომელიც აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით

y = F(g - x) = g - x ჩვენ ვიღებთ წრფივი სისტემის მოძრაობის განტოლებას.

განვიხილოთ თავისუფალი მოძრაობა, ე.ი. g(t) º 0-ისთვის. შემდეგ,

იმ შემთხვევაში, როდესაც სისტემაში არის თვითრხევები, სისტემის თავისუფალი მოძრაობა პერიოდულია. დროთა განმავლობაში არაპერიოდული მოძრაობა მთავრდება სისტემის შეჩერებით ზოგიერთ საბოლოო პოზიციაზე (ჩვეულებრივ, სპეციალურად მოწოდებულ ლიმიტერზე).

არაწრფივი ელემენტის შეყვანისას პერიოდული სიგნალის ნებისმიერი ფორმის შემთხვევაში, მის გამოსავალზე სიგნალი ფუნდამენტური სიხშირის გარდა, უფრო მაღალ ჰარმონიებს შეიცავს. ვარაუდი, რომ სიგნალი სისტემის არაწრფივი ნაწილის შესასვლელში შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიულად, ე.ი.

x(t)@a×sin(wt),

სადაც w=1/T, T არის სისტემის თავისუფალი რხევების პერიოდი, უდრის დაშვებას, რომ სისტემის წრფივი ნაწილი ეფექტურია ფილტრებისიგნალის უმაღლესი ჰარმონიები y(t) = F(x (t)).

ზოგად შემთხვევაში, როდესაც ჰარმონიული სიგნალის x(t) არაწრფივი ელემენტი მოქმედებს შესასვლელში, გამომავალი სიგნალი შეიძლება გადაკეთდეს ფურიეს ტრანსფორმაციაში:

ფურიეს სერიის კოეფიციენტები

გამოთვლების გასამარტივებლად ვაყენებთ C 0 =0, ანუ F(x) ფუნქცია სიმეტრიულია საწყისის მიმართ. ასეთი შეზღუდვა არ არის აუცილებელი და კეთდება ანალიზით. C k ¹ 0 კოეფიციენტების გამოჩენა ნიშნავს, რომ ზოგად შემთხვევაში, სიგნალის არაწრფივი ტრანსფორმაციას თან ახლავს გარდაქმნილი სიგნალის ფაზური ცვლა. კერძოდ, ეს ხდება არაწრფივებში ორაზროვანი მახასიათებლებით (სხვადასხვა სახის ჰისტერეზის მარყუჟებით), როგორც დაგვიანებით, ასევე, ზოგიერთ შემთხვევაში, ფაზის წინსვლა.

ეფექტური ფილტრაციის ვარაუდი ნიშნავს, რომ სისტემის ხაზოვანი ნაწილის გამოსავალზე უმაღლესი ჰარმონიის ამპლიტუდები მცირეა, ანუ,

ამ პირობის შესრულებას ხელს უწყობს ის ფაქტი, რომ ხშირ შემთხვევაში ჰარმონიის ამპლიტუდები უკვე უშუალოდ არაწრფივობის გამოსავალზე აღმოჩნდება საგრძნობლად ნაკლები პირველი ჰარმონიის ამპლიტუდაზე. მაგალითად, იდეალური რელეს გამომავალზე, რომლის შესასვლელში ჰარმონიული სიგნალია

y(t)=F(с×sin(wt))=a×ნიშანი(sin(wt))

არ არის თუნდაც ჰარმონიები და მესამე ჰარმონიის ამპლიტუდა შიგნით სამჯერპირველი ჰარმონიის ამპლიტუდაზე ნაკლები

Მოდით გავაკეთოთ ჩახშობის ხარისხის შეფასებასიგნალის უფრო მაღალი ჰარმონიები ACS-ის ხაზოვან ნაწილში. ამისათვის ჩვენ რამდენიმე ვარაუდს ვაკეთებთ.

1) ACS-ის თავისუფალი რხევების სიხშირე დაახლოებით უდრის ათვლის სიხშირესმისი ხაზოვანი ნაწილი. გაითვალისწინეთ, რომ არაწრფივი ავტომატური მართვის სისტემის თავისუფალი რხევების სიხშირე შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს წრფივი სისტემის თავისუფალი რხევების სიხშირისგან, ამიტომ ეს ვარაუდი ყოველთვის არ არის სწორი.

