რას ნიშნავს არაწრფივი განტოლების ამოხსნის პოვნა. არაწრფივი განტოლებების ამოხსნა მარტივი გამეორებების მეთოდით - აბსტრაქტული

არაწრფივი განტოლებების რიცხვითი ამოხსნის მეთოდები

მათემატიკა, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობასთან დაკავშირებით: გაზომვები ადგილზე, ნავიგაცია და ა.შ. შედეგად, მათემატიკა იყო რიცხვითი მათემატიკა და მისი მიზანი იყო ამონახსნის მიღება რიცხვის სახით. გამოყენებითი ამოცანების რიცხვითი ამოხსნა ყოველთვის აინტერესებდა მათემატიკოსებს. წარსულის უდიდესმა წარმომადგენლებმა თავიანთ კვლევებში გააერთიანეს ბუნებრივი მოვლენების შესწავლა, მიიღეს მათი მათემატიკური აღწერა, ე.ი. მისი მათემატიკური მოდელი და მისი კვლევა. რთული მოდელების ანალიზი მოითხოვდა პრობლემების გადაჭრის სპეციალური, ჩვეულებრივ რიცხვითი მეთოდების შექმნას. ზოგიერთი ამ მეთოდის სახელწოდება მიუთითებს იმაზე, რომ ისინი შეიმუშავეს თავიანთი დროის უდიდესმა მეცნიერებმა. ეს არის ნიუტონის, ეილერის, ლობაჩევსკის, გაუსის, ჩებიშევის, ჰერმიტის მეთოდები.

დღევანდელი დრო ხასიათდება მათემატიკის აპლიკაციების მკვეთრი გაფართოებით, რაც დიდწილად ასოცირდება კომპიუტერული ტექნოლოგიების შექმნასა და განვითარებასთან. 40 წელზე ნაკლებ დროში კომპიუტერების გაჩენის შედეგად, ოპერაციების სიჩქარე გაიზარდა 0.1 ოპერაციიდან წამში ხელით დათვლით 10 ოპერაციამდე წამში თანამედროვე კომპიუტერებზე.

თანამედროვე კომპიუტერების ყოვლისშემძლეობის შესახებ გავრცელებული აზრი ქმნის შთაბეჭდილებას, რომ მათემატიკოსებმა თავი დააღწიეს პრობლემების რიცხვით გადაწყვეტასთან დაკავშირებულ ყველა პრობლემას და მათი გადაჭრის ახალი მეთოდების შემუშავება აღარ არის ისეთი მნიშვნელოვანი. სინამდვილეში, სიტუაცია განსხვავებულია, რადგან ევოლუციის მოთხოვნილებები, როგორც წესი, მეცნიერების წინაშე დგანან მისი შესაძლებლობების ზღვარზე. მათემატიკის გამოყენების გაფართოებამ გამოიწვია მეცნიერების სხვადასხვა დარგის მათემატიზაცია: ქიმია, ეკონომიკა, ბიოლოგია, გეოლოგია, გეოგრაფია, ფსიქოლოგია, მედიცინა, ტექნოლოგია და ა.შ.

არსებობს ორი გარემოება, რამაც თავდაპირველად გამოიწვია მეცნიერებათა მათემატიზაციის სურვილი:

უპირველეს ყოვლისა, მხოლოდ მათემატიკური მეთოდების გამოყენება შესაძლებელს ხდის მატერიალური სამყაროს ამა თუ იმ ფენომენის შესწავლას რაოდენობრივი ხასიათის მინიჭებას;

მეორეც და ეს არის მთავარი, მხოლოდ მათემატიკური აზროვნება ქმნის ობიექტს. კვლევის ამ მეთოდს გამოთვლითი ექსპერიმენტი ჰქვია – კვლევა სრულად ობიექტურია.

ბოლო დროს გამოჩნდა კიდევ ერთი ფაქტორი, რომელიც ძლიერ გავლენას ახდენს ცოდნის მათემატიზაციის პროცესებზე. ეს არის კომპიუტერული ტექნოლოგიების სწრაფი განვითარება. კომპიუტერების გამოყენება მეცნიერული, საინჟინრო და ზოგადად გამოყენებითი პრობლემების გადასაჭრელად მთლიანად ეფუძნება მათ მათემატიზაციას.

მათემატიკური მოდელები.

რთული ამოცანების შესწავლის თანამედროვე ტექნოლოგია ეფუძნება შესწავლილი პრობლემის მათემატიკური მოდელების აგებასა და ანალიზს, როგორც წესი, კომპიუტერის დახმარებით. ჩვეულებრივ, გამოთვლითი ექსპერიმენტი, როგორც უკვე ვნახეთ, შედგება რამდენიმე ეტაპისგან: პრობლემის დაყენება, მათემატიკური მოდელის აგება (პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება), რიცხვითი მეთოდის შემუშავება, რიცხვითი მეთოდის განხორციელების ალგორითმის შემუშავება, შემუშავება. პროგრამა, პროგრამის გამართვა, გამოთვლების შესრულება, შედეგების ანალიზი.

ასე რომ, კომპიუტერების გამოყენება ნებისმიერი სამეცნიერო ან საინჟინრო პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებლად ასოცირდება რეალური პროცესიდან ან ფენომენიდან მის მათემატიკურ მოდელზე გადასვლასთან. ამრიგად, მოდელების გამოყენება სამეცნიერო კვლევებსა და საინჟინრო პრაქტიკაში არის მათემატიკური მოდელირების ხელოვნება.

მოდელს ჩვეულებრივ უწოდებენ წარმოდგენილ ან მატერიალურად რეალიზებულ სისტემას, რომელიც ასახავს მოცემული ფენომენის ძირითად ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს.

მათემატიკური მოდელის ძირითადი მოთხოვნებია განსახილველი ფენომენის ადეკვატურობა, ე.ი. ის საკმარისად უნდა ასახავდეს ფენომენის დამახასიათებელ მახასიათებლებს. ამასთანავე, მას უნდა ჰქონდეს კვლევის შედარებითი სიმარტივე და ხელმისაწვდომობა.

მათემატიკური მოდელი ასახავს დამოკიდებულებას შესწავლილი ფენომენის წარმოშობის პირობებსა და მის შედეგებს შორის გარკვეულ მათემატიკურ კონსტრუქციებში. ყველაზე ხშირად, ასეთი კონსტრუქციების სახით გამოიყენება შემდეგი მათემატიკური ცნებები: ფუნქცია, ფუნქციური, ოპერატორი, რიცხვითი განტოლება, ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება, ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება.

მათემატიკური მოდელები შეიძლება დაიყოს სხვადასხვა კრიტერიუმების მიხედვით: სტატიკური და დინამიური, კონცენტრირებული და განაწილებული; დეტერმინისტული და ალბათური.

განვიხილოთ არაწრფივი განტოლების ფესვების პოვნის პრობლემა

განტოლების (1) ფესვები არის x-ის ის მნიშვნელობები, რომლებიც ჩანაცვლებისას აქცევს მას იდენტურად. მხოლოდ უმარტივესი განტოლებისთვისაა შესაძლებელი ამონახსნის ფორმულების სახით, ე.ი. ანალიტიკური ფორმა. უფრო ხშირად საჭიროა განტოლებების ამოხსნა მიახლოებითი მეთოდებით, რომელთა შორის ყველაზე გავრცელებული, კომპიუტერების გამოჩენასთან დაკავშირებით, არის რიცხვითი მეთოდები.

სავარაუდო მეთოდებით ფესვების პოვნის ალგორითმი შეიძლება დაიყოს ორ ეტაპად. თავდაპირველად ხდება ფესვების ადგილმდებარეობის შესწავლა და მათი გამოყოფა. არის ფართობი, რომელშიც არის განტოლების ფესვი ან საწყისი მიახლოება ფესვთან x 0 . ამ პრობლემის გადაჭრის უმარტივესი გზაა f(x) ფუნქციის გრაფიკის შესწავლა. ზოგად შემთხვევაში მის ამოსახსნელად საჭიროა მათემატიკური ანალიზის ყველა საშუალების ჩართვა.

(1) განტოლების მინიმუმ ერთი ფესვის აღმოჩენილ ინტერვალზე არსებობა გამომდინარეობს ბოლზანოს მდგომარეობიდან:

f(a)*f(b)<0 (2)

ასევე ვარაუდობენ, რომ f(x) ფუნქცია უწყვეტია მოცემულ ინტერვალზე. თუმცა, ეს პირობა არ პასუხობს კითხვას მოცემულ ინტერვალზე განტოლების ფესვების რაოდენობის შესახებ. თუ ფუნქციის უწყვეტობის მოთხოვნას დაემატება მისი მონოტონურობის მოთხოვნა და ეს გამომდინარეობს პირველი წარმოებულის ნიშან-მუდმივობისგან, მაშინ შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ მოცემულ სეგმენტზე უნიკალური ფესვი არსებობს.

ფესვების ლოკალიზაციისას ასევე მნიშვნელოვანია ამ ტიპის განტოლების ძირითადი თვისებების ცოდნა. მაგალითად, გაიხსენეთ ალგებრული განტოლებების ზოგიერთი თვისება:

სად არის რეალური კოეფიციენტები.

ა) n ხარისხის განტოლებას აქვს n ფესვი, რომელთა შორის შეიძლება იყოს როგორც რეალური, ასევე რთული. რთული ფესვები ქმნიან რთულ კონიუგატ წყვილებს და, შესაბამისად, განტოლებას აქვს ასეთი ფესვების ლუწი რაოდენობა. n-ის კენტი მნიშვნელობისთვის არის მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი.
ბ) დადებითი რეალური ფესვების რაოდენობა ნაკლებია ან ტოლია კოეფიციენტთა თანმიმდევრობის ცვლადი ნიშნების რაოდენობაზე. (3) განტოლებაში x -x-ით ჩანაცვლება საშუალებას გაძლევთ ანალოგიურად შეაფასოთ უარყოფითი ფესვების რაოდენობა.

