მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტებიცულებთან შედარებით Xდა ზე(იხ. სურ. 32, ა)ფორმის განსაზღვრულ ინტეგრალებს უწოდებენ

ინერციის ღერძული მომენტების განსაზღვრისას, რიგ შემთხვევებში საჭიროა შეგვხვდეს მონაკვეთის კიდევ ერთი ახალი გეომეტრიული მახასიათებელი - ინერციის ცენტრიდანული მომენტი.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტიმონაკვეთები ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ ღერძთან შედარებით x წ(იხ. სურ. 32, ა)

ინერციის პოლარული მომენტისექციები წარმოშობასთან შედარებით შესახებ(იხ. სურ. 32, ა)ფორმის განსაზღვრული ინტეგრალი ეწოდება

სად რ- მანძილი საწყისიდან ელემენტარულ ადგილამდე dA.

ინერციის ღერძული და პოლარული მომენტები ყოველთვის დადებითია, ხოლო ცენტრიდანული მომენტი, ღერძების არჩევანიდან გამომდინარე, შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი. ინერციის მომენტების აღნიშვნის ერთეულებია სმ 4, მმ 4.

შემდეგი კავშირი არსებობს ინერციის პოლარულ და ღერძულ მომენტებს შორის:

ფორმულის მიხედვით (41), ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძის შესახებ უდრის ინერციის პოლარულ მომენტს ამ ღერძების გადაკვეთის წერტილის შესახებ (წარმოშობა).

მონაკვეთების ინერციის მომენტები პარალელურ ღერძებთან შედარებით, რომელთაგან ერთი ცენტრალურია (x s,yc)>განისაზღვრება გამონათქვამებიდან:

სად და ივ-კვეთის C სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები (სურ. 34).

ფორმულები (42), რომლებსაც დიდი პრაქტიკული გამოყენება აქვთ, შემდეგნაირად იკითხება: მონაკვეთის ინერციის მომენტი რომელიმე ღერძის მიმართ უდრის ინერციის მომენტს მის პარალელურ ღერძზე და გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, პლუს განივი ფართობის ნამრავლი და ღერძებს შორის მანძილის კვადრატი.

შენიშვნა: კოორდინატები ა და გუნდა შეიცვალოს ზემოაღნიშნული ფორმულებით (42) მათი ნიშნების გათვალისწინებით.

ბრინჯი. 34.

ფორმულებიდან (42) გამომდინარეობს, რომ პარალელური ღერძების მიმართ ინერციის ყველა მომენტიდან ყველაზე პატარა მომენტი იქნება მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ, ანუ ინერციის ცენტრალური მომენტი.

სტრუქტურის სიძლიერისა და სიმტკიცის განსაზღვრის ფორმულები მოიცავს ინერციის მომენტებს, რომლებიც გამოითვლება ღერძებთან შედარებით, რომლებიც არა მხოლოდ ცენტრალურია, არამედ მთავარიც. იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ, თუ რომელი ღერძები გადის სიმძიმის ცენტრში, უნდა შეძლოთ ინერციის მომენტების დადგენა გარკვეული კუთხით ერთმანეთის მიმართ შემობრუნებულ ღერძებთან მიმართებაში.

კოორდინატთა ღერძების მობრუნებისას ინერციის მომენტებს შორის კავშირებს (ნახ. 35) აქვს შემდეგი ფორმა:

სად ა- ღერძის ბრუნვის კუთხე დადა ვცულებთან შედარებით ჰენაშესაბამისად. განიხილება კუთხე a დადებითი, თუ ღერძების ბრუნვა დადა შენ ხდება საათის საწინააღმდეგოდ.

ბრინჯი. 35.

ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი რომელიმე ორმხრივ პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში არ იცვლება, როდესაც ისინი ბრუნავენ:

როდესაც ღერძი ბრუნავს კოორდინატების საწყისის გარშემო, იცვლება ინერციის ცენტრიდანული მომენტი გამუდმებითმაშასადამე, ღერძების გარკვეულ პოზიციაზე ხდება ნულის ტოლი.

ორ ორმხრივ პერპენდიკულარულ ღერძს, რომლებზეც მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია, ეწოდება ინერციის ძირითადი ღერძი.

ინერციის ძირითადი ღერძების მიმართულება შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:

ორი კუთხის მნიშვნელობა მიღებული ფორმულიდან (43) აგანსხვავდებიან ერთმანეთისგან 90°-ით და აძლევენ ძირითადი ღერძების პოზიციას. როგორც ვხედავთ, ამ კუთხეებიდან უფრო მცირე აბსოლუტური მნიშვნელობით არ აღემატება ლ/4.შემდეგში ჩვენ გამოვიყენებთ მხოლოდ მცირე კუთხეს. ამ კუთხით დახატული მთავარი ღერძი ასოთი იქნება აღინიშნა და.ნახ. 36 ნაჩვენებია ძირითადი ღერძების აღნიშვნის რამდენიმე მაგალითი ამ წესის შესაბამისად. თავდაპირველი ღერძები აღინიშნება ასოებით ჰეი ი.

