ამ ნაწილში განვიხილავთ ერთ-ერთ საკითხს, რომელიც დაკავშირებულია ჰიპოთეზების ალბათობის შემოწმებასთან, კერძოდ, თეორიულ და სტატისტიკურ განაწილებებს შორის თანმიმდევრულობის საკითხს.

დავუშვათ, რომ მოცემული სტატისტიკური განაწილება გაბრტყელებულია ზოგიერთი თეორიული მრუდით f(x)(ნახ. 7.6.1). რაც არ უნდა კარგად იყოს შერჩეული თეორიული მრუდი, გარკვეული შეუსაბამობები გარდაუვალია მასსა და სტატისტიკურ განაწილებას შორის. ბუნებრივად ჩნდება კითხვა: არის თუ არა ეს შეუსაბამობები განპირობებული მხოლოდ შემთხვევითი გარემოებებით, რომლებიც დაკავშირებულია დაკვირვებების შეზღუდულ რაოდენობასთან, თუ არის ისინი მნიშვნელოვანი და დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ ჩვენ მიერ არჩეული მრუდი სათანადოდ არ ატოლებს ამ სტატისტიკურ განაწილებას. ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიყენება ე.წ. „თანხმობის კრიტერიუმები“.

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონები

სიკეთის მორგების კრიტერიუმების გამოყენების იდეა შემდეგია.

ამ სტატისტიკურ მასალაზე დაყრდნობით, ჩვენ უნდა შევამოწმოთ ჰიპოთეზა H,რომელიც შედგება იმაში, რომ შემთხვევითი ცვლადი Xემორჩილება გარკვეულ განაწილების კანონს. ეს კანონი შეიძლება იყოს მოცემული ამა თუ იმ ფორმით: მაგალითად, განაწილების ფუნქციის სახით F(x)ან განაწილების სიმკვრივის სახით f(x),ან ალბათობათა სიმრავლის სახით p t,სადაც პტ- ალბათობა იმისა, რომ მნიშვნელობა Xჩავარდება შიგნით რაღაცგამონადენი.

ვინაიდან ამ ფორმებიდან განაწილების ფუნქცია F(x)არის ყველაზე ზოგადი და განსაზღვრავს ნებისმიერ სხვას, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ჰიპოთეზას H,როგორც შედგება იმაში, რომ ღირებულება Xაქვს განაწილების ფუნქცია ^(d :).

ჰიპოთეზის მიღება ან უარყოფა H,განიხილეთ გარკვეული რაოდენობა შენ,თეორიულ და სტატისტიკურ განაწილებებს შორის შეუსაბამობის ხარისხის დამახასიათებელი. ღირებულება Uშეიძლება შეირჩეს სხვადასხვა გზით; მაგალითად, როგორც Uშეიძლება ავიღოთ თეორიული ალბათობების კვადრატული გადახრების ჯამი პტშესაბამისი სიხშირეებიდან R*ან იგივე კვადრატების ჯამი ზოგიერთი კოეფიციენტით („წონები“), ან სტატისტიკური განაწილების ფუნქციის მაქსიმალური გადახრა F*(x)თეორიულიდან F(x)და ა.შ.. დავუშვათ, რომ რაოდენობა Uაირჩია ასე თუ ისე. ცხადია, არის რამდენიმე შემთხვევითი მნიშვნელობა.ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი დამოკიდებულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონზე x,რომელზედაც ჩატარდა ექსპერიმენტები და ექსპერიმენტების რაოდენობადან პ.თუ ჰიპოთეზა ჰმართალია, მაშინ სიდიდის განაწილების კანონი Uგანსაზღვრული რაოდენობის განაწილების კანონით X(ფუნქცია F(x))და ნომერი პ.

დავუშვათ, რომ ეს განაწილების კანონი ჩვენთვის ცნობილია. ექსპერიმენტების ამ სერიის შედეგად აღმოჩნდა, რომ ჩვენ მიერ არჩეული ღონისძიება

თანხმობის კრიტერიუმები

შეუსაბამობები Uგარკვეული ღირებულება მიიღო ა.საკითხავია, შეიძლება თუ არა ეს აიხსნას შემთხვევითი მიზეზებით, თუ ეს შეუსაბამობა ძალიან დიდია და მიუთითებს მნიშვნელოვანი სხვაობის არსებობაზე თეორიულ და სტატისტიკურ განაწილებებს შორის და, შესაბამისად, ჰიპოთეზის შეუსაბამობაზე. H?ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, დავუშვათ, რომ ჰიპოთეზა ჰსწორია და ამ დაშვებით ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას, რომ შემთხვევითი მიზეზების გამო, რომელიც დაკავშირებულია ექსპერიმენტული მასალის არასაკმარის რაოდენობასთან, შეუსაბამობის ზომა Uიქნება არანაკლებ ექსპერიმენტში ჩვენ მიერ დაფიქსირებულ მნიშვნელობაზე და,ანუ, ჩვენ ვიანგარიშებთ მოვლენის ალბათობას:

თუ ეს ალბათობა ძალიან მცირეა, მაშინ ჰიპოთეზა ჰუარყოფილი უნდა იყოს, როგორც არც თუ ისე დამაჯერებელი; თუ ეს ალბათობა მნიშვნელოვანია, უნდა ვაღიაროთ, რომ ექსპერიმენტული მონაცემები არ ეწინააღმდეგება ჰიპოთეზას ნ.

ჩნდება კითხვა, რა გზით უნდა შეირჩეს შეუსაბამობის საზომი £/? გამოდის, რომ მისი არჩევის ზოგიერთი ხერხისთვის არის რაოდენობის განაწილების კანონი Uაქვს ძალიან მარტივი თვისებები და საკმარისად დიდი პპრაქტიკულად დამოუკიდებელი ფუნქცია F(x).შეუსაბამობის სწორედ ასეთი საზომები გამოიყენება მათემატიკურ სტატისტიკაში შეთანხმების კრიტერიუმად.

განვიხილოთ შეთანხმების ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული კრიტერიუმი - ე.წ ზე?"პირსონი.

დავუშვათ, რომ არსებობს ჰა დამოუკიდებელი ექსპერიმენტები, რომელთაგან თითოეულში არის შემთხვევითი ცვლადი Xმიიღო გარკვეული ღირებულება. ექსპერიმენტების შედეგები შეჯამებულია ქ კციფრები და წარმოდგენილია სტატისტიკური სერიის სახით.

ნულოვანი(ძირითადი)დავარქვათ წამოყენებული ჰიპოთეზა უცნობი განაწილების ფორმის ან ცნობილი განაწილების პარამეტრების შესახებ. კონკურენციას (ალტერნატივა)უწოდა ჰიპოთეზა, რომელიც ეწინააღმდეგება ნულს.

მაგალითად, თუ ნულოვანი ჰიპოთეზა უნდა ვივარაუდოთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი Xგანაწილებულია კანონის მიხედვით, მაშინ კონკურენტი ჰიპოთეზა შეიძლება შედგებოდეს დაშვებაში, რომ შემთხვევითი ცვლადი Xნაწილდება სხვა კანონის მიხედვით.

სტატისტიკური კრიტერიუმი(ან უბრალოდ კრიტერიუმი) ეწოდება ზოგიერთ შემთხვევით ცვლადს რომ, რომელიც ემსახურება ნულოვანი ჰიპოთეზის შემოწმებას.

გარკვეული კრიტერიუმის არჩევის შემდეგ, მაგალითად, კრიტერიუმი, მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის სიმრავლე იყოფა ორ გადახურვის ქვეჯგუფად: ერთი მათგანი შეიცავს კრიტერიუმის მნიშვნელობებს, რომლითაც უარყოფილია ნულოვანი ჰიპოთეზა, ხოლო მეორე - ქვეშ. რომელიც მიღებულია.

კრიტიკული ზონაარის ტესტის მნიშვნელობების ნაკრები, რომლისთვისაც უარყოფილია ნულოვანი ჰიპოთეზა. ჰიპოთეზის მიღების სფერო ეწოდება იმ კრიტერიუმის მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომლის მიხედვითაც მიიღება ჰიპოთეზა. კრიტიკული წერტილები კრიტიკულ რეგიონს ნულოვანი ჰიპოთეზის მიღების არეალიდან გამოყოფის წერტილები ეწოდება.

ჩვენი მაგალითისთვის, მნიშვნელობით, ნიმუშიდან გამოთვლილი მნიშვნელობა შეესაბამება ჰიპოთეზის დაშვების არეალს: შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება კანონის მიხედვით. თუ გამოთვლილი მნიშვნელობა , მაშინ ის მოხვდება კრიტიკულ რეგიონში, ანუ, კანონის მიხედვით შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ჰიპოთეზა უარყოფილია.

განაწილების შემთხვევაში, კრიტიკული რეგიონი განისაზღვრება უთანასწორობით, ნულოვანი ჰიპოთეზის მიღების ფართობი განისაზღვრება უტოლობით.

2.6.3. სიკეთის კრიტერიუმები პირსონი.

ზოოტექნიკისა და ვეტერინარული გენეტიკის ერთ-ერთი ამოცანაა საჭირო მახასიათებლების მქონე ახალი ჯიშებისა და სახეობების გამოყვანა. მაგალითად, გაზრდილი იმუნიტეტი, დაავადების წინააღმდეგობა ან ბეწვის ფერის შეცვლა.

პრაქტიკაში, შედეგების გაანალიზებისას, ხშირად ირკვევა, რომ რეალური შედეგები მეტ-ნაკლებად შეესაბამება რაღაც თეორიულ განაწილების კანონს. საჭიროა შეფასდეს რეალურ (ემპირიულ) და თეორიულ (ჰიპოთეტურ) მონაცემებს შორის შესაბამისობის ხარისხი. ამისათვის წამოაყენეთ ნულოვანი ჰიპოთეზა: მიღებული პოპულაცია ნაწილდება კანონის "A" მიხედვით. შემოთავაზებული განაწილების კანონის შესახებ ჰიპოთეზის გადამოწმება ხორციელდება სპეციალურად შერჩეული შემთხვევითი ცვლადის - სიკეთის კრიტერიუმის გამოყენებით.

შესაბამისობის კრიტერიუმიუწოდა კრიტერიუმი უცნობი განაწილების სავარაუდო კანონის ჰიპოთეზის შესამოწმებლად.

არსებობს რამდენიმე სიკეთის კრიტერიუმი: პირსონი, კოლმოგოროვი, სმირნოვი და ა.შ. ყველაზე ხშირად გამოიყენება პირსონის სიკეთის ტესტი.

განვიხილოთ პირსონის კრიტერიუმის გამოყენება ზოგადი პოპულაციის განაწილების ნორმალური კანონის ჰიპოთეზის შემოწმების მაგალითზე. ამ მიზნით შევადარებთ ემპირიულ და თეორიულ (ნორმალური განაწილების გაგრძელებაში გამოთვლილ) სიხშირეებს.

როგორც წესი, არსებობს გარკვეული განსხვავება თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის. Მაგალითად:

ემპირიული სიხშირეები 7 15 41 93 113 84 25 13 5

თეორიული სიხშირეები 5 13 36 89 114 91 29 14 6

განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

შეუსაბამობა თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის არის შემთხვევითი (არამნიშვნელოვანი), ე.ი. შესაძლებელია წინადადების გაკეთება ემპირიული სიხშირეების განაწილების შესახებ ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით;

თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის შეუსაბამობა არ არის შემთხვევითი (მნიშვნელოვანი), ე.ი. თეორიული სიხშირეები გამოითვლება არასწორი ჰიპოთეზის საფუძველზე ზოგადი პოპულაციის ნორმალური განაწილების შესახებ.

პირსონის სიკეთის მორგების კრიტერიუმის დახმარებით შესაძლებელია შემთხვევით თუ არა განისაზღვროს თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის შეუსაბამობა, ე.ი. მოცემული ნდობის ალბათობით იმის დასადგენად, არის თუ არა საერთო მოსახლეობა განაწილებული ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით.

ასე რომ, მოდით მივიღოთ ემპირიული განაწილება n ზომის ნიმუშისთვის:

Პარამეტრები……

ემპირიული სიხშირეები......

დავუშვათ, რომ ნორმალური განაწილების დაშვებით, გამოითვლება თეორიული სიხშირეები. მნიშვნელოვნების დონეზე საჭიროა ნულოვანი ჰიპოთეზის შემოწმება: პოპულაცია ნორმალურად არის განაწილებული.

ნულოვანი ჰიპოთეზის შესამოწმებლად კრიტერიუმად ვიღებთ შემთხვევით ცვლადს

(*)

ეს მნიშვნელობა შემთხვევითია, რადგან სხვადასხვა ექსპერიმენტებში ის იღებს განსხვავებულ, მანამდე უცნობ მნიშვნელობებს. ნათელია, რომ რაც უფრო ნაკლებად განსხვავდება ემპირიული და თეორიული სიხშირეები, მით უფრო მცირეა კრიტერიუმის მნიშვნელობა და, შესაბამისად, გარკვეულწილად ახასიათებს ემპირიული და თეორიული განაწილების სიახლოვეს.

დადასტურებულია, რომ ზე, შემთხვევითი ცვლადის (*) განაწილების კანონი, მიუხედავად იმისა, თუ რომელ განაწილების კანონს ექვემდებარება ზოგადი პოპულაცია, მიდრეკილია განაწილების კანონისკენ თავისუფლების ხარისხით. მაშასადამე, შემთხვევითი ცვლადი (*) აღინიშნება -თი, ხოლო თავად კრიტერიუმს ეწოდება "ჩი-კვადრატის" სიკეთის შესატყვისი ტესტი.

დაკვირვების მონაცემებიდან გამოთვლილი კრიტერიუმის მნიშვნელობა ავღნიშნოთ როგორც . კრიტერიუმის ტაბულური კრიტიკული მნიშვნელობები მნიშვნელოვნების მოცემული დონისთვის და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობაზე მიუთითებს. ამ შემთხვევაში, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა განისაზღვრება ტოლობიდან, სადაც არის ნიმუშის ან კლასების ჯგუფების რაოდენობა (ნაწილობრივი ინტერვალები); - შემოთავაზებული განაწილების პარამეტრების რაოდენობა. ნორმალურ განაწილებას აქვს ორი პარამეტრი - მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა. მაშასადამე, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა ნორმალური განაწილებისთვის ვლინდება თანასწორობიდან

თუ გამოთვლილი მნიშვნელობა და ცხრილის მნიშვნელობა აკმაყოფილებს უტოლობას მიღებულია ნულოვანი ჰიპოთეზა ზოგადი პოპულაციის ნორმალური განაწილების შესახებ. თუ , ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილია და მიიღება ჰიპოთეზის ალტერნატივა (ზოგადი მოსახლეობა არ არის განაწილებული ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით).

კომენტარი. Pearson-ის სიკეთის ტესტის გამოყენებისას, ნიმუშის ზომა უნდა იყოს მინიმუმ 30. თითოეული ჯგუფი უნდა შეიცავდეს მინიმუმ 5 ვარიანტს. თუ ჯგუფებში 5-ზე ნაკლები სიხშირეა, ისინი გაერთიანებულია მეზობელ ჯგუფებთან.

ზოგადად, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა chi-კვადრატის განაწილებისთვის განისაზღვრება, როგორც მნიშვნელობების მთლიანი რაოდენობა, საიდანაც გამოითვლება შესაბამისი ზომები, გამოკლებული იმ პირობების რაოდენობა, რომლებიც აკავშირებს ამ მნიშვნელობებს, ე.ი. შეამციროს მათ შორის ვარიაციის შესაძლებლობა. უმარტივეს შემთხვევებში, გაანგარიშებისას, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა ტოლი იქნება კლასების რაოდენობაზე, შემცირებული ერთით. ასე რომ, მაგალითად, დიჰიბრიდული გაყოფით, მიიღება 4 კლასი, მაგრამ მხოლოდ პირველი კლასი მიიღება დაუკავშირებელი, შემდგომი უკვე ასოცირდება წინასთან. მაშასადამე, დიჰიბრიდული გაყოფისთვის, თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა არის .

მაგალითი 1განსაზღვრეთ ჯგუფების რეალურ განაწილებას შორის შესაბამისობის ხარისხი ტუბერკულოზით დაავადებული ძროხების რაოდენობასა და თეორიულად მოსალოდნელს შორის, რომელიც გამოითვალა ნორმალური განაწილების განხილვისას. საწყისი მონაცემები შეჯამებულია ცხრილში:

გამოსავალი.

მნიშვნელოვნების დონისა და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის მიხედვით კრიტიკული განაწილების წერტილების ცხრილიდან (იხ. დანართი 4), ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას . Იმიტომ რომ , შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განსხვავება თეორიულ და ფაქტობრივ სიხშირეებს შორის არის შემთხვევითი. ამრიგად, ჯგუფების რეალური განაწილება ტუბერკულოზით დაავადებული ძროხების რაოდენობის მიხედვით შეესაბამება თეორიულად მოსალოდნელს.

მაგალითი 2მენდელის კანონის მიხედვით კურდღლების დიჰიბრიდული გადაკვეთით მეორე თაობაში მიღებული ინდივიდების ფენოტიპების მიხედვით მიღებული თეორიული განაწილება არის 9: 3: 3: 1. საჭიროა გამოთვალოთ კურდღლების ემპირიული განაწილების კორესპონდენცია შავკანიანთა ნორმალური თმით შეჯვარებით. ქვევრ ცხოველებთან - ალბინოსი. მეორე თაობაში გადაჯვარებისას მიიღეს 120 შთამომავლობა, მათ შორის 45 შავი მოკლე თმით, 30 შავი ძირხვენით, 25 თეთრი მოკლე თმით, 20 თეთრი ბუჩქოვანი კურდღელი.

გამოსავალი.შთამომავლობაში თეორიულად მოსალოდნელი სეგრეგაცია უნდა შეესაბამებოდეს ოთხი ფენოტიპის თანაფარდობას (9:3:3:1). გამოთვალეთ თეორიული სიხშირეები (მიზნების რაოდენობა) თითოეული კლასისთვის:

9+3+3+1=16, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ველოდოთ, რომ შავი მოკლე თმა იქნება ; შავი ძირი - ; თეთრი მოკლე თმა ; თეთრი ძირი -.

ემპირიული (ფაქტობრივი) ფენოტიპური განაწილება იყო შემდეგი 45; ოცდაათი; 25; ოცი.

მოდით შევაჯამოთ ყველა ეს მონაცემი შემდეგ ცხრილში:

Pearson-ის სიკეთე-of-fit ტესტის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ მნიშვნელობას:

თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა დიჰიბრიდულ ჯვარში. მნიშვნელობის დონისთვის იპოვნეთ ღირებულება . Იმიტომ რომ , შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განსხვავება თეორიულ და ფაქტობრივ სიხშირეებს შორის შემთხვევითი არ არის. შესაბამისად, მიღებული კურდღლების ჯგუფი ფენოტიპების განაწილების მხრივ გადახრის მენდელის კანონს დიჰიბრიდული გადაკვეთისას და ასახავს გარკვეული ფაქტორების გავლენას, რომლებიც ცვლის ფენოტიპში გაყოფის ტიპს მეორე თაობის ჰიბრიდებში.

პირსონის ჩი-კვადრატის სიკეთე-of-fit ტესტი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორი ერთგვაროვანი ემპირიული განაწილების ერთმანეთთან შესადარებლად, ე.ი. მათ, რომლებსაც აქვთ იგივე კლასის საზღვრები. ნულოვანი ჰიპოთეზა არის ჰიპოთეზა, რომ ორი უცნობი განაწილების ფუნქცია ტოლია. ჩი-კვადრატის ტესტი ასეთ შემთხვევებში განისაზღვრება ფორმულით

(**)

სად და არის შედარებული განაწილების მოცულობები; და არის შესაბამისი კლასების სიხშირეები.

განვიხილოთ ორი ემპირიული განაწილების შედარება შემდეგი მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 3 გუგულის კვერცხების სიგრძე ორ ტერიტორიულ ზონაში გაზომეს. პირველ ზონაში გამოიკვლია 76 კვერცხის ნიმუში () , მეორეში 54 (). მიიღება შემდეგი შედეგები:

სიგრძე (მმ)
სიხშირეები
სიხშირეები									-	-	-

მნიშვნელოვნების დონეზე, საჭიროა შემოწმებული იყოს ნულოვანი ჰიპოთეზა, რომ კვერცხების ორივე ნიმუში ეკუთვნის გუგულის ერთსა და იმავე პოპულაციას.

შესავალი

ამ თემის აქტუალობა იმაში მდგომარეობს, რომ ბიოსტატისტიკის საფუძვლების შესწავლისას ვივარაუდეთ, რომ ცნობილია ზოგადი პოპულაციის განაწილების კანონი. რა მოხდება, თუ განაწილების კანონი უცნობია, მაგრამ არსებობს საფუძველი ვივარაუდოთ, რომ მას აქვს გარკვეული ფორმა (მოდით დავარქვათ A), მაშინ მოწმდება ნულოვანი ჰიპოთეზა: ზოგადი პოპულაცია განაწილებულია A კანონის მიხედვით. ეს ჰიპოთეზა შემოწმებულია. სპეციალურად შერჩეული შემთხვევითი ცვლადის – შეთანხმების კრიტერიუმის გამოყენებით.

სიკეთის ტესტები არის კრიტერიუმები ჰიპოთეზების შესამოწმებლად ემპირიული განაწილების შესაბამისობის თეორიულ განაწილებასთან. ეს კრიტერიუმები იყოფა ორ კატეგორიად:

• III ზოგადი სიკეთის კრიტერიუმები ვრცელდება ჰიპოთეზის ყველაზე ზოგად ფორმულირებაზე, კერძოდ ჰიპოთეზაზე, რომ დაკვირვებული შედეგები ეთანხმება აპრიორი სავარაუდო ალბათობის განაწილებას.
• III სპეციალური სიკეთე-of-fit ტესტები გულისხმობს სპეციალურ ნულოვან ჰიპოთეზებს, რომლებიც აყალიბებენ შეთანხმებას ალბათობის განაწილების გარკვეულ ფორმასთან.

სიკეთის კრიტერიუმები

ყველაზე გავრცელებული სიკეთის ტესტებია ომეგა-კვადრატი, ჩი-კვადრატი, კოლმოგოროვი და კოლმოგოროვ-სმირნოვი.

ფართოდ გამოიყენება კოლმოგოროვის, სმირნოვის, ომეგა კვადრატის შეთანხმების არაპარამეტრული ტესტები. თუმცა, ისინი ასევე დაკავშირებულია სტატისტიკური მეთოდების გამოყენებაში გავრცელებულ შეცდომებთან.

ფაქტია, რომ ჩამოთვლილი კრიტერიუმები შემუშავდა შეთანხმების შესამოწმებლად სრულიად ცნობილი თეორიული განაწილებით. ფართოდ გამოიყენება გაანგარიშების ფორმულები, განაწილების ცხრილები და კრიტიკული მნიშვნელობები. კოლმოგოროვის, ომეგას კვადრატის და მსგავსი კრიტერიუმების მთავარი იდეაა ემპირიული განაწილების ფუნქციასა და თეორიულ განაწილების ფუნქციას შორის მანძილის გაზომვა. ეს კრიტერიუმები განსხვავდება განაწილების ფუნქციების სივრცეში მანძილების სახით.

პირსონის p2 სიკეთე-of-fit ტესტები მარტივი ჰიპოთეზა

კ.პირსონის თეორემა ეხება დამოუკიდებელ ცდებს სასრული რაოდენობის შედეგებით, ე.ი. ბერნულის ცდებს (გარკვევით გაფართოებული გაგებით). ეს საშუალებას გვაძლევს ვიმსჯელოთ, შეესაბამება თუ არა დაკვირვებები ამ შედეგების სიხშირეზე დიდი რაოდენობით ცდებში მათ სავარაუდო ალბათობებთან.

ბევრ პრაქტიკულ პრობლემაში ზუსტი განაწილების კანონი უცნობია. მაშასადამე, წამოიჭრება ჰიპოთეზა არსებული ემპირიული კანონის, დაკვირვების საფუძველზე აგებული, რომელიმე თეორიულთან შესაბამისობის შესახებ. ეს ჰიპოთეზა მოითხოვს სტატისტიკურ ტესტირებას, რომლის შედეგები ან დადასტურდება ან უარყოფილი იქნება.

მოდით X იყოს შესწავლილი შემთხვევითი ცვლადი. საჭიროა H0 ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, რომ ეს შემთხვევითი ცვლადი ემორჩილება განაწილების კანონს F(x). ამისათვის საჭიროა n დამოუკიდებელი დაკვირვების ნიმუშის გაკეთება და მისგან ემპირიული განაწილების კანონის F "(x) აგება. ემპირიული და ჰიპოთეტური კანონების შესადარებლად გამოიყენება წესი, რომელსაც ეწოდება სიკეთე. ყველაზე პოპულარულია კ.პირსონის ჩი-კვადრატის სიკეთე, მასში ჩი-კვადრატის სტატისტიკა გამოითვლება:

სადაც N არის ინტერვალების რაოდენობა, რომლის მიხედვითაც შეიქმნა ემპირიული განაწილების კანონი (შესაბამისი ჰისტოგრამის სვეტების რაოდენობა), i არის ინტერვალის რიცხვი, pt i არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა მოხვდება i-th ინტერვალი თეორიული განაწილების კანონისთვის, pe i არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა მოხვდება ემპირიული განაწილების კანონის i-th ინტერვალში. ის უნდა დაემორჩილოს ჩი-კვადრატის განაწილებას.

თუ სტატისტიკის გამოთვლილი მნიშვნელობა აღემატება chi-კვადრატის განაწილების კვანტილს k-p-1 თავისუფლების ხარისხით მოცემული მნიშვნელოვნების დონისთვის, მაშინ H0 ჰიპოთეზა უარყოფილია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იგი მიიღება მოცემული მნიშვნელობის დონეზე. აქ k არის დაკვირვებების რაოდენობა, p არის განაწილების კანონის სავარაუდო პარამეტრების რაოდენობა.

მოდით შევხედოთ სტატისტიკას:

p2 სტატისტიკას უწოდებენ პირსონის chi-კვადრატის სტატისტიკას მარტივი ჰიპოთეზისთვის.

ნათელია, რომ p2 არის გარკვეული მანძილის კვადრატი ორ r-განზომილებიან ვექტორს შორის: ფარდობითი სიხშირის ვექტორი (mi /n, …, mr /n) და ალბათობის ვექტორი (pi , …, pr). ეს მანძილი ევკლიდური მანძილისგან განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ სხვადასხვა კოორდინატები შედიან მასში სხვადასხვა წონით.

განვიხილოთ h2 სტატისტიკის ქცევა იმ შემთხვევაში, როდესაც H ჰიპოთეზა მართალია და H - მცდარი. თუ H მართალია, მაშინ ch2-ის ასიმპტომური ქცევა n > ? მიუთითებს კ.პირსონის თეორემაზე. იმის გასაგებად, თუ რა ემართება (2.2), როდესაც H მცდარია, გაითვალისწინეთ, რომ დიდი რიცხვების კანონის მიხედვით, mi /n > pi n > ?-სთვის, i = 1, …, r. ამიტომ, n > ?:

ეს მნიშვნელობა უდრის 0-ს. ამიტომ, თუ H არასწორია, მაშინ h2 >? (როცა n > ?).

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ H უნდა იყოს უარყოფილი, თუ ექსპერიმენტში მიღებული h2-ის მნიშვნელობა ძალიან დიდია. აქ, როგორც ყოველთვის, სიტყვები „ძალიან დიდი“ ნიშნავს, რომ n2-ის დაკვირვებული მნიშვნელობა აღემატება კრიტიკულ მნიშვნელობას, რომელიც ამ შემთხვევაში შეიძლება ავიღოთ chi-კვადრატის განაწილების ცხრილებიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა P(p2 npi p2) არის მცირე მნიშვნელობა და, შესაბამისად, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შემთხვევით მიიღოს იგივე, რაც ექსპერიმენტში, ან კიდევ უფრო დიდი შეუსაბამობა სიხშირის ვექტორსა და ალბათობის ვექტორს შორის.

კ.პირსონის თეორემის ასიმპტომური ბუნება, რომელიც საფუძვლად უდევს ამ წესს, მოითხოვს სიფრთხილეს მის პრაქტიკულ გამოყენებაში. მასზე დაყრდნობა შეიძლება მხოლოდ დიდი ნ. იმისთვის, რომ ვიმსჯელოთ არის თუ არა n საკმარისად დიდი, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ალბათობები pi, …, pr. მაშასადამე, არ შეიძლება ითქვას, რომ ასი დაკვირვება საკმარისი იქნება, რადგან არა მხოლოდ n უნდა იყოს დიდი, არამედ პროდუქცია npi , …, npr (მოსალოდნელი სიხშირეები) ასევე არ უნდა იყოს მცირე. მაშასადამე, რთული აღმოჩნდა ch2-ის (უწყვეტი განაწილების) მიახლოების პრობლემა ch2 სტატისტიკასთან, რომლის განაწილებაც დისკრეტულია. თეორიული და ექსპერიმენტული არგუმენტების ერთობლიობამ განაპირობა რწმენა, რომ ეს მიახლოება გამოიყენება, თუ ყველა მოსალოდნელი სიხშირე არის npi>10. თუ რიცხვი r (სხვადასხვა შედეგების რაოდენობა) იზრდება, ლიმიტი მცირდება (5-მდე ან თუნდაც 3-მდე, თუ r არის რამდენიმე ათეულის რიგი). ამ მოთხოვნების დასაკმაყოფილებლად პრაქტიკაში ზოგჯერ საჭიროა რამდენიმე შედეგის გაერთიანება, ე.ი. გადადით ბერნულის სქემაზე პატარა r-ით.

შეთანხმების შემოწმების აღწერილი მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ ბერნულის ტესტებზე, არამედ შემთხვევით ნიმუშებზეც. მათი დაკვირვებები ჯერ უნდა გადაკეთდეს ბერნულის ტესტებში დაჯგუფების გზით. ისინი ამას აკეთებენ ამ გზით: დაკვირვების სივრცე დაყოფილია სასრული რაოდენობის არა გადახურულ რეგიონებად, შემდეგ კი დაკვირვებული სიხშირე და ჰიპოთეტური ალბათობა გამოითვლება თითოეული რეგიონისთვის.

ამ შემთხვევაში, მიახლოების ადრე ჩამოთვლილ სირთულეებს ემატება კიდევ ერთი - თავდაპირველი სივრცის გონივრული დანაყოფის არჩევანი. ამავდროულად, ყურადღება უნდა მიექცეს, რომ ზოგადად, ნიმუშის საწყისი განაწილების შესახებ ჰიპოთეზის შემოწმების წესი საკმარისად მგრძნობიარე იყოს შესაძლო ალტერნატივების მიმართ. და ბოლოს, აღვნიშნავ, რომ სტატისტიკური კრიტერიუმები, რომლებიც ეფუძნება ბერნულის სქემის შემცირებას, როგორც წესი, არ მოქმედებს ყველა ალტერნატივის მიმართ. ასე რომ, თანხმობის გადამოწმების ამ მეთოდს შეზღუდული მნიშვნელობა აქვს.

კოლმოგოროვი-სმირნოვის სიკეთის მორგების ტესტი მისი კლასიკური ფორმით უფრო ძლიერია, ვიდრე h2 ტესტი და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, რომ ემპირიული განაწილება შეესაბამება ნებისმიერ თეორიულ უწყვეტ განაწილებას F(x) ცნობილი პარამეტრებით. ეს უკანასკნელი გარემოება აწესებს შეზღუდვებს ამ კრიტერიუმის ფართო პრაქტიკული გამოყენების შესაძლებლობაზე მექანიკური ტესტების შედეგების ანალიზში, ვინაიდან მექანიკური თვისებების მახასიათებლების განაწილების ფუნქციის პარამეტრები, როგორც წესი, ფასდება მონაცემებიდან. თავად ნიმუში.

კოლმოგოროვი-სმირნოვის კრიტერიუმი გამოიყენება დაუჯგუფებელი მონაცემებისთვის ან დაჯგუფებული მონაცემებისთვის მცირე ინტერვალის სიგანის შემთხვევაში (მაგალითად, ძალის მრიცხველის მასშტაბის დაყოფის, დატვირთვის ციკლის მრიცხველის და ა.შ.). მოდით, n ნიმუშის სერიის ტესტის შედეგი იყოს მექანიკური თვისებების მახასიათებლების ვარიაციის სერია

x1? x2? ...? xi? ...? xn. (3.93)

საჭიროა ნულოვანი ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, რომ ნიმუშის განაწილება (3.93) ეკუთვნის თეორიულ კანონს F(x).

კოლმოგოროვი-სმირნოვის კრიტერიუმი ეფუძნება დაგროვილი კონკრეტულის მაქსიმალური გადახრის განაწილებას განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობიდან. მისი გამოყენებისას გამოითვლება სტატისტიკა

რომელიც კოლმოგოროვის ტესტის სტატისტიკაა. თუ უთანასწორობა

Dnvn? შუბლი (3.97)

ნიმუშის დიდი ზომისთვის (n > 35) ან

Dn(vn + 0.12 + 0.11/vn) ? შუბლი (3.98)

ამისთვის n? 35, ნულოვანი ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი.

თუ უტოლობები (3.97) და (3.98) არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ მიღებულია ალტერნატიული ჰიპოთეზა, რომ ნიმუში (3.93) ეკუთვნის უცნობი განაწილებას.

lb-ის კრიტიკული მნიშვნელობებია: л0.1 = 1.22; l0.05 = 1.36; l0.01 = 1.63.

თუ F(x) ფუნქციის პარამეტრები წინასწარ არ არის ცნობილი, მაგრამ შეფასებულია ნიმუშის მონაცემებით, კოლმოგოროვი-სმირნოვის კრიტერიუმი კარგავს თავის უნივერსალურობას და შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ ექსპერიმენტული მონაცემების შესაბამისობის შესამოწმებლად მხოლოდ კონკრეტულ განაწილებასთან. ფუნქციები.

როდესაც გამოიყენება როგორც ნულოვანი ჰიპოთეზა, არის თუ არა ექსპერიმენტული მონაცემები ეკუთვნის ნორმალურ ან ლოგ-ნორმალურ განაწილებას, სტატისტიკა გამოითვლება:

სადაც Ц(zi) არის ლაპლასის ფუნქციის მნიშვნელობა

Ц(zi) = (xi - xср)/s კოლმოგოროვი-სმირნოვის კრიტერიუმი ნებისმიერი ნიმუშის ზომის n-სთვის იწერება როგორც

lb-ის კრიტიკული მნიშვნელობები ამ შემთხვევაშია: л0.1 = 0.82; l0.05 = 0.89; l0.01 = 1.04.

თუ შემოწმებულია ჰიპოთეზა ნიმუშის *** ექსპონენციალურ განაწილებასთან შესაბამისობის შესახებ, რომლის პარამეტრი შეფასებულია ექსპერიმენტული მონაცემებით, გამოითვლება მსგავსი სტატისტიკა:

ემპირიული ალბათობის კრიტერიუმი

და შეადგინეთ კოლმოგოროვი-სმირნოვის კრიტერიუმი.

ამ შემთხვევისთვის lb-ის კრიტიკული მნიშვნელობებია: λ0.1 = 0.99; l0.05 = 1.09; l0.01 = 1.31.

განაწილების თეორიულ კანონთან ემპირიული განაწილების შესაბამისობის შესახებ ჰიპოთეზის შესამოწმებლად გამოიყენება სპეციალური სტატისტიკური ინდიკატორები - სიკეთის კრიტერიუმები (ან შესაბამისობის კრიტერიუმები). მათ შორისაა პირსონის, კოლმოგოროვის, რომანოვსკის, იასტრემსკის კრიტერიუმები და ა.შ. მორგების კრიტერიუმების უმეტესობა დაფუძნებულია თეორიულიდან ემპირიული სიხშირეების გადახრების გამოყენებაზე. ცხადია, რაც უფრო მცირეა ეს გადახრები, მით უკეთესად ემთხვევა (ან აღწერს) თეორიული განაწილება ემპირიულს.

თანხმობის კრიტერიუმები- ეს არის ჰიპოთეზების შესამოწმებლად ემპირიული განაწილების თეორიულ განაწილებასთან შესაბამისობის კრიტერიუმები. ასეთი კრიტერიუმები იყოფა ორ კლასად: ზოგადი და სპეციალური. ზოგადი სიკეთის კრიტერიუმები ვრცელდება ჰიპოთეზის ყველაზე ზოგად ფორმულირებაზე, კერძოდ, ჰიპოთეზაზე, რომ დაკვირვებული შედეგები ეთანხმება აპრიორი სავარაუდო ალბათობის განაწილებას. სპეციალური სიკეთე-of-fit ტესტები გულისხმობს სპეციალურ ნულოვან ჰიპოთეზებს, რომლებიც აყალიბებენ შეთანხმებას ალბათობის განაწილების გარკვეულ ფორმასთან.

დადგენილ განაწილების კანონზე დაფუძნებული შეთანხმების კრიტერიუმები შესაძლებელს ხდის დადგინდეს, როდის უნდა იქნას აღიარებული შეუსაბამობები თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის უმნიშვნელოდ (შემთხვევითი) და როდის - მნიშვნელოვანი (არაშემთხვევითი). აქედან გამომდინარეობს, რომ სიკეთის კრიტერიუმები შესაძლებელს ხდის უარვყოთ ან დაადასტუროთ ჰიპოთეზის სისწორე ემპირიულ სერიაში განაწილების ბუნების შესახებ სერიის გასწორებისას და პასუხის გაცემა შესაძლებელია თუ არა მოდელი, რომელიც გამოხატულია თეორიული განაწილების კანონით მოცემული ემპირიული განაწილებისთვის.

Pearson-ის სიკეთე-of-fit ტესტი c 2 (chi-კვადრატი) არის სიკეთის მორგების ერთ-ერთი მთავარი კრიტერიუმი. შემოთავაზებული ინგლისელი მათემატიკოსის კარლ პირსონის (1857-1936) მიერ ემპირიული და თეორიული განაწილების სიხშირეებს შორის შეუსაბამობების შემთხვევითობის (მნიშვნელოვნების) შესაფასებლად:

თეორიული და ემპირიული განაწილების თანმიმდევრულობის შესაფასებლად c 2 კრიტერიუმის გამოყენების სქემა შემდეგია:

1. დგინდება შეუსაბამობის გამოთვლილი ზომა.

2. თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა განისაზღვრება.

3. თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა n განისაზღვრება სპეციალური ცხრილის გამოყენებით.

4. თუ , მაშინ მოცემული მნიშვნელოვნების დონის α და n თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა, უმნიშვნელო (შემთხვევითი) შეუსაბამობების ჰიპოთეზა უარყოფილია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჰიპოთეზა შეიძლება ჩაითვალოს, რომ არ ეწინააღმდეგება მიღებულ ექსპერიმენტულ მონაცემებს და (1 – α) ალბათობით, შეიძლება ითქვას, რომ თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის შეუსაბამობები შემთხვევითია.

მნიშვნელოვნების დონეარის წამოყენებული ჰიპოთეზის მცდარი უარყოფის ალბათობა, ე.ი. სწორი ჰიპოთეზის უარყოფის ალბათობა. სტატისტიკურ კვლევებში, გადასაჭრელი ამოცანების მნიშვნელობისა და პასუხისმგებლობის მიხედვით, გამოიყენება მნიშვნელოვნების შემდეგი სამი დონე:

1) a = 0.1, მაშინ რ = 0,9;

2) a = 0.05, მაშინ რ = 0,95;

3) a = 0.01, მაშინ რ = 0,99.

სიკეთის მორგების კრიტერიუმი c 2 , უნდა დაიცვან შემდეგი პირობები:

1. შესწავლილი პოპულაციის მოცულობა უნდა იყოს საკმარისად დიდი ( ნ≥ 50), ხოლო ჯგუფის სიხშირე ან ზომა უნდა იყოს მინიმუმ 5. თუ ეს პირობა დარღვეულია, აუცილებელია ჯერ მცირე სიხშირეების შერწყმა (5-ზე ნაკლები).

2. ემპირიული განაწილება უნდა შედგებოდეს შემთხვევითი შერჩევის შედეგად მიღებული მონაცემებისგან, ე.ი. ისინი უნდა იყვნენ დამოუკიდებლები.

პირსონის სიკეთის კრიტერიუმის მინუსი არის ზოგიერთი საწყისი ინფორმაციის დაკარგვა, რომელიც დაკავშირებულია დაკვირვების შედეგების ინტერვალებად დაჯგუფების და ინდივიდუალური ინტერვალების დაკვირვების მცირე რაოდენობასთან გაერთიანების აუცილებლობასთან. ამასთან დაკავშირებით რეკომენდირებულია კრიტერიუმის მიხედვით განაწილებათა შესაბამისობის გადამოწმების დამატება 2 სხვა კრიტერიუმით. ეს განსაკუთრებით აუცილებელია, როდესაც ნიმუშის ზომა შედარებით მცირეა ( ნ ≈ 100).

სტატისტიკაში კოლმოგოროვის სიკეთის ტესტი(ასევე ცნობილია როგორც კოლმოგოროვი-სმირნოვის სიკეთის შესატყვისობის ტესტი) გამოიყენება იმის დასადგენად, ემორჩილება თუ არა ორი ემპირიული განაწილება ერთსა და იმავე კანონს, ან იმის დასადგენად, ემორჩილება თუ არა მიღებული განაწილება შემოთავაზებულ მოდელს. კოლმოგოროვის კრიტერიუმი ემყარება მაქსიმალური სხვაობის დადგენას დაგროვილ სიხშირეებს ან ემპირიულ თუ თეორიულ განაწილების სიხშირეებს შორის. კოლმოგოროვის კრიტერიუმი გამოითვლება შემდეგი ფორმულების მიხედვით:

სადაც დდა დ- შესაბამისად, მაქსიმალური სხვაობა დაგროვილ სიხშირეებს შორის ( ვ – ვ¢) და დაგროვილ სიხშირეებს შორის ( გვ – გვ¢) განაწილების ემპირიული და თეორიული სერია; ნ- ერთეულების რაოდენობა მოსახლეობაში.

λ-ის მნიშვნელობის გამოთვლის შემდეგ, სპეციალური ცხრილი განსაზღვრავს ალბათობას, რომლითაც შეიძლება ითქვას, რომ ემპირიული სიხშირეების გადახრები თეორიულიდან შემთხვევითია. თუ ნიშანი იღებს მნიშვნელობებს 0.3-მდე, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ არსებობს სიხშირეების სრული დამთხვევა. დაკვირვების დიდი რაოდენობით, კოლმოგოროვის ტესტს შეუძლია გამოავლინოს ნებისმიერი გადახრა ჰიპოთეზადან. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი განსხვავება ნიმუშის განაწილებასა და თეორიულს შორის მისი დახმარებით იქნება გამოვლენილი, თუ ბევრი დაკვირვება იქნება. ამ თვისების პრაქტიკული მნიშვნელობა არ არის მნიშვნელოვანი, რადგან უმეტეს შემთხვევაში ძნელია მუდმივ პირობებში დიდი რაოდენობის დაკვირვების მოპოვება, თეორიული იდეა განაწილების კანონის შესახებ, რომელსაც ნიმუში უნდა დაემორჩილოს, ყოველთვის სავარაუდოა, და სტატისტიკური შემოწმების სიზუსტე არ უნდა აღემატებოდეს არჩეული მოდელის სიზუსტეს.