2) ვიღებთ ACS რხევის ინდექსს M=1.1-ის ტოლი.

3) LAH ათვლის სიხშირის სიახლოვეს (w s) აქვს -20 dB/dec. LAH-ის ამ მონაკვეთის საზღვრები მიმართებით არის დაკავშირებული რხევის ინდექსთან

4) w max სიხშირე უერთდება LPH განყოფილებას, ასე რომ, როდესაც w > w max, LAH დახრილობა არის მინიმუმ მინუს 40 დბ/დეკ.

5) არაწრფივობა - იდეალური რელე y = sgn(x) მახასიათებლით ისე, რომ მის არაწრფივ გამოსავალზე იქნება მხოლოდ უცნაური ჰარმონიები.

მესამე ჰარმონიის სიხშირეები w 3 \u003d 3w c, მეხუთე w 5 \u003d 5w c,

lgw 3 = 0.48 + lgw c,

lgw 5 = 0.7 + lgw c.

სიხშირე w max = 1.91w s, lgw max = 0.28+lgw s. კუთხის სიხშირე არის 0.28 ათწლეულის მანძილზე ათვლის სიხშირეზე.

სიგნალის უფრო მაღალი ჰარმონიკის ამპლიტუდების შემცირება, როდესაც ისინი გადიან სისტემის ხაზოვან ნაწილში, იქნება მესამე ჰარმონიისთვის.

L 3 \u003d -0.28 × 20-(0.48-0.28) × 40 \u003d -13.6 dB, ანუ 4.8-ჯერ,

მეხუთესთვის - L 5 \u003d -0.28 × 20-(0.7-0.28) × 40 \u003d -22.4 dB, ანუ 13-ჯერ.

შესაბამისად, ხაზოვანი ნაწილის გამოსავალზე სიგნალი ჰარმონიასთან ახლოს იქნება

ეს უდრის ვივარაუდოთ, რომ სისტემა არის დაბალი გამტარი ფილტრი.

რაც შეეხება ფუნქციას Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ,არაწრფივი მისი არგუმენტების სისტემის მიმართ, პრობლემის გადაწყვეტა ზემოთ ჩამოყალიბებულ ფორმულირებაში, როგორც წესი, შეიძლება მიღებულ იქნეს მხოლოდ დაახლოებით წრფივი მეთოდის საფუძველზე. წრფივი მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ არაწრფივი ფუნქცია იცვლება რომელიმე წრფივით და შემდეგ, უკვე ცნობილი წესების მიხედვით, გვხვდება ამ წრფივი ფუნქციის რიცხვითი მახასიათებლები, მათი მიჩნევა დაახლოებით ტოლი არა-ის რიცხვითი მახასიათებლების. ხაზოვანი ფუნქცია.

განვიხილოთ ამ მეთოდის არსი ერთი შემთხვევითი არგუმენტის ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით.

თუ შემთხვევითი ცვლადი Z არის მოცემული ფუნქცია

შემთხვევითი არგუმენტი X, შემდეგ მისი შესაძლო მნიშვნელობები ზდაკავშირებულია არგუმენტის შესაძლო მნიშვნელობებთან Xიგივე სახის ფუნქცია, ე.ი.

(მაგალითად, თუ Z = sin X, მაშინ ზ= sinX).

ჩვენ ვაფართოვებთ ფუნქციას (3.20) ტეილორის სერიაში წერტილის მიმდებარე ტერიტორიაზე X= m , შემოვიფარგლებით მხოლოდ გაფართოების პირველი ორი ტერმინით და ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ

ფუნქციის (3.20) წარმოებულის მნიშვნელობა არგუმენტთან მიმართებაში Xზე X = t x.

ეს დაშვება უდრის მოცემული ფუნქციის (3.19) წრფივი ფუნქციით ჩანაცვლებას.

მათემატიკური მოლოდინებისა და დისპერსიების შესახებ თეორემების საფუძველზე ვიღებთ გამოთვლის ფორმულებს რიცხვითი მახასიათებლების დასადგენად. მზმე ფორმაში

გაითვალისწინეთ, რომ განსახილველ შემთხვევაში, სტანდარტული გადახრა a r უნდა გამოითვალოს ფორმულით

(წარმოებულის მოდული აღებულია აქ იმიტომ

შეიძლება იყოს უარყოფითი.)