ბრინჯი. 36.

მოხრის ამოცანებში მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ მონაკვეთების ინერციის ღერძული მომენტები იმ ძირითად ღერძებთან მიმართებაში, რომლებიც გადიან მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში.

მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში გამავალ ძირითად ღერძებს ე.წ მთავარი ცენტრალური ღერძები.შემდეგში, როგორც წესი, მოკლედ, ამ ცულებს უბრალოდ დავარქმევთ მთავარი ღერძები, გამოტოვებული სიტყვა "ცენტრალური".

ბრტყელი მონაკვეთის სიმეტრიის ღერძი არის ამ მონაკვეთის ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძი, მეორე ღერძი მასზე პერპენდიკულარულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიმეტრიის ღერძი და ნებისმიერი პერპენდიკულარული მასზე ქმნიან ძირითადი ღერძების სისტემას.

თუ ბრტყელ მონაკვეთს აქვს სიმეტრიის მინიმუმ ორი ღერძი, რომლებიც არ არიან ერთმანეთის პერპენდიკულარული, მაშინ ყველა ღერძი, რომელიც გადის ასეთი მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, არის მისი მთავარი ცენტრალური ინერციის ღერძი. ასე რომ, ნახ. 37-ზე ნაჩვენებია მონაკვეთების ზოგიერთი სახეობა (წრე, რგოლი, კვადრატი, რეგულარული ექვსკუთხედი და ა.შ.), რომლებსაც აქვთ შემდეგი თვისება: ნებისმიერი ღერძი, რომელიც გადის მათ სიმძიმის ცენტრში, არის მთავარი.

ბრინჯი. 37.

უნდა აღინიშნოს, რომ არაცენტრალური პრინციპული ღერძები ჩვენთვის არ არის საინტერესო.

მოღუნვის თეორიაში ყველაზე დიდი მნიშვნელობა აქვს ინერციის მომენტებს მთავარ ცენტრალურ ღერძებზე.

ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტებიან ინერციის ძირითადი მომენტებიმთავარი ცენტრალური ღერძების მიმართ ინერციის მომენტებს უწოდებენ. უფრო მეტიც, ერთ-ერთ მთავარ ღერძთან შედარებით, ინერციის მომენტი მაქსიმუმშედარებით განსხვავებული - მინიმალური:

ნახ. 37, გამოთვლილი ძირითადი ცენტრალური ღერძების მიმართ, ერთმანეთის ტოლია: ჯეი,შემდეგ: J u = J x cos 2 a +J y sin a = Jx.

რთული მონაკვეთის ინერციის მომენტები უდრის მისი ნაწილების ინერციის მომენტების ჯამს. ამიტომ რთული მონაკვეთის ინერციის მომენტების დასადგენად შეგვიძლია დავწეროთ:

გდ eJ xi, J y „J xiyi არის მონაკვეთის ცალკეული ნაწილების ინერციის მომენტები.

შენიშვნა: თუ მონაკვეთს აქვს ხვრელი, მაშინ მოსახერხებელია ჩაითვალოს იგი ნეგატიური ფართობის მქონე მონაკვეთად.

სამომავლოდ სიმტკიცის გამოთვლების შესასრულებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ სხივის სიძლიერის ახალ გეომეტრიულ მახასიათებელს, რომელიც ექვემდებარება პირდაპირ ღუნვას. ამ გეომეტრიულ მახასიათებელს ეწოდება წინააღმდეგობის ღერძული მომენტი ან წინაღობის მომენტი მოხრის დროს.

მონაკვეთის ინერციის მომენტის შეფარდება ღერძთან მიმართებაში ამ ღერძიდან მონაკვეთის ყველაზე შორეულ წერტილამდე მანძილს ე.წ. წინააღმდეგობის ღერძული მომენტი:

წინააღმდეგობის მომენტს აქვს ზომები მმ 3, სმ 3.

ყველაზე გავრცელებული მარტივი მონაკვეთების ინერციის მომენტები და წინააღმდეგობის მომენტები განისაზღვრება ცხრილში მოცემული ფორმულებით. 3.

ნაგლინი ფოლადის სხივებისთვის (I-სხივები, არხები, კუთხის სხივები და ა. მოცემულია სიმძიმე და სხვა მახასიათებლები.