რომანოვსკის სიკეთის კრიტერიუმიპირსონის კრიტერიუმის გამოყენებაზე დაყრდნობით, ე.ი. უკვე ნაპოვნი მნიშვნელობები c 2 და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა:

სადაც n არის ცვალებადობის თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა.

რომანოვსკის კრიტერიუმი მოსახერხებელია ცხრილების არარსებობის შემთხვევაში. Თუ< 3, то расхождения распределений случайны, если же >3, მაშინ ისინი არ არიან შემთხვევითი და თეორიული განაწილება ვერ იქნება შესწავლილი ემპირიული განაწილების მოდელი.

ბ. კ), სპეციალური მნიშვნელობა q ჯგუფების რაოდენობის მიხედვით და chi-კვადრატის მნიშვნელობა. იასტრემსკის შეთანხმების კრიტერიუმიაქვს იგივე მნიშვნელობა, რაც რომანოვსკის კრიტერიუმს და გამოიხატება ფორმულით

სადაც c 2 - პირსონის შეთანხმების კრიტერიუმი; - ჯგუფების რაოდენობა; q - კოეფიციენტი, 20-ზე ნაკლები ჯგუფებისთვის 0,6-ის ტოლი.

Თუ ლფაქტი > 3, თეორიულ და ემპირიულ განაწილებებს შორის შეუსაბამობები შემთხვევითი არ არის, ე.ი. ემპირიული განაწილება არ აკმაყოფილებს ნორმალური განაწილების მოთხოვნებს. Თუ ლფაქტი< 3, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями считаются случайными.

შემთხვევითი ცვლადის ξ დამოუკიდებელი გაზომვების დამუშავებით ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ სტატისტიკური განაწილების ფუნქცია F*(x). ამ ფუნქციის სახით შეიძლება მივიღოთ ჰიპოთეზა, რომ ჭეშმარიტი თეორიული განაწილების ფუნქციაა F(x). თავად დამოუკიდებელი გაზომვები (x 1 , x 2 ,…,x n), რომლებიც ქმნიან ნიმუშს, შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურად განაწილებულ შემთხვევით ცვლადებად F(x) ჰიპოთეტური განაწილების ფუნქციით.

ცხადია, იქნება გარკვეული შეუსაბამობები F * (x) და F (x) ფუნქციებს შორის. ჩნდება კითხვა, არის თუ არა ეს შეუსაბამობები შერჩევის შეზღუდული ზომის შედეგი, თუ დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ ჩვენი ჰიპოთეზა არ არის სწორი, ე.ი. განაწილების ფაქტობრივი ფუნქცია არ არის F(x), არამედ სხვა. ამ საკითხის გადასაჭრელად გამოიყენება თანხმობის კრიტერიუმები, რომელთა არსი შემდეგია. არჩეულია გარკვეული მნიშვნელობა Δ(F, F *), რომელიც ახასიათებს F * (x) და F(x) ფუნქციებს შორის შეუსაბამობის ხარისხს. მაგალითად, Δ(F, F *)=Sup|F(x)-F * (x)|, ე.ი. განსხვავების მოდულის ზედა ზღვარი x-ში.

ვარაუდობენ, რომ ჰიპოთეზა სწორია, ე.ი. F(x) განაწილების ფუნქციის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის Δ(F, F *) განაწილების კანონი (ჩვენ არ შევეხებით კითხვას, როგორ გავაკეთოთ ეს). დავაყენოთ რიცხვი p 0 ისე პატარა, რომ ამ ალბათობით მოვლენის (Δ(F, F *)>Δ 0 რეალიზაცია პრაქტიკულად შეუძლებლად ჩაითვალოს. მდგომარეობიდან

იპოვეთ მნიშვნელობა Δ 0. აქ f(x) არის განაწილების სიმკვრივე Δ(F,F *).

ახლა გამოვთვალოთ მნიშვნელობა Δ(F, F *)= Δ 1 შედეგებიდან

ნიმუშები, ე.ი. იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის Δ(F, F *) ერთ-ერთი შესაძლო მნიშვნელობა. თუ Δ 1 ≥Δ 0, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ თითქმის შეუძლებელი მოვლენა მოხდა. ეს შეიძლება აიხსნას იმით, რომ ჩვენი ჰიპოთეზა არ არის სწორი. ასე რომ, თუ Δ 1 ≥Δ 0, მაშინ ჰიპოთეზა უარყოფილია და როდესაც Δ 1<Δ 0 , гипотеза может оказаться неверной, но вероятность этого мала.

როგორც Δ(F, F *) შეუსაბამობის საზომი შეიძლება სხვადასხვა მნიშვნელობების აღება. ამის მიხედვით მიიღება შეთანხმების სხვადასხვა კრიტერიუმები. მაგალითად, კოლმოგოროვის, მიზესის, პირსონის სიკეთე-of-fit ტესტი ან chi-კვადრატის ტესტი.

მოდით, n გაზომვის შედეგები წარმოდგენილი იყოს დაჯგუფებული სტატისტიკური სერიების სახით k ციფრებით.

DISCHARGE (x 0 ,x 1) (ფაქტობრივად, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ გაზომვის შეცდომები თანაბრად ნაწილდება გარკვეულ სეგმენტზე). მაშინ შვიდი ციფრიდან თითოეულზე დაჭერის ალბათობა ტოლი იქნება. §11-დან დაჯგუფებული სერიების გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ Δ(F, F *)= Δ 1 =ფორმულით (1). Ამ შემთხვევაში .

ვინაიდან ჰიპოთეტური განაწილების კანონი მოიცავს ორ უცნობ პარამეტრს, α და β - სეგმენტის დასაწყისს და დასასრულს, თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა იქნება 7-1-2=4. ჩი-კვადრატის განაწილების ცხრილის მიხედვით არჩეული ალბათობით p 0 =10 -3 ვპოულობთ Δ 0 =18. იმიტომ რომ Δ 1 >Δ 0, მაშინ გაზომვის შეცდომის ერთგვაროვანი განაწილების ჰიპოთეზა უნდა გაუქმდეს.