წრფივი მეთოდის გამოყენება არაწრფივი ფუნქციის რიცხვითი მახასიათებლების მოსაძებნად

შემთხვევითი არგუმენტების თვითნებური რაოდენობა იწვევს გამოთვლის ფორმულებს მისი მათემატიკური მოლოდინის დასადგენად, რომლებსაც აქვთ ფორმა

x 2, ..., x n)არგუმენტებით X.და X.შესაბამისად, გამოითვლება წერტილში არსებული ნიშნების გათვალისწინებით ვ x, m^, t Xp,ანუ ყველა მათი არგუმენტის ჩანაცვლებით x v x 2, ..., x nმათი მათემატიკური მოლოდინები.

ფორმულასთან ერთად (3.26) დისპერსიის დასადგენად დ?შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმის გაანგარიშების ფორმულა

სადაც გ x x - შემთხვევითი არგუმენტების კორელაციის კოეფიციენტი X.

დამოუკიდებელი (ან თუნდაც არაკორელირებული) შემთხვევითი არგუმენტების არაწრფივი ფუნქციის მიმართ, ფორმულებს (3.26) და (3.27) აქვთ ფორმა

შემთხვევითი არგუმენტების არაწრფივი ფუნქციების წრფივირებაზე დაფუძნებული ფორმულები შესაძლებელს ხდის მათი რიცხვითი მახასიათებლების დადგენას მხოლოდ დაახლოებით. გაანგარიშების სიზუსტე ნაკლებია, რაც უფრო მეტად განსხვავდება მოცემული ფუნქციები წრფივიდან და მით უფრო დიდია არგუმენტების დისპერსია. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში შესაძლო შეცდომის შეფასება.

ამ მეთოდით მიღებული შედეგების დასაზუსტებლად შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტექნიკა, რომელიც დაფუძნებულია არაწრფივი ფუნქციის გაფართოებაში შენარჩუნებაზე არა მხოლოდ წრფივი, არამედ გაფართოების ზოგიერთი შემდგომი ტერმინიც (ჩვეულებრივ, კვადრატული).

გარდა ამისა, შემთხვევითი არგუმენტების არაწრფივი ფუნქციის რიცხვითი მახასიათებლები შეიძლება განისაზღვროს არგუმენტების სისტემის მოცემული განაწილებისთვის მისი განაწილების კანონის წინასწარი ძიების საფუძველზე. თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ ასეთი პრობლემის ანალიტიკური გადაწყვეტა ხშირად ძალიან რთულია. ამიტომ შემთხვევითი არგუმენტების არაწრფივი ფუნქციების რიცხვითი მახასიათებლების საპოვნელად ფართოდ გამოიყენება სტატისტიკური მოდელირების მეთოდი.

მეთოდის საფუძველია ტესტების სერიის სიმულაცია, რომელთაგან თითოეულში არის გარკვეული ნაკრები x i, x 2i, ..., xniშემთხვევითი არგუმენტების მნიშვნელობები x v x 2 ,..., x nმათი ერთობლივი განაწილების შესაბამისი ნაკრებიდან. მიღებული მნიშვნელობები მოცემული მიმართებით (3.24) გარდაიქმნება შესაბამის მნიშვნელობებად. ზ.გამოკვლეული ფუნქციის Z. შედეგების მიხედვით z v z 2, ..., ზ., ..., ზკყველა რომასეთი ტესტები, სასურველი რიცხვითი მახასიათებლები გამოითვლება მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდებით.

მაგალითი 3.2.ხაზოვანი მეთოდის საფუძველზე, დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა

1. ფორმულით (3.20) ვიღებთ

2. ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ

და გამოთვალეთ ამ წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში :

3. ფორმულით (3.23) ვიღებთ

მაგალითი 3.3. ხაზოვანი მეთოდის საფუძველზე, დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა

1. ფორმულით (3.25) ვიღებთ

2. დავწეროთ ფორმულა (3.27) ორი შემთხვევითი არგუმენტის ფუნქციისთვის

3. იპოვეთ Z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები არგუმენტების მიმართ X 1 და X 2:

და გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები წერტილში (m Xi , ტ x2):

4. მიღებული მონაცემების ჩანაცვლებით Z ვარიაციის გამოთვლის ფორმულაში ვიღებთ ძ= 1. ამიტომ, u r = 1.

დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება ხაზოვანი იყოს შემდეგი მეთოდებით:

1. სამუშაო ფართობის არაწრფივი ფუნქცია გაფართოვდა ტეილორის სერიაში.

2. გრაფიკების სახით მოცემული არაწრფივი ფუნქციები სამუშაო სიბრტყეში წრფივდება სწორი ხაზებით.

3. ნაწილობრივი წარმოებულების უშუალოდ განსაზღვრის ნაცვლად, ცვლადები შეყვანილია თავდაპირველ არაწრფივ განტოლებებში.

. (33)

4. ეს მეთოდი ეფუძნება კოეფიციენტების დადგენას უმცირესი კვადრატების მეთოდით.

, (34)

სადაც - პნევმატური აქტივატორის დროის მუდმივი;

- პნევმატური აქტივატორის გადაცემათა კოეფიციენტი;

- პნევმატური აქტივატორის ამორტიზაციის კოეფიციენტი.

ACS ელემენტების შიდა სტრუქტურა ყველაზე მარტივად განისაზღვრება გრაფიკების ბლოკ-სქემების გამოყენებით. გრაფიკებში ცნობილი ბლოკ-სქემებისგან განსხვავებით, ცვლადები მითითებულია დროის სახით, ხოლო რკალი აღნიშნავს ტიპიური ბმულების პარამეტრებს ან გადაცემის ფუნქციებს. მათ შორის თანაბარი ურთიერთობაა.

მმ არაწრფივი ელემენტები

პირველ თავში განხილული წრფივი მეთოდები გამოიყენება მაშინ, როდესაც LSA ობიექტში შემავალი არაწრფივიობა ერთხელ მაინც არის დიფერენცირებადი ან მიახლოებული ტანგენტით მცირე შეცდომით ზოგიერთი უბნის ოპერაციულ წერტილთან ახლოს. არსებობს არაწრფივობის მთელი კლასი, რომლისთვისაც ორივე პირობა არ არის დაკმაყოფილებული. როგორც წესი, ეს არის მნიშვნელოვანი არაწრფივი. ესენია: საფეხური, ცალმხრივი წრფივი და მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციები პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილებით, ასევე სიმძლავრის და ტრანსტენდენტური ფუნქციებით. CCM-ების გამოყენებამ, რომლებიც უზრუნველყოფენ სისტემებში ლოგიკურ-ალგებრული ოპერაციების შესრულებას, განაპირობა ახალი ტიპის წრფივობა, რომლებიც წარმოდგენილია უწყვეტი ცვლადების მეშვეობით სპეციალური ლოგიკის გამოყენებით.

ასეთი არაწრფივობის მათემატიკური აღწერისთვის გამოიყენება ეკვივალენტური გადაცემის ფუნქციები, რაც დამოკიდებულია ხაზოვანი კოეფიციენტების მიხედვით, რომლებიც მიიღება მოცემული შემავალი სიგნალის რეპროდუქციის შეცდომის საშუალო კვადრატის მინიმიზაციის გზით. შეყვანის სიგნალების ფორმა, რომლებიც მოდის არაწრფივობის შეყვანაში, შეიძლება იყოს თვითნებური. პრაქტიკაში ყველაზე ფართოდ გამოიყენება შეყვანის სიგნალების ჰარმონიული და შემთხვევითი ტიპები და მათი დროებითი კომბინაციები. შესაბამისად, ხაზოვანი მეთოდების ეწოდება ჰარმონიული და სტატიკური.

ეკვივალენტური გადაცემის ფუნქციების აღწერის ზოგადი მეთოდი ნე

არსებითი არაწრფივობის მთელი კლასი იყოფა ორ ჯგუფად. პირველ ჯგუფში შედის ერთმნიშვნელოვანი არაწრფივი, რომელშიც შეყვანის კავშირია და შაბათ-კვირას ვექტორული სიგნალები დამოკიდებულია მხოლოდ არაწრფივობის სტატიკური მახასიათებლის ფორმაზე
.