დასასრულს, მოდით წარმოვიდგინოთ კონცეფცია გირაციის რადიუსისექციები საკოორდინაციო ღერძებთან შედარებით Xდა ზე - მე xდა მე იშესაბამისად, რომლებიც განისაზღვრება შემდეგი ფორმულებით.

ღერძებს, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია, ეწოდება ძირითადი, ხოლო ინერციის მომენტებს ამ ღერძების მიმართ - ინერციის ძირითადი მომენტები.

მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2.18) ცნობილი ტრიგონომეტრიული მიმართებების გათვალისწინებით:

;

ამ ფორმით

მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიციის დასადგენად, ერთხელ განვასხვავებთ ტოლობას (2.21) α კუთხის მიმართ და ვიღებთ

α=α 0 კუთხის გარკვეულ მნიშვნელობაზე, ინერციის ცენტრიდანული მომენტი შეიძლება აღმოჩნდეს ნული. ამიტომ, წარმოებულის გათვალისწინებით ( ვ), ინერციის ღერძული მომენტი მიიღებს უკიდურეს მნიშვნელობას. გათანაბრება

,

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ინერციის ძირითადი ღერძების პოზიციის დასადგენად სახით:

(2.22)

ფორმულაში (2.21) ჩვენ ვდებთ cos2 ფრჩხილებიდან α 0 და ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა (2.22) იქ და, ცნობილი ტრიგონომეტრიული დამოკიდებულების გათვალისწინებით ჩვენ ვიღებთ:

გამარტივების შემდეგ, ჩვენ საბოლოოდ ვიღებთ ფორმულას ინერციის ძირითადი მომენტების მნიშვნელობების დასადგენად:

(2.23)

ფორმულა (20.1) გამოიყენება ძირითადი ღერძების შესახებ ინერციის მომენტების დასადგენად. ფორმულა (2.22) არ იძლევა პირდაპირ პასუხს კითხვაზე: რომელ ღერძზე იქნება ინერციის მომენტი მაქსიმალური ან მინიმალური. თვითმფრინავის დაძაბულობის მდგომარეობის შესწავლის თეორიის ანალოგიით, ჩვენ წარმოგიდგენთ უფრო მოსახერხებელ ფორმულებს ინერციის მთავარი ღერძების პოზიციის დასადგენად:

(2.24)

აქ α 1 და α 2 განსაზღვრავს იმ ღერძების პოზიციას, რომლებზეც ინერციის მომენტები შესაბამისად ტოლია ჯ 1 და ჯ 2. გასათვალისწინებელია, რომ კუთხის მოდულების ჯამი α 01 და α 02 უნდა იყოს π/2 ტოლი:

პირობა (2.24) არის სიბრტყე მონაკვეთის ინერციის ძირითადი ღერძების ორთოგონალურობის პირობა.

უნდა აღინიშნოს, რომ ინერციის ძირითადი ღერძების პოზიციის დასადგენად ფორმულების (2.22) და (2.24) გამოყენებისას უნდა დაიცვან შემდეგი ნიმუში:

მთავარი ღერძი, რომლის მიმართაც ინერციის მომენტი მაქსიმალურია, ქმნის უმცირეს კუთხეს თავდაპირველ ღერძთან, რომლის მიმართ ინერციის მომენტი უფრო დიდია.

მაგალითი 2.2.

განსაზღვრეთ ხის ბრტყელი მონაკვეთების გეომეტრიული მახასიათებლები მთავარ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში:

გამოსავალი

შემოთავაზებული განყოფილება ასიმეტრიულია. ამრიგად, ცენტრალური ღერძების პოზიცია განისაზღვრება ორი კოორდინატით, ძირითადი ცენტრალური ღერძები შემობრუნდება ცენტრალურ ღერძებთან შედარებით გარკვეული კუთხით. ეს იწვევს ძირითადი გეომეტრიული მახასიათებლების განსაზღვრის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმს.

1. მონაკვეთს ვყოფთ ორ მართკუთხედად შემდეგი უბნებით და ინერციის მომენტებით საკუთარ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში:

F 1 =12 სმ 2, F 2 =18 სმ 2;

2. განვსაზღვრავთ დამხმარე ღერძების სისტემას X 0 ზე 0 დაწყებული წერტილიდან ა. ამ ღერძულ სისტემაში მართკუთხედების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატები შემდეგია:

X 1 =4 სმ; X 2 =1 სმ; ზე 1 =1,5 სმ; ზე 2 =4,5 სმ.

3. განსაზღვრეთ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები ფორმულების გამოყენებით (2.4):

ჩვენ გამოვსახავთ ცენტრალურ ღერძებს (წითელში ნახ. 2.9).