(1) განტოლების ამოხსნის მეორე ეტაპზე, მიღებული საწყისი მიახლოების გამოყენებით, აგებულია განმეორებითი პროცესი, რომელიც შესაძლებელს ხდის ფესვის მნიშვნელობის დახვეწას გარკვეული წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით. განმეორებითი პროცესი შედგება საწყისი დაახლოების თანმიმდევრული დახვეწისგან. ყოველ ასეთ ნაბიჯს გამეორება ეწოდება. განმეორების პროცესის შედეგად, ნაპოვნია განტოლების ფესვების სავარაუდო მნიშვნელობების თანმიმდევრობა. თუ ეს თანმიმდევრობა უახლოვდება x ფესვის ნამდვილ მნიშვნელობას, როგორც n იზრდება, მაშინ განმეორებითი პროცესი იყრის თავს. ითვლება, რომ განმეორებითი პროცესი ემთხვევა მინიმუმ m-ს ბრძანებას, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

სადაც С>0 არის რაღაც მუდმივი. თუ m=1, მაშინ საუბარია პირველი რიგის კონვერგენციაზე; m=2 - დაახლოებით კვადრატული, m=3 - კუბური კონვერგენციის შესახებ.

განმეორებითი ციკლები მთავრდება, თუ მოცემული დასაშვები შეცდომისთვის დაკმაყოფილებულია აბსოლუტური ან ფარდობითი გადახრების კრიტერიუმები:

ან ნარჩენის სიმცირე:

ეს ნაშრომი ეძღვნება ნიუტონის მეთოდით არაწრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის შესწავლას.

არაწრფივი განტოლებების ამოხსნის მრავალი განსხვავებული მეთოდი არსებობს, ზოგიერთი მათგანი ქვემოთ მოცემულია:

1)გამეორების მეთოდი. არაწრფივი განტოლების იტერაციით ამოხსნისას ვიყენებთ განტოლებას x=f(x) სახით. არგუმენტი x 0 და სიზუსტე e დაყენებულია. x 1 ამოხსნის პირველი მიახლოება გვხვდება x 1 \u003d f (x 0), მეორე - x 2 \u003d f (x 1) და ა.შ. ზოგად შემთხვევაში, i+1 მიახლოება გვხვდება ფორმულით xi+1 =f(xi). ამ პროცედურას ვიმეორებთ სანამ |f(xi)|>e. გამეორების მეთოდის კონვერგენციის პირობა |f"(x)|
2)ნიუტონის მეთოდი. ნიუტონის მეთოდით არაწრფივი განტოლების ამოხსნისას დგინდება x 0 არგუმენტის საწყისი მნიშვნელობა და e სიზუსტე, შემდეგ წერტილში (x 0, F (x 0)) ვხატავთ ტანგენტს გრაფიკზე F (x). ) და დაადგინეთ ტანგენსის გადაკვეთის წერტილი აბსცისის ღერძთან x 1. წერტილში (x 1, F (x 1)) კვლავ ვაშენებთ ტანგენტს, ვპოულობთ სასურველი ამოხსნის შემდეგ მიახლოებას x 2 და ა.შ. ამ პროცედურას ვიმეორებთ სანამ |F(xi)| > ე) აბსცისის ღერძთან ტანგენტის (i + 1) გადაკვეთის წერტილის დასადგენად ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას.

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

ტანგენტის მეთოდის კონვერგენციის პირობა F(x 0) F""(x)>0 და ა.შ.

3). დიქოტომიის მეთოდი.ამოხსნის ტექნიკა მცირდება საწყისი გაურკვევლობის ინტერვალის თანდათანობით გაყოფამდე ფორმულის მიხედვით

C-დან \u003d a-დან +-მდე / 2-მდე.

იმისთვის, რომ ორი მიღებული სეგმენტიდან ავირჩიოთ აუცილებელი, აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მიღებული სეგმენტების ბოლოებში და განვიხილოთ ის, რომელზედაც ფუნქცია შეცვლის თავის ნიშანს, ანუ პირობა f ( a k) * f (k-ში)<0.

სეგმენტის გაყოფის პროცესი ტარდება მანამ, სანამ მიმდინარე გაურკვევლობის ინტერვალის სიგრძე არ იქნება მითითებულ სიზუსტეზე ნაკლები, ანუ k - a k-ში.< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). აკორდის მეთოდი. მეთოდის იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ აკორდი აგებულია იმ სეგმენტზე, რომელიც იკუმშება y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის რკალის ბოლოებს, ხოლო c წერტილი, აკორდის გადაკვეთა აბსცისის ღერძთან. , ითვლება ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობად

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

შემდეგი მიახლოება მოიძებნება ინტერვალზე ან ფუნქციის მნიშვნელობების ნიშნებიდან გამომდინარე a,b,c წერტილებში.

x* O თუ f(c) H f(a) > 0 ;

x* O თუ f(c) x f(b)< 0 .

თუ f "(x) არ ცვლის ნიშანს , მაშინ აღვნიშნავთ c \u003d x 1 და მივიღებთ a ან b საწყის მიახლოებას, მივიღებთ აკორდის მეთოდის განმეორებით ფორმულებს ფიქსირებული მარჯვენა ან მარცხენა წერტილით.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), ერთად f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), f "(x) H f "(x)< 0 .

აკორდის მეთოდის კონვერგენცია წრფივია

ალგებრული და ტრანსცენდენტული განტოლებები. ფესვების ლოკალიზაციის მეთოდები.

არაწრფივი განტოლების ყველაზე ზოგადი ფორმა:

f(x)=0 (2.1)

სად არის ფუნქცია f(x)არის განსაზღვრული და უწყვეტი სასრულ ან უსასრულო ინტერვალზე [a, b].

განმარტება 2.1. ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც აბრუნებს ფუნქციას f(x)ნულამდე ეწოდება (2.1) განტოლების ფესვი.

განმარტება 2.2. რიცხვს ეწოდება k-ე სიმრავლის ფესვი, თუ ფუნქციასთან ერთად f(x)მისი წარმოებულები (k-1) რიგის ჩათვლით ნულის ტოლია:

განმარტება 2.3. ერთ ფესვს მარტივი ფესვი ეწოდება.

არაწრფივი განტოლებები ერთი ცვლადით იყოფა ალგებრულ და ტრანსცენდენტურად.

განმარტება 2.4 . განტოლებას (2.1) ეწოდება ალგებრული, თუ ფუნქცია F(x) ალგებრულია.

ალგებრული გარდაქმნებით, ნებისმიერი ალგებრული განტოლებიდან, შეიძლება მივიღოთ განტოლება კანონიკური ფორმით:

სადაც არის განტოლების რეალური კოეფიციენტები, x არის უცნობი.

ალგებრიდან ცნობილია, რომ ყველა ალგებრულ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ან ორი რთული კონიუგირებული ფესვი.

განმარტება 2.5. განტოლებას (2.1) ეწოდება ტრანსცენდენტული, თუ ფუნქცია F(x) არ არის ალგებრული.

განტოლების (2.1) ამოხსნა ნიშნავს:

1. დაადგინეთ აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები.
2. დაადგინეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა.
3. იპოვეთ განტოლების ფესვების მნიშვნელობები მოცემული სიზუსტით.

განტოლებები, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში, არ შეიძლება ამოხსნას ანალიტიკური მეთოდებით. ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება რიცხვითი მეთოდები.

რიცხვითი მეთოდის გამოყენებით განტოლების ფესვის პოვნის ალგორითმი შედგება ორი ეტაპისგან:

1) დეპარტამენტიან ლოკალიზაციაფესვი, ე.ი. ინტერვალის დაყენება, რომელიც შეიცავს ერთ ფესვს:
2) დაზუსტებაფესვის მნიშვნელობები თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდით.

ფესვების ლოკალიზაციის მეთოდები. ფესვების გამოყოფის ალგორითმის თეორიული საფუძველია ქოშის თეორემა უწყვეტი ფუნქციის შუალედური მნიშვნელობების შესახებ.

თეორემა 2.1. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a, b] და f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, მაშინ ნებისმიერი C წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს A და B შორის, არის წერტილი, რომელიც.

შედეგი. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a, b] და იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს მის ბოლოებზე, მაშინ ამ სეგმენტზე არის f (x) განტოლების მინიმუმ ერთი ფესვი. \u003d 0.

მოდით, ფუნქციის განსაზღვრისა და უწყვეტობის დომენი იყოს სასრული სეგმენტი [ა, ბ]. დაყავით სეგმენტი ნნაწილები:,

წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობების თანმიმდევრულად გაანგარიშებით, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ სეგმენტებს, რომლებისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია:

იმათ. , ან, . ეს სეგმენტები შეიცავს მინიმუმ ერთ ფესვს.

თეორემა 2.2. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

ფესვების გამოსაყოფად, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფუნქციის გრაფიკი ზე= ვ (X).(2.1) განტოლების ფესვები არის ეს მნიშვნელობები X,რომელზეც y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს x ღერძს. ფუნქციის გრაფიკის აგება, თუნდაც დაბალი სიზუსტით, ჩვეულებრივ იძლევა წარმოდგენას განტოლების ფესვების ადგილმდებარეობის შესახებ (2.1). თუ y \u003d f (x) ფუნქციის დახატვა იწვევს სირთულეს, მაშინ ორიგინალური განტოლება (2.1) უნდა გადაკეთდეს ფორმაში c1(x)= c2(x)ისე რომ ფუნქციების გრაფიკები ზე= c1(x)და ზე= c2(x)საკმაოდ მარტივი იყო. ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები იქნება (2.1) განტოლების ფესვები.