ამ შემთხვევაში, შეყვანის სიგნალების გარკვეული ფორმით:

ხაზოვანი მატრიცის გამოყენება
შეგიძლიათ იპოვოთ გამომავალი სიგნალების სავარაუდო მნიშვნელობა:

(42)-დან გამომდინარეობს, რომ ერთმნიშვნელოვანი არაწრფივობის წრფივი კოეფიციენტების მატრიცა არის რეალური სიდიდეები და მათი ექვივალენტური გადაცემის ფუნქციები:

მეორე ჯგუფში შედის ორმნიშვნელოვანი (მრავალმნიშვნელოვანი) არაწრფივი, რომელშიც შემავალი და გამომავალი სიგნალების ურთიერთობა დამოკიდებულია არა მხოლოდ სტატიკური მახასიათებლის ფორმაზე, არამედ განისაზღვრება შეყვანის სიგნალის ისტორიით. ამ შემთხვევაში გამონათქვამი (42) დაიწერება როგორც:

შეყვანის პერიოდული სიგნალის პრეისტორიის გავლენის გასათვალისწინებლად, ჩვენ გავითვალისწინებთ არა მხოლოდ თავად სიგნალს. , არამედ მისი ცვლილების სიჩქარე, დიფერენციალი .

შეყვანის სიგნალებისთვის:

შეყვანის სიგნალის სავარაუდო მნიშვნელობა იქნება:

სადაც
და
- ორმნიშვნელოვანი არაწრფივობის ჰარმონიული წრფივობის კოეფიციენტები;

- რხევის პერიოდი მარჯვენა ჰარმონიაზე;

- ჰარმონიული ფუნქცია.

გადაცემის ექვივალენტური ფუნქცია:

არსებობს უფრო ზოგადი ფორმის არაწრფივობა:

სადაც
და
- ჰარმონიული წრფივობის კოეფიციენტები;

არის ჰარმონიული რიცხვი.

პერიოდული ხაზოვანი კოეფიციენტის მატრიცები . ამის გათვალისწინებით, ორი ორმნიშვნელოვანი არაწრფივიობის გადაცემის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გადაცემის ფუნქციის ანალოგიით.

გამოყენებით განვსაზღვრავთ განზოგადებულ ფორმულას ერთმნიშვნელოვანი და ორმნიშვნელოვანი არაწრფივობის გადაცემის ფუნქციის გამოსათვლელად.

ერთმნიშვნელოვანი არაწრფივიობის შემთხვევაში წრფივი კოეფიციენტების მატრიცა , ვექტორის პარამეტრების მიხედვით
, ჩვენ ვირჩევთ ისე, რომ გავასწოროთ კვადრატული სხვაობის საშუალო მნიშვნელობა ზუსტი შორის და მიახლოებითი
შეყვანის სიგნალები:

გარდაქმნების, გამარტივებების, ხრიკების და გაზრდილი სიფხიზლის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ გადაცემის ექვივალენტურ ფუნქციას მატრიცების სისტემის სახით:
,
.

ზე
,
.

განსაზღვრეთ წრფივი კოეფიციენტი ერთმნიშვნელოვანი არაწრფივობისთვის. როდესაც სინუსოიდური სიგნალის პირველი ჰარმონია მის შეყვანაში მოდის:

სადაც
.

განტოლება (56) არის პირველი ჰარმონიული წრფივი ფაქტორი ერთმნიშვნელოვანი არაწრფივობისთვის, ის განსაზღვრავს გადაცემის ეკვივალენტურ ფუნქციას.
.

სამომავლოდ, უმარტივესი არაწრფივობის წრფივი კოეფიციენტების განსაზღვრის ფორმულის შედარება, როდესაც პერიოდული სიგნალები გამოიყენება მათ შეყვანაზე: სინუსოიდური, სამკუთხა, ჩვენ ვაჩვენებთ მიღებული ექვივალენტური გადაცემის ფუნქციების გამოყენების მიზანშეწონილობას.

განისაზღვრება ხაზოვანი კოეფიციენტი
,
.