4. გამოთვალეთ ინერციის ღერძული და ცენტრიდანული მომენტები ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში. Xერთად და ზე c ფორმულების მიხედვით (2.13) შედგენილ მონაკვეთთან მიმართებაში:

5. იპოვეთ ინერციის ძირითადი მომენტები ფორმულის გამოყენებით (2.23)

6. დაადგინეთ ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების მდებარეობა Xდა ზეფორმულის მიხედვით (2.24):

მთავარი ცენტრალური ღერძები ნაჩვენებია (ნახ. 2.9) ლურჯად.

7. შევამოწმოთ შესრულებული გამოთვლები. ამისათვის ჩვენ განვახორციელებთ შემდეგ გამოთვლებს:

ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი მთავარი ცენტრალური და ცენტრალური ღერძების შესახებ უნდა იყოს იგივე:

კუთხის მოდულების ჯამი α Xდა α y,ძირითადი ცენტრალური ღერძების პოზიციის განსაზღვრა:

ამასთან, შესრულებულია დებულება, რომ მთავარი ცენტრალური ღერძი X, რომლის შესახებაც ინერციის მომენტი J xაქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა, ქმნის უფრო მცირე კუთხეს ცენტრალურ ღერძთან, რომლის მიმართაც ინერციის მომენტი მეტია, ე.ი. ღერძით Xთან.

ინერციის მომენტი ცენტრალურის პარალელურ ღერძზე (შტაინერის თეორემა)

ᲬᲘᲜᲐᲡᲘᲢᲧᲕᲐᲝᲑᲐ

ლექცია No1 „გეომეტრიული მახასიათებლები

Წინასიტყვაობა…………………………………………………………………….4

ბრტყელი სექციები"……………………………………………………………….5

2. ლექცია No2 „ძირითადი ღერძები და ინერციის ძირითადი მომენტები“..………………………………………….…………………………...13

3. ლექცია No3 „ტორსი. გამოთვლები სიძლიერისა და ბრუნვის სიმტკიცეზე"………………………………………………………………………16

4. ლექცია No4 „გაპარსვა და დამტვრევა. სიძლიერის გამოთვლები"…….………………………………………………………………..32

5. კითხვები გაშუქებული მასალის შესამოწმებლად...……………………..36

6. ლიტერატურა…………………………………………………………37

სალექციო ჩანაწერების მე-2 ნაწილი შეიცავს ძირითად თეორიულ პრინციპებს და გამოთვლის ფორმულებს შემდეგ თემებზე: სიბრტყე კვეთების გეომეტრიული მახასიათებლები, ტორსიონი, ათვლა და დამტვრევა.

სალექციო ჩანაწერების მიზანია დაეხმაროს სტუდენტებს საგნის შესწავლაში, მასალების სიძლიერეზე გამოთვლითი და გრაფიკული სამუშაოების ამოხსნასა და დაცვაში.

ლექცია No1 „სიბრტყე მონაკვეთების გეომეტრიული მახასიათებლები“

ბრტყელი მონაკვეთების გეომეტრიული მახასიათებლები მოიცავს:

· განივი ფართობი ფ,

· ფართობის სტატიკური მომენტები S x, S y ,

ინერციის ღერძული მომენტები J x, J y ,

· ინერციის ცენტრიდანული მომენტი J xy,

ინერციის პოლარული მომენტი უმცროსი ,

ბრუნვისადმი წინააღმდეგობის მომენტი W ρ,

· მოხრა წინააღმდეგობის მომენტი W x

1.1. S x , S y ფართობის სტატიკური მომენტები

განივი კვეთის ფართობის სტატიკური მომენტი მოცემულ ღერძთან მიმართებაში უდრის ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამს და მანძილს შესაბამის ღერძამდე.

ერთეულები S x და S y : [სმ 3], [მმ 3]. ნიშანი "+" ან "-" დამოკიდებულია ღერძების მდებარეობაზე.

საკუთრება:კვეთის ფართობის სტატიკური მომენტები ნულის ტოლია (S x =0 და S y =0), თუ კოორდინატთა ღერძების გადაკვეთის წერტილი ემთხვევა მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრს. ღერძს, რომლის გარშემოც სტატიკური მომენტი ტოლია, ცენტრალური ღერძი ეწოდება. ცენტრალური ღერძების გადაკვეთის წერტილს უწოდებენ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრს.

სადაც F არის მთლიანი განივი ფართობი.

მაგალითი 1:

დაადგინეთ ბრტყელი მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია, რომელიც შედგება ორი მართკუთხედისგან ამოჭრილი.

უარყოფითი ფართობი გამოკლებულია.

1.2. ინერციის ღერძული მომენტები J x ; ჯი

ინერციის ღერძული მომენტი უდრის ელემენტარული უბნების ნამრავლების ჯამს და შესაბამის ღერძამდე მანძილის კვადრატს.