მაგალითი 1გამოყავით x 2 -2cosx=0 განტოლების ფესვები.

გამოსავალი. განვიხილოთ ფესვების გამოყოფის ორი გზა.

ა) გრაფიკული გზა. გადავიწეროთ განტოლება x 2 =2cosx სახით და ავაგოთ y=x 2 და y=2cosx ფუნქციების გრაფიკი იმავე კოორდინატულ სისტემაში (სურათი 5). ვინაიდან ეს გრაფიკები იკვეთება ორ წერტილზე, განტოლებას აქვს ორი ფესვი, რომლებიც სიმეტრიულად მდებარეობს საწყისის მიმართ ინტერვალებზე (-/2; 0) და (0; /2).
ბ) ანალიტიკური მეთოდი. დაე f(x)= x 2 -2cosx. იმიტომ რომ f(x)არის ლუწი ფუნქცია, საკმარისია მხოლოდ x-ის არაუარყოფითი მნიშვნელობების გათვალისწინება. 2cosx2 უტოლობის გამო

წარმოებული f"(x)=2 (x+sinx). ინტერვალზე (0; /2) f"(x)>0, შესაბამისად, f(x)აქ მონოტონურად იზრდება და მის გრაფიკს შეუძლია ღერძის გადაკვეთა Xარაუმეტეს ერთი ქულისა. შეამჩნია, რომ f(0)=- 2<0, аვ(/2)=(/2) 2>0. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ერთი დადებითი ფესვი, რომელიც დევს ინტერვალზე (0; /2). ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, განტოლებას ასევე აქვს ერთი უარყოფითი ფესვი, სიმეტრიული დადებითის მიმართ. ახლა გადავიდეთ ფესვის დახვეწაზე. ფესვის დახვეწის კომბინირებული მეთოდის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ f ""(x) on (0; /2) ინარჩუნებს ნიშანს და აირჩიეთ ფესვის საწყისი მიახლოება ტანგენტის მეთოდის გამოსაყენებლად. ის უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას: f(x)f ""(x)>0. იმიტომ რომ f ""(x)=2(1+cosx) დადებითია ზე, მაშინ /2 შეიძლება მივიღოთ როგორც ფესვის საწყისი მიახლოება ტანგენტის მეთოდში. აქედან გამომდინარე, შეიძლება დააყენოს x=/21,570796, x 1 =0 (იხ. ალგორითმის დიაგრამა). ჩვენს შემთხვევაში, აკორდის მეთოდი მისცემს ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობას ნაკლოვანებით, ხოლო ტანგენტის მეთოდი - ჭარბი რაოდენობით.

განვიხილოთ ფესვის დახვეწის ერთი განმეორებითი ნაბიჯი. გამოთვალეთ მნიშვნელობები f(0), f(/2), ვ"(/2). ახალი ღირებულებები x 1 და xიპოვეთ, შესაბამისად, ფორმულებით:

|x-x 1 |=0.387680.4>10 -4 =.

მითითებული სიზუსტე არ არის მიღწეული და გამოთვლები უნდა გაგრძელდეს.

მაშასადამე, ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა საჭირო სიზუსტით სამი გამეორების შედეგად იქნა ნაპოვნი და დაახლოებით უდრის 1,0217-ს.

ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიის გამო f(x)მეორე ფესვის ღირებულება დაახლოებით -1,0217-ის ტოლია.

ფესვის გარკვევა.

პრობლემის ფორმულირება . დავუშვათ, რომ (2.1) განტოლების სასურველი ფესვი გამოყოფილია, ე.ი. სეგმენტი [ა; b], რომელსაც აქვს განტოლების ერთი და მხოლოდ ერთი ფესვი. ამ სეგმენტის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება მივიღოთ ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობად. ამ მიახლოების შეცდომა არ აღემატება სიგრძეს [ა; ბ].შესაბამისად, მოცემული სიზუსტით ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნის პრობლემა მცირდება სეგმენტის პოვნამდე [a; ბ] (ბ - ა<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей ფესვების დახვეწა.

რიცხვითი მეთოდების აღწერა. რიცხვითი მეთოდები შესაძლებელს ხდის გარკვეული პრობლემების გადაწყვეტის პოვნას, წინასწარ იცის, რომ მიღებული შედეგები გამოითვლება გარკვეული შეცდომით, ამიტომ, მრავალი რიცხვითი მეთოდისთვის აუცილებელია წინასწარ ვიცოდეთ "სიზუსტის დონე", რომელიც მიღებულია გამოსავალი შეესაბამება.

ამასთან დაკავშირებით, (3.1) ფორმის მრავალწევრის ფესვების პოვნის პრობლემა.

განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს, რადგან თუნდაც კუბური განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულები საკმაოდ რთულია. თუ საჭიროა იმ მრავალწევრის ფესვების პოვნა, რომლის ხარისხიც არის, მაგალითად, 5, მაშინ არ შეიძლება რიცხვითი მეთოდების დახმარების გარეშე, მით უმეტეს, რომ ალბათობა, რომ ასეთ მრავალწევრს ჰქონდეს ბუნებრივი (ან მთელი რიცხვი, ან ზუსტი ფესვები). "მოკლე" წილადი ნაწილი) საკმაოდ მცირეა და არ არსებობს ფორმულები 4-ზე მეტი ხარისხის განტოლების ფესვების საპოვნელად. დე ფაქტო, ყველა შემდგომი ოპერაცია შემცირდება ფესვების გარკვევა, რომლის ინტერვალებიც წინასწარ არის დაახლოებით ცნობილი. ამ „დაახლოებითი“ ფესვების პოვნის ყველაზე მარტივი გზა გრაფიკული მეთოდების გამოყენებაა.

მრავალწევრის ფესვების საპოვნელად არსებობს რამდენიმე რიცხვითი მეთოდი: გამეორების მეთოდი, აკორდების და ტანგენტების მეთოდი, ნახევრად გაყოფის მეთოდი, სეკანტური მეთოდი.

ბისექციის მეთოდი(ასევე ცნობილია როგორც „სეგმენტის ნახევრად გაყოფის მეთოდი“) ასევე რეკურსიულია, ე.ი. ითვალისწინებს გამეორებას მიღებული შედეგების გათვალისწინებით.

ნახევრად გაყოფის მეთოდის არსი შემდეგია:

- მოცემულია F(x) ფუნქცია;
- დადგენილია დასაშვები შეცდომა Q;
- განსაზღვრულია გარკვეული ინტერვალი [a, b], რომელიც ზუსტად შეიცავს განტოლების ამონახს.

1) ჩვენ ვიანგარიშებთ E კოორდინატის მნიშვნელობას, ავიღებთ სეგმენტის შუას, ე.ი.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

2) გამოთვალეთ F(a), F(b), F(E) მნიშვნელობები და შეასრულეთ შემდეგი შემოწმება: თუ F(E)>Q, მაშინ ფესვი ნაპოვნია მითითებული სიზუსტით. თუ F(E)
3) გადადით 1 პუნქტზე.

მარტივი გამეორებების მეთოდი (თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი). ჩვენ ვცვლით განტოლებას (2.1) ეკვივალენტური განტოლებით

x=(x) (3.3)

შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით, მაგალითად

x=x+cf(x), c0. (3.4)

დავუშვათ, რომ არჩეულია (3.3) განტოლების ფესვის საწყისი მიახლოება. ჩვენ განვსაზღვრავთ რიცხვით მიმდევრობას ფორმულებით

X n+1 =(x ნ ), n=0,1,2,… (3.5)

ასეთ თანმიმდევრობას იტერატიული ეწოდება.

თუ სეგმენტზე, რომელიც შეიცავს x 0 და ყველა მომდევნო მიახლოებას x n , nN, ფუნქციას (x) აქვს უწყვეტი წარმოებული "(x) და |"(x)|q.<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

კერძოდ, ამ უთანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ მარტივი გამეორების მეთოდის კონვერგენციის სიჩქარე დამოკიდებულია q მნიშვნელობაზე: რაც უფრო მცირეა q, მით უფრო სწრაფია კონვერგენცია.

ამიტომ, პრაქტიკაში, მარტივი გამეორების მეთოდით ფესვების პოვნისას, სასურველია (2.1) განტოლება (3.3) სახით წარმოვადგინოთ ისე, რომ წარმოებული "(x) ფესვის სამეზობლოში იყოს შესაძლებელი. აბსოლუტური მნიშვნელობით უფრო მცირეა, ამისთვის ზოგჯერ გამოიყენება ფორმულიდან c პარამეტრი (3.4).

ნიუტონის მეთოდი (ტანგენტის მეთოდი). თუ ცნობილია საკმარისად კარგი საწყისი მიახლოება, რომლისთვისაც მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

მაშინ შეგიძლიათ გამოთვალოთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ნიუტონის ფორმულით

როგორც საწყისი მიახლოება, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტერვალის საზღვრები და:

თუ ჩართულია.

ამ მეთოდის ყოველი გამეორებისას, გამოთვლების რაოდენობა უფრო მეტია, ვიდრე ბისექციისა და გამეორების მეთოდებში, რადგან საჭიროა არა მხოლოდ ფუნქციის მნიშვნელობის, არამედ მისი წარმოებულის პოვნა. თუმცა ნიუტონის მეთოდის კონვერგენციის მაჩვენებელი გაცილებით მაღალია.