მაგალითი. განსაზღვრეთ ორმნიშვნელოვანი არაწრფივობის წრფივი კოეფიციენტი, როდესაც სინუსოიდური სიგნალის პირველი ჰარმონია შედის მის შესასვლელში და აქვს ერთი შეყვანა. მატრიცების სისტემიდან (60) ვიღებთ:

ამ მაგალითში, ჩვენ ვწერთ შეყვანის სიგნალს შემდეგნაირად:

როდესაც ორმნიშვნელოვანი არაწრფივობისთვის, ზოგადი ეკვივალენტური ფუნქციაა:

. .

ბრინჯი. 2.2. ATS ლინკი

უმეტეს შემთხვევაში, შესაძლებელია არაწრფივი დამოკიდებულებების წრფივირება მცირე გადახრების ან ვარიაციების მეთოდის გამოყენებით. მის გასათვალისწინებლად მივმართოთ ავტომატური მართვის სისტემის გარკვეულ რგოლს (ნახ. 2.2). შემავალი და გამომავალი სიდიდეები აღინიშნება X 1 და X 2-ით, ხოლო გარე აშლილობა აღინიშნება F(t)-ით.

წრფივობის საფუძველია ვარაუდი, რომ ბმულის დინამიკის განტოლებაში შემავალი ყველა ცვლადის გადახრები საკმარისად მცირეა, რადგან ზუსტად საკმარისად მცირე მონაკვეთზე მრუდი მახასიათებელი შეიძლება შეიცვალოს სწორი ხაზის სეგმენტით. ცვლადების გადახრები ამ შემთხვევაში იზომება მათი მნიშვნელობებიდან სტაბილურ პროცესში ან სისტემის გარკვეულ წონასწორობაში. მოდით, მაგალითად, სტაბილურ პროცესს ახასიათებს X 1 ცვლადის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც X 10. რეგულირების პროცესში (ნახ. 2.3) X 1 ცვლადს ექნება მნიშვნელობები, სადაც
აღნიშნავს X 1 ცვლადის გადახრას X 10-ის სტაბილური მნიშვნელობიდან.

მაგრამ

ბრინჯი. 2.3. ბმული რეგულირების პროცესი

საგადასახადო კოეფიციენტები შემოღებულია სხვა ცვლადებისთვის. განსახილველი შემთხვევისთვის გვაქვს: და

შემდეგი, შეგიძლიათ დაწეროთ:
;
და
, იმიტომ
და

კავშირის მდგრადი მდგომარეობა განისაზღვრება X 10, X 20 და F 0 მნიშვნელობებით. შემდეგ განტოლება (2.1) შეიძლება დაიწეროს სტაბილური მდგომარეობისთვის ფორმაში

მოდით გავაფართოვოთ განტოლების (2.1) მარცხენა მხარე ტეილორის სერიაში

სადაც  არის უმაღლესი რიგის ტერმინები. ინდექსი 0 ნაწილობრივი წარმოებულებისთვის ნიშნავს, რომ წარმოებულის მიღების შემდეგ, ყველა ცვლადის სტაბილური მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს მის გამოსახულებაში.
.

განტოლება (2.3) არის ბმული დინამიკის განტოლება, ისევე როგორც (2.1), მაგრამ დაწერილი სხვა ფორმით. ამ განტოლებაში გამოვაკლოთ უფრო მაღალი რიგის პატარები, რის შემდეგაც გამოვაკლებთ მდგრადი მდგომარეობის განტოლებებს (2.2) განტოლებას (2.3). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგი მიახლოებითი ბმული დინამიკის განტოლებას მცირე გადახრებში:

განტოლების (2.4) მიღება არის შესრულებული წრფივობის მიზანი. ავტომატური მართვის თეორიაში ჩვეულებრივია ყველა ბმულის განტოლების დაწერა ისე, რომ გამომავალი მნიშვნელობა იყოს განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო ყველა სხვა ტერმინი გადავიდეს მარჯვენა მხარეს. ამ შემთხვევაში, განტოლების ყველა წევრი იყოფა კოეფიციენტზე გამომავალი მნიშვნელობით. შედეგად, განტოლება (2.4) იღებს ფორმას

სადაც შემოტანილია შემდეგი აღნიშვნა

. (2.6)

გარდა ამისა, მოხერხებულობისთვის, ჩვეულებრივია ყველა დიფერენციალური განტოლების დაწერა ოპერატორის სახით, აღნიშვნით

მაშინ დიფერენციალური განტოლება (2.5) შეიძლება დაიწეროს ფორმით

ამ ჩანაწერს დაერქმევა ბმულის დინამიკის განტოლების სტანდარტული ფორმა.