ნიშანი ყოველთვის არის "+".

არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი.

საკუთრება:იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას, როდესაც კოორდინატთა ღერძების გადაკვეთის წერტილი ემთხვევა მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრს.

მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტი გამოიყენება სიმტკიცის, სიმტკიცის და მდგრადობის გამოთვლებში.

1.3. J ρ მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი

კავშირი ინერციის პოლარულ და ღერძულ მომენტებს შორის:

მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი უდრის ღერძულ მომენტთა ჯამს.

საკუთრება:

როდესაც ღერძი ბრუნავს ნებისმიერი მიმართულებით, ინერციის ღერძული მომენტებიდან ერთი იზრდება და მეორე მცირდება (და პირიქით). ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი მუდმივი რჩება.

1.4. მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი J xy

მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი უდრის ელემენტარული უბნების ნამრავლების ჯამს და მანძილებს ორივე ღერძამდე

საზომი ერთეული [სმ 4], [მმ 4].

მოაწერეთ ხელი "+" ან "-".

თუ კოორდინატთა ღერძი არის სიმეტრიის ღერძი (მაგალითი - I-სხივი, მართკუთხედი, წრე), ან ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძი ემთხვევა სიმეტრიის ღერძს (მაგალითი - არხი).

ამრიგად, სიმეტრიული ფიგურებისთვის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი არის 0.

საკოორდინაციო ღერძები u და ვ , რომელიც გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, რომლის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია, ე.წ. მონაკვეთის ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძი.მათ უწოდებენ მთავარს, რადგან მათ მიმართ ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია და ცენტრალური, რადგან ისინი გადიან მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში.

სექციებისთვის, რომლებიც არ არის სიმეტრიული ღერძების მიმართ x ან წ , მაგალითად კუთხეში, არ იქნება ნულის ტოლი. ამ მონაკვეთებისთვის განისაზღვრება ღერძების პოზიცია u და ვ ღერძების ბრუნვის კუთხის გამოთვლით x და წ

ცენტრიდანული მომენტი ცულების შესახებ u და ვ -

ძირითადი ცენტრალური ღერძების მიმართ ინერციის ღერძული მომენტების განსაზღვრის ფორმულა u და ვ :

სად არის ინერციის ღერძული მომენტები ცენტრალურ ღერძებთან შედარებით,

ცენტრალური ღერძების მიმართ ინერციის ცენტრიფუგული მომენტი.

შტაინერის თეორემა:

ინერციის მომენტი ცენტრალურის პარალელურ ღერძზე უდრის ინერციის ცენტრალურ ღერძულ მომენტს პლუს მთელი ფიგურის ფართობის ნამრავლი და ღერძებს შორის მანძილის კვადრატი.

შტაინერის თეორემის დადასტურება.

ნახ. 5 მანძილი ზე ელემენტარულ ადგილზე dF

ღირებულების ჩანაცვლება ზეფორმულაში ვიღებთ:

ტერმინი, ვინაიდან C წერტილი არის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრი (იხ. მონაკვეთის ფართობის სტატიკური მომენტების თვისება ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში).

სიმაღლის მქონე მართკუთხედისთვისთ და სიგანებ :

ინერციის ღერძული მომენტი:

დახრის მომენტი:

მოღუნვისადმი წინააღმდეგობის მომენტი უდრის ინერციის მომენტის თანაფარდობას ნეიტრალური ხაზიდან ყველაზე შორეული ბოჭკოს დაშორებამდე:

წრისთვის:

ინერციის პოლარული მომენტი:

ინერციის ღერძული მომენტი:

ბრუნვის მომენტი:

დახრის მომენტი:

მაგალითი 2. განსაზღვრეთ მართკუთხა განივი კვეთის ინერციის მომენტი ცენტრალურ ღერძზე Cx .

გამოსავალი. მოდით დავყოთ მართკუთხედის ფართობი განზომილებებით ელემენტარულ ოთხკუთხედებად ბ (სიგანე) და დი (სიმაღლე). მაშინ ასეთი მართკუთხედის ფართობი (დაჩრდილული 6-ზე) უდრის dF=bdy. გამოვთვალოთ ინერციის ღერძული მომენტის მნიშვნელობა J x

ანალოგიით ვწერთ

განყოფილების ინერციის ღერძული მომენტი ცენტრალურთან შედარებით

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი

მას შემდეგ, რაც ცულები Cx და C წ არის სიმეტრიის ღერძი.

მაგალითი 3. განსაზღვრეთ წრიული კვეთის ინერციის პოლარული მომენტი.