თეორემა. მოდით იყოს განტოლების ფესვი, ე.ი. და არის უწყვეტი. შემდეგ არის ფესვის მეზობლობა ისეთი, რომ თუ საწყისი მიახლოება ეკუთვნის ამ მეზობელს, მაშინ ნიუტონის მეთოდისთვის მნიშვნელობების თანმიმდევრობა კონვერგირდება. ფესვის მიახლოების შეცდომა შეიძლება შეფასდეს ფორმულით:

სადაც არის მეორე წარმოებულის მოდულის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე, არის პირველი წარმოებულის მოდულის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

შეჩერების წესი:

აკორდების და ტანგენტების მეთოდი (კომბინირებული). ეს მეთოდი ეფუძნება ფუნქციის სქემატური გრაფიკის აგებას, აბსცისის ღერძთან მისი გადაკვეთის ინტერვალების განსაზღვრას და შემდეგ ამ ინტერვალის „შეკუმშვას“ ამ ფუნქციის აკორდებისა და ტანგენტების გამოყენებით.

აღსანიშნავია, რომ ცალ-ცალკე არსებობს აკორდების მეთოდი (აძლევს ფესვის მნიშვნელობას ნაკლოვანებით) და ტანგენტების მეთოდი (ჭარბი რაოდენობით). ამასთან, კომბინირებული მეთოდის უპირატესობა მდგომარეობს განხილული სეგმენტის "ორმხრივ შეკუმშვაში".

განვიხილოთ შემდეგი შემთხვევა:

- მოცემულია F(x) ფუნქცია და აგებულია მისი გრაფიკი;
- დადგენილია დასაშვები შეცდომა Q
- გრაფიკის საფუძველზე განისაზღვრება სეგმენტი, რომელზედაც ფუნქციის გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს, შესაბამისად, ამ სეგმენტზე არის განსახილველი მრავალწევრის ფესვი (მას აღვნიშნავთ A-ით)

შემდგომი ალგორითმი მცირდება შემდეგ მოქმედებებამდე:

1) ჩვენ ვაშენებთ ტანგენტს ფუნქციის გრაფიკზე F(b) წერტილში.
2) გამოვთვლით ტანგენსის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის x-კოორდინატს (3.9) ფორმულის მიხედვით და აღვნიშნავთ მას b "-ით.
3) F(a) და F(b) წერტილებში გამავალი ფუნქციის გრაფიკის აკორდს ვაშენებთ.
4) აკორდის გადაკვეთის წერტილს აბსცისის ღერძთან (2) ფორმულის მიხედვით ვიანგარიშებთ და აღვნიშნავთ ა“-ით.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ სეგმენტს, რომელიც (აკორდის და ტანგენტის განმარტებების მიხედვით) კვლავ შეიცავს A განტოლების ამონახს.

ახლა ჩვენ ვიღებთ სეგმენტს ახალ სეგმენტად და ვიმეორებთ 1-4 საფეხურებს, სანამ სხვაობა F(b)-F(a) არ გახდება ნაკლები თავდაპირველად ჩაშენებულ შეცდომაზე Q. ასევე აღვნიშნავთ, რომ ამის შემდეგ რეკომენდებულია საშუალო არითმეტიკულის აღება. F, როგორც სასურველი გამოსავალი (a) და F (b).

ამრიგად, თუ აკორდი (ტანგენსი) იძლევა ფესვის მნიშვნელობას ჭარბით, მაშინ ეს ფესვი აღებულია როგორც ახალი მარჯვენა საზღვარი, ხოლო თუ ნაკლოვანებით, მაშინ მარცხენა. ორივე შემთხვევაში ზუსტი ფესვი დევს აკორდის გადაკვეთის წერტილებსა და აბსცისის ღერძთან ტანგენტს შორის.

შენიშვნები აკორდების და ტანგენტების მეთოდზე.ვინაიდან პრობლემის გადაჭრა მოითხოვს F(x) ფუნქციის წარმოებულის პოვნას, აკორდების და ტანგენტების მეთოდი საკმაოდ რთულია პროგრამის დონეზე განსახორციელებელი, რადგან ზოგადი ფორმით წარმოებულების გამოთვლის წესები საკმაოდ რთულია კომპიუტერის "გაგებისთვის"; პოლინომის თითოეული ხარისხის წარმოებულის პირდაპირ მითითებისას, კომპიუტერის მეხსიერება სერიოზულად იტვირთება, რაც მნიშვნელოვნად ანელებს მუშაობას და ფუნქციის და, შესაბამისად, მისი წარმოებულის პირდაპირ პროგრამის კოდში დაყენება მიუღებელია. თუმცა, ამ მეთოდის გამოყენებით, ინტერვალის დაახლოება ფესვთან ყველაზე სწრაფად ხდება, განსაკუთრებით თუ აკორდების და ტანგენტების მეთოდი შერწყმულია ბისექციის მეთოდთან, რადგან ახალი სეგმენტის შუა ნაწილი ხშირად იძლევა სრულიად დამაკმაყოფილებელ გადაწყვეტას.

სეკანტური მეთოდი. სეკანტური მეთოდის მიღება შესაძლებელია ნიუტონის მეთოდიდან წარმოებულის მიახლოებითი გამოსახულებით - განსხვავების ფორმულით ჩანაცვლებით:

ფორმულა (3.8) იყენებს ორ წინა მიახლოებას u. ამიტომ, მოცემული საწყისი მნიშვნელობისთვის, აუცილებელია შემდეგი მიახლოების გამოთვლა, მაგალითად, ნიუტონის მეთოდით წარმოებულის სავარაუდო ჩანაცვლებით ფორმულით.

სექციური მეთოდის ალგორითმი:

1) მოცემულია საწყისი მნიშვნელობა და შეცდომა. გამოთვლა

2) ამისთვის ნ= 1,2, ….. სანამ პირობა დაკმაყოფილებულია, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფორმულით (3.8).

პრობლემის ფორმულირება

ფესვების გამოყოფა

ფესვების დახვეწა

1.2.3.2. გამეორების მეთოდი

1.2.3.4. აკორდის მეთოდი

პრობლემის ფორმულირება

ალგებრული განტოლებები

( 1.2.1-1)

ტრანსცენდენტული განტოლება

(1.2.1-2)

ფესვების განმეორებითი დახვეწა.

ფესვების გამოყოფის ეტაპზე მოგვარებულია ყველაზე ვიწრო შესაძლო სეგმენტების პოვნის პრობლემა, რომელიც შეიცავს განტოლების ერთ და მხოლოდ ერთ ფესვს.

ფესვის დახვეწის ნაბიჯი მიზნად ისახავს ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოთვლას მოცემული სიზუსტით. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ფესვთან თანმიმდევრული მიახლოებების გამოთვლის განმეორებითი მეთოდები: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., რომლებშიც ყოველი მომდევნო მიახლოება x n+1 გამოითვლება წინა x n-ზე დაყრდნობით. თითოეულ ნაბიჯს ეწოდება გამეორება. თუ თანმიმდევრობას x 0 , x 1 , ..., x n , … რადგან n ® ¥ აქვს ფესვის მნიშვნელობის ტოლი ლიმიტი, მაშინ ამბობენ, რომ იტერაციული პროცესი ემთხვევა.

ფესვების გამოყოფისა და დახვეწის სხვადასხვა ხერხი არსებობს, რასაც ქვემოთ განვიხილავთ.

ფესვების გამოყოფა

f(x)=0 განტოლების ფესვი განცალკევებულად ითვლება სეგმენტზე, თუ ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს ამ სეგმენტზე. განტოლების ფესვების გამოსაყოფად აუცილებელია f(x) ფუნქციის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის დაყოფა საკმაოდ ვიწრო სეგმენტებად, რომელთაგან თითოეული შეიცავს მხოლოდ ერთ ფესვს. არსებობს გრაფიკულიდა ანალიტიკურიფესვების გამოყოფის მეთოდები.

ფესვების დახვეწა

სეგმენტით გამოყოფილი განტოლების ფესვის სიზუსტით დახვეწის ამოცანაა ფესვის ისეთი სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნა, რომლისთვისაც არის უტოლობა . თუ განტოლებას აქვს არა ერთი, არამედ რამდენიმე ფესვი, მაშინ დახვეწის ეტაპი ტარდება თითოეული გამოყოფილი ფესვისთვის.

ნახევრად გაყოფის მეთოდი

გამოვყოთ f(x)=0 განტოლების ფესვი სეგმენტზე, ანუ ამ სეგმენტზე არის ერთი ფესვი და ამ სეგმენტზე ფუნქცია უწყვეტია.

ბისექციის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ჩადგმული სეგმენტების თანმიმდევრობა , , …,,…, ისეთი, რომ f(a i).f(b i)< 0 , სადაც i=1,2,…,n და ყოველი მომდევნო სეგმენტის სიგრძე წინა სეგმენტის სიგრძის ნახევარია:

სეგმენტის თანმიმდევრული შევიწროება ფესვის უცნობი მნიშვნელობის გარშემო უზრუნველყოფს შესრულებას გარკვეულ ეტაპზე ნუტოლობები |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

შეიძლება იქნას მიღებული როგორც ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა, მაგალითად, მისი შუა წერტილი

ბისექციის მეთოდით, გამეორებიდან გამეორებამდე, საწყისი სეგმენტის სიგრძე მუდმივად მცირდება ნახევარით (ნახ. 1.2.3-1). ამრიგად, მე-n საფეხურზე მოქმედებს შედეგის შეცდომის შემდეგი შეფასება:

( 1.2.3-1)

სად არის ფესვის ზუსტი მნიშვნელობა, x n н არის ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა n-ე საფეხურზე.

შედარების შედეგად მიღებული შეცდომის შეფასება მოცემულ სიზუსტესთან, შეგვიძლია შევაფასოთ ნაბიჯების საჭირო რაოდენობა:

(1.2.3-2)

ფორმულიდან ჩანს, რომ მნიშვნელობის შემცირება ე(სიზუსტის ზრდა) იწვევს გამოთვლების რაოდენობის მნიშვნელოვან ზრდას, ამიტომ პრაქტიკაში ფესვის შედარებით უხეში აღმოჩენისთვის გამოიყენება ნახევრად გაყოფის მეთოდი და მისი შემდგომი დახვეწა ხორციელდება სხვა, უფრო ეფექტური მეთოდების გამოყენებით. .

ბრინჯი. 1.2.3-2. ბისექციის მეთოდის ალგორითმის სქემა

ბისექციის ალგორითმის სქემა ნაჩვენებია ნახ. 1.2.3-2. ზემოთ მოყვანილი ალგორითმი ვარაუდობს, რომ f(x) განტოლების მარცხენა მხარე შექმნილია როგორც პროგრამული მოდული.

მაგალითი 1.2.3-1. მიუთითეთ x 3 +x-1=0 განტოლების ფესვი =0,1 სიზუსტით, რომელიც ლოკალიზებულია სეგმენტზე.

შედეგები მოხერხებულად არის წარმოდგენილი ცხრილის 1.2.3-3 გამოყენებით.

ცხრილი 1.2.3-3

კ	ა	ბ	ვ(ა)	ვ(ბ)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	კ	ბ კ
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

მეოთხე გამეორების შემდეგ სეგმენტის სიგრძე |b 4 -a 4 | = |0,688-0,625| = 0.063 გახდა მნიშვნელობაზე ნაკლები ე, შესაბამისად, ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობისთვის, შეგიძლიათ აიღოთ ამ სეგმენტის შუა რიცხვის მნიშვნელობა: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0.656 .

f(x) ფუნქციის მნიშვნელობა x = 0,656 წერტილში არის f(0,656) = -0,062 .

გამეორების მეთოდი

გამეორების მეთოდი გულისხმობს f(x)=0 განტოლების ჩანაცვლებას ექვივალენტური განტოლებით x=j(x). თუ განტოლების ფესვი გამოყოფილია სეგმენტზე, მაშინ საწყისი მიახლოების საფუძველზე x 0 н,შეგიძლიათ მიიღოთ მიახლოებების თანმიმდევრობა ფესვთან

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

სადაც j(x) ფუნქციას ეწოდება განმეორებითი ფუნქცია.

მარტივი გამეორების მეთოდის კონვერგენციის პირობა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

ნება ფესვი X* განტოლებები x=j(x) სეგმენტზე გამოყოფილიდა ააგო მიახლოებათა თანმიმდევრობა წესის მიხედვით x n \u003d j (x n -1) . მაშინ თუ მიმდევრობის ყველა წევრი x n =j(x n -1) н და არის ასეთი q(0 რომ ყველასთვის x О შესრულებული|j'(x)| = q<1, მაშინ ეს თანმიმდევრობა კონვერგენტულია და მიმდევრობის ზღვარი არის ფესვის მნიშვნელობა x* , ე.ი. გამეორების პროცესი თავდაპირველი მიახლოების მიუხედავად, გადადის განტოლების ფესვთან.

ამრიგად, თუ გამეორების მეთოდის კონვერგენციის პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ თანმიმდევრობა x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, მიღებული ფორმულის გამოყენებით x n +1 = j(x n ), ემთხვევა ფესვის ზუსტ მნიშვნელობას:

პირობა j(x)н xн-სთვის ნიშნავს, რომ ყველა მიახლოება x 1 , x 2 , …, x n ,…, მიღებული იტერატიული ფორმულით, უნდა ეკუთვნოდეს იმ სეგმენტს, სადაც ფესვი გამოყოფილია.

გამეორების მეთოდის შეცდომის შესაფასებლად პირობა

თითო რიცხვზე ქშეუძლია მიიღოს უდიდესი მნიშვნელობა |j"(x)| , და გამეორებების პროცესი უნდა გაგრძელდეს უთანასწორობამდე

(1.2.3-5)

პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება შეცდომების შეფასების გამარტივებული ფორმულა. მაგალითად, თუ 0

|x n -1 - x n | £ .

განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით x n +1 = j(x n) საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განტოლების ფესვის მნიშვნელობა f(x)=0 ნებისმიერი ხარისხის სიზუსტით. .

გამეორების მეთოდის გეომეტრიული ილუსტრაცია. X0Y სიბრტყეზე გამოვსახავთ y=x და y=j(x) ფუნქციების გრაფიკებს. ). x=j(x) განტოლების ფესვი არის y = j(x) ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსციზა. ) და პირდაპირი y=x. ავიღოთ საწყისი მიახლოება x 0 н. მრუდზე y \u003d j (x) ის შეესაბამება A წერტილს 0 \u003d j (x 0). შემდეგი მიახლოების საპოვნელად, A 0 წერტილის გავლით დახაზეთ სწორი ჰორიზონტალური ხაზი y \u003d x სწორი ხაზის კვეთამდე (წერტილი B 1) და ჩამოწიეთ პერპენდიკულარული კვეთაზე მრუდით (წერტილი A 1), ანუ, x 1 \u003d j (x 0) . ანალოგიურად ვაგრძელებთ მშენებლობას, გვაქვს გატეხილი ხაზი A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., რომლისთვისაც წერტილების საერთო აბსციები წარმოადგენს თანმიმდევრულ მიახლოებას x 1, x 2, . .., x n („კიბე“) X* ძირამდე. ნახ. 1.2.3-3a ჩანს, რომ პროცესი კონვერგირდება განტოლების ფესვთან.

განვიხილოთ მრუდის სხვა ფორმა y = j(x) (ნახ. 1.2.6b). ამ შემთხვევაში გაწყვეტილ ხაზს A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... აქვს „სპირალის“ ფორმა. თუმცა ამ შემთხვევაში კონვერგენციაც შეინიშნება.

ადვილი მისახვედრია, რომ პირველ შემთხვევაში წარმოებული აკმაყოფილებს 0 პირობას< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-ერთი. ამრიგად, აშკარაა, რომ თუ |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც |j'(x) |> 1. ნახ. 1.2.3-4a გვიჩვენებს შემთხვევას, როდესაც j'(x)>1 და ნახ. 1.2.3-4b - როდესაც j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

გამეორების პროცესის კონვერგენციის გაუმჯობესების გზები. განვიხილოთ j(x) ფუნქციის წარმოდგენის ორი ვარიანტი f(x) განტოლებიდან x=j(x)-ზე გადასვლისას.

1. დაე, ფუნქცია j(x) იყოს დიფერენცირებადი და ერთფეროვანი ფესვის უბნებში, და იყოს რიცხვი k £ |j‘(x)|, სადაც k ³ 1 (ანუ პროცესი განსხვავდება). ჩავანაცვლოთ x=j(x) განტოლება მისი ეკვივალენტური განტოლებით x=Y(x ) , სად Y(x) = 1/j(x)(მოდით გადავიდეთ შებრუნებულ ფუნქციაზე). მერე

რაც ნიშნავს q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. ჩვენ წარმოვადგენთ j(x) ფუნქციას, როგორც j(x) = x - lf(x), სადაც l არის კოეფიციენტი , არ უდრის

ნული. პროცესის კონვერტაციისთვის აუცილებელია, რომ
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), სადაც m 1 და M 1 არის f'(x)-ის მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) хн-სთვის, ე.ი. 0 £ მ 1 £ ფ¢ (x) £ მ 1 £ 1. მერე

და პროცესი გადაიყრება, რეკურსიულ ფორმულას აქვს ფორმა

თუ f¢ (x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

პარამეტრი λ ასევე შეიძლება განისაზღვროს წესით:

თუ, მაშინ, და თუ, მაშინ, სად .

გამეორების მეთოდის ალგორითმის სქემა ნაჩვენებია ნახ. 1.2.3-5.

თავდაპირველი განტოლება f(x)=0 გარდაიქმნა გამეორებისთვის მოსახერხებელ ფორმაში: ორიგინალური განტოლების f(x) მარცხენა მხარე და ალგორითმში განმეორებითი ფუნქცია fi(x) შექმნილია როგორც ცალკეული პროგრამული მოდული.

ბრინჯი. 1.2.3-5. გამეორების მეთოდის ალგორითმის დიაგრამა

მაგალითი 1.2.3-2. დახვეწეთ 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 განტოლების ფესვი 0,1 სიზუსტით, რომელიც ლოკალიზებულია სეგმენტზე.

განტოლებას მივყავართ გამეორებისთვის მოსახერხებელ ფორმამდე:

მაშასადამე, განტოლების ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობისთვის ვიღებთ მნიშვნელობას x 3 =3,6892, რაც უზრუნველყოფს გამოთვლების საჭირო სიზუსტეს. ამ ეტაპზე f(x 3)=0.0027.

აკორდის მეთოდი

აკორდის მეთოდის გეომეტრიული ინტერპრეტაციაარის შემდეგი
(სურ.1.2.3-8).

დავხაზოთ სწორი ხაზი A და B წერტილების გავლით. შემდეგი მიახლოება x 1 არის აკორდის გადაკვეთის წერტილის აბსცისა 0x ღერძთან. ავაშენოთ სწორი ხაზის სეგმენტის განტოლება:

დავდოთ y = 0 და ვიპოვოთ მნიშვნელობა x = x 1 (სხვა მიახლოება):

ჩვენ ვიმეორებთ გამოთვლის პროცესს ფესვთან შემდეგი მიახლოების მისაღებად - x 2 :

ჩვენს შემთხვევაში (ნახ. 1.2.11) და აკორდის მეთოდის გამოთვლის ფორმულა ასე გამოიყურება.

ეს ფორმულა მოქმედებს, როდესაც b წერტილი მიიღება როგორც ფიქსირებული წერტილი და წერტილი a მოქმედებს როგორც საწყისი მიახლოება.

განვიხილოთ სხვა შემთხვევა (ნახ. 1.2.3-9), როდესაც .

ამ შემთხვევისთვის სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა

შემდეგი მიახლოება x 1 y = 0-ზე

შემდეგ ამ შემთხვევისთვის აკორდების მეთოდის რეკურსიულ ფორმულას აქვს ფორმა

უნდა აღინიშნოს, რომ აკორდების მეთოდის ფიქსირებული წერტილისთვის არჩეულია სეგმენტის ბოლო, რომლისთვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა f (x) ∙ f¢¢ (x)>0.

ამრიგად, თუ წერტილი a მიიღება ფიქსირებულ წერტილად , მაშინ x 0 = b მოქმედებს როგორც საწყისი მიახლოება და პირიქით.

საკმარისი პირობები, რომლებიც უზრუნველყოფენ f(x)=0 განტოლების ფესვის გამოთვლას აკორდების ფორმულით, იგივე იქნება, რაც ტანგენტის მეთოდისთვის (ნიუტონის მეთოდი), მაგრამ საწყისი მიახლოების ნაცვლად არჩეულია ფიქსირებული წერტილი. აკორდის მეთოდი ნიუტონის მეთოდის მოდიფიკაციაა. განსხვავება ისაა, რომ შემდეგი მიახლოება ნიუტონის მეთოდში არის ტანგენტის გადაკვეთის წერტილი 0X ღერძთან, ხოლო აკორდების მეთოდში - აკორდის გადაკვეთის წერტილი 0X ღერძთან - მიახლოებები ემთხვევა ფესვს. სხვადასხვა მხარეები.

აკორდის მეთოდის შეცდომის შეფასება განისაზღვრება გამოსახულებით

(1.2.3-15)

გამეორების პროცესის შეწყვეტის პირობა აკორდების მეთოდით

(1.2.3-16)

თუ M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ ე.

მაგალითი 1.2.3-4. მიუთითეთ განტოლების ფესვი e x - 3x = 0, გამოყოფილი სეგმენტზე 10 -4 სიზუსტით.

მოდით შევამოწმოთ კონვერგენციის მდგომარეობა:

მაშასადამე, ფიქსირებულ წერტილად უნდა აირჩეს a=0, ხოლო საწყის მიახლოებად უნდა იქნას მიღებული x 0 \u003d 1, რადგან f (0) \u003d 1> 0 და f (0) * f "(0)> 0 .

ფორმულის გამოყენებით მიღებული გაანგარიშების შედეგები
1.2.3-14 წარმოდგენილია ცხრილში 1.2.3-4.

ცხრილი 1.2.3-4

ბრინჯი. 1.2.3-10. აკორდის მეთოდის ალგორითმის სქემა

არაწრფივი განტოლება არის

1) ალგებრული ან ტრანსცენდენტული განტოლება

2) ალგებრული განტოლება

3) ტრიგონომეტრიული განტოლება

4) ტრანსცენდენტული განტოლება

თემა 1.2. არაწრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

პრობლემის ფორმულირება

ფესვების გამოყოფა

1.2.2.1. ფესვების გრაფიკული გამოყოფა

1.2.2.2. ფესვების ანალიტიკური ტოტი

ფესვების დახვეწა

1.2.3.1. ნახევრად გაყოფის მეთოდი

1.2.3.2. გამეორების მეთოდი

1.2.3.3. ნიუტონის მეთოდი (ტანგენტის მეთოდი)

1.2.3.4. აკორდის მეთოდი

1.2.3.5. არაწრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდების შედარება

1.2.4. სატესტო დავალებები თემაზე "არაწრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები"

პრობლემის ფორმულირება

მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი და ყველაზე გავრცელებული პრობლემაა განტოლების ფესვების განსაზღვრის პრობლემა ერთი უცნობით, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ზოგადი სახით, როგორც f(x) = 0. დამოკიდებულია f( ფუნქციის ფორმაზე. x), განასხვავებენ ალგებრულ და ტრანსცენდენტურ განტოლებებს. ალგებრული განტოლებებიეწოდება განტოლებები, რომლებშიც f(x) ფუნქციის მნიშვნელობა არის n-ე ხარისხის მრავალწევრი:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

ნებისმიერი არაალგებრული განტოლება ეწოდება ტრანსცენდენტული განტოლება. ფუნქცია f(x) ასეთ განტოლებებში არის მინიმუმ ერთ-ერთი შემდეგი ფუნქციიდან: ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული ან შებრუნებული ტრიგონომეტრიული.

განტოლების f (x) \u003d 0 ამონახსნი არის ფესვების ნაკრები, ანუ დამოუკიდებელი ცვლადის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლება იქცევა იდენტურობაში. თუმცა, ფესვების ზუსტი მნიშვნელობები შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ ანალიტიკურად ზოგიერთი ტიპის განტოლებისთვის. კერძოდ, ალგებრული განტოლების ამოხსნის გამოხატული ფორმულების მიღება შესაძლებელია მხოლოდ მეოთხე ხარისხის განტოლებისთვის. ტრანსცენდენტული განტოლებების ზუსტი ამოხსნის მისაღებად კიდევ უფრო ნაკლები შესაძლებლობა არსებობს. უნდა აღინიშნოს, რომ ფესვების ზუსტი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა ყოველთვის არ არის სწორი. ასე რომ, თუ განტოლების კოეფიციენტები სავარაუდო რიცხვებია, ფესვების გამოთვლილი მნიშვნელობების სიზუსტე, რა თქმა უნდა, არ შეიძლება აღემატებოდეს თავდაპირველი მონაცემების სიზუსტეს. ეს გარემოებები გვაიძულებს განვიხილოთ განტოლების ფესვების შეზღუდული სიზუსტით (დაახლოებითი ფესვების) პოვნის შესაძლებლობა.

მოცემული სიზუსტით (>0) განტოლების ფესვის პოვნის პრობლემა გადაჭრად ითვლება, თუ გამოითვლება სავარაუდო მნიშვნელობა, რომელიც განსხვავდება ფესვის ზუსტი მნიშვნელობიდან არაუმეტეს e მნიშვნელობით.

(1.2.1-2)

განტოლების სავარაუდო ფესვის პოვნის პროცესი შედგება ორი ეტაპისგან:

1) ფესვების გამოყოფა (ფესვების ლოკალიზაცია);

განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს უცნობ ფუნქციებს ერთზე მეტ სიმძლავრემდე, ეწოდება არაწრფივი.
მაგალითად, y=ax+b არის წრფივი განტოლება, x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 არის არაწრფივი (ზოგადად იწერება როგორც F(x)=0).

არაწრფივი განტოლებათა სისტემა არის რამდენიმე არაწრფივი განტოლების ერთდროული ამოხსნა ერთი ან მეტი ცვლადით.

ბევრი მეთოდი არსებობს არაწრფივი განტოლებების ამოხსნადა არაწრფივი განტოლებების სისტემები, რომლებიც ჩვეულებრივ იყოფა 3 ჯგუფად: რიცხვითი, გრაფიკული და ანალიტიკური. ანალიტიკური მეთოდები შესაძლებელს ხდის განტოლებების ამოხსნის ზუსტი მნიშვნელობების დადგენას. გრაფიკული მეთოდები ყველაზე ნაკლებად ზუსტია, მაგრამ კომპლექსურ განტოლებებში საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობები, საიდანაც მომავალში შეგიძლიათ დაიწყოთ განტოლებების უფრო ზუსტი გადაწყვეტილებების პოვნა. არაწრფივი განტოლებათა რიცხვითი ამოხსნა გულისხმობს ორი ეტაპის გავლას: ფესვის გამოყოფას და მის დახვეწას გარკვეული განსაზღვრული სიზუსტით.
ფესვების გამოყოფა ხორციელდება სხვადასხვა გზით: გრაფიკულად, სხვადასხვა სპეციალიზებული კომპიუტერული პროგრამების გამოყენებით და ა.შ.

განვიხილოთ ფესვების დახვეწის რამდენიმე მეთოდი კონკრეტული სიზუსტით.

გამეორების ნომერი

|x- x 1 |

ნახევრად გაყოფის მეთოდი.

ნახევრად გაყოფის მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ შუალედი გავყოთ შუაზე (с=(a+b)/2) და გავაცილოთ შუალედის ის ნაწილი, რომელშიც ფესვი არ არის, ე.ი. მდგომარეობა F(a)xF(b)

ნახ.1. ნახევრად გაყოფის მეთოდის გამოყენება არაწრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

განვიხილოთ მაგალითი.

სეგმენტი გავყოთ 2 ნაწილად: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5.
თუ ნამრავლი F(a)*F(x)>0, მაშინ a სეგმენტის დასაწყისი გადადის x-ზე (a=x), წინააღმდეგ შემთხვევაში, b სეგმენტის ბოლო გადადის x წერტილში (b=x). ). მიღებულ სეგმენტს კვლავ ვყოფთ შუაზე და ა.შ. ყველა გაანგარიშება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

ნახ.2. გაანგარიშების შედეგების ცხრილი

გამოთვლების შედეგად ვიღებთ მნიშვნელობას საჭირო სიზუსტის გათვალისწინებით x=-0,946-ის ტოლი.

აკორდის მეთოდი.

აკორდის მეთოდის გამოყენებისას მითითებულია სეგმენტი, რომელშიც არის მხოლოდ ერთი ფესვი მითითებული სიზუსტით ე. ხაზი (აკორდი) გავლებულია a და b მონაკვეთის წერტილებში, რომლებსაც აქვთ კოორდინატები (x(F(a); y(F(b))). (პუნქტი z) განისაზღვრება.
თუ F(a)xF(z)

ნახ.3. აკორდების მეთოდის გამოყენება არაწრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

განვიხილოთ მაგალითი.საჭიროა ამოხსნათ განტოლება x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ე-მდე

ზოგადად, განტოლება ასე გამოიყურება: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

იპოვეთ F(x) მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

F(-1) = - 0.2>0;

განვსაზღვროთ მეორე წარმოებული F''(x) = 6x-0.4.

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4

სეგმენტის ბოლოებში შეინიშნება პირობა F(-1)F''(-1)>0, ამიტომ განტოლების ფესვის დასადგენად ვიყენებთ ფორმულას:

ყველა გაანგარიშება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

ნახ.4. გაანგარიშების შედეგების ცხრილი

ტანგენტის მეთოდი (ნიუტონი)

ეს მეთოდი ეფუძნება გრაფიკის ტანგენტების აგებას, რომლებიც დახატულია ინტერვალის ერთ-ერთ ბოლოზე. X ღერძთან (z1) გადაკვეთის ადგილზე აგებულია ახალი ტანგენსი. ეს პროცედურა გრძელდება მანამ, სანამ მიღებული მნიშვნელობა არ შედარდება სასურველი სიზუსტის პარამეტრთან e (F(zi)

ნახ.5. ტანგენტების (ნიუტონი) მეთოდის გამოყენება არაწრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

განვიხილოთ მაგალითი.საჭიროა ამოხსნათ განტოლება x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ე-მდე

ზოგადად, განტოლება ასე გამოიყურება: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

განვსაზღვროთ პირველი და მეორე წარმოებული: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
პირობა F(-1)F''(-1)>0 შესრულებულია, ამიტომ გამოთვლები ხდება ფორმულის მიხედვით:

სადაც x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

ყველა გაანგარიშება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

სურ.6. გაანგარიშების შედეგების ცხრილი

განვიხილოთ არაწრფივი განტოლების ფესვების პოვნის პრობლემა

f(a)*f(b)<0 (2)

სად არის რეალური კოეფიციენტები.

ა) n ხარისხის განტოლებას აქვს n ფესვი, რომელთა შორის შეიძლება იყოს როგორც რეალური, ასევე რთული. რთული ფესვები ქმნიან რთულ კონიუგატ წყვილებს და, შესაბამისად, განტოლებას აქვს ასეთი ფესვების ლუწი რაოდენობა. n-ის კენტი მნიშვნელობისთვის არის მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი.
ბ) დადებითი რეალური ფესვების რაოდენობა ნაკლებია ან ტოლია კოეფიციენტთა თანმიმდევრობის ცვლადი ნიშნების რაოდენობაზე. (3) განტოლებაში x -x-ით ჩანაცვლება საშუალებას გაძლევთ ანალოგიურად შეაფასოთ უარყოფითი ფესვების რაოდენობა. იტერაცია ნიუტონის დიქოტომია არაწრფივი

ან ნარჩენის სიმცირე:

დეპარტამენტი: ASOIiU

ლაბორატორიული სამუშაო

თემაზე: არაწრფივი განტოლების ფესვის პოვნა. არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მეთოდები

მოსკოვი, 2008 წ

არაწრფივი განტოლების ფესვის პოვნა

1. პრობლემის განცხადება

მიეცეს ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია თავის რამდენიმე წარმოებულთან ერთად. საჭიროა განტოლების ყველა ან რამდენიმე რეალური ფესვის პოვნა

ეს ამოცანა დაყოფილია რამდენიმე ქვეამოცანად. პირველ რიგში აუცილებელია ფესვების რაოდენობის დადგენა, მათი ბუნებისა და ადგილმდებარეობის გამოკვლევა. მეორე, იპოვნეთ ფესვების სავარაუდო მნიშვნელობები. მესამე, მათგან შეარჩიეთ ჩვენთვის საინტერესო ფესვები და გამოთვალეთ საჭირო სიზუსტით ე. პირველი და მეორე ამოცანები წყდება, როგორც წესი, ანალიტიკური ან გრაფიკული მეთოდებით. იმ შემთხვევაში, როდესაც მოძებნილია მხოლოდ (1) განტოლების რეალური ფესვები, სასარგებლოა ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის შედგენა. თუ ფუნქციას აქვს სხვადასხვა ნიშნები ცხრილის ორ მეზობელ კვანძში, მაშინ ამ კვანძებს შორის არის განტოლების კენტი რაოდენობის ფესვები (მინიმუმ ერთი). თუ ეს კვანძები ახლოსაა, მაშინ, სავარაუდოდ, მათ შორის მხოლოდ ერთი ფესვია.

ფესვების ნაპოვნი სავარაუდო მნიშვნელობები შეიძლება დაიხვეწოს სხვადასხვა განმეორებითი მეთოდების გამოყენებით. განვიხილოთ სამი მეთოდი: 1) დიქოტომიის (ან სეგმენტის შუაზე გაყოფის) მეთოდი; 2) მარტივი გამეორების მეთოდი და 3) ნიუტონის მეთოდი.

2. პრობლემის გადაჭრის მეთოდები

2.1 სეგმენტის შუაზე გაყოფის მეთოდი

არაწრფივი განტოლების (1) ფესვის პოვნის უმარტივესი მეთოდი არის ნახევრად გაყოფის მეთოდი.

სეგმენტზე მიეცეს უწყვეტი ფუნქცია თუ სეგმენტის ბოლოებში ფუნქციის მნიშვნელობებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, ე.ი. მაშინ ეს ნიშნავს, რომ მოცემული სეგმენტის შიგნით არის კენტი რაოდენობის ფესვები. მოდით, დაზუსტებისთვის, მხოლოდ ერთი ფესვი ჰქონდეს. მეთოდის არსი არის სეგმენტის სიგრძის განახევრება ყოველი გამეორებისას. ჩვენ ვპოულობთ სეგმენტის შუას (იხ. სურ. 1) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა და აირჩიეთ სეგმენტი, რომელზეც ფუნქცია ცვლის თავის ნიშანს. კვლავ გაყავით ახალი სეგმენტი შუაზე. და ვაგრძელებთ ამ პროცესს მანამ, სანამ სეგმენტის სიგრძე არ გაუტოლდება წინასწარ განსაზღვრულ შეცდომას ფესვის e გამოთვლისას. რამდენიმე თანმიმდევრული მიახლოების აგება (3) ფორმულის მიხედვით ნაჩვენებია სურათზე 1.

ასე რომ, დიქოტომიის მეთოდის ალგორითმი:

1. დააყენეთ მანძილი და შეცდომა ე.

2. თუ f(a) და f(b)-ს აქვთ ერთი და იგივე ნიშნები, გასცეს შეტყობინება ფესვის პოვნის შეუძლებლობის შესახებ და გაჩერება.

ნახ.1. სეგმენტის ნახევრად გაყოფის მეთოდი f(x)=0 ფორმის განტოლების ამოხსნისთვის.

3. წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთვალეთ c=(a+b)/2

4. თუ f(a) და f(c)-ს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, ჩადეთ b=c, წინააღმდეგ შემთხვევაში a=c.

5. თუ ახალი სეგმენტის სიგრძეა , მაშინ გამოთვალეთ c=(a+b)/2 ფესვის მნიშვნელობა და გააჩერეთ, წინააღმდეგ შემთხვევაში გადადით მე-3 საფეხურზე.

ვინაიდან სეგმენტის სიგრძე N საფეხურზე მცირდება 2 N-ჯერ, მოცემული შეცდომა e ფესვის პოვნაში მიიღწევა გამეორებებში.

როგორც ჩანს, დაახლოების მაჩვენებელი დაბალია, მაგრამ მეთოდის უპირატესობებში შედის განმეორებითი პროცესის სიმარტივე და უპირობო კონვერგენცია. თუ სეგმენტი შეიცავს ერთზე მეტ ფესვს (მაგრამ კენტ რიცხვს), მაშინ ყოველთვის მოიძებნება ერთი.

კომენტარი. იმ ინტერვალის დასადგენად, რომელშიც დევს ფესვი, საჭიროა ფუნქციის დამატებითი ანალიზი, ანალიტიკურ შეფასებებზე ან გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის გამოყენებით. ასევე შესაძლებელია ფუნქციის მნიშვნელობების ძიების ორგანიზება სხვადასხვა წერტილში, სანამ არ დაკმაყოფილდება ფუნქციის ნიშნების შეცვლის პირობა.

2.2 მარტივი გამეორების მეთოდი

ამ მეთოდის გამოყენებისას ორიგინალური არაწრფივი განტოლება (1) უნდა გადაიწეროს ფორმაში

ამ განტოლების ფესვი ავღნიშნოთ როგორც C*. ცნობილი იყოს ფესვის საწყისი მიახლოება. ამ მნიშვნელობის (2) განტოლების მარჯვენა მხარეს ჩანაცვლებით, მივიღებთ ახალ მიახლოებას

და ა.შ. (n+1)-საფეხურისთვის ვიღებთ შემდეგ მიახლოებას

(3)

ამრიგად, (3) ფორმულით ვიღებთ მიმდევრობას С 0 , С 1 ,…,С n +1 , რომელიც მიდრეკილია С * ფესვისკენ n®¥-ზე. განმეორებითი პროცესი ჩერდება, თუ ორი თანმიმდევრული გამეორების შედეგები ახლოსაა, ანუ პირობა

(4)

მოდით შევისწავლოთ რიცხვითი მიმდევრობის (C n) კონვერგენციის მდგომარეობა და სიჩქარე n®¥-ისთვის. გავიხსენოთ კონვერგენციის სიჩქარის განმარტება. მიმდევრობას (C n ) , რომელიც უახლოვდება С * ზღვარს, აქვს a რიგის კონვერგენციის სიჩქარე, თუ, n®¥-ისთვის, პირობა

დავუშვათ, რომ მას აქვს უწყვეტი წარმოებული, მაშინ შეცდომა (n+1)-მე გამეორების საფეხურზე e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) შეიძლება იყოს წარმოდგენილი. როგორც სერია

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამას იმ პირობით

çg¢(C *) ç<1(6)

თანმიმდევრობა (3) გადავა ფესვთან წრფივი სიჩქარით a=1. პირობა (6) არის მარტივი გამეორების მეთოდის კონვერგენციის პირობა. ცხადია, მეთოდის წარმატება დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად კარგად არის შერჩეული ფუნქცია.