T 1 და T 2 კოეფიციენტებს აქვთ დროის განზომილება - წამი. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ყველა ტერმინს (2.8) უნდა ჰქონდეს ერთი და იგივე განზომილება და, მაგალითად, განზომილება (ან px 2) განსხვავდება განზომილებიდან x 2 წამში მინუს პირველ ხარისხამდე (
). ამიტომ, კოეფიციენტები T 1 და T 2 ეწოდება დროის მუდმივები .

კოეფიციენტს k 1 აქვს გამომავალი მნიშვნელობის განზომილება გაყოფილი შეყვანის განზომილებით. მას ეძახიან გადაცემის კოეფიციენტი ბმული. ბმულებისთვის, რომელთა გამომავალი და შეყვანის მნიშვნელობებს აქვთ იგივე განზომილება, ასევე გამოიყენება შემდეგი ტერმინები: მომატება - ბმულისთვის, რომელიც არის გამაძლიერებელი ან აქვს გამაძლიერებელი მის შემადგენლობაში; გადაცემათა კოეფიციენტი - გადაცემათა კოლოფებისთვის, ძაბვის გამყოფებისთვის, სკალირების მოწყობილობებისთვის და ა.შ.

გადაცემის კოეფიციენტი ახასიათებს ბმულის სტატიკურ თვისებებს, რადგან სტაბილურ მდგომარეობაშია
. მაშასადამე, იგი განსაზღვრავს სტატიკური მახასიათებლის ციცაბოობას მცირე გადახრებზე. თუ გამოვსახავთ ბმულის მთელ რეალურ სტატიკურ მახასიათებელს
, შემდეგ წრფივება იძლევა
ან
. გადაცემის კოეფიციენტი k 1 იქნება ფერდობის ტანგენსი ტანგენსი იმ C წერტილზე (იხ. სურ. 2.3), საიდანაც იზომება მცირე გადახრები x 1 და x 2.

ნახატიდან ჩანს, რომ განტოლების ზემოაღნიშნული წრფივება მოქმედებს საკონტროლო პროცესებისთვის, რომლებიც ასახავს AB მახასიათებლის ისეთ მონაკვეთს, რომელზედაც ტანგენსი ოდნავ განსხვავდება თავად მრუდისგან.

გარდა ამისა, აქედან გამომდინარეობს ხაზების კიდევ ერთი, გრაფიკული მეთოდი. თუ ცნობილია სტატიკური მახასიათებელი და წერტილი C, რომელიც განსაზღვრავს მდგრად მდგომარეობას, რომლის ირგვლივ მიმდინარეობს რეგულირების პროცესი, მაშინ ბმულის განტოლებაში გადაცემის კოეფიციენტი გრაფიკულად განისაზღვრება ნახაზიდან k 1 = tg დამოკიდებულების მიხედვით. ნახაზის მასშტაბისა და ზომების გათვალისწინებით x 2. ხშირ შემთხვევაში გრაფიკული ხაზოვანი მეთოდი უფრო მოსახერხებელი აღმოჩნდება და უფრო სწრაფად მივყავართ მიზნამდე.

k 2 კოეფიციენტის განზომილება ტოლია გაზრდის განზომილებას k 1-ჯერ დროზე. ამიტომ, განტოლება (2.8) ხშირად იწერება ფორმით

სადაც
არის დროის მუდმივი.

პ

ბრინჯი. 2.4. დამოუკიდებელი აგზნების ძრავა

დროის მუდმივები T 1, T 2 და T 3 განსაზღვრავენ ბმულის დინამიურ თვისებებს. ეს საკითხი დეტალურად იქნება განხილული ქვემოთ.

ფაქტორი k 3 არის გარეგანი აშლილობის მომატება.

როგორც ხაზოვანი მაგალითი, განვიხილოთ ელექტროძრავა, რომელიც კონტროლდება აგზნების წრედის მხრიდან (ნახ. 2.4).

დიფერენციალური განტოლების საპოვნელად, რომელიც აკავშირებს სიჩქარის ზრდას აგზნების გრაგნილზე ძაბვის ზრდასთან, ჩვენ ვწერთ ელექტროძრავის ძალების წონასწორობის კანონს (emf) აგზნების წრეში, ემფ-ის წონასწორობის კანონს არმატურის წრეში და კანონს. მომენტების წონასწორობა ძრავის ლილვზე:

;

მეორე განტოლებაში, სიმარტივისთვის, არმატურის წრეში თვითინდუქციური emf-ის შესაბამისი ტერმინი გამოტოვებულია.

ამ ფორმულებში R B და R I არის აგზნების წრედის და არმატურის წრედის წინააღმდეგობები; І В და І Я - დენები ამ სქემებში; U V და U I არის ძაბვები, რომლებიც გამოიყენება ამ სქემებზე,  V არის აგზნების გრაგნილის შემობრუნების რაოდენობა; Ф – მაგნიტური ნაკადი; Ω არის ძრავის ლილვის ბრუნვის კუთხოვანი სიჩქარე; M არის გარე ძალებისგან წინააღმდეგობის მომენტი, J არის ძრავის ინერციის შემცირებული მომენტი; C E და C M - პროპორციულობის კოეფიციენტები.

დავუშვათ, რომ აღგზნების გრაგნილზე გამოყენებული ძაბვის გაზრდის გამოჩენამდე იყო მდგრადი მდგომარეობა, რისთვისაც განტოლებები (2.10) დაიწერება შემდეგნაირად:

(2.11)

თუ ახლა აგზნების ძაბვა მიიღებს ნამატს U B = U B0 + ΔU B, მაშინ ყველა ცვლადი, რომელიც განსაზღვრავს სისტემის მდგომარეობას, ასევე მიიღებს ზრდას. შედეგად გვექნება: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს (2.10), გადავაგდებთ უფრო მაღალი რიგის პატარებს და ვიღებთ:

(2.12)

თუ გამოვაკლებთ განტოლებებს (2.11) განტოლებებს (2.12), ვიღებთ განტოლებების სისტემას გადახრებისთვის:

(2.13)

ბრინჯი. 2.5. მაგნიტიზაციის მრუდი

ამ განტოლებებმა შემოიღო პროპორციულობის კოეფიციენტი ნაკადის ზრდასა და აგზნების დენის ზრდას შორის

განისაზღვრება ელექტროძრავის დამაგნიტიზაციის მრუდით (ნახ. 2.5).

სისტემის ერთობლივი ამოხსნა (2.13) იძლევა

სად არის გადაცემის კოეფიციენტი, ,

; (2.15)

აგზნების წრედის ელექტრომაგნიტური დროის მუდმივი, s,

(2.16)

სადაც L B = a B არის აგზნების წრედის თვითინდუქციის დინამიური კოეფიციენტი; ძრავის ელექტრომაგნიტური დროის მუდმივი, s,

. (2.17)

გამონათქვამებიდან (2.15) - (2.17) ჩანს, რომ განსახილველი სისტემა არსებითად არაწრფივია, ვინაიდან გადაცემის კოეფიციენტი და დროის „მუდმივი“, ფაქტობრივად, არ არის მუდმივი. ისინი შეიძლება ჩაითვალოს მუდმივი მხოლოდ დაახლოებით გარკვეული რეჟიმისთვის, იმ პირობით, რომ ყველა ცვლადის გადახრები მდგრადი მდგომარეობის მნიშვნელობებისგან მცირეა.

საინტერესოა განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც მდგრად მდგომარეობაში U B0 = 0; I B0 = 0; Ф 0 = 0 და Ω 0 = 0. შემდეგ ფორმულა (2.14) იღებს ფორმას

. (2.18)

ამ შემთხვევაში, სტატიკური მახასიათებელი უკავშირდება ძრავის აჩქარების ზრდას
და ძაბვის ზრდა აგზნების წრეში.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

მმ არაწრფივი ელემენტები

ეკვივალენტური გადაცემის ფუნქციების აღწერის ზოგადი მეთოდი ნე

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