გამოსავალი. მოდით გავყოთ წრე სისქის უსასრულოდ თხელ რგოლებად რადიუსით, ასეთი რგოლის ფართობი არის . ინერციის პოლარული მომენტისთვის მნიშვნელობის გამოსახულებაში ჩანაცვლება და ინტეგრირება, მივიღებთ

წრიული მონაკვეთის ღერძული მომენტების ტოლობის გათვალისწინებით და

ვიღებთ

რგოლისთვის ინერციის ღერძული მომენტები ტოლია

თან- ამოჭრილი დიამეტრის შეფარდება ლილვის გარე დიამეტრთან.

განვიხილოთ, როგორ იცვლება ინერციის მომენტები კოორდინატთა ღერძების ბრუნვისას. დავუშვათ, რომ მოცემულია გარკვეული მონაკვეთის ინერციის მომენტები 0 ღერძებთან მიმართებაში X, 0ზე(არ არის აუცილებელი ცენტრალური) -, - მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტები. საჭიროა განისაზღვროს - ღერძული მომენტები ღერძების გარშემო u, ვ, ბრუნავს პირველ სისტემასთან შედარებით კუთხით (სურ. 8)

ვინაიდან გატეხილი ხაზის პროექცია OABC უდრის უკიდეგანო ხაზის პროექციას, ჩვენ ვპოულობთ:

გამოვრიცხოთ u და v გამონათქვამებში ინერციის მომენტებისთვის:

განვიხილოთ პირველი ორი განტოლება. თუ ვამატებთ მათ ტერმინით, მივიღებთ

ამრიგად, ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძის შესახებ არ არის დამოკიდებული კუთხეზე და მუდმივი რჩება ღერძების ბრუნვისას. ამავე დროს აღვნიშნოთ, რომ

სად არის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან ელემენტარულ არეალამდე (იხ. სურ. 5). ამრიგად, კუთხის გამოყენებით და წარმოებულის ნულის ტოლფასი, ჩვენ ვპოულობთ

ამ კუთხის მნიშვნელობისას, ერთ-ერთი ღერძული მომენტი იქნება ყველაზე დიდი, მეორე კი ყველაზე პატარა. ამავდროულად, ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ხდება ნულის ტოლი, რაც ადვილად შეიძლება გადამოწმდეს ინერციის ცენტრიდანული მომენტის ფორმულის ნულამდე გათანაბრებით. .

ღერძები, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია და ღერძული მომენტები უკიდურეს მნიშვნელობებს იღებენ, ეწოდება ძირითადი ღერძები.თუ ისინი ასევე ცენტრალური არიან (წარმოშობის წერტილი ემთხვევა მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრს), მაშინ მათ ე.წ. მთავარი ცენტრალური ღერძები (u; v).ინერციის ღერძულ მომენტებს ძირითადი ღერძების მიმართ ეწოდება ინერციის ძირითადი მომენტები -და

და მათი ღირებულება განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

პლუს ნიშანი შეესაბამება ინერციის მაქსიმალურ მომენტს, მინუს ნიშანს მინიმუმს.

არსებობს კიდევ ერთი გეომეტრიული მახასიათებელი - მონაკვეთის გირაციის რადიუსი. ეს მნიშვნელობა ხშირად გამოიყენება თეორიულ დასკვნებში და პრაქტიკულ გამოთვლებში.

მაგალითად, მონაკვეთის ბრუნვის რადიუსი გარკვეულ ღერძთან შედარებით 0x, რაოდენობას უწოდებენ , თანასწორობიდან განსაზღვრული

ფ- განივი ფართობი,

განყოფილების ინერციის ღერძული მომენტი,

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ბრუნვის რადიუსი უდრის მანძილს 0 ღერძიდან Xიმ წერტილამდე, სადაც განივი კვეთის ფართობი F უნდა იყოს კონცენტრირებული (პირობითად) ისე, რომ ამ ერთი წერტილის ინერციის მომენტი ტოლი იყოს მთელი მონაკვეთის ინერციის მომენტის. მონაკვეთის ინერციის მომენტისა და მისი ფართობის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ ბრუნვის რადიუსი 0 ღერძთან მიმართებაში. X:

ძირითადი ღერძების შესაბამისი ბრუნვის რადიუსი ეწოდება ინერციის ძირითადი რადიუსიდა განისაზღვრება ფორმულებით

ინერციის ღერძი

ინერციის ღერძი

ძირითადი, სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც გაყვანილია k.-l-ზე. სხეულის წერტილი და აქვს თვისება, რომ თუ ისინი მიიღება კოორდინატთა ღერძებად, მაშინ სხეულის ცენტრიდანული ინერცია ამ ღერძებთან მიმართებაში ნულის ტოლი იქნება. თუ ტელევიზორი ერთ წერტილში დამაგრებული სხეული მოქცეულია ღერძის გარშემო ბრუნვაში, რომელიც მოცემულ წერტილში ვლინდება. მთავარი O. და., შემდეგ სხეულის არარსებობის გარე. ძალები გააგრძელებენ ბრუნვას ამ ღერძის გარშემო, თითქოს სტაციონარული ღერძის გარშემო. ცნება მთავარი ო და. მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ტელევიზიის დინამიკაში. სხეულები.

ფიზიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. . 1983 .

ინერციის ღერძი

მთავარია სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც გაყვანილია კ.ნ. სხეულის წერტილი, რომელიც ემთხვევა სხეულის ინერციის ელიფსოიდის ღერძებს ამ წერტილში. მთავარი ო და. აქვთ ის თვისება, რომ თუ ისინი მიიღება კოორდინატთა ღერძებად, მაშინ ამ ღერძებთან მიმართებაში სხეულის ინერციის ცენტრიდანული მომენტები ნულის ტოლი იქნება. თუ ერთ-ერთი კოორდინატთა ღერძი, მაგალითად. ღერძი ოჰ,არის წერტილისთვის შესახებმთავარი O. და., ინერციის ცენტრიდანული მომენტები, რომელთა ინდექსებში შედის ღერძის სახელწოდება, ე.ი. მე xyდა მე xz, ნულის ტოლია. თუ ხისტი სხეული, ფიქსირებული ერთ წერტილში, მოჰყავთ ბრუნვაში ღერძის გარშემო, რომელიც მოცემულ წერტილში არის მთავარი O. და., მაშინ სხეული გარე არარსებობის შემთხვევაში. ძალები გააგრძელებენ ბრუნვას ამ ღერძის გარშემო, თითქოს სტაციონარული ღერძის გარშემო.

ფიზიკური ენციკლოპედია. 5 ტომად. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. მთავარი რედაქტორი A.M. პროხოროვი. 1988 .

ნახეთ, რა არის "ინერციის ღერძი" სხვა ლექსიკონებში:

ძირითადი სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომელიც შეიძლება გაივლოს მყარი სხეულის ნებისმიერ წერტილში, განსხვავდება იმით, რომ თუ ამ წერტილში დამაგრებული სხეული ბრუნავს ერთ-ერთ მათგანს გარშემო, მაშინ გარე ძალების არარსებობის შემთხვევაში ის... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მთავარი, სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომელიც შეიძლება გაივლოს მყარი სხეულის ნებისმიერ წერტილში, ხასიათდება იმით, რომ თუ ამ წერტილში დამაგრებული სხეული ბრუნავს ერთ-ერთი მათგანის გარშემო, მაშინ გარე ძალების არარსებობის შემთხვევაში ეს მოხდება... . .. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ძირითადი, სამი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც გაყვანილია სხეულის რაღაც წერტილში, რომელსაც აქვს თვისება, რომ, თუ ისინი კოორდინატულ ღერძებად მივიღეთ, მაშინ სხეულის ინერციის ცენტრიდანული მომენტები (იხ. ინერციის მომენტი) ამ ღერძებთან მიმართებაში ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

მთავარი, სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომლის დახატვა შესაძლებელია ტელევიზორის ნებისმიერ წერტილში. სხეულები, რომლებიც ხასიათდება იმით, რომ თუ ამ წერტილში დამაგრებული სხეული ბრუნავს ერთი მათგანის გარშემო, მაშინ გარე არარსებობის შემთხვევაში ძალა გაგრძელდება...... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ინერციის ძირითადი ღერძი- სამი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც გაყვანილია სხეულის სიმძიმის ცენტრში, რომელსაც აქვს თვისება, რომ თუ ისინი კოორდინატულ ღერძებად მივიღეთ, მაშინ ამ ღერძებთან მიმართებაში სხეულის ინერციის ცენტრიდანული მომენტები ნულის ტოლი იქნება... . .. ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

ინერციის ძირითადი ღერძი- სამი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც გაყვანილია სხეულის სიმძიმის ცენტრში, რომელსაც აქვს თვისება, რომ თუ ისინი კოორდინატთა ღერძებად მივიღეთ, მაშინ სხეულის ინერციის ცენტრიდანული მომენტები ამ ღერძებთან შედარებით ნულის ტოლი იქნება... . ..