მაგალითად, კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, ანუ x \u003d a 2 ფორმის განტოლების ამოსახსნელად, შეგიძლიათ დააყენოთ

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

ამის ჩვენება ადვილია

½გრ 1" (C)½=1,

½ გ 2" (C)½<1.

ამრიგად, პირველი პროცესი (7a) საერთოდ არ ემთხვევა, ხოლო მეორე (7b) კონვერგირდება ნებისმიერი საწყისი მიახლოებით C 0 >0.

ბრინჯი. 2. x=g(x) ფორმის განტოლების ამოხსნის მარტივი იტერაციების მეთოდის გრაფიკული ინტერპრეტაცია.

რამდენიმე თანმიმდევრული მიახლოების აგება ფორმულით (3)

С 0 , С 1 , …, С n = C *

ნაჩვენებია სურათზე 2.

2.3 ნიუტონის მეთოდი

ლიტერატურაში ამ მეთოდს ხშირად უწოდებენ ტანგენტის მეთოდს, ასევე ხაზოვან მეთოდს. ვირჩევთ საწყის მიახლოებას С 0 . დავუშვათ, რომ С 0 გადახრა С * ფესვის ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან მცირეა, შემდეგ, F(C *) გავფართოვდებით ტეილორის სერიაში С 0 წერტილში, ვიღებთ.

f(C *) = f(C 0) + f¢ (C 0) (C * -C 0) +¼ (8)

თუ f¢(C 0) ¹ 0 , მაშინ (8) შეგვიძლია შემოვიფარგლოთ წრფივი ტერმინებით DC =C-C 0-ში. იმის გათვალისწინებით, რომ f(C *)=0, (9)-დან შეგვიძლია ვიპოვოთ შემდეგი მიახლოება ფესვისთვის

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

ან (n+1)-ის მიახლოებისთვის

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢(C n) (9)

განმეორებითი პროცესის შესაწყვეტად შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორიდან ერთი პირობა

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

ნიუტონის მეთოდის კონვერგენციის შესწავლა წინა შემთხვევის მსგავსად ტარდება. დამოუკიდებლად მიიღეთ ეს იმ პირობით

½f""(C)/2f"(C)½<1.

ნიუტონის მეთოდს აქვს კვადრატული კონვერგენციის მაჩვენებელი ().

ბრინჯი. 3. f(x)=0 ფორმის განტოლების ამოხსნის ნიუტონის მეთოდის გრაფიკული ინტერპრეტაცია.

რამდენიმე თანმიმდევრული მიახლოების აგება ფორმულით (9)

С 0 , С 1 , …, С n = C *

ნაჩვენებია სურათზე 3.

1. მოცემული ფუნქციისთვის f(x)

განსაზღვრეთ განტოლების რეალური ფესვების რაოდენობა f(x)=0, მათი მდებარეობა და მიახლოებითი მნიშვნელობები (შეადგინეთ გრაფიკი ან დაბეჭდეთ მნიშვნელობების ცხრილი).

· გამოთვალეთ ერთ-ერთი ნაპოვნი ფესვი (ნებისმიერი) e=0.5*10 -3 სიზუსტით.

გამოთვლებისთვის გამოიყენეთ სეგმენტის ნახევრად გაყოფის მეთოდი (განსაზღვრეთ გამეორებების რაოდენობა), შემდეგ კი იპოვნეთ იგივე ფესვი ნიუტონის მეთოდით (ასევე განვსაზღვრავთ გამეორების საფეხურების რაოდენობას).

შეადარეთ თქვენი შედეგები.

დავალების ვარიანტები

1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0.1x 2 +0.3x –0.6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0.5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2.9x 3 +0.1x 2 + 5.8x - 4.2=0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მეთოდები

1. პრობლემის ფორმულირება

დაე, საჭირო გახდეს n არაწრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნა:

(1)

არ არსებობს სისტემის ამოხსნის პირდაპირი მეთოდები (1). მხოლოდ ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება ამ სისტემის უშუალო გადაჭრა. მაგალითად, ორი განტოლების შემთხვევაში, ზოგჯერ შესაძლებელია ერთი უცნობი ცვლადის გამოხატვა მეორის მნიშვნელობით და ამით ამოცანის შემცირება ერთი უცნობის მიმართ ერთი არაწრფივი განტოლების ამოხსნამდე.

განტოლებათა სისტემა (1) შეიძლება მოკლედ დაიწეროს ვექტორული სახით:

. (2)

განტოლებას (2) შეიძლება ჰქონდეს ერთი ან მეტი ფესვი D დომენში. საჭიროა განტოლების ფესვების არსებობის დადგენა და ამ ფესვების სავარაუდო მნიშვნელობების პოვნა. ფესვების მოსაძებნად ჩვეულებრივ გამოიყენება განმეორებითი მეთოდები, რომლებშიც საწყისი მიახლოების არჩევას ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს. საწყისი მიახლოება ზოგჯერ ცნობილია ფიზიკური მოსაზრებებიდან. ორი უცნობის შემთხვევაში საწყისი მიახლოება შეიძლება ვიპოვოთ გრაფიკულად: დახაზეთ მრუდები f 1 (x 1 , x 2)=0 და f 2 (x 1 , x 2)=0 სიბრტყეზე (x 1 , x 2). ) და იპოვეთ მათი გადაკვეთის წერტილები. სამი ან მეტი ცვლადისთვის (ისევე როგორც რთული ფესვებისთვის), არ არსებობს დამაკმაყოფილებელი გზები საწყისი მიახლოების ასარჩევად.

განვიხილოთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ორი ძირითადი განმეორებითი მეთოდი (1), (2) - მარტივი გამეორების მეთოდი და ნიუტონის მეთოდი.

2. არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მეთოდები

2.1 მარტივი გამეორების მეთოდი

მოდით წარმოვადგინოთ სისტემა (1) სახით

(3)

ან ვექტორული ფორმით:

(4)

მარტივი გამეორების მეთოდის ალგორითმი შემდეგია. ჩვენ ვირჩევთ ნულოვან მიახლოებას

შემდეგი მიახლოება გვხვდება ფორმულებით:

ან უფრო დეტალურად:

(5)

განმეორებითი პროცესი (5) გრძელდება მანამ, სანამ ცვლილებები ყველა უცნობში ორ თანმიმდევრულ გამეორებაში არ გახდება მცირე, ე.ი.

პრაქტიკაში, უთანასწორობა ხშირად გამოიყენება ბოლო პირობის ნაცვლად:

(6)

სად არის n-განზომილებიანი ვექტორის rms ნორმა , ე.ი.

ამ მეთოდის გამოყენებისას წარმატება დიდწილად განისაზღვრება საწყისი მიახლოების კარგი არჩევანით: ის საკმარისად ახლოს უნდა იყოს ნამდვილ გადაწყვეტასთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განმეორებითი პროცესი შეიძლება არ მოხდეს. თუ პროცესი ემთხვევა, მაშინ მისი დაახლოების სიჩქარე წრფივია.

2.2. ნიუტონის მეთოდი

ნათარგმნ ლიტერატურაში შეგიძლიათ იპოვოთ სახელი ნიუტონ-რაფსონის მეთოდი. ეს მეთოდი ბევრად უფრო სწრაფად იყრის თავს, ვიდრე მარტივი გამეორების მეთოდი.

ძირთან გარკვეული მიახლოება იყოს ცნობილი, ასე რომ

მაშინ ორიგინალური სისტემა (2) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

განტოლების (7) გაფართოებით ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს და შემოვიფარგლებით წრფივი ტერმინებით გადახრაში, მივიღებთ:

ან კოორდინატის სახით:

(8)

სისტემა (8) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

(9)

შედეგად მიღებული სისტემა (9) არის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა ნამატებთან მიმართებაში

F 1 , F 2 , …, F n ფუნქციების მნიშვნელობა და მათი წარმოებულები (9) გამოითვლება

სისტემის (9) განმსაზღვრელი არის იაკობიანი J:

(10)

განტოლებათა სისტემის უნიკალური ამოხსნის არსებობისთვის (9), ის უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან. სისტემის (9) ამოხსნის შემდეგ, მაგალითად, გაუსის მეთოდით, ჩვენ ვპოულობთ ახალ მიახლოებას:

ჩვენ ვამოწმებთ მდგომარეობას (6). თუ არ დაკმაყოფილდა, ასევე ვპოულობთ იაკობიანს (10) ახალი მიახლოებით და ისევ ვხსნით (9), რითაც ვპოულობთ მე-2 მიახლოებას და ა.შ.

გამეორება ჩერდება როგორც კი პირობა (6) დაკმაყოფილდება.

ნიუტონის მეთოდის გამოყენებით იპოვეთ ამონახსნები მოცემული სიზუსტით არაწრფივი განტოლებათა სისტემისთვის. გამოიკვლიეთ განმეორებითი პროცესის კონვერგენცია.

დავალების ვარიანტები

1 2