- ... ვიკიპედია

მთავარი ღერძები- : აგრეთვე: ინერციის მთავარი ღერძები, დეფორმაციის მთავარი ღერძები (ტენსორი)... მეტალურგიის ენციკლოპედიური ლექსიკონი

განზომილება L2M SI ერთეული კგ m² SGS ... ვიკიპედია

ინერციის მომენტი არის სკალარული ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ახასიათებს მასების განაწილებას სხეულში, ტოლია ელემენტარული მასების ნამრავლების ჯამის მიხედვით მათი მანძილების კვადრატით საბაზისო სიმრავლემდე (წერტილი, ხაზი ან სიბრტყე). SI ერთეული: კგ მ².… … ვიკიპედია

წიგნები

• თორეტიკური ფიზიკა. ნაწილი 3. მყარი სხეულების მექანიკა (მე-2 გამოცემა), ა.ა. ეიხენვალდი. თეორიული ფიზიკის ამ კურსის მესამე ნაწილი არის II ნაწილის ბუნებრივი გაგრძელება: მექანიკის ძირითადი პრინციპები აქ გამოიყენება მყარ სხეულზე, ანუ სისტემაზე...

ამოცანა 5.3.1: მონაკვეთისთვის ცნობილია მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტები ღერძებთან მიმართებაში x1, y1, x2: , . ინერციის ღერძული მომენტი ღერძის მიმართ y2თანაბარი...

1) 1000 სმ4; 2) 2000 სმ4; 3) 2500 სმ4; 4) 3000 სმ4.

გამოსავალი: სწორი პასუხია 3). მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში, როდესაც ღერძი ბრუნავს გარკვეული კუთხით, რჩება მუდმივი, ე.ი.

მოცემული მნიშვნელობების ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ:

ამოცანა 5.3.2: თანაბარი კუთხის კუთხის მონაკვეთის მითითებული ცენტრალური ღერძებიდან მთავარია...

1) x3; 2) ყველაფერი; 3) x1; 4) x2.

გამოსავალი: სწორი პასუხია 4). სიმეტრიული მონაკვეთებისთვის, სიმეტრიის ღერძი არის ინერციის მთავარი ღერძი.

ამოცანა 5.3.3: ინერციის ძირითადი ღერძი...

• 1) დახაზვა შესაძლებელია მხოლოდ სიმეტრიის ღერძზე მდებარე წერტილებით;
• 2) დახაზვა შესაძლებელია მხოლოდ ბრტყელი ფიგურის სიმძიმის ცენტრში;
• 3) ეს ის ღერძებია, რომლებზეც ბრტყელი ფიგურის ინერციის მომენტები ნულის ტოლია;
• 4) შეიძლება დახაზოთ ბრტყელი ფიგურის ნებისმიერი წერტილით.

გამოსავალი: სწორი პასუხია 4). ფიგურა აჩვენებს თვითნებურ ბრტყელ ფიგურას. წერტილის მეშვეობით თანდახაზულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი უდა ვ.

მასალების სიძლიერის კურსში დადასტურდა, რომ თუ ეს ღერძები ბრუნავს, მაშინ შეიძლება განისაზღვროს მათი პოზიცია, რომელშიც არეალის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ხდება ნული, ხოლო ინერციის მომენტები ამ ღერძების გარშემო იღებს უკიდურეს მნიშვნელობებს. ასეთ ღერძებს მთავარ ღერძებს უწოდებენ.

ამოცანა 5.3.4: მითითებული ცენტრალური ღერძებიდან ძირითადი მონაკვეთის ღერძებია...

1) ყველაფერი; 2) x1და x3; 3) x2და x3; 4)x2და x4.

გამოსავალი: სწორი პასუხია 1). სიმეტრიული მონაკვეთებისთვის, სიმეტრიის ღერძი არის ინერციის მთავარი ღერძი.

ამოცანა 5.3.5: ღერძებს, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია და ღერძული მომენტები უკიდურეს მნიშვნელობებს იღებენ, ეწოდება...

• 1) ცენტრალური ღერძები; 2) სიმეტრიის ღერძი;
• 3) მთავარი ცენტრალური ღერძები; 4) ძირითადი ღერძები.

გამოსავალი: სწორი პასუხია 4). როდესაც კოორდინატთა ღერძები ბრუნავს b კუთხით, იცვლება მონაკვეთის ინერციის მომენტები.

მოცემული იყოს მონაკვეთის ინერციის მომენტები კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში x, წ. შემდეგ განყოფილების ინერციის მომენტები კოორდინატთა ღერძების სისტემაში u, ვ, ბრუნავს ღერძებთან შედარებით გარკვეული კუთხით x, წ, თანაბარია

კუთხის გარკვეული მნიშვნელობისას მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ხდება ნული, ხოლო ინერციის ღერძული მომენტები იღებენ უკიდურეს მნიშვნელობებს. ამ ღერძებს მთავარ ღერძებს უწოდებენ.

ამოცანა 5.3.6: განყოფილების ინერციის მომენტი მთავარ ცენტრალურ ღერძზე xCთანაბარი...

1); 2) ; 3) ; 4) .

გამოსავალი: სწორი პასუხია 2)

გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას